Як розв'язати рівняння n. Розв'язання рівнянь із двома змінними

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Ступінні чи показові рівняння називають рівняння, у яких змінні перебувають у ступенях, а основою є число. Наприклад:

Рішення показового рівняння зводиться до 2 досить простим діям:

1. Потрібно перевірити чи однакові підстави у рівняння справа і зліва. Якщо підстави неоднакові, шукаємо варіанти на вирішення цього прикладу.

2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємо ступені та вирішуємо отримане нове рівняння.

Допустимо, дано показове рівняння наступного виду:

Починати розв'язання цього рівняння слід з аналізу підстави. Підстави різні - 2 і 4, а для вирішення нам потрібно, щоб були однакові, тому перетворимо 4 за такою формулою -\[(a^n)^m = a^(nm):\]

Додаємо до вихідного рівняння:

Винесемо за дужки \

Виразимо \

Оскільки ступені однакові, відкидаємо їх:

Відповідь: \

Де можна вирішити показове рівняння онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішеннятобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкілта їхнім батькам. Учні зможуть підготуватися до контрольних, іспитів, перевірити знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівнянь своїми дітьми. Вміння розв'язувати рівняння – обов'язкова вимогадо школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь. З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. онлайн сервіса безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв'язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп'ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов'язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Рішення рівняння в загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов'язані між собою. Старший ступінь змінної визначає порядок такого рівняння. Виходячи з цього, для рівнянь використовують різні методита теореми для знаходження рішень. Розв'язання рівнянь даного типуозначає знаходження шуканих коренів у загальному вигляді. Наш сервіс дозволяє вирішити навіть найскладніше алгебраїчне рівняння онлайн. Ви можете отримати як загальне рішення рівняння, так і часткове для вказаних вами числових значень коефіцієнтів. Для вирішення рівняння алгебри на сайті достатньо коректно заповнити всього два поля: ліву і праву частини заданого рівняння. У алгебраїчних рівняньзі змінними коефіцієнтами нескінченна кількість рішень, і поставивши певні умови, з багатьох рішень вибираються приватні. Квадратне рівняння. Квадратне рівняння має вигляд ax2+bx+с=0 при а>0. Рішення рівнянь квадратного виду передбачає знаходження значень x, у яких виконується рівність ax^2+bx+с=0. Для цього є значення дискримінанта за формулою D=b^2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсні корені, які знаходяться за формулою: D= -b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівнянняонлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь (або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв'язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи. Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчислень, хоч і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою дійти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описомзавдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головне математична діятут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом. Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зібранні коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняння виду АхХ=В. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв'язання рівнянь матричним методом полягає у знаходженні зворотної матриціА.

I. ax 2 =0 – неповне квадратне рівняння (b=0, c=0 ). Рішення: х = 0. Відповідь: 0.

Розв'язати рівняння.

2x · (x + 3) = 6x-x 2 .

Рішення.Розкриємо дужки, помноживши 2хна кожне доданок у дужках:

2x2 +6x=6x-x2; переносимо доданки з правої частини до лівої:

2x2+6x-6x+x2=0; наводимо подібні доданки:

3x 2 = 0, звідси x = 0.

Відповідь: 0.

ІІ. ax 2 +bx=0 –неповне квадратне рівняння (З = 0 ). Рішення: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 або ax + b = 0 → x 2 = -b/a. Відповідь: 0; -b/a.

5x2-26x=0.

Рішення.Винесемо спільний множник хза дужки:

х(5х-26) = 0; кожен множник може дорівнювати нулю:

х = 0або 5х-26 = 0→ 5х=26, ділимо обидві частини рівності на 5 та отримуємо: х=5,2.

Відповідь: 0; 5,2.

приклад 3. 64x+4x2=0.

Рішення.Винесемо спільний множник 4хза дужки:

4х (16 + х) = 0. У нас три множники, 4≠0, отже, або х = 0або 16+х=0. З останньої рівності отримаємо х=-16.

Відповідь: -16; 0.

приклад 4.(x-3) 2+5x=9.

Рішення.Застосувавши формулу квадрата різниці двох виразів розкриємо дужки:

x 2-6x+9+5x=9; перетворимо до виду: x 2 -6x +9 +5x-9 = 0; наведемо подібні доданки:

x 2 -x = 0; винесемо хза дужки, отримуємо: x(x-1)=0. Звідси чи х = 0або х-1 = 0→ х = 1.

Відповідь: 0; 1.

ІІІ. ax 2 +c=0 –неповне квадратне рівняння (b=0 ); Рішення: ax 2 = c → x 2 = c/a.

Якщо (-c/a)<0 , то дійсних коренів немає. Якщо (-з/а)>0

Приклад 5. x 2 -49 = 0.

Рішення.

x 2 = 49, звідси x=±7. Відповідь:-7; 7.

Приклад 6. 9x 2 -4 = 0.

Рішення.

Часто потрібно знайти суму квадратів (x12+x22) або суму кубів (x13+x23) коренів квадратного рівняння, рідше — суму обернених значеньквадратів коріння або суму арифметичних квадратного корінняз коріння квадратного рівняння:

Допомогти в цьому може теорема Вієта:

x 2 +px+q=0

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Висловимо через pі q:

1) суму квадратів коренів рівняння x 2 +px+q=0;

2) суму кубів коренів рівняння x 2+px+q=0.

Рішення.

1) Вираз x 1 2 +x 2 2вийде, якщо звести у квадрат обидві частини рівності x1+x2=-p;

(x 1 +x 2) 2 = (-p) 2; розкриваємо дужки: x 1 2 +2 x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; висловлюємо потрібну суму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Ми здобули корисну рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

2) Вираз x 1 3 +x 2 3представимо за формулою суми кубів у вигляді:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Ще одна корисна рівність: x 1 3 +x 2 3 = -p · (p 2 -3q).

приклади.

3) x 2 -3x-4 = 0.Не розв'язуючи рівняння, обчисліть значення виразу x 1 2 +x 2 2.

Рішення.

x 1 +x 2 =-p=3,а твір x 1 ∙x 2 =q=у прикладі 1) рівність:

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.У нас -p= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. Тоді x 1 2 +x 2 2 = 9-2 · (-4) = 9 +8 = 17.

Відповідь: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0.Обчислити: x 13 + x 23.

Рішення.

За теоремою Вієта сума коренів цього наведеного квадратного рівняння x 1 +x 2 =-p=2,а твір x 1 ∙x 2 =q=-4. Застосуємо отримане нами ( у прикладі 2) рівність: x 1 3 +x 2 3 =-p · (p 2 -3q) = 2 · (2 ​​2 -3 · (-4)) = 2 · (4 +12) = 2 · 16 = 32.

Відповідь: x 13 + x 23 =32.

Запитання: а якщо нам дано не наведене квадратне рівняння? Відповідь: його завжди можна «навести», розділивши почленно на перший коефіцієнт.

5) 2x2-5x-7=0.Не вирішуючи, обчислити: x 1 2 +x 2 2.

Рішення.Нам дано повне квадратне рівняння. Розділимо обидві частини рівності на 2 (перший коефіцієнт) та отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 -2,5 x-3,5 = 0.

За теоремою Вієта сума коренів дорівнює 2,5 ; добуток коріння дорівнює -3,5 .

Вирішуємо так само, як приклад 3) , використовуючи рівність: x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Відповідь: x 1 2 +x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0.Знайти:

Перетворимо цю рівність і, замінивши за теоремою Вієта суму коренів через -p, а добуток коренів через q, отримаємо ще одну корисну формулу При виведенні формули використовували рівність 1): x 1 2 +x 2 2 = p 2 -2q.

У нашому прикладі x 1 +x 2 = p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Підставляємо ці значення отриману формулу:

7) x 2 -13x +36 = 0.Знайти:

Перетворимо цю суму та отримаємо формулу, за якою можна буде знаходити суму арифметичних квадратних коренів із коренів квадратного рівняння.

У нас x 1 +x 2 = p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Підставляємо ці значення у виведену формулу:

Порада : завжди перевіряйте можливість знаходження коренів квадратного рівняння по відповідним способомадже 4 розглянуті корисні формули дозволяють швидко виконати завдання, насамперед, у випадках, коли дискримінант — «незручне» число. У всіх простих випадкахзнаходите коріння і оперуйте ними. Наприклад, в останньому прикладіпідберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів має дорівнювати 13 , а добуток коріння 36 . Що це за числа? Звісно, 4 та 9.А тепер рахуйте суму квадратного коріння з цих чисел: 2+3=5. Ось так то!

I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Знайти коріння наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що це рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.

Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.

Приклад 2) x2+6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .

Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.

Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадкуза формулами). Отримуємо:

приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.

Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.

приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:

ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.

Приклад 6).Знайти суму коренів квадратного рівняння 2x 2 -7x-11 = 0.

Рішення.

Переконуємося, що це рівняння матиме коріння. Для цього достатньо скласти вираз для дискримінанта, і, не обчислюючи його, просто переконатися, що дискримінант більший за нуль. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А тепер скористаємося теорема Вієтадля повних квадратних рівнянь.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Приклад 7). Знайдіть добуток коренів квадратного рівняння 3x2+8x-21=0.

Рішення.

Знайдемо дискримінант D 1, оскільки другий коефіцієнт ( 8 ) є парним числом. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратне рівняння має 2 кореня, за теоремою Вієта твір коренів x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0- Квадратне рівняння загального виду

Дискримінант D=b 2 - 4ac.

Якщо D>0, то маємо два дійсні корені:

Якщо D=0, то маємо єдиний корінь (або два рівні корені) х=-b/(2a).

Якщо D<0, то действительных корней нет.

приклад 1) 2x2+5x-3=0.

Рішення. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 дійсних кореня.

4x2+21x+5=0.

Рішення. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 дійсних кореня.

ІІ. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного вигляду при парному другому

коефіцієнті b

приклад 3) 3x2-10x+3=0.

Рішення. a=3; b=-10 (парне число); c=3.

приклад 4) 5x2-14x-3=0.

Рішення. a=5; b= -14 (парне число); c=-3.

Приклад 5) 71x2+144x+4=0.

Рішення. a=71; b=144 (парне число); c=4.

Приклад 6) 9x2 -30x+25=0.

Рішення. a=9; b=-30 (парне число); c=25.

ІІІ. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: a-b+c=0.

Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з, поділеному на а:

x 1 =-1, x 2 = c/a.

Приклад 7) 2x2+9x+7=0.

Рішення. a=2; b=9; c=7. Перевіримо рівність: a-b+c=0.Отримуємо: 2-9+7=0 .

Тоді x 1 =-1, x 2 = c/a=-7/2=-3,5.Відповідь: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : a+b+c=0.

Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з, поділеному на а:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Приклад 8) 2x2-9x+7=0.

Рішення. a=2; b=-9; c=7. Перевіримо рівність: a+b+c=0.Отримуємо: 2-9+7=0 .

Тоді x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5.Відповідь: 1; 3,5.

Сторінка 1 з 1 1

Рівняння

Як розв'язувати рівняння?

У цьому розділі ми згадаємо (чи вивчимо – вже кому як) найпростіші рівняння. Отже, що таке рівняння? Говорячи людською мовою, це якийсь математичний вираз, де є знак рівності та невідомий. Яке, як правило, позначається буквою «х». Вирішити рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці в вихідневираз, дадуть нам вірну тотожність. Нагадаю, що тотожність – це вираз, який не викликає сумніву навіть у людини, абсолютно не обтяженої математичними знаннями. Типу 2 = 2, 0 = 0, ab = ab і т.д. То як вирішувати рівняння?Давайте розберемося.

Рівняння бувають всякі (ось здивував, так?). Але все їхнє нескінченне різноманіття можна розбити всього на чотири типи.

4. Всі інші.)

Усіх інших, зрозуміло, найбільше, так...) Сюди входять і кубічні, і показові, і логарифмічні, і тригонометричні та інші. З ними ми у відповідних розділах щільно попрацюємо.

Відразу скажу, що іноді й рівняння перших трьохтипів так накрутить, що й не впізнаєш їх… Нічого. Ми навчимося їх розмотувати.

І навіщо нам ці чотири типи? А потім, що лінійні рівняння вирішуються одним способом, квадратнііншим, дробові раціональні - третім,а іншіне наважуються зовсім! Ну, не те, щоб зовсім ніяк не наважуються, це я даремно математику образив.) Просто для них існують свої спеціальні прийоми і методи.

Але для будь-яких (повторюю - для будь-яких!) рівнянь є надійна та безвідмовна основа для вирішення. Працює скрізь і завжди. Ця основа – звучить страшно, але штука дуже проста. І дуже (дуже!)важлива.

Власне, рішення рівняння і складається з цих перетворень. на 99%. Відповідь на питання: " Як розв'язувати рівняння?" лежить, саме, у цих перетвореннях. Натяк зрозумілий?)

Тотожні перетворення рівнянь.

У будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб за зміни зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимичи рівносильними.

Зазначу, що ці перетворення відносяться саме до рівнянь.У математиці ще є тотожні перетворення виразів.Це інша тема.

Зараз ми з вами повторимо всі базові тотожні перетворення рівнянь.

Базові тому, що їх можна застосовувати до будь-якимрівнянням – лінійним, квадратним, дробовим, тригонометричним, показовим, логарифмічним тощо. і т.п.

Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.

Ви, між іншим, постійно користувалися цим перетворенням, тільки думали, що переносите якісь складові з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. Типу:

Справа знайома, переносимо двійку вправо, і отримуємо:

Насправді ви відібраливід обох частин рівняння двійку. Результат виходить той самий:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенесення доданків ліворуч-праворуч зі зміною знака є просто скорочений варіант першого тотожного перетворення. І навіщо нам такі глибокі знання? - Запитайте ви. В рівняннях навіщо. Переносьте, заради бога. Тільки знак не забувайте міняти. А ось у нерівностях звичка до перенесення може і в глухий кут поставити….

Друге тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Це перетворення ви використовуєте, коли вирішуєте щось круте, типу

Зрозуміла справа, х= 2. А як ви його знайшли? Підбором? Чи просто осяяло? Щоб не підбирати і не чекати осяяння, потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна 5. При розподілі лівої частини (5х) п'ятірка скоротилася, залишився чистий ікс. Чого нам і потрібно. А при розподілі правої частини (10) на п'ять, вийшла, звісно, ​​двійка.

От і все.

Смішно, але ці два (всього два!) тотожні перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики.Ось як! Чи має сенс подивитися на прикладах, що і як, правда?)

Приклади тотожних перетворень рівнянь. Основні проблеми.

Почнемо з першогототожного перетворення. Перенесення вліво-вправо.

Приклад для молодших.)

Припустимо, треба вирішити таке рівняння:

3-2х = 5-3х

Згадуємо заклинання: "з іксами - вліво, без іксів - вправо!"Це заклинання - інструкція із застосування першого тотожного перетворення.) Який вираз з іксом у нас справа? 3х? Відповідь неправильна! Праворуч у нас - 3х! Мінустри ікс! Отже, при перенесенні вліво, символ зміниться на плюс. Вийде:

3-2х +3х = 5

Так, ікси зібрали в купку. Займемося числами. Зліва стоїть трійка. З яким знаком? Відповідь "з ніякою" не приймається!) Перед трійкою дійсно нічого не намальовано. А це означає, що перед трійкою стоїть плюс.Так уже математики домовились. Нічого не написано, отже, плюс.Отже, в праву частинутрійка перенесеться з мінусом.Отримаємо:

-2х +3х = 5-3

Залишилися дрібниці. Зліва – привести подібні, праворуч – порахувати. Відразу виходить відповідь:

У цьому прикладі вистачило одного тотожного перетворення. Друге не знадобилося. Ну і добре.)

Приклад для старших.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.