Коефіцієнт рангової кореляції спірмена у excel. Рангова кореляція та коефіцієнт рангової кореляції спірмена
Калькулятор нижче обчислює коефіцієнт рангової кореляціїСпірмена між двома випадковими величинами. Теоретична частина, щоб не відволікатися від калькулятора, зазвичай розміщується під ним.
add import_export mode_edit delete
Зміни випадкових величин
| arrow_upwardarrow_downward X | arrow_upwardarrow_downward Y | ||
|---|---|---|---|
| mode_edit |
Зміни випадкових величин
Імпортувати даніПомилка імпорту
Для поділу полів можна використовувати один із цих символів: Tab, ";" або "," Приклад: -50.5;-50.5
Імпортувати Назад Скасувати
Метод розрахунку коефіцієнта рангової кореляції Спірмена насправді описується дуже легко. Це той самий Коефіцієнт кореляції Пірсона, тільки розрахований не для результатів вимірювань випадкових величин, а для них рангових значень.
Тобто,
Залишилося тільки розібратися, що таке рангові значення і для чого це потрібно.
Якщо елементи варіаційного ряду розташувати у порядку зростання чи спадання, то рангомелемент буде його номер у цьому впорядкованому ряду.
Наприклад, нехай ми маємо варіаційний ряд (17,26,5,14,21). Відсортуємо його елементи у порядку зменшення (26,21,17,14,5). 26 має ранг 1, 21 – ранг 2 і т.д. Варіаційний ряд рангових значень виглядатиме так (3,1,5,4,2).
Тобто при розрахунку коефіцієнта Спірмена вихідні варіаційні рядиперетворюються на варіаційні ряди рангових значень, після чого до них застосовується формула Пірсона.
Є одна тонкість - ранг значень, що повторюються, береться як середнє з рангів. Тобто для ряду (17, 15, 14, 15) ряд рангових значень буде виглядати як (1, 2.5, 4, 2.5), так як перший елемент 15 має ранг 2, а другий - ранг 3, і .
Якщо ж повторюваних значень немає, тобто всі значення рангових рядів – числа з діапазону від 1 до n, формулу Пірсона можна спростити до
Ну і до речі, ця формула найчастіше наводиться як формула розрахунку коефіцієнта Спірмена.
У чому ж суть переходу від самих значень до рангових значень?
А суть у тому, що досліджуючи кореляцію рангових значень можна встановити, наскільки добре залежність двох змінних описується монотонною функцією.
Знак коефіцієнта свідчить про напрям зв'язок між змінними. Якщо знак позитивний, значення Y мають тенденцію збільшуватися зі збільшенням значень X; якщо знак негативний, то значення Y мають тенденцію зменшуватися зі збільшенням значень X. Якщо коефіцієнт дорівнює 0, ніякої тенденції немає. Якщо коефіцієнт дорівнює 1 або -1, то залежність між X і Y має вигляд монотонної функції - тобто, при збільшенні X, Y також збільшується, або навпаки, при збільшенні X, Y зменшується.
Тобто, на відміну від коефіцієнта кореляції Пірсона, який може виявити лише лінійну залежністьоднією змінною від іншої, коефіцієнт кореляції Спірмена може виявити монотонну залежність, там, де безпосередній лінійний зв'язок не виявляється.
Поясню з прикладу. Припустимо, що досліджуємо функцію y=10/x.
У нас є наступні результати вимірювань X та Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Для цих даних коефіцієнт кореляції Пірсона дорівнює -0.4686, тобто зв'язок слабкий або відсутній. А ось коефіцієнт кореляції Спірмена строго дорівнює -1, що натякає досліднику, що Y має строгу негативну монотонну залежність від X.
Коефіцієнт кореляції Пірсона
Коефіцієнт r-Пірсона застосовується вивчення взаємозв'язку двох метричних змінних, виміряних однією і тієї ж вибірці. Існує безліч ситуацій, у яких доречне його застосування. Чи впливає інтелект на успішність старших курсів університету? Чи пов'язаний розмір заробітної плати працівника із його доброзичливістю до колег? Чи впливає настрій школяра на успішність розв'язання складного арифметичного завдання? Для відповіді на такі питання дослідник повинен виміряти два показники, що його цікавлять, у кожного члена вибірки.
На величину коефіцієнта кореляції впливає те, у яких одиницях виміру представлені ознаки. Отже, будь-які лінійні перетворення ознак (множення на константу, додавання константи) не змінюють значення коефіцієнта кореляції. Винятком є множення однієї з ознак негативну константу: коефіцієнт кореляції змінює свій знак на протилежний.
Застосування кореляції Спірмена та Пірсона.
Кореляція Пірсона є мірою лінійного зв'язку між двома змінними. Вона дозволяє визначити, наскільки пропорційна мінливість двох змінних. Якщо змінні пропорційні один одному, то графічно зв'язок між ними можна подати у вигляді прямої лінії з позитивним (пряма пропорція) або негативним (зворотна пропорція) нахилом.
На практиці зв'язок між двома змінними, якщо він є, є імовірнісним і графічно виглядає як хмара розсіювання еліпсоїдної форми. Цей еліпсоїд, однак, можна уявити (апроксимувати) у вигляді прямої лінії, або лінії регресії. Лінія регресії – це пряма, побудована методом найменших квадратів: сума квадратів відстаней (обчислених по осі Y) від кожної точки графіка розсіювання до прямої є мінімальною.
Особливе значеннядля оцінки точності передбачення має дисперсія оцінок залежної змінної. По суті, дисперсія оцінок залежної змінної Y - це та частина її повної дисперсії, яка обумовлена впливом незалежної змінної X. Інакше кажучи, відношення дисперсії оцінок залежної змінної до її істинної дисперсії дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.
Квадрат коефіцієнта кореляції залежної та незалежної змінних представляє частку дисперсії залежної змінної, обумовленої впливом незалежної змінної, і називається коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнт детермінації, таким чином, показує, якою мірою мінливість однієї змінної обумовлена (детермінована) впливом іншої змінної.
Коефіцієнт детермінації має важливою перевагоюпроти коефіцієнтом кореляції. Кореляція не є лінійною функцією зв'язку між двома змінними. Тому, середнє арифметичне коефіцієнтів кореляції для кількох вибірок не збігається з кореляцією, обчисленою відразу всім випробовуваних із цих вибірок (тобто. коефіцієнт кореляції не аддитивний). Навпаки, коефіцієнт детермінації відбиває зв'язок лінійно і тому аддитивним: допускається його усереднення кількох вибірок.
Додаткову інформаціюпро силу зв'язку дає значення коефіцієнта кореляції у квадраті – коефіцієнт детермінації: це частина дисперсії однієї змінної, яка може бути пояснена впливом іншої змінної. На відміну від коефіцієнта кореляції, коефіцієнт детермінації лінійно зростає зі збільшенням сили зв'язку.
Коефіцієнти кореляції Спірмена та τ - Кендалла (рангові кореляції )
Якщо обидві змінні, між якими вивчається зв'язок, представлені у порядковій шкалі, або одна з них – у порядковій, а інша – у метричній, то застосовуються рангові коефіцієнти кореляції: Спірмена або τ - Кенделл. І той, і інший коефіцієнт вимагає для застосування попереднього ранжування обох змінних.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена – це непараметричний метод, який використовується з метою статистичного вивченнязв'язок між явищами. У цьому випадку визначається фактичний ступінь паралелізму між двома кількісними рядамиознак, що вивчаються, і дається оцінка тісноти встановленого зв'язку за допомогою кількісно вираженого коефіцієнта.
Якщо члени групи чисельністю були ранжировані спочатку змінною x, потім - змінною y, то кореляцію між змінними x і y можна отримати, просто обчисливши коефіцієнт Пірсона для двох рядів рангів. За умови відсутності зв'язків у рангах (тобто відсутності повторюваних рангів) за тією та іншою змінною, формула для Пірсона може бути суттєво спрощена у обчислювальному відношенні та перетворена на формулу, відому як Спірмена.
Потужність коефіцієнта рангової кореляції Спірмена дещо поступається потужністю параметричного коефіцієнта кореляції.
Коефіцієнт рангової кореляції доцільно застосовувати за наявності невеликої кількості спостережень. Даний метод може бути використаний не тільки для кількісно виражених даних, але також і у випадках, коли значення, що реєструються, визначаються описовими ознаками різної інтенсивності.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена при великій кількості однакових рангів по одній або обох змінним, що зіставляється, дає огрублені значення. В ідеалі обидва корелювані ряди повинні являти собою дві послідовності значень, що не збігаються.
Альтернативу кореляції Спірмена для рангів є кореляція τ - Кендалл. В основі кореляції, запропонованої М.Кендаллом, лежить ідея про те, що про напрям зв'язку можна судити, попарно порівнюючи між собою випробуваних: якщо у пари випробуваних зміна x збігається у напрямку зі зміною y, то це свідчить про позитивний зв'язок, якщо не збігається - то про негативний зв'язок.
Коефіцієнти кореляції були спеціально розроблені для чисельного визначення сили та напрями зв'язку між двома властивостями, виміряними у числових шкалах (метричних чи рангових). Як уже згадувалося, максимальній силі зв'язку відповідають значення кореляції +1 (суворий прямий або прямо пропорційний зв'язок) і -1 (суворий зворотний або обернено пропорційний зв'язок), відсутності зв'язку відповідає кореляція, що дорівнює нулю. Додаткову інформацію про силу зв'язку дає значення коефіцієнта детермінації: це частина дисперсії однієї змінної, яка може бути пояснена впливом іншої змінної.
9. Параметричні методи порівняння даних
Параметричні методи порівняння застосовуються у тому випадку, якщо ваші змінні були виміряні у метричній шкалі.
Порівняння дисперсій 2- х вибірок за критерієм Фішера .
Даний метод дозволяє перевірити гіпотезу про те, що дисперсії 2-х генеральних сукупностей, з яких вилучені порівнювані вибірки, відрізняються один від одного. Обмеження методу - розподілу ознаки обох вибірках нічого не винні відрізнятися від нормального.
Альтернативою порівняння дисперсій є критерій Лівена, для якого немає потреби у перевірці на нормальність розподілу. Даний метод може застосовуватися для перевірки припущення про рівність (гомогенність) дисперсій перед перевіркою достовірності відмінності середніх за критерієм Стьюдента для незалежних вибірок різної чисельності.
Метод рангової кореляції Спірмена дозволяє визначити тісноту (силу) та напрямок кореляційного зв'язку між двома ознаками або двома профілями (ієрархіями) ознак.
Для підрахунку рангової кореляції необхідно мати два ряди значень,
які можуть бути проранжовані. Такими рядами значень можуть бути:
1) дві ознаки, виміряні в одній і тій же групі випробуваних;
2) дві індивідуальні ієрархії ознак, виявлені у двох піддослідних по одному й тому набору ознак;
3) дві групові ієрархії ознак,
4) індивідуальна та групова ієрархії ознак.
Спочатку показники ранжуються окремо за кожною ознакою.
Як правило, меншим значенням ознаки нараховується менший ранг.
У першому випадку (дві ознаки) ранжуються індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою.
Якщо дві ознаки пов'язані позитивно, то випробувані, що мають низькі ранги по одному з них, матимуть низькі ранги та по іншому, а випробувані, що мають високі ранги за
одній з ознак, матимуть за іншою ознакою також високі ранги. Для підрахунку rs необхідно визначити різниці (d) між рангами, отриманими даним випробуваним за обома ознаками. Потім ці показники d певним чином перетворюються і віднімаються з 1.
менше різниці між рангами, тим більше буде rs, тим ближче він буде до +1.
Якщо кореляція відсутня, всі ранги будуть перемішані і між ними не буде
жодної відповідності. Формула складена так, що в цьому випадку rs виявиться близьким до 0.
У разі негативної кореляції низьким рангам випробуваних за однією ознакою
будуть відповідати високі ранги за іншою ознакою, і навпаки. Чим більший розбіжність між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче rs до -1.
У другому випадку (два індивідуальні профілі), ранжуються індивідуальні
значення, отримані кожним із 2-х випробуваних за певним (однаковим для них обох) набором ознак. Перший ранг отримає ознаку з найнижчим значенням; другий ранг - ознака з вищим значенням і т.д. Очевидно, що всі ознаки повинні бути виміряні в тих самих одиницях, інакше ранжування неможливо. Наприклад, неможливо проранжувати показники по опитувальнику Кеттелла (16PF), якщо вони виражені в "сирих" балах, оскільки за різними факторами діапазони значень різні: від 0 до 13, від 0 до
20 і від 0 до 26. Ми не можемо сказати, який із факторів буде займати перше місце за виразністю, поки не наведемо всі значення до єдиної шкали (найчастіше це шкала стін).
Якщо індивідуальні ієрархії двох піддослідних пов'язані позитивно, то ознаки, що мають низькі ранги в одного з них, матимуть низькі ранги і в іншого, і навпаки. Наприклад, якщо в одного випробуваного фактор Е (домінантність) має найнижчий ранг, то й у іншого випробуваного він повинен мати низький ранг, якщо в одного випробуваного фактор С
(емоційна стійкість) має вищий ранг, те й інший випробуваний повинен мати по
цьому чиннику високий ранг тощо.
У третьому випадку (два групових профілю), ранжуються середньогрупові значення, отримані в 2-х групах випробуваних за певним, однаковим для двох груп, набором ознак. Надалі лінія міркувань така сама, як і в попередніх двох випадках.
У випадку 4-му (індивідуальний та груповий профілі), ранжуються окремо індивідуальні значення випробуваного та середньогрупові значення за тим же набором ознак, які отримані, як правило, при виключенні цього окремого випробуваного – він не бере участі в середньогруповому профілі, з яким буде зіставлятися його індивідуальний профіль Рангова кореляція дозволить перевірити, наскільки узгоджено індивідуальний та груповий профілі.
У всіх чотирьох випадках значимість отриманого коефіцієнта кореляції визначається за кількістю ранжованих значень N. У першому випадку ця кількість співпадатиме з обсягом вибірки n. У другому випадку кількістю спостережень буде кількість ознак, що становлять ієрархію. У третьому і четвертому випадку N – це також кількість зіставних ознак, а чи не кількість випробуваних у групах. Детальні пояснення наведено в прикладах. Якщо абсолютна величина rs досягає критичного значення або перевищує його, кореляція є достовірною.
Гіпотези.
Можливі два варіанти гіпотез. Перший відноситься до випадку 1, другий - до трьох інших випадків.
Перший варіант гіпотез
H0: Кореляція між змінними А та Б не відрізняється від нуля.
H1: Кореляція між змінними А та Б достовірно відрізняється від нуля.
Другий варіант гіпотез
H0: Кореляція між ієрархіями А та Б не відрізняється від нуля.
H1: Кореляція між ієрархіями А та Б достовірно відрізняється від нуля.
Обмеження коефіцієнта рангової кореляції
1. По кожній змінній має бути представлено не менше 5 спостережень. Верхня межа вибірки визначається наявними таблицями критичних значень.
2. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена rs при великій кількості однакових рангів по одній або обох змінних, що зіставляються, дає огрублені значення. В ідеалі обидва корелювані ряди повинні являти собою дві послідовності значень, що не збігаються. У разі, якщо цієї умови не дотримується, необхідно вносити поправку на однакові ранги.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:
Якщо в обох порівнюваних рангових рядах присутні групи однакових рангів, перед підрахунком коефіцієнта рангової кореляції необхідно внести поправки на однакові ранги Та і Тв:
Та = Σ (а3 - а) / 12,
Тв = Σ (в3 - в) / 12,
де а – обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду А, у – обсяг кожної
групи однакових рангів у ранговому ряду Ст.
Для підрахунку емпіричного значення rs використовують формулу:
Розрахунок коефіцієнта рангової кореляції Спірмена rs
1. Визначити, які дві ознаки або дві ієрархії ознак братимуть участь у
зіставленні як змінні А та Ст.
2. Проранжувати значення змінної А, нараховуючи ранг 1 найменшому значенню, відповідно до правил ранжування (див. П.2.3). Занести ранги у перший стовпець таблиці за порядком номерів випробуваних чи ознак.
3. Проранжувати значення змінної, відповідно до тих самих правил. Занести ранги у другий стовпець таблиці за порядком номерів випробуваних чи ознак.
5. Звести кожну різницю у квадрат: d2. Ці значення занести до четвертого стовпця таблиці.
Та = Σ (а3 - а) / 12,
Тв = Σ (в3 - в) / 12,
де а – обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду А; в – обсяг кожної групи
однакових рангів у ранговому ряду Ст.
а) за відсутності однакових рангів
rs 1 − 6 ⋅
б) за наявності однакових рангів
Σd 2 T T
r 1 − 6 ⋅ a в,
де Σd2 - сума квадратів різниць між рангами; Та і Тв – поправки на однакові
N – кількість випробуваних чи ознак, що брали участь у ранжируванні.
9. Визначити по Таблиці (див. Додаток 4.3) критичні значення rs для даного N. Якщо rs перевищує критичне значення або принаймні дорівнює йому, кореляція достовірно відрізняється від 0.
Приклад 4.1.При визначенні ступеня залежності реакції вживання алкоголю на окорухову реакцію в випробуваній групі були отримані дані до вживання алкоголю та після вживання. Чи залежить реакція випробуваного стану сп'яніння?
Результати експерименту:
До:16, 13, 14, 9, 10, 13, 14, 14, 18, 20, 15, 10, 9, 10, 16, 17, 18. Після: 24, 9, 10, 23, 20, 11, 12, 19, 18, 13, 14, 12, 14, 7, 9, 14. Сформулюємо гіпотези:
Н0: кореляція між ступенем залежності реакції до вживання алкоголю і після не відрізняється від нуля.
Н1: кореляція між ступенем залежності реакції до вживання алкоголю та після достовірно відрізняється від нуля.
Таблиця 4.1. Розрахунок d2 для рангового коефіцієнтакореляції Спірмена rs при зіставленні показників окорухової реакції до експерименту та після (N=17)
|
значення |
значення |
|||||
Оскільки ми маємо повторювані ранги, то в даному випадкубудемо застосовувати формулу з поправкою на однакові ранги:
Та = ((23-2) + (33-3) + (23-2) + (33-3) + (23-2) + (23-2)) / 12 = 6
Тb = ((23-2) + (23-2) + (33-3)) / 12 = 3
Знайдемо емпіричне значення коефіцієнта Спірмена:
rs = 1 - 6 * ((767,75 +6 +3) / (17 * (172-1))) = 0,05
За таблицею (додаток 4.3) знаходимо критичні значення коефіцієнта кореляції
0,48 (p ≤ 0,05)
0,62 (p ≤ 0,01)
Отримуємо
rs=0,05∠rкр(0,05)=0,48
Висновок: Н1гіпотеза відкидається і приймається Н0. Тобто. кореляція між ступенем
залежність реакції до вживання алкоголю і після не відрізняється від нуля.
Рангова кореляція Спірмена(Кореляція рангів). Рангова кореляція Спірмена – найпростіший спосіб визначення ступеня зв'язку між факторами. Назва методу свідчить у тому, що зв'язок визначають між рангами, тобто рядами отриманих кількісних значень, ранжированих порядку спадання чи зростання. Треба мати на увазі, що, по-перше, рангове кореляцію Не рекомендується проводити, якщо зв'язок пар менше чотирьох і більше двадцяти; по-друге, рангова кореляція дозволяє визначати зв'язок і в іншому випадку, якщо значення мають напівкількісний характер, тобто не мають числового виразу, що відображають чіткий порядок дотримання цих величин; по-третє, рангову кореляцію доцільно застосовувати у тих випадках, коли достатньо отримати приблизні дані. Приклад розрахунку коефіцієнта рангової кореляції визначення питання: замірюють питання X і Y подібні особисті якості випробуваних. За допомогою двох запитань (X та Y), які вимагають альтернативних відповідей "так" чи "ні", отримали первинні результати - відповіді 15 піддослідних (N = 10). Результати подали у вигляді суми ствердних відповідей окремо для опитувальника X і для опитувальника В. Ці результати зведені у табл. 5.19.
Таблиця 5.19. Табулювання первинних результатів для розрахунку коефіцієнта рангової кореляції за Спірменом (р) *
Аналіз зведеної кореляційної матриці. Метод кореляційних плеяд.
приклад. У табл. 6.18 наведено інтерпретації одинадцяти змінних, що тестуються за методикою Векслера. Дані одержали на однорідній вибірці віком від 18 до 25 років (n = 800).
Перед розшаровуванням кореляційну матрицю доцільно ранжувати. Для цього у вихідній матриці обчислюють середні значення коефіцієнтів кореляції кожної змінної з усіма іншими.
Потім табл. 5.20 визначають допустимі рівнірозшарування кореляційної матриці при заданих довірчої ймовірності 0,95 і n - кількості
Таблиця 6.20. Східна кореляційна матриця
| Змінні | 1 | 2 | 3 | 4 | б | 0 | 7 | 8 | 0 | 10 | 11 | M (rij) | Ранг |
| 1 | 1 | 0,637 | 0,488 | 0,623 | 0,282 | 0,647 | 0,371 | 0,485 | 0,371 | 0,365 | 0,336 | 0,454 | 1 |
| 2 | 1 | 0,810 | 0,557 | 0,291 | 0,508 | 0,173 | 0,486 | 0,371 | 0,273 | 0,273 | 0,363 | 4 | |
| 3 | 1 | 0,346 | 0,291 | 0,406 | 0,360 | 0,818 | 0,346 | 0,291 | 0,282 | 0,336 | 7 | ||
| 4 | 1 | 0,273 | 0,572 | 0,318 | 0,442 | 0,310 | 0,318 | 0,291 | 0,414 | 3 | |||
| 5 | 1 | 0,354 | 0,254 | 0,216 | 0,236 | 0,207 | 0,149 | 0,264 | 11 | ||||
| 6 | 1 | 0,365 | 0,405 | 0,336 | 0,345 | 0,282 | 0,430 | 2 | |||||
| 7 | 1 | 0,310 | 0,388 | 0,264 | 0,266 | 0,310 | 9 | ||||||
| 8 | 1 | 0,897 | 0,363 | 0,388 | 0,363 | 5 | |||||||
| 9 | 1 | 0,388 | 0,430 | 0,846 | 6 | ||||||||
| 10 | 1 | 0,336 | 0,310 | 8 | |||||||||
| 11 | 1 | 0,300 | 10 |
Позначення: 1 – загальна поінформованість; 2 - поняттєвість; 3 – уважність; 4 - вдатність До узагальнення; б - безпосереднє запам'ятовування (на цифрах) 6 - рівень освоєння рідною мовою; 7 - швидкість оволодіння сенсомоторними навичками (кодування символами) 8 - спостережливість; 9 - комбінаторні здібності (до аналізу та синтезу) 10 - здатність до організації елементів в осмислене ціле; 11 – здатність до евристичного синтезу; M (rij) - середнє значення коефіцієнтів кореляції змінної з іншими змінних спостережень (у нашому випадку n = 800): r(0) - значення нульової "Розсікає" площини - мінімальна значуща абсолютна величина коефіцієнта кореляції (n - 120, r(0) = 0,236; n = 40, r(0) = 0,407) | Δr | - допустимий крок розшарування (n = 40, | Δr | = 0,558) - допустима кількість рівнів розшарування (n = 40, s = 1; n = 120, s = 2); r(1), r(2), ..., r(9) - абсолютне значення січної площини (n = 40, r(1) = 0,965).
Для n = 800 знаходимо значення гтип і межі гі після чого розшаровує ранжовані кореляційну матрицю, виділяючи кореляційні плеяди всередині шарів, або відокремлюємо частини кореляційної матриці, вимальовуючи об'єднання кореляційних плеяд для вище шарів (рис. 5.5).
Змістовний аналіз отриманих плеяд виходить за межі математичної статистики. Слід зазначити два формальні показники, які допомагають при змістовній інтерпретації плеяд. Одним суттєвим показником є ступінь вершини, тобто кількість ребер, що примикають до вершини. Змінна з найбільшою кількістюребер є " ядром " плеяди і його можна як індикатор інших змінних цієї плеяди. Інший суттєвий показник – щільність зв'язку. Змінна може мати менше зв'язків в одній плеяді, але вже і більше зв'язків в іншій плеяді, проте менш тісних.
Передбачення та оцінки. Рівняння у = b1x + b0 називається загальним рівняннямпрямий. Воно свідчить про те, що пара точок (x, y), які
Мал. 5.5. Кореляційні плеяди, одержані розшаруванням матриці
лежать на деякій прямий, пов'язані так, що для будь-якого значення х величину в знаходиться в ньому в парі, можна знайти, помноживши х на деяке число b1 додавши других, число b0 до цього твору.
p align="justify"> Коефіцієнт регресії дозволяє визначити ступінь зміни слідчого фактора при зміні причинного фактора на одну одиницю. Абсолютні величинихарактеризують залежність між змінними чинниками з їхньої абсолютними значеннями. Коефіцієнт регресії обчислюють за такою формулою:
Планування та аналіз експериментів. Планування та аналіз експериментів - це третя важлива галузь статистичних методів, розроблених для знаходження та перевірки причинних зв'язківміж змінними.
Для дослідження багатофакторних залежностей Останнім часомдедалі частіше використовують методи математичного планування експерименту.
Можливість одночасного варіювання всіма факторами дозволяє: а) зменшити кількість дослідів;
б) звести помилку експерименту до мінімуму;
в) спростити обробку отриманих даних;
г) забезпечити наочність та легкість у порівнянні результатів.
Кожен фактор може набувати певної відповідної кількості різних значень, які називаються рівнями та позначають -1, 0 та 1. Фіксований набір рівнів факторів визначає умови одного з можливих дослідів.
Сукупність всіх можливих поєднань обчислюють за такою формулою:
Повним факторним експериментом називається експеримент, в якому реалізуються всі можливі поєднаннярівнів факторів. Повні факторні експерименти можуть мати властивість ортогональності. При ортогональному плануванні чинники експерименті є некоррельованими, коефіцієнти регресії, які обчислюють у результаті, визначають незалежно друг від друга.
Важливою перевагою методу математичного планування експерименту є його універсальність, придатність у багатьох сферах досліджень.
Розглянемо приклад порівняння впливу деяких чинників формування рівня психічного напруги в регулювальників кольорових телевізорів.
В основу експерименту покладено ортогональний План 2 три (три фактори змінюються на двох рівнях).
Експеримент проводили з повною частиною 2+3 з трикратним повторенням.
Ортогональне планування виходить з побудові рівняння регресії. Для трьох факторів воно виглядає так:
Обробка результатів у цьому прикладі включає:
а) побудова ортогонального плану 2+3 таблиці для розрахунку;
б) обчислення коефіцієнтів регресії;
в) перевірку їхньої значущості;
г) інтерпретацію отриманих даних.
Для коефіцієнтів регресії згаданого рівняння треба було поставити N = 2 3 = 8 варіантів, щоб мати можливість оцінити значущість коефіцієнтів, де кількість повторень До дорівнювала 3.
Складена матриця планування експерименту виглядала.
Коротка теорія
Рангова кореляція – це метод кореляційного аналізу, що відбиває відносини змінних, упорядкованих зростання їх значення.
Ранги – це порядкові номериодиниць сукупності ранжированном ряду. Якщо проранжувати сукупність за двома ознаками, зв'язок між якими вивчається, повний збіг рангів означає максимально тісний прямий зв'язок, а повна протилежність рангів - максимально тісний Зворотній зв'язок. Ранжувати обидві ознаки необхідно в тому самому порядку: або від менших значень ознаки до великих, або навпаки.
Для практичних цілей використання рангової кореляції дуже корисне. Наприклад, якщо встановлена висока рангова кореляція між двома якісними ознаками виробів, достатньо контролювати вироби тільки за однією з ознак, що здешевлює і прискорює контроль.
Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральній сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.
Розмір коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Він може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними в ранговій шкалі.
Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:
Різниця між рангами за двома змінними
– число зіставлюваних пар
Першим етапом розрахунку коефіцієнта рангової кореляції є ранжування рядів змінних. Процедура ранжирування починається з розташування змінних за зростанням їх значень. Різним значенням надаються ранги, що позначаються натуральними числами. Якщо трапляється кілька рівних за значенням змінних, їм присвоюється усереднений ранг.
Перевага коефіцієнта кореляції рангів Спірмена полягає в тому, що ранжувати можна і за такими ознаками, які не можна виразити чисельно: можна проранжувати кандидатів на зайняття певної посади за професійному рівню, за вмінням керувати колективом, з особистої чарівності тощо. п. При експертних оцінках можна ранжувати оцінки різних експертів і знайти кореляції друг з одним, щоб потім виключити з розгляду оцінки експерта, слабко корельовані з оцінками інших експертів. Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена застосовується з метою оцінки стійкості тенденції динаміки. Недоліком коефіцієнта кореляції рангів і те, що однаковим різницям рангів можуть відповідати цілком відмінні різниці значень ознак (у разі кількісних ознак). Тому для останніх слід вважати кореляцію рангів наближеною мірою тісноти зв'язку, що має меншу інформативність, ніж коефіцієнт кореляції числових значень ознак.
Приклад розв'язання задачі
Умова задачі
Опитування випадково обраних 10 студентів, які проживають у гуртожитку університету, дозволяє виявити залежність між середнім балом за результатами попередньої сесії та кількістю годин на тиждень, витрачених студентом на самостійну підготовку.
Визначте тісноту зв'язку за допомогою коефіцієнта рангової кореляції Спірмена.
Якщо виникли труднощі з вирішенням завдань, сайт сайт надає онлайн допомогу студентам зі статистики з домашніми контрольними або іспитами.
Рішення завдання
Розрахуємо коефіцієнт кореляції рангів.
| № | Ранжування | Порівняння рангів | Різниця рангів | 1 | 26 | 4.7 | 8 | 1 | 3.1 | 1 | 8 | 10 | -2 | 4 | 2 | 22 | 4.4 | 10 | 2 | 3.6 | 2 | 7 | 9 | -2 | 4 | 3 | 8 | 3.8 | 12 | 3 | 3.7 | 3 | 1 | 4 | -3 | 9 | 4 | 12 | 3.7 | 15 | 4 | 3.8 | 4 | 3 | 3 | 0 | 0 | 5 | 15 | 4.2 | 17 | 5 | 3.9 | 5 | 4 | 7 | -3 | 9 | 6 | 30 | 4.3 | 20 | 6 | 4 | 6 | 9 | 8 | 1 | 1 | 7 | 20 | 3.6 | 22 | 7 | 4.2 | 7 | 6 | 2 | 4 | 16 | 8 | 31 | 4 | 26 | 8 | 4.3 | 8 | 10 | 6 | 4 | 16 | 9 | 10 | 3.1 | 30 | 9 | 4.4 | 9 | 2 | 1 | 1 | 1 | 10 | 17 | 3.9 | 31 | 10 | 4.7 | 10 | 5 | 5 | 0 | 0 | Сума | 60 |
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена:
Підставляючи числові значення, отримуємо:
Висновок до завдання
Зв'язок між середнім балом за результатами попередньої сесії та кількістю годин на тиждень, витрачених студентом на самостійну підготовку, помірної тісноти.
Якщо терміни зі здаванням контрольної роботипіджимають, на сайті завжди можна замовити термінове вирішення завдань зі статистики.
Середнявартість рішення контрольної роботи 700 – 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку - від 1000 руб. за рішення квитка.
Всі питання щодо вартості можете задати прямо в чат, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.
Приклади близьких на тему завдань
Коефіцієнт Фехнера
Наведено коротка теоріята розглянуто приклад розв'язання задачі на розрахунок коефіцієнта кореляції знаків Фехнера.
Коефіцієнти взаємної сполученості Чупрова та Пірсона
Сторінка містить відомості щодо методів вивчення взаємозв'язків між якісними ознаками за допомогою коефіцієнтів взаємної сполученості Чупрова та Пірсона.
