Статистичне вивчення варіації. Показники варіації у статистиці

Поняття варіації та її значення

Варіація – це відмінність у значеннях будь-якої ознаки в різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу.

Наприклад, працівники фірми розрізняються за доходами, витратами часу на роботу, зростання, ваги і т.д.

Варіація виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Отже, величина кожного варіанта об'єктивна.

Дослідження варіації у статистиці має велике значення, т.к. допомагає пізнати сутність явища, що вивчається. Вимірювання варіації, з'ясування її причини, виявлення впливу окремих факторів важливу інформацію(наприклад, про тривалість життя людей, доходи та витрати населення, фінансовому становищіпідприємства тощо) для прийняття науково обґрунтованих управлінських рішень.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику ознаки сукупності, що вивчається, але вона не розкриває будови сукупності, яка дуже істотна для її пізнання. Середня не показує, як розташовуються біля неї варіанти ознаки, що зосереджується, зосереджені вони поблизу середньої або значно відхиляються від неї. Тож характеристики коливання ознаки використовують показники варіації.

Показники варіації та їх значення у статистиці

Для вимірювання варіації ознаки в сукупності використовують такі узагальнюючі показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

1. Найпоширенішим абсолютним показником є розмах варіації(), Який визначається як різницю між найбільшим () і найменшим () значеннями варіантів.

. (5.1)

Цей показник простий для розрахунку, що й зумовило його широке поширення. Однак він уловлює тільки крайні відхилення і не відображає відхилень всіх варіантів у ряду.

2. Для узагальнюючої характеристики розподілу відхилень розраховують середнє лінійне відхилення , що визначається як середня арифметична з відхилень індивідуальних значень від середньої, без урахування знака цих відхилень:

Незважене середнє лінійне відхилення:

, (5.2)

Зважене середнє лінійне відхилення:

. (5.3)

У цих формулах різниці в чисельнику взяті за модулем, інакше в чисельнику завжди буде нуль. Тому середнє лінійне відхилення як міру варіації ознаки застосовують у статистичній практиці рідко, лише у випадках, коли підсумовування показників без урахування знаків має економічний сенс. З його допомогою, наприклад, аналізується склад працюючих, ритмічність виробництва, оборот зовнішньої торгівлі.

3. Захід варіації більш об'єктивно відбиває показник дисперсії( - Середній квадрат відхилень), що визначається як середня з відхилень, зведених у квадрат:

Незважена:

, (5.4)

Зважена:

. (5.5)

Дисперсія має значення в економічному аналізі. У математичної статистики важливу рольДля характеристики якості статистичних оцінок грає їхня дисперсія.

4. Корінь квадратний з дисперсії «середнього квадрата відхилень» є середнє квадратичне відхилення:

Середнє відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності. Воно показує, наскільки у середньому відхиляються конкретні варіантивід їхнього середнього значення; є абсолютною мірою коливання ознаки і виявляється у тих самих одиницях, як і варіанти, тому економічно добре інтерпретується.

Чим менше значеннядисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніше (кількісно) сукупність і більше типової буде середня величина.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак(наприклад, порівняння варіацій віку робітників та їх кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати).

Для здійснення такого роду порівнянь використовують такі відносні показники:

Коефіцієнт осциляції- Відбиває відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої:

. (5.7)

Відносне лінійне відхиленняхарактеризує частку усередненого значення абсолютних відхилень від середньої величини:

. (5.8)

Коефіцієнт варіаціїє найбільш поширеним показником коливання, використовуваним для оцінки типовості середньої величини:

. (5.9)

Якщо , то це говорить про велику коливність ознаки в досліджуваній сукупності.

5.3 Дисперсія: властивості та методи розрахунку

Дисперсія має низку властивостей, які дозволяють спростити її розрахунки.

1) Якщо з усіх значень варіант відібрати якесь постійне число, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:

. (5.10)

2) Якщо всі значення варіант поділити на якесь постійне число , то середній квадрат відхилень зменшиться від цього в раз, а середнє відхилення – в раз.

. (5.11)

3) Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини, яка в тій чи іншій мірі відрізняється від середньої арифметичної, то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень, обчисленого від середньої арифметичної:

А саме середній квадрат відхилень при цьому буде більше на квадрат різниці середньої і умовно взятої цієї величиною, тобто. на:

Дисперсія від середньої має властивість мінімальності, тобто. вона завжди менша від дисперсій, обчислених від будь-яких інших величин. У цьому випадку, коли прирівнюється до нуля, формула набуває вигляду:

. (5.14)

Використовуючи другу властивість дисперсії, розділивши всі варіанти на величину інтервалу, отримаємо наступну формулу обчислення дисперсії варіаційних рядахз рівними інтерваламиза способом моментів:

, (5.15)

де - Дисперсія, обчислена за способом моментів;

Показники варіації.При вивченні ознаки, що варіює, у одиниць сукупності не можна обмежуватися лише розрахунком середньої величини з окремих варіантів, оскільки одна і та ж середня може відноситися далеко не до однакових за складом сукупностей.

Варіацією ознаки називається відмінність індивідуальних значень ознаки всередині сукупності, що вивчається.

Термін «варіація» походить від латинського variatio – зміна, коливання, відмінність. Однак не всі відмінності прийнято називати варіацією.

Під варіацією в статистиці розуміють такі кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, які обумовлені впливом дії, що перехрещується. різних факторів. Коливання окремих значень характеризують показники варіації. Чим більша варіація, тим далі в середньому окремі значення лежать один від одного.

Розрізняють варіацію ознаки в абсолютних та відносних величинах.

До абсолютних показників відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє відхилення квадратичне, дисперсія. Усі абсолютні показникимають ту ж розмірність, що і величини, що вивчаються.

До відносних показників відносяться коефіцієнти осциляції, лінійного відхиленнята варіації.

Показники абсолютні.Розрахуємо абсолютні показники, що характеризують варіацію ознаки.

Розмах варіації являє собою різницю між максимальним і мінімальним значенням ознаки.

R = Xmax - Xmin.

Показник розмаху варіації який завжди застосовний, оскільки він враховує лише крайні значення ознаки, які можуть відрізнятися від інших одиниць.

Більш точно можна визначити варіацію в ряду за допомогою показників, що враховують відхилення всіх варіантів середньої арифметичної.

Таких показників у статистиці два: середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення.

Середнє лінійне відхилення (L) являє собою середнє арифметичне абсолютних значень відхилень окремих варіантів від середньої.

Практичне використання середнього лінійного відхилення полягає в наступному, за допомогою цього показника аналізується склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів.

Недолік цього у тому, що він ускладнює розрахунки ймовірного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики.

Середнє квадратичне відхилення () є найбільш поширеним та загальноприйнятим показником варіації. Воно трохи більше середнього лінійного відхилення. Для помірно асиметричних розподілів встановлено таке співвідношення між ними

Для його обчислення кожне відхилення від середньої зводиться в квадрат, усі квадрати підсумовуються (з урахуванням вагою), після чого сума квадратів ділиться на число членів ряду та з приватного витягується квадратний корінь.

Усі ці дії висловлює така формула

тобто. Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь із середньої арифметичної квадратів відхилень від середньої.

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше σ, тим краще середнє арифметичне відбиває собою всю сукупність, що представляється.

Середня арифметична із квадратів відхилень варіантів значень ознаки від середньої величини носить назву дисперсії (), яка розраховується за формулами

Відмінною особливістю даного показникиє те, що при зведенні в квадрат () питома вагамалих відхилень зменшується, а великих збільшується у загальній сумі відхилень.

Дисперсія має ряд властивостей, деякі з них дозволяють спростити її обчислення:

1. Дисперсія постійної величини дорівнює 0.

Якщо, то й.

Тоді .

2. Якщо всі варіанти значень ознаки (x) зменшити на те саме число, то дисперсія не зменшиться.

Нехай, але тоді відповідно до властивостей середньої арифметичної і.

Дисперсія в новому ряду дорівнюватиме

Тобто. дисперсія в ряду дорівнює дисперсії первісного ряду.

3. Якщо всі варіанти значень ознаки зменшити в те саме число разів (k разів), то дисперсія зменшиться в k2 разів.

Нехай тоді і .

Дисперсія ж нового ряду дорівнюватиме

4. Дисперсія, розрахована стосовно середньої арифметичної, є мінімальною. Середній квадрат відхилень, розрахований щодо довільного числа більше дисперсії, розрахованої по відношенню до середньої арифметичної, на квадрат різниці між середньою арифметичною і числом , тобто. . Дисперсія від середньої має властивість мінімальності, тобто. вона завжди менша за дисперсії, обчислені від будь-яких інших величин. У цьому випадку, коли прирівнюємо до 0 і, отже, не обчислюємо відхилення, формула набуває такого вигляду:

Вище було розглянуто розрахунок показників варіації для кількісних ознак, але у економічних розрахунках може поставити завдання оцінки варіації якісних ознак . Наприклад, щодо якості виготовленої продукції, продукцію можна розділити на якісну і браковану.

У такому разі йдеться про альтернативні ознаки.

Альтернативними ознаками називаються такі, якими одні одиниці сукупності мають, а інші ні. Наприклад, наявність виробничого стажу в абітурієнтів, вчений ступіньу викладачів ВНЗ тощо. Наявність ознаки у одиниць сукупності умовно позначаємо через 1, а відсутність – 0. Тоді, якщо частку одиниць, які мають ознаку (загалом одиниць сукупності), позначити через р, а частку одиниць, які не мають ознаки, через q, дисперсію альтернативної ознаки можна розрахувати по загальному правилу. При цьому p + q = 1 і, отже, q = 1 - p.

Спочатку розраховуємо середнє значення альтернативної ознаки:

Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки

,

тобто. середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці одиниць, що мають дану ознаку.

Дисперсія ж альтернативної ознаки дорівнюватиме:

Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють цією ознакою, на частку одиниць, що не володіють цією ознакою.

А середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме =.

Показники відносні.Для цілей порівняння коливання різних ознак в одній і тій же сукупності або при порівнянні коливання однієї й тієї ж ознаки в декількох сукупностях становлять інтерес показники варіації, виражені у відносних величинах. Базою порівняння служить середня арифметична. Ці показники обчислюються як відношення розмаху варіації, середнього лінійного відхилення або середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної медіани.

Найчастіше вони виражаються у відсотках і визначають як порівняльну оцінку варіації, а й дають характеристику однорідності сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33%. Розрізняють такі відносні показники варіації:

1. Коефіцієнт осциляції відбиває відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої.

3. Коефіцієнт варіації оцінює типовість середніх величин.

.

Чим менше, тим однорідніша сукупність за ознакою, що вивчається, і типовіша середня. Якщо ≤33%, то розподіл близький до нормального, а сукупність вважається однорідною. З наведеного прикладу друга сукупність однорідна.

Види дисперсій та правило складання дисперсій.Поряд із вивченням варіації ознаки по всій сукупності в цілому часто буває необхідно простежити кількісні зміни ознаки по групах, на які поділяється сукупність, а також між групами. Таке вивчення варіації досягається за допомогою обчислення та аналізу різних видівдисперсії.

При цьому можна визначити три показники коливання ознаки в сукупності:

1. Загальну варіацію сукупності, що є результатом дії всіх причин. Ця варіація може бути виміряна загальною дисперсією (), що характеризує відхилення індивідуальних значень ознаки сукупності від загальної середньої

.

2. Варіацію групових середніх, що виражають відхилення групових середніх від загальної середньої та відображають вплив того фактора, за яким проведено угруповання. Ця варіація може бути виміряна так званою міжгруповою дисперсією(δ2)

,

де - групові середні, а -загальна середня для всієї сукупності, і - чисельність окремих груп.

3. Залишкову (або внутрішньогрупову) варіацію, яка виражається у відхиленні окремих значень ознаки в кожній групі від їх групової середньої і, отже, відображає вплив усіх інших факторів, крім покладеного в основу угруповання. Оскільки варіацію у кожній групі відображає групова дисперсія

,

то для всієї сукупності залишкову варіацію відображатиме середня з групових дисперсій. Цю дисперсію називають середньою із внутрішньогрупових дисперсій () і розраховується вона за формулою

Ця рівність, що має строго математичний доказ, відома, як правило, складання дисперсій.

Правило складання дисперсій дозволяє знаходити загальну дисперсію за її компонентами, коли індивідуальні значення ознаки невідомі, а розпорядженні є лише групові показники.

Коефіцієнт детермінації.Правило додавання дисперсії дозволяє виявити залежність результатів від певних факторів за допомогою коефіцієнта детермінації.

Воно характеризує вплив ознаки, покладеної в основу угруповання, на варіацію результативної ознаки. Кореляційне відношення змінюється в межах від 0 до 1. Якщо , то групувальна ознака не впливає на результативну. Якщо , то результативна ознака змінюється тільки залежно від ознаки, покладеної в основу угруповання, а вплив інших факторних ознак дорівнює нулю.

Показники асиметрії та ексцесу.У сфері економічних явищ суворо симетричні ряди зустрічаються дуже рідко, частіше доводиться мати справу з асиметричними рядами.

У статистиці характеристики асиметрії користуються кількома показниками. Якщо врахувати, що в симетричному ряду середня арифметична збігається за значенням з модою та медіаною, то найбільше простим показникомасиметрії () буде різниця між середньою арифметичною та модою, тобто.

Величину ексцесу розраховують за формулою

Якщо >0, то ексцес вважають позитивним (розподіл гостроверхово), якщо<0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).

Варіація визначаєвідмінності в значеннях будь-якої ознаки в різних одиниць даної сукупності в той самий період (момент часу). Причиною варіації бувають різні умови існування різних одиниць сукупності. Наприклад, навіть близнюки у процесі життя набувають відмінностей у зростанні, вазі, а також у таких ознаках, як рівень освіти, дохід, кількість дітей тощо.

Варіація виникає внаслідок того, що самі значення ознаки складаються під сумарним впливом різноманітних умов, що по-різному поєднуються в кожному окремому випадку. Таким чином, величина будь-якого варіанта є об'єктивною.

Варіація характернавсім без винятку явищам природи та суспільства, крім законодавчо закріплених нормативних значень окремих соціальних ознак. Дослідження варіації у статистиці мають велике значення, допомагають пізнати сутність явища, що вивчається. Знаходження варіації, з'ясування її причин, виявлення впливу окремих чинників дають важливу інформацію запровадження науково обгрунтованих управлінських рішень.

Середня величина дає узагальнену характеристику ознаки сукупності, але вона розкриває її будови. Середнє значення не показує, як розташовуються навколо неї варіанти середньої ознаки, чи вони розподілені поблизу середньої або відхиляються від неї. Середня у двох сукупностях може бути однаковою, але в одному варіанті всі індивідуальні значення відрізняються від неї незначно, а в іншому – ці відмінності є великими, тобто. у першому випадку варіація ознаки мала, тоді як у другому - велика, це має дуже важливе значення для характеристики значимості середньої величини.

Для того, щоб керівник організації, керівник, науковець могли вивчати варіацію та керувати нею, статистикою розроблено спеціальні методи дослідження варіації (система показників). З їхньою допомогою варіація знаходиться, характеризуються її властивості. До показників варіації відносяться : розмах варіації, середнє лінійне відхилення, коефіцієнт варіації

Варіаційний ряд та його форми

Варіаційний ряд- це впорядкований розподіл одиниць сукупності частіше за зростаючим (рідше спадаючим) значенням ознаки та підрахунок числа одиниць з тим чи іншим значенням ознаки. Коли чисельність одиниць сукупності велика, ранжований ряд стає громіздким, його побудова триває тривалий час. У такій ситуації варіаційний ряд будується за допомогою групування одиниць сукупності за значеннями ознаки, що вивчається.

Існують такі форми варіаційного ряду :

1. Ранжований рядє, перелік окремих одиниць сукупності у порядку зростання (зменшення) досліджуваного ознаки.
2. Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, що складається з двох рядків або граф: конкретних значень варіює ознаки х та числа одиниць сукупності з даним значення f - ознаки частот. Він будується тоді, коли ознака набуває найбільшої кількості значень.
3. Інтервальний ряд.

Розмах варіації визначаєтьсяяк абсолютна величина різниці між максимальними та мінімальними значеннями (варіантами) ознаки:

Розмах варіації показує лише крайні відхилення ознаки і відбиває окремих відхилень всіх варіантів у ряду. Він характеризує межі зміни варіюючої ознаки і залежить від коливань двох крайніх варіантів і абсолютно не пов'язаний з частотами в варіаційному ряду, тобто з характером розподілу, що надає цій величині випадковий характер. Для аналізу варіації необхідний показник, який відбиває всі коливання варіаційного ознаки та дає загальну характеристику. Найпростіший показник такого виду – середнє лінійне відхилення.

Варіація –це відмінність у значеннях будь-якої ознаки в різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. До показників варіації відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Абсолютні показники:
розмах варіації R,являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки: .

Розмах варіації показує лише крайні відхилення ознаки і відбиває відхилень всіх варіантів у ряду. Під час вивчення варіації не можна обмежуватися лише визначенням її розмаху. Для аналізу варіації необхідний показник, який відображає всі коливання ознаки, що варіює, і дає узагальнену характеристику. Найпростішим показником такого типу є середнє лінійне відхилення.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середню арифметичну абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної (при цьому завжди припускають, що середню віднімають із варіанта: ()).

Середнє лінійне відхилення для несгрупованих даних:

,

де n- Число членів ряду; для згрупованих даних:

,

де - Сума частот варіаційного ряду.

Дисперсіяознака являє собою середній квадрат відхилень варіантів від їх середньої величини, вона обчислюється за формулами простої та виваженої дисперсій (залежно від вихідних даних).

Проста дисперсія для несгрупованих даних:

;

зважена дисперсія для варіаційного ряду:

.

Дисперсія має певні властивості, дві з яких:

1) якщо всі значення ознаки зменшити або збільшити на ту саму постійну величину А, то дисперсія від цього не зміниться;

2) якщо всі значення ознаки зменшити або збільшити в те саме число разів (і разів).

То дисперсія відповідно зменшиться чи збільшиться у раз. Використовуючи другу властивість дисперсії, розділивши всі варіанти на величину інтервалу, можна отримати формулу обчислення дисперсії у варіаційних рядах з рівними інтервалами за способом моментів:

,

де -дисперсія, обчислена за способом моментів;

i – величина інтервалу;

- Нові (перетворені) значення варіантів (А - умовний нуль, в якості якого зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою);

- Момент другого порядку;

- Квадрат моменту першого порядку.

Середнє квадратичне відхиленнядорівнює кореню квадратному з дисперсії: для несгрупованих даних:

,

для варіаційного ряду:

.

Середнє квадратичне відхилення – це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки разом; воно показує, наскільки в середньому відхиляються конкретні варіанти від їхнього середнього значення; є абсолютною мірою коливання ознаки і виявляється у тих самих одиницях, як і варіанти, тому економічно добре інтерпретується.

Відносні показники:
Коефіцієнт варіаціїє виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

.

Також коефіцієнт варіації використовують як характеристика однорідності сукупності. Якщо , то коливання незначна, якщо , то коливання помірна-середня, якщо , то коливання значна, якщо , то сукупність однорідна.

Коефіцієнт осциляції:

.

Відносне лінійне відхилення:

.

Варіація ознак обумовлена ​​різними факторами, деякі з цих факторів можна виділити, якщо статистичну сукупність розбити на групи за якоюсь ознакою. Тоді, поряд з вивченням варіації ознаки по всій сукупності в цілому, стає можливим вивчити варіацію для кожної з її складових групи, а також і між цими групами. У найпростішому випадку, коли сукупність розчленована на групи за одним фактором, вивчення варіації досягається за допомогою обчислення та аналізу трьох видів дисперсій: загальної, міжгрупової та внутрішньогрупової.

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значення ознаки х від загальної середньої величини і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Міжгрупова дисперсіяхарактеризує систематичну варіацію результативної ознаки, обумовлену впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових (приватних) середніх від загальної середньої:

,

де f – чисельність одиниць групи.

Внутрішньогрупова (приватна) дисперсіявідбиває випадкову варіацію, тобто. частина варіації, обумовлену впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи х від середньої арифметичної цієї групи x i (групової середньої) і може бути обчислена як проста дисперсія

або як зважена дисперсія.

З внутрішньогрупової дисперсії з кожної групі, тобто. на підставі можна визначити загальну середню із внутрішньогрупових дисперсій: .

Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

.

Користуючись правилом складання дисперсій, можна завжди за двома відомими дисперсіями визначити третю – невідому. Чим більша частка міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії, тим сильніший вплив групувальної ознаки на ознаку, що вивчається.

Тому у статистичному аналізі широко використовується емпіричний коефіцієнт детермінації- Показник, що представляє собою частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії результативної ознаки і характеризує силу впливу групувальної ознаки на утворення загальної варіації:

.

Емпіричний коефіцієнт детермінації показує частку варіації результативної ознаки упід впливом факторної ознаки х(Інша частина загальної варіації обумовлюється варіацією інших факторів). За відсутності зв'язку емпіричний коефіцієнт детермінації дорівнює нулю, а за функціонального зв'язку – одиниці.

Емпіричне кореляційне ставлення- Це корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації: .

Він показує тісноту зв'язку між групувальною та результативною ознаками. Емпіричне кореляційне відношення може набувати значень від 0 до 1. Якщо зв'язок відсутній, то кореляційне відношення дорівнює нулю, тобто. всі групові середні дорівнюють між собою, міжгрупової варіації нічого очікувати. Отже, групувальна ознака ніяк не впливає на утворення загальної варіації. Якщо зв'язок функціональна, то кореляційне відношення дорівнюватиме одиниці. І тут дисперсія групових середніх дорівнює загальної дисперсії , тобто. внутрішньогрупової варіації не буде. Це означає, що групувальна ознака цілком визначає варіацію результативної ознаки, що досліджується. Чим значення кореляційного відношення ближче до одиниці, тим тісніше, ближче до функціональної залежності зв'язок між ознаками.

Завдання 2. Відносні показники

Варіант 10. Є такі дані про чисельність населення за 1999 р. та території по двох країнах:

Країна	Чисельність населення (млн. чол.)	Територія (тис. км 2)
Молдова		64.6
Україна	49.7	603.7

Визначити:

Щільність населення з обох країн.


Відносний показник порівняння чисельності населення.


Рішення


Щільність населення розраховується як відносний показник інтенсивності (ОПІ), що характеризує ступінь поширення або рівень розвитку того чи іншого явища у певному середовищі. Він розраховується як відношення показника, що характеризує явище, до показника, що характеризує середовище поширення явища.


ОПІ Молдова = чол/км 2 . Тобто. густота населення Молдови 31,15 особи на 1 км 2 .


ОПИ Азербайджан = чол/км 2 . Тобто. густота населення України 82,33 особи на 1 км 2 .


ОПСр = . Тобто. територія України у 20,708 разу (або на 1970%) більша за територію Молдови.


Завдання 3. Середні показники


Варіант 10. Є такі дані про розподіл чисельності безробітних жінок, зареєстрованих службами зайнятості, за віковими групами на кінець 1999 р. (тис.чол.):


Вік	менше 20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50 і старше
Чисельність безробітних	12,7	11,3

Знайти середнє значення віку зареєстрованого безробітного.


Рішення


Для того щоб розрахувати середню арифметичну інтервального ряду, треба спочатку перейти до умовного дискретного ряду із середніх значень інтервалів. Якщо є інтервали без вказівки нижньої межі або верхньої межі (50 і старше), відповідне значення встановлюють таким чином, щоб вийшов ряд з рівновеликими інтервалами. У цьому випадку умовний дискретний ряд має вигляд:


Вік	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5
Чисельність населення	12,7	11,3


,


де x i – i-то значення ознаки,


n i- Частота x i, k- Число різних значень ознаки в сукупності.


. Тобто. середнє значення віку 35 років.


Завдання 4. Ряди динаміки


Варіант 10. Є такі дані про динаміку середньорічної чисельності населення України (млн. чол.):


Роки	1995	1996	1997	1998	1999
Чисельність населення	51,3	50,9	50,4	50,0	49,7

Визначити:


Абсолютні прирости (ланцюгові та базисні).


Середній абсолютний приріст.


Темпи зростання (ланцюгові та базисні).


Темпи приросту (ланцюгові та базисні).


Абсолютне значення 1% приросту.


1. Середньорічний темпи зростання.
   

   Рішення
   

   Абсолютний приріст характеризує розмір збільшення або зменшення явища, що вивчається, за певний період часу. Він визначається як різницю між даним рівнем та попереднім (ланцюговим) або первісним (базисним).
   

   Для динамічного ряду , що складається з n+1рівнів, абсолютний приріст визначається таким чином:
   

   ланцюгової , де – поточний рівень низки, –рівень, попередній .	базисний , де – поточний рівень низки, – початковий рівень низки.
   (Млн.чол.)	(Млн.чол.)
   (Млн.чол.)	(Млн.чол.)
   (Млн.чол.)	(Млн.чол.)
   (Млн.чол.)	(Млн.чол.)

   Середній абсолютний приріст розраховується за формулою
   

   ,
   

   де – кінцевий рівень низки.
   

   Т. е. Середньорічна чисельність населення України за цей період часу знижувалася в середньому на 0,4 млн. осіб на рік.
   

   Темпом зростання називається відношення даного рівня явища до попереднього (ланцюгового) або початкового (базисного) рівня, виражене у відсотках. Темпи зростання обчислюються за формулами:
   

   ланцюговий.	базисний.

   Темпом приросту називається відношення абсолютного приросту до попереднього (ланцюгового) або початкового (базисного) рівня, виражене у відсотках. Темпи приросту обчислюються за формулами:
   

   ланцюговий .

2. Варіація альтернативної ознаки

3. Види дисперсій. Правило складання дисперсій

4. Правило складання дисперсій для альтернативної ознаки

Зареєстровані у процесі статистичного спостереження відмінності величини ознаки окремих одиниць сукупності називаються варіацією ознаки. За ступенем варіації ознаки можна будувати висновки про процесах розвитку досліджуваних явищ, про типовості середніх величин. Справа в тому, що середня величина дає узагальнюючу характеристику ознаки сукупності, що вивчається, але вона не розкриваючи будови сукупності.

Вона не показує, як щодо неї розташовуються варіанти ознаки, що осредняется — зосереджені вони поблизу середньої або значно відхиляються від неї. Середня величина ознаки у двох сукупностях може бути однаковою, але водному випадку всі індивідуальні значення можуть мало відрізнятися від неї, а в іншому – ці відмінності можуть бути великі, тобто в одному випадку варіація ознаки мала, а в іншому – велика, що має значення для характеристики надійності середньої величини.

Для визначення міри варіації ознаки в статистиці використовуються абсолютні та відносні показники варіації.

До абсолютним показникам варіаціївідносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадрата чеське відхилення.

Розмах варіації (R)є найпростішим з абсолютних показників варіації і є різницею між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:

де X max -максимальне значення ознаки у сукупності;

X min -мінімальне значення ознаки у сукупності.

Величина розмаху варіації залежить тільки від крайніх значень враховує всіх змін варіюючої ознаки в межах сукупності, що вивчається. Тому щодо варіації не можна обмежуватися розрахунком лише цього показника. Для аналізу варіації необхідні показники, що дають узагальнену характер всіх коливань ознаки, що варіює.

Середнє лінійне відхилення є найпростішим показником такого типу і є середньою величиною абсолютних відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої арифметичної величини.

Середнє лінійне відхилення для несгрупованих даних визначається за формулою (5.2):

Середнє лінійне відхилення для згрупованих даних розраховується так (5.3):

Слід зазначити, що середнє лінійне відхилення який завжди вловлює ступінь варіації значень ознаки. Тому в статистиці застосовується більш чутливий узагальнюючий показник - дисперсія. Дисперсія являє собою середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Зведення квадрат дозволяє різко посилити відмінності у величинах відхилень.

Дисперсія для несгрупованих даних обчислюється за формулою (5.4):

Дисперсія для згрупованих даних розраховується так (5.5):

Для розрахунку дисперсії застосовується також така формула (5.6):

Середнє квадратичне відхилення є корінь квадратний з дисперсії (5.7) або (5.8):

Середнє квадратичне відхилення як і середнє лінійне відхилення показує, наскільки у середньому відрізняються індивідуальні значення ознаки від своїх середнього значення. Однак величині середньоквадратичне відхилення у всіх випадках перевищує середнє лінійне, так як більш чуйно реагує на варіацію. Для симетричних та помірно асиметричних розподілів має місце наступне співвідношення (5.9):

Розмах варіації, середнє лінійне відхилення та середньоеквад-ратическое відхилення виражаються в іменованих числах, тобто мають одиницю виміру (таку ж, як і значення ознаки). Тому їх не можна безпосередньо використовувати для порівняння ступеня ва-ріації за одним і тим же ознакою в двох групах з різним рівнем середніх, а також для порівняння варіації двох різних ознак в одній групі. У цих випадках застосовуються такі відносні показники варіації.

Коефіцієнт осциляції(5.10)

Відносне лінійне відхилення(лінійний коефіцієнт варіації) (5.11):

Коефіцієнт варіація(5.12):

Коефіцієнт варіації дозволяє не тільки отримати узагальнюючу характеристику варіації ознаки в сукупності, але і дає можливість зробити висновки про однорідність сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%. надійними характеристиками

Варіація альтернативної ознаки

У статистиці, крім показників варіації кількісних ознак, широко використовуються показники варіації якісних ознак (зокрема, при проектуванні вибіркового спостереження). Варіація альтернативної ознаки кількісно проявляється у значенні 0 (нуля) у одиниць, які цією ознакою не мають, або 1 (одиниці) у тих, які цю ознаку мають. Нехай р - частка одиниць у сукупності, що володіють даною ознакою, q— частка одиниць, які не мають даної ознаки, причому p + q = 1 .

Середнє значення альтернативної ознакивизначимо за формулою середньої арифметичної (5.13):

Дисперсія альтернативної ознакивизначається за формулою (5.14):

Таким чином, середня величина альтернативної ознаки дорівнює його частці в даній сукупності, а дисперсія - добутку частки його наявності та частки його відсутності. Максимальне значення дисперсії альтернативної ознаки, що означає максимальну неоднорідність сукупності, дорівнює 0,25 при p = q = 0,5.