Коефіцієнт варіації простими словами. Приклад розрахунку показників варіації
Показники варіації.При вивченні ознаки, що варіює, у одиниць сукупності не можна обмежуватися лише розрахунком середньої величиниз окремих варіантів, оскільки одна й та сама середня може відноситися далеко не до однакових за складом сукупностей.
Варіацією ознаки називається відмінність індивідуальних значень ознаки всередині сукупності, що вивчається.
Термін «варіація» походить від латинського variatio – зміна, коливання, відмінність. Проте чи різні відмінності прийнято називати варіацією.
Під варіацією в статистиці розуміють такі кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, які обумовлені впливом дії, що перехрещується. різних факторів. Коливання окремих значень характеризують показники варіації. Чим більша варіація, тим далі в середньому окремі значення лежать один від одного.
Розрізняють варіацію ознаки в абсолютних та відносних величинах.
До абсолютних показників відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє відхилення квадратичне, дисперсія. Усе абсолютні показникимають ту ж розмірність, що і величини, що вивчаються.
До відносних показників відносяться коефіцієнти осциляції, лінійного відхиленнята варіації.
Показники абсолютні.Розрахуємо абсолютні показники, що характеризують варіацію ознаки.
Розмах варіації, є різницею між максимальним і мінімальним значенням ознаки.
|
R = Xmax - Xmin. |
Показник розмаху варіації який завжди застосовний, оскільки він враховує лише крайні значення ознаки, які можуть відрізнятися від інших одиниць.
Більш точно можна визначити варіацію в ряду за допомогою показників, що враховують відхилення всіх варіантів середньої арифметичної.
Таких показників у статистиці два: середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення.
Середнє лінійне відхилення (L) являє собою середнє арифметичне абсолютних значень відхилень окремих варіантів від середньої.
Практичне використання середнього лінійного відхилення полягає в наступному, за допомогою цього показника аналізується склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів.
Недолік цього у тому, що він ускладнює розрахунки ймовірного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики.
Середнє квадратичне відхилення () є найбільш поширеним та загальноприйнятим показником варіації. Воно трохи більше середнього лінійного відхилення. Для помірно асиметричних розподілів встановлено таке співвідношення між ними
Для його обчислення кожне відхилення від середньої зводиться в квадрат, всі квадрати підсумовуються (з урахуванням вагою), після чого сума квадратів ділиться на число членів ряду та з приватного витягується квадратний корінь.
Усі ці дії висловлює така формула
тобто. Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь з середньої арифметичної квадратів відхилень від середньої.
Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше σ, тим краще середнє арифметичне відбиває собою всю сукупність, що представляється.
Середня арифметична із квадратів відхилень варіантів значень ознаки від середньої величини носить назву дисперсії (), яка розраховується за формулами
Відмінною рисою даного показникиє те, що при зведенні в квадрат () питома вагамалих відхилень зменшується, а великих збільшується у загальній сумі відхилень.
Дисперсія має ряд властивостей, деякі з них дозволяють спростити її обчислення:
1. Дисперсія постійної величини дорівнює 0.
Якщо, то й.
Тоді 
.
2. Якщо всі варіанти значень ознаки (x) зменшити на те саме число, то дисперсія не зменшиться.
Нехай, але тоді відповідно до властивостей середньої арифметичної і.
Дисперсія в новому ряду дорівнюватиме
Тобто. дисперсія в ряду дорівнює дисперсії первісного ряду.
3. Якщо всі варіанти значень ознаки зменшити в те саме число разів (k разів), то дисперсія зменшиться в k2 разів.
Нехай тоді і .
Дисперсія ж нового ряду дорівнюватиме
4. Дисперсія, розрахована стосовно середньої арифметичної, є мінімальною. Середній квадрат відхилень, розрахований щодо довільного числа більше дисперсії, розрахованої по відношенню до середньої арифметичної, на квадрат різниці між середньою арифметичною і числом , тобто. 
. Дисперсія від середньої має властивість мінімальності, тобто. вона завжди менша від дисперсій, обчислених від будь-яких інших величин. У цьому випадку, коли прирівнюємо до 0 і, отже, не обчислюємо відхилення, формула набуває такого вигляду:
Вище було розглянуто розрахунок показників варіації для кількісних ознак, але у економічних розрахунках може поставити завдання оцінки варіації якісних ознак . Наприклад, щодо якості виготовленої продукції, продукцію можна розділити на якісну і браковану.
У такому разі йдеться про альтернативні ознаки.
Альтернативними ознаками називаються такі, якими одні одиниці сукупності мають, а інші ні. Наприклад, наявність виробничого стажу в абітурієнтів, наукова ступіньу викладачів ВНЗ тощо. Наявність ознаки у одиниць сукупності умовно позначаємо через 1, а відсутність – 0. Тоді, якщо частку одиниць, які мають ознаку (загалом одиниць сукупності), позначити через р, а частку одиниць, які не мають ознаки, через q, дисперсію альтернативної ознаки можна розрахувати за загальному правилу. При цьому p + q = 1 і, отже, q = 1 - p.
Спочатку розраховуємо середнє значення альтернативної ознаки:
Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки
,
тобто. середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці одиниць, що мають дану ознаку.
Дисперсія ж альтернативної ознаки дорівнюватиме:
Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють цією ознакою, на частку одиниць, що не володіють цією ознакою.
А середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме =.
Показники відносні.Для цілей порівняння коливання різних ознакв одній і тій же сукупності або при порівнянні коливання однієї й тієї ж ознаки в декількох сукупностях становлять інтерес показники варіації, виражені у відносних величинах. Базою порівняння служить середня арифметична. Ці показники обчислюються як відношення розмаху варіації, середнього лінійного відхилення або середнього квадратичного відхиленнядо середньої арифметичної або медіани.
Найчастіше вони виражаються у відсотках і визначають як порівняльну оцінку варіації, а й дають характеристику однорідності сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33%. Розрізняють такі відносні показникиваріації:
1. Коефіцієнт осциляції відбиває відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої.
3. Коефіцієнт варіації оцінює типовість середніх величин.
|
|
.Чим менше, тим однорідніша сукупність за ознакою, що вивчається, і типовіша середня. Якщо ≤33%, то розподіл близький до нормального, а сукупність вважається однорідною. З наведеного прикладу друга сукупність однорідна.
Види дисперсій та правило складання дисперсій.Поряд із вивченням варіації ознаки по всій сукупності в цілому часто буває необхідно простежити кількісні зміни ознаки по групах, на які поділяється сукупність, а також між групами. Таке вивчення варіації досягається за допомогою обчислення та аналізу різних видівдисперсії.
При цьому можна визначити три показники коливання ознаки в сукупності:
1. Загальну варіацію сукупності, що є результатом дії всіх причин. Ця варіація може бути виміряна загальною дисперсією (), що характеризує відхилення індивідуальних значень ознаки сукупності від загальної середньої
|
|
.2. Варіацію групових середніх, що виражають відхилення групових середніх від загальної середньої та відображають вплив того фактора, за яким проведено угруповання. Ця варіація може бути виміряна так званою міжгруповою дисперсією (δ2)
|
|
,де - групові середні, а -загальна середня для всієї сукупності, і - чисельність окремих груп.
3. Залишкову (або внутрішньогрупову) варіацію, яка виражається у відхиленні окремих значень ознаки в кожній групі від їх групової середньої і, отже, відображає вплив усіх інших факторів, крім покладеного в основу угруповання. Оскільки варіацію у кожній групі відображає групова дисперсія
|
|
,то для всієї сукупності залишкову варіацію буде відображати середня групових дисперсій. Цю дисперсію називають середньою із внутрішньогрупових дисперсій () і розраховується вона за формулою
Ця рівність, що має строго математичний доказ, відома, як правило, складання дисперсій.
Правило складання дисперсій дозволяє знаходити загальну дисперсію за її компонентами, коли індивідуальні значення ознаки невідомі, а розпорядженні є лише групові показники.
Коефіцієнт детермінації.Правило додавання дисперсії дозволяє виявити залежність результатів від певних факторів за допомогою коефіцієнта детермінації.
Воно характеризує вплив ознаки, покладеної в основу угруповання, на варіацію результативної ознаки. Кореляційне відношення змінюється в межах від 0 до 1. Якщо , то групувальна ознака не впливає на результативну. Якщо , то результативна ознака змінюється тільки залежно від ознаки, покладеної в основу угруповання, а вплив інших факторних ознак дорівнює нулю.
Показники асиметрії та ексцесу.У сфері економічних явищ суворо симетричні ряди зустрічаються дуже рідко, частіше доводиться мати справу з асиметричними рядами.
У статистиці характеристики асиметрії користуються кількома показниками. Якщо врахувати, що в симетричному ряду середня арифметична збігається за значенням з модою та медіаною, то найпростішим показником асиметрії () буде різницю між середньою арифметичною та модою, тобто.
Величину ексцесу розраховують за формулою
Якщо >0, то ексцес вважають позитивним (розподіл гостроверхово), якщо<0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).
Будь-яка статистична сукупність складається з одиниць, значення яких варіюють. Для того, щоб судити про однорідність сукупності і типовість середньої величини ознаки, що досліджується, аналіз слід доповнювати обчисленням показників варіації.
Варіація - це коливання, різноманіття, змінність величини ознаки в окремих одиниць сукупності.
До абсолютних показників варіації відносять: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Розмах варіації - характеристика меж варіації ознаки, що вивчається. Показує, наскільки велика різниця між одиницями сукупності, що мають найменше і найбільше значення ознаки, заснований на крайніх значеннях ознаки, що варіює, і не відображає відхилень всіх варіант у ряду. Визначається за такою формулою:
R = Xmax-Xmin, (5.4)
де Xmax – максимальне значення варіаційного ряду;
Xmin – мінімальне.
Середнє лінійне відхилення показує, яку величину відхиляється ознака в досліджуваної сукупності від середньої величини ознаки. Знаходиться за формулою:
де - індивідуальні значення ознаки, що варіює (варіанти); - Частоти, ваги; - Середнє значення варіює ознаки;
Дисперсія - середній квадрат відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої величини. Обчислюється за такими формулами.
Перший спосіб визначення дисперсії:
Другий спосіб визначення дисперсії (за середньою арифметичною):
де - Середня з квадратів індивідуальних значень; - Квадрат середньої величини ознаки.
Середнє відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності. Показує, яку величину в середньому значення ознаки відрізняється від стандартного значення, визначається за формулою:
Чим менше значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніша (кількісно) сукупність і тим більш типовою буде середня величина.
Розрахуємо показники варіації для угруповання транспортних організацій за вантажообігом автомобільного транспорту (таблиця 5.1).
Знайдемо розмах варіації (за формулою 5.4):
Розкид значень вантажообігу транспорту громадського користування досить високий.
Обчислимо середнє лінійне відхилення (за формулою 5.5):
Значення вантажообігу автомобільного транспорту відрізнялися від середнього значення 508,8 млн. т. км.
Розрахуємо дисперсію двома способами (за формулами 5.6 – 5.7). Перший спосіб:
Обчислимо середнє квадратичне відхилення (за формулою 5.8):
Це означає, що вантажообіг транспорту громадського користування середньому відрізняється від стандартного значення на 23,68 млн. т. км.
Знайдемо показники варіації для угруповання площ житлових приміщень (таблиця 5.3), використовуючи формули 5.4 – 5.8
Обчислимо розмах варіації:
Розмах варіації в 3,1 м2 вказує нам, що розкид значень площ житлових приміщень не дуже високий.
Розрахуємо середнє лінійне відхилення:
Таким чином, значення площ житлових приміщень у сукупності, що вивчається, відхиляються від середньої величини на 1,19 м2.
Розрахуємо дисперсію двома способами.
Перший спосіб:
Другий спосіб (за середньою арифметичною):
Обчислимо середнє квадратичне відхилення:
Воно показує, що значення площ житлових приміщень у середньому відрізняється від стандартного значення на 1,3 м2.
Коефіцієнти варіації
Варіація вимірюється за допомогою відносних величин, званих коефіцієнтами варіації та визначених у вигляді відношення середнього відхилення до середньої величини. Коефіцієнт варіації використовують як порівняльної оцінки варіації одиниць сукупності, а й як характеристику однорідності сукупності. Значення коефіцієнта варіації змінюються від 0 до 100% і чим ближче він до нуля, тим типові знайдена середня величина для статистичної сукупності, що вивчається, а значить і якісніше підібрані статистичні дані. Сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33% (для розподілів, близьких до нормального). Розрізняють такі відносні показники варіації:
Коефіцієнт варіації:
де – середнє квадратичне відхилення, – середня арифметична.
Лінійний коефіцієнт варіації:
де – середнє лінійне відхилення.
Коефіцієнт осциляції:
де – розмах варіації.
Обчислимо коефіцієнти варіації для групи організацій вантажообігу автомобільного транспорту (таблиця 5.1) за формулами 5.9, 5.10, 5.11
Коефіцієнт варіації дорівнюватиме: , Що перевищує 33%, отже, сукупність неоднорідна.
Обчислимо лінійний коефіцієнт варіації: . Отже, частка усередненого значення абсолютних відхилень організацій середньої величини дорівнює 30,7%
Знайдемо коефіцієнт осциляції: . З цього випливає, що різниця між максимальним і мінімальним значеннями організацій перевищує середнє майже в 1,078 разів.
Визначимо коефіцієнти варіації для угруповання площ житлових приміщень (загалом однієї жителя) (таблиця 5.3).
Обчислимо коефіцієнт варіації за формулою (5.9):
Це означає, що коефіцієнт варіації не перевищує 33%, отже, сукупність однорідна.
Розрахуємо лінійний коефіцієнт варіації за формулою (5.10):
Це означає, що частка усередненого значення абсолютних відхилень площ житлових приміщень середньої величини дорівнює 5,56%.
Знайдемо коефіцієнт осциляції за формулою (5.11):
Різниця між максимальним та мінімальним значеннями площ житлових приміщень не перевищує середнього значення.
ВСТУП
Методичні вказівки щодо виконання практичних та лабораторних робіт зі статистики містять вимоги щодо їх виконання, порядок розрахунків вручну та з використанням MS Excel, ППП Statistica.
Частина II методичних вказівок характеризує розрахунок показників варіації: розмаху варіації, квартилів та квартильного відхилення, середнього лінійного відхилення, дисперсії та середнього квадратичного відхилення, коефіцієнтів осциляції, варіації, асиметрії, ексцесу та інших.
Розрахунок показників варіації поряд із побудовою інтервальних та дискретних варіаційних рядів та розрахунком середніх величин, представленими в частині I методичних вказівок, має велике значення для аналізу рядів розподілу.
РОЗРАХУНОК ПОКАЗНИКІВ ВАРІАЦІЇ
Мета роботи: отримання практичних навичок для різних показників (заходи) варіації залежно від поставлених дослідженням завдань.
Порядок виконання роботи:
Визначити вид та форму (проста чи зважена) показників варіації.
Сформулювати висновки.
Приклад розрахунку показників варіації
Визначення виду та форми показників варіації.
Показники варіації поділяються на дві групи: абсолютні та відносні. До абсолютних відносяться: розмах варіації, квартильне відхилення, середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення. Відносними показниками є коефіцієнти осциляції, варіації, відносне лінійне відхилення тощо.
Розмах варіації (R) є найпростішим вимірювачем варіації ознаки і визначається за такою формулою:
де - найбільше значення ознаки, що варіює;
Найменше значення ознаки, що варіює.
Квартильне відхилення (Q) – застосовується для характеристики варіації ознаки в сукупності. Може використовуватися замість розмаху варіації, щоб уникнути недоліків, пов'язаних з використанням крайніх значень.
Квартілі - це значення ознаки в ранжированому ряду розподілу, обрані таким чином, що 25% одиниць сукупності будуть меншими за величиною; 25% одиниць будуть укладені між та; 25% одиниць будуть укладені між і, та інші 25% перевищують.
де - нижня межа інтервалу, де знаходиться перша квартиль;
Сума накопичених частот інтервалів, що передують інтервалу, де знаходиться перша квартиль;
Частота інтервалу, де знаходиться перша квартиль.
де Ме – медіана ряду;
умовні позначення самі, що й у величини.
У симетричних чи помірно асиметричних розподілах Q2/3. Оскільки на квартильне відхилення не впливають відхилення всіх значень ознаки, його використання слід обмежити випадками, коли визначення середнього квадратичного відхилення важко чи неможливо.
Середнє лінійне відхилення () являє собою середню величину абсолютних відхилень варіантів ознаки від їх середньої. Його можна розрахувати за формулою середньої арифметичної, як незваженої, так і зваженої, залежно від відсутності чи наявності частот у ряді розподілу.
(6) - незважене середнє лінійне відхилення,
(7) - виважене середнє лінійне відхилення.
Дисперсія () – середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їхньої середньої величини. Дисперсія обчислюється за формулами простою незваженою та зваженою.
(8) - незважена,
(9) – зважена.
Середнє квадратичне відхилення () - найпоширеніший показник варіації, є квадратний корінь із значення дисперсії.
Розмах варіації, квартильне відхилення, середнє лінійне та квадратичне відхилення - величини іменовані, мають розмірність ознаки, що осредняется.
Для цілей порівняння коливання різних ознак в одній і тій же сукупності або при порівнянні коливання однієї й тієї ж ознаки в декількох сукупностях обчислюються відносні показники варіації. Базою порівняння служить середня арифметична. Найчастіше відносні показники виражаються у відсотках і характеризують як порівняльну оцінку варіації, а й дають характеристику однорідності сукупності.
Коефіцієнт осциляції розраховується за такою формулою:
Відносне лінійне відхилення (лінійний коефіцієнт варіації):
(13) або (14)
Коефіцієнт варіації:
Найчастіше застосовуваний у статистиці показник відносної коливання - коефіцієнт варіації. Його використовують як для порівняльної оцінки варіації, а й як характеристику однорідності сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33% (Єфімова М.Р., Рябцев В.М. Загальна теорія статистики: Підручник М.: Фінанси і статистика, 1991 р., стор 105).
Для отримання приблизного ставлення до формі розподілу будують графіки розподілу (полігон і гістограму).
У практиці статистичного дослідження доводиться зустрічатися з різними розподілами. При вивченні однорідних сукупностей маємо справу, зазвичай, з одновершинними розподілами. Багатовершинність свідчить про неоднорідності сукупності, що вивчається, поява двох і більше вершин говорить про необхідність перегрупування даних з метою виділення більш однорідних груп. З'ясування загального характеру розподілу передбачає оцінку ступеня його однорідності, і навіть обчислення показників асиметрії та ексцесу. Симетричнимє розподіл, у якому частоти будь-яких двох варіантів, рівновіддалених в обидві сторони від центру розподілу, рівні між собою. Для симетричних розподілів середня арифметична, мода та медіана рівні між собою. У зв'язку з цим найпростіший показник асиметріїзаснований на співвідношенні показників центру розподілу: чим більша різниця між середніми, тим більша асиметрія ряду.
Для порівняльного аналізу ступеня асиметрії кількох розподілів розраховують відносний показник As:
Величина показника As може бути позитивною та негативною. Позитивна величина показника свідчить про наявність правосторонньої асиметрії (права гілка щодо максимальної ординати витягнута більше, ніж ліва). При правосторонній асиметрії між показниками центру розподілу є співвідношення: . Негативний знак показника асиметрії свідчить про наявність лівосторонньої асиметрії (Малюнок 1). Між показниками центру розподілу у разі є таке співвідношення: .
Малюнок 1. Розподіл: 1 – з правосторонньою асиметрією; 2 – з лівосторонньою асиметрією.
Інший показник, запропонований шведським математиком Ліндбергом, розраховують за такою формулою:
де П - відсоток тих значень ознаки, які перевищують за величиною середню арифметичну.
Найбільш точним та поширеним є показник, заснований на визначенні центрального моменту третього порядку (у симетричному розподілі його величина дорівнює нулю):
де - центральний момент третього порядку:
(19) - для несгрупованих даних;
(20) – для згрупованих даних.
у - середньоквадратичне відхилення.
Застосування цього показника дає можливість визначити величину асиметрії, а й відповісти на питання про наявність або відсутність асиметрії в розподілі ознаки в генеральній сукупності. Оцінка ступеня суттєвості цього показника дається за допомогою середньої квадратичної помилки, яка залежить від обсягу спостережень n та розраховується за формулою:
Якщо ставлення, асиметрія істотна, і розподіл ознаки у генеральній сукупності перестав бути симетричним. Якщо ставлення асиметрія несуттєва, її наявність може бути пояснена впливом різних випадкових обставин.
Для симетричних розподілів розраховується показник ексцеса(Гостровершинність). Ліндбергом запропоновано наступний показник для оцінки ексцесу:
де П - частка (%) кількості варіантів, що лежать в інтервалі, що дорівнює половині середнього квадратичного відхилення в ту чи іншу сторону від середньої арифметичної.
Найбільш точним є показник, який використовує центральний момент четвертого порядку:
де – центральний момент четвертого моменту;
(24) - для несгрупованих даних;
(25) – для згрупованих даних.
На малюнку 2 представлені два розподіли: один - гостроверховий (величина ексцесу позитивна), другий - плосковершинний (величина ексцесу негативна). Ексцес є випадом вершини емпіричного розподілу вгору або вниз від вершини кривої нормального розподілу. У нормальному розподілі ставлення.
Малюнок 2. Розподіл: 1,4 – нормальний; 2 - гостроверхове; 3 - плосковершинне
Середня квадратична помилка ексцесу розраховується за такою формулою:
де n – число спостережень.
Якщо, то ексцес суттєвий, якщо, то несуттєвий.
Оцінка суттєвості показників асиметрії та ексцесу дозволяє зробити висновок про те, чи можна віднести це емпіричне дослідження до типу кривих нормального розподілу.
Розглянемо методику обчислення показників варіації.
Таблиця 1. Дані про обсяг продажу валюти кількох відділень Центробанку.
Визначити середній обсяг продажу валюти за сукупністю відділень, розрахувати абсолютні та відносні показники варіації.
Розрахуємо розмах варіації:
R = = 24,3 – 10,2 = 14,1 млн. руб.
варіація дисперсія осциляція варіація асиметрія ексцес
Для визначення відхилень значень ознаки від середньої та їх квадратів будуємо допоміжну таблицю:
Таблиця 2. Розрахункова таблиця
Середнє значення знаходимо за формулою середньої арифметичної простий:
Середнє лінійне відхилення:
Дисперсія:
Коефіцієнт осциляції:
Коефіцієнт варіації:
Для розрахунку показників форми розподілу будуємо допоміжну таблицю:
Таблиця 3. Розрахункова таблиця
Таблиця 4. Дані про товарообіг підприємств однієї з галузей промисловості.
Визначити середній обсяг товарообігу, структурні середні, абсолютні та відносні показники варіації та наскільки фактичний розподіл узгоджується з нормальним (за показниками форми розподілу).
Для розрахунку показників збудуємо допоміжну таблицю.
Таблиця 5. Розрахункова таблиця
Розмах варіації:
Середнє значення знаходимо за формулою середньої арифметичної зваженої:
В інтервальних рядах розподілу мода визначається за такою формулою:
У нашому випадку мода дорівнюватиме:
В інтервальному варіаційному ряді медіана визначається за такою формулою:
У нашому випадку медіана дорівнюватиме:
Квартильне відхилення:
де і - відповідно перша та третя квартили розподілу.
Квартилі визначаються за формулами:
Середнє лінійне відхилення:
Дисперсія:
Середнє квадратичне відхилення:
Розрахуємо відносні показники варіації.
Коефіцієнт осциляції:
Відносне лінійне відхилення:
Відносний показник квартильної варіації:
Коефіцієнт варіації:
Визначимо показники форми розподілу:
Формулювання висновків.
Сформулюємо висновки за розрахованими показниками варіації прикладу 2, в якому представлений інтервальний ряд розподілу підприємств за обсягом товарообігу, млн. руб.
Розмах варіації свідчить у тому, що відмінність між максимальним і мінімальним значенням становить 40 млн. крб. Середній обсяг товарообігу – 30 млн. руб. Найчастіше значення обсягу товарообігу в аналізованої сукупності підприємств - 31,4 млн. руб., причому 50% (40 підприємств) мають обсяг товарообігу менше 30,5 млн. руб., А 50% понад.
Квартильне відхилення, що дорівнює 5, свідчить про помірну асиметрію розподілу, так як в симетричних або помірно асиметричних розподілах (у прикладі).
Середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення показують, скільки в середньому коливається величина ознаки в одиниць досліджуваної сукупності. Так, середня величина коливання обсягу товарообігу підприємств галузей промисловості становить: за середнім лінійним відхиленням - 6,5 млн. руб. (Абсолютне відхилення); за середнім квадратичним відхиленням - 8,1 млн. руб. Квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої величини дорівнює 65.
Різниця між крайніми значеннями ознаки на 33,3% перевищує середнє (= 133,3%).
Відносне лінійне відхилення (= 21,7%) та відносний показник квартильної варіації (= 16,4%) характеризують однорідність досліджуваної сукупності, що підтверджує розрахований коефіцієнт варіації, що дорівнює 27% (V = 27% менше 33%).
За розрахованими показниками асиметрії та ексцесу можна зробити висновок, що розподіл плосковершинний (Ex< 0) и наблюдается левосторонняя асимметрия (As < 0). Асимметрия и эксцесс являются несущественными.
є відношенням середнього квадратичного відхилення до середнього очікуваного значення і показує ступінь відхилення одержуваних результатів.
V = - * 100% Х
де V – коефіцієнт варіації, %;
G-середнє квадратичне відхилення;
X – середнє очікуване значення.
Так як коефіцієнт варіації - величина відносна, то на його розмір не впливають абсолютні значення досліджуваного показника. За допомогою коефіцієнта варіації можна порівнювати навіть коливання.
ність ознак, виражених у різних одиницях виміру. Коефіцієнт варіації змінюється в межах від 0 до 100%, при цьому значення коефіцієнта прямо пропорційно силі коливання. Встановлено таку якісну оцінку різних коефіцієнтів варіації:
до 10% - слабка коливання;
10-25% - помірна коливання;
понад 25% - висока коливання.
Як варіант може бути використаний дещо спрощений метод визначення ступеня ризику. Так як кількісно ризик характеризується оцінкою ймовірної величини максимального і мінімального результатів, то «чим більше діапазон між цими величинами при рівній їх ймовірності, тим вищий рівень ризику»1 . Тоді для розрахунку дисперсії можна використати таку формулу:
&2 = PMAX * (max - XУ + Pmin * (X - Xmin У,
2
деа2 – дисперсія;
Pmax – ймовірність отримання максимального результату;
Xmax – максимальна величина результату;
X – середня очікувана величина результату;
Pmjn – ймовірність отримання мінімального результату;
Xmjn – мінімальна величина результату.
Отримані показники слід враховувати в комплексі, оскільки використання окремого критерію оцінки ризику не може бути основою прийняття рішення на користь будь-якої стратегії.
У практиці трапляються ситуації, коли відсутня інформація про ймовірність станів середовища, тобто. необхідна оцінка ризику за умов повної невизначеності - (2). У таких випадках для визначення найкращих рішень використовуються такі критерії: максимаксу, Вальда, Севіджа, Гурвіца. Застосування кожного з наведених критеріїв розглянемо на прикладі матриці виграшів А (1) і матриці ризиків R (2).
Ще на тему Коефіцієнт варіації:
- ВАРІАЦІЇ У СТРУКТУРІ І СТРУКТУРНО-ОБСТУВЛЕНІ ВАРІАЦІЇ
- 1.2.10. Визначення. Якщо існує похідна функції у точці, вона називається першої варіацією функціоналу в точці при даної варіації аргументу, і позначається:
Нам доводиться стикатися з розрахунком таких значень, як дисперсія, середньоквадратичне відхилення та, зрозуміло, коефіцієнт варіації. Саме розрахунку останнього варто приділити особливу увагу. Дуже важливо, щоб кожен новачок, який тільки починає працювати з табличним редактором, міг швидко підрахувати відносну межу розкиду значень.
Що таке коефіцієнт варіації і навіщо він потрібний?
Отже, на мою думку, незайвим буде провести невеликий теоретичний екскурс і розібратися в природі коефіцієнта варіації. Цей показник необхідний відображення діапазону даних щодо середнього значення. Інакше кажучи, він показує ставлення стандартного відхилення до середнього значення. Коефіцієнт варіації прийнято вимірювати у відсотковому вираженні та відображати за його допомогою однорідність часового ряду.
Коефіцієнт варіації стане незамінним помічником у тому випадку, коли вам необхідно буде зробити прогноз за даними із заданої вибірки. Цей індикатор виділить основні ряди значень, які будуть найкориснішими для подальшого прогнозування, а також очистить вибірку від незначних чинників. Так, якщо ви бачите, що значення коефіцієнта дорівнює 0%, то з упевненістю заявляйте про те, що ряд є однорідним, а отже, всі значення у ньому рівні один з одним. У випадку, якщо коефіцієнт варіації набуває значення, що перевищує позначку в 33%, це говорить про те, що ви маєте справу з неоднорідним рядом, в якому окремі значення істотно відрізняються від середнього показника вибірки.
Як знайти середнє квадратичне відхилення?
Оскільки для розрахунку показника варіації в Excel необхідно використовувати середнє квадратичне відхилення, то цілком доречно буде з'ясувати, як нам порахувати цей параметр.
Зі шкільного курсу алгебри ми знаємо, що середнє квадратичне відхилення - це витягнутий з дисперсії квадратний корінь, тобто цей показник визначає ступінь відхилення конкретного показника загальної вибірки від її середнього значення. З його допомогою ми можемо виміряти абсолютну міру коливання ознаки, що вивчається, і чітко її інтерпретувати.
Розраховуємо коефіцієнт в Екселі
На жаль, в Excel не закладено стандартну формулу, яка дозволила б розрахувати показник варіації автоматично. Але це не означає, що вам доведеться робити розрахунки в умі. Відсутність шаблону в «Строк формул» ніяк не применшує здібностей Excel, тому ви цілком зможете змусити програму виконати необхідний вам розрахунок, прописавши відповідну команду вручну.
Щоб розрахувати показник варіації в Excel, необхідно згадати шкільний курс математики і розділити стандартне відхилення на середнє значення вибірки. Тобто насправді формула виглядає так - СТАНДОТКЛОН(заданий діапазон даних)/СРЗНАЧ(заданий діапазон даних). Ввести цю формулу необхідно в той осередок Excel, в якому ви хочете отримати потрібний вам розрахунок.
Не забувайте і про те, що оскільки коефіцієнт виражається у відсотках, то осередку з формулою потрібно буде задати відповідний формат. Зробити це можна так:
- Перейдіть на вкладку «Головна».
- Знайдіть у ній категорію «Формат осередків» та виберіть необхідний параметр.
Як варіант, можна задати процентний формат комірці за допомогою кліка правою кнопкою миші на активованій клітинці таблиці. У контекстному меню, що з'явилося, аналогічно вищезазначеному алгоритму потрібно вибрати категорію «Формат осередку» і задати необхідне значення.
Виберіть «Відсотковий», а за необхідності вкажіть кількість десяткових знаків
Можливо, комусь описаний алгоритм здасться складним. Насправді ж розрахунок коефіцієнта так само простий, як додавання двох натуральних чисел. Одного разу, виконавши це завдання в Екселі, ви більше ніколи не повернетеся до стомлюючих складних рішень у зошиті.
Ви ще не можете зробити якісне порівняння ступеня розкиду даних? Втрачаєтеся в масштабах вибірки? Тоді прямо зараз беріться за справу та освоюйте на практиці весь теоретичний матеріал, який був викладений вище! Нехай статистичний аналіз та розробка прогнозу більше не викликають у вас страху та негативу. Заощаджуйте свої сили та час разом з
