Розрахунок дисперсії. Розрахунок групової, міжгрупової та загальної дисперсії (за правилом складання дисперсій)
Дисперсія у статистицізнаходиться як індивідуальних значень ознаки у квадраті від . Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:
1. (Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:
2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):
де n - Частота (повторюваність фактора Х)
Приклад знаходження дисперсії
На цій сторінці описано стандартний прикладзнаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження
Приклад 1. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно збудувати інтервальний рядрозподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію
Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:
де X max- максимальне значеннягрупувальної ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:
Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6
Складемо інтервальне угруповання
Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:
X'i - середина інтервалу. (наприклад, середина інтервалу 159 – 165,6 = 162,3)
Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:
Визначимо дисперсію за такою формулою:
Формулу дисперсії можна перетворити так:
З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.
Дисперсія у варіаційних рядах з рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:
де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 - квадрат моменту першого порядку;
m2 - момент другого порядку
(якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:
Підставляючи в цю формулудисперсії q =1-р, отримуємо:
Види дисперсії
Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.
характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.
Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:
де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.
Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами ( технічний станобладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді(Всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).
Середня з внутрішньо групових дисперсій відображає випадкову , тобто ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за такою формулою:
Характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:
Правило складання дисперсії у статистиці
Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої із внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:
Сенс цього правилаполягає в тому, що загальна дисперсія, яка виникає під впливом всіх факторів, дорівнює сумі дисперсій, що виникають під впливом всіх інших факторів, та дисперсії, що виникає за рахунок угруповання.
Користуючись формулою дисперсій, можна визначити по двох відомим дисперсіямтретю невідому, а також судити про силу впливу групувальної ознаки.
Властивості дисперсії
1. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) на ту саму постійну величину, то дисперсія від цього не зміниться.
2. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) в те саме число разів n, то дисперсія відповідно зменшиться (збільшити) в n^2 разів.
На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження
Приклад 1. Визначення групової, середньої з групової, міжгрупової та загальної дисперсії
Приклад 2. Знаходження дисперсії та коефіцієнта варіації у групувальній таблиці
Приклад 3. Знаходження дисперсії у дискретному ряду
Приклад 4. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію
Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:
де X max - максимальне значення групувального ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:
Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6
Складемо інтервальне угруповання
Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:
X"i - середина інтервалу. (наприклад середина інтервалу 159 - 165,6 = 162,3)
Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:
Визначимо дисперсію за такою формулою:
Формулу можна перетворити так:
З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.
Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:
де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 – квадрат моменту першого порядку;
m2 – момент другого порядку
Дисперсія альтернативної ознаки (якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:
Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:
Види дисперсії
Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.
Внутрішньогрупова дисперсія характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.
Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:
де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.
Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).
Дисперсія - це міра розсіювання, що описує порівняльне відхилення між значеннями даних та середньою величиною. Є найбільш використовуваним заходом розсіювання в статистиці, що обчислюється шляхом підсумовування, зведеного в квадрат, відхилення кожного значення даних від середньої величини. Формула для обчислення дисперсії представлена нижче:
s 2 – дисперсія вибірки;
x ср - середнє значення вибірки;
n — розмір вибірки (кількість значень даних),
(x i - x ср) - відхилення від середньої величини для кожного значення набору даних.
Для кращого розуміння формули розберемо приклад. Я не дуже люблю готування, тому заняттям цим займаюся дуже рідко. Проте, щоб не померти з голоду, час від часу мені доводиться підходити до плити для реалізації задуму щодо насичення мого організму білками, жирами та вуглеводами. Набір даних, поданий нижче, показує, скільки разів Ренат готує їжу щомісяця:
Першим кроком при обчисленні дисперсії є визначення середнього значення вибірки, яке в прикладі дорівнює 7,8 рази на місяць. Інші обчислення можна полегшити за допомогою наступної таблиці.
Фінальна фаза обчислення дисперсії виглядає так:
Для тих, хто любить робити всі обчислення за один раз, рівняння виглядатиме так:
Використання методу «сирого рахунку» (приклад із готуванням)
Існує більше ефективний спосібобчислення дисперсії відомий як метод «сирого рахунку». Хоча з першого погляду рівняння може здатися дуже громіздким, насправді воно не таке страшне. Можете в цьому переконатись, а потім і вирішіть, який метод вам більше подобається.
- Сума кожного значення даних після зведення в квадрат,
- Квадрат суми всіх значень даних.
Не втрачайте розум прямо зараз. Дозвольте уявити все це у вигляді таблиці, і тоді ви побачите, що обчислень тут менше, ніж у попередньому прикладі.
Як бачите, результат вийшов той самий, що й під час використання попереднього методу. Переваги даного методустають очевидними зі зростанням розміру вибірки (n).
Розрахунок дисперсії в Excel
Як ви вже, напевно, здогадалися, в Excel є формула, що дозволяє розрахувати дисперсію. Причому, починаючи з Excel 2010, можна знайти 4 різновиди формули дисперсії:
1) ДИСП.В - Повертає дисперсію за вибіркою. Логічні значення та текст ігноруються.
2) ДИСП.Г - Повертає дисперсію по генеральної сукупності. Логічні значення та текст ігноруються.
3) ДИСПА - Повертає дисперсію за вибіркою з урахуванням логічних та текстових значень.
4) ДИСПРА - Повертає дисперсію по генеральній сукупності з урахуванням логічних та текстових значень.
Для початку розберемося в різниці між вибіркою та генеральною сукупністю. Призначення описової статистики у тому, щоб підсумовувати чи відображати дані те щоб оперативно отримувати загальну картину, так би мовити, огляд. Статистичний висновок дозволяє робити висновки про будь-яку сукупність на основі вибірки даних із цієї сукупності. Сукупність є всі можливі результати чи виміри, які становлять нам інтерес. Вибірка - це підмножина сукупності.
Наприклад, нас цікавить сукупність групи студентів одного з Російських ВНЗ, і нам необхідно визначити середній бал групи. Ми можемо порахувати середню успішність студентів, і тоді отримана цифра буде параметром, оскільки в наших розрахунках буде задіяна ціла сукупність. Однак якщо ми хочемо розрахувати середній бал усіх студентів нашої країни, тоді ця група буде нашою вибіркою.
Різниця у формулі розрахунку дисперсії між вибіркою та сукупністю полягає у знаменнику. Де для вибірки він дорівнюватиме (n-1), а для генеральної сукупності тільки n.
Тепер розберемося з функціями розрахунку дисперсії із закінченнями А,в описі яких сказано, що при розрахунку враховуються текстові та логічні значення. У даному випадкупри розрахунку дисперсії певного масиву даних, де зустрічаються не числові значення, Excel інтерпретуватиме текстові та хибні логічні значення як рівними 0, а справжні логічні значення як рівними 1.
Отже, якщо у вас є масив даних, розрахувати його дисперсію не складе ніяких труднощів, скориставшись однією з перерахованих вище функцій Excel.
Математичне очікування та дисперсія - найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або взагалі може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.
Математичне очікування часто називають просто середнім значенням випадкової величини. Дисперсія довільної величини - характеристика розсіювання, розкиданості довільної величини у її математичного очікування.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Підійдемо до поняття математичного очікування спочатку виходячи з механічної інтерпретації розподілу дискретної випадкової величини. Нехай одинична маса розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n, причому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує становище всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їх мас. Природно як така точка взяти центр маси системи матеріальних точок. Це середнє зважене значення випадкової величини X, в яке абсциса кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:
приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?
Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:
З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумітворів розмірів виграшів на ймовірності їх отримання.
приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості екземплярів книги.
Знайти очікуваний прибуток видавця.
Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:
| Число | Прибуток xi | Ймовірність pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всього: | 1,00 | 25000 |
Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:
.
приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрату снарядів, які забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.
Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:
.
приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .
Підказка: ймовірність значень випадкової величини знайти за формулі Бернуллі .
Властивості математичного очікування
Розглянемо властивості математичного очікування.
Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:
Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:
Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:
Коли не можна обмежуватися лише математичним очікуванням
Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.
Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Значення X | Ймовірність |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значення Y | Ймовірність |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:
Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питомій вазівисоко-і низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно знайти дисперсію випадкової величини.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значенняквадратного кореня її дисперсії:
.
Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.
Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:
Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають
.
Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.
Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Рішення. Покажемо, як обчислюються ці величини для 3 альтернативи:
У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.
У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді в усіх - однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки він має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, то він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням- Проект 4.
Властивості дисперсії
Наведемо властивості дисперсії.
Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:
,
де 
.
Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:
Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.
Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .
Закон розподілу випадкової величини:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Знайти математичне очікування випадкової величини самостійно, а потім переглянути рішення
Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6 . Знайти математичне очікування випадкової величини.
Приклад 9.В урні 6 білих і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсія даної випадкової величини:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини
Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий зміст: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.
Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.
Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .
Основними узагальнюючими показниками варіації у статистиці є дисперсії та середнє квадратичне відхилення.
Дисперсія це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Дисперсія називається середнім квадратом відхилень і позначається 2 . Залежно від вихідних даних дисперсія може обчислюватися за середньою арифметичною простою або зваженою:
дисперсія незважена (проста);
дисперсія зважена.
Середнє квадратичне відхилення це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки у сукупності. Виражається воно у тих самих одиницях виміру, як і ознака (в метрах, тоннах, відсотках, гектарах тощо. буд.).
Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь з дисперсії і позначається :
середнє квадратичне відхилення незважене;
середнє квадратичне відхилення зважене.
Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває всю сукупність, що представляється.
Обчислення середнього квадратичного відхилення передує розрахунок дисперсії.
Порядок розрахунку дисперсії зваженої наступний:
1) визначають середню арифметичну зважену:
2) розраховують відхилення варіантів від середньої:
3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта від середньої:
4) множать квадрати відхилень на ваги (частоти):
5) підсумовують отримані твори:
6) отриману суму ділять на суму ваг:
Приклад 2.1
Обчислимо середню арифметичну зважену:
Значення відхилень від середньої та його квадратів представлені у таблиці. Визначимо дисперсію:
Середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:
Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду розподілу , спочатку потрібно визначити дискретне значення ознаки, а потім застосувати викладений метод.
Приклад 2.2
Покажемо розрахунок дисперсії для інтервального ряду даних про розподіл посівної площі колгоспу за врожайністю пшениці.
Середня арифметична дорівнює:
Обчислимо дисперсію:
6.3. Розрахунок дисперсії за формулою за індивідуальними даними
Техніка обчислення дисперсії складна, а при великих значеннях варіантів та частот може бути громіздкою. Розрахунки можна спростити, використовуючи властивості дисперсії.
Дисперсія має такі властивості.
1. Зменшення або збільшення ваг (частот) варіюючої ознаки в кілька разів дисперсію не змінює.
2. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки на ту саму постійну величину Адисперсію не змінює.
3. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки в якесь число разів kвідповідно зменшує або збільшує дисперсію в k 2 рази середнє квадратичне відхилення в kразів.
4. Дисперсія ознаки щодо довільної величини завжди більше дисперсії щодо середньої арифметичної на квадрат різниці між середньою та довільною величинами:
Якщо А 0, то приходимо до наступної рівності:
тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки та квадратом середньої.
Кожна властивість при розрахунку дисперсії може бути застосована самостійно або у поєднанні з іншими.
Порядок розрахунку дисперсії простий:
1) визначають середню арифметичну :
2) зводять у квадрат середню арифметичну:
3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта ряду:
х i 2 .
4) знаходять суму квадратів варіантів:
5) ділять суму квадратів варіантів з їхньої число, т. е. визначають середній квадрат:
6) визначають різницю між середнім квадратом ознаки та квадратом середньої:
Приклад 3.1Є такі дані про продуктивність праці робочих:
Зробимо такі розрахунки:
