Середня величина визначається за такою формулою. Як вирахувати середнє значення

Середня величина- це узагальнюючий показник, який характеризує якісно однорідну сукупність за певною кількісною ознакою. Наприклад, середній вікосіб, засуджених за крадіжку.

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Середня величина завжди іменована і має ту ж розмірність, що і ознака в окремої одиниці сукупності. Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якою-небудь однією ознакою, що варіює, тому за всякою середньою ховається ряд розподілу одиниць цієї сукупності за досліджуваною ознакою. Вибір виду середньої визначається змістом показника та вихідних даних для розрахунку середньої величини.

Усі види середніх величин, які у статистичних дослідженнях, поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

Перша категорія середніх величин включає: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну і середню квадратичну . Друга категорія – це модаі медіана. При цьому кожен із перерахованих видів статечних середніх величин може мати дві форми: просту і зважену . Проста формасередньої величини використовується щоб одержати середнього значення досліджуваного ознаки, коли розрахунок здійснюється за несгрупованим статистичним даним, чи кожна варіанта разом зустрічається лише один раз. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на відповідну частоту. Іншими словами, кожен варіант зважують за своєю частотою. Частоту називають статистичною вагою.

Середня арифметична проста- Найпоширеніший вид середньої. Вона дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на загальне числоцих значень:

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

Середня арифметична зваженазастосовується у тих випадках, коли дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань. Вона обчислюється як сума творів варіантів відповідні їм частоти, поділена у сумі частот всіх варіантів:

де x i- значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-й варіанти.

Таким чином, кожне значення варіанти зважується за частотою, тому частоти іноді називають статистичними вагами.

Зауваження.Коли йдеться про середню арифметичну величину без зазначення її виду, мається на увазі середня арифметична проста.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

Якщо обчислення середньої величини проводять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядів розподілу, то спочатку треба визначити серединні значення кожного інтервалу х" i , після чого розрахувати середню величину за формулою середньої арифметичної зваженої, яку замість x i підставляють х" i .

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Рішення.Щоб визначити середній вік злочинців з урахуванням інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку знайти серединні значення інтервалів. Так як дано інтервальний ряд з відкритими першим та останнім інтервалами, то величини цих інтервалів приймаються рівними величинам суміжних закритих інтервалів. У разі величина першого і останнього інтервалів дорівнюють 10.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

Середня гармонійна проста являє собою величину, зворотну середньої арифметичної обернених значеньознаки:

де 1/ x i- Зворотні значення варіантів, а N - число одиниць сукупності.

приклад.Для визначення середнього річного навантаження на суддів районного суду під час розгляду справ провели обстеження навантаження 5 суддів цього суду. Середні витрати часу на одну кримінальну справу для кожного з обстежених суддів виявились рівними (у днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Знайти середні витрати на одну кримінальну справу та середнє річне навантаження на суддів цього районного суду під час розгляду кримінальних справ.

Рішення.Для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористаємося формулою середньої гармонійної простий:

Для спрощення розрахунків у прикладі візьмемо число днів у році рівним 365, включаючи вихідні (це не впливає на методику розрахунку, а при обчисленні аналогічного показника на практиці необхідно замість 365 днів підставити кількість робочих днів у конкретному році). Тоді середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ становитиме: 365(днів): 5,56 ≈ 65,6 (справ).

Якби ми для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористалися б формулою середньої арифметичної простої, то отримали б:

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Перевіримо обґрунтованість такого підходу. Для цього скористаємося даними про витрати часу на одну кримінальну справу для кожного судді та розрахуємо кількість кримінальних, розглянутих кожним із них за рік.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Наразі обчислимо середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ:

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

У тих випадках, коли відомі варіанти ознаки, їх об'ємні значення (твір варіанти на частоту), але невідомі самі частоти, застосовується формула середньої зваженої гармонійної:

,

де x i- значення варіантів ознаки, а w i - об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

приклад.Дані про ціну одиниці однотипного товару, виробленого різними установами кримінально-виконавчої системи, та обсяги його реалізації наведено у таблиці 14.

Таблиця 14

Знайти середню цінуреалізації товару.

Рішення.При розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам невідомо кількість реалізованих одиниць, але відомі суми реалізації товарів. Тому для знаходження середньої ціни реалізованих товарів скористаємося формулою середньої гармонійної виваженої. Отримуємо

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

,

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Середня квадратичназастосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, та буде розглянуто нижче.

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана і мода , або звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується з урахуванням використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанта, який займає певне середнє становище ранжированном (упорядкованому) ряду. Упорядкування одиниць статистичної сукупності може бути проведено за зростанням або зменшенням варіантів досліджуваної ознаки.

Медіана (Ме)- це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана - це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки якого в даному рядумає знаходитися однакове число одиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер у ранжованому ряду за формулою:

де N - обсяг ряду (кількість одиниць сукупності).

Якщо ряд складається з непарного числа членів, то медіана дорівнює варіанті номером N Me . Якщо ряд складається з парного числа членів, то медіана визначається як середнє арифметичне двох суміжних варіант, розташованих у середині.

приклад.Даний ранжований ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обсяг ряду N = 9, отже N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Отже, Ме = 6, тобто . п'ятий варіант. Якщо дано ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, тобто. ряд з парною кількістю членів (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Отже медіана дорівнює напівсумі четвертої і п'ятої варіант, тобто. Ме = (9 + 11)/2 = 10.

У дискретному варіаційному ряду медіану визначають за накопиченими частотами. Частоти варіант, починаючи з першої, підсумовуються до тих пір, поки не буде перевищено номер медіани. Значення останньої підсумованої варіанти буде медіаною.

приклад.Знайти медіану числа обвинувачених, які припадають однією кримінальну справу, використовуючи дані таблиці 12.

Рішення.У разі обсяг варіаційного ряду N = 154, отже, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Підсумувавши частоти першої та другої варіанти, отримаємо: 75 + 43 = 118, тобто. ми перевершили номер медіани. Значить Ме = 2.

В інтервальному варіаційному ряду розподілу спочатку вказують інтервал, у якому буде медіана. Його називають медіанним . Це перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину обсягу інтервального варіаційного ряду. Потім чисельне значення медіани визначається за такою формулою:

де x Ме- нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1- накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

приклад.Знайти медіану віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, з урахуванням статистичних даних, поданих у таблиці 13.

Рішення.Статистичні дані представлені інтервальним варіаційним рядом, Отже спочатку визначимо медіанний інтервал. Обсяг сукупності N = 162, отже, медіанним інтервалом є 18-28, т.к. це перший інтервал, накопичена частота якого (15 + 90 = 105) перевищує половину обсягу (162: 2 = 81) інтервального варіаційного ряду. Тепер чисельне значення медіани визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Модою (Мо)називають значення ознаки, що найчастіше зустрічається в одиниць сукупності. До моди вдаються виявлення величини ознаки, що має найбільшого поширення. Для дискретного ряду модою буде варіант із найбільшою частотою. Наприклад, для дискретного ряду, поданого в таблиці 3 Мо= 1, оскільки цього значення варіанти відповідає найбільша частота - 75. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1- частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Рішення.Найбільша частота відповідає інтервалу 18-28, отже, мода повинна бути в цьому іртервалі. Її величину визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, найбільше злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді були призначені такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

І першого суду, де цей розкид досить великий, середня величина терміну позбавлення волі погано відбиває всю сукупність. Таким чином, якщо індивідуальні значення ознаки мало відрізняються один від одного, то середня арифметична буде досить показовою характеристикою властивостей цієї сукупності. В іншому випадку середня арифметична буде ненадійною характеристикою цієї сукупності та застосування її на практиці малоефективне. Тому необхідно враховувати варіацію значень ознаки, що вивчається.

Варіація- це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження – variatio, що означає відмінність, зміну, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації R найдоступніший за простотою розрахунку абсолютний показник, який визначається як різницю між найбільшим і найменшим значеннями ознаки у одиниць даної сукупності:

Розмах варіації (розмах коливань) важливий показникколивають ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

Середнє лінійне відхиленняє середнім арифметичним з абсолютних значень відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої і визначається за формулами:

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Однак найбільш широко застосовуваним показником варіації є дисперсія . Вона характеризує міру розкиду значень досліджуваного ознаки щодо його середнього значення. Дисперсія визначається як середня із відхилень, зведених у квадрат.

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

.

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

.

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим, однорідніше сукупність і краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність.

Розглянуті вище заходи розсіювання (розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) є абсолютними показниками, судити з яких ступінь коливання ознаки який завжди можливо. У деяких завданнях необхідно використовувати відносні показники розсіювання, одним із яких є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації- Виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації використовують як порівняльної оцінки варіації різних ознак чи однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях, але й характеристики однорідності сукупності. Статистична сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % (для розподілів, близьких до нормального розподілу).

приклад.Є такі дані про терміни позбавлення волі 50 засуджених, доставлених для відбування призначеного судом покарання до виправної установи кримінально-виконавчої системи: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

3. Обчислити коефіцієнт варіації та зробити висновок про однорідність чи неоднорідність досліджуваної сукупності.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цій задачі - це термін позбавлення волі, а частоти - чисельність окремих варіантів. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний ряд розподілу:

Знайдемо середнє значення та дисперсію. Оскільки статистичні дані представлені дискретним варіаційним рядом, то їх обчислення будемо використовувати формули середнього арифметичного зваженого і дисперсії. Отримаємо:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.

5.1. Поняття середньої величини

Середня величина –це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося на деяких загальних принципахзастосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнімвідносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.

В якості структурних середніхрозглядаються мода та медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;
m – показник ступеня середнього;
f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.

Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 осіб:

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу:

В результаті угруповання отримуємо новий показник – частоту, яка вказує кількість студентів у віці Х років. Отже, середній вік студентів групи розраховуватиметься за формулою виваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він набуває, розрізняють такі види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m -> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.

Формули статечних середніх наведені у табл. 4.4.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Таблиця 5.1

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична	0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

Середня гармонійна має більше складну конструкціюніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым . Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 i 2 i 3 ..., i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому роцівизначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

5.3. Структурні середні

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;
h Me – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

У нашому прикладі можуть бути отримані навіть три медіанні значення – виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та загальної суми витрат на виробництво:

Отже, у половини підприємств рівень собівартість одиниці виробленої продукції перевищує 125,19 тис. крб., половина всього обсягу продукції виробляється з рівнем витрат за виріб більше 124,79 тис. крб. та 50% загальної суми витрат утворюється при рівні собівартості одного виробу вище 125,07 тис. руб. Зауважимо також, що спостерігається деяка тенденція до зростання собівартості, оскільки Ме 2 = 124,79 тис. руб., Середній рівень дорівнює 123,15 тис. руб.

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду слід звертати увагу на те, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтерваламивеличина моди визначається як

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;
m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
m Mo -1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

Для нашого прикладу можна розрахувати три модальних значеннявиходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та суми витрат. У всіх трьох випадках модальний інтервал один і той же, так як для одного і того ж інтервалу виявляються найбільшими і кількість підприємств, і обсяг продукції, і загальна сума витрат на виробництво:

Таким чином, найчастіше зустрічаються підприємства з рівнем собівартості 126,75 тис. руб., Найчастіше випускається продукція з рівнем витрат 126,69 тис. руб., І найчастіше витрати на виробництво пояснюються рівнем собівартості в 123,73 тис. руб.

5.4. Показники варіації

Конкретні умови, в яких знаходиться кожен з об'єктів, що вивчаються, а також особливості їх власного розвитку(соціальні, економічні та ін.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Таким чином, варіація,тобто. розбіжність рівнів одного й того ж показника у різних об'єктів, має об'єктивний характер і допомагає пізнати сутність явища, що вивчається.

Для виміру варіації у статистиці застосовують кілька способів.

Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіаціїН як різниці між максимальним (X max) і мінімальним (X min) значеннями ознаки, що спостерігаються:

H = X max - X min.

Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.

Суворішими характеристиками є показники коливання відносно середнього рівня ознаки. Найпростіший показник такого типу – середнє лінійне відхиленняяк середнє арифметичне значення абсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що сума алгебри відхилень від середнього рівня дорівнює нулю.)

Показник середнього лінійного відхилення знайшов широке застосуванняна практиці. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики. Тому в статистичних наукових дослідженняхдля вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.

Дисперсія ознаки (s 2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:

.

Показник s, рівний , називається середнім квадратичним відхиленням.

У загальної теоріїСтатистика показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії ймовірностей і (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії в математичній статистиці, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисциплін для аналізу соціально-економічних процесів.

Якщо варіація оцінюється по невеликій кількості спостережень, взятих з необмеженої генеральної сукупності, те й середнє значення ознаки визначається з деякою похибкою. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, отриману за наведеними раніше формулами, треба помножити на величину n/(n – 1). У результаті при малій кількості спостережень (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Зазвичай вже за n > (15÷20) розбіжність зміщеної та незміщеної оцінок стає несуттєвою. З цієї причини зазвичай не враховують зміщеність й у формулі складання дисперсій.

Якщо з генеральної сукупності зробити кілька вибірок і щоразу у своїй визначати середнє значення ознаки, виникає завдання оцінки коливання середніх. Оцінити дисперсію середнього значенняможна і на основі всього одного вибіркового спостереження за формулою

,

де n – обсяг вибірки; s 2 - дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.

Величина носить назву середньої помилкивибіркиі є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х його справжньої середньої величини. Показник середньої помилки використовується в оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.

Показники відносного розсіювання.Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значенняхсередніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.

1. Коефіцієнтом осциляціївідображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої

.

2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини

.

3. Коефіцієнт варіації:

є найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Такий спосіб оцінки варіації має і істотний недолік. Справді, нехай, наприклад, вихідна сукупність робітників, які мають середній стаж 15 років, із середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а середньоквадратичне відхилення, як і раніше, дорівнює 10. Сукупність, яка раніше була неоднорідною (10/15 × 100) = 66,7%), з часом виявляється таким чином цілком однорідною (10/30 × 100 = 33,3 %).

Боярський А.Я. Теоретичні дослідженняза статистикою: Зб. Наук. Трудов.- М.: Статистика,1974. С. 19-57.

Попередня

Починаючи міркувати про середні величини, найчастіше згадують, як закінчували школу і вступали до навчальний заклад. Тоді за атестатом розраховувався середній бал: всі оцінки (і хороші, і не дуже) складали, отриману суму ділили на їхню кількість. Так обчислюється найпростіший вид середньої, що називається середня арифметична проста. Насправді у статистиці застосовуються різні види середніх величин: арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, структурні середні. Той чи інший їхній вид використовується в залежності від характеру даних та цілей дослідження.

Середня величинає найбільш поширеним статистичним показником, за допомогою якого дається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ за однією з ознак, що варіюють. Вона показує рівень ознаки розрахунку одиницю сукупності. За допомогою середніх величин проводиться порівняння різних сукупностей за ознаками, що варіюють, вивчаються закономірності розвитку явищ і процесів суспільного життя.

У статистиці застосовуються два класи середніх: статечні (аналітичні) та структурні. Останні використовуються для характеристики структури варіаційного ряду та будуть розглянуті далі в гол. 8.

До групи статечних середніх відносять середню арифметичну, гармонійну, геометричну, квадратичну. Індивідуальні формули для їх обчислення можна привести до вигляду, загального для всіх статечних середніх, а саме

де m - показник статечної середньої: при m = 1 отримуємо формулу для обчислення середньої арифметичної, при m = 0 - середньої геометричної, m = -1 - середньої гармонійної, при m = 2 - середньої квадратичної;

x i - варіанти (значення, що приймає ознака);

f i – частоти.

Головною умовою, за якої можна використовувати статечні середні у статистичному аналізі, є однорідність сукупності, яка не повинна містити вихідних даних, що різко різняться за своїм кількісним значенням (у літературі вони мають назву аномальних спостережень).

Продемонструємо важливість цієї умови на наступному прикладі.

Приклад 6.1. Обчислимо середню заробітну плату працівників малого підприємства.

Таблиця 6.1. Заробітна плата працівників

№ п/п	Заробітна плата, руб.	№ п/п	Заробітна плата, руб.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Для розрахунку середнього розміру заробітної платинеобхідно підсумувати заробітну плату, нараховану всім працівникам підприємства (тобто знайти фонд заробітної плати), та розділити на кількість працюючих:

А тепер додамо в нашу сукупність лише одну людину (директора цього підприємства), але з окладом у 50 000 руб. У такому разі середня, що обчислюється, буде зовсім інша:

Як бачимо, вона перевищує 7000 руб., Т.д. вона найбільше значень ознаки крім єдиного спостереження.

Для того щоб таких випадків не відбувалося на практиці, і середня не втрачала б свого сенсу (у прикладі 6.1 вона вже не виконує роль узагальнюючої характеристики сукупності, якою має бути), при розрахунку середньої слід аномальні, різко виділяються спостереження або виключити з аналізу і тим самим самим зробити сукупність однорідної, чи розбити сукупність на однорідні групи та обчислити середні значення з кожної групі та аналізувати не загальну середню, а групові середні значення.

6.1. Середня арифметична та її властивості

Середня арифметична обчислюється або як проста, або зважена величина.

При розрахунку середньої зарплати за даними таблиці прикладу 6.1 ми склали все значення ознаки і поділи їх кількість. Хід наших обчислень запишемо у вигляді формули середньої арифметичної простий

де х i - варіанти (окремі значення ознаки);

п – число одиниць у сукупності.

Приклад 6.2. Тепер згрупуємо наші дані із таблиці прикладу 6.1, т.д. збудуємо дискретний варіаційний ряд розподілу працюючих за рівнем заробітної плати. Результати групування представлені у таблиці.

Запишемо вираз для обчислення середнього рівня заробітної плати у більш компактній формі:

У прикладі 6.2 була застосована формула середньої арифметичної зваженої

де f i - Частоти, що показують, скільки разів зустрічається значення ознаки х i y одиниць сукупності.

Розрахунок середньої арифметичної зваженої зручно проводити в таблиці, як показано нижче (табл. 6.3):

Таблиця 6.3. Розрахунок середньої арифметичної в дискретному ряду

Вихідні дані	Розрахунковий показник
вести, крб.	чисельність працюючих, чол.	фонд заробітної плати, руб.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Разом	20	132 080

Слід зазначити, що середня арифметична проста використовується у випадках, коли дані не згруповані чи згруповані, але частоти рівні між собою.

Часто результати спостереження представляють як інтервального ряду розподілу (див. таблицю в прикладі 6.4). Тоді при розрахунку середньої як xi беруть середини інтервалів. Якщо перший та останній інтервали відкриті (не мають однієї з кордонів), то їх умовно "закривають", приймаючи за величини даного інтервалу величину інтервалу, що примикає, і т.д. перший закривають виходячи з величини другого, а останній – за величиною передостаннього.

Приклад 6.3. За результатами вибіркового обстеження однієї з груп населення розрахуємо розмір середньодушового грошового доходу.

У наведеній таблиці середина першого інтервалу дорівнює 500. Дійсно, величина другого інтервалу – 1000 (2000-1000); тоді нижня межа першого дорівнює 0 (1000-1000), яке середина - 500. Аналогічно чинимо з останнім інтервалом. За його середину приймаємо 25 000: величина передостаннього інтервалу 10 000 (20 000-10 000), тоді його верхня межа – 30 000 (20 000 + 10 000), а середина відповідно – 25 000.

Таблиця 6.4. Розрахунок середньої арифметичної в інтервальному ряду

Середньодушовий грошовий дохід, руб. в місяць	Чисельність населення до підсумку, % f i	Середини інтервалів x i	x i f i
До 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 і вище	10,4	25 000	260 000
Разом	100,0	-	892 850

Тоді середньодушовий розмір місячного доходу становитиме

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Середнє арифметичне(В математиці та статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є одним із найпоширеніших заходів центральної тенденції.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Приватними випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) та вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ), вимовляється « xз межею»).

Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, Для якої визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєабо математичне очікуваннядовільної величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і x ¯ (\displaystyle (\bar(x))) у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x (\displaystyle (bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Якщо X- Випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень у вимірах величини, що повторюються X. Це є виявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується з метою оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середня n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і лише тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менше різницю між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, у тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє та різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

Приклади

• Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f(x) (displaystyle f(x)) середнє арифметичне на відрізку [ a ; b] (\displaystyle) визначається через певний інтеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне схильна сильному впливу"великих відхилень". Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (displaystyle (sqrt (117%)) approx 108.2%) тобто середньорічний приріст 8,2 %.

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

При розрахунку середнього арифметичних значеньдеякою змінною, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Це число неправильне з двох причин.

• По-перше, кутові заходи визначені лише для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
  • число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
  • число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

4.3. Середні величини. Сутність та значення середніх величин

Середньою величиноюв статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Наприклад, узагальнюючим показником доходів робітників акціонерного товариства(АТ) служить середній дохід одного робітника, який визначається ставленням фонду заробітної плати та виплат соціального характеру за аналізований період (рік, квартал, місяць) до чисельності робітників АТ.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковостіі необхідності.При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючихпоказників сукупностей.

Там, де виникає потреба узагальнення, розрахунок таких характеристик призводить до заміни безлічі різних індивідуальних значень ознаки середнімпоказником, що характеризує всю сукупність явищ, що дозволяє виявити закономірності, властиві масовим суспільним явищам, непомітні у поодиноких явищах.

Середня відбиває характерний, типовий, реальний рівень досліджуваних явищ, характеризує ці рівні та його зміни у часі та просторі.

Середня - це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.

4.4. Види середніх та способи їх обчислення

Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника та вихідних даних. У кожному конкретному випадку застосовується одна з середніх величин: арифметична, гармонічна, геометрична, квадратична, кубічнаі т.д. Перераховані середні відносяться до класу статечнихсередніх.

Крім статечних середніх у статистичній практиці використовуються середні структурні, як яких розглядаються мода та медіана.

Зупинимося докладніше на статечних середніх.

Середня арифметична

Найбільш поширеним видом середніх є середня арифметична.Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність (сумарність) обсягів варіюючої ознаки, цим визначається сфера застосування середньої арифметичної та пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника, наприклад: загальний фонд заробітної плати – це сума заробітних плат усіх працівників, валовий збір урожаю – сума виробленої продукції з усієї посівної площі.

Щоб обчислити середню арифметичну, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.

Середня арифметична застосовується у формі простий середньої та виваженої середньої.Вихідною, визначальною формою служить проста середня.

Середня арифметична простадорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальне число цих значень (вона застосовується в тих випадках, коли є несгруповані індивідуальні значення ознаки):

де
- індивідуальні значення варіюючого (варіанти); м - Число одиниць сукупності.

Далі межі підсумовування у формулах не вказуватимуться. Наприклад, потрібно знайти середнє вироблення одного робітника (слюсаря), якщо відомо, скільки деталей виготовив кожен із 15 робочих, тобто. дано ряд індивідуальних значень ознаки, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Середня арифметична проста розраховується за формулою (4.1),1 шт.:

Середня з варіантів, які повторюються різне число разів, або, як кажуть, мають різна вага, називається виваженою.Як ваги виступають чисельності одиниць у різних групах сукупності (у групу поєднують однакові варіанти).

Середня арифметична зважена- середня згрупованих величин, - обчислюється за формулою:

, (4.2)

де
- ваги (частоти повторення однакових ознак);

- сума творів величини ознак з їхньої частоти;

- загальна чисельність одиниць сукупності.

Техніку обчислення середньої арифметичної зваженої проілюструємо на розглянутому вище прикладі. Для цього згрупуємо вихідні дані та помістимо їх у табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Розподіл робітників з вироблення деталей

За формулою (4.2) середня арифметична зважена дорівнює, шт.:

В окремих випадках ваги можуть бути не абсолютними величинами, а відносними (у відсотках або частках одиниці). Тоді формула середньої арифметичної зваженої матиме вигляд:

де
- Зокрема, тобто. частка кожної частоти у загальній сумі всіх

Якщо частоти підраховують у частках (коефіцієнтах), то
= 1,і формула середньої арифметично зваженої має вигляд:

Обчислення середньої арифметичної зваженої з групових середніх здійснюється за формулою:

,

де f-Кількість одиниць у кожній групі.

Результати обчислення середньої арифметичної із групових середніх представлені у табл. 4.2.

Таблиця 4.2

Розподіл робітників за середнім стажем роботи

У цьому прикладі варіантами є не індивідуальні дані про стаж роботи окремих робітників, а середні по кожному цеху. Терезами fє чисельності робітників у цехах. Звідси середній стаж роботи робітників по всьому підприємству становитиме:

.

Розрахунок середньої арифметичної в рядах розподілу

Якщо значення осредняемого ознаки задані як інтервалів («від - до»), тобто. інтервальних рядів розподілу, то при розрахунку середньої арифметичної величинияк значення ознак у групах приймають середини цих інтервалів, у результаті утворюється дискретний ряд. Розглянемо такий приклад (табл. 4.3).

Від інтервального ряду перейдемо до дискретного шляхом заміни інтервальних значень їх середніми значеннями/(проста середня

Таблиця 4.3

Розподіл робітників АТ за рівнем щомісячної оплати праці

Групи робітників по	Число робітників,	Середина інтервалу,
оплаті праці, руб.	чол., f	руб., х
900 і більше

величини відкритих інтервалів (перший та останній) умовно прирівнюються до інтервалів, що примикають до них (другий та передостанній).

При такому обчисленні середньої допускається певна неточність, оскільки робиться припущення про рівномірність розподілу одиниць ознаки всередині групи. Однак помилка буде тим меншою, чим уже інтервал і чим більше одиниць в інтервалі.

Після того, як знайдені середини інтервалів, обчислення роблять так само, як і в дискретному ряду, - варіанти множать на частоти (ваги) і суму творів ділять на суму частот (ваг), тис. руб.

.

Отже, середній рівень оплати праці робітників АТ становить 729 руб. в місяць.

Обчислення середньої арифметичної часто пов'язане з великими витратамичасу та праці. Однак у ряді випадків процедуру розрахунку середньої можна спростити та полегшити, якщо скористатися її властивостями. Наведемо (без доказу) деякі основні властивості середньої арифметичної.

Властивість 1. Якщо всі індивідуальні значення ознаки (тобто. всі варіанти) зменшити або збільшити в iраз, то середнє значення нової ознаки відповідно зменшиться або збільшиться в iразів.

Властивість 2. Якщо всі варіанти ознаки, що осредняється, уміньшити або збільшити на число А, то середня арифметична відповідністьзменшиться або збільшиться на це ж число А.

Властивість 3. Якщо ваги всіх опосередкованих варіантів зменшити або збільшити в до раз, то середня арифметична не зміниться.

Як ваги середньої замість абсолютних показників можна використовувати питома вагазагалом (частки чи відсотки). Тим самим досягається спрощення розрахунків середньої.

Для спрощення розрахунків середньої йдуть шляхом зменшення значень варіантів і частот. Найбільше спрощення досягається, коли як Авибирається значення одного з центральних варіантів, що має найбільшу частоту, як / - величина інтервалу (для рядів з однаковими інтервалами). Величина Л називається початком відліку, тому такий метод обчислення середньої називається «способом відліку від умовного нуля» або "способом моментів".

Припустимо, що всі варіанти хспочатку зменшені на те саме число А, а потім зменшені в iразів. Отримаємо новий варіаційний ряд розподілу нових варіантів .

Тоді нові варіантивисловлюватимуться:

,

а їхня нова середня арифметична , -момент першого порядку-формулою:

.

Вона дорівнює середньої з початкових варіантів, зменшеної спочатку на А,а потім у iразів.

Для отримання дійсної середньої потрібно момент першого порядку m 1 , помножити на iта додати А:

.

Цей спосібобчислення середньої арифметичної з варіаційного ряду називають "способом моментів".Застосовується цей спосіб у рядах із рівними інтервалами.

Розрахунок середньої арифметичної за способом моментів ілюструється даними табл. 4.4.

Таблиця 4.4

Розподіл малих підприємств регіону за вартістю основних виробничих фондів (ОПФ) у 2000 р.

Групи підприємств за вартістю ВПФ, тис. руб.	Число підприємств, f	Середини інтервалів, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Знаходимо момент першого порядку

.

Потім, приймаючи А = 19 і знаючи, що i= 2, обчислюємо х,тис. руб.:

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

• статечні середні;
• структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної ( простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА).

Середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену (підсумкову) характеристику масових суспільних явищ, оскільки будуються на основі великої кількостііндивідуальних значень ознаки, що варіює. Для з'ясування сутності середньої величини необхідно розглянути особливості формування значень ознак явищ, за даними яких обчислюють середню величину.

Відомо, що одиниці кожного масового явищамають численні ознаки. Яка б із цих ознак ми не взяли, його значення в окремих одиниць будуть різними, вони змінюються, або, як кажуть у статистиці, варіюють від однієї одиниці до іншої. Так, наприклад, заробітна плата працівника визначається його кваліфікацією, характером праці, стажем роботи та цілим рядом інших факторів, тому змінюється у вельми широких межах. Сукупний вплив всіх факторів визначає розмір заробітку кожного працівника, проте можна говорити про середньомісячну заробітну плату працівників різних галузей економіки. Тут ми оперуємо типовим, характерним значенням ознаки, що варіює, віднесеним до одиниці численної сукупності.

Середня величина відображає те загальне,що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх. Рівень (або розмір) будь-якого суспільного явища обумовлений дією двох груп факторів. Одні з них є загальними і головними, постійно діючими, тісно пов'язаними з природою явища, що вивчається, або процесу, і формують те типовавсім одиниць досліджуваної сукупності, що й відбивається у середній величині. Інші є індивідуальними,їхня дія виражена слабше і носить епізодичний, випадковий характер. Вони діють у зворотному напрямі, зумовлюють різницю між кількісними ознаками окремих одиниць сукупності, прагнучи змінити постійну величину досліджуваних ознак. Дія індивідуальних ознакпогашається у середній величині. У сукупному впливі типових та індивідуальних факторів, що врівноважується та взаємно погашається в узагальнюючих характеристиках, проявляється у загальному виглядівідомий з математичної статистики фундаментальний закон великих чисел.

У сукупності індивідуальні значення ознак зливаються в загальну масу і розчиняються. Звідси і середня величинавиступає як «знеособлена», яка може відхилятися від індивідуальних значень ознак, не збігаючись кількісно з жодним з них. Середня величина відображає загальне, характерне і типове для всієї сукупності завдяки взаємопогашенню в ній випадкових, нетипових відмінностей між ознаками окремих її одиниць, оскільки її величина визначається як загальної рівнодіючої з усіх причин.

Однак для того, щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин та передбачає тісний зв'язок методу середніх величин та методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ. Отже, середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю однорідної сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Визначаючи таким чином сутність середніх величин, необхідно підкреслити, що правильне обчислення будь-якої середньої величини передбачає виконання наступних вимог:

• якісна однорідність сукупності, якою обчислена середня величина. Це означає, що літочислення середніх величин повинно ґрунтуватися на методі угруповань, що забезпечує виділення однорідних, однотипних явищ;
• виключення впливу на обчислення середньої величини випадкових, суто індивідуальних причин та факторів. Це досягається у тому випадку, коли обчислення середньої ґрунтується на досить масовому матеріалі, в якому проявляється дія закону великих чисел, та всі випадковості взаємно погашаються;
• при обчисленні середньої величини важливо встановити мету її розрахунку та так званий визначальний показ-телъ(Властивість), на який вона має бути орієнтована.

Визначальний показник може виступати у вигляді суми значень середньої ознаки, суми його зворотних значень, добутку його значень тощо. цьому випадку не змінить визначального показника. На основі цього зв'язку визначального показника із середньою величиною будують вихідне кількісне відношеннябезпосереднього розрахунку середньої величини. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальною властивістю.

Середня величина, розрахована загалом за сукупністю, називається загальної середньої;середні величини, розраховані кожної групи, - груповими середніми.Загальна середня відбиває загальні рисидосліджуваного явища, групова середня дає характеристику явища, що складається у конкретних умовах цієї групи.

Способи розрахунку можуть бути різні, тому в статистиці розрізняють кілька видів середньої величини, основними з яких є середня арифметична, середня гармонійна та середня геометрична.

p align="justify"> В економічному аналізі використання середніх величин є основним інструментом для оцінки результатів науково-технічного прогресу, соціальних заходів, пошуку резервів розвитку економіки. У той самий час слід пам'ятати у тому, що надмірне захоплення середніми показниками може призвести до необ'єктивним висновків під час проведення економіко-статистичного аналізу. Це з тим, що середні величини, будучи узагальнюючими показниками, погашають, ігнорують ті розбіжності у кількісних ознаках окремих одиниць сукупності, які реально існують й можуть становити самостійний інтерес.

Види середніх величин

У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

• статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);
• структурні середні (мода, медіана)

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення даної величини зводиться до підсумовування всіх значень варіюючої ознаки та поділу отриманої суми на Загальна кількістьодиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення виготовлення деталей, у своїй перший виготовив 5 деталей, другий - 7, третій - 4, четвертий - 10, п'ятий- 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, визначення середньої вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної виваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути тільки інший вид середньої величини - середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значенняпридбала середня гармонійна величина, яка теж буває простою та виваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонійної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як Σfi, а час, витрачений весь шлях, - як Σ fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як окреме від розподілу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з середнім показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їхньою середньою величиною (середньою швидкістю) не повинна змінитися загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з середнім, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для висновку середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок середнього показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Крім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найчастіше застосовувані у практичних дослідженнях формули обчислення різних видівстатечних середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, при цьому індивідуальні значення ознаки є, як правило, відносні величинидинаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня у ряді динаміки. Середня характеризує, в такий спосіб, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає наступний вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга - за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу та обчислюється за формулою

Середня зважена квадратичнарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій та обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні тих самих вихідних даних, чим більше kв загальною формулоюстепеневої середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про сукупність, що вивчається, і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним із реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні- мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- величина ознаки, яка найчастіше зустрічається у цій сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися щодо магазинів, які частіше відвідуються, найпоширенішої ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою

де х0 - нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 - частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення про те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їхній центр.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду додати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанта визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n / 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує напівсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

∫m-1 - сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристикиструктури досліджуваної сукупності застосовують інші значення варіантів, які у ранжированном ряду цілком певне становище. До них відносяться квартувалиі децилі.Квартілі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі – на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилів – дев'ять.

Медіана та мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях варіюючої ознаки і тому є додатковими та дуже важливими характеристикамистатистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

Показники варіації

Метою статистичного дослідження є виявлення основних властивостей та закономірностей досліджуваної статистичної сукупності. У процесі зведеної обробки даних статистичного спостереження будують лави розподілу.Розрізняють два типи рядів розподілу - атрибутивні та варіаційні, залежно від того, чи є ознака, взята за основу угруповання, якісною чи кількісною.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності не постійні, більш-менш різняться між собою. Така різниця у величині ознаки носить назву варіації.Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантами значень.Наявність варіації в окремих одиниць сукупності обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Вивчення характеру та ступеня варіації ознак в окремих одиниць сукупності є найважливішим питаннямбудь-якого статистичного дослідження. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Інший важливим завданнямстатистичного дослідження є визначення ролі окремих чинників чи його груп у варіації тих чи інших ознак сукупності. Для вирішення такого завдання у статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, за допомогою яких вимірюється варіація. У практиці дослідник стикається з досить великою кількістю варіантів значень ознаки, що не дає уявлення про розподіл одиниць за величиною ознаки в сукупності. Для цього проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому або спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.Ранжований ряд одночасно дає загальне уявлення про значення, які набуває ознаки в сукупності.

Недостатність середньої величини для вичерпної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання ознаки, що вивчається. Використання цих показників варіації дає можливість зробити статистичний аналіз більш повним і змістовним і тим самим глибше зрозуміти сутність суспільних явищ, що вивчаються.

Найпростішими ознаками варіації є мінімумі максимум -це найменше і найбільше значенняознаки у сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення.Позначимо частоту повторення значення ознаки fi,сума частот, що дорівнює обсягу досліджуваної сукупності буде:

де k- Число варіантів значень ознаки. Частоти зручно замінювати частостями wi. Частина- відносний показник частоти - може бути виражений у частках одиниці або відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числомспостережень. Формально маємо:

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться середнє лінійне відхилення, розмах варіації, дисперсія, середнє відхилення квадратичне.

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності: R= Xmax – Xmin. Цей показник дає лише загальне уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Він не пов'язані з частотами в варіаційному ряду, т. е. з характером розподілу, яке залежність може надавати йому нестійкий, випадковий характер лише з крайніх значень ознаки. Розмах варіації не дає жодної інформації про особливості досліджуваних сукупностей і не дозволяє оцінити рівень типовості отриманих середніх величин. Область застосування цього показника обмежена досить однорідними сукупностями, точніше, характеризує варіацію ознаки показник, що ґрунтується на обліку мінливості всіх значень ознаки.

Для характеристики варіації ознаки необхідно узагальнити відхилення всіх значень від будь-якої типової для вивчається сукупності величини. Такі показники

варіації, як середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення, засновані на розгляді відхилень значень ознаки окремих одиниць сукупності від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної:

Абсолютне значення (модуль) відхилення варіанта від середньої арифметичної; f-частота.

Перша формула застосовується, якщо кожен із варіантів зустрічається в сукупності лише один раз, а друга - у рядах із нерівними частотами.

Існує інший спосіб усереднення відхилень варіантів від середньої арифметичної. Цей дуже поширений у статистиці спосіб зводиться до розрахунку квадратів відхилень варіантів від середньої величини зі своїм наступним усередненням. При цьому ми отримуємо новий показник варіації – дисперсію.

Дисперсія(σ 2) - середня з квадратів відхилень варіантів значень ознаки від їхньої середньої величини:

Друга формула застосовується за наявності варіантів своїх ваг (або частот варіаційного ряду).

В економіко-статистичному аналізі варіацію ознаки прийнято оцінювати найчастіше за допомогою середнього відхилення квадратичного. Середнє квадратичне відхилення(σ) являє собою квадратний корінь з дисперсії:

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення показують, наскільки в середньому коливається величина ознаки у одиниць досліджуваної сукупності, і виражаються в тих самих одиницях виміру, що і варіанти.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіації різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку персоналу та його кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати і т. д. Для подібних зіставлень показники абсолютної коливання ознак - середнє лінійне та середнє квадричне відхилення - не придатні. Не можна, насправді, порівнювати коливання стажу роботи, що виражається в роках, з коливанням заробітної плати, що виражається в рублях і копійках.

При порівнянні мінливості різних ознак у сукупності зручно застосовувати відносні показники варіації. Ці показники обчислюються як відношення абсолютних показників до середньої арифметичної (або медіани). Використовуючи як абсолютний показник варіації розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, отримують відносні показники коливання:

Найчастіше застосовуваний показник відносної коливання, що характеризує однорідність сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % для розподілів, близьких до нормального.