Знайти координати загальної точки двох прямих. Взаємне розташування прямих у просторі. Завдання з прямою в просторі

При вирішенні деяких геометричних завдань методом координат доводиться знаходити координати точки перетину прямих. Найчастіше доводиться шукати координати точки перетину двох прямих на площині, проте іноді виникає потреба у визначенні координат точки перетину двох прямих у просторі. У цій статті ми розберемося зі знаходженням координат точки, в якій перетинаються дві прямі.

Навігація на сторінці.

Крапка перетину двох прямих – визначення.

Давайте спочатку дамо визначення точки перетину двох прямих.

Таким чином, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, визначених на площині загальними рівняннями, потрібно вирішити систему, що складається з рівнянь заданих прямих.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть точку перетину двох прямих, визначених у прямокутної системикоординат на площині рівняннями x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Рішення.

Нам дано два загальні рівняння прямих, складемо з них систему: . Рішення отриманої системи рівнянь легко знаходяться, якщо дозволити її перше рівняння щодо змінної x і підставити цей вираз до другого рівняння:

Знайдене рішення системи рівнянь дає нам шукані координати точки перетину двох прямих.

Відповідь:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Отже, знаходження координат точки перетину двох прямих, визначених загальними рівняннями на площині, зводиться до вирішення системи з двох лінійних рівняньіз двома невідомими змінними. А як бути, якщо прямі на площині задані не загальними рівняннями, а рівняннями іншого виду (дивіться види рівняння прямої на площині)? У цих випадках можна спочатку привести рівняння прямих до загального вигляду, а після цього знаходити координати точки перетину.

приклад.

та .

Рішення.

Перед знаходженням координат точки перетину заданих прямих наведемо їх рівняння до загального вигляду. Перехід від параметричних рівнянь прямої до загальному рівняннюцієї прямої виглядає наступним чином:

Тепер проведемо необхідні діїз канонічним рівнянням прямої:

Таким чином, шукані координати точки перетину прямих є рішенням системи рівнянь виду . Використовуємо для її вирішення:

Відповідь:

M 0 (-5, 1)

Існує ще один спосіб знаходження координат точки перетину двох прямих на площині. Його зручно застосовувати, коли одна з прямих задана параметричними рівняннями виду , а інша – рівнянням прямої іншого виду. В цьому випадку в інше рівняння замість змінних x та y можна підставити вирази і звідки можна буде отримати значення , яке відповідає точці перетину заданих прямих. При цьому точка перетину прямих має координати.

Знайдемо координати точки перетину прямих із попереднього прикладу цим способом.

приклад.

Визначте координати точки перетину прямих та .

Рішення.

Підставимо в рівняння прямої вирази:

Розв'язавши отримане рівняння, отримуємо . Це значення відповідає загальній точці прямих та . Обчислюємо координати точки перетину, підставивши параметричні рівняння прямої:
.

Відповідь:

M 0 (-5, 1).

Для повноти картини слід обговорити ще один момент.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих на площині корисно переконатися, що задані прямі дійсно перетинаються. Якщо з'ясується, що вихідні прямі збігаються або паралельні, то про знаходження координат точки перетину таких прямих не може бути мови.

Можна, звичайно, обійтися і без такої перевірки, а одразу скласти систему рівнянь виду і вирішити її. Якщо система рівнянь має єдине рішення, воно дає координати точки, у якій вихідні прямі перетинаються. Якщо система рівнянь рішень немає, можна робити висновок про паралельність вихідних прямих (оскільки немає такої пари дійсних чисел x і y , яка б задовольняла одночасно обом рівнянням заданих прямих). З наявності нескінченної множини рішень системи рівнянь випливає, що вихідні прямі мають нескінченно багато загальних точок, тобто збігаються.

Розглянемо приклади, які підходять під ці ситуації.

приклад.

З'ясуйте, чи прямі і , і якщо перетинаються, то знайдіть координати точки перетину.

Рішення.

Заданим рівнянням прямих відповідають рівняння і . Вирішимо систему, складену з цих рівнянь .

Очевидно, що рівняння системи лінійно виражаються один через одного (друге рівняння системи виходить з першого множенням обох його частин на 4), отже, система рівнянь має безліч рішень. Таким чином, рівняння визначають одну і ту ж пряму, і ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Відповідь:

Рівняння і визначають у прямокутній системі координат Oxy ту саму пряму, тому ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих і якщо це можливо.

Рішення.

Умова завдання припускає, що прямі можуть бути такими, що не перетинаються. Складемо систему даних рівнянь. Застосуємо для її вирішення, тому що він дозволяє встановити спільність або несумісність системи рівнянь, а у разі її спільності знайти рішення:

Останнє рівняння системи після прямого ходу методу Гауса звернулося в неправильну рівність, отже, система рівнянь немає рішень. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вихідні прямі паралельні, і ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Другий спосіб розв'язання.

Давайте з'ясуємо, чи перетинаються задані прямі.

- нормальний вектор прямий , а вектор є нормальним вектором прямої . Перевіримо виконання і : рівність Правильно, оскільки , отже, нормальні вектори заданих прямих колінеарні. Тоді ці прямі паралельні або збігаються. Отже, ми можемо знайти координати точки перетину вихідних прямих.

Відповідь:

Координати точки перетину заданих прямих знайти неможливо, оскільки ці прямі паралельні.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих 2x-1=0 і якщо вони перетинаються.

Рішення.

Складемо систему із рівнянь, які є загальними рівняннями заданих прямих: . Визначник основної матриці цієї системи рівнянь відмінний від нуля Тому система рівнянь має єдине рішення, що свідчить про перетин заданих прямих.

Для знаходження координат точки перетину прямих нам потрібно вирішити систему:

Отримане рішення дає нам координати точки перетину прямих, тобто, 2x-1=0 та .

Відповідь:

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі.

Координати точки перетину двох прямих тривимірному просторі знаходяться аналогічно.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину двох прямих, заданих у просторі рівняннями і .

Рішення.

Складемо систему рівнянь із рівнянь заданих прямих: . Рішення цієї системи дасть нам шукані координати точки перетину прямих у просторі. Знайдемо рішення записаної системи рівнянь.

Основна матриця системи має вигляд , а розширена - .

Визначимо А і ранг матриці T. Використовуємо

Перпендикулярна пряма

Це завдання, напевно, одне з найпопулярніших і затребуваних у шкільних підручниках. Завдання, засновані на цю тему різноманітні. Це і визначення точки перетину двох прямих, це і визначення рівняння прямої, що проходить через точку на вихідній прямій під будь-яким кутом.

Цю тему ми розкриємо, використовуючи у своїх обчисленнях дані, отримані за допомогою

Саме там було розглянуто перетворення загального рівняння прямої, рівняння з кутовим коефіцієнтом і назад, та визначення інших парметрів прямої за заданими умовами.

Що ж нам не вистачить для того, щоб вирішувати ті завдання, яким присвячена ця сторінка?

1. Формули обчислення одного з кутів між двома прямими, що перетинаються.

Якщо ми маємо дві прямі, які задані рівняннями:

то один із кутів обчислюється так:

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через дану точку

З формули 1, ми можемо побачити два прикордонні стани

а) коли і отже ці дві задані прямі паралельні (чи збігаються)

б) коли , тоді і отже ці прямі перпендикулярні, тобто перетинаються під прямим кутом.

Які можуть бути вихідні дані для вирішення подібних завдань, крім заданої прямої?

Крапка на прямий та кут під яким друга пряма його перетинає

Друге рівняння прямої

Які завдання може дозволити вирішити бот?

1. Задано дві прямі (явним чи не явним чином, наприклад, по двох точках). Обчислити точку перетину та кути якими вони перетинаються.

2. Задано одну пряму, точку на прямий і один кут. Визначити рівняння прямої, що перескакує задану під зазначеним кутом

Приклади

Дві прямі задані рівняннями. Знайти точку перетину цих прямих та кути під яким вони перетинаються

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Отримуємо наступний результат

Рівняння першої прямої

y = 2.2 x + (1.2)

Рівняння другої прямої

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Кут перетину двох прямих (у градусах)

-42.357454705937

Точка перетину двох прямих

x = -3.5

y = -6.5

Не забудьте, що параметри двох ліній поділяються комою, а параметри кожної лінії крапкою з комою.

Пряма проходить через дві точки (1:-4) та (5:2) . Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (-2:-8) та перетинає вихідну пряму під кутом 30 градусів.

Одна пряма нам відома, тому що відомі дві точки, через які вона проходить.

Залишилося визначити рівняння другої прямої. Одна точка нам відома, а замість другої вказано кут, під яким перша пряма перетинає другу.

Начебто все відомо, але тут головне не помилиться. Йдеться про вугілля (30 градусів) не між віссю абсцис та лінією, а між першою та другою лінією.

Для цього ми постимо так. Визначимо параметри першої лінії і дізнаємося під яким кутом вона перетинає вісь абсцис.

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Загальне рівняння Ax+By+C = 0

Коефіцієнт А = -6

Коефіцієнт B = 4

Коефіцієнт C = 22

Коефіцієнт a = 3.66666666666677

Коефіцієнт b = -5.5

Коефіцієнт k = 1.5

Кут нахилу до осі (у градусах) f = 56.309932474019

Коефіцієнт p = 3.0508510792386

Коефіцієнт q = 2.5535900500422

Відстань між точками=7.211102550928

Бачимо, що перша лінія перетинає вісь під кутом 56.309932474019 градусів.

У вихідних даних не сказано, як саме перетинає друга лінія, першу. Адже можна побудувати дві лінії, що задовольняють умовам, перша повернена на 30 градусів за годинниковою стрілкою, а друга на 30 градусів проти годинникової стрілки.

Давайте їх і порахуємо

Якщо друга лінія повернена на 30 градусів ПРОТИ годинникової стрілки, то друга лінія матиме градус перетину з віссю абсцис 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусів

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметри прямої лінії за заданими параметрами

Загальне рівняння Ax+By+C = 0

Коефіцієнт А = 23.011106998916

Коефіцієнт B = -1.4840558255286

Коефіцієнт C = 34.149767393603

Рівняння прямої у відрізках x/a+y/b = 1

Коефіцієнт a = -1.4840558255286

Коефіцієнт b = 23.011106998916

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = kx + b

Коефіцієнт k = 15.505553499458

Кут нахилу до осі (у градусах) f = 86.309932474019

Нормальне рівнянняпрямий x * cos (q) + y * sin (q) -p = 0

Коефіцієнт p = -1.4809790664999

Коефіцієнт q = 3.0771888256405

Відстань між точками=23.058912962428

Відстань від точки до прямої li =

тобто наше рівняння другої лінії є y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Не минуло й хвилини, як я створив новий Вердовський файл і продовжив таку захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тож ліричного вступу не буде. Буде прозова порка =)

Дві прямі простори можуть:

1) схрещуватися;

2) перетинатися в точці;

3) бути паралельними;

4) збігатися.

Випадок № 1 принципово відрізняється з інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад прямих, що схрещуються. У пунктах № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.

Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?

Розглянемо два прямі простори:

- Пряму , задану точкоюі напрямним вектором;
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором.

Для кращого розуміння виконаємо схематичне креслення:

На кресленні як приклад зображені прямі, що схрещуються.

Як розібратися із цими прямими?

Так як відомі точки, то легко знайти вектор.

Якщо прямі схрещуються, то вектори не компланарні(Див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів), отже, визначник, складений із їх координат, ненульовий. Або, що практично те саме, буде відмінно від нуля: .

У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарні, а змішаний твір лінійно залежних векторівдорівнює нулю: .

Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що , Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.

Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальною цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку однієї прямої і підставляємо її координати в рівняння другої прямої; якщо координати "підійшли", то прямі збігаються, якщо "не підійшли", то прямі паралельні.

Хід алгоритму невигадливий, але практичні прикладивсе одно не завадять:

Приклад 11

З'ясувати взаємне розташування двох прямих

Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити за пунктами:

1) Витягуємо з рівнянь точки та напрямні вектори:

2) Знайдемо вектор:

Таким чином, вектори компланарні, отже, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.

4) Перевіримо напрямні вектори на колінеарність.

Складемо систему з відповідних координат даних векторів:

З кожногорівняння слід, що , отже, система спільна, відповідні координати векторів пропорційні, і колінеарні вектори.

Висновок: прямі паралельні чи збігаються.

5) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку , що належить першої прямої, і підставимо її координати до рівняння прямої :

Таким чином, спільних точок у прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.

Відповідь:

Цікавий прикладдля самостійного рішення:

Приклад 12

З'ясувати взаємне розташування прямих

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що другий прямий як параметр виступає буква . Логічно. У загальному випадку– це дві різні прямі, тому в кожної прямий свій параметр.

І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові;-)

Завдання з прямою в просторі

У заключній частині уроку я спробую розглянути максимальна кількістьрізних завдань із просторовими прямими. При цьому буде дотримано розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання з прямими, що схрещуються, потім з прямими, що перетинаються, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак повинен сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для кількох випадків розташування прямих, і у зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи дещо умовно. Є більше прості приклади, є більше складні прикладиі, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.

Схрещувальні прямі

Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площини, в якій вони обидві лежали б. Коли я продумував практику, на думку прийшло завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:

Приклад 13

Дані прямі. Потрібно:

а) довести, що прямі схрещуються;

б) знайти рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно даним прямим;

в) скласти рівняння прямої , яка містить загальний перпендикулярпрямих, що схрещуються;

г) знайти відстань між прямими.

Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:

а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки та напрямні вектори даних прямих:

Знайдемо вектор:

Обчислимо змішаний твір векторів:

Таким чином, вектори не компланарні, Отже, прямі схрещуються, що й потрібно довести.

Напевно, всі вже давно помітили, що для прямих алгоритм перевірки, що схрещуються, виходить коротше всього.

б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямого. Виконаємо схематичне креслення:

Для різноманітності я розмістив пряму ЗАПрямими, подивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, у загальному випадку пряма «де» схрещуватиметься з вихідними прямими. Хоча зараз нас поки що не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.

Що відомо про пряму «де»? Відома точка, що їй належить. Бракує напрямного вектора.

За умовою пряма має бути перпендикулярна прямим , отже, її напрямний вектор буде ортогонален направляючим векторам . Вже знайомий із Прімера № 9 мотив, знайдемо векторний твір:

Складемо рівняння прямої «де» по точці та напрямному вектору:

Готово. В принципі, можна змінити знаки у знаменниках та записати відповідь у вигляді Але потреби в цьому немає ніякої.

Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твору векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогональний напрямних векторів пе один і пе два.

Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?

в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити даний пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії. повинен розташовуватися тут.

Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються.

– це відрізок, що з'єднує дані прямі та перпендикулярний даним прямим:

Ось наш красень: - загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, що містить цей відрізок.

Що відомо про пряму «ем»? Відомий її напрямний вектор, знайдений у попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра – точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З початкового огляду та аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати завдання. Але є хитрий хід, пов'язаний із використанням параметричних рівнянь прямої.

Рішення оформимо за пунктами:

1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі:

Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даної прямої, її координатам відповідає , позначимо його через . Тоді координати точки запишуться у вигляді:

Життя налагоджується, одне невідоме – таки не три невідомі.

2) Така ж наруга треба здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другої прямої в параметричному вигляді:

Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричним рівнянням:

Або:

3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямним вектором прямий. Як скласти вектор по двох точках, розглядалося в незапам'ятні часи на уроці Вектори для чайників. Відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннями параметрів. Ну то й що? Ніхто не забороняє від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.

Є дві точки: .

Знаходимо вектор:

4) Оскільки напрямні вектори колінеарні, один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:

Або покоординатно:

Вийшла сама, що ні є звичайна система лінійних рівняньз трьома невідомими , яка стандартно можна розв'язати, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість позбутися малої крові, з третього рівняння висловимо «лямбду» і підставимо її в перше і друге рівняння:

Таким чином: , А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однакові – чиста випадковість.

5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення у наші точки:

Напрямний вектор особливо не потрібний, тому що вже знайдено його колега.

Після довгого шляху завжди цікаво виконати перевірку.

:

Отримано вірні рівності.

Підставимо координати точки в рівняння :

Отримано вірні рівності.

6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і напрямному вектору:

В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.

Як знайти відстань між прямими, що схрещуються?

г) Зрубуємо четверту голову дракона.

Спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий окремий випадок. Відстань між схрещуються прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра: .

Крайні точки загального перпендикуляра знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарне:

Спосіб другий. Насправді найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.

У курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між прямими схрещуються:
(Замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точки прямих).

Змішаний твір векторіввже знайдено у пункті «а»: .

Векторний твір векторівзнайдено у пункті «бе»: , обчислимо його довжину:

Таким чином:

Гордо викладемо трофеї в один ряд:

Відповідь:
а) , отже, прямі схрещуються, що потрібно було довести;
б) ;
в) ;
г)

Що ще можна розповісти про прямі, що схрещуються? Між ними визначено кут. Але універсальну формулу кута розглянемо в наступному параграфі:

Прямі простори, що перетинаються, обов'язково лежать в одній площині:

Перша думка - всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти у правильних бажаннях?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!

Як знайти точку перетину просторових прямих?

Приклад 14

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Перепишемо рівняння прямих у параметричній формі:

Це завдання докладно розглядалося в Прикладі № 7 цього уроку (див. Рівняння прямої у просторі). А самі прямі, до речі, я взяв із Прімера № 12. Брехати не буду, нові ліньки вигадувати.

Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра прямих, що схрещуються.

Точка перетину прямих належить прямою , тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і відповідає цілком конкретне значення параметра:

Але ця ж точка належить і другий прямий, отже:

Прирівнюємо відповідні рівняння та проводимо спрощення:

Отримано систему трьох лінійних рівнянь із двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прикладі № 12), система обов'язково спільна і має єдине рішення. Її можна вирішити методом Гауса, але вже таким дитсадківським фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «те нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння:

Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що . Тоді:

Підставимо знайдене значення параметра рівняння:

Відповідь:

Для перевірки підставимо знайдене значення параметра рівняння:
Отримані самі координати, що й потрібно перевірити. Скрупульозні читачі можу підставити координати точки і вихідні канонічні рівняння прямих.

До речі, можна було поступити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити – через «те нульове».

Відома математична прикмета говорить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.

Як побудувати пряму простір, перпендикулярну даній?

(прямі перетинаються)

Приклад 15

а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої (Прямі перетинаються).

б) Знайти відстань від точки до прямої.

Примітка : застереження «прямі перетинаються» – істотна. Через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які схрещуватимуться з прямої «ель». Єдине рішення має місце у разі, коли через цю точку проводиться пряма, перпендикулярна двомзаданим прямим (див. приклад № 13, пункт «б»).

а) Рішення: Невідому пряму позначимо через . Виконаємо схематичне креслення:

Що відомо про пряму? За умовою дана точка. Для того щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти напрямний вектор. Як такий вектор цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.

1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її напрямний вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричній формі:

Багато хто здогадався, зараз уже втретє за урок фокусник дістане білого лебедя з капелюха. Розглянемо точку із невідомими координатами. Оскільки точка , її координати задовольняють параметричним рівнянням прямий «ель» їм відповідає конкретне значення параметра:

Або одним рядком:

2) За умовою прямі мають бути перпендикулярні, отже, їх напрямні вектори – ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний твіродно нулю:

Що вийшло? Найпростіше лінійне рівняння з однією невідомою:

3) Значення параметра відоме, знайдемо точку:

І напрямний вектор:
.

4) Рівняння прямої складемо по точці та напрямному вектору :

Знаменники пропорції вийшли дробові, і це якраз той випадок, коли дробів доречно позбутися. Я просто помножу їх на -2:

Відповідь:

Примітка : більш строга кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору . Дійсно, якщо вектор є напрямним вектором прямої, то колінеарний йому вектор , природно, теж буде напрямним вектором цієї прямої.

Перевірка складається з двох етапів:

1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональність;

2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони мають «підходити» і там, і там.

Про типових діяхговорилося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.

До речі, забув ще пунктик - побудувати точку "зю" симетричну точці "ен" щодо прямої "ель". Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитись у статті Найпростіші завдання з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде в додатковій «зетовий» координаті.

Як знайти відстань від точки до прямої у просторі?

б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої .

Спосіб перший. Ця відстань у точності дорівнює довжині перпендикуляра: . Рішення очевидне: якщо відомі точки , то:

Спосіб другий. У практичних завданнях підстава перпендикуляра часто таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готовою формулою.

Відстань від точки до прямої виражається формулою:
, де - напрямний вектор прямий "ель", а - довільнаточка, що належить даній прямій.

1) З рівнянь прямої дістаємо напрямний вектор і найдоступнішу точку.

2) Крапка відома з умови, заточимо вектор:

3) Знайдемо векторний твірі обчислимо його довжину:

4) Розрахуємо довжину напрямного вектора:

5) Таким чином, відстань від точки до прямої:

Якщо прямі перетинаються у точці, її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння однієї прямої.
2) Скласти рівняння другої прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

приклад 13.

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Точку перетину доцільно шукати аналітичним методом Вирішимо систему:

Відповідь:

П.6.4. Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і самим оптимальним маршрутомбуде рух по перпендикуляру. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 14.

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все що потрібно - акуратно підставити числа у формулу та провести обчислення:

Відповідь:

П.6.5. Кут між прямими.

приклад 15.

Знайти кут між прямими.

1. Перевіряємо перпендикулярні прямі:

Обчислимо скалярний твірнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.
2. Кут між прямими знайдемо за допомогою формули:

Таким чином:

Відповідь:

Криві другого порядку. Окружність

Нехай на площині задана прямокутна система координат 0ху.

Кривий другого порядкуназивається лінія на площині, що визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних координат точки М(х, у, z). У загальному випадку це рівняння має вигляд:

де коефіцієнти А, У, З, D, E, L – будь-які дійсні числа, причому хоча б одне з чисел А, B, З на відміну від нуля.

1.Окружністюназивається безліч точок на площині, відстань від яких до фіксованої точки М 0 (х 0 , у 0) постійно і дорівнює R. Точка М 0 називається центром кола, а число R - її радіусом

– рівняння кола з центром у точці М 0 (х 0 , у 0) та радіусом R.

Якщо центр кола збігається з початком координат, маємо:

– канонічне рівняння кола.

Еліпс.

Еліпсомназивається безліч точок на площині, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок є постійна величина (причому ця величина більше відстаней між даними точками). Дані точки називаються фокусами еліпса.

- Канонічне рівняння еліпса.

Ставлення називається ексцентриситетомеліпса і позначається: , . Оскільки , то< 1.

Отже, зі зменшенням ставлення прагне 1, тобто. b мало відрізняється від а і форма еліпса стає ближчою до форми кола. У граничному випадку при , Виходить коло, рівняння якого є

х 2 + у 2 = а2.

Гіперболу

Гіперболоюназивається безліч точок на площині, для кожної з яких абсолютна величинарізниці відстаней до двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна (за умови, що ця величина менша за відстань між фокусами і не дорівнює 0).

Нехай F 1 , F 2 – фокуси, відстань між ними позначимо через 2с параметром параболи).

- Канонічне рівняння параболи.

Зауважимо, що рівняння при негативному р також визначає параболу, яка буде розташована зліва від осі 0у. Рівняння описує параболу, симетричну щодо осі 0у, що лежить вище осі 0х при р > 0 і лежить нижче осі 0х при р< 0.