Практика побудови мережного графіка. Розрахунок мережного графіка секторним способом

Основні параметри мережевого графіка

До основних параметрів мережного графіка відносяться:

Критичний шлях

Резерви часу здійснення подій

Резерви часу для виконання робіт

Шлях - Послідовність робіт, в якій кінцева подія однієї роботи, збігається з початковою подією іншої.

Повний шлях - Шлях, початком якого є вихідна подія, а кінцем завершальне.

Тривалість, довжина колії, дорівнює сумі тривалостей робіт. Його складових.

Критичний шлях - Повний шлях. найбільший за тривалістю зі всіх шляхів мережного графіка від вихідної події (I) до завершального (С).

Довжина критичного шляху визначає загальну тривалість виконання всього комплексу робіт. Критичний шлях дозволяє знайти термін настання завершальної події.

Повні шляхи можуть проходити поза критичним або частково збігатися з ним. Ці менші за тривалістю шляху називаються ненапруженими.Особливості в тому. Що мають резерви часу. А критичний шлях – ні. Для кожної i-ї події визначається:

t pi– ранній термін наступу- Мінімальний з можливих термінівнастання цієї події при заданій тривалості робіт.

t п i– пізній термін наступу– максимальний термін настання цієї події, за яких ще можливе виконання всіх наступних робітз дотриманням встановленого терміну настання події.

R i – резерв часу для події– проміжок часу, який може бути відстрочено наступ цієї події без порушення терміну розробки планованого комплексу загалом. Визначається як різницю між пізнім ( t п i) та раннім ( t р i) термінами здійснення даної події.

Резерви події критичного шляху дорівнюють нулю, тому що на ньому t п i = t р i

Для кожної роботи ( t ij) визначається:

ранній термін початку (t р.н. ij)- Мінімальний з можливих термінів початку даної роботи.

ранній термін закінчення (t р.о. ij)– мінімальний із можливих термінів закінчення даної роботи, при заданій тривалості робіт

пізній термін початку (t п.н. ij)– максимальний із допустимих термінів початку цієї роботи

пізній термін закінчення (t п.о. ij)– максимальний із допустимих термінів закінчення даної роботи, за яких ще можливе виконання наступних робіт з дотриманням встановленого строку настання завершальної події.

Очевидно, ранній термін початку роботи збігається з раннім терміном настання її початкової події, а ранній термін закінчення перевищує його на тривалість роботи:

t р.н. ij = t р i

t р.о. ij = t р i + t ij

Пізній термін закінчення роботи збігається з пізнім терміном її кінцевої події, а пізній термін початку роботи менший на час виконання роботи:

t п.о. ij = t п j

t п.н. ij = t п j - t ij

Повний резерв часу для виконання роботи R nij– максимальний період часу, на який можна відкласти початок або збільшити тривалість роботи, не змінюючи встановлений термін настання завершальної події.

Вільний резерв часу для виконання роботи, що є частиною повного резерву – максимальний період, який можна відстрочити початок чи збільшити тривалість роботи, не змінюючи у своїй ранніх термінів початку наступних робіт.

Роботи, що лежать на критичному шляху, резервів немає, оскільки всі резерви створюються рахунок різниць тривалостей критичного і аналізованого шляхів.

Відносним показником, що характеризує резерв часу для виконання робіт, є коефіцієнт їх напруженості,який дорівнює відношенню тривалості відрізків шляху між тими самими подіями, причому, один відрізок є частиною шляху максимальної тривалості з усіх шляхів, що проходять цю роботу, а інший відрізок – частиною критичного шляху.

3.Розрахунок мережевих моделей

Параметри мережі для мережного графіків розраховуються графічним та табличним методом, а для складних математичним методом.

Графічно метод розрахунку здійснюється безпосередньо на графіку і застосовується у тих випадках, коли кількість подій невелика. Для цього кожен кружечок ділиться на 4 сектори.

Верхній сектор – резерв часу настання події R i

лівий сектор – ранній термін настання події t pi

правий сектор – пізній термін настання події t п i

внизу – номер події

Методика розрахунку параметрів

1) Ранні терміни здійснення подій . Ранній термінздійснення вихідної (першої чи нульової) події приймається рівним нулю. Ранні терміни здійснення всіх інших подій визначається в суворій послідовності за зростаючими номерами подій. Для визначення раннього терміну звершення будь-якої події j розглядаються всі роботи, що входять до цієї події, по кожній роботі визначається ранній термін звершення кінцевої події як сума раннього терміну звершення початкової події роботи та тривалості цієї роботи t ij ,з отриманих значень вибирається максимальний час раннього терміну здійснення j-ї події

t pj = (t pi +t ij) max та записується на графік (лівий сектор події)

2) Пізні терміни події . Пізній термін здійснення завершальної події приймається рівним його ранньому терміну. Розрахунок пізніх термінівЗдійснення решти подій ведеться у зворотній послідовності, за спадними номерами подій. Для визначення пізнього терміну звершення попередньої події i розглядаються всі роботи, що виходять з i-ї події. За кожною роботою ведеться розрахунок пізнього терміну звершення початкової події t п i ,як різниця між пізнім терміном звершення кінцевої події цієї роботи t п jта тривалістю даної роботи t ij.З отриманого значення вибирають мінімальний час пізнього терміну звершення i-го події: t п i = (t п j - t ij) minта записується у правий сектор.

3) Тривалість критичного шляху дорівнює ранньому терміну настання завершальної події.

4) Резерви часу подій . При визначенні резервів часу для подій слід відняти від числа, записаного в правому секторі даної події, число, записане в лівому секторі і поставити його у верхній сектор.

5) При визначенні повного резерву часу для роботи слід відняти від числа, записаного в правому секторі кінцевої події, число, записане в лівому секторі початкової події, та тривалість самої роботи.

6) При визначенні вільного резерву для роботи слід відняти від числа, записаного в лівому секторі кінцевої події, число, записане в лівому секторі початкової події, та тривалість самої роботи.

Вихідні дані:

Табличний метод

Коди робіт у таблиці записуються за зростанням індексу i.

Стовпці 2 та 3 заповнюються допоміжними даними: кодами попередніх та наступних робіт. Ці дані будуть потрібні для розрахунків. Якщо роботи початкові, тобто попередніх робіт немає, чи кінцеві, тобто наступних робіт немає, то відповідних графах ставляться прочерки. Попередніх і наступних робіт може бути дещо відповідно до кількості векторів, що закінчуються або починаються в цій події./

У стовпці 4 розмішають значення тривалості робіт.

Зі стовпця 5 починаються розрахункові дані. Розрахунок проводиться у два проходи рядками таблиці. Перший прохід рядками зверху вниз, у якому розраховуються ранні терміни робіт, а другий прохід рядками знизу вгору, у якому розраховуються пізні терміни робіт.

Раннє початок робіт, які мають попередніх (у графі 2 – прочерк), може бути прийнято за 0, а то й задано якесь інше значення. Раннє закінчення роботи визначається згідно з формулою t р.о. ij = t рн ij + t ij та записується до графи 6.

Раннє початок інших можна визначити як, якщо розглядається, наприклад робота 2,5, яка має початкова подія 2, то час її раннього початку дорівнює часу раннього закінчення роботи 12, так як у неї кінцева подія 2. Значення з графи 6 переписується в графу 5 Коди попередніх робіт зазначені у графі 2. Раннє закінчення також визначається за формулою t р.о. ij = t рн ij + t ij

Якщо, у графі 2 зазначено, що певній роботі передує більше, ніж одна робота (роботі 5,6 передують роботи 2,5 і 3,5), необхідно вибрати значення раннього початку з кількох варіантів значення (9 – за часом закінчення роботи 2 ,5 чи 13 – за часом закінчення роботи 3,5). Правило вибору відповідає формулі t p . ij = (t pi + t ij) max , тобто вибирається максимальне значення (у прикладі – 16). Ранні закінчення визначаються як зазначалося вище.

Максимальне значенняраннього закінчення у графі 6 відповідає значенню тривалості критичного шляху (16).

Другий прохід уздовж рядків таблиці від роботи, записаної в останньому рядку, до роботи, записаної в першому рядку, дозволяє визначити значення пізніх показників робіт. Для робіт, які не мають наступних робіт (у графі 3 – прочерк, у прикладі роботи 46, 5,6) у графу пізнього закінчення (8) записується значення критичного шляху. Для цих робіт значення пізнього початку обчислюється за формулою t п.н. ij t по ij - t ij

Пізніше закінчення інших можна визначити як, якщо розглядається, наприклад робота 3,5, яка має кінцеву подію 5, то час її пізнього закінчення дорівнює часу пізнього початку роботи 5,6, так як у неї кінцева подія 5. Значення з графи 7 переписується в графу 8. Коди наступних робіт зазначені у графі 3. Пізній початок також визначається за формулою t п.н. ij t по ij - t ij .

Якщо, у графі 3 зазначено, що певній роботі слід більше, ніж одна робота (роботі 0,1 слідують роботи 1,2 і 1,3), необхідно вибрати значення пізнього закінчення з кількох варіантів значення (3 – за часом початку роботи 1 ,3 чи 7 – за часом початку роботи 1,2), вибирається мінімальне значення (у прикладі – 3). Пізніше початок визначаються як зазначалося вище за формулою t п.н. ij t по ij - t ij .

Значення повного резерву часу (стовпець 9) розраховується за формулою

R nij = t по ij - t рн ij - t ij.

Значення вільного резерву часу (стовпець 10) розраховується за формулою

R з ij = t ро ij - t рн ij - t ij

• 1. Виділити критичний шлях та знайти його довжину;
• 2. Визначити резерви часу кожної події;
• 3. Визначити резерви часу всіх робіт і коефіцієнт напруженості роботи останньої роботи

Рішення

Для вирішення задачі застосуємо такі позначення.

Елемент мережі	Найменування параметру	Умовне позначення параметра
Подія i	Ранній термін здійснення події
Пізній термін події
Резерв часу події
Робота (i, j)	Тривалість роботи
Ранній термін початку роботи
Ранній термін закінчення роботи
Пізній термін початку роботи
Пізній термін закінчення роботи
Повний резерв часу роботи
	Тривалість шляху
Тривалість критичного шляху
Резерв часу шляху

Для визначення резервів часу за подіями мережі розраховують найбільш ранні t p і пізніші t п терміни здійснення подій. Будь-яка подія не може наступити перш, ніж відбуватиметься всі попередні події і не будуть виконані всі попередні роботи. Тому ранній (або очікуваний) термін tp(i) здійснення i-ої події визначається тривалістю максимального шляху, що передує цій події:

t p (i) = max(t(L ni)) (1)

де L ni - будь-який шлях, що передує i-й події, тобто шлях від вихідної до i-ої події мережі.

Якщо подія j має кілька попередніх шляхів, а отже, кілька попередніх подій i, то ранній термін здійснення події j зручно знаходити за формулою:

t p (j) = max (2)

Затримка здійснення події i стосовно свого раннього терміну не позначиться на терміні звершення завершальної події (а отже, і на терміні виконання комплексу робіт) доти, доки сума строку звершення цієї події та тривалості (довжини) максимального з наступних за ними шляхів не перевищить довжину критичного шляху. Тому пізній (або граничний) термін t п (i) здійснення i-ої події дорівнює:

t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)

де Lci - будь-який шлях, що йде за i-им подією, тобто. шлях від i-ого до завершальної події мережі.

Якщо подія i має декілька наступних шляхів, а отже, кілька наступних подій j, то пізній термін здійснення події i зручно знаходити за формулою:

t п(i) = min

Резерв часу R(i) i-ої події визначається як різницю між пізнім і раннім термінами його здійснення:

R(i) = tп(i) - tp(i)

Резерв часу події показує, який допустимий період можна затримати наступ цієї події, не викликаючи у своїй збільшення терміну виконання комплексу работ.

Критичні події резервів часу не мають, тому що будь-яка затримка у здійсненні події, що лежить на критичному шляху, викличе таку ж затримку у здійсненні події, що завершує. Таким чином, визначивши ранній термін настання завершальної події мережі, ми цим визначаємо довжину критичного шляху.

При визначенні ранніх термінів здійснення подій tp(i) рухаємося за мережевим графіком зліва направо і використовуємо формули (1), (2).

Розрахунок термінів здійснення подій.

Для i=0 (початкової події) очевидно tp(0)=0.

i = 1: t p (1) = t p (0) + t (0,1) = 0 + 0 = 0.

i = 2: t p (2) = t p (1) + t (1,2) = 0 + 8 = 8.

i = 3: t p (3) = t p (1) + t (1,3) = 0 + 3 = 3.

i=4: max(t p(2) + t(2,4);t p(3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.

i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.

i = 6: max (t p (4) + t (4,6); t p (5) + t (5,6)) = max (14 + 5; 14 + 3) = 19.

i = 7: t p (7) = t p (6) + t (6,7) = 19 + 9 = 28.

i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5; 28 + 4) = 32.

i = 9: max (t p (5) + t (5,9); t p (7) + t (7,9)) = max (14 + 2; 28 + 4) = 32.

i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2; 32 + 0) = 32.

i = 11: max (t p (8) + t (8,11); t p (10) + t (10,11)) = max (32 + 12; 32 + 4) = 44.

Довжина критичного шляху дорівнює ранньому терміну завершення події 11: t kp =tp(11)=44

При визначенні пізніх термінів здійснення подій t п (i) рухаємося по мережі у зворотному напрямку, тобто праворуч наліво і використовуємо формули (3), (4).

Для i=11 (завершальної події) пізній термін здійснення події повинен дорівнювати його ранньому терміну (інакше зміниться довжина критичного шляху): t п (11) = t р (11) = 44

i = 10: t п (10) = t п (11) - t (10,11) = 44 - 4 = 40.

i = 9: t п (9) = t п (10) - t (9,10) = 40 - 0 = 40.

Проглядаються усі рядки, що починаються з номера 8.

i = 8: t п (8) = t п (11) - t (8,11) = 44 - 12 = 32.

Проглядаються усі рядки, що починаються з номера 7.

i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4; 40 - 4; 40 - 2) = 28.

i = 6: min (t п (7) - t (6,7); t п (8) - t (6,8)) = min (28 - 9; 32 - 5) = 19.

Проглядаються усі рядки, що починаються з номера 5.

i = 5: min (t п (6) - t (5,6); t п (9) - t (5,9)) = min (19 - 3; 40 - 2) = 16.

i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0; 19 - 5; 40 - 4) = 14.

Проглядаються усі рядки, що починаються з номера 3.

i = 3: t п (3) = t п (4) - t (3,4) = 14 - 3 = 11.

i = 2: min (t п (4) - t (2,4); t п (8) - t (2,8)) = min (14 - 6; 32 - 18) = 8.

i = 1: min (t п (2) - t (1,2); t п (3) - t (1,3)) = min (8 - 8; 11 - 3) = 0.

(0,1): 0 - 0 = 0;

Таблиця 1 - Розрахунок резерву подій

Номер події	Терміни здійснення події: ранній tp(i)	Терміни здійснення події: пізній tп(i)	Резерв часу, R(i)

Наповнення таблиці 2.

Перелік робіт та їх тривалість перенесемо у другу та третю графи. При цьому роботи слід записувати до графи 2 послідовно: спочатку починаючи з номера 0, потім з номера 1 і т.д.

У другій графі поставимо число, що характеризує кількість безпосередньо попередніх робіт (КПР) тієї події, з якої починається робота, що розглядається.

Так, до роботи (1,2) до графи 1 поставимо число 1, т.к. на номер 1 закінчуються 1 роботи: (0,1).

Графу 4 одержуємо з таблиці 1 (t p (i)). Графу 7 одержуємо з таблиці 1 (t п (i)).

Значення у графі 5 виходять у результаті підсумовування граф 3 та 4.

У графі 6 пізній початок роботи визначається як різниця пізнього закінчення цих робіт та їх тривалості (із значень графи 7 віднімаються дані графи 3);

Вміст графи 8 (повний резерв часу R(ij)) дорівнює різниці граф 6 і 4 або граф 7 і 5. Якщо R(ij) дорівнює нулю, то робота є критичною

Таблиця 2 - Аналіз мережевої моделіпо часу

Робота (i,j)	Кількість попередніх робіт	Тривалість tij	Ранні терміни: початок tijР.М.	Ранні терміни: закінчення tijР.О.	Пізні терміни: початок tijП.Н.	Пізні терміни: закінчення tijп.о.	Резерви часу: повний RijП	Незалежний резерв часу RijН	Приватний резерв I роду, Rij1	Приватний резерв ІІ роду, RijC

Слід зазначити, що, крім повного резерву часу роботи, виділяють ще три різновиди резервів. Приватний резерв часу першого виду R 1 - частина повного резерву часу, яку можна збільшити тривалість роботи, не змінивши при цьому пізнього терміну її початкової події. R 1 знаходиться за формулою:

R (i, j) = R п (i, j) - R (i)

Приватний резерв часу другого виду, або вільний резерв часу Rc роботи (i,j) є частиною повного резерву часу, на яку можна збільшити тривалість роботи, не змінивши при цьому раннього терміну її кінцевої події. Rc знаходиться за формулою:

R (i, j) = R п (i, j) - R (j)

Значення вільного резерву часу роботи свідчить про розташування резервів, необхідні оптимізації.

Незалежний резерв часу Rн роботи (i,j) - частина повного резерву, одержувана для випадку, коли попередні роботи закінчуються в пізні терміни, проте наступні починаються ранні терміни. Rн знаходиться за формулою:

R(i,j) = Rп(i,j) - R(i) - R(j)

Критичний шлях: (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)

Тривалість критичного шляху: 44

Знайдемо коефіцієнт напруженості передостанньої роботи. Оскільки довжина критичного шляху 44, максимальний шлях, що проходить через роботу (1,10) дорівнює 32, тоді

К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.

4. Інтернет-провайдер в невеликому містімає 5 виділених каналів обслуговування. В середньому на обслуговування одного клієнта потрібно 25 хвилин. У систему в середньому надходить 6 акзаів на годину. Якщо вільних каналів немає, слід відмова. Визначити характеристики обслуговування: ймовірність відмови, середня кількість зайнятих обслуговуванням ліній зв'язку, абсолютну та відносну пропускну здатність, ймовірність обслуговування. Знайти число виділених каналів, при якому відносна пропускна здатністьсистеми буде щонайменше 0,95. Вважати, що потоки заявок та обслуговувань найпростіші

Інтенсивність потоку обслуговування:

Інтенсивність навантаження:

с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5

Інтенсивність навантаження с=2.5 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.

Імовірність того, що обслуговуванням:

зайнятий 1 канал:

p 1 = з 1/1! p 0 = 2.5 1/1! * 0.0857 = 0.214

зайняті 2 канали:

p 2 = з 2/2! p 0 = 2.5 2/2! * 0.0857 = 0.268

зайняті 3 канали:

p 3 = з 3/3! p 0 = 2.53/3! * 0.0857 = 0.223

зайняті 4 канали:

p 4 = з 4/4! p 0 = 2.54/4! * 0.0857 = 0.139

зайняті 5 канали:

p 5 = з 5/5! p 0 = 2.5 5/5! * 0.0857 = 0.0697

Імовірність відмови - це частказаявок, які отримали відмову:

Отже, 7% з числа заявок, що надійшли, не приймаються до обслуговування.

Імовірність обслуговування заявок, що надходять-ймовірність того, що клієнт буде обслужений:

У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому:

p отк + p обс = 1

Відносна пропускна здатність Q = p обс .

p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0697 = 0.93

Отже, 93% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені. Середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням

n з = с * p обс = 2.5 * 0.93 = 2.326 каналу.

Середня кількість каналів, що простоюють..

n пр = n – n з = 5 – 2.326 = 2.7 каналу.

Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням.

Отже система на 50% зайнята обслуговуванням.

Абсолютна пропускна спроможність

A = pобс * л = 0.93 * 6 = 5.581 заявок/год.

Середній час простою СМО.

t пр = p отк * t обс = 0.0697 * 0.417 = 0.029 год.

Середня кількість заявок, що обслуговуються..

L обс = с * Q = 2.5 * 0.93 = 2.326 од.

Середній час перебування заявки до СМО(Формула Літтла).

Число заявок, які отримали відмову протягом години: л * p 1 = 0.418 заявок на годину.

Номінальна продуктивність СМО: 5/0.417 = 12.002 заявок на годину.

Фактична продуктивність СМО: 5.581/12.002 = 47% від номінальної продуктивності.

Визначимо кількість каналів, необхідні забезпечення працездатності системи з ймовірністю P ? 0.95

Для цього знаходимо n із умови:

Знайдемо ймовірність того, що якщо в системі буде 6 каналів і всі вони будуть зайняті:

При складанні мережного графіка оцінку часу ведуть, виходячи з припущення, що всі готівкові ресурси можуть бути застосовані для завершення кожної роботи на підставі проектів виконання робіт та технологічних карт. Потім ця оцінка часу уточнюється з допомогою суміщення окремих робіт, з принципів оптимального використанняготівкової робочої сили та інших ресурсів. У зв'язку з тим, що трудомісткість робіт зазвичай виявляється у чел.-днях, дані, запозичені з технологічних карт чи нормативних довідників, досить розділити кількість робочих, що у розпорядженні керівництва будівництвом у тому, щоб визначити загальну тривалість роботи, вираженої днями. Одиниця часу, використовувана в мережевих графіках, має бути єдиною всім видів робіт, включених у мережу.

За тривалістю кожного виду робіт визначається загальний термін будівництва, який після прив'язки до календаря є календарним планом будівництва. Приймаючи тривалість виконання окремих робіт за даними, наведеними на рис. 121, можна знайти критичний шлях по сітці з тим, щоб визначити найраніший і найпізніший термін закінчення кожної роботи.

Мал. 121. Схема мережного графіка із критичним шляхом.

Критичний шлях починається з початкової події і йде мережею зліва направо до кінцевої події. При цьому ранні терміни початку та закінчення робіт визначаються шляхом підсумовування тривалості всіх робіт, від яких залежить дана роботапочинаючи від початкової події. Ці дані проставляються у квадратиках, які розташовані біля гуртків подій.

Отже, розрахунок мережного графіка зводиться до визначення резервів часу окремих робіт і з них - загальної тривалості критичного шляху.

При невеликій кількості подій зазначений розрахунок не є складністю. Однак, якщо врахувати, що мережеві графіки пускових комплексів промислових підприємствзазвичай охоплюють сотні і навіть тисячі подій, то їх підрахунку потрібен значний час. У таких випадках розрахунок мережного графіка ведеться послідовно з використанням відповідних формул і таблиць вручну за кількості подій до 500 або за допомогою ЕОМ за більшої кількості. Для з'ясування методики зазначених розрахунків можна використовувати дані, наведені на рис. 121.

Якщо прийняти літерні позначенняпочаткової події будь-якої з робіт - т, кінцевої п і кінцевої події наступної за нею роботи - до, ці роботи можна позначити індексами m - n і n - до.

Раніше було сказано, що всі роботи, що не лежать на критичному шляху, мають запаси часу, і для них можуть бути визначені по два терміни початку і закінчення, відповідно, найбільш ранні і пізніші.

Прийнявши позначення:

Розрахунок починається з визначення ранніх термінів робіт, тобто

Раннє початок перших робіт 1-2 і 1-3, що виходять з початкової події 1, дорівнює нулю, або

тобто якщо подія m є початковою, то ранній початок роботи m - n буде

Найраніший початок роботи

визначається тривалістю найдовшого шляху від початкової події до попередньої події цієї роботи.

Наприклад, для роботи 7 - 8 ранній початок по ланцюгу 1 - 2 - 7 дорівнює:

Проте з технологічної залежності виконання робіт слід, що розпочати роботу 7 - 8 до закінчення роботи 2 - 7 не можна, тому ранній початок роботи 7 - 8 слід прийняти через 9 днів, тобто роботу можна розпочати на 10-й день.

За аналогією визначаємо ранній початок для інших робіт:

Раннє початок роботи 5 - 9:

Так як робота 5 - 9 не може бути розпочата дож закінчення 7 - 8, слід прийняти її початок з розрахунку ланцюга 1 - 2 - 7 - 8, тобто через 14 днів після початку будівництва. З цих причин раннє початок роботи 8 - 9 слід прийняти з ланцюга 1 - 2 - 7 - 8, тобто.

Раннє початок роботи 9 - 10:

Слід прийняти

18 днів, оскільки ця робота не може бути виконана до закінчення роботи 7 – 8.

Ранні терміни закінчення робіт визначаються шляхом додавання до раннього терміну початку її заданої тривалості за формулою:

Вочевидь, що раннє початок наступної роботи визначається раннім закінченням попередніх робіт, тобто.

Якщо цій роботі передує кілька робіт, то її Тр.н буде максимальною із величин ранніх закінчень попередніх робіт:

Рівність є прямим наслідком того, що не можна розпочати будь-яку роботу, якщо не виконано попередню роботу або не виконано ряд робіт, що сходяться в одній події та мають різні терміниїх закінчення.

Раннє закінчення роботи

визначається за формулою:

У цьому прикладі ці терміни будуть:

Як видно з наведеного розрахунку, ранній початок та закінчення визначаються для всіх робіт графіка послідовно від початкової події. Розрахунок визначення ранніх термінів закінчення робіт постійно йде по найбільшим величинамтривалість робіт.

Максимальна величина суми ранніх закінчень технологічно пов'язаного ланцюга робіт, що завершується кінцевою подією всього графіка (у нашому випадку ланцюга 1 - 2 - 7 - 8 - 9 - 10), визначає тривалість критичного шляху та термін будівництва. У прикладі Пкр = 23 дні.

Найпізніший початок роботи, яке не викличе затримки закінчення будівництва всього об'єкта, визначається різницею тривалості критичного шляху та найдовшого шляху від попередньої події даної роботи до кінцевої події. ^

Наприклад, до роботи 7 - 8 (рис. 121) пізній початок дорівнюватиме:

Дещо складніше визначити пізній початок роботи 2 - 7 або найпізніше здійснення події 2, від якого залежить початок наступних робіт 2 - 7, 2 - 8, 2 - 9 та ін. До роботи 2 - 7 від кінцевої події 10 до аналізованого 2 можна підійти кількома шляхами:

шлях 1 (10 – 9 – 2) тривалістю L1 = 5+ 10 = 15 днів;

шлях 2 (10 – 9 – 8 – 2) тривалістю L2 = 5 + 4 + 8 = 17 днів;

шлях 3 (10 – 9 – 8 – 7 – 2) тривалістю L3 = 5 + 4 + 5 + 6 = 20 днів.

Відповідно до цих шляхів пізні терміни початку роботи

будуть рівні:

Очевидно, щоб не викликати затримки у виконанні подальшої роботи та інших робіт слід прийняти мінімальне значення

тобто почати роботу 2 - 7 не пізніше ніж через 3 дні після початку будівництва. Якщо взяти більший термін пізнього початку роботи 2 - 7, то всі наступні роботи також виконуватимуться пізніше, що викличе в цілому затримку після закінчення будівництва.

Найпізнішим закінченням останньої роботи 9-10 в розглянутому мережевому графіку з'явиться здійснення події 10, термін якого визначається тривалістю критичного шляху, тобто раннім терміном завершення робіт, що лежать на шляху 1 - 2 - 7 - 8 - 9 - 10. нашому випадку Пкр = 23 днях та

23 днях, тому

або в загальному вигляді

Пізніше закінчення інших робіт у ланцюзі, що розглядається, визначають сумою пізнього початку і тривалості даної роботи.

Для роботи 7 - 8:

Для роботи 2 - 7:

Загалом визначити пізній термін виконання роботи можна наступним чином. Пізніше початок робіт

і різниці пізнього закінчення

і тривалість роботи m - n, тобто.

Подальший аналіз мережного графіка ведеться шляхом зіставлення ранніх та пізніх характерних робітдля виявлення критичного шляху та визначення резервів часу. Ті роботи, у яких ранні початку та закінчення рівні пізнім початкам та закінченням, не мають запасу часу, а отже, вони лежать на критичному шляху. Якщо це збіг не встановлено, то аналізовані роботи мають певний резерв часу.

Як зазначалося раніше, розрізняють повний резерв часу аналізованого шляху (ланцюга), приватний та загальний резерви часу роботи.

Повним резервом часу даної ланцюга робіт називають різницю у часі між сумарної тривалістю робіт, що лежать на критичному шляху, і тривалістю робіт аналізованого ланцюга (шляху), тобто.

де Пкр -сумарна тривалість робіт, що лежать на критичному шляху;

Пц - те, що лежить на аналізованої ланцюга.

У нашому прикладі величина повного резерву між критичним шляхом 1-2-7-8-9-10, рівним 23 дням, і ланцюгом 1-3-4-5-9-10, рівним 2+4+3 + 3+5= 17 днів, буде Рпол = 23-17 = 6 днів.

Таким чином, повний резерв Рпол даного ланцюга (шляху) дорівнює суміприватних (вільних) резервів робіт, що лежать на ній

У нашому прикладі:

Повний або загальний резерв часу роботи роботи m - n визначається як резерв часу у максимального зі шляхів, що проходить через цю роботу.

Величина

показує, який час може бути збільшена тривалість окремої роботи т п, щоб у своїй довжина максимального зі шляхів, що проходить цю роботу вбирається у довжини критичного шляху.

Загальний запас часу визначають різницею пізнього та раннього початку часу або пізнього та раннього закінчення роботи.

Наприклад, загальний запас часу для роботи 7 - 8 складає

Зведений або приватний резерв часу визначає ту кількість часу, на яку можна перевести початок роботи або збільшити її тривалість без зміни раннього початку наступних робіт.

Такий запас може виявитись у тому випадку, коли подія є результатом двох або більше робіт. Він визначається різницею раннього початку подальшої роботи та раннього закінчення даної роботи.

Наприклад, приватний запас часу для роботи 2 - 8 складає:

У загальному вигляді приватний запас часу Рч визначають за такою формулою:

Після закінчення розрахунку мережного графіка легко визначити критичний шлях за видами робіт, які мають Р°=0; критичний шлях включає всі роботи (стрілки), розташовані послідовно одна за одною, тобто він позначає роботи, на виконання яких потрібні найбільші витратичасу.

Поняття критична робота охоплює як основні будівельно-монтажні, так і допоміжні роботи. Наприклад, критичною роботою може бути доставка будівельних деталейабо технологічного обладнанняна будівельний майданчик.

Крім критичного шляху, цікавить так звана критична зона, що обумовлює сукупність робіт, що мають малі резерви часу. Роботи критичної зони, що не лежать на критичному шляху, можуть опинитися в ньому навіть при невеликій зміні тривалості деяких робіт. Такі роботи називаються підкритичними. Розрізняють також резервну зону, сукупність робіт якої має значні резерви часу.

Підсумовуючи час, необхідний виконання всіх робіт, розташованих на критичному шляху, визначають тривалість будівництва об'єкта

Мережі або мережеві моделі мають широке практичне застосування. З усієї різноманітності методів та моделей розглянемо тут лише метод критичного шляху (МКП). Мережа у разі – це графічне відображення комплексу робіт. Основними елементами мережі тут є події та роботи.
Подія - це момент завершення процесу, що відображає окремий етап виконання проекту. Комплекс робіт починається з вихідного та закінчується завершальною подією.
Робота – це тривалий у часі процес, необхідний здійснення події і, зазвичай, потребує витрат ресурсів.
Події на мережевому графіку зазвичай зображуються кружками, а роботи – дугами, що з'єднують події. Подія може відбутися лише тоді, коли закінчаться усі роботи, які йому попередні.
У мережевому графіку не повинно бути "тупикових" подій, за винятком завершального, не повинно бути подій, яким не передує хоча б одна робота (крім вихідного), не повинно бути замкнутих контурів та петель, а також паралельних робіт.
Розгляд основних понять та положень МКП вестимемо на основі наступного прикладу. Нехай задана наступна послідовність робіт із їх тимчасовими характеристиками: Побудуємо мережевий графік так, щоб усі дуги роботи були
спрямовані зліва направо (рис.2). Над дугами проставлено тривалість робіт.

Мал. 2. Мережевий графік прикладу

Критичний шлях є шлях від початкової до кінцевої роботи, що має найбільшу тривалість. Будь-яке уповільнення виконання робіт критичного шляху неминуче призведе до зриву виконання всього комплексу робіт, тому критичному шляху і приділяється стільки уваги.
Розглянемо основні поняття, пов'язані з критичним шляхом.
Ранній термін настання події(Є).Він визначається для кожної події при русі по мережі зліва направо від початкової до кінцевої події. Для початкової події ЕТ = 0. Для інших визначається за формулою, де ЕТ 1 – ранній термін настання події i, що передує події j; t ij - Тривалість роботи (ij).

Пізній термін настання події (LТ) – це пізніший термін, у якому може наступити подія без затримки виконання всього комплексу работ. Визначається він при русі по мережі справа наліво від кінцевої події до початкової за формулою:

Для критичного шляху ранні та пізні терміни настання подій збігаються. Для кінцевої події ця величина дорівнює довжині критичного шляху. Розрахунок показників мережного графіка можна проводити безпосередньо за наведеними вище формулами. Спочатку треба знайти ранні терміни настання подій (при русі по мережі зліва направо, від початку до кінця), (решту виконати самостійно).

Потім розрахунки виконати у зворотному напрямку та знайти пізні терміни настання подій.
Покласти ЕТ10 = LT10. LT 9 = LT 10 - t 9,10 = 51 -11 = 40.
LT 8 = LT 10 - t 89 ​​= 51 - 9 = 42, і т.д.
Можливий інший спосіб обчислення показників – табличний.
Події відзначаються у квадратах "головної" діагоналі. Роботи відзначаються двічі у верхніх та нижніх "побічних" квадратах щодо головної діагоналі таблиці. У верхніх "побічних" квадратах таблиці номер рядка відповідає попередній події, номер стовпця – наступному. У нижніх "побічних" квадратах навпаки.
Порядок заповнення таблиці

1. Спочатку заповнюються чисельники верхніх та нижніх побічних квадратів. Вони записуються тривалості відповідних робіт.
2. Заповнюються знаменники верхніх "побічних" квадратів як суми чисельника головного квадрата та чисельника верхнього "побічного" у тому самому рядку.
3. Чисельник першого головного квадрата приймається рівним нулю, чисельники інших основних квадратів рівні максимуму знаменників верхніх " побічних " квадратів у тому стовпці.
4. Знаменник останнього головного квадрата приймається рівним чисельнику цього квадрата. Знаменники нижніх "побічних" квадратів рівні різниці знаменника головного та чисельника "нижнього" побічного в тому ж рядку.
5. Знаменники головних квадратів рівні мінімуму знаменників "нижніх" побічних у тому стовпці.
Розрахунок показників мережевого графіка

З таблиці перебувають показники графіка:
1. Ранні терміни настання подій (лічильники основних квадратів).
2. Пізні терміни настання подій (знаменники основних квадратів).
3. Резерви часу подій (різниця між знаменником та чисельником головного квадрата). У нашому випадку критичними подіями (що не мають резервів) є 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Вони становлять критичний шлях. Тривалість критичного шляху дорівнює 51 (числитель чи знаменник останнього головного квадрата).
4. Ранній термін закінчення робіт (знаменники верхніх "побічних" квадратів).
5. Пізній термін настання робіт (знаменники відповідних нижніх "побічних" квадратів).

6. Загальні резерви часу робіт (різниця між знаменником головного квадрата та знаменником верхнього "побічного" у тому ж стовпці).
7. Вільні резерви часу робіт (різниця між чисельником головного квадрата та знаменником верхнього "побічного" квадрата в тому ж стовпці).

Відтворимо графік мережі, проставивши над кожною подією зліва – ранній, а праворуч – пізній термін настання події (рис.3).

Мал. 3. Мережевий графік із тимчасовими характеристиками

Отже, критичний шлях проходить вздовж робіт 1-3-4-6-7-8-10, і його тривалість дорівнює 51.
Резерв часу події визначається як різниця між їх LT і ET. Зрозуміло, що резерви часу подій вздовж критичного шляху дорівнюють нулю. Для нашого прикладу резерв часу, наприклад, події 2 дорівнює 28–10 = 18, а події 9 дорівнює 40–36 = 4. На ці проміжки часу може бути затримано виконання відповідних робіт без ризику затримати проект загалом.
То були тимчасові характеристики подій. Розглянемо часові показники робіт. До них відносяться вільний та загальний (повний) резерви часу робіт.
Загальний резерв часу роботи (ТS) визначається із співвідношення

TS ij = LT j – ET i – t ij

і показує, скільки можна збільшити тривалість роботи за умови, що термін виконання всього комплексу робіт не зміниться.
Вільний резерв часу роботи (FS) визначається із співвідношення

FS ij = ET j – ET i – t ij

і показує частину повного резерву часу, який можна збільшити тривалість роботи, не змінивши у своїй раннього терміну її кінцевого події.
Якщо вільний резерв часу робіт може бути використаний по всіх роботах мережі одночасно (тоді всі роботи стають критичними), то для повних резервів цього не можна сказати; його можна використовувати або для однієї роботи шляху повністю, або для різних робітчастинами.
Для критичних робіт ТS та FS дорівнюють нулю. ТS та FS можуть бути використані при виборі календарних термінів виконання некритичних робіт та для часткової оптимізації мережевих графіків.
Остаточно маємо: Тимчасові характеристики робіт

Некритичні роботи	Тривалість	Загальний	Вільний резерв FS
1-2	10	18	0
1-4	6	5	5
2-5	9	18	0
4-5	3	23	5
3-6	8	9	9
4-7	4	15	15
5-8	5	18	18
6-9	7	12	8
7-9	6	4	0
7-10	8	13	13
9-10	11	4	4

Завдання для контрольних завдань №4

За наступними даними побудувати мережу, аналогічну розглянутій у прикладі, визначити тимчасові характеристики її робіт та подій, критичний шлях та його довжину. При виконанні цієї задачі підставте замість n номер свого варіанта та отримане число округлити до цілого.

Робота	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(2,5)	(2,4)	(3,4)	(3,6)	(4,5)	(4,6)
Тривалість	5+n/3	6+n/3	7+ n/3	4+n	8+ n/3	3+n	4+n/2	10+ n/3	2+n
(4,7)	(5,7)	(5,8)	(6,7)	(6,9)	(7,8)	(7,9)	(7,10)	(8,10)	(9,10)
8+ n/3	9+n/2	10+ n/3	12+n/2	9+n	7+ n/3	5+n	9+n	11+n/2	8+ n/3

Управління проектними роботами щодо створення виробничої ділянки здійснюється за допомогою мережевого планування. У даному розділі необхідно на основі розробленої мережевої моделі плану робіт на передінвестиційному етапі проекту (рис.5) розрахувати основні параметри мережі та визначити вартість передпроектних досліджень, інженерних та проектних робіт(Кошторис витрат) для оцінки величини передвиробничих капітальних вкладень.

Вихідні дані про тривалість виконання окремих робіт мережного графіка та кількість виконавців задаються самостійно експертним шляхом (виходячи з тривалості виконання всіх робіт – 60...80 днів) та заносяться до табл. 11 (t min – оптимістична оцінка, t max – песимістична оцінка, днями; НС- науковий співробітник, І-інженер-дослідник, Е-економіст).

Мал. 5. Мережевий графік розробки інвестиційного проекту

Очікувана тривалість робіт мережного графіка розраховується за формулою

t ож = (3 t min + 2 t max) / 5 днів. (14)

Дисперсія середньоквадратичного відхилення s ij 2 від очікуваної тривалості робіт визначається за формулою

s ij 2 = 0,04 (t max - t min) 2 . (15)

Результати розрахунків зводяться до табл. 11. Очікувана тривалість проставляється над стрілками мережного графіка (див. рис.5).

Розрахунок основних параметрів мережного графіка виконується безпосередньо на ньому самому та в табл. 12. Для цього кожен гурток, що зображає подію, поділяється на чотири частини (рис. 6).

Мал. 6. Параметри події

Заповнення секторів виконується у побудованому мережевому графіку за такими правилами.

1. Заповнюються верхні сектори номерами подій i.

2. Заповнюються ліві сектори в послідовності від вихідної (нульової) події до завершальної з одночасним розрахунків ранніх термінів подій за формулою Тp j = max (Тp i + t i j) (16)

де t i j – очікувана тривалість роботи між попереднім i та наступним j подіями.

Таблиця 11

Код	Найменування робіт	Тривалість,	Виконавці,	s ij 2
роботи		дні	чол.
i – j		t min	t max	t ож	НС	І	Е
0–1	Вибір продукту
1–2	Маркетингове дослідження
1–4	Аналіз можливостей
1–3	Вибір місця підприємства
2–4	Прогноз обсягів виробництва
2–9	Прогноз ціни виробу
3–4	Розробка технології
3–9	Вибір заготівлі
4–5	Розрахунок числа верстатів
4–6	Організація робіт на ділянці
5–6	Розрахунок кількості робітників
5–7	Планування ділянки
6–8	Розрахунок заробітної плати
7–10	Розрахунок капіталовкладень
8–9	Розрахунок собівартості
9–10	Розрахунок прибутку
9–11	Аналіз беззбитковості
10–12	Розрахунок ефективності
11–12	Оцінка ризиків
12–13	Розрахунок показників проекту

3. Для завершальної події завжди Т Р = Т n тому цифра з лівого сектора переноситься в правий сектор.

4. Подальше заповнення правих секторів йде від останньої (завершальної) події до вихідної з одночасним розрахунком пізніх термінів за формулою

Тп i = min (Тп i - t i j). (17)

5. У нижній сектор заноситься значення резерву події, що обчислюється як

Ri = Тп i - Тp i. (18)

6. Розрахунок резервів робіт повного Rп ij та вільного Rс ij виконується за формулами

Rп i j = Тп j - Тp i - t i j;

Rc i j = Тp j - Тp i - t i j. (19)

7. Критичний шлях t(L кр) визначається як шлях, що проходить через події, що не мають резервів часу (тобто Ri = 0, Rп i j = 0, Rc i j = 0).

Розраховані значення параметрів мережного графіка заносяться до табл. 12.

Таблиця 12

Код роботи,	t ож	Тp i	Тp j	Тп j	Rп і j	Rc i j	Kн i j
i j

Значення коефіцієнтів напруженості робіт Kн i j визначається як відношення відрізків максимального шляху, що не збігаються, до критичного шляху, що проходить через однойменні події

(20)

де t′ (L кр) – збігаються відрізки вимірюваного та критичного шляху.

Градація коефіцієнтів напруженості проводиться у трьох зонах: надлишкової К Н ij< 0,5 , промежуточной 0,5 £ К Н ij £ 0,8 и критической К Н ij >0,8. Роботи критичної та надмірної зон мережного графіка можна виділити кольором на мережевому графіку.

Врахування коливань термінів здійснення подій (s ij 2 – дисперсія) мережного графіка дозволяє оцінити ймовірність настання завершальної події в директивний термін. З припущення, що значення критичного шляху t (L кр) підпорядковується закону нормального розподілу, необхідно розрахувати цю ймовірність, використовуючи аргумент функції розподілу ймовірностей (функції Лапласа) ______

χ = (t дір - t кр) / (√ ∑ (s ij 2)), (21)

де t дір - директивний термін розробки проекту (прийняти рівним 0,95 від t кр); ∑(s ij 2) – сума дисперсій тривалостей робіт на критичному шляху (перебуває з табл. 11).

Значення ймовірності p до залежно від c перебувають у табл. 13.

Таблиця 13

c	p до	c	p до	c	p до
	0,5000	–1,0	0,1587	–2,0	0,0228
–0,1	0,4602	–1,1	0,1357	–2,1	0,0179
–0,2	0,4207	–1,2	0,1151	–2,2	0,0130
–0,3	0,3821	–1,3	0,0968	–2,3	0,0107
–0,4	0,3446	–1,4	0,0808	–2,4	0,0082
–0,5	0,3085	–1,5	0,0668	–2,5	0,0062
–0,6	0,2743	–1,6	0,0548	–2,6	0,0047
–0,7	0,2420	–1,7	0,0446	–2,7	0,0035
–0,8	0,2119	–1,8	0,0359	–2,8	0,0026
–0,9	0,1841	–1,9	0,0287	–2,9	0,0019

Для оцінки отриманого значення p до є цілком певні межі:

p до > 0,65 - на критичному шляху є надлишкові ресурси;

p до< 0,35 – вероятность срыва директивных сроков очень велика, необходимо перепланирование сети;

0,35 £ p до £ 0,65 – настання директивного терміну досить ймовірне.

Складання кошторису витрат проектних робіт слід розпочати з розрахунку заробітної плати виконавців окремим етапамробіт. Розрахунок заробітної плати виконується у табл. 14.