Рівномірний розподіл довільної величини формула. Типові безперервні розподіли випадкових величин
Це питання вже давно докладно вивчено, і найбільше широке розповсюдженняотримав метод полярних координат, запропонований Джорджем Боксом, Мервіном Мюллером та Джорджем Марсальєю у 1958 році. Цей методдозволяє отримати пару незалежних нормально розподілених випадкових величин з математичним очікуванням 0 та дисперсією 1 наступним чином:
Де Z 0 і Z 1 - значення, що шукаються, s = u 2 + v 2 , а u і v - рівномірно розподілені на відрізку (-1, 1) випадкові величини, підібрані таким чином, щоб виконувалася умова 0< s < 1.
Багато хто використовують ці формули, навіть не замислюючись, а багато хто навіть і не підозрює про їх існування, оскільки користується готовими реалізаціями. Але є люди, які мають запитання: «Звідки взялася ця формула? І чому виходить відразу пара величин?». Далі я намагатимусь дати наочну відповідь на ці запитання.
Спочатку нагадаю, що таке щільність ймовірності, функція розподілу випадкової величини і зворотна функція. Припустимо, є якась випадкова величина, розподіл якої заданий функцією щільності f(x), що має наступний вигляд:
Це означає, що ймовірність того, Що значення даної випадкової величини виявиться в інтервалі (A, B), дорівнює площі затіненої області. І як наслідок, площа всієї зафарбованої області повинна дорівнювати одиниці, так як у будь-якому випадку значення випадкової величини потрапить до області визначення функції f.
Функція розподілу випадкової величини є інтегралом функції щільності. І в даному випадкуїї приблизний виглядбуде такою:
Тут сенс у цьому, що значення випадкової величини буде менше ніж A з ймовірністю B. І, як наслідок, функція будь-коли зменшується, та її значення лежать у відрізку .
Зворотна функція - це функція, яка повертає аргумент вихідної функції, якщо передати значення вихідної функції. Наприклад, для функції x 2 зворотної буде функція вилучення кореня, для sin(x) arcsin(x) і т.д.
Так як більшість генераторів псевдовипадкових чисел на виході дають тільки рівномірний розподіл, то часто виникає необхідність його перетворення на будь-яке інше. У даному випадку в нормальне Гаусівське:
Основу всіх методів перетворення рівномірного розподілу на будь-яке інше становить метод зворотного перетворення. Працює він в такий спосіб. Знаходиться функція, зворотна функції необхідного розподілу, і як аргумент передається до неї рівномірно розподілена на відрізку (0, 1) випадкова величина. На виході отримуємо величину з необхідним розподілом. Для наочності наводжу таку картинку.
Таким чином, рівномірний відрізок як би розмазується відповідно до нового розподілу, проецируясь на іншу вісь через зворотну функцію. Але проблема в тому, що інтеграл від щільності Гаусівського розподілу обчислюється непросто, тому переліченим вище вченим довелося схитрувати.
Існує розподіл хі-квадрат (розподіл Пірсона), який є розподілом суми квадратів k незалежних нормальних випадкових величин. І якщо k = 2, цей розподіл є експоненціальним.
Це означає, що якщо у точки в прямокутної системикоординат будуть випадкові координати X і Y, розподілені нормально, то після переведення цих координат в полярну систему (r, θ) квадрат радіусу (відстань від початку координат до точки) буде розподілено за експоненційним законом, оскільки квадрат радіусу - це сума квадратів координат ( згідно із законом Піфагора). Щільність розподілу таких точок на площині виглядатиме так:
Оскільки вона рівноцінна у всіх напрямках, кут θ матиме рівномірний розподіл у діапазоні від 0 до 2π. Справедливо і зворотне: якщо задати точку в полярній системі координат за допомогою двох незалежних випадкових величин (кута, розподіленого рівномірно, і радіуса, розподіленого експоненційно), то прямокутні координати цієї точки будуть незалежними нормальними випадковими величинами. А експоненціальний розподіл з рівномірного одержати вже набагато простіше, за допомогою того ж методу зворотного перетворення. У цьому полягає суть полярного методу Бокса-Мюллера.
Тепер виведемо формули.
(1)
Для отримання r і θ потрібно згенерувати дві рівномірно розподілені на відрізку (0, 1) випадкові величини (назвемо їх u і v), розподіл однієї з яких (допустимо v) необхідно перетворити на експоненційне для отримання радіусу. Функція експоненційного розподілу виглядає так:
Зворотня до неї функція:
Так як рівномірний розподіл симетрично, то аналогічно перетворення працюватиме і з функцією
З формули розподілу хі-квадрат випливає, що = 0,5. Підставимо в цю функцію λ, v і отримаємо квадрат радіусу, а потім і сам радіус:
Кут отримаємо, розтягнувши одиничний відрізок до 2π:
Тепер підставимо r і θ формули (1) і отримаємо:
(2)
Ці формули готові до використання. X і Y будуть незалежні та розподілені нормально з дисперсією 1 та математичним очікуванням 0. Щоб отримати розподіл з іншими характеристиками достатньо помножити результат функції на середньо квадратичне відхиленняі додати математичне очікування.
Але є можливість позбутися тригонометричних функцій, Задавши кут не прямо, а побічно через прямокутні координати випадкової точки в колі. Тоді через ці координати можна буде обчислити довжину радіус-вектора, а потім знайти косинус та синус, поділивши на неї x та y відповідно. Як і чому це працює?
Виберемо випадкову точку з рівномірно розподілених у колі одиничного радіусу та позначимо квадрат довжини радіус-вектора цієї точки буквою s:
Вибір здійснюється завданням випадкових прямокутних координат x і y, рівномірно розподілених в інтервалі (-1, 1), та відкиданням точок, що не належать колу, а також центральної точки, в якій кут радіус-вектора не визначений. Тобто має виконатися умова 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Отримуємо формули, як на початку статті. Недолік цього - відкидання точок, які увійшли до кола. Тобто використання лише 78,5% згенерованих випадкових величин. На старих комп'ютерах відсутність тригонометричних функцій все одно давало велика перевага. Зараз, коли одна команда процесора за мить обчислює одночасно синус і косинус, гадаю, ці методи можуть ще позмагатися.
Особисто у мене залишається ще два питання:
- Чому значення s розподілене рівномірно?
- Чому суму квадратів двох нормальних випадкових величин розподілено експоненційно?
Якщо аналогічне перетворення зробити для нормальної випадкової величини, то функція щільності її квадрата виявиться схожою гіперболу. А додавання двох квадратів нормальних випадкових величин вже набагато складніший процес, пов'язаний із подвійним інтегруванням. І те, що в результаті вийде експоненційний розподіл, особисто мені залишається перевірити тут практичним методомабо прийняти як аксіому. А комусь цікаво, пропоную ознайомитися з темою ближче, почерпнувши знань із цих книжок:
- Вентцель Є.С. Теорія імовірності
- Батіг Д.Е. Мистецтво Програмування, том 2
На закінчення наведу приклад реалізації генератора нормально розподілених випадкових чисел мовою JavaScript:
Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? this.ready) (this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else (var u, v, s; do (u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math.) random() - 1.0; s = u * u + v * v; while (s > 1.0 || this.second = r * u; this.ready = true; // Створюємо об'єкт a = g.next(); // генеруємо пару значень і отримуємо перше їх b = g.next(); // Отримуємо друге c = g.next (); // Знову генеруємо пару значень і отримуємо перше з них
Параметри mean (математичне очікування) та dev (середньоквадратичне відхилення) не є обов'язковими. Звертаю вашу увагу на те, що логарифм є натуральним.
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд:
Щільність розподілу: 
1
Мал. Графіки функції розподілу (ліворуч) та щільності розподілу (праворуч).
Рівномірний розподіл - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Рівномірний розподіл" 2017, 2018.
Основні дискретні розподіли випадкових величин Визначення 1. Випадкова величина Х, що приймає значення 1, 2, …, n має рівномірний розподіл, якщо Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n. Очевидно, що. Розглянемо таку задачу.В урні є N куль, їх M куль білого... .
Закони розподілу безперервних випадкових величин Визначення 5. Безперервна випадкова величина Х, що приймає значення на відрізку, має рівномірний розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд. (1) Неважко переконатися, що . Якщо випадкова величина... .
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд: Щільність розподілу: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Нормальний закони розподілу Рівномірний, показовий та Функція щільності ймовірності рівномірного закону така: (10.17) де a та b – дані числа, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Поступово розподіл ймовірностей є найпростішим і може бути як дискретним, так і безперервним. Дискретний рівномірний розподіл - це такий розподіл, для якого ймовірність кожного зі значень СВ одна і та ж, тобто де N - кількість ... .
Визначення 16. Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку , якщо на цьому відрізку щільність розподілу даної випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто (45) Графік щільності для рівномірного розподілу зображений...
За допомогою якого моделюється багато реальних процесів. І найпоширеніший приклад – це графік руху громадського транспорту. Припустимо, що якийсь автобус (тролейбус/трамвай)ходить із інтервалом у 10 хвилин, і ви у випадковий момент часу підійшли до зупинки. Якою є ймовірність того, що автобус підійде протягом 1 хвилини? Очевидно, 1/10-та. А ймовірність того, що доведеться чекати 4-5 хвилин? Теж. А ймовірність того, що автобус доведеться чекати понад 9 хвилин? Одна десята!
Розглянемо деякий кінцевийпроміжок, нехай для певності це буде відрізок . Якщо випадкова величинамає постійною щільністю розподілу ймовірностейна даному відрізку і нульовою щільністю поза ним, то кажуть, що вона розподілена рівномірно. При цьому функція щільності буде чітко визначеною: 
І справді, якщо довжина відрізка (Див. креслення)становить , то значення неминуче одно – щоб вийшла окрема площа прямокутника, і було дотримано відома властивість:
Перевіримо його формально:
, Ч.т.п. З імовірнісної точки зору це означає, що випадкова величина достовірноприйме одне із значень відрізка …, ех, стаю потихеньку занудним старим =)
Суть рівномірності полягає в тому, що який би внутрішній проміжок фіксованої довжиними не розглянули (Згадуємо «автобусні» хвилини)- Імовірність того, що випадкова величина прийме значення з цього проміжку буде однією і тією ж. На кресленні я заштрихував трієчку таких ймовірностей - ще раз загострюю увагу, що вони визначаються площами, а чи не значеннями функції !
Розглянемо типове завдання:
Приклад 1
Безперервна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу: 
Знайти константу , обчислити та скласти функцію розподілу. Побудувати графіки. Знайти
Іншими словами, все, про що тільки можна було мріяти:)
Рішення: тому що на інтервалі (кінцевому проміжку) 
, то випадкова величина має рівномірний розподіл, і значення «це» можна знайти за прямою формулою 
. Але краще загальним способом- За допомогою властивості:
…чому краще? Щоб не було зайвих питань;)
Таким чином, функція щільності: 
Виконаємо креслення. Значення неможливі
, і тому жирні крапки ставляться внизу: 
Як експрес-перевірку обчислимо площу прямокутника: 
, Ч.т.п.
Знайдемо математичне очікування, і, напевно, ви вже здогадуєтеся, чому воно рівне. Згадуємо «10-хвилинний» автобус: якщо випадковим чиномпідходити до зупинки багато днів боронь, то в середньомуйого доведеться чекати 5 хвилин.
Так, саме так - маточування має знаходитися рівно посередині «подійного» проміжку:
, Як і передбачалося.
Дисперсію обчислимо за формулі 
. І ось тут потрібне око та око при обчисленні інтеграла:
Таким чином, дисперсія: 
Складемо функцію розподілу 
. Тут нічого нового:
1) якщо , то і 
;
2) якщо , то і:
3) і, нарешті, при 
тому:
В результаті: 
Виконаємо креслення: 
На «живому» проміжку функція розподілу зростає лінійно, і це ще одна ознака, що маємо рівномірно розподілена випадкова величина. Ну, ще б пак, адже похідна лінійної функції- Є константа.
Необхідну ймовірність можна обчислити двома способами за допомогою знайденої функції розподілу:
або за допомогою певного інтегралувід щільності: 
Кому як до вподоби.
І тут ще можна записати відповідь: ,
, графіки побудовані в процесі рішення.
…«можна», тому що за його відсутність зазвичай не карають. Зазвичай;)
Для обчислення та рівномірної випадкової величини існують спеціальні формули, які я пропоную вам вивести самостійно:
Приклад 2
Безперервна випадкова величина задана щільністю 
.
Обчислити математичне очікування та дисперсію. Результати максимально спростити (формули скороченого множенняв допомогу).
Отримані формули зручно використовувати для перевірки, зокрема, перевірте щойно вирішене завдання, підставивши в них конкретні значення "а" та "б". Коротке рішення унизу сторінки.
І на закінчення уроку ми розберемо кілька «текстових» завдань:
Приклад 3
Ціна розподілу шкали вимірювального приладудорівнює 0,2. Показання приладу округляються до цілого поділу. Вважаючи, що похибки округлень розподілені поступово, визначити можливість, що з черговому вимірі вона перевищить 0,04.
Для кращого розуміння рішенняуявімо, що це який-небудь механічний приладзі стрілкою, наприклад, ваги з ціною розподілу 0,2 кг, і ми маємо зважити кота в мішку. Але не з метою з'ясувати його вгодованість – зараз буде важливо, ДЕ між двома сусідніми поділами зупиниться стрілка.
Розглянемо випадкову величину – відстаньстрілки від найближчоголівого поділу. Або від найближчого правого, це не є принциповим.
Складемо функцію щільності розподілу ймовірностей:
1) Оскільки відстань може бути негативним, то інтервалі . Логічно.
2) З умови випливає, що стрілка ваг з рівною ймовірністюможе зупинитися в будь-якому місці між поділками *
, включаючи самі поділу, і тому на проміжку: 
* Це суттєва умова. Так, наприклад, при зважуванні шматків вати або кілограмових пачок солі рівномірність буде дотримуватися на значно вужчих проміжках.
3) І оскільки відстань від НАЙБЛИЖЧОГО лівого поділу не може бути більше, ніж 0,2, то при теж дорівнює нулю.
Таким чином: 
Слід зазначити, що про функцію щільності нас ніхто не питав, і її повну побудову я навів виключно в пізнавальних ланцюгах. При чистове оформленнязавдання достатньо записати лише 2-й пункт.
Тепер дамо відповідь на запитання завдання. Коли похибка округлення до найближчого поділу не перевищить 0,04? Це станеться тоді, коли стрілка зупиниться не далі ніж на 0,04 від лівого поділу справа абоне далі ніж на 0,04 від правого поділу зліва. На кресленні я заштрихував відповідні площі: 
Залишилось знайти ці площі за допомогою інтегралів. В принципі, їх можна вирахувати і «по-шкільному» (як площі прямокутників), але простота не завжди знаходить розуміння;)
за теореми складання ймовірностей несумісних подій:
- Імовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,04 (40 грам для нашого прикладу)
Легко бачити, що максимально можлива похибкаокруглення становить 0,1 (100 грам) і тому ймовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,1дорівнює одиниці.
Відповідь: 0,4
В інших джерелах інформації зустрічаються альтернативні пояснення/оформлення цього завдання, і я вибрав варіант, який видався мені найбільш зрозумілим. Особливу увагу Треба звернути на те, що в умові може йтися про похибки не округлень, а про випадковихпохибки вимірювань, які, як правило (але не завжди), розподілені за нормальному закону. Таким чином, лише одне слово може докорінно змінити рішення!Будьте напоготові і вникайте у сенс.
І якщо все йде по колу, то ноги нас приносять на ту ж автобусну зупинку:
Приклад 4
Автобуси деякого маршруту йдуть строго за розкладом та інтервалом 7 хвилин. Скласти функцію щільності випадкової величини – часу чекання чергового автобуса пасажиром, який навмання підійшов до зупинки. Знайти ймовірність того, що він чекатиме на автобус не більше трьох хвилин. Знайти функцію розподілу та пояснити її змістовний зміст.
Як приклад безперервної випадкової величини розглянемо випадкову величину X, рівномірно розподілену на інтервалі (a; b). Говорять, що випадкова величина X рівномірно розподілено на проміжку (a; b), якщо її щільність розподілу непостійна на цьому проміжку:
З умови нормування визначимо значення константи c. Площа під кривою щільності розподілу повинна дорівнювати одиниці, але в нашому випадку - це площа прямокутника з основою (b - α) і висотою c (рис. 1). 
Мал. 1 Щільність рівномірного розподілу
Звідси знаходимо значення постійної з: 
Отже, щільність рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює 
Знайдемо тепер функцію розподілу за такою формулою:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким чином, 
Функція розподілу безперервна і зменшується (рис. 2). 
Мал. 2 Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини
Знайдемо математичне очікування рівномірно розподіленої випадкової величиниза формулою:
Дисперсія рівномірного розподілурозраховується за формулою і дорівнює
Приклад №1. Ціна поділу шкали вимірювального приладу дорівнює 0.2. Показання приладу округляють до найближчого поділу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку: а) менша 0.04; б) велика 0.02
Рішення. Помилка округлення є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на проміжку між сусідніми цілими поділами. Розглянемо як такий поділ інтервал (0; 0,2) (рис. а). Округлення може проводитися як у бік лівої межі - 0, так і в бік правої - 0,2, отже, помилка, менша або рівна 0,04, може бути зроблена двічі, що необхідно врахувати при підрахунку ймовірності: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для другого випадку величина помилки може перевищувати 0,02 також з обох меж поділу, тобто вона може бути більшою за 0,02, або меншою за 0,18. 
Тоді ймовірність появи такої помилки:
Приклад №2. Передбачалося, що про стабільність економічної обстановки в країні (відсутність воєн, стихійних лихі т. д.) за останні 50 років можна судити за характером розподілу населення за віком: при спокійній обстановці воно має бути рівномірним. В результаті проведеного дослідження для однієї з країн були отримані такі дані.
Чи є підстави вважати, що у країні була нестабільна обстановка?Рішення проводимо за допомогою калькулятора Перевірка гіпотез. Таблиця до розрахунку показників.
| Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i * f i | Накопичена частота, S | | x - x ср | * f | (x - x ср) 2 * f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Середня виважена
Показники варіації.
Абсолютні показники варіації.
Розмах варіації - різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки первинного ряду.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (заходи розсіювання, тобто відхилення від середнього).
Середнє квадратичне відхилення.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 43 трохи більше, ніж 23.92
Перевірка гіпотез про вид розподілу.
4. Перевірка гіпотези про рівномірному розподілігенеральної сукупності.
Щоб перевірити гіпотезу про рівномірному розподілі X, тобто. згідно із законом: f(x) = 1/(b-a) в інтервалі (a,b)
треба:
1. Оцінити параметри a та b - кінці інтервалу, в якому спостерігалися можливі значення X, за формулами (через знак * позначені оцінки параметрів):
2. Знайти густину ймовірності передбачуваного розподілу f(x) = 1/(b * - a *)
3. Знайти теоретичні частоти:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(xi - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Порівняти емпіричні та теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона, прийнявши число ступенів свободи k = s-3, де s – число початкових інтервалів вибірки; якщо ж було здійснено об'єднання нечисленних частот, отже, і самих інтервалів, то s - кількість інтервалів, що залишилися після об'єднання.
Рішення:
1. Знайдемо оцінки параметрів a* та b* рівномірного розподілу за формулами:
2. Знайдемо щільність передбачуваного рівномірного розподілу:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Знайдемо теоретичні частоти:
n 1 = n * f (x) (x 1 - a *) = 1 * 0.0121 (10-1.58) = 0.1
n 8 = n * f (x) (b * - x 7) = 1 * 0.0121 (84.42-70) = 0.17
Інші n s дорівнюватимуть:
n s = n * f (x) (xi - xi-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n * i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Разом | 1 | 0.0532 |
Тому критична область для цієї статистики завжди є правосторонньою: )
