Логарифмын дериватив. Экспоненциал функцийг ялгах. Логарифмын дериватив ашиглан деривативыг тооцоолох
нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Экспоненциал функцийн дериватив
Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид хамрагдсан материалыг нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ заль мэх, заль мэхтэй танилцах болно.
Бэлтгэл багатай уншигчид энэ нийтлэлд хандаарай Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээЭнэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нийлмэл функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь дараалсан хичээл бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг өөртөө итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Энэ бол хангалттай!", учир нь бүх жишээ, шийдлийг бодитоос авсан болно хяналтын ажилпрактикт ихэвчлэн тулгардаг.
Дахин давтахаас эхэлцгээе. Хичээл дээр Нийлмэл функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоо болон бусад хэсгүүдийг судлах явцад математик шинжилгээ- Та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээг нарийвчлан зурах нь тийм ч тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагагүй). Тиймээс бид деривативыг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:
Ялгах дүрмээр нарийн төвөгтэй функц 
:
Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан автомат жолоодлого дээр ижил төстэй деривативуудыг олох боломжтой гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт нэг байсан гэж төсөөлөөд үз дээ утасны дуудлага, мөн тааламжтай дуу хоолой асуув: "Хоёр х-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?". Үүний дараа бараг агшин зуур эелдэг хариу үйлдэл үзүүлэх ёстой. 
.
Эхний жишээ нь нэн даруй зориулагдсан болно бие даасан шийдэл.
Жишээ 1
Дараах деривативуудыг амаар, нэг алхамаар олоорой, жишээ нь: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв тэр санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нийлмэл функцийн дериватив.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Хичээлийн төгсгөлд хариултууд
Нарийн төвөгтэй деривативууд
Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 функцийн хавсралт бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүнд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ хэрэв тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) бараг бүх зүйл дифференциал тооцоохүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.
Жишээ 2
Функцийн деривативыг ол 
Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохдоо юуны түрүүнд шаардлагатай болно зөвХӨРӨНГӨ ОРУУЛАЛТЫГ ОЙЛГОХ. Эргэлзээтэй тохиолдолд би сануулж байна ашигтай техник: жишээ нь бид "x" туршилтын утгыг аваад (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог дээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.
1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй, тиймээс нийлбэр нь хамгийн гүн үүрлэх болно.
2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:
4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:
5) Тав дахь алхамд ялгаа нь:
6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь юм Квадрат язгуур: 
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо 
хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:
Алдаа байхгүй бололтой...
(1) Бид квадрат язгуурын деривативыг авдаг.
(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг 
(3) Гурав дахины дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Хоёрдахь гишүүнд бид зэрэглэлийн деривативыг (шоо) авна.
(4) Бид косинусын деривативыг авдаг.
(5) Бид логарифмын деривативыг авдаг.
(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн үүрлэх деривативыг авдаг.
Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх сэтгэл татам, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтын үеэр ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.
Дараах жишээ нь бие даасан шийдэл юм.
Жишээ 3
Функцийн деривативыг ол
Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм, бүтээгдэхүүний ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ
Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Илүү авсаархан, илүү үзэсгэлэнтэй зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээн дээр өгсөн тохиолдол цөөнгүй байдаг. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?
Жишээ 4
Функцийн деривативыг ол 
Эхлээд бид харж байна, гэхдээ гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн бүтээгдэхүүн болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ энэ жишээнд бүх функцууд өөр өөр байна: зэрэг, экспонент, логарифм.
Ийм тохиолдолд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай дарааланбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ 
хоёр удаа
Энэ заль мэх нь "y" хувьд бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: , "ve" -ийн хувьд - логарифм:. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Тийм үү 
- энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу?! Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:
Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ 
хаалтанд:
Та одоо ч гэсэн гажуудуулж, хаалтанд ямар нэг зүйлийг авч болно, гэхдээ дотор Энэ тохиолдолдхариултыг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.
Дээрх жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно. 
Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.
Жишээ 5
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд дээж дээр үүнийг эхний аргаар шийддэг.
Бутархайтай ижил төстэй жишээг авч үзье.
Жишээ 6
Функцийн деривативыг ол 
Энд та хэд хэдэн аргаар явж болно:
Эсвэл иймэрхүү:
Гэхдээ юуны өмнө бид хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдлийг илүү нягт бичиж болно. 
, бүхэл тоологчийг авч үзвэл:
Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн бөгөөд хэрэв энэ хэлбэрээр үлдээвэл энэ нь алдаа болохгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол ноорог шалгахыг зөвлөж байна, гэхдээ хариултыг хялбарчлах боломжтой юу? Бид тоологчийн илэрхийлэлийг авчирдаг Ерөнхий хуваарьболон гурван давхрын фракцаас сал:
Нэмэлт хялбаршуулах сул тал нь дериватив олохдоо бус харин сургуулийн улиг болсон өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "сэтгэлд оруулахыг" хүсдэг.
Өөрөө хийх шийдлийн энгийн жишээ:
Жишээ 7
Функцийн деривативыг ол
Бид дериватив олох арга техникийг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо ялгахын тулд "аймшигтай" логарифм санал болгосон ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.
Жишээ 8
Функцийн деривативыг ол
Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна.
Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг цөхрөлд автуулдаг - та тааламжгүй деривативыг авах хэрэгтэй. бутархай зэрэг, дараа нь мөн бутархай хэсгээс.
Тийм ч учраас өмнө"Гоёлын" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг сургуулийн сайн мэддэг шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.
! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томьёог яг тэнд хуулж аваарай. Хэрэв танд тэмдэглэлийн дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр зур, учир нь бусад хичээлийн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.
Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар томъёолж болно.
Функцийг өөрчилье:
Бид деривативыг олдог: 
Функцийн урьдчилсан хувиргалт нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.
Одоо бие даасан шийдлийн хэд хэдэн энгийн жишээ:
Жишээ 9
Функцийн деривативыг ол 
Жишээ 10
Функцийн деривативыг ол
Хичээлийн төгсгөлд бүх өөрчлөлт, хариултууд.
логарифмын дериватив
Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.
Жишээ 11
Функцийн деривативыг ол 
Үүнтэй төстэй жишээг бид саяхан авч үзсэн. Юу хийх вэ? Хэмжилтийг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглаж болно. Энэ аргын сул тал бол та огтхон ч харьцахыг хүсэхгүй байгаа гурван давхар том хэсгийг авах явдал юм.
Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.
Анхаарна уу
: учир нь функц сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: 
, ялгахын үр дүнд алга болдог. Гэсэн хэдий ч, одоогийн загвар нь бас хүлээн зөвшөөрөгдөх боломжтой, хаана анхдагчаар цогцолборүнэт зүйлс. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байгаа бол энэ хоёр тохиолдолд хоёуланд нь захиалга өгөх шаардлагатай.
Одоо та аль болох баруун талын логарифмыг "эвдэх" хэрэгтэй (нүдний өмнө томьёо уу?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:
Ялгахаас эхэлье.
Бид хоёр хэсгийг цус харвалтаар төгсгөдөг.
Баруун талын дериватив нь маш энгийн, би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах чадвартай байх ёстой.
Зүүн тал нь яах вэ?
Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "y" үсэг байна вэ?" Гэсэн асуултыг би урьдчилан харж байна.
Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг y үсэг" - ӨӨРӨӨ ЧИГЛЭЛ БАЙНА(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд заасан функцийн дериватив гэсэн өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц бөгөөд "y" нь юм дотоод функц. Мөн бид нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг 
:
Зүүн талд нь давалгаа мэт шидэт саваабидэнд дериватив бий. Цаашилбал, пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -г зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд тал руу шиддэг.
Одоо бид ялгахдаа ямар төрлийн "тоглоом"-функцын талаар ярилцсанаа санаж байна уу? Нөхцөл байдлыг харцгаая: 
Эцсийн хариулт: 
Жишээ 12
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Загварын загвар загвар энэ төрлийнхичээлийн төгсгөлд.
Логарифмын деривативын тусламжтайгаар №4-7 жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.
Экспоненциал функцийн дериватив
Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Экспоненциал функц нь байгаа функц юм зэрэг ба суурь нь "x"-ээс хамаарна. Ямар ч сурах бичиг эсвэл лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:
Экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?
Саяхан авч үзсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.
Дүрмээр бол градусыг баруун талын логарифмын доороос авна.
Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн бүтээгдэхүүн гарч ирэх бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. 
.
Бид деривативыг олдог, үүний тулд бид хоёр хэсгийг цус харвалт дор хавсаргана.
Цаашдын арга хэмжэээнгийн:
Эцэст нь: 
Хэрэв зарим өөрчлөлт нь бүрэн тодорхой бус байвал 11-р жишээн дээрх тайлбарыг анхааралтай уншина уу.
Практик даалгаврын хувьд экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.
Жишээ 13
Функцийн деривативыг ол
Бид логарифмын деривативыг ашигладаг. 
Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "х" ба "х-ийн логарифмын логарифм" (өөр нэг логарифм логарифмын доор байрладаг). Тогтмолыг ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар, саад болохгүйн тулд деривативын тэмдгээс нэн даруй хасах нь дээр; мөн мэдээжийн хэрэг, мэддэг дүрмийг хэрэгжүүл 
:
Хэзээ бид экспоненциалаар ялгах хэрэгтэй вэ? эрчим хүчний функц y = (f (x)) g (x) хэлбэртэй, эсвэл бутархай тоон бүхий төвөгтэй илэрхийллийг хөрвүүлэхийн тулд логарифмын деривативыг ашиглаж болно. Энэ материалын хүрээнд бид энэ томъёог хэрэглэх хэд хэдэн жишээг өгөх болно.
Энэ сэдвийг ойлгохын тулд та дериватив хүснэгтийг хэрхэн ашиглах, ялгах үндсэн дүрмийг мэддэг байх, нарийн төвөгтэй функцийн дериватив гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй.
Логарифмын деривативын томъёог хэрхэн гаргах вэ
Энэ томьёог олж авахын тулд эхлээд логарифмыг е суурь руу авч, дараа нь логарифмын үндсэн шинж чанарыг ашиглан үр дүнгийн функцийг хялбарчлах хэрэгтэй. Үүний дараа та далд өгөгдсөн функцийн деривативыг тооцоолох хэрэгтэй.
y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x)))) " ⇒ y "= y(ln(f(x)))"
Томьёоны хэрэглээний жишээ
Үүнийг хэрхэн хийдгийг жишээгээр харуулъя.
Жишээ 1
х хувьсагчийн экспоненциал функцийн деривативыг х-ийн зэрэгт тооц.
Шийдэл
Бид заасан сууринд логарифмыг хийж, ln y = ln x x-г авна. Логарифмын шинж чанарыг харгалзан үзэхэд үүнийг ln y = x · ln x гэж илэрхийлж болно. Одоо бид тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсгийг ялгаж, үр дүнг гаргана.
ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln) x + 1)
Хариулт: x x "= x x (ln x + 1)
Энэ асуудлыг логарифмын деривативгүйгээр өөр аргаар шийдэж болно. Нэгдүгээрт, экспоненциал чадлын функцийг ялгахаас эхлээд цогц функцийн деривативыг тооцоолохын тулд бид анхны илэрхийлэлийг хувиргах хэрэгтэй, жишээлбэл:
y = x x = e ln x x = e x ln x ⇒ y " = (e x ln x)" = e x ln x x ln x " = x x x" ln x + x (ln x)" = = x x 1 ln x + x 1 x = x x ln x + 1
Өөр нэг асуудлыг авч үзье.
Жишээ 2
y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x функцийн деривативыг тооцоол.
Шийдэл
Анхны функцийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлсэн бөгөөд энэ нь ялгах аргыг ашиглан асуудлыг шийдэж чадна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч энэ функц нь нэлээд төвөгтэй тул олон өөрчлөлт хийх шаардлагатай болно гэсэн үг юм. Тиймээс бид энд y " = y · ln (f (x)) " логарифмын деривативыг ашигласан нь дээр. Ийм тооцоо яагаад илүү тохиромжтой болохыг тайлбарлая.
ln (f (x)) -ийг олох замаар эхэлцгээе. Цаашдын өөрчлөлтийн хувьд бидэнд хэрэгтэй дараах шинж чанаруудлогарифм:
- бутархайн логарифмийг логарифмын зөрүүгээр илэрхийлж болно;
- бүтээгдэхүүний логарифмыг нийлбэрээр илэрхийлж болно;
- Хэрэв логарифмын доорх илэрхийлэл нь чадалтай бол бид үүнийг коэффициент болгон авч болно.
Илэрхийлэлийг өөрчилье:
ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x) 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x
Үүний үр дүнд бид нэлээд энгийн илэрхийлэлийг олж авсан бөгөөд түүний деривативыг тооцоолоход хялбар байдаг.
(ln (f (x))) "= 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x" == 1 3 ln (x 2 + 1) "- 3 2 ln x" - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x
Одоо бидний хийсэн зүйлийг логарифмын деривативын томъёонд орлуулах хэрэгтэй.
Хариулт: y " \u003d y ln (f (x)) " \u003d x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x
Материалыг нэгтгэхийн тулд дараах хэдэн жишээг судал. Энд зөвхөн хамгийн бага тайлбар бүхий тооцооллыг өгөх болно.
Жишээ 3
Экспоненциал чадлын функц y = (x 2 + x + 1) x 3 өгөгдсөн. Түүний деривативыг тооцоол.
Шийдэл:
y "= y (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " \u003d \ u003d (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1
Хариулт: y "= y (ln (f(x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1
Жишээ 4
y = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 илэрхийллийн деривативыг тооцоол.
Шийдэл
Бид логарифмын деривативын томъёог ашигладаг.
y " = y ln x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " == y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)
Хариулт:
y "= x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) ) - 2x + 2 2 (x 2 + 2x + 2) .
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Шалгалт болоход багагүй хугацаа үлдсэн гэж бодож байна уу? Сар юм уу? Хоёр уу? Жил? Дадлагаас харахад оюутан шалгалтанд урьдчилан бэлдэж эхэлбэл шалгалтыг хамгийн сайн даван туулдаг. Улсын нэгдсэн шалгалтад оюутан болон ирээдүйн өргөдөл гаргагчийн хамгийн өндөр оноо авах замд саад болох олон хэцүү даалгавар байдаг. Эдгээр саад бэрхшээлийг даван туулж сурах хэрэгтэй, үүнээс гадна үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Та билетээс янз бүрийн даалгавартай ажиллах зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Дараа нь шинэ хүмүүстэй холбоотой асуудал гарахгүй.
Логарифмууд нь эхлээд харахад үнэхээр төвөгтэй мэт санагддаг, гэхдээ хэзээ нарийвчилсан шинжилгээнөхцөл байдлыг маш хялбаршуулсан. Хэрэв та шалгалтанд хамгийн өндөр оноотой тэнцэхийг хүсч байвал энэ нийтлэлд бидний санал болгож буй ойлголтыг ойлгох хэрэгтэй.
Эхлээд эдгээр тодорхойлолтыг салгаж үзье. Логарифм (лог) гэж юу вэ? Энэ нь заасан тоог олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой чадлын үзүүлэлт юм. Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол бид энгийн жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно.
Энэ тохиолдолд 4-ийн тоог авахын тулд доорх суурийг хоёр дахь зэрэглэлд хүргэх ёстой.
Одоо хоёр дахь үзэл баримтлалыг авч үзье. Аливаа хэлбэрийн функцийн уламжлалыг тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог ойлголт гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч энэ сургуулийн хөтөлбөр, хэрэв та эдгээр ойлголтуудтай тус тусад нь асуудалтай тулгарвал сэдвийг давтах нь зүйтэй.
Логарифмын дериватив
AT Даалгавруудыг ашиглахЭнэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг өгч болно. Хамгийн энгийн логарифмын деривативаас эхэлье. Дараах функцийн деривативыг олох хэрэгтэй.
Бид дараагийн деривативыг олох хэрэгтэй
Тусгай жор байдаг.
Энэ тохиолдолд x=u, log3x=v. Манай функцын утгыг томъёонд орлуулна уу.
x-ийн дериватив нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Логарифм нь арай илүү төвөгтэй юм. Харин үнэт зүйлсийг орлуулж байж л зарчмыг ойлгох болно. lg x-ийн дериватив нь аравтын бутархай логарифмын дериватив, ln x-ийн дериватив нь натурал логарифмын уламжлал (e-д үндэслэсэн) гэдгийг санаарай.
Одоо олж авсан утгуудыг томъёонд орлуулаарай. Өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултыг шалгана уу.
Зарим хүмүүсийн хувьд энд асуудал юу байж болох вэ? Бид үзэл баримтлалыг танилцуулсан байгалийн логарифм. Энэ талаар ярилцаж, үүнтэй зэрэгцэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдье. Ялангуяа түүний үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгох үед та ямар ч төвөгтэй зүйлийг олж харахгүй. Энэ нь математикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг тул та үүнд дасах хэрэгтэй (дээд боловсролын байгууллагуудялангуяа).
Байгалийн логарифмын дериватив
Үндсэндээ энэ нь e суурьтай логарифмын дериватив юм (энэ нь ойролцоогоор 2.7-той тэнцүү иррационал тоо юм). Үнэн хэрэгтээ ln нь маш энгийн учир математикт ерөнхийдөө ихэвчлэн хэрэглэгддэг. Уг нь түүнтэй асуудлаа шийднэ гэдэг бас асуудал биш л дээ. Натурал логарифмын дериватив e суурь нь х-д хуваагдсантай тэнцүү байх болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Дараах жишээний шийдэл нь хамгийн их илтгэх болно.
Үүнийг хоёр энгийн функцээс бүрдсэн цогц функц гэж төсөөлөөд үз дээ.
хувиргахад хангалттай
Бид x-тэй холбоотой u-ийн деривативыг хайж байна
Болъё
(1)
нь x -ийн дифференциалагдах функц юм. Нэгдүгээрт, бид үүнийг y-ийн авдаг x утгуудын багц дээр авч үзэх болно эерэг утгууд: . Дараах зүйлд бид олж авсан бүх үр дүн нь сөрөг утгуудад мөн хамааралтай болохыг харуулах болно.
Зарим тохиолдолд (1) функцийн деривативыг олохын тулд логарифмыг урьдчилан авах нь тохиромжтой байдаг.
,
дараа нь деривативыг тооцоол. Дараа нь нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу.
.
Эндээс
(2)
.
Функцийн логарифмын деривативыг логарифмын дериватив гэнэ.
.
y = функцийн логарифм дериватив f(x) нь энэ функцийн натурал логарифмын дериватив юм: (log f(x))'.
Сөрөг y утгын тохиолдол
Одоо хувьсагч эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч болох тохиолдлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд модулийн логарифмыг аваад түүний уламжлалыг ол.
.
Эндээс
(3)
.
Өөрөөр хэлбэл, онд ерөнхий тохиолдол, та функцийн модулийн логарифмын деривативыг олох хэрэгтэй.
(2) ба (3)-ыг харьцуулж үзвэл бид:
.
Өөрөөр хэлбэл, логарифмын деривативыг тооцоолох албан ёсны үр дүн нь модулийг авсан эсэхээс үл хамаарна. Тиймээс логарифмын деривативыг тооцоолохдоо функц ямар тэмдэгтэй байна гэж санаа зовох хэрэггүй болно.
Энэ нөхцөл байдлыг нарийн төвөгтэй тоонуудын тусламжтайгаар тодруулж болно. Зарим x утгуудын хувьд сөрөг байг: . Хэрэв бид зөвхөн бодит тоог авч үзвэл функц тодорхойлогдоогүй болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид анхаарч үзвэл нийлмэл тоо, дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.
.
Өөрөөр хэлбэл, функцууд нь нарийн төвөгтэй тогтмолоор ялгаатай байдаг:
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байх тул
.
Логарифмын деривативын шинж чанар
Ингээд бодохоор ийм дүгнэлт гарч байна Хэрэв функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл логарифмын дериватив өөрчлөгдөхгүй :
.
Үнэхээр өргөдөл гаргаж байна логарифмын шинж чанарууд, томьёо дериватив нийлбэрболон тогтмолын дериватив, бидэнд байгаа:
.
Логарифмын деривативын хэрэглээ
Анхны функц нь чадлын үржвэрээс бүрдэх тохиолдолд логарифмын деривативыг ашиглахад тохиромжтой экспоненциал функцууд. Энэ тохиолдолд логарифмын үйлдэл нь функцүүдийн үржвэрийг тэдгээрийн нийлбэр болгон хувиргадаг. Энэ нь деривативын тооцоог хялбаршуулдаг.
Жишээ 1
Функцийн деривативыг ол:
.
Шийдэл
Бид анхны функцийн логарифмыг авна.
.
x-ийн хувьд ялгах.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.
;
;
;
;
(P1.1) .
Үржүүлье:
.
Тиймээс бид логарифмын деривативыг олсон:
.
Эндээс бид анхны функцийн деривативыг олно.
.
Анхаарна уу
Хэрэв бид зөвхөн бодит тоог ашиглахыг хүсвэл анхны функцийн модулийн логарифмыг авах хэрэгтэй.
.
Дараа нь
;
.
Тэгээд бид томъёог (A1.1) авсан. Тиймээс үр дүн өөрчлөгдөөгүй.
Хариулах
Жишээ 2
Логарифмын деривативыг ашиглан функцийн деривативыг ол
.
Шийдэл
Логарифм:
(P2.1) .
x-ээр ялгах:
;
;
;
;
;
.
Үржүүлье:
.
Эндээс бид логарифмын деривативыг авна.
.
Анхны функцийн дериватив:
.
Анхаарна уу
Энд анхны функц нь сөрөг биш байна: . Энэ нь тодорхойлогддог. Хэрэв бид аргументийн сөрөг утгуудын хувьд логарифмыг тодорхойлж болохгүй гэж үзвэл (A2.1) томъёог дараах байдлаар бичнэ.
.
Учир нь
болон
,
энэ нь эцсийн үр дүнд нөлөөлөхгүй.
Хариулах
Жишээ 3
Деривативыг ол
.
Шийдэл
Дифференциалыг логарифмын дериватив ашиглан гүйцэтгэдэг. Логарифм, өгөгдсөн бол:
(P3.1) .
Ялгах замаар бид логарифмын деривативыг авна.
;
;
;
(P3.2) .
Түүнээс хойш
.
Анхаарна уу
Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд логарифмыг тодорхойлж болно гэж тооцоололгүйгээр тооцоо хийцгээе. Үүнийг хийхийн тулд анхны функцийн модулийн логарифмыг авна уу.
.
Дараа нь (A3.1)-ийн оронд бид:
;
.
(A3.2)-тай харьцуулбал үр дүн өөрчлөгдөөгүй байна.
