Бүх тригонометрийн утгууд. Тригонометрийн функцууд
Бид тригонометрийн судалгаагаа эхлэх болно зөв гурвалжин. Синус ба косинус гэж юу болохыг, мөн хурц өнцгийн тангенс ба котангенсыг тодорхойлъё. Энэ бол тригонометрийн үндэс суурь юм.
Үүнийг эргэн санацгаая зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл хагас эргэх өнцөг.
Хурц булан- 90 градусаас бага.
Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгийн хувьд "мохоо" гэдэг нь доромжлол биш, харин математикийн хэллэг юм :-)
Тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Зөв өнцгийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг ижил үсгээр, зөвхөн жижиг гэж тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс эсрэг талын А өнцгийг тэмдэглэв.
Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэнэ.
ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм.
Хөл- хурц өнцгүүдийн эсрэг байрлах талууд.
Өнцгийн эсрэг талд хэвтэж буй хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Өнцөгний аль нэг талд байрлах нөгөө хөлийг нэрлэдэг зэргэлдээ.
СинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:
Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талын хажуугийн харьцаа:
Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.
Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай ижил харьцаа):
Доорх синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн хамаарлыг тэмдэглэ. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тэд бидэнд ашигтай байх болно.
Тэдний заримыг нь нотолж үзье.
За, бид тодорхойлолт өгч, томьёо бичсэн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй хэвээр байна вэ?
Үүнийг бид мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.
хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем: .
Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдсэнээр та гурав дахь өнцгийг олж чадна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь хэсгийг нь олох боломжтой. Энэ нь өнцөг нь өөрийн гэсэн харьцаатай, талууд нь өөрийн гэсэн утгатай гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөв өнцгөөс бусад) ба нэг талыг мэддэг ч нөгөө талыг нь олох шаардлагатай бол яах ёстой вэ?
Эрт дээр үед хүмүүс энэ газар нутаг, одтой тэнгэрийн газрын зургийг гаргахдаа ийм зүйлтэй тулгардаг байв. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.
Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг тригонометрийн өнцгийн функцууд- хоорондын харилцааг өгөх намуудТэгээд булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, шүргэгчийг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.
Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.
Хүснэгт дээрх хоёр улаан зураасыг анхаарна уу. Тохиромжтой өнцгийн утгуудад тангенс ба котангенс байхгүй.
FIPI Task Bank-аас хэд хэдэн тригонометрийн асуудлыг авч үзье.
1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.
Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.
Учир нь , .
2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.
Үүнийг Пифагорын теоремоор олъё.
Асуудал шийдэгдсэн.
Ихэнхдээ асуудалд өнцөгтэй гурвалжин эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр санаарай!
Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.
Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.
Бид тэгш өнцөгт гурвалжныг шийдвэрлэх, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох асуудлыг авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь бүгд биш! IN Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудМатематикт гурвалжны гадаад өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гарч ирдэг олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Юуны өмнө "Синус ба котангенс гэж юу вэ?" гэсэн хичээлийн энгийн боловч маш хэрэгтэй дүгнэлтийг сануулъя.
Энэ нь гаралт юм:
Синус, косинус, тангенс, котангенс тэдгээрийн өнцөгтэй нягт холбоотой байдаг. Бид нэг зүйлийг мэддэг бөгөөд энэ нь өөр нэг зүйлийг мэддэг гэсэн үг юм.
Өөрөөр хэлбэл өнцөг бүр өөрийн гэсэн тогтмол синус болон косинустай байдаг. Мөн бараг хүн бүр өөрийн шүргэгч, котангенстай байдаг. Яагаад бараг л?Энэ талаар доор дэлгэрэнгүй үзнэ үү.
Энэ мэдлэг таны суралцахад маш их тус болно! Та синусуудаас өнцөг рүү, эсрэгээр нь шилжих шаардлагатай маш олон даалгавар байдаг. Үүний тулд бий синусын хүснэгт.Үүний нэгэн адил, косинустай ажлуудын хувьд - косинусын хүснэгт.Мөн таны таамаглаж байсанчлан, байгаа байх шүргэгч хүснэгтТэгээд котангентын хүснэгт.)
Хүснэгтүүд өөр өөр байдаг. Урт нь, хаана юу харж болох вэ, sin37°6’-тай тэнцүү гэж хэлж болно. Бид Bradis хүснэгтүүдийг нээж, зургаан минутын гучин долоон градусын өнцгийг хайж, 0.6032 утгыг харна. Энэ тоог (мөн бусад олон мянган хүснэгтийн утгыг) санах шаардлагагүй гэдэг нь тодорхой байна.
Үнэндээ бидний цаг үед косинус, синус, тангенс, котангентын урт хүснэгтүүд үнэхээр хэрэггүй болсон. Нэг сайн тооцоолууртэдгээрийг бүрэн орлуулдаг. Гэхдээ ийм хүснэгтүүд байгаа эсэхийг мэдэх нь гэмтээхгүй. Ерөнхий мэдлэгийн хувьд.)
Тэгээд яагаад энэ хичээл?! - Та асуух.
Гэхдээ яагаад. Хязгааргүй тооны өнцгүүдийн дунд байдаг Онцгой,энэ талаар та мэдэх ёстой Бүгд. Сургуулийн бүх геометр, тригонометрийг эдгээр өнцгөөр бүтээдэг. Энэ бол тригонометрийн нэг төрлийн "үржүүлэх хүснэгт" юм. Жишээлбэл, та sin50° гэж юу болохыг мэдэхгүй бол хэн ч чамайг шүүхгүй.) Гэхдээ хэрэв та sin30° гэж юу болохыг мэдэхгүй байгаа бол зохих хоёр оноо авахад бэлэн байгаарай...
Ийм ОнцгойӨнцөг нь бас нэлээд сайн. Сургуулийн сурах бичиг ихэвчлэн цээжлэхийг санал болгодог Синусын хүснэгт ба косинусын хүснэгтарван долоон өнцгийн хувьд. Тэгээд мэдээж тангенсийн хүснэгт ба котангентын хүснэгтижил арван долоон өнцгийн хувьд ... өөрөөр хэлбэл. 68 утгыг санахыг санал болгож байна. Дашрамд хэлэхэд бие биентэйгээ маш төстэй бөгөөд үе үе давтаж, тэмдгүүдийг өөрчилдөг. Төгс харааны ой санамжгүй хүний хувьд энэ бол нэлээд ажил юм...)
Бид өөр замаар явах болно. Цээжлэх ухааныг логик, овсгоо ухаанаар солицгооё. Дараа нь бид синусын хүснэгт болон косинусын хүснэгтийн 3 (гурван!) утгыг цээжлэх хэрэгтэй болно. Шүргэгчийн хүснэгт ба котангентын хүснэгтийн 3 (гурван!) утга. Тэгээд л болоо. Зургаан утгыг санах нь 68-аас илүү хялбар байдаг, надад санагдаж байна ...)
Бид эдгээр зургаан зүйлээс бусад бүх шаардлагатай утгыг хууль эрх зүйн хуудсуудыг ашиглан олж авах болно - тригонометрийн тойрог. Хэрэв та энэ сэдвийг судлаагүй бол холбоосыг дагана уу, бүү залхаарай. Энэ тойрог зөвхөн энэ хичээлд хэрэг болохгүй. Тэр орлуулшгүй бүх тригонометрийн хувьд нэг дор. Ийм хэрэгслийг ашиглахгүй байх нь зүгээр л нүгэл юм! Та хүсэхгүй байна? Энэ бол таны бизнес. Цээжлэх синусын хүснэгт. Косинусын хүснэгт. Шүргэгчийн хүснэгт. Котангентын хүснэгт.Төрөл бүрийн өнцгийн бүх 68 утгууд.)
За ингээд эхэлцгээе. Эхлээд эдгээр бүх тусгай өнцгийг гурван бүлэгт хуваая.
Эхний бүлэг өнцөг.
Эхний бүлгийг авч үзье арван долоон өнцөг Онцгой. Эдгээр нь 0°, 90°, 180°, 270°, 360° гэсэн 5 өнцөг юм.
Эдгээр өнцгүүдийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт иймэрхүү харагдаж байна.
Өнцөг x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Өнцөг x
|
0 |
||||
гэм х |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
нэр үг |
0 |
нэр үг |
0 |
ctg x |
нэр үг |
0 |
нэр үг |
0 |
нэр үг |
Санахыг хүссэн хүмүүс санаж байгаарай. Гэхдээ энэ бүх нэг, тэг хоёр миний толгойд маш их эргэлзэж байгааг би шууд хэлье. Миний хүсч байгаагаас хамаагүй хүчтэй.) Тиймээс бид логик болон тригонометрийн тойргийг асаана.
Бид тойрог зурж, үүн дээр ижил өнцгүүдийг тэмдэглэнэ: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Би эдгээр булангуудыг улаан цэгээр тэмдэглэв.
Эдгээр өнцгүүд нь юугаараа онцлог вэ гэдэг нь шууд тодорхой болно. Тийм ээ! Эдгээр нь унах өнцөг юм яг координатын тэнхлэг дээр!Чухамдаа ийм учраас л хүмүүс төөрөлдөж байна... Гэхдээ бид төөрөлдөхгүй. Эдгээр өнцгүүдийн тригонометрийн функцийг нэг их цээжлэхгүйгээр хэрхэн олохыг олж мэдье.
Дашрамд хэлэхэд, өнцгийн байрлал нь 0 градус байна бүрэн давхцаж байна 360 градусын өнцгийн байрлалтай. Энэ нь эдгээр өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс нь яг ижил байна гэсэн үг юм. Тойргийг дуусгахын тулд би 360 градусын өнцгийг тэмдэглэв.
Улсын нэгдсэн шалгалтын хүнд хэцүү нөхцөлд та ямар нэгэн байдлаар эргэлзсэн гэж бодъё... 0 градусын синус хэд вэ? Тэг шиг санагдаж байна... Нэг бол яах вэ?! Механик цээжлэх нь ийм зүйл юм. Хэцүү нөхцөлд эргэлзээ төрж эхэлдэг ...)
Тайвшир, зүгээр л тайвшир!) Би танд 100% зөв хариулт өгч, бүх эргэлзээг бүрэн арилгах практик арга техникийг хэлэх болно.
Жишээлбэл, 0 градусын синусыг хэрхэн тодорхой, найдвартай тодорхойлохыг олж мэдье. Үүний зэрэгцээ, косинус 0. Эдгээр утгууд нь хачирхалтай нь хүмүүс ихэвчлэн эргэлздэг.
Үүнийг хийхийн тулд тойрог дээр зур дур зоргоорообулан X. Эхний улиралд 0 градус дөхөж байсан. Энэ өнцгийн синус ба косинусыг тэнхлэг дээр тэмдэглэе X,бүх зүйл сайхан байна. Үүн шиг:
Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Өнцгийг багасгая X, хөдөлж буй талыг тэнхлэгт ойртуулна Өө. Зурган дээр курсороо хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зургийг товшиж) бүх зүйлийг харах болно.
Одоо энгийн логикийг асаацгаая!Хараад бодоцгооё: x өнцөг буурахад синкс хэрхэн ажилладаг вэ? Өнцөг тэг рүү ойртох тусам?Энэ нь багасч байна! Мөн cosx нэмэгддэг!Өнцөг бүрэн нурах үед синус юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Хэзээ өнцгийн хөдөлж буй тал (А цэг) OX тэнхлэг дээр тогтож, өнцөг тэгтэй тэнцүү болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн синус тэг болно. Мөн косинус нь... хүртэл... хүртэл өсөх бөгөөд өнцгийн хөдөлж буй талын урт (тригонометрийн тойргийн радиус) хэд вэ? Нэг!
Хариулт нь энд байна. 0 градусын синус нь 0-тэй тэнцүү. 0 градусын косинус нь 1-тэй тэнцүү. Үнэмлэхүй төмрөөр хучигдсан бөгөөд ямар ч эргэлзээгүй!) Зүгээр л учир нь өөрөөр хэлбэл. байж болохгүй.
Яг үүнтэй адилаар та жишээ нь 270 градусын синусыг олж (эсвэл тодруулж) болно. Эсвэл косинус 180. Тойрог зур, дур зоргоорооБидний сонирхож буй координатын тэнхлэгийн хажууд дөрөвний нэг дэх өнцөг байгаа бол өнцгийн талыг оюун ухаанаараа хөдөлгөж, өнцгийн тал тэнхлэг дээр унах үед синус ба косинус ямар болохыг ойлгоорой. Тэгээд л болоо.
Таны харж байгаагаар энэ бүлгийн өнцгийн хувьд юу ч цээжлэх шаардлагагүй. Энд хэрэггүй синусуудын хүснэгт ...Тийм ба косинусын хүснэгт- бас.) Дашрамд хэлэхэд, тригонометрийн тойргийг хэд хэдэн удаа ашигласны дараа эдгээр бүх утгыг өөрөө санах болно. Тэгээд мартчихвал би 5 секундын дотор тойрог зураад тодруулсан. Ариун цэврийн өрөөнөөс найз руугаа залгаж, гэрчилгээгээ эрсдэлд оруулахаас хамаагүй хялбар, тийм үү?)
Тангенс ба котангенсын хувьд бүх зүйл ижил байна. Бид тойрог дээр шүргэгч (котангенс) шугам зурдаг бөгөөд бүх зүйл шууд харагдана. Хаана тэгтэй тэнцүү, хаана байхгүй байна. Та шүргэгч ба котангенсын шугамын талаар мэдэхгүй байна уу? Энэ бол гунигтай, гэхдээ засч залруулах боломжтой.) Бид 555-р хэсэгт тригонометрийн тойрог дээрх тангенс ба котангенс дээр очсон бөгөөд ямар ч асуудал гараагүй!
Хэрэв та эдгээр таван өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн тодорхой тодорхойлохыг олж мэдсэн бол баяр хүргэе! Ямар ч тохиолдолд та одоо функцуудыг тодорхойлж болно гэдгийг би танд мэдэгдье тэнхлэгт унах аливаа өнцөг.Мөн энэ нь 450 °, мөн 540 °, мөн 1800 °, мөн хязгааргүй олон тооны бусад ...) Би тойрог дээрх өнцгийг (зөв!) тоолсон - функцүүдэд ямар ч асуудал байхгүй.
Гэхдээ яг өнцгийн хэмжилтээр л асуудал, алдаа гардаг... Тэднээс хэрхэн зайлсхийх талаар хичээл дээр бичсэн байдаг: Тригонометрийн тойрог дээр дурын өнцгийг градусаар хэрхэн зурах (тоолох). Анхан шатны, гэхдээ алдаатай тэмцэхэд маш их тустай.)
Энд сургамж байна: Тригонометрийн тойрог дээр дурын өнцгийг радианаар хэрхэн зурах (хэмжих) - энэ нь илүү сэрүүн байх болно. Боломжийн хувьд. Дөрвөн хагас тэнхлэгийн алинд нь өнцөг унахыг тодорхойл гэж хэлье
Та үүнийг хэдхэн секундын дотор хийж чадна. Би тоглож байгаа юм биш! Хэдхэн секундын дотор. За, мэдээжийн хэрэг, зөвхөн 345 пи биш ...) Мөн 121, ба 16, мөн -1345. Шуурхай хариулт өгөхөд бүхэл тооны коэффициент тохиромжтой.
Мөн булан бол
Зүгээр л бод! Зөв хариултыг 10 секундын дотор авах боломжтой.
Үнэндээ энэ бол тригонометрийн тойргийн сайн тал юм. Учир нь ажиллах чадвартай зарим ньбулангуудад автоматаар тэлдэг хязгааргүй олонлогбулангууд
Тиймээс, бид арван долоон булангаас таван буланг ялгав.
Хоёрдахь бүлгийн өнцөг.
Дараагийн бүлэг өнцгүүд нь 30°, 45°, 60° өнцөг юм. Яагаад жишээлбэл, 20, 50, 80 биш, яг эдгээр гэж? Тийм ээ, ямар нэг байдлаар ийм болсон ... Түүхэнд.) Цаашид эдгээр өнцөг яагаад сайн байгааг харах болно.
Эдгээр өнцгүүдийн синус косинус тангенс котангенсийн хүснэгт дараах байдалтай байна.
Өнцөг x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Өнцөг x
|
0 |
||||
гэм х |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
нэр үг |
||
ctg x |
нэр үг |
1 |
0 |
Зургийг дуусгахын тулд би өмнөх хүснэгтээс 0 ° ба 90 ° гэсэн утгуудыг үлдээсэн.) Ингэснээр эдгээр өнцгүүд эхний улиралд хэвтэж, нэмэгдэж байгааг харж болно. 0-ээс 90 хүртэл. Энэ нь хожим бидэнд хэрэг болно.
30°, 45°, 60° өнцгийн хүснэгтийн утгыг санах хэрэгтэй. Хүсвэл цээжил. Гэхдээ энд ч гэсэн таны амьдралыг хөнгөвчлөх боломж бий.) Анхаар синус хүснэгтийн утгуудэдгээр өнцөг. Мөн харьцуулах косинусын хүснэгтийн утгууд...
Тийм ээ! Тэд адилхан!Зүгээр л урвуу дарааллаар байрлуулсан. Өнцгийн өсөлт (0, 30, 45, 60, 90) - ба синусын утгууд нэмэгдүүлэх 0-ээс 1 хүртэл. Та тооны машин ашиглан шалгаж болно. Мөн косинусын утгууд нь байна буурч байна 1-ээс тэг хүртэл. Түүнээс гадна, өөрсдийгөө үнэлдэг адилхан. 20, 50, 80 өнцгийн хувьд энэ нь ажиллахгүй ...
Энэ бол ашигтай дүгнэлт юм. Сурахад хангалттай гурав 30, 45, 60 градусын өнцгийн утгууд. Синусын хувьд тэдгээр нь нэмэгдэж, косинусын хувьд буурдаг гэдгийг санаарай. Синус руу.) Хагас замын (45°) тэд уулзана, өөрөөр хэлбэл синус 45 градус. косинустай тэнцүү 45 градус. Тэгээд дахиад л зөрөөд л... Гурван утгыг мэдэж болно биз дээ?
Шүргэгч - котангентын хувьд зураг яг ижил байна. Нэгийг харьцах нэгийн. Зөвхөн утга нь өөр. Эдгээр үнэ цэнийг (дахиад гурвыг) бас сурах хэрэгтэй.
За тэгээд бараг бүх цээжлэх ажил дууслаа. Та тэнхлэгт унах таван өнцгийн утгыг хэрхэн тодорхойлохыг ойлгож, 30, 45, 60 градусын өнцгийн утгыг олж мэдсэн (найдаж байна). Нийт 8.
Сүүлийн 9 булангийн хэсгийг шийдвэрлэх л үлдлээ.
Эдгээр нь өнцөг юм:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300 °; 315°; 330°. Эдгээр өнцгүүдийн хувьд та синусын хүснэгт, косинусын хүснэгт гэх мэтийг мэдэх хэрэгтэй.
Хар дарсан зүүд, тийм үү?)
Хэрэв та энд 405°, 600°, 3000° гэх мэт өнцгүүдийг нэмбэл, мөн олон, ижил төстэй үзэсгэлэнтэй?)
Эсвэл радиан дахь өнцөг үү? Жишээлбэл, өнцгийн талаар:
болон бусад олон зүйлийг та мэдэх ёстой Бүгд.
Хамгийн хөгжилтэй нь үүнийг мэдэх явдал юм Бүгд - зарчмын хувьд боломжгүй.Хэрэв та механик санах ой ашигладаг бол.
Хэрэв та тригонометрийн тойрог ашигладаг бол энэ нь маш хялбар, үнэндээ энгийн зүйл юм. Хэрэв та тригонометрийн тойрогтой ажиллахад бэлэн болмогц градусаар эдгээр аймшигт өнцгүүдийг хялбархан бөгөөд гоёмсог байдлаар хуучин загвар болгон бууруулж болно.
Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтуудыг (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг) сайн ойлгохын тулд "чөтгөр нь зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхлээд эхлэе. маш эхэлж, өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгодог.
Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус
Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.
Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!
Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус болон радианаар хэмжиж болно.
Өнцөг (нэг градус) нь тойргийн нэг хэсэгтэй тэнцэх дугуй нумаар хүрээлэгдсэн тойрог дахь төв өнцөг юм. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь ижил өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр тулгуурладаг.
Радиан дахь өнцөг гэдэг нь тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нумаар оршдог тойргийн төв өнцөг юм. За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Хэрэв үгүй бол зурган дээрээс үүнийг олж мэдье.
Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү дугуй нуман дээр байрладаг (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү). урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.
За, үүнийг мэдэж байгаа тул тойргийн дүрсэлсэн өнцөгт хэдэн радиан агуулагдаж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр энд байна:
За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэсэн үгийг орхигдуулдаг.
Хэдэн радиан байдаг вэ? Яг зөв!
Авчихсан? Дараа нь үргэлжлүүлээд засаарай:
Хэцүү байна уу? Дараа нь хар хариултууд:
Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс
Тиймээс бид өнцгийн тухай ойлголтыг олж мэдсэн. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), мөн хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэгээрээ байна. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.
Өнцгийн синус- энэ нь эсрэг талын (алсын) хөлний гипотенузын харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алслагдсан) хажуугийн (ойр) харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг эсрэг (хол) руу харьцуулсан харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:
Косинус→хүрэх→хүрэх→зэргэлдээ;
Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.
Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь эдгээр талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) хамаардаггүй тул синус, косинус, тангенс, котангенс гэдгийг санах хэрэгтэй. Итгэхгүй байна? Дараа нь зургийг хараад итгэлтэй байна:
Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.
Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд нэгтгэж үзээрэй!
Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.
За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: өнцгийн хувьд адилхан тооцоол.
Нэгж (тригонометрийн) тойрог
Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийг судлахад маш их хэрэг болно. Тиймээс үүнийг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье.
Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь координатын эхэнд байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байдаг (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).
Тойрог дээрх цэг бүр нь тэнхлэгийн координат ба тэнхлэгийн координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоонууд юу вэ? Тэгээд ер нь тэд ярьж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зөв гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? Яг зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, энэ нь . Энэ утгыг косинусын томъёонд орлуулъя. Энд юу болох вэ:
Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.
Тэгэхээр тойрогт хамаарах цэг ямар координаттай болохыг та хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо байвал яах вэ? Энэ нь аль координаттай тохирч байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, координатууд! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, координат! Тиймээс, хугацаа.
Тэгвэл юутай тэнцүү вэ? Зөв шүү, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.
Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:
Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээнд? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэцгээе. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар утгатай вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.
Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсийн утгууд нь харгалзах харьцаатай байна. Тиймээс эдгээр хамаарал нь радиус векторын аль ч эргэлтэнд хамаарна.
Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та тодорхой утгын өнцгийг авах болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.
Тиймээс, радиус векторыг тойрсон бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.
Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.
Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид (ямар нэг бүхэл тоо) эсвэл өөр өөр өнцөг нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.
Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд таарч байна гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.
Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юу вэ гэдэгт хариулахыг хичээ.
Энд танд туслах нэгж тойрог байна:
Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:
Эндээс бид тодорхой өнцгийн хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:
Байдаггүй;
Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө туршиж үзээд дараа нь хариултуудыг шалгана уу.
Хариултууд:
Байдаггүй
Байдаггүй
Байдаггүй
Байдаггүй
Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.
Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.
Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:
Битгий ай, одоо бид танд нэг жишээ үзүүлэх болно харгалзах утгыг санах нь маш энгийн:
Энэ аргыг ашиглахын тулд хүн бүрийн синус утгыг санах нь чухал юм гурван арга хэмжээөнцөг (), түүнчлэн өнцгийн тангенсийн утга. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд маш энгийн байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:
Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт заасан сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай диаграммыг санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.
Тойрог дээрх цэгийн координатууд
Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?
За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Үүнийг гаргацгаая ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.
Жишээлбэл, бидний өмнө тойрог байна:
Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.
Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.
Үүнтэй ижил логикийг ашиглан бид цэгийн y координатын утгыг олно. Тиймээс,
Тэгэхээр, in ерөнхий үзэлЦэгүүдийн координатыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
Тойргийн төвийн координатууд,
Тойргийн радиус,
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.
Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.
За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж эдгээр томъёог туршиж үзье?
1. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
2. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
3. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
4. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
5. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?
Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл сайн шийдэж байгаарай) та тэдгээрийг олж сурах болно!
1.
Та үүнийг анзаарч болно. Гэхдээ бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.
2. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:
Та үүнийг анзаарч болно. Эхлэлийн цэгийн хоёр бүтэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.
Синус ба косинус хоёр хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийн утгыг санаж, дараахь зүйлийг олж авдаг.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
3. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:
Та үүнийг анзаарч болно. Зураг дээрх асуултын жишээг дүрсэлцгээе:
Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү болон өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус нь сөрөг утгатай, синус эерэг утгатай болохыг тогтоосны дараа бид дараах байдалтай байна.
Сэдвийн тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ийм жишээг илүү нарийвчлан авч үзсэн болно.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
4.
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)
Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.
Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана
Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,
Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).
Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авъя:
ба - хүснэгтийн утгууд. Тэдгээрийг санаж, томъёонд орлъё:
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд
Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хажуугийн (ойр) талтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ (ойр) талын эсрэг (алс) талтай харьцуулсан харьцаа юм.
ТРИГОНОМЕТРИЙН ФУНКЦИЙН УТГИЙН ХҮСНЭГТ
Тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хүснэгтийг 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусын өнцөг болон врадиан дахь харгалзах өнцгийн утгуудын хувьд эмхэтгэсэн болно. Тригонометрийн функцуудаас синус, косинус, тангенс, котангенс, секант, косекантыг хүснэгтэд үзүүлэв. Сургуулийн жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд хүснэгтэд тригонометрийн функцүүдийн утгуудыг тоон квадрат язгуурыг задлах тэмдгүүдийг хадгалан бутархай хэлбэрээр бичсэн бөгөөд энэ нь математикийн нарийн төвөгтэй илэрхийллийг багасгахад маш их тусалдаг. Тангенс ба котангенсийн хувьд зарим өнцгийн утгыг тодорхойлох боломжгүй. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенсийн утгуудын хувьд тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд зураас байна. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенс нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Тусдаа хуудсан дээр тригонометрийн функцийг багасгах томъёо байдаг.
Тригонометрийн синусын функцийн утгын хүснэгтэд дараах өнцгийн утгуудыг харуулав: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 зэрэг нь харгалзах юм. Радиан өнцгийн хэмжүүрээр sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi. Сургуулийн синусын хүснэгт.
Тригонометрийн косинусын функцийн хувьд хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгыг харуулав: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 нь cos 0 pi-тэй тохирч байна. , cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Сургуулийн косинусын хүснэгт.
Тригонометрийн тангенсийн функцийн тригонометрийн хүснэгт нь дараах өнцгүүдийн утгыг өгдөг: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360, энэ нь tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Тригонометрийн тангенсийн функцүүдийн дараах утгуудыг tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.
Тригонометрийн хүснэгтэд котангентын тригонометрийн функцийн хувьд дараах өнцгүүдийн утгыг өгсөн болно: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270, энэ нь ctg pi/6, ctg pi/4-тэй тохирч байна. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Тригонометрийн котангентын функцүүдийн дараах утгуудыг ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.
Секант ба косекантын тригонометрийн функцүүдийн утгыг синус, косинус, тангенс, котангенс зэрэг градус ба радианаар ижил өнцгөөр өгсөн болно.
Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 градус, радианаар pi/12-аар харуулав. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиан. Сургуулийн жишээн дэх бутархайг багасгахад хялбар болгохын тулд тригонометрийн функцүүдийн утгыг бутархай ба квадрат язгуураар илэрхийлдэг.
Өөр гурван тригонометрийн мангас. Эхнийх нь 1.5 нэг ба хагас градусын шүргэгч буюу пи-г 120-д хуваасан. Хоёр дахь нь pi-ийн косинусыг 240-д хуваасан пи/240. Хамгийн урт нь pi-ийн косинусыг 17, pi/17-д хуваасан байна.
Синус ба косинусын функцүүдийн утгуудын тригонометрийн тойрог нь өнцгийн хэмжээнээс хамааран синус ба косинусын тэмдгүүдийг нүдээр илэрхийлдэг. Ялангуяа шаргал үстэй хүмүүсийн хувьд төөрөгдлийг багасгахын тулд косинусын утгыг ногоон зураасаар зурсан байдаг. Радианыг pi-ээр илэрхийлэх үед градусыг радиан болгон хувиргах нь мөн маш тодорхой харагдаж байна.
Энэхүү тригонометрийн хүснэгтэд 0 тэгээс 90 ерэн градус хүртэлх өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг нэг градусын интервалтайгаар үзүүлэв. Эхний дөчин таван градусын хувьд тригонометрийн функцүүдийн нэрийг хүснэгтийн дээд талд харах хэрэгтэй. Эхний баганад градус, синус, косинус, тангенс, котангентын утгыг дараагийн дөрвөн баганад бичнэ.
Дөчин таван градусаас ерэн градус хүртэлх өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн нэрийг хүснэгтийн доод талд бичнэ. Сүүлийн баганад градус, косинус, котангенс, тангенсийн утгыг өмнөх дөрвөн баганад бичнэ. Тригонометрийн хүснэгтийн доод талд байгаа тригонометрийн функцүүдийн нэр нь хүснэгтийн дээд талд байгаа нэрсээс өөр тул та болгоомжтой байх хэрэгтэй. Синус болон косинусууд нь тангенс ба котангенс шиг солигддог. Энэ нь тригонометрийн функцүүдийн утгуудын тэгш хэмтэй холбоотой юм.
Тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүдийг дээрх зурагт үзүүлэв. Синус нь 0-ээс 180 градус эсвэл 0-ээс pi хүртэл эерэг утгатай байна. Сөрөг утгуудсинус нь 180-аас 360 градус эсвэл pi-ээс 2 pi байна. Косинусын утгууд нь 0-ээс 90 ба 270-аас 360 градус хүртэл эерэг, эсвэл 0-ээс 1/2 пи, 3/2-оос 2 пи хүртэл байна. Тангенс ба котангенс нь 0-ээс 1/2 пи ба 3/2 пи хүртэлх утгатай тохирч, 0-ээс 90 градус, 180-аас 270 градусын эерэг утгатай байна. Тангенс ба котангентын сөрөг утга нь 90-180 градус ба 270-360 градус, эсвэл 1/2 пи-ээс pi, 3/2 пи-ээс 2 пи хүртэл байна. 360 градус буюу 2 пи-ээс дээш өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгийг тодорхойлохдоо эдгээр функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.
Тригонометрийн функцуудСинус, тангенс, котангенс нь сондгой функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн сөрөг өнцгийн утга нь сөрөг байх болно. Косинус нь тэгш тригонометрийн функц юм - сөрөг өнцгийн косинусын утга эерэг байх болно. Тригонометрийн функцийг үржүүлэх, хуваахдаа тэмдгийн дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой.
Тригонометрийн синус функцийн утгын хүснэгтэд дараах өнцгийн утгуудыг харуулав
Баримт бичигТусдаа хуудсан дээр багасгах томъёо байдаг тригонометрфункцууд. IN ширээүнэт зүйлсУчир ньтригонометрфункцуудсинусөгсөнүнэт зүйлсУчир ньдараахбулангууд: гэм 0, гэм 30, гэм 45 ...
Санал болгож буй математикийн төхөөрөмж нь дурын тооны чөлөөт n зэрэгтэй n хэмжээст гиперкомплекс тоонуудын нийлмэл тооцооллын бүрэн аналог бөгөөд шугаман бус утгыг математик загварчлахад зориулагдсан болно.
Баримт бичиг... функцуудтэнцүү байна функцуудЗураг. Энэ теоремоос ёстой, Юу Учир нь U, V координатыг олоход тооцоолоход хангалттай функц... геометр; олон талт функцууд(хоёр хэмжээстийн олон хэмжээст аналогууд тригонометрфункцууд), тэдгээрийн шинж чанар, хүснэгтүүдболон өргөдөл; ...
-
Тригонометр нь шинжлэх ухааны хувьд Эртний Дорнодод үүссэн. Анхны тригонометрийн харьцааг одон орон судлаачид оддын зөв хуанли, чиглэлийг бий болгохын тулд гаргаж авсан. Эдгээр тооцоолол нь бөмбөрцөг тригонометртэй холбоотой бөгөөд сургуулийн хичээл дээр тэд хавтгай гурвалжны талууд ба өнцгийн харьцааг судалдаг.
Тригонометр бол тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм.
МЭ 1-р мянганы соёл, шинжлэх ухааны оргил үед Эртний Дорнодоос Грект мэдлэг дэлгэрчээ. Гэхдээ тригонометрийн гол нээлт бол Арабын Халифатын үеийн хүмүүсийн гавьяа юм. Тодруулбал, туркмены эрдэмтэн аль-Маразви тангенс, котангенс зэрэг функцуудыг нэвтрүүлж, синус, тангенс, котангенсийн утгын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Синус, косинусын тухай ойлголтыг Энэтхэгийн эрдэмтэд нэвтрүүлсэн. Тригонометр нь Евклид, Архимед, Эратосфен зэрэг эртний агуу хүмүүсийн бүтээлүүдэд ихээхэн анхаарал хандуулсан.
Тригонометрийн үндсэн хэмжигдэхүүнүүд
Тоон аргументын үндсэн тригонометрийн функцууд нь синус, косинус, тангенс, котангенс юм. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн графиктай: синус, косинус, тангенс, котангенс.
Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг тооцоолох томъёо нь Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн болно. Энэ нь сургуулийн сурагчдад дараахь томъёололд илүү мэдэгддэг. Пифагор өмд, бүх чиглэлд тэнцүү байна” гэж нотлох баримтыг тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжны жишээгээр өгсөн болно.
Синус, косинус болон бусад харилцаа нь тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог. А өнцгийн хувьд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг тооцоолох томъёог танилцуулж, тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг судалъя.
Таны харж байгаагаар tg ба ctg байна урвуу функцууд. Хэрэв бид а хөлийг нүгэл А ба гипотенуз c-ийн үржвэр, b хөлийг cos A * c гэж төсөөлвөл тангенс ба котангенсын дараах томъёог олж авна.
Тригонометрийн тойрог
Графикаар дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
Тойрог, д энэ тохиолдолд, α өнцгийн бүх боломжит утгыг илэрхийлнэ - 0 ° -аас 360 ° хүртэл. Зургаас харахад функц бүр өнцгөөс хамааран сөрөг эсвэл эерэг утгыг авдаг. Жишээлбэл, α нь тойргийн 1 ба 2-р дөрөвний нэгд хамаарах, өөрөөр хэлбэл 0 ° -аас 180 ° хооронд байвал sin α нь "+" тэмдэгтэй байх болно. α-ийн хувьд 180°-аас 360° хүртэл (III ба IV улирал) sin α нь зөвхөн сөрөг утгатай байж болно.
Тодорхой өнцгөөр тригонометрийн хүснэгтүүдийг барьж, хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг олж мэдье.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° гэх мэт α-ийн утгыг онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, тусгай хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв.
Эдгээр өнцгийг санамсаргүй байдлаар сонгоогүй. Хүснэгт дэх π тэмдэглэгээ нь радианд зориулагдсан. Rad нь тойргийн нумын урт нь түүний радиустай тохирч байх өнцөг юм. Энэ үнэ цэнэрадианаар тооцоолохдоо бүх нийтийн хамаарлыг бий болгох зорилгоор нэвтрүүлсэн, радиусын бодит урт нь см-ээр хамаагүй.
Тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн өнцөг нь радиан утгуудтай тохирч байна.
Тиймээс 2π гэдгийг таахад хэцүү биш юм бүтэн тойрогэсвэл 360°.
Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд: синус ба косинус
Синус ба косинус, тангенс ба котангенсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх, харьцуулахын тулд тэдгээрийн функцийг зурах шаардлагатай. Үүнийг хоёр хэмжээст координатын системд байрлах муруй хэлбэрээр хийж болно.
Синус ба косинусын шинж чанарын харьцуулсан хүснэгтийг авч үзье.
Синус долгион Косинус y = sinx у = cos x ODZ [-1; 1] ODZ [-1; 1] sin x = 0, хувьд x = πk, энд k ϵ Z cos x = 0, хувьд x = π/2 + πk, энд k ϵ Z sin x = 1, хувьд x = π/2 + 2πk, энд k ϵ Z cos x = 1, at x = 2πk, энд k ϵ Z sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, энд k ϵ Z cos x = - 1, хувьд x = π + 2πk, энд k ϵ Z sin (-x) = - sin x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна cos (-x) = cos x, өөрөөр хэлбэл функц нь тэгш байна функц нь үечилсэн, хамгийн бага үе нь 2π sin x › 0, x нь 1 ба 2-р улиралд хамаарах буюу 0°-аас 180° хүртэл (2πk, π + 2πk) cos x › 0, x нь I ба IV улиралд хамаарах буюу 270°-аас 90° хүртэл (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) sin x ‹ 0, x нь гурав, дөрөвдүгээр улиралд хамаарах буюу 180°-аас 360° хүртэл (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, x нь 2, 3-р улиралд хамаарах буюу 90°-аас 270° хүртэл (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] интервалд нэмэгдэнэ. [-π + 2πk, 2πk] интервал дээр нэмэгддэг [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] интервалаар буурдаг интервалаар буурдаг дериватив (нүгэл х)’ = cos x дериватив (cos x)’ = - sin x Функц тэгш эсвэл тэгш биш эсэхийг тодорхойлох нь маш энгийн. Тригонометрийн хэмжигдэхүүний тэмдэг бүхий тригонометрийн тойргийг төсөөлж, OX тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийг оюун ухаанаар "нугалахад" хангалттай. Хэрэв тэмдгүүд давхцаж байвал функц нь тэгш, эс тэгвээс сондгой байна.
Радиануудын танилцуулга, синус ба косинусын долгионы үндсэн шинж чанаруудын жагсаалт нь дараахь загварыг харуулах боломжийг бидэнд олгоно.
Томъёо зөв эсэхийг шалгах нь маш амархан. Жишээлбэл, x = π/2-ийн хувьд синус нь x = 0-ийн косинустай адил 1 байна. Шалгалтыг хүснэгтээс зөвлөгөө авах эсвэл өгөгдсөн утгуудын функцын муруйг мөрдөх замаар хийж болно.
Тангенсоид ба котангенсоидын шинж чанар
Тангенс ба котангенсийн функцүүдийн графикууд нь синус болон косинусын функцүүдээс эрс ялгаатай. tg ба ctg утгууд нь бие биенийхээ эсрэг байдаг.
- Y = бор х.
- Шүргэгч нь x = π/2 + πk дахь y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч тэдгээрт хэзээ ч хүрдэггүй.
- Тангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
- Tg (- x) = - tg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
- Tg x = 0, x = πk-ийн хувьд.
- Функц нэмэгдэж байна.
- Tg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (— π/2 + πk, πk).
- Дериватив (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Ингээд авч үзье график дүрстекстийн доорх котангентоидууд.
Котангентоидын үндсэн шинж чанарууд:
- Y = ор х.
- Синус ба косинусын функцээс ялгаатай нь тангентоид Y нь бүх бодит тоонуудын багцын утгыг авч болно.
- Котангентоид нь x = πk үед y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй.
- Котангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
- Ctg (- x) = - ctg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk-ийн хувьд.
- Функц нь буурч байна.
- Ctg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (π/2 + πk, πk).
- Дериватив (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Зөв
Үүнтэй төстэй нийтлэлүүд
