විශ්වාස අන්තරය සොයා ගන්නේ කෙසේද. විශ්වාස පරතරය. වෛද්ය සංඛ්යා ලේඛන ABC. III පරිච්ඡේදය
සංඛ්යා ලේඛන තුළ, ඇස්තමේන්තු වර්ග දෙකක් තිබේ: ලක්ෂ්යය සහ පරතරය. ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවපරාමිතිය ඇස්තමේන්තු කිරීමට භාවිතා කරන තනි නියැදි සංඛ්යා ලේඛනයකි ජනගහනය. උදාහරණයක් ලෙස, නියැදි මධ්යන්ය ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවකි ගණිතමය අපේක්ෂාවසාමාන්‍ය ජනගහනය සහ නියැදි විචලනය S2- ජනගහන විචලනය පිළිබඳ ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුව σ2. නියැදි මධ්යන්යය ජනගහන අපේක්ෂාවේ අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තුවක් බව පෙන්වා දෙන ලදී. සියලුම නියැදි මාධ්‍යවල මධ්යන්යය (එකම නියැදි ප්‍රමාණයෙන් යුක්ත බැවින් නියැදි මධ්යන්යය අපක්ෂපාතී ලෙස හැඳින්වේ n) සාමාන්ය ජනගහනයේ ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ.
නියැදි විචලනය සඳහා S2ජනගහන විචලනය පිළිබඳ අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තු කරන්නෙකු බවට පත් විය σ2, නියැදි විචලනයේ හරය සමාන ලෙස සැකසිය යුතුය n – 1 , නමුත් නැහැ n. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ජනගහන විචලනය විය හැකි සියලුම නියැදි විචලනයන් වල සාමාන්‍යය වේ.
ජනගහන පරාමිතීන් තක්සේරු කිරීමේදී, නියැදි සංඛ්‍යාලේඛන වැනි බව මතක තබා ගත යුතුය , විශේෂිත සාම්පල මත රඳා පවතී. මෙම කරුණ සැලකිල්ලට ගැනීම සඳහා, ලබා ගැනීමට පරතරය ඇස්තමේන්තු කිරීමසාමාන්‍ය ජනගහනයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව නියැදි මාධ්‍යවල ව්‍යාප්තිය විශ්ලේෂණය කරයි (වැඩි විස්තර සඳහා, බලන්න). ගොඩනඟන ලද විරාමය යම් විශ්වාසනීය මට්ටමකින් සංලක්ෂිත වේ, එය සාමාන්ය ජනගහනයේ සැබෑ පරාමිතිය නිවැරදිව තක්සේරු කිරීමේ සම්භාවිතාවයි. විශේෂාංගයක අනුපාතය ඇස්තමේන්තු කිරීමට සමාන විශ්වාස කාලාන්තර භාවිතා කළ හැක ආර්සහ සාමාන්ය ජනගහනයේ ප්‍රධාන බෙදා හරින ලද ස්කන්ධය.
සටහන හෝ ආකෘතියෙන් බාගන්න, ආකෘතියෙන් උදාහරණ
දන්නා සම්මත අපගමනය සහිත සාමාන්ය ජනගහනයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා විශ්වාස පරතරයක් ගොඩනැගීම
සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණයක අනුපාතය සඳහා විශ්වාසනීය පරතරයක් ගොඩනැගීම
මෙම කොටසේදී, විශ්වාසනීය පරතරය පිළිබඳ සංකල්පය වර්ගීකරණ දත්ත දක්වා දීර්ඝ කර ඇත. සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණයේ කොටස තක්සේරු කිරීමට මෙය ඔබට ඉඩ සලසයි ආර්නියැදි කොටසක් සමඟ ආර්එස්= X/n. සඳහන් කළ පරිදි, අගයන් නම් nආර්හා n(1 - පි)අංක 5 ඉක්මවා, ද්විපද ව්යාප්තියසාමාන්‍ය ලෙස ආසන්න කළ හැක. එබැවින්, සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණයක කොටස තක්සේරු කිරීමට ආර්විශ්වාස මට්ටම සමාන වන පරතරයක් ගොඩනගා ගත හැකිය (1 - α)x100%.
කොහෙද පිඑස්- විශේෂාංගයේ නියැදි කොටස, සමාන වේ X/n, i.e. සාම්පල ප්‍රමාණයෙන් බෙදූ සාර්ථකත්වයන් සංඛ්‍යාව, ආර්- සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණයේ කොටස, Zප්‍රමිතිගත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරණාත්මක අගය වේ, n- නියැදි ප්රමාණය.
උදාහරණය 3ඒකෙන් අපි හිතමු තොරතුරු පද්ධතියපසුගිය මාසය තුළ සම්පූර්ණ කරන ලද ඉන්වොයිසි 100 ක නියැදියක් ලබා ගන්නා ලදී. අපි කියමු මේ ඉන්වොයිසි 10ක් වැරදියි කියලා. මේ ක්රමයෙන්, ආර්= 10/100 = 0.1. 95% විශ්වාසනීය මට්ටම Z = 1.96 තීරනාත්මක අගයට අනුරූප වේ.
මේ අනුව, ඉන්වොයිසිවලින් 4.12% සහ 15.88% අතර දෝෂ අඩංගු වීමට 95% සම්භාවිතාවක් ඇත.
ලබා දී ඇති නියැදි ප්රමාණය සඳහා විශ්වාස අන්තරය, සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණයේ කොටස අඩංගු වීම, අඛණ්ඩව සඳහා වඩා පුළුල් බව පෙනේ අහඹු විචල්යය. මක්නිසාද යත් අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක මිනුම් වර්ගීකරණ දත්තවල මිනුම් වලට වඩා වැඩි තොරතුරු අඩංගු වන බැවිනි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අගයන් දෙකක් පමණක් ගන්නා වර්ගීකරණ දත්ත ඒවායේ බෙදා හැරීමේ පරාමිතීන් තක්සේරු කිරීමට ප්‍රමාණවත් තොරතුරු නොමැත.
හිදීසීමිත ජනගහනයකින් ඇස්තමේන්තු ගණනය කිරීම
ගණිතමය අපේක්ෂාව ඇස්තමේන්තු කිරීම.අවසාන ජනගහනය සඳහා නිවැරදි කිරීමේ සාධකය ( fpc) සම්මත දෝෂය ගුණයකින් අඩු කිරීමට භාවිතා කරන ලදී. ජනගහන පරාමිතීන්ගේ ඇස්තමේන්තු සඳහා විශ්වාසනීය කාල පරතරයන් ගණනය කිරීමේදී, ආදේශ කිරීමකින් තොරව සාම්පල අඳින අවස්ථාවන්හිදී නිවැරදි කිරීමේ සාධකයක් යොදනු ලැබේ. මේ අනුව, ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා විශ්වාස අන්තරය, විශ්වාස මට්ටමට සමාන වේ (1 - α)x100%, සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
උදාහරණය 4සීමිත ජනගහනයක් සඳහා නිවැරදි කිරීමේ සාධකයක් යෙදීම නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, ඉහත උදාහරණ 3 හි සාකච්ඡා කර ඇති සාමාන්ය ඉන්වොයිසි ප්රමාණය සඳහා විශ්වාසනීය පරතරය ගණනය කිරීමේ ගැටලුවට අපි නැවත යමු. සමාගමක් මසකට ඉන්වොයිසි 5,000 ක් නිකුත් කරයි යැයි සිතමු, සහ X=110.27 USD, එස්= $28.95 එන් = 5000, n = 100, α = 0.05, t99 = 1.9842. සූත්රය (6) අනුව අපට ලැබෙන්නේ:
විශේෂාංගයේ කොටස ඇස්තමේන්තු කිරීම.ආපසු නොයෑම තේරීමේදී, සමාන විශ්වාස මට්ටමක් ඇති විශේෂාංගයේ සමානුපාතිකය සඳහා විශ්වාස අන්තරය (1 - α)x100%, සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
විශ්වාස අන්තරායන් සහ සදාචාරාත්මක ගැටළු
ජනගහනයක් නියැදීමේදී සහ සංඛ්යානමය නිගමන සකස් කිරීමේදී සදාචාරාත්මක ගැටළු බොහෝ විට පැන නගී. ප්‍රධාන එක තමයි නියැදි සංඛ්‍යාලේඛනවල විශ්වාස අන්තරයන් සහ ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තු එකඟ වන්නේ කෙසේද යන්නයි. යෝග්‍ය විශ්වාස කාල අන්තරයන් (සාමාන්යයෙන් 95% විශ්වාසනීය මට්ටම්වලදී) සහ ඒවා ලබාගෙන ඇති නියැදි ප්රමාණය සඳහන් නොකර ප්‍රකාශන ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තු නොමඟ යවන සුළු විය හැක. සමස්ත ජනගහනයේ ගුණාංග පුරෝකථනය කිරීමට ඔහුට අවශ්ය වන්නේ ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවක් යන හැඟීම මෙය පරිශීලකයාට ලබා දිය හැකිය. මේ අනුව, ඕනෑම පර්යේෂණයක දී ලක්ෂ්යය නොව, අන්තර ඇස්තමේන්තු ප්‍රමුඛස්ථානයේ තැබිය යුතු බව වටහා ගත යුතුය. ඊට අමතරව, විශේෂ අවධානයදිය යුතුයි නිවැරදි තේරීමනියැදි ප්රමාණ.
බොහෝ විට, සංඛ්යානමය උපාමාරු වල වස්තූන් විවිධ දේශපාලන ගැටළු මත ජනගහනයේ සමාජ විද්යාත්මක සමීක්ෂණවල ප්රතිඵල වේ. ඒ සමගම, සමීක්ෂණයේ ප්රතිඵල පුවත්පත්වල මුල් පිටුවල තබා ඇති අතර, නියැදීමේ දෝෂය සහ ක්රමවේදය සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයමධ්යයේ කොහේ හරි මුද්රණය කරන්න. ලබාගත් ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තු වල වලංගුභාවය සනාථ කිරීම සඳහා, ඒවා ලබාගත් පදනම මත නියැදි ප්රමාණය, විශ්වාසනීය අන්තරයේ මායිම් සහ එහි වැදගත්කමේ මට්ටම සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ.
ඊළඟ සටහන
Levin et al පොතේ ඇති ද්‍රව්‍ය කළමනාකරුවන් සඳහා සංඛ්‍යාලේඛන භාවිතා වේ. - එම්.: විලියම්ස්, 2004. - පි. 448-462
මධ්යම සීමා ප්‍රමේයයප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නියැදි ප්‍රමාණයක් ලබාදී, මාධ්‍යවල නියැදි ව්‍යාප්තිය සාමාන්ය ව්‍යාප්තියකින් ආසන්න කළ හැකි බව ප්‍රකාශ කරයි. මෙම දේපල ජනගහන ව්‍යාප්තියේ වර්ගය මත රඳා නොපවතී.
මනස දැනුම තුළ පමණක් නොව, දැනුම ප්‍රායෝගිකව යොදා ගැනීමේ හැකියාව තුළ ද පවතී. (ඇරිස්ටෝටල්)
විශ්වාස විරාමයන්
සාමාන්ය සමාලෝචනය
ජනගහනයෙන් නියැදියක් ගැනීම, අපි ලබා ගනිමු ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවඅපට උනන්දුවක් දක්වන පරාමිතිය සහ ඇස්තමේන්තුවේ නිරවද්‍යතාවය දැක්වීම සඳහා සම්මත දෝෂය ගණනය කරන්න.
කෙසේ වෙතත්, බොහෝ අවස්ථා සඳහා සම්මත දෝෂයක්ලෙස පිළිගත නොහැකි ය. ජනගහන පරාමිතිය සඳහා කාලාන්තර ඇස්තමේන්තුවක් සමඟ මෙම නිරවද්‍යතාවයේ මිනුම ඒකාබද්ධ කිරීම වඩාත් ප්‍රයෝජනවත් වේ.
පරාමිතිය සඳහා විශ්වාස අන්තරයක් (CI - විශ්වාස අන්තරය, CI - විශ්වාස අන්තරය) ගණනය කිරීම සඳහා නියැදි සංඛ්‍යාලේඛනයේ (පරාමිතිය) න්‍යායික සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ දැනුම භාවිතා කිරීමෙන් මෙය කළ හැකිය.
සාමාන්යයෙන්, විශ්වාස අන්තරය මඟින් ඇස්තමේන්තු දෙකෙහිම සම්මත දෝෂයේ (දී ඇති පරාමිතියක) යම් ගුණයකින් දිගු කරයි; පරතරය නිර්වචනය කරන අගයන් දෙක (විශ්වාසනීය සීමාවන්) සාමාන්යයෙන් කොමාවකින් වෙන් කර වරහන් තුළ කොටා ඇත.
මධ්යන්ය සඳහා විශ්වාස විරාමය
සාමාන්ය බෙදාහැරීම භාවිතා කිරීම
නියැදි ප්රමාණය විශාල නම් නියැදි මධ්‍යන්‍යයට සාමාන්ය ව්‍යාප්තියක් ඇත, එබැවින් ඒ පිළිබඳ දැනුම සාමාන්ය බෙදාහැරීමේසාම්පල මධ්යන්යය සලකා බැලීමේදී.
විශේෂයෙන්ම, නියැදි මාධ්‍යවල ව්‍යාප්තියෙන් 95% ක් ජනගහන මධ්යන්යයේ සම්මත අපගමන (SD) 1.96 ක් තුළ පවතී.
අප සතුව එක් සාම්පලයක් පමණක් ඇති විට, අපි මෙය මධ්යන්යයේ (SEM) සම්මත දෝෂය ලෙස හඳුන්වන අතර මධ්යන්යය සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය පහත පරිදි ගණනය කරමු:
මෙම අත්හදා බැලීම කිහිප වතාවක් පුනරුච්චාරණය කරන්නේ නම්, කාල පරතරය තුළ සැබෑ ජනගහනය 95% ක් අඩංගු වේ.
මෙය සාමාන්යයෙන් විශ්වාස අන්තරයක් වන අතර, සත්‍ය ජනගහන මධ්යන්යය (සාමාන්ය මධ්යන්යය) 95% විශ්වාසනීය මට්ටමක් සමඟ පවතින අගයන් පරාසය වැනි.
විශ්වාස අන්තරය මේ ආකාරයෙන් විග්‍රහ කිරීම තරමක් දැඩි නොවුනත් (ජනගහන මධ්යන්යය ස්ථාවර අගයක් වන අතර ඒ නිසා එයට සම්බන්ධ සම්භාවිතාවක් තිබිය නොහැක), එය සංකල්පමය වශයෙන් තේරුම් ගැනීම පහසුය.
භාවිතය ටී-බෙදා හැරීම
ජනගහනයේ විචලනයේ වටිනාකම ඔබ දන්නේ නම් ඔබට සාමාන්ය ව්‍යාප්තිය භාවිතා කළ හැකිය. එසේම, නියැදි ප්රමාණය කුඩා වන විට, ජනගහනයට යටින් පවතින දත්ත සාමාන්යයෙන් බෙදා හරිනු ලැබුවහොත්, නියැදි මධ්යන්යය සාමාන්ය ව්‍යාප්තියක් අනුගමනය කරයි.
ජනගහනයට පාදක වන දත්ත සාමාන්යයෙන් බෙදා හැර නොමැති නම් සහ/හෝ සාමාන්ය විචලනය (ජනගහන විචලනය) නොදන්නා නම්, නියැදිය කීකරු වේ සිසුන්ගේ ටී-බෙදාහැරීම.
ජනගහනය සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය පහත පරිදි ගණනය කරන්න:
කොහෙද - ප්‍රතිශත ලක්ෂ්යය (ප්‍රතිශතය) ටී- 0.05 ක වලිග දෙකක සම්භාවිතාව ලබා දෙන (n-1) නිදහසේ අංශක සහිත ශිෂ්‍ය ව්‍යාප්තිය.
සාමාන්යයෙන්, එය සාමාන්ය ව්‍යාප්තිය භාවිතා කරන විට වඩා පුළුල් පරතරයක් සපයයි, මන්ද එය ඇස්තමේන්තු කිරීමේදී හඳුන්වා දෙන අමතර අවිනිශ්චිතතාවය සැලකිල්ලට ගනී. සම්මත අපගමනයජනගහනය සහ/හෝ කුඩා සාම්පල ප්රමාණය.
නියැදි ප්රමාණය විශාල වන විට (100 හෝ ඊට වැඩි අනුපිළිවෙලින්), බෙදාහැරීම් දෙක අතර වෙනස ( t-ශිෂ්යයාසහ සාමාන්ය) නොසැලකිය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, සෑම විටම භාවිතා කරන්න ටී-නියැදි ප්රමාණය විශාල වුවද විශ්වාස කාල පරතරයන් ගණනය කිරීමේදී බෙදා හැරීම.
සාමාන්යයෙන් 95% CI ලබා දෙයි. මධ්යන්යය සඳහා 99% CI වැනි අනෙකුත් විශ්වාසනීය කාල පරතරයන් ගණනය කළ හැක.
නිෂ්පාදන සම්මත දෝෂය වෙනුවට සහ වගු අගය ටී- 0.05 හි වලිග දෙකේ සම්භාවිතාවට අනුරූප වන ව්‍යාප්තිය එය (සම්මත දෝෂය) 0.01 හි වලිග දෙකක සම්භාවිතාවට අනුරූප වන අගයකින් ගුණ කරන්න. මෙය 95% අවස්ථාවට වඩා පුළුල් විශ්වාසනීය පරතරයක් වන අතර එය ජනගහන මධ්යන්යය ඇතුළත් බවට වැඩි විශ්වාසයක් පිළිබිඹු කරයි.
සමානුපාතය සඳහා විශ්වාස පරතරය
සමානුපාතයේ නියැදි ව්‍යාප්තිය ද්විපද ව්‍යාප්තියක් ඇත. කෙසේ වෙතත්, නියැදි ප්රමාණය නම් nසාධාරණ ලෙස විශාලයි, එවිට සමානුපාතික නියැදි ව්‍යාප්තිය මධ්යන්ය සමඟ දළ වශයෙන් සාමාන්ය වේ.
නියැදි අනුපාතය අනුව ඇස්තමේන්තු කරන්න p=r/n(කොහේ ආර්- සමඟ නියැදියේ සිටින පුද්ගලයින් ගණන ලාක්ෂණික ලක්ෂණ), සහ සම්මත දෝෂය ඇස්තමේන්තු කර ඇත:
අනුපාතය සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය ඇස්තමේන්තු කර ඇත:
නියැදි ප්රමාණය කුඩා නම් (සාමාන්යයෙන් විට npහෝ n(1-p)අඩු 5
), එවිට නිශ්චිත විශ්වාස කාලාන්තර ගණනය කිරීම සඳහා ද්විපද ව්‍යාප්තිය භාවිතා කළ යුතුය.
නම් බව සලකන්න පිප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශිත, එවිට (1-p)විසින් ප්රතිස්ථාපනය කරන ලදී (100p).
විශ්වාස කාලාන්තරවල අර්ථ නිරූපණය
විශ්වාස අන්තරය අර්ථකථනය කරන විට, අපි පහත ප්‍රශ්න ගැන උනන්දු වෙමු:
විශ්වාස අන්තරය කෙතරම් පුළුල්ද?
පුළුල් විශ්වාසනීය පරතරයක් පෙන්නුම් කරන්නේ ඇස්තමේන්තුව අපැහැදිලි බවයි; පටු හොඳ තක්සේරුවක් පෙන්නුම් කරයි.
විශ්වාස පරතරයේ පළල සම්මත දෝෂයේ ප්රමාණය මත රඳා පවතින අතර, එය නියැදි ප්රමාණය මත රඳා පවතින අතර, දත්තවල විචල්‍යතාවයෙන් සංඛ්‍යාත්මක විචල්යයක් සලකා බැලීමේදී, විශාල දත්ත කට්ටලයක අධ්‍යයනයට වඩා පුළුල් විශ්වාසනීය කාල පරාසයන් ලබා දෙයි. විචල්‍ය කිහිපයකින්.
CI හි විශේෂිත උනන්දුවක් දක්වන අගයන් ඇතුළත් වේද?
ජනගහන පරාමිතියක් සඳහා විය හැකි අගය විශ්වාස අන්තරයක් තුළට වැටේදැයි ඔබට පරීක්ෂා කළ හැක. ඔව් නම්, ප්රතිඵල මෙම විය හැකි අගයට අනුකූල වේ. එසේ නොවේ නම්, පරාමිතියට මෙම අගය ඇති බව (95% විශ්වාසනීය පරතරයක් සඳහා, අවස්ථාව 5% කට ආසන්න වේ) නොහැක.
ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා විශ්වාස පරතරය - මෙය දත්ත වලින් ගණනය කරන ලද එවැනි විරාමයකි, දන්නා සම්භාවිතාවක් සමඟ සාමාන්ය ජනගහනයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව අඩංගු වේ. ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා ස්වභාවික ඇස්තමේන්තුව එහි නිරීක්ෂිත අගයන්හි අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ. එමනිසා, තවදුරටත් පාඩම අතරතුර අපි "සාමාන්ය", "සාමාන්ය අගය" යන යෙදුම් භාවිතා කරමු. විශ්වාස අන්තරය ගණනය කිරීමේ ගැටළු වලදී, බොහෝ විට අවශ්ය වන පිළිතුර වන්නේ "සාමාන්ය සංඛ්‍යාවේ [නිශ්චිත ගැටලුවක අගය] [අඩු අගයේ] සිට [ඉහළ අගය] දක්වා වූ විශ්වාස අන්තරය" යන්නයි. විශ්වාසනීය පරතරය ආධාරයෙන්, සාමාන්ය අගයන් පමණක් නොව, සාමාන්ය ජනගහනයේ එක් හෝ තවත් ලක්ෂණයක කොටස ඇගයීමට ලක් කළ හැකිය. මධ්යන්ය අගයන්, විචලනය, සම්මත අපගමනය සහ දෝෂය, ඒ හරහා අපි නව අර්ථ දැක්වීම් සහ සූත්‍ර වෙත පැමිණෙනු ඇත, පාඩමේදී විශ්ලේෂණය කෙරේ. නියැදිය සහ ජනගහනයේ ලක්ෂණ .
මධ්යන්යයේ ලක්ෂ්ය සහ විරාම ඇස්තමේන්තු
සාමාන්ය ජනගහනයේ සාමාන්ය අගය සංඛ්‍යාවකින් (ලක්ෂ්යය) ඇස්තමේන්තු කර ඇත්නම්, නොදන්නා අයගේ ඇස්තමේන්තුව සඳහා මධ්යම ප්රමාණයසාමාන්‍ය ජනගහනයෙන්, නිශ්චිත මධ්‍යන්‍යයක් ගනු ලැබේ, එය නිරීක්ෂණ නියැදියකින් ගණනය කෙරේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නියැදි මධ්යන්යයේ අගය - අහඹු විචල්යයක් - සාමාන්ය ජනගහනයේ මධ්යන්ය අගය සමග සමපාත නොවේ. එබැවින්, නියැදියේ මධ්යන්ය අගය දැක්වීමේදී, එම අවස්ථාවේදීම නියැදි දෝෂය දැක්වීම ද අවශ්ය වේ. සම්මත දෝෂය නියැදි දෝෂයේ මිනුමක් ලෙස භාවිතා කරයි, එය මධ්යන්ය ලෙස එකම ඒකක වලින් ප්‍රකාශ වේ. එබැවින්, පහත සඳහන් අංකනය බොහෝ විට භාවිතා වේ: .
මධ්යන්යයේ ඇස්තමේන්තුව යම් සම්භාවිතාවක් සමඟ සම්බන්ධ වීමට අවශ්ය නම්, උනන්දුවක් දක්වන සාමාන්ය ජනගහනයේ පරාමිතිය ඇස්තමේන්තු කළ යුත්තේ තනි සංඛ්‍යාවකින් නොව පරතරයකින් ය. විශ්වාස අන්තරයක් යනු යම් සම්භාවිතාවක් සහිත කාල පරතරයකි. පීසාමාන්ය ජනගහනයේ ඇස්තමේන්තුගත දර්ශකයේ වටිනාකම සොයා ගනී. සම්භාවිතාව සහිත විශ්වාස විරාමය පී = 1 - α අහඹු විචල්‍යයකි, පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:
,
α = 1 - පී, සංඛ්‍යාලේඛන පිළිබඳ ඕනෑම පොතක පාහේ උපග්‍රන්ථයේ සොයාගත හැකිය.
ප්‍රායෝගිකව, ජනගහන මධ්යන්ය සහ විචලනය නොදනී, එබැවින් ජනගහන විචලනය නියැදි විචලනය මගින් ප්රතිස්ථාපනය වන අතර ජනගහනය නියැදි මධ්‍යන්‍යයන් මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ. මේ අනුව, බොහෝ අවස්ථාවන්හි විශ්වාසනීය පරතරය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:
.
විශ්වාස අන්තරාල සූත්රය ජනගහන මධ්යන්ය නම් තක්සේරු කිරීමට භාවිතා කළ හැක
- සාමාන්ය ජනගහනයේ සම්මත අපගමනය දන්නා;
- හෝ ජනගහනයේ සම්මත අපගමනය නොදන්නා නමුත් නියැදි ප්රමාණය 30 ට වඩා වැඩි ය.
නියැදි මධ්යන්යය යනු ජනගහන මධ්යන්යයේ අපක්ෂපාතී තක්සේරුවකි. අනෙක් අතට, නියැදි විචලනය 
ජනගහන විචලනය පිළිබඳ අපක්ෂපාතී තක්සේරුවක් නොවේ. නියැදි විචල්‍යතා සූත්‍රයේ ජනගහන විචලනය පිළිබඳ අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තුවක් ලබා ගැනීම සඳහා, නියැදි ප්රමාණය nසමඟ ප්රතිස්ථාපනය කළ යුතුය n-1.
උදාහරණ 1යම් නගරයක අහඹු ලෙස තෝරාගත් ආපනශාලා 100 කින් තොරතුරු රැස් කරනු ලබන්නේ ඒවායේ සාමාන්ය සේවක සංඛ්‍යාව 10.5 ක් වන අතර සම්මත අපගමනය 4.6 කි. කැෆේ සේවක සංඛ්‍යාවෙන් 95% ක විශ්වාසනීය පරතරය තීරණය කරන්න.
වැදගත්කම මට්ටම සඳහා සම්මත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරණාත්මක අගය කොහිද? α = 0,05 .
මේ අනුව, සාමාන්ය කැෆේ සේවක සංඛ්‍යාව සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය 9.6 සහ 11.4 අතර විය.
උදාහරණ 2නිරීක්ෂණ 64 ක සාමාන්ය ජනගහනයකින් අහඹු නියැදියක් සඳහා, පහත මුළු අගයන් ගණනය කරන ලදී:
නිරීක්ෂණ වල අගයන් එකතුව,
මධ්යන්යයේ සිට අගයන්හි වර්ග අපගමනය එකතුව 
.
අපේක්ෂිත අගය සඳහා 95% විශ්වාස අන්තරය ගණනය කරන්න.
සම්මත අපගමනය ගණනය කරන්න:
,
සාමාන්ය අගය ගණනය කරන්න:
.
විශ්වාස අන්තරය සඳහා ප්‍රකාශනයේ අගයන් ආදේශ කරන්න:
වැදගත්කම මට්ටම සඳහා සම්මත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරණාත්මක අගය කොහිද? α = 0,05 .
අපට ලැබෙන්නේ:
මේ අනුව, මෙම නියැදියේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය 7.484 සිට 11.266 දක්වා පරාසයක පවතී.
උදාහරණය 3නිරීක්ෂණ 100 ක සාමාන්ය ජනගහනයකින් අහඹු නියැදියක් සඳහා, සාමාන්ය අගය 15.2 සහ සම්මත අපගමනය 3.2 ගණනය කරන ලදී. අපේක්ෂිත අගය සඳහා 95% විශ්වාස අන්තරය, පසුව 99% විශ්වාස අන්තරය ගණනය කරන්න. නියැදි බලය සහ එහි විචලනය එලෙසම පවතී නම්, නමුත් විශ්වාසනීය සාධකය වැඩි වේ නම්, විශ්වාස අන්තරය පටු වේද හෝ පුළුල් වේද?
අපි මෙම අගයන් විශ්වාස අන්තරය සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු:
වැදගත්කම මට්ටම සඳහා සම්මත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරණාත්මක අගය කොහිද? α = 0,05 .
අපට ලැබෙන්නේ:
.
මේ අනුව, මෙම නියැදියේ සාමාන්‍යය සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය 14.57 සිට 15.82 දක්වා විය.
නැවතත්, අපි මෙම අගයන් විශ්වාස අන්තරය සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු:
වැදගත්කම මට්ටම සඳහා සම්මත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරණාත්මක අගය කොහිද? α = 0,01 .
අපට ලැබෙන්නේ:
.
මේ අනුව, මෙම සාම්පලයේ සාමාන්‍යය සඳහා 99% විශ්වාසනීය පරතරය 14.37 සිට 16.02 දක්වා විය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, විශ්වාසනීය සාධකය වැඩි වන විට, සම්මත සාමාන්ය ව්‍යාප්තියේ තීරනාත්මක අගය ද වැඩි වන අතර, එම නිසා, අන්තරයේ ආරම්භක සහ අවසාන ලක්ෂ්ය මධ්යන්යයේ සිට තවදුරටත් ස්ථානගත වන අතර එමඟින් ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා විශ්වාස අන්තරය වැඩි වේ.
නිශ්චිත ගුරුත්වාකර්ෂණයේ ලක්ෂ්ය සහ අන්තර ඇස්තමේන්තු
නියැදියේ යම් අංගයක කොටස ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක විශිෂ්ඨ ගුරුත්වය පිසාමාන්‍ය ජනතාව තුළත් එම ලක්ෂණය. මෙම අගය සම්භාවිතාවක් සමඟ සම්බන්ධ කිරීමට අවශ්ය නම්, නිශ්චිත ගුරුත්වාකර්ෂණයේ විශ්වාස අන්තරය ගණනය කළ යුතුය. පිසම්භාවිතාවක් සහිත සාමාන්ය ජනගහනයේ ලක්ෂණය පී = 1 - α :
.
උදාහරණය 4එක්තරා නගරයක අපේක්ෂකයන් දෙදෙනෙක් සිටිති ඒහා බීනගරාධිපති තනතුරට තරග කරනවා. නගරයේ පදිංචිකරුවන් 200 ක් අහඹු ලෙස ඡන්දය ප්‍රකාශ කරන ලද අතර එයින් 46% ක් පිළිතුරු දුන්නේ ඔවුන් අපේක්ෂකයාට ඡන්දය දෙන බවයි. ඒ, 26% - අපේක්ෂකයා සඳහා බීසහ 28% තමන් ඡන්දය දෙන්නේ කාටදැයි නොදනී. අපේක්ෂකයාට සහාය දක්වන නගරවාසීන්ගේ අනුපාතය සඳහා 95% විශ්වාසනීය පරතරය තීරණය කරන්න ඒ.
විශ්වාස අන්තරය සංඛ්‍යාලේඛන ක්ෂේත්‍රයෙන් අප වෙත පැමිණියේය. මෙය ඉහළ මට්ටමේ විශ්වසනීයත්වයක් සහිත නොදන්නා පරාමිතියක් ඇස්තමේන්තු කිරීමට සේවය කරන නිර්වචනය කළ පරාසයකි. මෙය පැහැදිලි කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය උදාහරණයකි.
ඔබට කිසියම් අහඹු විචල්යයක් විමර්ශනය කිරීමට අවශ්ය යැයි සිතන්න, උදාහරණයක් ලෙස, සේවාදායක ඉල්ලීමකට සේවාදායකයේ ප්‍රතිචාරයේ වේගය. පරිශීලකයා යම් වෙබ් අඩවියක ලිපිනය ටයිප් කරන සෑම අවස්ථාවකම, සේවාදායකය ප්‍රතිචාර දක්වයි වෙනස් වේගය. මේ අනුව, විමර්ශනය කරන ලද ප්‍රතිචාර කාලය අහඹු චරිතයක් ඇත. එබැවින්, විශ්වාසනීය පරතරය ඔබට මෙම පරාමිතියෙහි මායිම් තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි, එවිට 95% ක සම්භාවිතාවකින් සේවාදායකය අප ගණනය කළ පරාසය තුළ පවතිනු ඇති බව තහවුරු කිරීමට හැකි වනු ඇත.
නැත්තම් කී දෙනෙක් ගැන දන්නවද කියලා හොයන්න ඕන වෙළඳ ලකුණසමාගම්. විශ්වාසනීය පරතරය ගණනය කරන විට, උදාහරණයක් ලෙස, 95% සම්භාවිතාවක් සමඟ මේ ගැන දන්නා පාරිභෝගිකයින්ගේ කොටස 27% සිට 34% දක්වා පරාසයක පවතින බව පැවසිය හැකිය.
මෙම පදයට සමීපව සම්බන්ධ වේ විශ්වාසය මට්ටමේ. එය විශ්වාසනීය පරතරය තුළ අපේක්ෂිත පරාමිතිය ඇතුළත් වීමේ සම්භාවිතාව නියෝජනය කරයි. මෙම අගය අපගේ අපේක්ෂිත පරාසය කොතරම් විශාලද යන්න තීරණය කරයි. එය ගන්නා අගය විශාල වන තරමට විශ්වාස පරතරය පටු වේ, සහ අනෙක් අතට. සාමාන්යයෙන් එය 90%, 95% හෝ 99% ලෙස සකසා ඇත. 95% ක අගය වඩාත් ජනප්රියයි.
මත මෙම දර්ශකයනිරීක්ෂණවල විචලනය ද බලපෑමක් ඇති කරන අතර එහි නිර්වචනය පදනම් වී ඇත්තේ අධ්‍යයනයට ලක්වන අංගය කීකරු වේ යන උපකල්පනය මත ය.මෙම ප්‍රකාශය Gauss නීතිය ලෙසද හැඳින්වේ. ඔහුට අනුව, සම්භාවිතා ඝනත්වයකින් විස්තර කළ හැකි අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක සියලුම සම්භාවිතාවන්හි එවැනි ව්‍යාප්තියක් සාමාන්ය ලෙස හැඳින්වේ. සාමාන්ය ව්‍යාප්තියක උපකල්පනය වැරදියි නම්, ඇස්තමේන්තුව වැරදි විය හැක.
පළමුව, මෙහි අවස්ථා දෙකක් සඳහා විශ්වාසනීය පරතරය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. විසරණය (අහඹු විචල්‍යයක පැතිරීමේ මට්ටම) දැන ගැනීමට හෝ නොදැනීමට හැකිය. එය දන්නේ නම්, අපගේ විශ්වාසනීය පරතරය පහත සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - ලකුණ,
t යනු Laplace බෙදාහැරීමේ වගුවේ පරාමිතියකි,
σ යනු විසරණයේ වර්ගමූලයයි.
විචලනය නොදන්නා නම්, අපේක්ෂිත අංගයේ සියලු අගයන් අප දන්නේ නම් එය ගණනය කළ හැකිය. මේ සඳහා, පහත සූත්රය භාවිතා වේ:
σ2 = х2ср - (хр)2, කොහෙද
х2ср - අධ්‍යයනයට ලක්වන ගති ලක්ෂණ වර්ගවල සාමාන්ය අගය,
(xsr)2 යනු මෙම ගුණාංගයේ වර්ග වේ.
මෙම අවස්ථාවෙහි විශ්වාස අන්තරය ගණනය කරනු ලබන සූත්රය තරමක් වෙනස් වේ:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - නියැදි මධ්යන්ය,
α - ලකුණ,
t යනු ශිෂ්‍ය බෙදාහැරීමේ වගුව t \u003d t (ɣ; n-1) භාවිතයෙන් සොයා ගන්නා පරාමිතියකි.
sqrt(n) යනු සම්පූර්ණ නියැදි ප්‍රමාණයේ වර්ගමූලයයි,
s යනු විචලනයේ වර්ගමූලයයි.
මෙම උදාහරණය සලකා බලන්න. මිනුම් 7ක ප්රතිඵල මත පදනම්ව, අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ලක්ෂණය 30 සහ නියැදි විචලනය 36 ට සමාන ලෙස තීරණය කරන ලදී. මනින ලද පරාමිතිය.
පළමුව, t යනු කුමක්දැයි තීරණය කරමු: t \u003d t (0.99; 7-1) \u003d 3.71. ඉහත සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (වර්ග(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
විචලනය සඳහා විශ්වාස අන්තරය දන්නා මධ්‍යන්‍යයක සහ ගණිතමය අපේක්ෂාව පිළිබඳ දත්ත නොමැති විට යන දෙකෙහිම ගණනය කරනු ලබන අතර, විචල්‍යයේ අපක්ෂපාතී ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුවේ අගය පමණක් දනී. එය ගණනය කිරීම සඳහා වන සූත්‍ර අපි මෙහි ලබා නොදෙන්නෙමු, මන්ද ඒවා තරමක් සංකීර්ණ වන අතර අවශ්ය නම් ඒවා සැමවිටම ජාලයෙන් සොයාගත හැකිය.
එක්සෙල් වැඩසටහනක් හෝ ජාල සේවාවක් භාවිතා කරමින් විශ්වාසනීය පරතරය තීරණය කිරීම පහසු බව පමණක් අපි සටහන් කරමු.
