Числові нерівності та його властивості. Калькулятор онлайн. Розв'язання нерівностей: лінійні, квадратні та дробові
Безліч всіх дійсних чисел можна уявити, як поєднання трьох множин: безліч позитивних чисел, безліч негативних чисел і безліч, що складається з одного числа - число нуль. Для того щоб вказати, що число апозитивно, користуються записом а > 0, для вказівки від'ємного числа використовують інший запи a< 0 .
Сума та добуток позитивних чисел також є позитивними числами. Якщо число анегативно, то число -апозитивно (і навпаки). Для будь-якого позитивного числа знайдеться таке позитивне раціональне число r, що r< а . Ці факти і є основою теорії нерівностей.
За визначенням нерівність а > b (або, що те саме, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, тобто якщо число а – b позитивно.
Розглянемо, зокрема, нерівність а< 0 . Що означає ця нерівність? Згідно з наведеним вище визначенням воно означає, що 0 - а > 0, тобто. -а > 0або, інакше, що число -апозитивно. Але це має місце в тому і тільки в тому випадку, якщо число анегативно. Отже, нерівність а< 0 означає, що число а негативно.
Часто використовується також запис аb(або, що те саме, bа).
Запис аb, за визначенням, означає, що або а > b, або а = b. Якщо розглядати запис аbяк невизначений вислів, то в позначеннях математичної логіки можна записати
(a b) [(a > b) V (a = b)]
приклад 1.Чи правильні нерівності 5 0, 0 0?
Нерівність 50 - це складне висловлювання, що складається з двох простих висловлювань, пов'язаних логічною зв'язкою "або" (диз'юнкція). Або 5 > 0 чи 5 = 0. Перше висловлювання 5 > 0 - істинно, друге висловлювання 5 = 0 - хибно. За визначенням диз'юнкції такий складний вислів істинний.
Аналогічно обговорюється запис 00.
Нерівності виду а > b, а< b будемо називати строгими, а нерівності виду ab, ab- Нестрогі.
Нерівності а > bі з > d(або а< b і з< d ) називатимемо нерівностями однакового сенсу, а нерівності а > bі c< d - Нерівностями протилежного сенсу. Зазначимо, що ці два терміни (нерівності однакового та протилежного сенсу) відносяться лише до форми запису нерівностей, а не до самих фактів, що виражаються цими нерівностями. Так, стосовно нерівності а< b нерівність з< d є нерівністю того самого сенсу, а в записі d > c(що означає те саме) - нерівністю протилежного сенсу.
Поряд з нерівностями виду a > b, abвикористовуються так звані подвійні нерівності, тобто нерівності виду а< с < b
, ас< b
, a< cb
,
acb. За визначенням запис
а< с < b
(1)
означає, що мають місце обидві нерівності:
а< с і з< b.
Аналогічний сенс мають нерівності асb, ас< b, а < сb.
Подвійну нерівність (1) можна записати так:
(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]
а подвійна нерівність a ≤ c ≤ bможна записати в наступному вигляді:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Перейдемо тепер до викладу основних властивостей та правил дій над нерівностями, домовившись, що у цій статті літери a, b, спозначають дійсні числа, а nозначає натуральне число.
1) Якщо а > b та b > с, то a > с (транзитивність).
Доведення.
Бо за умовою а > bі b > c, то числа а - bі b - зпозитивні, і, отже, число а - с = (а - b) + (b - с)Як сума позитивних чисел, також є позитивним. Це означає, за визначенням, що а > с.
2) Якщо а > b, то за будь-якого з має місце нерівність а + с > b + c.
Доведення.
Так як а > b, то число а - bпозитивно. Отже, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - bтакож є позитивним, тобто.
a + с > b + с.
3) Якщо a + b > c, то a > b - c,тобто будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.
Доказ випливає з якості 2) досить до обох частин нерівності а + b > сдодати число - b.
4) Якщо а > b та с > d, то а + с > b + d,т. е. під час складання двох нерівностей однієї й тієї ж сенсу виходить нерівність тієї самої сенсу.
Доведення.
Через визначення нерівності досить показати, що різниця
(а + с) - (b + c)позитивна. Цю різницю можна записати так:
(a + c) - (b + d) = (а - b) + (с - d).
Оскільки за умовою числа а - bі с - dпозитивні, то (a + с) - (b + d)також є позитивне число.
Слідство. З правил 2) та 4) випливає наступне Правиловіднімання нерівностей: якщо а > b, з > d, то a - d > b - с(Для доказу достатньо до обох частин нерівності а + с > b + dдодати число - c - d).
5) Якщо а > b, то при с > 0 маємо ас > bc, а при с< 0 имеем ас < bc.
Інакше висловлюючись, при множенні обох частин нерівності ні позитивне число знак нерівності зберігається (т. е. виходить нерівність, тієї самої сенсу), а при множенні на від'ємне числознак нерівності змінюється на протилежний (тобто виходить нерівність протилежного сенсу).
Доведення.
Якщо а > b, то а - bє число позитивне. Отже, знак різниці ас-bс = с(а - b)збігається зі знаком числа з: якщо з- позитивне число, те й різниця ас - bcпозитивна і тому ас > bс, а якщо з< 0 , то ця різниця негативна і тому bc - аспозитивно, тобто. bc > ас.
6) Якщо а > b > 0 і > d > 0, то ас > bd,т. е. якщо всі члени двох нерівностей однакового сенсу позитивні, то при почленном множенні цих нерівностей виходить нерівність того самого сенсу.
Доведення.
Маємо ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Так як з > 0, b > 0, a - b > 0, з - d > 0, ас - bd > 0, тобто ас > bd.
Зауваження.З доказу видно, що умова d > 0у формулюванні властивості 6) несуттєво: для справедливості цієї властивості достатньо, щоб були виконані умови a > b > 0, > d, з > 0. Якщо ж (при виконанні нерівностей a > b, з > d) числа а, b, сне будуть всі позитивними, то нерівність ас > bdможе виконуватися. Наприклад, при а = 2, b =1, c= -2, d= -3 маємо a > b, з > d, але нерівність ас > bd(Тобто -4 > -3) не виконано. Таким чином, вимога позитивності чисел а, b, с у формулюванні властивості 6) суттєво.
7) Якщо a b > 0 і c > d > 0, то (розподіл нерівностей).
Доведення.
Маємо 
Чисельник дробу, що стоїть у правій частині, позитивний (див. властивості 5), 6)), знаменник також позитивний. Отже. Цим властивість 7) доведено.
Зауваження.Відзначимо важливий окремий випадокправила 7), що утворюється при а = b = 1: якщо з > d > 0, то. Таким чином, якщо члени нерівності позитивні, то при переході до обернених величин отримуємо нерівність протилежного змісту. Пропонуємо читачам перевірити, що це правило зберігається і в7) Якщо ab > 0 і c > d > 0, то (поділ нерівностей).
Доведення. те.
Ми довели вище кілька властивостей нерівностей, записаних за допомогою знака > (Більше). Проте ці властивості можна було б формулювати з допомогою знака < (менше), оскільки нерівність b< а означає, за визначенням, те саме, що й нерівність а > b. Крім того, як це неважко перевірити, доведені вище властивості зберігаються і для несуворих нерівностей. Наприклад, властивість 1) для нестрогих нерівностей матиме наступний вигляд: якщо аb та bс, то ас.
Очевидно, сказаним вище не обмежуються загальні характеристики нерівностей. Існує ще цілий ряднерівностей загального вигляду, пов'язаних з розглядом статечної, показової, логарифмічної та тригонометричних функцій. Загальний підхіддля написання таких нерівностей полягає в наступному. Якщо деяка функція у = f(х)монотонно зростає на відрізку [а, b], то при x 1 > x 2 (де x 1 та x 2 належать цьому відрізку) ми маємо f (x 1) > f(x 2). Аналогічно, якщо функція y = f(x)монотонно зменшується на відрізку [а, b], то при х 1 > х 2 (де х 1і х 2 належать цьому відрізку) ми маємо f(x 1)< f(x 2 ). Зрозуміло, сказане не відрізняється від визначення монотонності, але для запам'ятовування та написання нерівностей цей прийом дуже зручний.
Так, наприклад, для будь-якого натурального n функція у = х nє монотонно зростаючою на промені . У такому прикладі така дужка використовується.
Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:
х ∈ [-0,5; +∞)
Читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи,до плюс нескінченності.
Нескінченність не може включатися ніколи. Не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.
Така форма запису зручна для складних відповідей, які з кількох проміжків. Але – саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму у вигляді простої нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.
Популярні завдання із нерівностями.
Самі собою лінійні нерівності прості. Тому, часто, завдання ускладнюються. Так, щоби подумати треба було. Це, якщо з незвички, не дуже приємно. Але корисно. Покажу приклади таких завдань. Не для того щоб ви їх вивчили, це зайве. А щоб не боялися при зустрічі з подібними прикладами. Трохи подумати – і все просто!)
1. Знайдіть будь-які два рішення нерівності 3х - 3< 0
Якщо не дуже зрозуміло, що робити, згадуємо головне правило математики:
Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!)
х < 1
І що? Та нічого особливого. Що нас просять? Нас просять знайти два конкретні числа, які є рішенням нерівності. Тобто. підходять під відповідь. Два будь-якихчисла. Власне, це і бентежить.) Підходить парочка 0 та 0,5. Парочка -3 та -8. Так цих парачок безліч! Яка відповідь правильна?!
Відповідаю: все! Будь-яка парочка чисел, кожне з яких менше одиниці, буде правильною відповіддю.Пишіть яку хочете. Їдемо далі.
2. Вирішити нерівність:
4х - 3 ≠ 0
Завдання у вигляді зустрічаються рідко. Але, як допоміжні нерівності, при знаходженні ОДЗ, наприклад, або при знаходженні області визначення функції, зустрічаються часто-густо. Таку лінійну нерівність можна вирішувати як звичайне лінійне рівняння. Тільки скрізь, крім знака "=" ( одно) ставити знак " ≠ " (не дорівнює). Так до відповіді й підійдете зі знаком нерівності:
х ≠ 0,75
У складніших прикладах, краще чинити інакше. Зробити з нерівності рівність. Ось так:
4х - 3 = 0
Спокійно вирішити його, як вчили, і отримати відповідь:
х = 0,75
Головне, наприкінці, при записі остаточної відповіді, не забути, що ми знайшли ікс, який дає рівність.А нам потрібно – нерівність.Отже, цей ікс нам якраз і не потрібний.) І треба записати його з правильним значком:
х ≠ 0,75
За такого підходу виходить менше помилок. У тих, хто рівняння на автоматі вирішує. А тим, хто рівняння не вирішує, нерівності, власне, ні до чого...)
3. Визначити найменше ціле рішення нерівності:
3(х - 1) < 5х + 9
Спочатку просто вирішуємо нерівність. Розкриваємо дужки, переносимо, наводимо подібні... Отримуємо:
х > - 6
Не так вийшло! А за знаками стежили! І за знаками членів, і за знаком нерівності...
Знову міркуємо. Нам потрібно знайти конкретне число, яке підходить і під відповідь, і під умову "найменше ціле".Якщо відразу не осяяє, можна просто взяти будь-яке число і прикинути. Два більше мінус шести? Звичайно! А чи є відповідне число менше? Зрозуміло. Наприклад, нуль більше -6. А ще менше? А нам найменше з можливих треба! Мінус три більше мінус шести! Вже можна вловити закономірність і перестати тупо перебирати числа, правда?
Беремо число ближче до -6. Наприклад, -5. Відповідь виконується, -5 > - 6. Чи можна знайти ще число, менше -5, але більше -6? Можна, наприклад, -5,5... Стоп! Нам сказано цілеРішення! Чи не котить -5,5! А мінус шість? Е-е-е! Нерівність суворе, мінус 6 не менше мінус 6!
Отже, правильна відповідь: -5.
Сподіваюся, з вибором значення з загального рішеннявсе зрозуміло. Ще приклад:
4. Вирішити нерівність:
7 < 3х+1 < 13
ВО як! Такий вираз називається потрійною нерівністю.Строго кажучи, це скорочений запис системи нерівностей. Але вирішувати такі потрійні нерівності все одно доводиться у деяких завданнях... Вона вирішується без жодних систем. По тим самим тотожним перетворенням.
Потрібно спростити, довести цю нерівність до чистого ікса. Але... Що куди переносити? Ось тут саме час згадати, що перенесення вліво-вправо, це скорочена формапершого тотожного перетворення.
А повна формазвучить ось як: До обох частин рівняння (нерівності) можна додати/відібрати будь-яке число, або вираз.
Тут три частини. От і будемо застосовувати тотожні перетворення до всіх трьох частин!
Отже, позбавимося одиниці в середній частині нерівності. Віднімемо від усієї середньої частини одиничку. Щоб нерівність не змінилася, віднімемо одиницю і від двох частин, що залишилися. Ось так:
7 -1< 3х+1-1 < 13-1
6 < 3х < 12
Вже краще, правда?) Залишилося поділити всі три частини на трійку:
2 < х < 4
От і все. Це відповідь. Ікс може будь-яким числом від двійки (не включаючи) до четвірки (не включаючи). Ця відповідь теж записується через проміжки, такі записи будуть у квадратних нерівностях. Там вони - звичайнісінька справа.
Наприкінці уроку повторю найголовніше. Успіх у вирішенні лінійних нерівностей залежить від уміння перетворювати та спрощувати лінійні рівняння. Якщо при цьому стежити за знаком нерівності,проблем не буде. Чого я вам бажаю. Відсутності проблем.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Поле дійсних чисел має властивість упорядкованості (п. 6, стор. 35): для будь-яких чисел а, b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або . У цьому запис а > b означає, що різниця позитивна, а запис різниця негативна. На відміну від поля дійсних чисел, поле комплексних чиселне впорядковується: для комплексних чисел поняття «більше» і «менше» не визначаються; у цьому розділі розглядаються лише дійсні числа.
Співвідношення назвемо нерівностями, числа а і b - членами (або частинами) нерівності, знаки > (більше) і Нерівності а > b і з > d називаються нерівностями однакового (чи того самого) сенсу; нерівності а > b і с З визначення нерівності відразу випливає, що
1) будь-яке позитивне число більше нуля;
2) будь-яке від'ємне число менше нуля;
3) будь-яке позитивне число більше від будь-якого негативного числа;
4) із двох негативних чисел більше те, абсолютна величина якого менша.
Всі ці твердження допускають просте геометричне тлумачення. Нехай позитивний напрямок числової осі йде праворуч від початкової точки; тоді, які б не були знаки чисел, більше їх зображується точкою, що лежить правіше точки, що зображує менше число.
Нерівності мають такі основні властивості.
1. Несиметричність (незворотність): якщо , то і назад.
Справді, якщо різниця позитивна, то різниця негативна. Кажуть, що за перестановки членів нерівності треба сенс нерівності змінити на протилежний.
2. Транзитивність: якщо , то . Справді, із позитивності різниць випливає і позитивність
Крім знаків нерівності застосовують також знаки нерівності і вони визначаються таким чином: запис означає, що або тому, наприклад, можна писати , а також . Зазвичай нерівності, записані з допомогою знаків називають строгими нерівностями, а записані з допомогою знаків нестрогими нерівностями. Відповідно і самі знаки називають знаками суворої чи не суворої нерівності. Властивості 1 і 2, розглянуті вище, вірні й у нестрогих нерівностей.
Розглянемо тепер дії, які можна робити над однією чи кількома нерівностями.
3. Від додавання до членів нерівності однієї й тієї числа сенс нерівності не змінюється.
Доведення. Нехай дані нерівність і довільне число. За визначенням різниця позитивна. Додамо до цього два протилежних числа від чого воно не зміниться, тобто.
Цю рівність можна переписати так:
З цього випливає, що різниця позитивна, тобто що
а це й треба було довести.
На цьому ґрунтується можливість перекосу будь-якого члена нерівності з однієї його частини до іншої з протилежним знаком. Наприклад, з нерівності
випливає, що
4. При множенні членів нерівності одне й те позитивне число сенс нерівності не змінюється; при множенні членів нерівності одне і те негативне число сенс нерівності змінюється на протилежний.
Доведення. Нехай тоді якщо те, що добуток позитивних чисел позитивний. Розкривши дужки в лівій частині останньої нерівності, отримаємо, тобто. Аналогічним чином розглядається випадок.
Такий самий висновок можна зробити і щодо поділу частин нерівності на яке-небудь відмінне від нуля число, тому що поділ на число рівносильне множенню на число числа мають однакові знаки.
5. Нехай члени нерівності є позитивними. Тоді при зведенні його членів в той самий позитивний ступінь зміст нерівності не змінюється.
Доведення. Нехай цьому випадку за якістю транзитивності та . Тоді через монотонне зростання статечної функціїпри і позитивному матимемо
Зокрема, якщо де -натуральне число, то отримаємо
тобто при добуванні кореня з обох частин нерівності з позитивними членами сенс нерівності не змінюється.
Нехай члени нерівності є негативними. Тоді неважко довести, що при зведенні його членів у непарну натуральний ступіньзміст нерівності не зміниться, а при зведенні в парний натуральний ступінь зміниться на протилежний. З нерівностей з негативними членами можна також видобувати корінь непарного ступеня.
Нехай члени нерівності мають далі різні знаки. Тоді при зведенні його в непарний ступінь сенс нерівності не зміниться, а при зведенні в парний ступінь про сенс нерівності, що виходить, нічого визначеного в загальному випадкусказати не можна. У насправді, під час зведення числа в непарну ступінь знак числа зберігається тому сенс нерівності не змінюється. При зведенні ж нерівності у парний ступінь утворюється нерівність з позитивними членами, і її зміст залежатиме від абсолютних величинчленів вихідної нерівності може вийти нерівність тієї самої сенсу, як і вихідне, нерівність протилежного сенсу і навіть рівність!
Усе сказане про зведення нерівностей у ступінь корисно перевірити на прикладі.
Приклад 1. Звести у зазначений ступінь такі нерівності, змінивши у разі потреби знак нерівності на протилежний чи знак рівності.
а) 3 > 2 ступінь 4; б) у ступінь 3;
в) у ступінь 3; г) у ступінь 2;
д) у ступінь 5; е) у ступінь 4;
ж) 2 > -3 ступінь 2; з) у ступінь 2,
6. Від нерівності можна перейти до нерівності між якщо члени нерівності обидва позитивні або обидва негативні, то між їх зворотними величинами є нерівність протилежного змісту:
Доведення. Якщо а і b - одного знака, їх добуток позитивно. Розділимо на нерівність
тобто, що і потрібно отримати.
Якщо члени нерівності мають протилежні знаки, то нерівність між їхніми оберненими величинами має той самий сенс, оскільки знаки обернених величин ті ж, що й знаки самих величин.
Приклад 2. Перевірити останню властивість 6 на наступних нерівностях:
7. Логарифмування нерівностей можна проводити лише у разі, коли члени нерівностей позитивні (негативні числа і нуль логарифмів немає).
Нехай. Тоді при буде
а при буде
Правильність цих тверджень заснована на монотонності логарифмічної функції, яка зростає, якщо основа і убуває при
Отже, при логарифмуванні нерівності, що складається з позитивних членів, з основи, більшої одиниці, утворюється нерівність того ж сенсу, що і дане, а при логарифмуванні його з позитивної основи, меншої одиниці, - нерівність протилежного сенсу.
8. Якщо, то якщо, але, то.
Це відразу випливає з властивостей монотонності показової функції(п. 42), яка зростає у разі та убуває, якщо
При почленном складання нерівностей однієї й тієї ж сенсу утворюється нерівність тієї самої сенсу, як і дані.
Доведення. Доведемо це твердження для двох нерівностей, хоча воно правильне для будь-якої кількості нерівностей, що складаються. Нехай дані нерівності
За визначенням числа будуть позитивними; тоді позитивною виявляється та його сума, тобто.
Групуючи інакше доданки, отримаємо
і, отже,
а це й треба було довести.
Не можна сказати Нічого певного у загальному випадку про сенс нерівності, що виходить при складанні двох або кількох нерівностей різного змісту.
10. Якщо з однієї нерівності почленно відняти іншу нерівність протилежного сенсу, то утворюється нерівність того самого сенсу, що й перша.
Доведення. Нехай дані дві нерівності різного сенсу. Друге їх за властивістю незворотності можна переписати так: d > с. Складемо тепер дві нерівності однакового сенсу і отримаємо нерівність
того ж сенсу. З останнього знаходимо
а це й треба було довести.
Не можна сказати нічого певного в загальному випадку про сенс нерівності, що виходить при відніманні з однієї нерівності іншої нерівності того ж сенсу.
Теорія:
При розв'язанні нерівностей використовують такі правила:
1. Будь-який член нерівності можна перенести з однієї частини
нерівності до іншої з протилежним знаком, у своїй знак нерівності не змінюється.
2. Обидві частини нерівності можна помножити чи розділити одне
і те позитивне число, не змінивши у своїй знак нерівності.
3. Обидві частини нерівності можна помножити чи розділити одне
і те ж негативне число, змінивши при цьому знак нерівності на
протилежний.
Розв'язати нерівність − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Рішення.
1. Перенесемо член − 3 xв ліву частинунерівності, а член 11
- в праву частинунерівності, при цьому поміняємо знаки на протилежні у − 3 xі у 11
.
Тоді отримаємо
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
− 5 x< − 15
2. Розділимо обидві частини нерівності − 5 x<
−
15
на негативне число −
5
, при цьому знак нерівності <
, зміниться на >
, тобто. ми перейдемо до нерівності протилежного змісту.
Отримаємо:
− 5 x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3- Вирішення заданої нерівності.
Зверни увагу!
Для запису рішення можна використати два варіанти: x > 3або у вигляді числового проміжку.
Зазначимо безліч розв'язків нерівності на числовій прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Відповідь: x > 3або x ∈ (3 ; + ∞ )
Алгебраїчні нерівності.
Квадратні нерівності. Раціональні нерівності найвищих ступенів.
Методи розв'язання нерівностей залежать в основному від того, до якого класу належать функції, що становлять нерівність.
- I. Квадратні нерівності, тобто нерівності виду
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Щоб вирішити нерівність можна:
- Квадратний тричлен розкласти на множники, тобто записати нерівність у вигляді
a (x – x 1) (x – x 2) > 0 (< 0).
- Коріння многочлена нанести на числову вісь. Коріння розбиває безліч дійсних чисел на проміжки, у кожному з яких відповідна квадратична функціябуде знакопостійною.
- Визначити знак a (x – x 1) (x – x 2) у кожному проміжку та записати відповідь.
Якщо квадратний тричлен немає коренів, то при D<0 и a>0 квадратний тричлен за будь-якого x позитивний.
- Вирішити нерівність. x 2 + x - 6> 0.
Розкладемо квадратний тричлен на множники (x + 3) (x - 2) > 0
Відповідь: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x – 6) 2 > 0
Ця нерівність вірна за будь-якого х, крім х = 6.
Відповідь: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Тут D< 0, a = 1 >0. Квадратний тричлен позитивний при всіх х.
Відповідь: x Î Ø.
Вирішити нерівності:
- 1+х - 2х²< 0. Ответ:
- 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Відповідь:
- 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Відповідь:
- 2х² - 12х + 18 > 0. Відповідь:
- При яких значеннях a нерівність
x² - ax > виконується для будь-яких х? Відповідь:
- II. Раціональні нерівності вищих ступенів,тобто нерівності виду
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Багаточлен вищого ступеня слід розкласти на множники, тобто записати нерівність у вигляді
a n (x - x 1) (x - x 2) · ... · (x - x n) > 0 (<0).
Позначити на числовій осі точки, в яких багаточлен перетворюється на нуль.
Визначити знаки багаточлена кожному проміжку.
1) Вирішити нерівність x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x – 1) (x – 2) (x – 3). Отже, x(x – 1) (x – 2) (x – 3)<0
Відповідь: (0; 1) (2; 3).
2) Розв'язати нерівність (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Зазначимо на числовій осі точки, в яких багаточлен перетворюється на нуль. Це x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.
У точці х = - ½ зміни знака не відбувається, тому що двочлен (2х + 1) зводиться в парний ступінь, тобто вираз (2x + 1) 4 не змінює знак під час переходу через точку х = - ½.
Відповідь: (-∞; -2) (½; 1).
3) Вирішити нерівність: х 2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.
Ця нерівність рівносильна наступній сукупності
Рішенням (1) є х (-∞; -2) (3; +∞). Рішенням (2) є х = 0, х = -2, х = 3. Об'єднуючи отримані рішення, одержуємо х Î (-∞; -2] (0) (0) )
