Записи з міткою "приклади властивості ступеня з натуральним показником". Властивості ступенів, формулювання, докази, приклади

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їх складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Помноження ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат у останньому прикладіможе бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . І x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a -2. a -3 = a -5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумічи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$ frac (d cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Початковий рівень

Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)

Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?

Щоб дізнатися все про ступеня, про те для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному життічитай цю статтю.

І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачіОДЕ або ЄДІ та до вступу до ВНЗ твоєї мрії.

Let"s go... (Поїхали!)

Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).

ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ

Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Зараз поясню все людською мовою дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Почнемо зі складання.

Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього кіл? Правильно – 16 пляшок.

Тепер множення.

Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...

Ось таблиця множення. Повторюй.

І інший, красивіший:

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.

Зведення числа до ступеня

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже добре питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1

Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучуєшся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахова дошка - це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, бо ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені – мільйони! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття... щоб не заплутатися

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі рисунок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати …

Ступінь числа з натуральним показником

Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби – це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Кілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чиселдля виміру довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченна десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Резюме:

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе:
3. Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

Подивимося: що таке і ?

За визначенням:

Скільки тут множників всього?

Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: , що потрібно було довести.

приклад: Спростіть вираз

Рішення:

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

тільки для створення ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. то й є -а ступінь числа

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?

Але це не так, адже.

Ступінь з негативною основою

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.

Але якою має бути підстава?

У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.

Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Впорався?

Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.

Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий!

6 прикладів для тренування

Розбір рішення 6 прикладів

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, дійдемо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, не рівне нулю, негативною мірою назад такому ж числу позитивно: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене парний ступінь - число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дробовий ступіньз парним знаменником, тобто вираз немає сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;

...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь « зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового вигляду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивостіступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що й потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо на (), вийде -.

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Від'ємне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, розв'яжемо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як будемо доводити? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником вкрай складно (як і складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

1)

2)

3)

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якого - нескінченний десятковий дріб або корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль у будь-якій мірі дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБІ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у розв'язанні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютної величининепозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

основна ціль

Ознайомити учнів із властивостями ступенів із натуральними показниками та навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема " Ступінь та її властивості "включає три питання:

• Визначення ступеня із натуральним показником.
• Множення та поділ ступенів.
• Зведення у ступінь твору та ступеня.

Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником 1. Наведіть приклад.
2. Сформулюйте визначення ступеня показника 1. Наведіть приклад.
3. Яким є порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
4. Сформулюйте основну властивість ступеня.
5. Сформулюйте правило множення ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
6. Сформулюйте правило поділу ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
7. Сформулюйте правило зведення ступінь твору. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n = a n b n .
8. Сформулюйте правило зведення ступеня до ступеня. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n = m n .

Визначення ступеня.

Ступенем числа aз натуральним показником n, Великим 1, називається добуток n множників, кожен з яких дорівнює а. Ступенем числа аз показником 1 називається саме число а.

Ступінь з основою ата показником nзаписується так: а n. Читається “ ау ступені n”; У n- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням у ступінь .

1. Приклади зведення у ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Збільшення ступенів.

Для будь-якого числа а та довільних чисел m і n виконується:

a m a n = a m + n.

Доведення:

Правило : При множенні ступенів з однаковими основами основи залишають тим самим, а показники ступенів складають.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Варіант 1

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а0 і довільних натуральних чисел m і n таких, що m>n виконується:

a m: a n = a m - n

Доведення:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

за визначенням приватного:

a m: a n = a m - n.

Правило: При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Визначення: Ступінь числа а, не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

т.к. а n: a n = 1 при а0.

а) х 4: х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8: у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7: а = а 7: а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) з 5: з 0 = з 5: 1 = з 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Зведення у ступінь твору.

Для будь-яких а та b і довільного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доведення:

За визначенням ступеня

(ab) n =

Згрупувавши окремо множники а та множники b, отримаємо:

=

Доведена властивість ступеня твору поширюється на ступінь твору трьох та більше множників.

Наприклад:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило: При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник і результат перемножують

1. Звести до ступеня:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 = 2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Зведення у ступінь ступеня.

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n:

(а m) n = а m n

Доведення:

За визначенням ступеня

(а m) n =

Правило: При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

1. Звести до ступеня:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у 7) 3 = (у 8) 3 = 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

додаток

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,4 0,4 ​​0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Варіант 3

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Варіант 4

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Збільшення ступенів.

Варіант 2

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Варіант 3

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у 8 і) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Варіант 4

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів.

I.твір nспівмножників, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.

приклади. Записати твір як ступеня.

1) мммм; 2) aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc; 4) ppkk + pppk-ppkkk.

Рішення.

1) mmmm = m 4, оскільки, за визначенням ступеня, твір чотирьох співмножників, кожен з яких дорівнює m, буде четвертим ступенем числа m.

2) aaabb = a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk + pppk-ppkkk = p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

ІІ.Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться в ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня. Наприклад:

2 3 — це ступінь. Число 2 - Основа ступеня, показник ступеня дорівнює 3 . Значення ступеня 2 3 одно 8, так як 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

приклади. Написати такі вирази без показника ступеня.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Рішення.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

ІІІ.а 0 = 1 Будь-яке число (крім нуля) в нульовому ступені дорівнює одиниці. Наприклад, 250 =1.
IV.а 1 = аБудь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.

V. a m∙ a n= a m + n При множенні ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а показники складають.

приклади. Спростити:

9) a · a 3 · a 7; 10) b 0 + b 2 · b 3; 11) c 2 · c 0 · c · c 4 .

Рішення.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 · b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;

11) c 2 · c 0 · c · c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nПри розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

приклади. Спростити:

12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8:a 3= a 8-3 = a 5; 13) m 11:m 4= m 11-4 = m 7; 14 ) 5 6:5 4 = 5 2 = 5 · 5 = 25.

VII. (a m) n= a mn При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

приклади. Спростити:

15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4= a 3 · 4 = a 12; 16) (з 5) 2= c 5 · 2 = c 10 .

Зверніть увагу, що, оскільки від перестановки множників твір не змінюється, то:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n

приклади. Спростити:

При зведенні твору до ступеня зводять у цей ступінь кожен із множників.

Рішення.

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2 . 17) (2a 2) 5 =2 5 · a 2 · 5 = 32a 10; 18) 0,2 6 ·5 6

= (0,2 · 5) 6 = 1 6 = 1;= (0,25 · 40) 2 = 10 2 = 100.

IX.При зведенні в ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.

приклади. Спростити:

Рішення.

Сторінка 1 з 1 1