Дослідити на умовний екстремум функції двох змінних. Локальні екстремуми
Визначення1: Кажуть, що функція має в точці локальний максимум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції< 0.
Визначення2: Кажуть, що функція має в точці локальний мінімум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції > 0.
Визначення 3: Точки локальних мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.
Умовні екстремуми
При відшуканні екстремумів функції багатьох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом.Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія Lна площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії Lзнайти таку точку P(x, y),в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції у точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки Pназиваються точками умовного екстремумуфункції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише в тих, що лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (кажуть також безумовного екстремуму) є точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції є верхня напівсфера (Додаток 3 (Рис 3)).
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина Mпівсфери. Якщо лінія Lє пряма, що проходить через крапки Аі У(її рівняння x+y-1=0), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками Аі Ст.Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції даної лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області нам доводиться знаходити екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.
Приступимо тепер до практичного відшукання точок умовного екстремуму функції Z = f (x, y) за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням (x, y) = 0. Це співвідношення називатимемо рівняння зв'язку. Якщо рівняння зв'язку y можна виразити явно через х: y=(x), ми отримаємо функцію однієї змінної Z= f(x, (x)) = Ф(х).
Знайшовши значення х, при яких ця функція досягає екстремуму, і визначивши потім рівняння зв'язку відповідні їм значення у, ми отримаємо шукані точки умовного екстремуму.
Так, у наведеному вище прикладі з рівняння зв'язку x+y-1=0 маємо y=1-х. Звідси
Легко перевірити, що z досягає максимуму за х = 0,5; але тоді з рівняння зв'язку y=0,5, і ми отримуємо якраз точку P, знайдену з геометричних міркувань.
Дуже просто вирішується завдання на умовний екстремум і тоді, коли рівняння зв'язку можна уявити параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t). Підставляючи вирази для х і у цю функцію, знову приходимо до завдання відшукання екстремуму функції однієї змінної.
Якщо рівняння зв'язку має більше складний вигляді нам не вдається ні явно висловити одну змінну через іншу, ні замінити його параметричними рівняннями, то завдання відшукання умовного екстремуму стає складнішим. Будемо, як і раніше, вважати, що у вираженні функції z=f(x, y) змінна (x, y) = 0. Повна похідна від функції z=f(x, y) дорівнює:
Де похідна y`, знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовного екстремуму знайдена повна похідна повинна дорівнювати нулю; це дає одне рівняння, що зв'язує х та у. Оскільки вони повинні задовольняти ще й рівняння зв'язку, ми отримуємо систему двох рівнянь із двома невідомими
Перетворимо цю систему до більш зручної, записавши перше рівняння у вигляді пропорції і ввівши нову допоміжну невідому:
(Знак мінус перед поставлений для зручності). Від цих рівностей легко перейти до наступної системи:
f ` x = (x, y) + ` x (x, y) = 0, f ` y (x, y) + ` y (x, y) = 0 (*),
яка разом із рівнянням зв'язку (x, y) = 0 утворює систему трьох рівнянь з невідомими х, у в.
Ці рівняння (*) найлегше запам'ятати за допомогою наступного правила: щоб знайти точки, які можуть бути точками умовного екстремуму функції
Z= f(x, y) при рівнянні зв'язку (x, y) = 0, потрібно утворити допоміжну функцію
Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)
Де - деяка стала, і скласти рівняння для відшукання точок екстремуму цієї функції.
Зазначена система рівнянь доставляє, зазвичай, лише необхідні умови, тобто. не кожна пара значень х і у, що задовольняє цій системі, обов'язково є точкою умовного екстремуму. Достатні умови для точок умовного екстремуму я наводити не стану; Найчастіше конкретний зміст завдання саме підказує, чим є знайдена точка. Описаний прийом розв'язання задач на умовний екстремум називається методом множників Лагранжа.
Екстремуми функцій кількох змінних. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Знаходження найбільших та найменших значень.
лекція 5.
Визначення 5.1.Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою максимумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) > f(x, y)для всіх точок (х, у) М 0.
Визначення 5.2.Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою мінімумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) < f(x, y)для всіх точок (х, у)з деякої околиці точки М 0.
Зауваження 1. Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремумуфункції кількох змінних.
Зауваження 2. Аналогічно визначається точка екстремуму для функції від будь-якої кількості змінних.
Теорема 5.1(Необхідні умови екстремуму). Якщо М 0 (х 0, у 0)– точка екстремуму функції z = f(x, y),то в цій точці приватні похідні першого порядку даної функції дорівнюють нулю або існують.
Доведення.
Зафіксуємо значення змінної у, вважаючи у = у 0. Тоді функція f (x, y 0)буде функцією однієї змінної х, для котрої х = х 0є точкою екстремуму. Отже, за теоремою Ферма чи не існує. Аналогічно доводиться таке саме твердження для .
Визначення 5.3.Точки, що належать області визначення функції кількох змінних, у яких приватні похідні функції дорівнюють нулю або не існують, називаються стаціонарними точкамицієї функції.
Зауваження. Таким чином, екстремум може досягатися тільки в стаціонарних точках, але не обов'язково він спостерігається у кожній із них.
Теорема 5.2(Достатні умови екстремуму). Нехай в деякій околиці точки М 0 (х 0, у 0), що є стаціонарною точкою функції z = f(x, y),ця функція має безперервні приватні похідні до 3-го порядку включно. Позначимо:
1) f(x, y)має в точці М 0максимум, якщо AC – B² > 0, A < 0;
2) f(x, y)має в точці М 0мінімум, якщо AC – B² > 0, A > 0;
3) екстремум у критичній точці відсутня, якщо AC – B² < 0;
4) якщо AC – B² = 0, необхідне додаткове дослідження.
Доведення.
Напишемо формулу Тейлора другого порядку для функції f (x, y),пам'ятаючи про те, що в стаціонарній точці приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю:
де 
Якщо кут між відрізком М 0 М, де М (х 0+Δ х, у 0 +Δ у), і віссю О хпозначити φ, то Δ х =Δ ρ
cos φ,
Δ y =Δρsinφ. При цьому формула Тейлора набуде вигляду: . Нехай Тоді можна розділити та помножити вираз у дужках на А. Отримаємо:
Розглянемо тепер чотири можливих випадків:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
за досить малих Δρ. Отже, в деякій околиці М 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), тобто М 0- Точка максимуму.
2) Нехай AC – B² > 0, A> 0.Тоді 
, і М 0- Точка мінімуму.
3) Нехай AC-B² < 0, A> 0. Розглянемо збільшення аргументів уздовж променя φ = 0. Тоді з (5.1) випливає, що 
, тобто під час руху вздовж цього променя функція зростає. Якщо ж переміщатися вздовж такого променя, що tg φ 0 = -A/B,то 
, Отже, під час руху вздовж цього променя функція зменшується. Значить, точка М 0не є точкою екстремуму.
3`) При AC – B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
аналогічно попередньому.
3``) Якщо AC – B² < 0, A= 0, то. При цьому . Тоді при досить малих вираз 2 B cosφ + C sinφ близько до 2 У, тобто зберігає постійний знак, а sinφ змінює знак в околиці точки М0.Значить, збільшення функції змінює знак в околиці стаціонарної точки, яка тому не є точкою екстремуму.
4) Якщо AC – B² = 0, а 
, 
, тобто знак збільшення визначається знаком 2α 0 . При цьому для з'ясування питання існування екстремуму необхідне подальше дослідження.
приклад. Знайдемо точки екстремуму функції z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Для пошуку стаціонарних точок вирішимо систему 
. Отже, стаціонарна точка (-2,-1). При цьому А = 2, У = -2, З= 4. Тоді AC – B² = 4 > 0, отже, стаціонарної точці досягається екстремум, саме мінімум (оскільки A > 0).
Визначення 5.4.Якщо аргументи функції f (x 1, x 2, ..., x n)пов'язані додатковими умовами у вигляді mрівнянь ( m< n) :
φ 1 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, φ 2 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, …, φ m ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, (5.2)
де функції φ i мають безперервні приватні похідні, то рівняння (5.2) називаються рівняннями зв'язку.
Визначення 5.5.Екстремум функції f (x 1, x 2, ..., x n)при виконанні умов (5.2) називається умовним екстремумом.
Зауваження. Можна запропонувати таке геометричне тлумачення умовного екстремуму функції двох змінних: нехай аргументи функції f(x, y)пов'язані рівнянням φ (х,у)= 0, що задає деяку криву в площині ху. Відновивши з кожної точки цієї кривої перпендикуляри до площини худо перетину з поверхнею z = f(x, y),отримаємо просторову криву, що лежить на поверхні над кривою φ (х,у)= 0. Завдання полягає у пошуку точок екстремуму отриманої кривої, які, зрозуміло, загальному випадкуне збігаються з точками безумовного екстремуму функції f(x, y).
Визначимо необхідні умови умовного екстремуму для функції двох змінних, запровадивши попередньо таке визначення:
Визначення 5.6.Функція L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
де λ i –деякі постійні, називається функцією Лагранжа, а числа λ i– невизначеними множниками Лагранжа.
Теорема 5.3(Необхідні умови умовного екстремуму). Умовний екстремум функції z = f(x, y)за наявності рівняння зв'язку φ ( х, у)= 0 може досягатися лише у стаціонарних точках функції Лагранжа L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y).
Доведення. Рівняння зв'язку задає неявну залежність увід х, тому вважатимемо, що ує функція від х: у = у(х).Тоді zє складна функція від х, та її критичні точки визначаються умовою: 
. (5.4) З рівняння зв'язку випливає, що 
. (5.5)
Помножимо рівність (5.5) на деяке число і складемо з (5.4). Отримаємо:
, або .
Остання рівність має виконуватися в стаціонарних точках, звідки слідує:
(5.6)
Отримано систему трьох рівнянь щодо трьох невідомих: х, ута λ, причому перші два рівняння є умовами стаціонарної точки функції Лагранжа. Виключаючи із системи (5.6) допоміжне невідоме λ, знаходимо координати точок, у яких вихідна функція може мати умовний екстремум.
Зауваження 1. Перевірку наявності умовного екстремуму в знайденій точці можна провести за допомогою дослідження приватних похідних другого порядку функції Лагранжа за аналогією до теореми 5.2.
Зауваження 2. Точки, в яких може досягатися умовний екстремум функції f (x 1, x 2, ..., x n)при виконанні умов (5.2) можна визначити як рішення системи 
(5.7)
приклад. Знайдемо умовний екстремум функції z = xyза умови х + у= 1. Складемо функцію Лагранжа L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (5.6) виглядає так:
Звідки -2λ=1, λ=-0,5, х = у = -λ = 0,5. При цьому L(x, y)можна уявити у вигляді L(x, y) = - 0,5 (x – y)² + 0,5 ≤ 0,5, тому у знайденій стаціонарній точці L(x, y)має максимум, а z = xy -умовний максимум.
Достатня умова екстремуму функції двох змінних
1. Нехай функція безперервно диференційована в околиці точки і має безперервні приватні похідні другого порядку (чисті та змішані).
2. Позначимо за визначник другого порядку
екстремум змінна лекційна функція
Теорема
Якщо точка з координатами є стаціонарною точкою для функції, то:
А) При вона є точкою локального екстремуму, причому, при локального максимуму, - Локального мінімуму;
В) при точку не є точкою локального екстремуму;
С) якщо, можливо і те, й інше.
Доведення
Запишемо формулу Тейлора для функції, обмежившись двома членами:
Оскільки за умовою теореми точка є стаціонарною, то приватні похідні другого порядку дорівнюють нулю, тобто. в. Тоді
Позначимо
Тоді збільшення функції набуде вигляду:
Через безперервність приватних похідних другого порядку (чистих і змішаних) за умовою теореми в точці можна записати:
Де чи; ,
1. Нехай і, тобто. або.
2. Збільшення функції помножимо і розділимо на, отримаємо:
3. Доповнимо вираз у фігурних дужках до повного квадрата суми:
4. Вираз у фігурних дужках невід'ємний, оскільки
5. Тому якщо отже, і, отже, відповідно до визначення, точка є точкою локального мінімуму.
6. Якщо отже, і, то, згідно з визначенням точка з координатами - точка локального максимуму.
2. Розглянемо квадратний тричлен, його дискримінант, .
3. Якщо, то існують такі точки, що багаточлен
4. Повне збільшення функції в точці відповідно до виразу, отриманого в I, запишемо у вигляді:
5. Через безперервність приватних похідних другого порядку за умовою теореми в точці можна записати, що
отже, існує - околиця точки, що для будь-якої точки квадратний тричлен більше нуля:
6. Розглянемо - околиця точки.
Виберемо будь-яке значення, тож точка. Вважаючи, що у формулі збільшення функції
Що, отримаємо:
7. Тому що.
8. Розмірковуючи аналогічно для кореня, отримаємо, що в будь-якій точки точки існує точка для якої, отже, в околиці точки не зберігає знак, отже в точці екстремуму немає.
Умовний екстремум функції двох змінних
При відшуканні екстремумів функції двох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом. Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку P (x, y), в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки P називають точками умовного екстремуму функції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише тих, які лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (говорять також безумовного екстремуму) є і точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Проілюструємо сказане з прикладу.
Приклад №1. p align="justify"> Графіком функції є верхня півсфера (рис. 2).
Мал. 2.
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина M півсфери. Якщо лінія L є пряма, що проходить через точки А та В (її рівняння), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками А і В. Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції цієї лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.
Визначення 1.Говорять, що, де має в точці, яка задовольняє рівняння, умовний або відносний максимум (мінімум): якщо для будь-якої, яка задовольняє рівняння, виконується нерівність
Визначення 2.Рівняння виду називається рівнянням зв'язку.
Теорема
Якщо функції і безперервно диференційовані в околиці точки, і похідна, і точка є точкою умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку, то визначник другого порядку дорівнює нулю:
Доведення
1. Так як за умовою теореми приватна похідна, а значення функції, то в деякому прямокутнику
визначено неявну функцію
Складна функція двох змінних у точці буде мати локальний екстремум, отже, або.
2. Дійсно, згідно з властивістю інваріантності формули диференціалу першого порядку
3. Рівняння зв'язку можна уявити у такому вигляді, отже
4. Помножимо рівняння (2) на, а (3) на і складемо їх
Отже, при
довільному. ч.т.д.
Слідство
Пошук точок умовного екстремуму функції двох змінних практично здійснюється шляхом вирішення системи рівнянь
Так, у наведеному вище прикладі №1 з рівняння зв'язку маємо. Звідси легко перевірити, що досягає максимуму при. Але тоді із рівняння зв'язку. Отримуємо точку P, знайдену геометрично.
Приклад №2.Знайти точки умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку.
Знайдемо приватні похідні заданої функціїта рівняння зв'язку:
Складемо визначник другого порядку:
Запишемо систему рівнянь для відшукання точок умовного екстремуму:
отже, є чотири точки умовного екстремуму функції з координатами: .
Приклад №3.Знайти точки екстремуму функції.
Прирівнюючи приватні похідні до нуля: знаходимо одну стаціонарну точку - початок координат. Тут. Отже, і точка (0, 0) не є точкою екстремуму. Рівняння є рівняння гіперболічного параболоїда (Рис. 3) на малюнку видно, що точка (0, 0) не є точкою екстремуму.
Мал. 3.
Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області
1. Нехай функція визначена та безперервна в обмеженій замкнутій ділянці D.
2. Нехай у цій галузі функція має кінцеві приватні похідні, крім окремих точок області.
3. Відповідно до теореми Вейєрштраса в цій області знайдеться точка, в якій функція набуде найбільшого та найменшого значення.
4. Якщо ці точки будуть внутрішніми точками області D, то, очевидно, вони будуть максимум або мінімум.
5. У цьому випадку цікаві для нас точки знаходяться серед підозрілих точок на екстремум.
6. Однак, найбільше або найменше значення функція може приймати і на межі області D.
7. Для того, щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, потрібно знайти всі внутрішні точки підозрілі на екстремум, обчислити значення функції в них, потім порівняти зі значенням функції в прикордонних точках області, і найбільше знайдених значень буде найбільшим у замкнутій ділянці D.
8. Метод відшукання локального максимуму чи мінімуму розглядався раніше у п. 1.2. та 1.3.
9. Залишається розглянути спосіб пошуку максимального і меншого значення функції межі області.
10. У разі функції двох змінних область зазвичай виявляється обмеженою кривою або кількома кривими.
11. Уздовж такої кривої (або кількох кривих) змінні і або залежать одна від одної, або обидві залежать від одного параметра.
12. Таким чином, на кордоні функція виявляється залежною від однієї змінної.
13. Спосіб відшукання максимального значення функції однієї змінної було розглянуто раніше.
14. Нехай межа області D задана параметричними рівняннями:
Тоді на цій кривій функція двох змінних буде являти собою складну функціювід параметра: . Для такої функції найбільше та найменше значення визначається за методикою визначення найбільшого та найменшого значення для функції однієї змінної.
Умовний екстремум.
Екстремуми функції кількох змінних
Метод найменших квадратів.
Нехай дана функція і= f(Р), РÎDÌR nі нехай точка Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) –внутрішняточка множини D.
Визначення 9.4.
1) Точка Р 0 називається точкою максимуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0) Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)Î U(P 0) , Р¹Р 0 виконується умова f(P) £ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці максимуму називається максимумом функції і позначається f(P 0) = max f(P).
2) Точка Р 0 називається точкою мінімуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0)Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)ÎU(P 0), Р¹Р 0 виконується умова f(P) ³ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці мінімуму називається мінімумом функції і позначається f(P 0) = min f(P).
Точки мінімуму та максимуму функції називаються точками екстремумівзначення функції в точках екстремумів називаються екстремумами функції.
Як випливає з визначення, нерівності f(P) £ f(P 0), f(P) ³ f(P 0) повинні виконуватися тільки в деякій околиці точки Р 0 , а не у всій області визначення функції, отже, функція може мати кілька однотипних екстремумів (кілька мінімумів, кілька максимумів). Тому певні вище екстремуми називають локальними(місцевими) екстремумами.
Теорема 9.1. ( необхідна умоваекстремуму ФНП)
Якщо функція і= f(х 1 , х 2 , ..., х п) має екстремум у точці Р 0 то її приватні похідні першого порядку в цій точці або рівні нулю, або не існують.
Доведення.Нехай у точці Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) функція і= f(P) має екстремум, наприклад, максимум. Зафіксуємо аргументи х 2 , ..., х п, поклавши х 2 =а 2 ,..., х п = а п. Тоді і= f(P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., а п) є функція однієї змінної х 1 . Так як ця функція має при х 1 = а 1 екстремум (максимум), то f 1 ¢=0або не існує при х 1 =а 1 (необхідна умова існування екстремуму функції однієї змінної). Але , отже чи існує у точці Р 0 – точці екстремуму. Аналогічно можна розглянути приватні похідні щодо інших змінних. ЧТД.
Точки області визначення функції, в яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками цієї функції.
Як випливає з теореми 9.1 точки екстремуму ФНП слід шукати серед критичних точок функції. Але, як і для функції однієї змінної, не всяка критична точкає точкою екстремуму.
Теорема 9.2. (достатня умова екстремуму ФНП)
Нехай Р 0 – критична точка функції і= f(P) та 
- Диференціал другого порядку цієї функції. Тоді
а якщо d 2 u(P 0) > 0 при , то Р 0 – точка мінімумуфункції і= f(P);
б) якщо d 2 u(P 0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумуфункції і= f(P);
в) якщо d 2 u(P 0) не визначено за знаком, то Р 0 не є точкою екстремуму;
Цю теорему розглянемо без підтвердження.
Зауважимо, що в теоремі не розглянуто випадок, коли d 2 u(P 0) = 0 чи немає. Це означає, що питання про наявність екстремуму в точці Р 0 за таких умов залишається відкритим – потрібні додаткові дослідження, наприклад, дослідження збільшення функції у цій точці.
У докладніших курсах математики доводиться, що зокрема функції z = f(x,y) двох змінних, диференціал другого порядку якої є сумою виду
Вивчення наявності екстремуму в критичній точці Р 0 можна спростити.
Позначимо , , . Складемо визначник
.
Виявляється:
d 2 z> 0 точці Р 0 , тобто. Р 0 – точка мінімуму, якщо A(P 0) > 0 та D(Р 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P 0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
якщо D(Р 0)< 0, то d 2 zв околиці точки Р 0 змінює знак та екстремуму в точці Р 0 немає;
якщо ж D(Р 0) = 0, то також потрібні додаткові дослідження функції на околиці критичної точки Р 0 .
Таким чином, для функції z = f(x,y) двох змінних маємо наступний алгоритм (назвемо його «алгоритмом D») відшукання екстремуму:
1) Знайти область визначення D( f) функції.
2) Знайти критичні точки, тобто. точки з D( f), для яких і дорівнюють нулю або не існують.
3) У кожній критичній точці Р0 перевірити достатні умови екстремуму. Для цього знайти де , , і обчислити D(Р 0) і А(Р 0).
якщо D(Р 0) >0 , то точці Р 0 є екстремум, причому, якщо А(Р 0) > 0 – це мінімум, і якщо А(Р 0)< 0 – максимум;
якщо D(Р 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Якщо D(Р 0) = 0, потрібні додаткові дослідження.
4) У знайдених точках екстремуму обчислити значення функції.
Приклад1.
Знайти екстремум функції z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Рішення.Область визначення цієї функції – вся координатна площина. Знайдемо критичні точки.
, 
, 
Р 0 (0,0) , .
Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму. Знайдемо
6х, = -3, = 48уі 
= 288ху – 9.
Тоді D(Р 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 – у точці Р 1 є екстремум, оскільки А(Р 1) = 3 >0, цей екстремум – мінімум. Значить, min z=z(P 1) = 
.
приклад 2.
Знайти екстремум функції 
.
Рішення: D( f) = R 2 . Критичні точки: 
; не існує при у= 0, отже Р 0 (0,0) – критична точка цієї функції.
2, = 0, = , = , але D(Р 0) не визначено, тому дослідження його символу неможливе.
З цієї причини неможливо застосувати теорему 9.2 безпосередньо – d 2 zу цій точці не існує.
Розглянемо збільшення функції f(x, y) у точці Р 0 . Якщо D f =f(P) - f(P 0)>0 " Р, то Р 0 точка мінімуму, якщо ж D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Маємо у нашому випадку
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
При D x= 0,1 та D y= -0,008 отримаємо D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 та D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1> 0, тобто. в околиці точки Р 0 не виконуються жодна умова D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) і отже, Р 0 – не точка максимуму), ні умова D f>0 (тобто. f(x, y) > f(0, 0) і тоді Р0 – не точка мінімуму). Значить, за визначенням екстремуму, дана функціяекстремумів не має.
Умовний екстремум.
Розглянутий екстремум функції називають безумовним, оскільки аргументи функції не накладаються ніякі обмеження (умови).
Визначення 9.2.Екстремум функції і = f(х 1 , х 2 , ... , х п), знайдений за умови, що її аргументи х 1 , х 2 , ... , х пзадовольняють рівнянням j 1 ( х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, …, j т(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, де P ( х 1 , х 2 , ... , х п) Î D( f), називається умовним екстремумом .
Рівняння j k(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0 , k = 1, 2,..., m, називаються рівняннями зв'язку.
Розглянемо функції z = f(x,y) двох змінних. Якщо рівняння зв'язку одне, тобто. , то відшукання умовного екстремуму означає, що екстремум шукається не у всій області визначення функції, а на деякій кривій , що лежить в D( f) (тобто. шукаються не найвищі або найнижчі точки поверхні z = f(x,y), а найвищі чи найнижчі точки серед точок перетину цієї поверхні з циліндром , рис 5).
Умовний екстремум функції z = f(x,y) двох змінних можна знайти наступним способом( метод виключення). З рівняння виразити одну із змінних як функцію іншої (наприклад, записати ) і, підставивши це значення змінної у функцію , записати останню як функцію однієї змінної (у розглянутому випадку 
). Знайти екстремум отриманої функції однієї змінної.
УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ
Мінімальне або максимальне значення, що досягається даною функцією (або функціоналом) за умови, що деякі інші функції (функціонали) приймають значення із заданої допустимої множини. Якщо умови, що обмежують у вказаному сенсізміни незалежних змінних (функцій), відсутні, говорять про безумовному екстремумі.
Класич. завданням на У. е. є завдання визначення мінімуму функції багатьох змінних
За умови, що деякі інші функції приймають задані значення:
У цій задачі G, до-рому повинні належати значення вектор-функції g=(g 1, ..., g m),
що входить у додаткові умови(2), є фіксована точка c=(C 1 , ..., з т)в m-мірному евклідовому просторі
Якщо (2) поряд зі знаком рівності допускаються знаки нерівності
Це призводить до завдання нелінійного програмування(1), (3). У задачі (1), (3) безліч Gдопустимих значень вектор-функції gє нек-рий криволінійний , що належить (n-m 1)-мірної гіперповерхні, що задається т 1 m 1
Окремим випадком завдання (1), (3) на У. в. є завдання лінійного програмування,в до-рой всі функції f і g iє лінійними по x l , ..., х п.У задачі лінійного програмування безліч Gдопустимих значень вектор-функції g,входить до умов, що обмежують область зміни змінних x 1 , .....x n ,являє собою , що належить (п-т 1)-мірної гіперплощини, що задається m 1 умовами типу рівності (3).
Аналогічно більшість задач оптимізації функціоналів, що представляють нрактич. інтерес, зводиться до завдань на У. е. (Див. Ізопериметричне завдання, Кільця завдання, Лагранжа завдання, Манера завдання).
Так само, як і математич. програмування, основними завданнями варіаційного обчислення та теорії оптимального управління є завдання на У. е.
При вирішенні завдань на У. е., особливо при розгляді теоретич. питань, пов'язаних із завданнями на У. е., дуже корисним виявляється використання невизначених Лагранжа множників,що дозволяють звести завдання на У. е. до завдання на безумовний і спростити необхідні умови оптимальності. Використання множників Лагранжа лежить в основі більшості класич. методів вирішення завдань на У. е.
Літ.: Xедлі Дж., Нелінійне та, пров. з англ., М., 1967; Блісс Р. А., Лекції з варіаційного обчислення, пров. з англ., М., 1950; Понтрягін Л. С. [та ін], Математична оптимальних процесів, 2 видавництва, М., 1969.
І. Б. Вапнярський.
Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Дивитись що таке "УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ" в інших словниках:
Відносний екстремум, екстремум функції f (x1,..., xn + m) від п + т змінних у припущенні, що ці змінні підпорядковані ще рівнянням зв'язку (умовам): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (див. Екстремум).
Нехай відкрите безліч і задані функції. Нехай. Ці рівняння називають рівняннями зв'язків (термінологія запозичена з механіки). Нехай на G визначено функцію … Вікіпедія
- (Від лат. extremum крайнє) значення безперервної функції f (x), що є або максимумом, або мінімумом. Точніше: безперервна в точці х0 функція f (x) має x0 максимум (мінімум), якщо існує околиця (x0 + δ, x0 δ) цієї точки, ... ... Велика Радянська Енциклопедія
Цей термін має й інші значення, див. Екстремум (значення). Екстремум (лат. extremum крайній) у математиці максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, ... Вікіпедія
Функція, що використовується під час вирішення завдань на умовний екстремум функцій багатьох змінних та функціоналів. За допомогою Л. ф. записуються необхідні умови оптимальності у завдання на умовний екстремум. При цьому не потрібно висловлювати одні перемінні. Математична енциклопедія
Математична дисципліна, присвячена пошуку екстремальних (найбільших і найменших) значень функціоналів змінних величин, що залежать від вибору однієї або декількох функцій. Ст і. є природним розвитком того розділу. Велика Радянська Енциклопедія
Змінні, за допомогою яких будується Лагранжа функція при дослідженні завдань на умовний екстремум. Використання Л. м. та функції Лагранжа дозволяє одноманітним способом отримувати необхідні умови оптимальності у завданнях на умовний екстремум. Математична енциклопедія
Варіаційне літочислення це розділ функціонального аналізу, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типове завдання варіаційного обчислення полягає в тому, щоб знайти функцію, на якій заданий функціонал сягає.
Розділ мате.матики, присвячений дослідженню методів відшукання екстремумів функціоналів, що залежать від вибору однієї або декількох функцій при різноманітних обмеженнях (фазових, диференціальних, інтегральних і т. п.), що накладаються на ці… Математична енциклопедія
Варіаційне літочислення це розділ математики, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типова задача варіаційного обчислення у тому, щоб знайти функцію, де функціонал досягає екстремального значення. Методи… … Вікіпедія
Книги
- Лекції з теорії управління. Том 2. Оптимальне управління, В. Бос. Розглядається класична проблематика теорії оптимального управління. Виклад починається з базових понять оптимізації в кінцевих просторах: умовний і безумовний екстремум,…
