Як дізнатися, чи є функції взаємно зворотними. Взаємно зворотні функції

Ми вже стикалися із завданням, коли по заданої функції f і заданого значення її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися зі зворотним завданням: знайти за відомою функцією f та її деяким значенням y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y.

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці своєї області визначення, називається оборотною функцією. Наприклад, лінійна функція буде оборотною функцією. А квадратична функціяабо функція синус не буде оборотними функціями. Так як те саме значення функція може приймати при різних аргументах.

Зворотня функція

Припустимо, що f є деяка довільна оборотна функція. Кожному числу з області її значень y0 відповідає лише одне число з області визначення x0, таке що f(x0) = y0.

Якщо тепер ми кожному значенню х0 поставимо у відповідність значення y0, то отримаємо вже нову функцію. Наприклад, для лінійної функції f(x) = k * x + b функція g(x) = (x - b)/k буде зворотною.

Якщо деяка функція gу кожній точці хобласті значень оборотної функції f набуває значення таке, що f(y) = x, то кажуть, що функція g- є зворотна функція f.

Якщо у нас буде заданий графік деякої оборотної функції f, то для того, щоб побудувати графік зворотної функції, можна користуватися наступним твердженням: графік функції f та зворотної до неї функції g будуть симетричні щодо прямої, заданою рівнянням y = x.

Якщо функція g є зворотною до функції f, то функція g буде оборотною функцією. А функція f буде зворотною до функції g. Зазвичай кажуть, дві функції f і g взаємно зворотні друг до друга.

На наступному малюнку представлені графіки функцій f і g взаємно обернених один до одного.

Виведемо наступну теорему: якщо функція f зростає (або зменшується) на деякому проміжку A, вона оборотна. Зворотна функція g, визначена в області значень функції f, також є зростаючою (або відповідно спадною) функцією. Ця теорема називається теорема про зворотну функцію.

Цілі уроку:

Освітня:

• формувати знання з новій темівідповідно до програмним матеріалом;
• вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної;

Розвиваюча:

• розвивати навички самоконтролю, предметне мовлення;
• оволодіти поняттям зворотна функція та засвоїти методи знаходження зворотної функції;

Виховна: формувати комунікативну компетентність.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран, інтерактивна дошка SMART Board, роздатковий матеріал ( самостійна робота) до роботи у групі.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Ціль – підготовка учнів до роботи на уроці:

Визначення відсутніх,

Настрій учнів працювати, організація уваги;

Повідомлення теми та мети уроку.

2. Актуалізація опорних знань учнів.Фронтальне опитування.

Ціль - встановити правильність та усвідомленість вивченого теоретичного матеріалу, повторення пройденого матеріалу.<Приложение 1 >

Для учнів на інтерактивної дошкидемонструється графік функції. Вчителем формулюється завдання – розглянути графік функції та перерахувати вивчені властивості функції. Учні перераховують властивості функції відповідно до схеми дослідження. Вчитель праворуч від графіка функції маркером на інтерактивній дошці записує ці властивості.

Властивості функції:

Після закінчення дослідження вчитель повідомляє, що сьогодні на уроці вони познайомляться ще з однією властивістю функції – оборотністю. Для осмисленого вивчення нового матеріалу вчитель пропонує хлопцям познайомитись з основними питаннями, на які учні повинні дати відповідь після закінчення уроку. Запитання записані на звичайній дошці і у вигляді роздавального матеріалу є у кожного учня (лунає до уроку)

1. Яка функція називається оборотною?
2. Чи будь-яка функція оборотна?
3. Яка функція називається зворотною даною?
4. Як пов'язані область визначення та безліч значень функції та зворотної їй функції?
5. Якщо функція задано аналітично, як задати формулою зворотну функцію?
6. Якщо функція задана графічно, як побудувати графік зворотної функції?

3. Пояснення нового матеріалу.

Ціль - формувати знання з нової теми відповідно до програмного матеріалу; вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної; розвивати предметне мовлення.

Вчитель проводить викладення матеріалу відповідно до матеріалу параграфа. На інтерактивній дошці вчитель проводить порівняння графіків двох функцій, у яких області визначення та безлічі значень однакові, але одна з функцій монотонна, а інша ні, тим самим підводить учнів під поняття оборотної функції.

Потім вчитель формулює визначення оборотної функції та проводить доказ теореми про оборотну функцію, використовуючи графік монотонної функції на інтерактивній дошці.

Визначення 1: Функцію y=f(x), x X називають оборотнийякщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці множини X.

Теорема: Якщо функція y=f(x) монотонна на множині X , вона оборотна.

Доведення:

1. Нехай функція y=f(x)зростає на Хі нехай х 1 ≠х 2- дві точки множини Х.
2. Для певності нехай х 1< х 2.
   Тоді з того, що х 1< х 2випливає, що f(х 1) < f(х 2).
3. Отже, різним значенням аргументу відповідають різні значення функції, тобто. функція оборотна.

(По ходу доказу теореми вчитель маркером робить всі необхідні пояснення на кресленні)

Перед тим як сформулювати визначення зворотної функції вчитель просить учнів визначити, яка із запропонованих функцій оборотна? На інтерактивній дошці показано графіки функцій та записано кілька аналітично заданих функцій:

Б)

г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Вчитель вводить визначення зворотної функції.

Визначення 2: Нехай оборотна функція y=f(x)визначена на безлічі Хі Е(f)=Y. Поставимо у відповідність кожному yз Yто єдине значення х, за якого f(x)=y.Тоді отримаємо функцію, яка визначена на Y, а Х– область значень функції

Цю функцію позначають x=f -1 (y)і називають зворотною по відношенню до функції y=f(x).

Учням пропонується зробити висновок про зв'язок між областю визначення та безліччю значень зворотних функцій.

Для розгляду питання про засоби знаходження функції зворотної даної, вчитель залучив двох учнів. Діти напередодні отримали завдання у вчителя самостійно розібрати аналітичний та графічний способи знаходження функції зворотної даної. Вчитель виступив у ролі консультанта під час підготовки учнів до уроку.

Повідомлення першого учня.

Примітка: монотонність функції, є достатнімумовою існування зворотної функції. Але воно не єнеобхідною умовою.

Учень навів приклади різних ситуацій, коли функція не монотонна, але оборотна, коли функція не монотонна і не оборотна, коли монотонна і оборотна

Потім учень знайомить учнів зі способом перебування зворотної функції, заданої аналітично.

Алгоритм знаходження

1. Переконатись, що функція монотонна.
2. Виразити змінну х через у.
3. Позначити змінні. Замість х=f-1(y) пишуть y=f-1(x)

Потім вирішує два приклади перебування функції зворотної даної.

Приклад 1:Показати, що з функції y=5x-3 існує зворотна функція, і її аналітичне вираз.

Рішення. Лінійна функція y=5x-3 визначена на R, зростає на R і область її значень є R. Отже, зворотна функція існує на R. Щоб знайти її аналітичний вираз, розв'яжемо рівняння y=5x-3 щодо х; Отримаємо Це і є потрібна зворотна функція. Вона визначена та зростає на R.

Приклад 2:Показати, що для функції y=x 2 х≤0 існує зворотна функція, і знайти її аналітичний вираз.

Функція безперервна, монотонна у сфері визначення, отже, вона оборотна. Проаналізувавши області визначення та безлічі значень функції, робиться відповідний висновок про аналітичний вираз зворотної функції.

Другий учень виступає з повідомленням про графічномуспосіб знаходження зворотної функції. У результаті пояснення учень використовує можливості інтерактивної дошки.

Щоб отримати графік функції y = f -1 (x), зворотної по відношенню до функції y = f (x), треба графік функції y = f (x) перетворити симетрично щодо прямої y = x.

Під час пояснення на інтерактивній дошці виконується таке завдання:

Побудувати в одній системі координат графік функції та графік зворотної їй функції. Запишіть аналітичний вираз зворотної функції.

4. Первинне закріплення нового матеріалу.

Ціль – встановити правильність і усвідомленість розуміння вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення матеріалу, провести корекцію.

Учні поділяються на пари. Їм лунають листи із завданнями, в яких вони виконують роботу в парах. Час виконання роботи обмежено (5-7 хв). Одна пара учнів працює на комп'ютері, проектор на цей час вимикається і іншим хлопцям не видно, як учні працюють на комп'ютері.

Після закінчення часу (передбачається, що з роботою впоралася більшість учнів) на інтерактивній дошці (знов включається проектор) показується робота учнів, де й з'ясовується під час перевірки правильність виконання завдання у парі. При необхідності вчителем проводиться корекційна робота, що роз'яснює.

Самостійна робота у парах<Додаток 2 >

5. Підсумок уроку.З питань, які були поставлені перед початком лекції. Оголошення оцінок за урок.

Домашнє завдання §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12(б)

Алгебра та початку аналізу. 10 клас У 2-х частинах для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова та ін; за ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозіна, 2007 рік

Припустимо, що ми маємо якусь функцію y = f (x) , яка є строго монотонною (зменшуваною або зростаючою) і безперервною на ділянці визначення x ∈ a ; b; область її значень y ∈ c; d, а на інтервалі c; d при цьому у нас буде визначено функцію x = g(y) з областю значень a ; b. Друга функція також буде безперервною та строго монотонною. По відношенню до y = f(x) вона буде зворотною функцією. Тобто ми можемо говорити про зворотну функцію x = g (y) тоді, коли y = f (x) на заданому інтервалі або зменшуватиметься, або зростатиме.

Дві ці функції, f і g, будуть взаємно зворотні.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Навіщо нам потрібно поняття зворотних функцій?

Це потрібно нам для розв'язання рівнянь y = f(x) , які записуються саме за допомогою цих виразів.

Допустимо, нам потрібно знайти рішення рівняння cos(x) = 1 3 . Його розв'язками будуть дві точки: x = ± r c o c s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Зворотними по відношенню одна до одної будуть, наприклад, функції арккосинусу та косинуса.

Розберемо кілька завдань перебування функцій, зворотних заданим.

Приклад 1

Умова:яка функція буде зворотною для y = 3 x + 2?

Рішення

Область визначень і область значень функції, заданої умові, – це багато всіх дійсних чисел. Спробуємо вирішити дане рівняння через x, тобто виразивши x через y.

Ми отримаємо x = 13y-23. Це і є потрібна нам зворотна функція, але тут буде аргументом, а x - функцією. Переставимо їх, щоб отримати більш звичну форму запису:

Відповідь:функція y = 1 3 x - 2 3 буде зворотною для y = 3 x + 2.

Обидві взаємно зворотні функціїможна відобразити на графіку наступним чином:

Ми бачимо симетричність обох графіків щодо y = x. Ця пряма є бісектрисою першого та третього квадрантів. Вийшов доказ однієї з властивостей взаємно зворотних функцій, про яку ми поговоримо далі.

Візьмемо приклад, у якому потрібно знайти логарифмічну функцію, обернену до заданої показової.

Приклад 2

Умова:визначте, яка функція буде зворотною для y = 2 x .

Рішення

Для заданої функції областю визначення є дійсні числа. Область значень лежить в інтервалі 0; + ∞. Тепер нам потрібно виразити x через y, тобто вирішити зазначене рівняння через x. Ми отримуємо x = log 2 y. Переставимо змінні та отримаємо y = log 2 x.

У результаті ми вийшли показова і логарифмічна функції, які будуть взаємно зворотними одне одному по всій області визначення.

Відповідь: y = log 2 x.

На графіку обидві функції виглядатимуть так:

Основні властивості взаємно зворотних функцій

У цьому пункті ми перерахуємо основні властивості функцій y = f (x) і x = g (y), що є взаємно оберненими.

Визначення 1

1. Першу властивість ми вже вивели раніше: y = f(g(y)) та x = g(f(x)).
2. Друга властивість випливає з першого: область визначення y = f (x) буде збігатися з областю значень зворотної функції x = g (y) і навпаки.
3. Графіки функцій, що є зворотними, будуть симетричними щодо y = x.
4. Якщо y = f(x) є зростаючою, то і x = g(y) зростатиме, а якщо y = f(x) зменшується, то зменшується і x = g(y) .

Радимо уважно поставитися до понять області визначення та області значення функцій і ніколи їх не плутати. Припустимо, що ми маємо дві взаємно зворотні функції y = f (x) = a x і x = g (y) = log a y . Відповідно до першої властивості, y = f (g (y)) = a log a y. Ця рівність буде вірною лише у випадку позитивних значень y для негативних логарифм не визначено, тому не поспішайте записувати, що a log a y = y . Обов'язково перевірте та додайте, що це вірно тільки при позитивному y .

А ось рівність x = f (g (x)) = log a a x = x буде вірною за будь-яких дійсних значень x .

Не забувайте про цей момент, особливо якщо доводиться працювати з тригонометричними та зворотними тригонометричними функціями. Так, a r sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , тому що область значень арксинусу - π 2 ; π 2 і 7 π 3 до неї не входить. Вірною буде запис

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р і ви д е н і я = a r c sin sin π 3 = π 3

І це sin a r c sin 1 3 = 1 3 – правильне рівність, тобто. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1; 1 та a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2; π 2 . Завжди будьте уважні з областю значень та областю визначення зворотних функцій!

• Основні взаємно зворотні функції: статечні

Якщо у нас є статечна функція y = x a то при x > 0 статечна функція x = y 1 a також буде зворотною їй. Замінимо букви та отримаємо відповідно y = x a і x = y 1 a.

На графіку вони будуть виглядати наступним чином (випадки з позитивним та негативним коефіцієнтом a):

• Основні взаємно зворотні функції: показові та логарифмічні

Візьмемо a, яке буде позитивним числом, не рівним 1 .

Графіки для функцій з a > 1 та a< 1 будут выглядеть так:

• Основні взаємно зворотні функції: тригонометричні та зворотні тригонометричні

Якщо нам потрібно побудувати графік головної гілки синуса та арксинусу, він виглядатиме таким чином (показаний виділеною світлою областю).

Готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, ​​вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радості, багато з яких, ти так і не скуштував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти копишся над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то надалі у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають під час її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге

МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ

В даний час у вищих навчальних закладахКазахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищого професійної освіти, яка слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, який визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботистудента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт з практики, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємстві, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.