Математичне очікування та його оцінка. Оцінки для математичного очікування та дисперсії

Нехай є випадкова величина Хз математичним очікуванням mта дисперсією D, при цьому обидва ці параметри невідомі. Над величиною Хзроблено Nнезалежних експериментів, в результаті яких було отримано сукупність Nчисельних результатів x 1 , x 2 , …, x N. Як оцінка математичного очікуванняприродно запропонувати середнє арифметичне значень, що спостерігаються

(1)

Тут як x iрозглядаються конкретні значення (числа), отримані в результаті Nекспериментів. Якщо взяти інші (незалежні від попередніх) Nекспериментів, то, очевидно, ми отримаємо інше значення. Якщо взяти ще Nекспериментів, ми отримаємо ще одне нове значення . Позначимо через X iвипадкову величину, що є результатом i-го експерименту, тоді реалізаціями X iбудуть числа, одержані в результаті цих експериментів. Очевидно, що випадкова величина X iматиме таку ж щільність розподілу ймовірності, як і вихідна випадкова величина Х. Також вважаємо, що випадкові величини X iі X jє незалежними при i, не рівному j(Різні незалежні один щодо одного експерименти). Тому формулу (1) перепишемо в іншому (статистичному) вигляді:

(2)

Покажемо, що оцінка є незміщеною:

Таким чином, математичне очікування вибіркового середнього дорівнює істинному математичному очікуванню випадкової величини m. Це досить передбачуваний та зрозумілий факт. Отже, за оцінку математичного очікування випадкової величини можна прийняти середнє вибіркове (2). Тепер виникає питання: що відбувається з дисперсією оцінки математичного очікування зі збільшенням кількості експериментів? Аналітичні обчислення показують, що

де - дисперсія оцінки математичного очікування (2), а D- Справжня дисперсія випадкової величини X.

Зі сказаного вище, що зі зростанням N(кількості експериментів) дисперсія оцінки зменшується, тобто. що більше ми підсумовуємо незалежні реалізації, то ближче до математичного очікування ми отримаємо оцінку.

Оцінки математичної дисперсії

На перший погляд найбільш природною оцінкою є

(3)

де обчислюється за такою формулою (2). Перевіримо, чи є оцінка незміщеною. Формула (3) може бути записана наступним чином:

Підставимо у цю формулу вираз (2):

Знайдемо математичне очікування оцінки дисперсії:

(4)

Оскільки дисперсія випадкової величини залежить від цього, яке математичне очікування у випадкової величини, приймемо математичне очікування рівним 0, тобто. m = 0.

	(5)
при .	(6)

Необхідність оцінювання математичного очікування за результатами випробувань з'являється у завданнях, коли результат експерименту описується випадковою величиною та показником якості досліджуваного об'єкта прийнято математичне очікування цієї випадкової величини. Наприклад, як показник надійності може бути прийнято математичне очікування часу безвідмовної роботи будь-якої системи, а при оцінюванні ефективності виробництва продукції - математичне очікування кількості придатних виробів і т.д.

Завдання оцінювання математичного очікування формулюється в такий спосіб. Припустимо, що для визначення невідомого значення випадкової величини X передбачається зробити незалежних і вільних від систематичних помилок вимірювань X v Х 2 ,..., Х п.Потрібно вибрати найкращу оцінку математичного очікування.

Найкращою та найбільш поширеною на практиці оцінкою математичного очікування є середнє арифметичне результатів випробувань

зване також статистичнимабо вибірковим середнім.

Покажемо, що оцінка т хзадовольняє всім вимогам до оцінки будь-якого параметра.

1. З виразу (5.10) випливає, що

тобто оцінка т" х- Незміщена оцінка.

2. Відповідно до теореми Чебишева середнє арифметичне результатів випробувань сходиться ймовірно до математичного очікування, тобто.

Отже, оцінка (5.10) є заможною оцінкою математичного очікування.

3. Дисперсія оцінки т х,рівна

зі зростанням обсягу вибірки п необмежено зменшується. Доведено, що якщо випадкова величина X підпорядкована нормальному закону розподілу, то за будь-якого пдисперсія (5.11) буде мінімально можливою, а оцінка т х- Ефективною оцінкою математичного очікування. Знання дисперсії оцінки дозволяє винести судження щодо точності визначення невідомого значення математичного очікування з допомогою цієї оцінки.

Як оцінка математичного очікування середнє арифметичне використовується в тому випадку, якщо результати вимірювань рівноточні (дисперсії D, i = 1, 2, ..., поднакові у кожному вимірі). Однак на практиці доводиться стикатися із завданнями, в яких результати вимірів нерівноточні (наприклад, у процесі випробувань виміри виробляються різними приладами). У цьому випадку оцінка для математичного очікування має вигляд

де - Вага пана виміру.

У формулу (5.12) результат кожного виміру включається зі своєю вагою З.. Тому оцінку результатів вимірювань т хназивають середньозваженої.

Можна показати, що оцінка (5.12) є незміщеною, заможною та ефективною оцінкою математичного очікування. Мінімальна дисперсія оцінки визначається виразом

При проведенні експериментів з моделями на ЕОМ подібні завдання виникають у тому випадку, коли оцінки знаходять за результатами кількох серій випробувань та кількість випробувань у кожній серії по-різному. Наприклад, проведено дві серії випробувань об'ємом п 1і п 2 , за результатами яких отримано оцінки тхi та т х _.З метою підвищення точності та достовірності визначення математичного очікування результати цих серій випробувань поєднують. Для цього слід скористатися виразом (5.12)

При обчисленні коефіцієнтів замість дисперсій D підставляють їх оцінки, отримані за результатами випробувань в кожній серії.

Аналогічний підхід використовують і при визначенні ймовірності настання випадкової подіїза результатами серій випробувань.

Для оцінювання математичного очікування випадкової величини X, крім середнього вибіркового, можуть використовуватися й інші статистики. Найчастіше для цих цілей використовують члени варіаційного ряду, Т. е. порядкові статистики , з урахуванням яких будують оцінки,

що задовольняють основним з вимог, що пред'являються, а саме спроможності і несмещенности.

Припустимо, що варіаційний ряд містить п = 2кчленів. Тоді в якості оцінки математичного очікування може бути прийнято будь-яке середнє:

При цьому до-есередня

є не що інше, як статистична медіана розподілу випадкової величини X, оскільки має очевидну рівність

Перевага статистичної медіани у тому, що вона вільна від впливу аномальних результатів спостережень, неминучого під час використання першого середнього, т. е. середнього з найменшого та найбільшого числа варіаційного ряду.

При непарному обсязі вибірки п = 2к- 1 статистичної медіаною є її середній елемент, тобто. до-й член варіаційного ряду Me = х до.

Існують розподіли, у яких середнє арифметичне не є ефективною оцінкою математичного очікування, наприклад, розподіл Лапласа. Можна показати, що для розподілу Лапласа ефективною оцінкою математичного очікування вибіркова медіана.

Доведено, що якщо випадкова величина X має нормальний розподіл, то за досить великого обсягу вибірки закон розподілу статистичної медіани близький до нормального з числовими характеристиками

З порівняння формул (5.11) і (5.14) випливає, що дисперсія статистичної медіани в 1,57 рази більша за дисперсію середнього арифметичного. Отже, середнє арифметичне як оцінка математичного очікування в стільки ж ефективніше статистичної медіани. Однак через простоту обчислень, нечутливість до аномальних результатів вимірювань (“забур'яненості” вибірки) на практиці як оцінку математичного очікування, проте використовують статистичну медіану.

Слід зазначити, що з безперервних симетричних розподілів математичне очікування і медіана збігаються. Тому статистична медіана може бути хорошою оцінкою математичного очікування лише за симетричному розподілі випадкової величини.

Для несиметричних розподілів статистична медіана Meмає суттєве усунення щодо математичного очікування, тому його оцінювання непридатна.

Оцінки математичного очікування та дисперсії.

З поняттям параметрів розподілу ми познайомилися теоретично ймовірностей. Наприклад, у нормальному законі розподілу, що задається функцією щільності ймовірності

параметрами служать а– математичне очікування та а- Середнє квадратичне відхилення. У розподілі Пуассона параметром є число а = ін.

Визначення. Статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають його наближене значення, що залежить від даних вибірки(х 1, х 2, х 3,..., х k; п 1 , п 2 , п 3..., п k), Т. е. деяку функцію цих величин.

Тут х 1, х 2, х 3,..., х k- Значення ознаки, п 1 , п 2 , п 3..., п k-Відповідні частоти. Статистична оцінка є випадковою величиною.

Позначимо через θ – оцінюваний параметр, а через θ * - Його статистичну оцінку. Величину | θ *–θ | називають точністю оцінки.Що менше | θ *–θ |, краще, точніше визначено невідомий параметр.

Щоб оцінка θ * мала практичне значення, вона повинна містити систематичної помилки і водночас мати можливо меншу дисперсію. Крім того, при збільшенні обсягу вибірки ймовірність скільки завгодно малих відхилень | θ *–θ | має бути близька до 1.

Сформулюємо такі визначення.

1. Оцінка параметра називається незміщеною, якщо її математичне очікування М(θ *) дорівнює параметру θ, що оцінюється, тобто.

М(θ *) = θ, (1)

і зміщеною, якщо

М(θ *) ≠ θ, (2)

2. Оцінка θ* називається заможною, якщо за будь-якого δ > 0

(3)

Рівність (3) читається так: оцінка θ * сходиться по ймовірності до θ .

3. Оцінка θ* називається ефективною, якщо за заданого п вона має найменшу дисперсію.

Теорема 1.Вибіркова середня Х В є незміщеною та заможною оцінкою математичного очікування.

Доказ. Нехай вибірка репрезентативна, тобто всі елементи генеральної сукупностімають однакову можливість потрапити у вибірку. Значення ознаки х 1, х 2, х 3, ..., х nможна прийняти за незалежні випадкові величини Х 1, Х 2, Х 3, ..., Х nз однаковими розподілами та числовими характеристиками, у тому числі з рівними математичними очікуваннями, рівними а,

Оскільки кожна з величин Х 1, Х 2, Х 3, …, Х пмає розподіл, що збігається з розподілом генеральної сукупності, то М(Х)= а.Тому

звідки слідує, що – заможна оцінка М(Х).

Використовуючи правило дослідження на екстремум, можна довести, що є ефективною оцінкою М(Х).

Параметри розподілу та статистика

Будь-які параметри розподілу випадкової змінної, наприклад, такі як математичне очікування або дисперсія, є теоретичними величинами, недоступними безпосередньому виміру, хоча їх можна оцінити. Вони є кількісну характеристику генеральної сукупності і може бути власними силами визначено лише під час теоретичного моделювання як гіпотетичні величини, оскільки вони описують особливості розподілу випадкової величини у самої генеральної сукупності. Для того щоб визначити їх на практиці, дослідник, який проводить експеримент, здійснює їхню вибіркову оцінку. Така оцінка передбачає статистичний підрахунок.

Статистика є кількісною характеристикою досліджуваних параметрів, що характеризують розподіл випадкової величини, отриману на основі дослідження вибіркових значень. Статистика використовується або для опису самої вибірки, або, що має першорядне значення в фундаментальних експериментальних дослідженняхдля оцінки параметрів розподілу випадкової величини в досліджуваній генеральній сукупності.

Поділ понять "параметр" і "статистика" є дуже важливим, тому що воно дозволяє уникнути ряд помилок, пов'язаних з неправильним тлумаченням даних, які отримуються в експерименті. Справа в тому, що, коли ми оцінюємо параметри розподілу за допомогою статистичних даних, ми отримуємо величини, лише певною мірою близькі до параметрів, що оцінюються. Між параметрами та статистикою практично завжди існує якась відмінність, причому, наскільки велика ця відмінність, ми, як правило, сказати не можемо. Теоретично чим більше вибірка, тим ближче оцінювані параметри виявляються їх вибірковим характеристикам. Однак це не означає, що, збільшивши обсяг вибірки, ми неминуче ближче підійдемо до параметра, що оцінюється, зменшимо різницю між ним і обчисленою статистикою. На практиці все може виявитися значно складнішим.

Якщо в теорії очікуване значення статистики збігається з параметром, що оцінюється, то таку оцінку називають незміщеною. Оцінку, при якій очікуване значення параметра, що оцінюється, відрізняється від самого параметра на деяку величину, називають зміщеною.

Також слід розрізняти точкову та інтервальну оцінку параметрів розподілу. Точковий називають оцінку за допомогою якогось числа. Наприклад, якщо ми стверджуємо, що величина просторового порога тактильної чутливості для даного випробуваного в цих умовах і на даній ділянці шкіри становить 21,8 мм, така оцінка буде точковою. Так само точкова оцінкамає місце, коли у зведенні погоди нам повідомляють, що за вікном 25°С. Інтервальна оцінка передбачає використання в оцінці набору чи діапазону чисел. Оцінюючи просторовий поріг тактильної чутливості, ми можемо сказати, що він опинився в діапазоні від 20 до 25 мм. Аналогічно синоптики можуть повідомити, що за їх прогнозами температура повітря в найближчу добу досягне значення 22–24°С. Інтервальна оцінка випадкової величини дозволяє нам не тільки визначити потрібне значення цієї величини, але й задати можливу точність для такої оцінки.

Математичне очікування та його оцінка

Повернімося до нашого досвіду із підкиданням монети.

Спробуємо відповісти на запитання: скільки разів має випасти орел, якщо ми підкинемо монету десять разів? Відповідь, мабуть, очевидна. Якщо ймовірності кожного з двох результатів рівні, то й самі результати повинні розподілятися і. Іншими словами, при десятикратному підкиданні звичайної монети ми маємо право очікувати, що одна з її сторін, наприклад "орел", випаде рівно п'ять разів. Аналогічно при 100-кратному киданні монети "орел" повинен випасти рівно 50 разів, а якщо монету кинути 4236 разів, то сторона, що цікавить нас, повинна з'явитися 2118 разів, не більше і не менше.

Отже, теоретичне значення випадкової події прийнято називати математичним очікуванням. Математичне очікування може бути знайдено шляхом множення теоретичної ймовірності випадкової величини число випробувань. Більше формально, однак, воно визначається як центральний момент першого порядку. Таким чином, математичне очікування - це значення випадкової величини, до якого воно теоретично прагне при повторних випробуваннях, щодо якого воно варіює.

Ясно, що теоретичне значення математичного очікування як параметра розподілу не завжди виявляється рівним емпіричному значенню випадкової величини, що цікавить нас, вираженої в статистиці. Якщо ми зробимо досвід із підкиданням монети, то цілком імовірно, що з десяти результатів "орел" випаде лише чотири чи три рази, а може, навпаки, він випаде вісім разів, а може, й ніколи не випаде. Зрозуміло, що з цих результатів виявляється більш, якийсь менш ймовірним. Якщо скористатися законом нормального розподілу, можна дійти висновку, що чим більше результат відхиляється від теоретично очікуваного, заданого величиноюматематичного очікування, тим менш ймовірний практично.

Припустимо, що ми проробили подібну процедуру кілька разів і жодного разу не спостерігали теоретично очікуваного значення. Тоді у нас може виникнути сумнів щодо справжності монети. Ми можемо припустити, що для нашої монети ймовірність випадання "орла" насправді не дорівнює 50%. У такому разі може знадобитися оцінити величину ймовірності цієї події та відповідно величину математичного очікування. Така необхідність виникає щоразу, коли в експерименті ми досліджуємо розподіл безперервної випадкової величини, такої як час реакції, не маючи заздалегідь будь-якої теоретичної моделі. Як правило, це перший обов'язковий крок під час кількісної обробки результатів експерименту.

Математичне очікування можна оцінити трьома способами, які практично можуть дати кілька різні результати, але теоретично вони повинні неодмінно призвести до величині математичного очікування.

Логіку такої оцінки ілюструє рис. 1.2. Математичне очікування може бути розглянуте як центральна тенденція у розподілі випадкової величини х, як найімовірніше і тому найчастіше її значення і як точка, що ділить розподіл на дві рівні частини.

Мал. 1.2.

Продовжимо наші уявні досліди з монетою та проведемо три експерименти з десятикратним її підкиданням. Припустимо, що в першому експерименті "орел" випав чотири рази, те саме сталося і в другому досвіді, у третьому досвіді "орел" випадав більш ніж у півтора рази частіше – сім разів. Логічно припустити, що математичне очікування цікавої для нас події насправді лежить десь між цими величинами.

Перший, найпростіший спосіб оцінки математичного очікування перебуватиме у знаходженні середнього арифметичного. Тоді оцінка математичного очікування на основі наведених вище трьох вимірів дорівнюватиме (4 + 4 + 7)/3 = 5. Аналогічним чином в експериментах з часом реакції математичне очікування може бути оцінено шляхом обчислення середнього арифметичного всіх отриманих значень х. Так, якщо ми провели п вимірів часу реакції х, то можемо скористатися наступною формулою, яка показує нам, що для обчислення середнього арифметичного значення X необхідно скласти всі отримані емпірично величини і розділити їх на число спостережень:

У формулі (1.2) міру математичного очікування прийнято позначати як х (читається як "ікс з рисою"), хоча іноді вона може позначатися як М (Від англ. mean - Середнє).

Середнє арифметичне є найчастіше використовуваною оцінкою математичного очікування. У таких випадках передбачається, що вимірювання випадкової величини здійснюється в метричної шкалою. Очевидно, що отриманий результат може збігатися, а може й не збігатися з справжнім значенням математичного очікування, яке нам ніколи не відоме. Важливо, однак, що такий спосіб є незміщеною оцінкою математичного очікування Це означає, що очікуване значення оцінюваної величини дорівнює її математичному очікуванню: .

Другий спосіб оцінки математичного очікування полягає в тому, щоб за його величину прийняти найбільш часто зустрічається значення змінної, що цікавить нас. Це значення називається модою розподілу. Наприклад, у розглянутому щойно випадку з підкиданням монети за величину математичного очікування можна прийняти "чотири", так як у трьох проведених випробуваннях ця величина з'являлася двічі; саме тому мода розподілу в цьому випадку дорівнювала чотирьом. Оцінка моди застосовується головним чином у тому випадку, коли експериментатор має справу зі змінними, що приймають дискретні значення, задані в неметричної шкалою.

Наприклад, описуючи розподіл оцінок студентів на іспиті, можна побудувати частотний розподілодержаних студентами оцінок. Такий частотний розподіл називається гістограмою. За величину центральної тенденції (математичного очікування) у разі можна прийняти найбільш поширену оцінку. При дослідженні змінних, що характеризуються безперервними значеннями, цей захід практично не застосовується або застосовується рідко. Якщо ж частотне розподіл отриманих результатів все-таки будується, воно, зазвичай, стосується самих отриманих експериментально значень досліджуваного ознаки, а деяких інтервалів його прояви. Скажімо, досліджуючи зростання людей, можна подивитися, скільки людей потрапляє в інтервал до 150 см на зріст, скільки в інтервал від 150 до 155 см і т.д. У цьому випадку мода матимуть відношення до інтервальних значень досліджуваної ознаки, даному випадку- Зростання.

Зрозуміло, що мода, як і середнє арифметичне, може збігатися, а може й не збігатися із дійсним значенням математичного очікування. Але так само, як і середнє арифметичне, мода є незміщеною оцінкою математичного очікування.

Додамо, що якщо два значення у вибірці зустрічаються однаково часто, то такий розподіл називають бімодальним. Якщо три та більше значень у вибірці зустрічаються однаково часто, то кажуть, що така вибірка не має моди. Такі випадки при достатньо великому числіспостережень, зазвичай, свідчать, що дані вилучені з генеральної сукупності, характер розподілу у якій відрізняється від нормального.

Зрештою, третій спосіб оцінки математичного очікування полягає в тому, щоб поділити вибірку піддослідних за цікавим для нас параметром рівно навпіл. Величина, що характеризує цей кордон, називається медіаною розподілу.

Припустимо, ми присутні на лижних змаганнях і після закінчення бажаємо оцінити, хто зі спортсменів показав результат вище середнього, а хто – нижче. Якщо склад учасників більш менш рівний, то при оцінці середнього результату логічно обчислити середнє арифметичне. Припустимо, що серед учасників-професіоналів є кілька любителів. Їх небагато, але вони показують результати, які значно поступаються іншим. У цьому випадку може виявитися, що зі 100 учасників змагань, наприклад, результат вищий за середній показали 87. Зрозуміло, що така оцінка середньої тенденції нас нс завжди може влаштувати. У цьому випадку логічно припускати, що середній результат показали учасники, які посіли десь 50-те чи 51-те місце. Це якраз і буде медіаною розподілу. До 50-го фіналіста фінішували 49 учасників, після 51-го – теж 49. Незрозуміло, щоправда, чий же результат із них прийняти за середній. Звичайно, може виявитись, що вони фінішували з однаковим часом. Тоді проблеми не виникає. Не виникає проблеми і тоді, коли кількість спостережень виявляється непарною. В інших випадках, однак, можна скористатися усередненням двох учасників.

Медіана є окремий випадокКвантиль розподілу. Квантіль - Це частина розподілу. Формально його можна визначити як інтегральне значення розподілу між двома величинами змінної X. Таким чином, величина X буде медіаною розподілу, якщо інтегральне значення розподілу (щільність ймовірності) від -∞ до X дорівнює інтегральному значенню розподілу від X до +∞. Аналогічно розподіл можна ділити на чотири, десять або 100 частин. Такі кванти відповідно називаються квартилями, децилями і перцентилями. Існують інші види квантилей.

Так само, як і два попередні способи оцінки математичного очікування, медіана є незміщеною оцінкою математичного очікування.

Теоретично передбачається, що якщо ми маємо справу дійсно з нормальним розподіломвипадкової величини, то всі три оцінки математичного очікування повинні давати один і той же результат, тому що всі вони є варіантом незміщеною оцінки того самого параметра розподілу оцінюваної випадкової величини (див. рис. 1.2). Насправді, проте, таке зустрічається рідко. Це може бути пов'язано, зокрема, і з тим, що аналізований розподіл відрізняється від нормального. Але основна причина таких розбіжностей, як правило, полягає в тому, що, оцінюючи величину математичного очікування, можна отримати значення, що дуже відрізняється від його істинної величини. Втім, як уже було зазначено вище, у математичної статистикидоведено, що чим більше незалежних випробуваньаналізованої змінної проведено, тим ближче значення, що оцінюється, має виявитися до істинного.

Таким чином, на практиці вибір способу оцінки математичного очікування визначається не прагненням отримати більш точну та надійну оцінку цього параметра, а лише міркуваннями зручності. Також певну роль виборі способу оцінки математичного очікування грає вимірювальна шкала, у якій відбиваються самі спостереження оцінюваної випадкової величини.

Нехай є випадкова величина Хз математичним очікуванням mта дисперсією D, при цьому обидва ці параметри невідомі. Над величиною Хзроблено Nнезалежних експериментів, в результаті яких було отримано сукупність Nчисельних результатів x 1 , x 2 , …, x N. В якості оцінки математичного очікування природно запропонувати середнє арифметичне значень, що спостерігаються.

(1)

Тут як x iрозглядаються конкретні значення (числа), отримані в результаті Nекспериментів. Якщо взяти інші (незалежні від попередніх) Nекспериментів, то, очевидно, ми отримаємо інше значення. Якщо взяти ще Nекспериментів, ми отримаємо ще одне нове значення . Позначимо через X iвипадкову величину, що є результатом i-го експерименту, тоді реалізаціями X iбудуть числа, одержані в результаті цих експериментів. Очевидно, що випадкова величина X iматиме таку ж щільність розподілу ймовірності, як і вихідна випадкова величина Х. Також вважаємо, що випадкові величини X iі X jє незалежними при i, не рівному j(Різні незалежні один щодо одного експерименти). Тому формулу (1) перепишемо в іншому (статистичному) вигляді:

(2)

Покажемо, що оцінка є незміщеною:

Таким чином, математичне очікування вибіркового середнього дорівнює справжньому математичному очікуванню випадкової величини m. Це досить передбачуваний та зрозумілий факт. Отже, за оцінку математичного очікування випадкової величини можна прийняти середнє вибіркове (2). Тепер виникає питання: що відбувається з дисперсією оцінки математичного очікування зі збільшенням кількості експериментів? Аналітичні обчислення показують, що

де - дисперсія оцінки математичного очікування (2), а D- Справжня дисперсія випадкової величини X.

Зі сказаного вище, що зі зростанням N(кількості експериментів) дисперсія оцінки зменшується, тобто. що більше ми підсумовуємо незалежні реалізації, то ближче до математичного очікування ми отримаємо оцінку.

Оцінки математичної дисперсії

На перший погляд найбільш природною оцінкою є

(3)

де обчислюється за такою формулою (2). Перевіримо, чи є оцінка незміщеною. Формула (3) може бути записана наступним чином:

Підставимо у цю формулу вираз (2):

Знайдемо математичне очікування оцінки дисперсії:

(4)

Оскільки дисперсія випадкової величини залежить від цього, яке математичне очікування у випадкової величини, приймемо математичне очікування рівним 0, тобто. m = 0.

	(5)
при .	(6)