Безперервна випадкова величина x задана функцією розподілу ймовірностей. Дискретні випадкові величини

Глава 1. Дискретна випадкова величина

§ 1. Поняття випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Визначення : Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає тільки одне значення з можливої ​​безлічі своїх значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин.

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

Визначення : Випадкова величина Х називається дискретний (перервний), якщо безліч її значень кінцеве чи нескінченне, але лічильне.

Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна перенумерувати.

Описати випадкову величину можна з її закону розподілу.

Визначення : Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини, а в другому рядку відповідні ймовірності цих значень, тобто.

де р1 + р2 + ... + рn = 1

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, ряд р1+ р2+…+ рn+… сходиться та її сума дорівнює 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити графічно, для чого прямокутної системикоординат будують ламану, що з'єднує послідовно точки з координатами (xi; pi), i = 1,2, ... n. Отриману лінію називають багатокутником розподілу (Рис.1).

Органічна хімія органічної хімії відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа іспитів, які здасть студент.

Рішення. Розглянута випадкова величина X в результаті іспиту може прийняти одне з наступних значень: x1 = 0, x2 = 1, х3 = 2.

Знайдемо ймовірність цих значень. Позначимо події:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Отже, закон розподілу випадкової величини Х визначається таблицею:

Контроль: 0,6 +0,38 +0,56 = 1.

§ 2. Функція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Визначення: Функцією розподілу дискретної випадкової величини Х називається функція F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрично функція розподілу інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується на числовій прямій точці, що лежить ліворуч від точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- незнижена функція на (-∞; + ∞);

3) F(x)- безперервна ліворуч у точках х= xi (i=1,2,…n) і безперервна переважають у всіх інших точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий у вигляді таблиці:

то функція розподілу F(x) визначається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х>хn.

Її графік зображено на рис.2:

§ 3. Числові характеристики дискретної випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Визначення: Математичним очікуванням М(Х) дискретної випадкової величини Х називається сума творів всіх її значень відповідні їм ймовірності:

М(Х) = ∑ xiрі = x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математичне очікування є характеристикою середнього значення випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

1) M(C)=C, де З-постійна величина;

2) М (З Х) = З М (Х),

3)М(Х±Y)=М(Х)±M(Y);

4) M (X Y) = M (X) M (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

5) M(X±C)=M(X)±C, де З-постійна величина;

Для характеристики ступеня розсіювання можливих значень дискретної випадкової величини навколо середнього значення служить дисперсія.

Визначення: Дисперсією D ( X ) випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Властивості дисперсії:

1)D(C)=0, де З-постійна величина;

2) D(X)>0, де Х - випадкова величина;

3)D(C X)=C2 D(X), де З-постійна величина;

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися формулою:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

де М(Х) = ∑ xi2рi = x12р1 + x22р2 + ... + xn2рn

Дисперсія D(X) має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому як показник розсіювання можливих значень випадкової величини використовують також величину D(X).

Визначення: Середнім квадратичним відхиленням σ(Х) випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії:

Завдання №2.Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти Р2, функцію розподілу F(x) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

Рішення: Оскільки сума ймовірностей можливих значень випадкової величини Х дорівнює 1, то

Р2 = 1 - (0,1 +0,3 +0,2 +0,3) = 0,1

Знайдемо функцію розподілу F(х)=P(X

Геометрично цю рівність можна витлумачити так: F(х) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки х.

Якщо х≤-1, то F(х)=0, тому що на (-∞;х) немає жодного значення даної випадкової величини;

Якщо -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Якщо 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) потрапляють два значення x1=-1 і x2=0;

Якщо 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Якщо 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Якщо х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1 +0,1+0,3+0,2+0,3=1, тому що в проміжок (-∞;х) потрапляють чотири значення x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 та х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Зобразимо функцію F(x)графічно (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Біноміальний закон розподілу

дискретна випадкова величина, закон Пуассона.

Визначення: Біноміальним називається закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа події А в n незалежних повторних випробуваннях, в кожному з яких події А може наступити з ймовірністю p або не наступити з ймовірністю q=1-p. Тоді Р(Х=m)-імовірність появи події А рівно m разів у n випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхиленнявипадкової величини Х, розподіленої за бінарним законом, знаходять відповідно за формулами:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Імовірність події А - «випадання п'ятірки» в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює 1/6, тобто Р(А)=р=1/6, тоді Р(А)=1-p=q=5/6, де

- «Випадання не п'ятірки».

Випадкова величина Х може набувати значень: 0;1;2;3.

Імовірність кожного з можливих значень Х знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Завдання №4.Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що виготовлена ​​деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 1000 відібраних деталей виявиться:

а) 5 бракованих;

б) хоч би одна бракована.

Рішення: Число n=1000 велике, ймовірність виготовлення бракованої деталі р=0,002 мала, і події, що розглядаються (деталь виявиться бракованою) незалежні, тому має місце формула Пуассона:

Рn(m)= e- λ λm

Знайдемо λ=np=1000 0,002=2.

а)Знайдемо ймовірність того, що буде 5 бракованих деталей (m=5):

Р1000 (5) = e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Знайдемо ймовірність того, що буде хоча б одна бракована деталь.

Подія А -«хоча одна з відібраних деталей бракована» є протилежною події -«всі відібрані деталі не браковані». Отже, Р(А)=1-Р(). Звідси шукана ймовірність дорівнює: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1 - e-2 = 1-0,13534 ≈ 0,865.

Завдання для самостійної роботи.

1.1

1.2. Дисперсна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти р4, функцію розподілу F(X) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

1.3. У коробці 9 фломастерів, з яких 2 фломастери вже не пишуть. Навмання беруть 3 фломастери. Випадкова величина Х - число друкарських фломастерів серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.4. На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 6 підручників, причому 4 з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання 4 підручники. Випадкова величина Х-число підручників у палітурці серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.5. У квитку два завдання. Ймовірність правильного рішенняпершого завдання дорівнює 0,9, другий-0,7. Випадкова величина Х - число правильно вирішених завдань у квитку. Скласти закон розподілу, обчислити математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини, а також знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

1.6. Три стрілки стріляють по мішені. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,5, для другого-0,8, для третього -0,7. Випадкова величина Х - число попадань у ціль, якщо стрілки роблять по одному пострілу. Знайти закон розподілу, M(X), D(X).

1.7. Баскетболіст кидає м'яч у кошик із ймовірністю влучення при кожному кидку 0,8. За кожне влучення він отримує 10 очок, а у разі промаху очки йому не нараховують. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа очок, отриманих баскетболістом за 3 кидки. Знайти M(X),D(X), а також можливість того, що він отримає більше 10 очок.

1.8. На картках написані літери, всього 5 голосних та 3 приголосних. Навмання вибирають 3 картки, причому щоразу взяту картку повертають назад. Випадкова величина Х-число гласних букв серед взятих. Скласти закон розподілу та знайти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. У середньому по 60% договорів страхова компаніявиплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа договорів, за якими було виплачено страхову суму серед навмання відібраних чотирьох договорів. Знайти числові показники цієї величини.

1.10. Радіостанція через певні проміжки часу посилає сигнали (не більше чотирьох) до встановлення двостороннього зв'язку. Імовірність отримання відповіді на позивний сигнал дорівнює 0,3. Випадкова величина Х-число надісланих позивних сигналів. Скласти закон розподілу та знайти F(x).

1.11. Є 3 ключі, з яких лише один підходить до замку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа спроб відкриття замку, якщо випробуваний ключ у наступних спробах не бере участі. Знайти M(X),D(X).

1.12. Виробляються послідовні незалежні випробуваннятри прилади на надійність. Кожен наступний приладвипробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Імовірність витримати випробування для кожного приладу дорівнює 0,9. Скласти закон розподілу випадкової величини Х числа випробуваних приладів.

1.13 .Дискретна випадкова величина Х має три можливі значення: х1 = 1, х2, х3, причому х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок електронного пристрою має 100 однакових елементів. Імовірність відмови кожного елемента протягом часу Т дорівнює 0,002. Елементи працюють незалежно. Знайти ймовірність те, що за час Т відмовить не більше двох елементів.

1.15. Підручник видано тиражем 50000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що тираж містить:

а) чотири браковані книги,

б) менше двох бракованих книг.

1 .16. Число дзвінків, що надходять на АТС кожну хвилину, розподілено за законом Пуассона з параметром =1,5. Знайдіть ймовірність того, що за хвилину надійде:

а) два виклики;

б)хоча один виклик.

1.17.

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=3X+Y.

1.18. Наведено закони розподілу двох незалежних випадкових величин:

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=X+2Y.

Відповіді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3 = 0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4 = 0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2 ≈ 0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Розділ 2. Безперервна випадкова величина

Визначення: Безперервний називають величину, всі можливі значення якої повністю заповнюють кінцевий чи нескінченний проміжок числової осі.

Очевидно, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Безперервну випадкову величину можна ставити за допомогою функції розподілу.

Визначення:Ф ункцією розподілу безперервної випадкової величини Х називається функція F(х), що визначає для кожного значення x width="14"

Функцію розподілу іноді називають інтегральною функцією розподілу.

Властивості функції розподілу:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У безперервної випадкової величини функція розподілу безперервна у будь-якій точці і диференційована всюди, крім, можливо, окремих точок.

3) Імовірність потрапляння випадкової величини Х до одного з проміжків (а;b), [а;b), [а;b], дорівнює різниці значень функції F(х) у точках а і b, тобто. Р(а<Х

4) Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного окремого значення дорівнює 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Завдання безперервної випадкової величини з допомогою функції розподілу є єдиним. Введемо поняття густини розподілуймовірностей (щільність розподілу).

Визначення : Щільністю розподілу ймовірностей f ( x ) безперервної випадкової величини Х називається похідна від її функції розподілу, тобто:

Щільність розподілу ймовірностей іноді називають диференціальною функцією розподілу чи диференціальним законом розподілу.

Графік щільності розподілу ймовірностей f(x) називається кривою розподілу ймовірностей .

Властивості густини розподілу ймовірностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Знайти: а) значення; б) функцію розподілу F(х) та побудувати її графік; в) Р(3≤х<5)

Рішення:

+ ∞

а) Значення знайдемо з умови нормування: f(x)dx=1.

Отже, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

якщо 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

Графік функції F(х) зображено на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(х)

Рішення: Т. к.f(х) = F'(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дисперсних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання №3.Випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Завдання для самостійного вирішення.

2.1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0 при х≤0,

F(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= з х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

0 при х≤0,

f(х)= з √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Знайти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

2.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

2.7. Функція f(х) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функція f(x) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4].

Знайти: а) значення постійної с, коли він функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

2.9. Випадкова величина Х, зосереджена інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 5; б) не менше 7.

2.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4),

задана функцією розподілу F(х) = . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 2; б) не менше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Знайти: а) число с; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х> М(Х)).

2.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х≤М(Х))

2.13. Розподіл Рем'я задається щільністю ймовірності:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Довести, що f(x) дійсно є густиною розподілу ймовірностей.

2.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (Рис.5)

2.16. Випадкова величина Х розподілена згідно із законом « прямокутного трикутника»в інтервалі (0; 4) (рис.5). Знайти аналітичний вираз для густини ймовірності f(x) на всій числовій осі.

Відповіді

0 при х≤0,

f(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3. Безперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу на деякому інтервалі (а; b), якому належать всі можливі значення Х, якщо щільність розподілу ймовірностей f (x) постійна на цьому інтервалі і дорівнює 0 поза ним, тобто

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

Графік функції f(x) зображено на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х) = width="30", D(X)=, σ(Х)=.

Завдання №1.Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайти:

а) щільність розподілу ймовірностей f(x) та побудувати її графік;

б) функцію розподілу F(x) та побудувати її графік;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Рішення: Скориставшись формулами, розглянутими вище, а=3, b=7, знаходимо:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Побудуємо її графік (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за показовим законом, задається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(Х)=

Таким чином, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілурівні між собою.

Імовірність потрапляння Х до інтервалу (a;b) обчислюється за формулою:

Р(a<Х

Завдання №2.Середній час безвідмовної роботи приладу дорівнює 100 год. Вважаючи, що час безвідмовної роботи приладу має показовий закон розподілу, знайти:

а) густина розподілу ймовірностей;

б) функцію розподілу;

в) ймовірність, що час безвідмовної роботи приладу перевищить 120 год.

Рішення: За умовою математичний розподіл M(X) = 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01-0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1-е -0,01х при х≥0.

в) Шукану ймовірність знайдемо, використовуючи функцію розподілу:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2 ≈0,3.

§ 3.Нормальний закон розподілу

Визначення: Безперервна випадкова величина Х має нормальний закон розподілу (закон Гауса), якщо її щільність розподілу має вигляд:

,

де m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або гаусової кривої (Мал.7)

Нормальна крива симетрична щодо прямої х=m, має максимум т. х=а, рівний .

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф(х) за формулою:

,

де – функція Лапласа.

Примітка: Функція Ф(х) є непарною (Ф(-х)=-Ф(х)), крім того, при х>5 вважатимуться Ф(х) ≈1/2.

Графік функції розподілу F(x) зображено на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Імовірність того, що абсолютна величинавідхилення менше позитивного числаδ обчислюється за формулою:

Зокрема, при m=0 справедлива рівність:

«Правило трьох сигм»

Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і σ то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3σ; a+3σ), т. до.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Скористаємося формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблиці значень функції Ф(х) знаходимо Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Отже, шукана ймовірність:

P(28)

Завдання для самостійної роботи

3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть:

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(4<х<6).

3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(3?х?6).

3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовте і 30 секунд червоне і т. д. Машина проїжджає шосе у випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофор, не зупиняючись.

3.4. Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність того, що чекати на поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне очікування випадкової величини Х – час очікування поїзда.

3.5. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назвіть закон розподілу випадкової величини, що розглядається.

б) Знайдіть функцію розподілу F(X) та числові характеристики випадкової величини Х.

3.7. Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення інтервалу (2,5;5).

3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.9. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 і 2. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення з інтервалу (10; 14).

3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 та дисперсією 0,04. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та D(X)=1. Яка з подій: |Х|≤0,6 або |Х|≥0,6 має більшу ймовірність?

3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 і D(X)=1.З якого інтервалу (-0,5;-0,1) або (1;2) при одному випробуванні вона набуде значення з більшою ймовірністю?

3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M(X)=10ден. од. і σ (Х) = 0,3 ден. од. Знайти:

а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 грош. од. до 10,4 грош. од.;

б) за допомогою «правила трьох сигм» знайти межі, в яких буде перебувати поточна ціна акції.

3.14. Здійснюється зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням σ=5г. Знайти ймовірність того, що в чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважування не відбудеться за абсолютною величиною 3г.

3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12,6. Імовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу (11,4;13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ.

3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12 і D(X)=36. Знайти інтервал, який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробування випадкова величина Х.

3.17. Деталь, виготовлена ​​автоматично, вважається бракованою, якщо відхилення Х контрольованого параметра від номіналу перевищує по модулю 2 одиниці вимірювання . Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та σ(Х)=0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат?

3.18. Параметр Х деталі розподілено нормально з математичним очікуванням 2 рівним номіналу і середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу.

Відповіді

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х) = left">

3.10. а) f (x) = ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Випадковою величиною називається змінна, яка може приймати ті чи інші значення залежно від різних обставин, та випадкова величина називається безперервною , якщо вона може приймати будь-яке значення будь-якого обмеженого або необмеженого інтервалу. Для безперервної випадкової величини неможливо вказати всі можливі значення, тому позначають інтервали цих значень, пов'язані з певними ймовірностями.

Прикладами безперервних випадкових величин можуть бути: діаметр деталі, що обточується до заданого розміру, зростання людини, дальність польоту снаряда та ін.

Так як для безперервних випадкових величин функція F(x), на відміну від дискретних випадкових величин, ніде немає стрибків, то ймовірність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Це означає, що з безперервної випадкової величини безглуздо говорити про розподілі ймовірностей між її значеннями: кожне має нульову ймовірність. Однак у певному сенсі серед значень безперервної випадкової величини є більш і менш ймовірні. Наприклад, навряд чи в когось виникне сумнів, що значення випадкової величини - зростання навмання зустрінутої людини - 170 см - більш ймовірно, ніж 220 см, хоча і одне, і інше значення можуть зустрітися на практиці.

Функція розподілу безперервної випадкової величини та щільність ймовірності

Як закон розподілу, що має сенс тільки для безперервних випадкових величин, вводиться поняття щільності розподілу або ймовірності. Підійдемо до нього шляхом порівняння сенсу функції розподілу для безперервної випадкової величини та дискретної випадкової величини.

Отже, функцією розподілу випадкової величини (як дискретної, так і безперервної) або інтегральною функцієюназивається функція , яка визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.

Для дискретної випадкової величини у точках її значень x1 , x 2 , ..., x i ,...зосереджені маси ймовірностей p1 , p 2 , ..., p i ,..., причому сума всіх мас дорівнює 1. Перенесемо цю інтерпретацію у разі безперервної випадкової величини. Уявімо, що маса, що дорівнює 1, не зосереджена в окремих точках, а безперервно "розмазана" по осі абсцис Оxз якоюсь нерівномірною щільністю. Імовірність влучення випадкової величини на будь-яку ділянку Δ xінтерпретуватиметься як маса, що припадає на цю ділянку, а середня щільність на цій ділянці - як відношення маси до довжини. Щойно ми запровадили важливе поняття теорії ймовірностей: щільність розподілу.

Щільністю ймовірності f(x) безперервної випадкової величини називається похідна її функції розподілу:

.

Знаючи функцію щільності, можна знайти ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини належить закритому інтервалу [ a; b]:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

.

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

.

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з крапок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції густини ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), одна із форм закону розподілу, але на відміну функції розподілу, вона універсальна: щільність розподілу існує лише безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіших у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш від середнього (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) густини ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

.

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, при цьому. Знайти коефіцієнт Аймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

.

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .

4. Щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини

Безперервну випадкову величину можна встановити за допомогою функції розподілу F(x) . Цей спосіб завдання не єдиний. Безперервну випадкову величину можна задати, використовуючи іншу функцію, яку називають щільністю розподілу або щільністю ймовірності (іноді її називають диференціальною функцією).

Визначення4.1: Щільністю розподілу безперервної випадкової величини Хназивають функцію f (x) - першу похідну від функції розподілу F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

З цього визначення випливає, що функція розподілу є первісною для густини розподілу. Зауважимо, що для опису розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини щільність розподілу не застосовується.

Імовірність попадання безперервної випадкової величини у заданий інтервал

Знаючи густину розподілу, можна обчислити ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде значення, що належить заданому інтервалу.

Теорема: Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде значення, що належать інтервалу (a, b), дорівнює певному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах відaдоb :

Доведення:Використовуємо співвідношення

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

За формулою Ньютона-Лейбніца,

Таким чином,

.

Так як P(a ≤ X b)= P(a X b) , то остаточно отримаємо

.

Геометрично отриманий результат можна витлумачити так: ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде значення, що належить інтервалу (a, b), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою віссюOx, кривою розподілуf(x) та прямимиx = aіx = b.

Примітка:Зокрема, якщо f(x) – парна функція та кінці інтервалу симетричні щодо початку координат, то

.

приклад.Встановлено щільність ймовірності випадкової величини Х

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, що належать інтервалу (0,5; 1).

Рішення:Шукана ймовірність

.

Знаходження функції розподілу за відомою густиною розподілу

Знаючи щільність розподілу f(x) , можна знайти функцію розподілу F(x) за формулою

.

Справді, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Отже,

.

Таким чином, знаючи густину розподілу, можна знайти функцію розподілу. Зрозуміло, за відомою функцією розподілу можна знайти щільність розподілу, а саме:

f(x) = F"(x).

приклад.Знайти функцію розподілу за цією щільністю розподілу:

Рішення:Скористаємося формулою

Якщо x ≤ a, то f(x) = 0 , отже, F(x) = 0 . Якщо a , то f(x) = 1/(b-a),

отже,

.

Якщо x > b, то

.

Отже, потрібна функція розподілу

Примітка:Набули функцію розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини (див. рівномірний розподіл).

Властивості щільності розподілу

Властивість 1:Щільність розподілу – невід'ємна функція:

f ( x ) ≥ 0 .

Властивість 2:Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від -∞ до ∞ дорівнює одиниці:

.

Примітка:Графік густини розподілу називають кривою розподілу.

Примітка:Щільність розподілу безперервної випадкової величини називають законом розподілу.

приклад.Щільність розподілу випадкової величини має такий вигляд:

Знайти постійний параметр a.

Рішення:Щільність розподілу повинна задовольняти умові, тому вимагаємо, щоб виконувалась рівність

.

Звідси
. Знайдемо невизначений інтеграл:

.

Обчислимо невласний інтеграл:

Таким чином, потрібний параметр

.

Ймовірний зміст густини розподілу

Нехай F(x) - Функція розподілу безперервної випадкової величини X. За визначенням щільності розподілу, f(x) = F"(x) , або

Різниця F(x+∆х) -F(x) визначає ймовірність того, що Xнабуде значення, що належить інтервалу (x, x+∆х). Таким чином, межа відношення ймовірності того, що безперервна випадкова величина набуде значення, що належить інтервалу (x, x+∆х)до довжини цього інтервалу (при ∆х→0) дорівнює значенню щільності розподілу в точці х.

Отже, функція f(x) визначає густину розподілу ймовірності для кожної точки х. З диференціального обчислення відомо, що збільшення функції приблизно дорівнює диференціалу функції, тобто.

Так як F"(x) = f(x) і dx = ∆ x, то F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Імовірнісний зміст цієї рівності такий: ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (x, x+∆ x) , приблизно дорівнює твору щільності ймовірності в точці х на довжину інтервалу ∆х.

Геометрично цей результат можна витлумачити так: ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (x, x+∆ x) , приблизно дорівнює площі прямокутника з основою ∆х і висотоюf(x).

5. Типові розподілу дискретних випадкових величин

5.1. Розподіл Бернуллі

Визначення5.1: Випадкова величина X, що приймає два значення 1 і 0 з ймовірностями ("успіху") pі ("неуспіху") q, називається Бернуллієвській:

, де k=0,1.

5.2. Біноміальний розподіл

Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія Aможе з'явитися чи з'явитися. Імовірність настання події у всіх випробуваннях постійна та рівна p(отже, ймовірність непояви q = 1 - p).

Розглянемо випадкову величину X- Число появи події Aу цих випробуваннях. Випадкова величина Xприймає значення 0,1,2,… nз ймовірностями, обчисленими за формулою Бернуллі: , де k = 0,1,2,… n.

Визначення5.2: Біноміальнимназивають розподіл ймовірностей, що визначається формулою Бернуллі.

приклад.По мішені проводиться три постріли, причому ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,8. Розглядається випадкова величина X- Число попадань в ціль. Знайти її низку розподілу.

Рішення:Випадкова величина Xприймає значення 0,1,2,3 з ймовірностями, обчисленими за формулою Бернуллі, де n = 3, p = 0,8 (ймовірність влучення), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (Імовірність непопадання).

Таким чином, ряд розподілу має такий вигляд:

Користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях nдосить важко, тому для підрахунку відповідних ймовірностей використовують локальну теорему Лапласа, яка дозволяє наближено знайти ймовірність появи події. kраз на nвипробуваннях, якщо кількість випробувань досить велика.

Локальна теорема Лапласа: Якщо ймовірність pпояви події A
того, що подія A з'явиться в nвипробуваннях рівно kраз, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n) значення функції
, де
, .

Примітка1:Таблиці, в яких розміщені значення функції
, дано у додатку 1, причому
. Функція є щільністю стандартного нормального розподілу (дивись нормальний розподіл).

Приклад:Знайти ймовірність того, що подія A настане рівно 80 раз на 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Рішення:За умовою n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Обчислимо обумовлене даними завдання значення x:
. За таблицею додатка 1 знаходимо
. Тоді ймовірність буде:

Якщо потрібно вирахувати ймовірність того, що подія Aз'явиться в nвипробуваннях не менше k 1 раз і не більше k 2 раз, то потрібно використовувати інтегральну теорему Лапласа:

Інтегральна теорема Лапласа: Якщо ймовірність pпояви події Aу кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля та одиниці, то ймовірність того, що подія A з'явиться в nвипробуваннях від k 1 до k 2 раз, приблизно дорівнює певному інтегралу

, де
і
.

Іншими словами, ймовірність того, що подія A з'явиться в nвипробуваннях від k 1 до k 2 раз, приблизно дорівнює

де
, і .

Примітка2:функцію
називають функцією Лапласа (дивись нормальний розподіл). Таблиці, в яких розміщені значення функції , дано у додатку 2, причому
.

Приклад:Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей виявиться неперевіреними від 70 до 100 деталей, якщо ймовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2.

Рішення:За умовою n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Обчислимо нижню та верхню межі інтегрування:

;
.

Таким чином, маємо:

За таблицею додатка 2 знаходимо, що
і
. Тоді ймовірність дорівнює:

Примітка3:У серіях незалежних випробувань (коли n велике, p мало) для обчислення ймовірності настання події рівно k разів використовують формулу Пуассона (дивися розподіл Пуассона).

5.3. Розподіл Пуассона

Визначення5.3: Дискретну випадкову величину називають Пуассонівській,якщо її закон розподілу має такий вигляд:

, де
і
(Постійне значення).

Приклади Пуассонівських випадкових величин:

Число дзвінків на автоматичну станцію за проміжок часу T.

Число частинок розпаду деякої радіоактивної речовини за проміжок часу T.

Число телевізорів, які вступають до майстерні за проміжок часу Tу великому місті .

Число автомобілів, які надійдуть до стоп-лінії перехрестя у великому місті .

Примітка1:Спеціальні таблиці для обчислення даних ймовірностей наведено у додатку 3.

Примітка2:У серіях незалежних випробувань (коли nвелике, pмало) для обчислення ймовірності настання події рівно kраз використовують формулу Пуассона:
, де
, тобто середнє число подій залишається незмінним.

Примітка3:Якщо є випадкова величина, яка розподілена за законом Пуассона, то обов'язково є випадкова величина, яка розподілена за показовим законом і навпаки (див. Показовий розподіл).

приклад.Завод відправив на базу 5000 доброякісні вироби. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0,0002 . Знайти ймовірність, що на базу прибудуть рівно три непридатні вироби.

Рішення:За умовою n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знайдемо λ: λ = np= 5000 · 0,0002 = 1.

За формулою Пуассона ймовірність дорівнює:

, де випадкова величина X- Число непридатних виробів.

5.4. Геометричний розподіл

Нехай проводяться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події Адорівнює p(0 p

q = 1 - p. Випробування закінчуються, як тільки з'явиться подія А. Таким чином, якщо подія Аз'явилося в k-м випробуванні, то в попередніх k – 1 випробуваннях воно не з'являлося.

Позначимо через Хдискретну випадкову величину – кількість випробувань, які потрібно провести до першої появи події А. Очевидно, можливими значеннями Хє натуральні числах 1 = 1, х 2 = 2, …

Нехай у перших k-1 випробуваннях подія Ане настало, а в k-му випробуванні з'явилося. Імовірність цієї “складної події”, за теоремою множення ймовірностей незалежних подій, P (X = k) = q k -1 p.

Визначення5.4: Дискретна випадкова величина має геометричний розподіл, якщо її закон розподілу має такий вигляд:

P ( X = k ) = q k -1 p , де
.

Примітка1:Вважаючи k = 1,2,… , отримаємо геометричну прогресіюз першим членом pта знаменником q (0q. З цієї причини розподіл називають геометричним.

Примітка2:Ряд
сходиться і його сума дорівнює одиниці. Справді сума ряду дорівнює
.

приклад.Зі зброї проводиться стрілянина за метою до першого влучення. Імовірність влучення в ціль p = 0,6 . Знайти ймовірність того, що потрапляння станеться за третього пострілу.

Рішення:За умовою p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Шукана ймовірність дорівнює:

P (X = 3) = 0,4 2 · 0,6 = 0,096.

5.5. Гіпергеометричний розподіл

Розглянемо таке завдання. Нехай у партії з Nвиробів є Mстандартних (MN). Із партії випадково відбирають nвиробів (кожен виріб може бути витягнутий з однаковою ймовірністю), причому відібраний виріб перед відбором наступного не повертається до партії (тому формула Бернуллі тут не застосовна).

Позначимо через Xвипадкову величину – число mстандартних виробів серед nвідібраних. Тоді можливими значеннями Xбудуть 0, 1, 2, ..., min; позначимо їх і, ... позначенням незалежної змінної (Fonds) скористаємося кнопкою ( розділ ...

Навчально-методичний комплекс із дисципліни «Загальний психологічний практикум»

Навчально-методичний комплекс

... методичні вказівки повиконанню практичних робіт 5.1 Методичнірекомендації повиконанню навчальних проектів 5.2 Методичнірекомендації по... чутливості), одновимірногоі багатовимірного... випадковогокомпонента в величині... з розділом«Подання...

Навчально-методичний комплекс з дисципліни фізика (назва)

Навчально-методичний комплекс

... розділіву підручниках. Розв'язання задач покожній темі. Опрацювання методичних вказівокдо лабораторних робіт по ... випадковийта приладової похибки вимірювань 1.8 Тематика контрольних робіті методичні вказівки по... Частка в одновимірноюпотенційної ями. ...

Методичні вказівки до лабораторних робіт з дисципліни інформатика

Методичні вказівки

... Методичні вказівкидо ЛАБОРАТОРНИМ РОБОТАМ по ... величиною, а найбільшою сумою величин... масиву випадковимичислами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномірниймасив б) двовимірний масив Мал. 2- Файли ... описуються в розділіреалізації після...

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннямивипадкової величини $ X $.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній балза іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CXright)=C^2Dleft(Xright)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$