Розрахунок рівнобедреної трапеції онлайн. Площа трапеції

Практика минулорічних ЄДІ та ДПА показує, що завдання з геометрії викликають складності у багатьох школярів. Ви легко впораєтеся з ними, якщо завчите всі потрібні формули та попрактикуєтеся у вирішенні завдань.

У цій статті ви побачите формули знаходження площі трапеції, а також приклади завдань із рішеннями. Такі ж можуть потрапити вам у КІМах на атестаційних іспитах або на олімпіадах. Тому поставтеся до них уважно.

Що потрібно знати про трапецію?

Для початку пригадаємо, що трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони, їх ще називають основами, паралельні, а дві інші – ні.

У трапеції також може бути опущена висота (перпендикуляр до основи). Проведена середня лінія – це пряма, яка паралельна основам і дорівнює половині їх суми. А також діагоналі, які можуть перетинатися, утворюючи гострі та тупі кути. Або, в окремих випадках, під прямим кутом. Крім того, якщо трапеція рівнобедрена, до неї можна вписати коло. І описати коло біля неї.

Формули площі трапеції

Спочатку розглянемо стандартні формули знаходження площі трапеції. Способи обчислити площу рівнобедреної та криволінійної трапецій розглянемо нижче.

Отже, уявіть, що у вас є трапеція з основами a та b, в якій до більшої основи опущена висота h. Обчислити площу фігури у разі простіше простого. Треба лише розділити на дві суму довжин підстав і помножити те, що вийде, на висоту: S = 1/2(a + b)*h.

Візьмемо інший випадок: припустимо, у трапеції, крім висоти, проведено середню лінію m. Нам відома формула знаходження довжини середньої лінії: m = 1/2 (a + b). Тому з повним правом можемо спростити формулу площі трапеції до наступного виду: S = m * h. Іншими словами, щоб знайти площу трапеції, треба помножити середню лінію на висоту.

Розглянемо ще один варіант: у трапеції проведені діагоналі d 1 і d 2 які перетинаються не під прямим кутом α. Щоб обчислити площу такої трапеції, вам потрібно розділити на два твори діагоналей і помножити те, що вийде, на sin кута між ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Тепер розглянемо формулу для знаходження площі трапеції, якщо про неї невідомо нічого, крім довжин її сторін: a, b, c і d. Це громіздка і складна формула, але вам буде корисно запам'ятати про всяк випадок та її: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

До речі, наведені вище приклади вірні і для того випадку, коли вам знадобиться формула площі прямокутної трапеції. Ця трапеція, бічна сторона якої примикає до основ під прямим кутом.

Рівностегнова трапеція

Трапеція, бічні сторони якої рівні, називається рівнобедреною. Ми розглянемо кілька варіантів формули площі рівнобедреної трапеції.

Перший варіант: для випадку, коли всередину рівнобедреної трапеції вписано коло з радіусом r, а бічна сторона та більша основа утворюють гострий кут α. Коло може бути вписано в трапецію за умови, що сума довжин її основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Площа рівнобедреної трапеції обчислюється так: помножте квадрат радіусу вписаного кола на чотири і розділіть все це на sinα: S = 4r 2 /sinα. Ще одна формула площі є окремим випадком для того варіанту, коли кут між великою основою і бічною стороною дорівнює 30 0: S = 8r 2.

Другий варіант: цього разу візьмемо рівнобедрену трапецію, в якій також проведено діагоналі d 1 і d 2 , а також висота h. Якщо діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, висота становить половину суми основ: h = 1/2(a + b). Знаючи це, легко перетворити вже знайому вам формулу площі трапеції на такий вигляд: S = h 2.

Формула площі криволінійної трапеції

Почнемо із того, що розберемося: що таке криволінійна трапеція. Уявіть собі вісь координат та графік безперервної та невід'ємної функції f, яка не змінює знака в межах заданого відрізка на осі x. Криволінійну трапецію утворюють графік функції у = f(x) – угорі, вісь х – внизу (відрізок), а з боків – прямі, проведені між точками a та b та графіком функції.

Обчислити площу такої нестандартної фігури не можна наведеними вище способами. Тут потрібно застосувати математичний аналізта використовувати інтеграл. А саме: формулу Ньютона-Лейбніца S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). У цій формулі F – первісна наша функція на вибраному відрізку . І площа криволінійної трапеціївідповідає прирощенню первісної на заданому відрізку.

Приклади завдань

Щоб усі ці формули краще вщухли в голові, ось вам кілька прикладів завдань на знаходження площі трапеції. Найкраще буде, якщо ви спершу спробуєте вирішити завдання самі, і тільки потім звірите отриману відповідь із готовим рішенням.

Завдання №1:Дано трапецію. Її більша основа – 11 см, менша – 4см. У трапеції проведено діагоналі, одна довжиною 12 см, друга – 9 см.

Рішення: Побудуйте трапецію АМРС. Проведіть пряму РХ через вершину Р так, щоб вона виявилася паралельною діагоналі МС і перетнула пряму АС у точці Х. Вийде трикутник АРХ.

Ми розглянемо дві отримані внаслідок цих маніпуляцій фігури: трикутник АРХ і паралелограм СМРХ.

Завдяки паралелограму ми дізнаємося, що РХ = МС = 12 см та СХ = МР = 4см. Звідки можемо обчислити бік АХ трикутника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Ми можемо довести, що трикутник АРХ – прямокутний (для цього застосуйте теорему Піфагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). І вирахувати його площу: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 см 2 .

Далі вам знадобиться довести, що трикутники АМР і РСХ є рівновеликими. Підставою послужить рівність сторін МР та СГ (вже доведене вище). А також висоти, які ви опустите на ці сторони, – вони рівні висоті трапеції АМРС.

Все це дозволить вам стверджувати, що SAMPC = SAPX = 54 см 2 .

Завдання №2:Дано трапецію КРМС. На її бокових сторонах розташовані точки О та Е, при цьому ОЕ та КС паралельні. Також відомо, що площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ знаходяться у співвідношенні 1:5. РМ = а та КС = b. Потрібно знайти ОЕ.

Рішення: Проведіть через точку М пряму, паралельну РК, і точку її перетину з ОЕ позначте Т. А – точка перетину прямої, проведеної через точку Е паралельно РК, з основою КС.

Введемо ще одне позначення - ОЕ = х. А також висоту h1 для трикутника ТМЕ та висоту h2 для трикутника АЕС (ви можете самостійно довести подібність цих трикутників).

Вважатимемо, що b > а. Площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ відносяться як 1:5, що дає нам право скласти таке рівняння: (х + а) * h 1 = 1/5 (b + х) * h 2 . Перетворимо та отримаємо: h 1 /h 2 = 1/5 * ((b + х) / (х + а)).

Якщо трикутники ТМЕ і АЕС подібні, маємо h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Об'єднаємо обидва записи і отримаємо: (х - а) / (b - х) = 1/5 * ((b + х) / (х + а)) ↔ 5 (х - а) (х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Отже, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Висновок

Геометрія не найлегша з наук, але ви, напевно, зможете впоратися з екзаменаційними завданнями. Достатньо виявити трохи посидючості при підготовці. І, звісно, ​​запам'ятати усі потрібні формули.

Ми постаралися зібрати в одному місці всі формули обчислення площі трапеції, щоб ви могли скористатися ними, коли готуватиметеся до іспитів і повторюватимете матеріал.

Обов'язково розкажіть про цю статтю однокласникам та друзям у соціальних мережах. Нехай хороших оцінок за ЄДІ та ДПА буде більше!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Багатолика трапеція... Вона може бути довільною, рівнобедреною чи прямокутною. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам'ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням усіх особливостей конкретної геометричної фігури.

Кілька слів про трапецію та її елементи

Будь-який чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У загальному випадкувони не рівні і називаються основами. Більше їх — нижнє, інше — верхнє.

Дві інші сторони виявляються бічними. У довільної трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то постать стає рівнобедреною.

Якщо раптом кут між будь-якою бічною стороною та основою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутною.

Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.

Серед елементів фігури, які можуть бути незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:

• висота, тобто відрізок, перпендикулярний до обох підстав;
• середня лінія, що має своїми кінцями середини бічних сторін.

За якою формулою обчислити площу, якщо відомі основи та висота?

Цей вираз дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися про ці величини, навіть коли вони не дано явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидві підстави і розділити їх на дві. Значення, що вийшло, потім ще помножити на значення висоти.

Якщо позначити підстави літерами а 1 і а 2 , висоту — н, формула для площі виглядатиме так:

S = ((а 1 + а 2)/2) * н.

Формула, за якою обчислюється площа, якщо дано її висота та середня лінія

Якщо уважно подивитися на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії. А саме, сума підстав, поділена на дві. Нехай середня лінія буде позначена літерою l, тоді формула для площі стане такою:

S = l*н.

Можливість знайти площу по діагоналях

Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені літерами д1 і д2, а кути між ними - α і β. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана так:

S = ((д 1 * д 2) / 2) * sin α.

У цьому виразі можна легко замінити на β. Результат не зміниться.

Як дізнатися площу, якщо відомі всі сторони фігури?

Бувають і такі ситуації, коли у цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її важко запам'ятати. Але можливо. Нехай бічні сторони мають позначення: 1 і 2 , основа а 1 більше, ніж а 2 . Тоді формула площі набуде такого вигляду:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2)) ] 2).

Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції

Перший пов'язаний з тим, що до неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при підставі - γ, можна скористатися такою формулою:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Остання загальна формула, яка заснована на знанні всіх сторін фігури, суттєво спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (у 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2).

Методи обчислення площі прямокутної трапеції

Зрозуміло, що підійде будь-якийіз перерахованих для довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеній із квадратів основ.

Часто формули для трапеції забуваються, тоді як вирази для площ прямокутника та трикутника пам'ятаються. Тоді можна застосувати простий спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, чи три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві трикутниками, що залишилися. Після обчислення площ цих фігур залишиться лише скласти.

Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.

Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?

В цьому випадку потрібно скористатися виразом, який дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави та одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, що описана трохи вище.

Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дано вершини з координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Потрібно дізнатися площу фігури.

Перш ніж знайти площу трапеції, за координатами необхідно обчислити довжини підстав. Потрібна така формула:

довжина відрізка = √((різниця перших координат точок) 2 + (різниця других координат точок) 2).

Верхня основа позначена АВ, отже, її довжина дорівнюватиме √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Нижня — СД = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.

Тепер потрібно провести висоту з вершини на основу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка опиниться на нижній підставі в точці з координатами (5; 1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною √((5-5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Залишилося тільки підставити значення, що виходили, у формулу площі трапеції:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Завдання вирішено без одиниць виміру, тому що не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, і метр.

Приклади завдань

№1. Умова.Відомий кут між діагоналями довільної трапеції, він дорівнює 30 градусів. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більша за неї в 2 рази. Необхідно порахувати площу трапеції.

Рішення.Спочатку потрібно дізнатися довжину другий діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3*2 = 6 (дм).

Тепер потрібно скористатися відповідною формулою для площі:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Завдання вирішено.

Відповідь:площа трапеції дорівнює 4,5 дм2.

№2. Умова.У трапеції АВСД основами є відрізки АТ та ПС. Крапка Е – середина сторони ЦД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ та ЄН дорівнюють відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.

Рішення.Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше за сторону, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутою вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.

Щоб чітко побачити хід розв'язання задачі, потрібно виконати додаткову побудову. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Постать ВХРА, що вийшла, - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканій. Це з тим, що трикутники, які вийшли за додаткової побудові, рівні. Це випливає з рівності сторони і двох кутів, що прилягають до неї, один — вертикальний, інший — навхрест лежачий.

Знайти площу паралелограма можна за формулою, що містить добуток сторони та висоти, опущеної на неї.

Таким чином, площа трапеції дорівнює 5*4 = 20 см2.

Відповідь: S = 20 см2.

№3. Умова.Елементи рівнобедреної трапеції мають такі значення: нижня основа – 14 см, верхня – 4 см, гострий кут – 45º. Потрібно обчислити її площу.

Рішення.Нехай меншу основу має позначення ВС. Висота, проведена з точки, називатиметься ВН. Оскільки кут 45º, то трикутник АВН вийде прямокутний та рівнобедрений. Отже, АН=ВН. Причому Ан дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 – 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Підстави відомі, висота порахована. Можна користуватися першою формулою, яка була розглянута для довільної трапеції.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Відповідь:Шукана площа дорівнює 45 см 2 .

№4. Умова.Є довільна трапеція АВСД. На її бічних сторонах взяті точки О та Е, так що ОЕ паралельна основі АТ. Площа трапеції АТВД у п'ять разів більша, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини основ.

Рішення.Потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т; другу через Е та точкою перетину з АТ буде М.

Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншої трапеції ЗЗСЄ - н 1, більшої АОЕД - н 2 .

Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, можна записати таку рівність:

(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 / н 2 = (х + а 1) / (5 (х + а 2)).

Висоти та сторони трикутників пропорційні по побудові. Тому можна записати ще одну рівність:

н 1 / н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).

У двох останніх записах у лівій частині стоять рівні величини, отже, можна написати, що (х + а 1) / (5 (х + а 2)) одно (х - а 2) / (а 1 - х).

Тут потрібно провести низку перетворень. Спочатку перемножити навхрест навхрест. З'являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів після застосування цієї формули вийде коротке рівняння.

У ньому потрібно розкрити дужки і перенести всі складові з невідомої «х» в лівий бік, а потім витягти квадратний корінь.

Відповідь: х = √ ((а 1 2 + 5 а 2 2) / 6).

Для того, щоб почуватися на уроках геометрії впевнено та успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх треба насамперед розуміти. Боятися, а тим більше ненавидіти формули – непродуктивно. У цій статті доступною мовою буде проаналізовано різні способипошуку площі трапеції Для кращого засвоєння відповідних правил та теорем приділимо деяку увагу її властивостям. Це допоможе розібратися в тому, як працюють правила та в яких випадках слід застосовувати ті чи інші формули.

Визначаємо трапецію

Що це за фігура загалом? Трапецією називають багатокутник із чотирьох кутів із двома паралельними сторонами. Дві інші сторони трапеції можуть бути нахилені під різними кутами. Її паралельні сторони називають основами, а для непаралельних сторін застосовують найменування "бічні сторони" або "стегна". Такі фігури досить часто зустрічаються в повсякденному житті. Контури трапеції можна побачити в силуетах одягу, предметах інтер'єру, меблів, посуду та багатьох інших. Трапеція буває різних видів: різнобічна, рівнобока та прямокутна. Більш детально їх типи та властивості розберемо далі у статті.

Властивості трапеції

Зупинимося коротко на властивостях цієї постаті. Сума кутів, що прилягають до будь-якої сторони, завжди дорівнює 180°. Слід зазначити, що це кути трапеції у сумі становлять 360°. У трапеції є поняття середньої лінії. Якщо з'єднати середини бічних сторін відрізком – це буде середня лінія. Її позначають m. У середній лінії є важливі властивості: вона завжди паралельна основам (ми пам'ятаємо, що основи також паралельні між собою) і дорівнює їх напівсумі:

Це визначення обов'язково треба вивчити і зрозуміти, адже це ключ до вирішення безлічі завдань!

У трапеції завжди можна опустити висоту на основу. Висота - це перпендикуляр, що часто позначається символом h, який проведений з будь-якої точки однієї основи на іншу основу або її продовження. Середня лінія та висота допоможуть знайти площу трапеції. Подібні завдання є найпоширенішими у шкільному курсі геометрії та регулярно з'являються серед контрольних та екзаменаційних робіт.

Найпростіші формули площі трапеції

Розберемо дві найпопулярніші та найпростіші формули, за допомогою яких знаходять площу трапеції. Достатньо помножити висоту на півсуму підстав, щоб легко знайти те, що шукає:

S = h * (a + b) /2.

У цій формулі a, b позначають основи трапеції, h – висоту. Для зручності сприйняття цієї статті знаки множення позначені символом (*) у формулах, хоча у офіційних довідниках знак множення зазвичай опускають.

Розглянемо приклад.

Дано: трапеція з двома основами, рівними 10 і 14 см, висота становить 7 см. Чому дорівнює площа трапеції?

Розберемо розв'язання цього завдання. За цією формулою спочатку потрібно знайти напівсуму основ: (10+14)/2 = 12. Отже, напівсума дорівнює 12 см. Тепер напівсуму множимо на висоту: 12*7 = 84. Знайдене. Відповідь: площа трапеції дорівнює 84 кв. див.

Друга відома формулакаже: площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту трапеції. Тобто фактично випливає із попереднього поняття середньої лінії: S = m * h.

Використання діагоналей для обчислень

Інший спосіб знаходження площі трапеції насправді не такий вже й складний. Він пов'язаний із її діагоналями. За цією формулою для знаходження площі потрібно помножити напівтвор її діагоналей (d 1 d 2) на синус кута між ними:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Розглянемо завдання, що свідчить про застосування цього способу. Дано: трапеція з довжиною діагоналей, що дорівнює відповідно 8 і 13 см. Кут a між діагоналями дорівнює 30°. Знайти площу трапеції.

Рішення. Використовуючи наведену вище формулу, легко обчислити необхідне. Як відомо, sin 30° становить 0,5. Отже, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Відповідь: площа дорівнює 52 кв. див.

Шукаємо площу рівнобічної трапеції

Трапеція може бути рівнобокою (рівностегнової). Її бічні сторони однакові І кути при основах рівні, що добре ілюструє малюнок. Рівностегнова трапеція має такі ж властивості, що і звичайна плюс ряд особливих. Навколо рівнобічної трапеції може бути описана коло, і в неї може бути вписано коло.

Які є методики обчислення площі такої фігури? Нижченаведений спосіб вимагатиме великих обчислень. Для його застосування потрібно знати значення синуса (sin) та косинуса (cos) кута на підставі трапеції. Для їх розрахунків потрібні таблиці Брадіса або інженерний калькулятор. Ось ця формула:

S = c*sin a*(a - c*cos a),

де з- бічне стегно, a- Кут при нижній підставі.

Рівнобока трапеція має діагоналі однакової довжини. Правильне і зворотне твердження: якщо в трапеції діагоналі рівні, вона є рівнобедренной. Звідси наступна формула, що допомагає знайти площу трапеції - напівтвор квадрата діагоналей на синус кута між ними: S = ½ d 2 sin a.

Знаходимо площу прямокутної трапеції

Відомий окремий випадокпрямокутної трапеції. Це трапеція, у якої одна бічна сторона (її стегно) примикає до основ під прямим кутом. Вона має властивості звичайної трапеції. Крім цього, вона має дуже цікавою особливістю. Різниця квадратів діагоналей такої трапеції дорівнює різниці квадратів її основ. Для неї використовують усі раніше наведені методики обчислення площі.

Застосовуємо кмітливість

Є одна хитрість, яка може допомогти у разі забудькуватості специфічних формул. Розглянемо уважніше, що є трапеція. Якщо подумки розділити її на частини, ми отримаємо знайомі і зрозумілі геометричні фігури: квадрат чи прямокутник і трикутник (один чи два). Якщо відомі висота та сторони трапеції, можна скористатися формулами площі трикутника та прямокутника, після чого скласти всі отримані величини.

Проілюструємо це наступним прикладом. Дано прямокутну трапецію. Кут C = 45 °, кути A, D становлять 90 °. Верхня основа трапеції дорівнює 20 см, висота дорівнює 16 см. Потрібно обчислити площу фігури.

Дана фігура очевидно складається з прямокутника (якщо два кути дорівнюють 90°) і трикутника. Так як трапеція прямокутна, отже її висота дорівнює її бічній стороні, тобто 16 см. Маємо прямокутник зі сторонами 20 і 16 см відповідно. Розглянемо тепер трикутник, кут якого дорівнює 45 °. Ми знаємо, що одна його сторона становить 16 см. Так як ця сторона є одночасно висотою трапеції (а нам відомо, що висота опускається на основу під прямим кутом), отже, другий кут трикутника дорівнює 90 °. Звідси кут трикутника, що залишився, становить 45°. Наслідком цього ми отримуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, що має дві сторони однакові. Значить, інша сторона трикутника дорівнює висоті, тобто 16 см. Залишилося обчислити площу трикутника та прямокутника і скласти отримані величини.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твору його катетів: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площа прямокутника дорівнює добутку його ширини на довжину: S = 20 * 16 = 320. Ми знайшли необхідне: площа трапеції S = 128 + 320 = 448 кв. див. Можна легко себе перевіряти ще раз, скориставшись наведеними вище формулами, відповідь буде ідентична.

Використовуємо формулу Піка

Насамкінець наведемо ще одну оригінальну формулу, яка допомагає шукати площу трапеції. Вона називається формулою Піка. Нею зручно користуватися, коли трапеція намальована на папері. Подібні завдання часто зустрічаються у матеріалах ГІА. Виглядає вона так:

S = M/2 + N - 1,

у цій формулі M – кількість вузлів, тобто. перетинів ліній фігури з лініями клітини на межах трапеції (помаранчеві точки на малюнку), N – кількість вузлів усередині фігури (сині точки). Найзручніше користуватися нею при знаходженні площі неправильного багатокутника. Проте, що більше арсенал використовуваних методик, то менше помилокі кращі результати.

Зрозуміло, наведеними відомостями далеко ще не вичерпуються типи та властивості трапеції, і навіть способи пошуку її площі. У цій статті наведено огляд найважливіших її характеристик. У вирішенні геометричних завдань важливо діяти поступово, починати з легких формул і завдань, послідовно закріплювати розуміння, переходити на інший рівень складності.

Зібрані воєдино найпоширеніші формули допоможуть учням зорієнтуватися у різноманітних способах обчислення площі трапеції та якісніше підготуватися до тестів та контрольним роботампо цій темі.

Трапеція - це особливий вид чотирикутника, у якого дві протилежні сторони паралельні одна одній, а дві інші - ні. Трапецеїдальну форму мають різні реальні об'єкти, тому вам може знадобитися розрахувати периметр такої геометричної фігури для вирішення повсякденних чи шкільних завдань.

Геометрія трапеції

Трапеція (від грецьк. «трапезіон» - стіл) - це постать на площині, обмежена чотирма відрізками, два з яких паралельні, а два - ні. Паралельні відрізки звуться основ трапеції, а непаралельні - бічних сторін фігури. Бічні сторони та їх кути нахилу визначають вид трапеції, яка може бути різнобічною, рівнобедреною чи прямокутною. Крім основ та бічних сторін, трапеція має ще два елементи:

• висота - відстань між паралельними основами фігури;
• середня лінія – відрізок, що з'єднує середини бічних сторін.

Дана геометрична фігурашироко поширена у реальному житті.

Трапеція насправді

У повсякденному життітрапецеїдальну форму набувають багато реальних предметів. Ви легко знайдете трапеції у наступних сферах людської діяльності:

• дизайн інтер'єрів та декор - дивани, стільниці, стіни, килими, підвісні стелі;
• ландшафтний дизайн - межі газонів та штучних водойм, Форми декоративних елементів;
• мода - форма одягу, взуття та аксесуарів;
• архітектура - вікна, стіни, основи будівель;
• виробництво - різні виробита деталі.

При такій широкому використанніТрапецій спеціалістам часто доводиться обчислювати периметр геометричної фігури.

Периметр трапеції

Периметр фігури – це числова характеристика, яка розраховується як сума довжин усіх сторін n-кутника. Трапеція – це чотирикутник і у загальному випадку всі його сторони мають різну довжинутому периметр розраховується за формулою:

P = a + b + c + d,

де a і c – підстави фігури, b та d – її бічні сторони.

Незважаючи на те, що при обчисленні периметра трапеції нам не потрібно дізнаватися висоту, програмний код калькулятора вимагає введення цієї змінної. Так як висота ніяк не впливає на обчислення, при використанні нашого онлайн-калькулятора ви можете ввести будь-яке значення висоти, яке більше за нуль. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Хустка

Допустимо, у вас є хустка у формі трапеції, і ви хочете обробити її бахромою. Вам знадобиться дізнатися периметр хустки, щоб не купити зайвого матеріалуабо не ходити в магазин двічі. Нехай ваша рівнобедрена хустка має наступні параметри: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваємо ці дані в онлайн-форму і отримуємо відповідь у вигляді:

Таким чином, периметр хустки становить 340 см, і саме такої довжини має бути тасьма бахроми для її обробки.

Укоси

Наприклад, ви вирішили зробити укоси для нестандартних металопластикових віконякі мають трапецеїдальну форму. Такі вікна широко використовуються для дизайну будівель, створюючи композицію з декількох стулок. Найчастіше такі вікна виконуються у вигляді прямокутної трапеції. Давайте з'ясуємо, скільки матеріалу потрібно для укосів такого вікна. Стандартне вікномає наступні параметри a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см. Використовуємо ці дані та отримаємо результат у вигляді

Отже, периметр трапецієподібного вікнаскладає 390 см, і саме стільки вам знадобиться купити пластикових панелейдля формування укосів.

Висновок

Трапеція - популярна у повсякденності фігура, визначення параметрів якої може знадобитися у найнесподіваніших ситуаціях. Розрахунок периметрів трапецією необхідний багатьом професіоналам: від інженерів та архітекторів до дизайнерів та механіків. Наш каталог онлайн-калькуляторів дозволить вам виконати розрахунки для будь-яких геометричних фігур та тіл.

І. Тепер можна приступити до розгляду питання, як знайти площу трапеції. Це завдання в побуті виникає дуже рідко, але іноді виявляється необхідною, наприклад, щоб знайти площу кімнати у формі трапеції, які все частіше застосовують при будівництві сучасних квартир, або у дизайн-проектах з ремонту.

Трапеція - це геометрична фігура, утворена чотирма відрізками, що перетинаються, два з яких паралельні між собою і називаються основами трапеції. Два інші відрізки називаються сторонами трапеції. Крім того, надалі нам знадобиться ще одне визначення. Це середня лінія трапеції, яка є відрізком, що з'єднує середини бічних сторін і висота трапеції, яка дорівнює відстані між основами.
Як і у трикутників, у трапеція є приватні види у вигляді рівнобедреної (рівнобічної) трапеції, у якої довжина бічних сторін однакові і прямокутної трапеції, у якої одна зі сторін утворює з основами прямий кут.

Трапеції мають деякі цікаві властивості:

1. Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм.
   
2. У рівнобедрених трапецій бічні сторони та кути які вони утворюють з основами рівні.
   
3. Середини діагоналей трапеції та точка перетину її діагоналей знаходяться на одній прямій.
   
4. Якщо сума бічних сторін трапеції дорівнює сумі підстав, то до неї можна вписати коло
   
5. Якщо сума кутів, утворених сторонами трапеції у будь-якого її основи дорівнює 90, то довжина відрізка, що з'єднує середини основ, дорівнює їх напіврізності.
   
6. Рівностегнову трапецію можна описати колом. І навпаки. Якщо в трапеція вписується в коло, значить вона рівностегна.
   
7. Відрізок, що проходить через середини основ рівнобедреної трапеції, буде перпендикулярний її основам і являє собою вісь симетрії.
   

Як знайти площу трапеції.

Площа трапеції дорівнюватиме напівсумі її основ, помноженої на висоту. У вигляді формули це записується у вигляді виразу:

де S-площа трапеції, a,b-довжина кожної з основ трапеції, h-висота трапеції.

Зрозуміти і запам'ятати цю формулу можна так. Як випливає з малюнка нижче трапецію з використанням середньої лінії можна перетворити на прямокутник, довжина якого і дорівнюватиме напівсумі основ.

Можна також будь-яку трапецію розкласти на більше прості фігури: прямокутник і один, або два трикутники і якщо вам так простіше, то знайти площу трапеції, як суму площ складових її фігур.

Є ще одна проста формула для підрахунку її площі. Відповідно до неї площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту трапеції та записується у вигляді: S = m*h, де S-площа, m-довжина середньої лінії, h-висота трапеції. Ця формулабільше підходить для задач з математики, ніж для побутових завдань, оскільки реальних умовахвам не буде відома довжина середньої лінії без попередніх розрахунків. А відомі вам будуть лише довжини основ та бічних сторін.

У цьому випадку площа трапеції може бути знайдена за такою формулою:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

де S-площа, a,b-підстави, c,d-бічні сторони трапеції.

Існує ще кілька способів того, як знайти площі трапеції. Але, вони також незручні як і остання формула, отже немає сенсу ними зупинятися. Тому рекомендуємо вам користуватися першою формулою зі статті та бажаємо завжди отримувати точні результати.