n тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Тэгшитгэлийн системийн хоёр төрлийн шийдлийг шинжлэхийг үзье.

1. Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.
2. Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах аргаарТа энгийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй:
1. Экспресс. Аливаа тэгшитгэлээс бид нэг хувьсагчийг илэрхийлдэг.
2. Орлуулах. Бид гарсан утгыг илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Шийдэхийн тулд системхэрэгтэй:
1. Бид ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонго.
2. Бид тэгшитгэлийг нэмэх буюу хасахын үр дүнд нэг хувьсагчтай тэгшитгэл үүсдэг.
3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Системийн шийдэл нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.

Жишээнүүдийг ашиглан системийн шийдлийг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ №1:

Орлуулах аргаар шийдье

Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

2x+5y=1 (1 тэгшитгэл)
x-10y=3 (2-р тэгшитгэл)

1. Экспресс
Хоёр дахь тэгшитгэлд 1 коэффициенттэй х хувьсагч байгааг харж болно, энэ нь хоёр дахь тэгшитгэлээс х хувьсагчийг илэрхийлэхэд хамгийн хялбар гэсэн үг юм.
x=3+10y

2.Бид үүнийг илэрхийлсний дараа эхний тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд 3+10y-г орлуулна.
2(3+10y)+5y=1

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд.
2(3+10y)+5y=1 (хаалт нээх)
6+20ж+5у=1
25 нас=1-6
25y=-5 |: (25)
у=-5:25
y=-0.2

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцлын цэгүүд тул бид x ба y-ийг олох хэрэгтэй, учир нь огтлолцлын цэг нь x ба y-ээс бүрддэг тул бид үүнийг илэрхийлсэн эхний цэг дээр y-г орлоно.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Нэгдүгээрт бид x хувьсагч, хоёрдугаарт у хувьсагчийг бичдэг цэгүүдийг бичдэг заншилтай.
Хариулт: (1; -0.2)

Жишээ №2:

Нэр томьёогоор нэмэх (хасах) аргыг ашиглан шийдье.

Нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

3x-2y=1 (1 тэгшитгэл)
2x-3y=-10 (2-р тэгшитгэл)

1. Бид хувьсагчийг сонгосон, x-г сонгосон гэж бодъё. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч нь 3 коэффициенттэй, хоёр дахь нь - 2. Бид коэффициентүүдийг ижил болгох хэрэгтэй, үүний тулд бид тэгшитгэлийг үржүүлэх эсвэл дурын тоогоор хуваах эрхтэй. Бид эхний тэгшитгэлийг 2-оор, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлж, нийт 6 коэффициентийг авна.

3x-2y=1 |*2
6х-4у=2

2х-3у=-10 |*3
6х-9у=-30

2. Х хувьсагчаас салахын тулд эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасаад шугаман тэгшитгэлийг шийд.
__6x-4y=2

5у=32 | :5
y=6.4

3. x-г ол. Бид олсон y-г аль нэг тэгшитгэлд орлуулж, эхний тэгшитгэлд оруулъя.
3х-2у=1
3х-2*6.4=1
3х-12.8=1
3х=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Уулзвар цэг нь x=4.6; y=6.4
Хариулт: (4.6; 6.4)

Та шалгалтандаа үнэ төлбөргүй бэлдмээр байна уу? Онлайн багш үнэгүй. Тоглоомгүй.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Хүчин чадал буюу экспоненциал тэгшитгэл нь хувьсагч нь зэрэглэлд, суурь нь тоо байх тэгшитгэл юм. Жишээлбэл:

Экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл 2 болж буурна энгийн үйлдлүүд:

1. Баруун болон зүүн талын тэгшитгэлийн суурь ижил эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв шалтгаан нь ижил биш бол бид энэ жишээг шийдэх хувилбаруудыг хайж байна.

2. Суурь нь ижил болсны дараа бид градусыг тэнцүүлж, үүссэн шинэ тэгшитгэлийг шийднэ.

Өгөгдсөн гэж үзье экспоненциал тэгшитгэл дараах төрөл:

Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг үндсэн дүн шинжилгээнээс эхлэх нь зүйтэй. Суурь нь өөр - 2 ба 4, гэхдээ тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид ижил байх шаардлагатай тул бид дараах томъёог ашиглан 4-ийг хувиргана -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Бид анхны тэгшитгэлд нэмнэ:

Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая \

илэрхийлье \

Зэрэг нь ижил тул бид тэдгээрийг хаядаг:

Хариулт: \

Би онлайн шийдэгч ашиглан экспоненциал тэгшитгэлийг хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Онлайн тэгшитгэл шийдвэрлэх үйлчилгээ нь аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусална. Манай сайтыг ашигласнаар та тэгшитгэлийн хариултыг хүлээн авахаас гадна харах болно нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг алхам алхмаар харуулах. Манай үйлчилгээ ахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй болно дунд сургуулиудболон тэдний эцэг эх. Оюутнууд шалгалт, шалгалтанд бэлдэж, мэдлэгээ сорьж, эцэг эхчүүд хүүхдүүдээрээ математикийн тэгшитгэлийн шийдлийг хянах боломжтой болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар - заавал биелүүлэх шаардлагасургуулийн сурагчдад. Энэхүү үйлчилгээ нь таныг математикийн тэгшитгэлийн чиглэлээр өөрийгөө сургаж, мэдлэгээ дээшлүүлэхэд тусална. Үүний тусламжтайгаар та ямар ч тэгшитгэлийг шийдэж чадна: квадрат, куб, иррационал, тригонометр гэх мэт. Ашиг тус онлайн үйлчилгээзөв хариултаас гадна тэгшитгэл бүрийн нарийвчилсан шийдлийг хүлээн авдаг тул үнэлж баршгүй юм. Тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн ашиг тус. Та манай вэбсайт дээр ямар ч тэгшитгэлийг онлайнаар үнэ төлбөргүй шийдэж болно. Үйлчилгээ нь бүрэн автомат бөгөөд та компьютер дээрээ юу ч суулгах шаардлагагүй, та өгөгдлийг оруулахад хангалттай бөгөөд програм нь танд шийдлийг өгөх болно. Тооцооллын алдаа, үсгийн алдааг оруулахгүй. Бидний хувьд ямар ч тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх нь маш хялбар байдаг тул ямар ч төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд манай сайтыг ашиглахаа мартуузай. Та зөвхөн өгөгдлийг оруулахад хангалттай бөгөөд тооцоолол хэдхэн секундын дотор дуусна. Хөтөлбөр нь хүний ​​оролцоогүйгээр бие даан ажилладаг бөгөөд та үнэн зөв, дэлгэрэнгүй хариултыг хүлээн авах болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий үзэл. Ийм тэгшитгэлд хувьсах коэффициентүүд болон хүссэн язгуурууд хоорондоо холбоотой байдаг. Хувьсагчийн хамгийн их чадал нь ийм тэгшитгэлийн дарааллыг тодорхойлдог. Үүний үндсэн дээр тэгшитгэлийг ашиглана янз бүрийн аргашийдлийг олох теоремууд. Тэгшитгэл шийдвэрлэх энэ төрлийншаардлагатай үндсийг ерөнхий хэлбэрээр олохыг хэлнэ. Манай үйлчилгээ танд хамгийн төвөгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх боломжийг олгодог. Та тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон өөрийн тодорхойлсон коэффициентүүдийн тоон утгуудын тодорхой шийдлийг олж авах боломжтой. Вэбсайт дээрх алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зүүн ба баруун тал гэсэн хоёр талбарыг зөв бөглөхөд хангалттай. өгөгдсөн тэгшитгэл. У алгебрийн тэгшитгэлхувьсах коэффициент бүхий хязгааргүй тооны шийдлүүд байдаг бөгөөд тодорхой нөхцөлийг тогтоосноор шийдлүүдийн багцаас хувийн шийдлүүдийг сонгодог. Квадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэл нь a>0-ийн хувьд ax^2+bx+c=0 хэлбэртэй байна. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь ax^2+bx+c=0 тэгшитгэлийг хангасан x-ийн утгыг олох явдал юм. Үүний тулд D=b^2-4ac томьёог ашиглан ялгах утгыг ол. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй болно (үндэс нь талбараас байна) нийлмэл тоо), хэрэв тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай, хэрэв дискриминант нь тэгээс их бол тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай байх бөгөөд эдгээрийг D= -b+-sqrt/2a томъёогоор олно. Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн коэффициентийг (бүхэл тоо, бутархай эсвэл аравтын бутархай) оруулахад л хангалттай. Хэрэв тэгшитгэлд хасах тэмдэг байгаа бол та тэгшитгэлийн харгалзах нөхцлийн өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой. Шийдэх квадрат тэгшитгэлонлайн ба параметрээс хамаарч, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициент дэх хувьсагчдаас хамаарна. олох манай онлайн үйлчилгээ ерөнхий шийдлүүд. Шугаман тэгшитгэл. Шугаман тэгшитгэлийг (эсвэл тэгшитгэлийн системийг) шийдвэрлэхийн тулд практикт дөрвөн үндсэн аргыг ашигладаг. Бид арга тус бүрийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Орлуулах арга. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг хувьсагчийг бусад хувьсагчаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүний дараа илэрхийлэлийг системийн бусад тэгшитгэлд орлуулна. Тиймээс шийдлийн аргын нэр, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн оронд түүний илэрхийлэл нь үлдсэн хувьсагчидаар солигддог. Практикт энэ арга нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг боловч ойлгоход хялбар байдаг тул ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх нь цаг хугацаа хэмнэж, тооцоолол хийхэд хялбар болно. Та зүгээр л тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх тоог зааж, шугаман тэгшитгэлээс өгөгдлийг бөглөх хэрэгтэй, тэгвэл үйлчилгээ нь тооцооллыг хийнэ. Гауссын арга. Энэ арга нь ижил төстэй гурвалжин системд хүрэхийн тулд системийн хамгийн энгийн хувиргалт дээр суурилдаг. Үүнээс үл мэдэгдэх зүйлсийг нэг нэгээр нь тодорхойлдог. Практикт ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх шаардлагатай байдаг Дэлгэрэнгүй тодорхойлолт, үүний ачаар та шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын талаар сайн ойлголттой болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийг зөв хэлбэрээр бичиж, системийг зөв шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх тоог харгалзан үзнэ. Крамерын арга. Энэ арга нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Үндсэн математик үйлдэлЭнд матрицын тодорхойлогчдын тооцоо байна. Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь онлайнаар хийгддэг бөгөөд та үр дүнг бүрэн, нарийвчилсан тайлбартайгаар шууд хүлээн авах болно. Системийг коэффициентээр дүүргэж, үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоог сонгоход л хангалттай. Матрицын арга. Энэ арга нь А матрицад үл мэдэгдэх, X баганад үл мэдэгдэх, В баганад чөлөөт гишүүний коэффициентийг цуглуулахаас бүрдэнэ.Иймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг AxX = B хэлбэрийн матрицын тэгшитгэл болгон бууруулна. Энэ тэгшитгэл нь А матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай, эс бөгөөс системд шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байх тохиолдолд л өвөрмөц шийдэлтэй байна. Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь олох явдал юм урвуу матрицА.

I. сүх 2 =0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b=0, c=0 ). Шийдэл: x=0. Хариулт: 0.

Тэгшитгэлийг шийдэх.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Шийдэл.Үржүүлэх замаар хаалтуудыг нээцгээе 2xнэр томъёо бүрийн хувьд хаалтанд:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Бид нөхцөлүүдийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлнэ:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

3x 2 =0, иймээс x=0.

Хариулт: 0.

II. сүх 2 +bx=0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (c=0 ). Шийдэл: x (ax+b)=0 → x 1 =0 эсвэл ax+b=0 → x 2 =-b/a. Хариулт: 0; -б/а.

5х 2 -26х=0.

Шийдэл.Нийтлэг хүчин зүйлийг авч үзье Xхаалтны гадна талд:

x(5x-26)=0; хүчин зүйл бүр тэгтэй тэнцүү байж болно:

x=0эсвэл 5х-26=0→ 5x=26, тэгш байдлын хоёр талыг хуваа 5 ба бид дараахийг авна: x=5.2.

Хариулт: 0; 5,2.

Жишээ 3. 64x+4x 2 =0.

Шийдэл.Нийтлэг хүчин зүйлийг авч үзье 4xхаалтны гадна талд:

4x(16+x)=0. Бид гурван хүчин зүйлтэй, 4≠0, тиймээс, эсвэл x=0эсвэл 16+x=0. Сүүлийн тэгшитгэлээс бид x=-16 болно.

Хариулт: -16; 0.

Жишээ 4.(x-3) 2 +5x=9.

Шийдэл.Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашигласнаар бид хаалт нээх болно.

x 2 -6x+9+5x=9; хэлбэрт хувиргах: x 2 -6x+9+5x-9=0; Үүнтэй төстэй нэр томъёог танилцуулъя:

x 2 -x=0; бид үүнийг гаргана XХаалтны гадна талд бид: x (x-1)=0 болно. Эндээс эсвэл x=0эсвэл x-1=0→ x=1.

Хариулт: 0; 1.

III. сүх 2 +c=0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b=0 ); Шийдэл: сүх 2 =-c → x 2 =-c/a.

Хэрэв (-c/a)<0 , тэгвэл жинхэнэ үндэс байхгүй болно. Хэрэв (-с/а)>0

Жишээ 5. x 2 -49=0.

Шийдэл.

x 2 =49, эндээс x=±7. Хариулт:-7; 7.

Жишээ 6. 9х 2 -4=0.

Шийдэл.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийн язгуурын квадратуудын нийлбэр (x 1 2 + x 2 2) эсвэл шоо нийлбэр (x 1 3 + x 2 3) -ийг олох шаардлагатай байдаг, ихэнхдээ - нийлбэр. харилцан үнэ цэнэквадрат язгуур буюу арифметикийн нийлбэр квадрат үндэсквадрат тэгшитгэлийн язгуураас:

Виетийн теорем үүнд тусална.

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

илэрхийлье дамжуулан хТэгээд q:

1) тэгшитгэлийн язгуурын квадратуудын нийлбэр x 2 +px+q=0;

2) тэгшитгэлийн язгууруудын шоо нийлбэр x 2 +px+q=0.

Шийдэл.

1) Илэрхийлэл x 1 2 + x 2 2тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар олж авна x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; хаалт нээх: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; бид шаардлагатай хэмжээг илэрхийлнэ: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Бид ашигтай тэгш байдлыг олж авсан: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Илэрхийлэл x 1 3 + x 2 3Кубуудын нийлбэрийг дараах томъёогоор илэрхийлье.

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Өөр нэг ашигтай тэгшитгэл: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Жишээ.

3) x 2 -3x-4=0.Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр илэрхийллийн утгыг тооцоол x 1 2 + x 2 2.

Шийдэл.

x 1 +x 2 =-p=3,болон ажил x 1 ∙x 2 =q=жишээнд 1) тэгш байдал:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.Бидэнд байгаа -х=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Дараа нь x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Хариулт: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.Тооцоол: x 1 3 +x 2 3 .

Шийдэл.

Виетийн теоремоор энэ бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь x 1 +x 2 =-p=2,болон ажил x 1 ∙x 2 =q=-4. Хүлээн авсан зүйлээ хэрэгжүүлцгээе ( жишээ 2 дээр) тэгш байдал: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Хариулт: x 1 3 +x 2 3 =32.

Асуулт: Хэрэв бидэнд буураагүй квадрат тэгшитгэл өгвөл яах вэ? Хариулт: Нэгдүгээр коэффициентээр нэр томъёог хуваах замаар үүнийг үргэлж "багасгаж" болно.

5) 2х 2 -5х-7=0.Шийдвэрлэхгүйгээр тооцоол: x 1 2 + x 2 2.

Шийдэл.Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн. Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т (эхний коэффициент) хувааж, дараах квадрат тэгшитгэлийг ол. x 2 -2.5x-3.5=0.

Виетийн теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байна 2,5 ; үндэсийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байна -3,5 .

Бид үүнийг жишээний адилаар шийддэг 3) тэгш байдлыг ашиглан: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Хариулт: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.Олно:

Энэ тэгш байдлыг хувиргаж, Виетийн теоремыг ашиглан язгууруудын нийлбэрийг орлуулцгаая -х, болон дамжуулан үндэс бүтээгдэхүүн q, бид өөр нэг ашигтай томъёог олж авдаг. Томьёог гаргахдаа бид тэгшитгэл 1-ийг ашигласан): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Бидний жишээнд x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Бид эдгээр утгыг үүссэн томъёонд орлуулна.

7) x 2 -13x+36=0.Олно:

Энэ нийлбэрийг хувиргаж, квадрат тэгшитгэлийн язгуураас арифметик квадрат язгууруудын нийлбэрийг олох томьёог гаргая.

Бидэнд байгаа x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Бид эдгээр утгыг үүссэн томъёонд орлуулна.

Зөвлөгөө : Та квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох боломжтой эсэхийг үргэлж шалгаарай тохиромжтой аргаар, Эцэст нь 4 хянан үзсэн ашигтай томъёо ялангуяа ялгаварлан гадуурхагч нь "тохиромжгүй" тоо байгаа тохиолдолд даалгаврыг хурдан гүйцэтгэх боломжийг танд олгоно. Бүгдээрээ энгийн тохиолдлуудүндсийг нь олж түүн дээр ажиллана. Жишээлбэл, in сүүлчийн жишээВиетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгоцгооё: язгууруудын нийлбэр тэнцүү байх ёстой 13 , мөн үндэсийн бүтээгдэхүүн 36 . Эдгээр тоо юу вэ? Мэдээж, 4 ба 9.Одоо эдгээр тоонуудын квадрат язгуурын нийлбэрийг тооцоол. 2+3=5. Ингээд л болоо!

И.Вьетагийн теорембууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 +px+q=0нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Виетийн теоремыг ашиглан өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Жишээ 1) x 2 -x-30=0.Энэ бол багасгасан квадрат тэгшитгэл юм ( x 2 +px+q=0), хоёр дахь коэффициент p=-1, мөн чөлөөт гишүүн q=-30.Эхлээд энэ тэгшитгэл нь үндэстэй, үндэс (хэрэв байгаа бол) бүхэл тоогоор илэрхийлэгдэх эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд ялгаварлагч нь бүхэл тооны төгс квадрат байхад л хангалттай.

Ялгаварлагчийг олох Д=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Одоо, Вьетнамын теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. ( -х), бүтээгдэхүүн нь чөлөөт хугацаатай тэнцүү, i.e. ( q). Дараа нь:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.Бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байхаар бид хоёр тоог сонгох хэрэгтэй -30 , мөн хэмжээ нь байна нэгж. Эдгээр нь тоо юм -5 Тэгээд 6 . Хариулт: -5; 6.

Жишээ 2) x 2 +6x+8=0.Бид хоёр дахь коэффициент бүхий бууруулсан квадрат тэгшитгэлтэй байна p=6мөн чөлөөт гишүүн q=8. Бүхэл язгуур байгаа эсэхийг шалгацгаая. Ялгаварлагчийг олцгооё D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 нь тооны төгс квадрат юм 1 , энэ нь энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо гэсэн үг юм. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгоцгооё: язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байна –р=-6, ба үндэсийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байна q=8. Эдгээр нь тоо юм -4 Тэгээд -2 .

Үнэн хэрэгтээ: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Хариулт: -4; -2.

Жишээ 3) x 2 +2x-4=0. Энэ багасгасан квадрат тэгшитгэлд хоёр дахь коэффициент p=2, мөн чөлөөт гишүүн q=-4. Ялгаварлагчийг олцгооё D 1, хоёр дахь коэффициент нь тэгш тоо тул. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ялгаварлагч нь тооны төгс квадрат биш тул бид үүнийг хийдэг дүгнэлт: Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо биш бөгөөд Виетийн теоремыг ашиглан олох боломжгүй.Энэ нь бид энэ тэгшитгэлийг ердийнх шигээ томъёог ашиглан шийддэг гэсэн үг юм энэ тохиолдолдтомъёоны дагуу). Бид авах:

Жишээ 4).Хэрэв язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэл бич x 1 =-7, x 2 =4.

Шийдэл.Шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ. x 2 +px+q=0, ба, Вьетагийн теорем дээр үндэслэсэн –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. x 2 +3x-28=0.

Жишээ 5).Дараах тохиолдолд язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэл бич.

II. Вьетагийн теоремБүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд сүх 2 +bx+c=0.

Үндэсний нийлбэр нь хасах юм б, хуваана А, үндэсийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна -тай, хуваана Х:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Жишээ 6).Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол 2х 2 -7х-11=0.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь үндэстэй гэдэгт бид итгэлтэй байна. Үүнийг хийхийн тулд ялгаварлагчийн илэрхийлэл үүсгэхэд хангалттай бөгөөд үүнийг тооцоолохгүйгээр ялгаварлагч нь тэгээс их байгаа эсэхийг шалгаарай. Д=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Одоо ашиглацгаая теорем Вьетнамбүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Жишээ 7). Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг ол 3х 2 +8х-21=0.

Шийдэл.

Ялгаварлагчийг олцгооё D 1, хоёр дахь коэффициентээс хойш ( 8 ) нь тэгш тоо юм. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадрат тэгшитгэл нь байна 2 үндэс нь Вьетнамын теоремын дагуу үндэсийн үржвэр юм x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. сүх 2 +bx+c=0- ерөнхий квадрат тэгшитгэл

Ялгаварлан гадуурхагч D=b 2 - 4ac.

Хэрэв D>0, тэгвэл бид хоёр жинхэнэ үндэстэй болно:

Хэрэв D=0, тэгвэл бид нэг үндэстэй (эсвэл хоёр тэнцүү үндэстэй) x=-b/(2a).

Хэрэв Д<0, то действительных корней нет.

Жишээ 1) 2х 2 +5х-3=0.

Шийдэл. а=2; б=5; в=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 жинхэнэ үндэс.

4х 2 +21х+5=0.

Шийдэл. а=4; б=21; в=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 жинхэнэ үндэс.

II. сүх 2 +bx+c=0 – тодорхой хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл секунд ч гэсэн

коэффициент б

Жишээ 3) 3х 2 -10х+3=0.

Шийдэл. а=3; б=-10 (тэгш тоо); в=3.

Жишээ 4) 5х 2 -14х-3=0.

Шийдэл. а=5; б= -14 (тэгш тоо); в=-3.

Жишээ 5) 71x 2 +144x+4=0.

Шийдэл. а=71; б=144 (тэгш тоо); в=4.

Жишээ 6) 9х 2 -30х+25=0.

Шийдэл. а=9; б=-30 (тэгш тоо); в=25.

III. сүх 2 +bx+c=0 – квадрат тэгшитгэл хувийн төрлийг өгсөн: a-b+c=0.

Эхний үндэс нь үргэлж хасах нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь үндэс нь үргэлж хасахтай тэнцүү байна -тай, хуваана А:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Жишээ 7) 2х 2 +9х+7=0.

Шийдэл. а=2; б=9; в=7. Тэгш байдлыг шалгая: a-b+c=0.Бид авах: 2-9+7=0 .

Дараа нь x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.Хариулт: -1; -3,5.

IV. сүх 2 +bx+c=0 – хамаарах тодорхой хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл : a+b+c=0.

Эхний үндэс нь үргэлж нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь үндэс нь тэнцүү байна -тай, хуваана А:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Жишээ 8) 2х 2 -9х+7=0.

Шийдэл. а=2; б=-9; в=7. Тэгш байдлыг шалгая: a+b+c=0.Бид авах: 2-9+7=0 .

Дараа нь x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.Хариулт: 1; 3,5.

1 хуудасны 1 1

Тэгшитгэл

Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энэ хэсэгт бид хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийг эргэн санах болно (эсвэл таны сонгосон хүнээс хамааран судлах). Тэгэхээр тэгшитгэл юу вэ? Хүний хэлээр бол энэ нь тэнцүү тэмдэг болон үл мэдэгдэх нэг төрлийн математик илэрхийлэл юм. Үүнийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг "X". Тэгшитгэлийг шийд- энэ нь орлуулах үед x-ийн утгыг олох явдал юм эхилэрхийлэл нь бидэнд зөв таних тэмдэг өгөх болно. Математикийн мэдлэгт туйлын ачаалал өгдөггүй хүний ​​хувьд ч мөн чанар нь эргэлзээгүй илэрхийлэл гэдгийг танд сануулъя. 2=2, 0=0, ab=ab гэх мэт. Тэгэхээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?Үүнийг олж мэдье.

Бүх төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (би гайхаж байна, тийм ээ?). Гэхдээ тэдний хязгааргүй олон янз байдлыг зөвхөн дөрвөн төрөлд хувааж болно.

4. Бусад.)

Бусад бүх зүйл, мэдээжийн хэрэг, хамгийн гол нь, тийм ээ ...) Үүнд куб, экспоненциал, логарифм, тригонометр болон бусад бүх зүйл орно. Бид холбогдох хэсгүүдэд тэдэнтэй нягт хамтран ажиллах болно.

Заримдаа тэгшитгэлийг би шууд хэлье эхний гуравТэд төрлүүдийг маш их хуурах тул та тэднийг танихгүй байх болно ... Юу ч биш. Бид тэднийг хэрхэн тайвшруулахыг сурах болно.

Энэ дөрвөн төрөл яагаад бидэнд хэрэгтэй байна вэ? Тэгээд юу гэж шугаман тэгшитгэл нэг аргаар шийдсэн дөрвөлжинбусад, бутархай рациональ - гуравдугаарт,А амрахТэд огт зүрхлэхгүй байна! За, тэд огт шийдэж чадахгүй байгаадаа биш, би математикийн хувьд буруу байсан юм.) Зүгээр л тэд өөрсдийн гэсэн тусгай арга, арга барилтай байдаг.

Гэхдээ аль ч тохиолдолд (би давтан хэлэхэд - төлөө ямар ч!) тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх найдвартай бөгөөд бүтэлгүйтлийн аюулгүй суурь болдог. Хаа сайгүй, үргэлж ажилладаг. Энэ суурь - Энэ нь аймшигтай сонсогдож байгаа ч энэ нь маш энгийн. Бас маш (Маш!)чухал.

Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэлийн шийдэл нь эдгээр өөрчлөлтүүдээс бүрддэг. 99% Асуултын хариулт: " Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" яг эдгээр өөрчлөлтүүдэд оршдог. Санамж тодорхой байна уу?)

Тэгшитгэлийн ижил хувиргалт.

IN аливаа тэгшитгэлҮл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд та анхны жишээг хувиргаж, хялбаршуулах хэрэгтэй. Тэгээд солих үед тийм Гадаад төрх тэгшитгэлийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй.Ийм хувиргалтыг гэж нэрлэдэг адилханэсвэл түүнтэй адилтгах.

Эдгээр өөрчлөлтүүд хамаарна гэдгийг анхаарна уу ялангуяа тэгшитгэлд.Математикт мөн чанарын өөрчлөлтүүд байдаг илэрхийллүүд.Энэ бол өөр сэдэв.

Одоо бид бүгдийг, бүгдийг, бүгдийг нь давтах болно тэгшитгэлийн ижил хувиргалт.

Үндсэн учраас тэдгээрийг хэрэглэж болно ямар чтэгшитгэлүүд - шугаман, квадрат, бутархай, тригонометр, экспоненциал, логарифм гэх мэт. гэх мэт.

Анхны таних өөрчлөлт: та ямар ч тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх (хасах) боломжтой ямар ч(гэхдээ нэг бөгөөд ижил!) тоо эсвэл илэрхийлэл (үүнд үл мэдэгдэх илэрхийлэл орно!). Энэ нь тэгшитгэлийн мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Дашрамд хэлэхэд, та энэ хувиргалтыг байнга ашигладаг байсан, та зүгээр л зарим нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү тэмдгээр шилжүүлж байна гэж бодсон. Төрөл:

Тохиолдол нь танил тул бид хоёрыг баруун тийш шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна.

Үнэндээ чи салган авсантэгшитгэлийн хоёр талаас хоёр байна. Үр дүн нь ижил байна:

x+2 - 2 = 3 - 2

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр нэр томьёог зүүн, баруун тийш шилжүүлэх нь анхны таних тэмдэг хувиргалтын товчилсон хувилбар юм. Бидэнд яагаад ийм гүн гүнзгий мэдлэг хэрэгтэй байна вэ? - Та асуух. Тэгшитгэлд юу ч байхгүй. Бурханы төлөө, тэвчих. Зөвхөн тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай. Гэвч тэгш бус байдлын үед шилжүүлэх зуршил нь мухардалд хүргэдэг ...

Хоёр дахь таних өөрчлөлт: тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болно тэг биштоо эсвэл илэрхийлэл. Энд ойлгомжтой хязгаарлалт аль хэдийн гарч ирэв: тэгээр үржүүлэх нь тэнэг бөгөөд хуваах нь бүрэн боломжгүй юм. Энэ бол та ямар нэгэн гайхалтай зүйлийг шийдэхдээ ашигладаг өөрчлөлт юм

Энэ нь тодорхой байна X= 2. Та үүнийг яаж олсон бэ? Сонголтоор уу? Эсвэл зүгээр л чамд санагдав уу? Сонгох, ухаарал хүлээхгүй байхын тулд та шударга гэдгээ ойлгох хэрэгтэй тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваасангэхэд 5. Зүүн талыг (5x) хуваахдаа тавыг багасгаж, цэвэр X үлдээсэн. Энэ нь бидэнд яг хэрэгтэй зүйл юм. Мөн (10)-ын баруун талыг таваар хуваахад үр дүн нь мэдээж хоёр болно.

Тэгээд л болоо.

Энэ нь инээдтэй, гэхдээ эдгээр хоёр (хоёрхон!) ижил төстэй өөрчлөлтүүд нь шийдлийн үндэс юм Математикийн бүх тэгшитгэлүүд.Хөөх! Юу, яаж гэсэн жишээг харах нь утга учиртай, тийм үү?)

Тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалтын жишээ. Гол асуудлууд.

-ээс эхэлье эхлээдтаних тэмдгийн хувирал. Зүүнээс баруун тийш шилжүүлэх.

Залуучуудад зориулсан жишээ.)

Дараахь тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

3-2х=5-3х

Шившлэгийг санацгаая: "X-тэй - зүүн талд, X-гүй - баруун талд!"Энэ шившлэг нь анхны таних хувирлыг ашиглах заавар юм.) Баруун талд X тэмдэгтэй ямар илэрхийлэл вэ? 3x? Хариулт нь буруу байна! Бидний баруун талд - 3x! Хасахгурван х! Тиймээс зүүн тийш шилжих үед тэмдэг нь нэмэх болж өөрчлөгдөнө. Энэ нь гарах болно:

3-2х+3х=5

Тиймээс X-г овоолон цуглуулсан. Тоонууд руу орцгооё. Зүүн талд гурав байна. Ямар тэмдгээр? "Аль ч биш" гэсэн хариултыг хүлээж авахгүй!) Гуравын өмнө, үнэхээр юу ч зураагүй. Энэ нь гурвын өмнө байгаа гэсэн үг юм нэмэх.Тиймээс математикчид зөвшөөрөв. Юу ч бичээгүй, энэ нь гэсэн үг нэмэх.Тиймээс, in баруун талгурвалыг шилжүүлэх болно хасахтай.Бид авах:

-2х+3х=5-3

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. Зүүн талд - ижил төстэй зүйлийг авчир, баруун талд - тоол. Хариулт нь шууд ирдэг:

Энэ жишээнд нэг таних өөрчлөлт хангалттай байсан. Хоёр дахь нь хэрэггүй байсан. За яахав.)

Том хүүхдүүдэд зориулсан жишээ.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.