Шугаман интерполяцийн аргыг ашиглан завсрын утгыг тодорхойлох. Microsoft Excel дээр экстраполяци ашиглах

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Интерполяци-г үзнэ үү. Функцийн талаар үзнэ үү: Интерполант.

Интерполяци, интерполяци (-ааслат. Полис хоорондын - « гөлгөр, шинэчлэгдсэн, шинэчлэгдсэн; хөрвүүлсэн") - тооцооллын математикт, мэдэгдэж буй утгуудын одоо байгаа салангид багцаас хэмжигдэхүүний завсрын утгыг олох арга. "Интерполяци" гэсэн нэр томъёог Жон Уоллис "Хязгааргүйн арифметик" (1656) зохиолдоо анх ашигласан.

Функциональ шинжилгээнд интерполяци шугаман операторууднь Баначийн орон зайг тодорхой категорийн элемент гэж үздэг хэсэг юм.

Шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоолол хийдэг хүмүүсийн ихэнх нь эмпирик эсвэл санамсаргүй түүврийн аргаар олж авсан утгуудын багцтай ажиллах шаардлагатай болдог. Дүрмээр бол эдгээр багц дээр үндэслэн байж болох функцийг бий болгох шаардлагатай өндөр нарийвчлалбусад үр дүнгийн утгыг цохих. Энэ асуудлыг ойртуулах гэж нэрлэдэг. Интерполяци гэдэг нь бүтээгдсэн функцийн муруй нь байгаа өгөгдлийн цэгүүдээр яг дамждаг ойролцоо тооцооллын төрөл юм.

Заримыг нь ойртуулахаас бүрдэх интерполяцид ойрхон ажил бас бий нарийн төвөгтэй функцөөр, илүү энгийн функц. Хэрэв тодорхой функц нь бүтээмжтэй тооцоо хийхэд хэтэрхий төвөгтэй байвал та түүний утгыг хэд хэдэн цэг дээр тооцоолохыг оролдож, тэдгээрээс илүү хялбар функцийг интерполяци хийх боломжтой. Мэдээжийн хэрэг, хялбаршуулсан функцийг ашиглах нь ижил зүйлийг авах боломжийг танд олгодоггүй үнэн зөв үр дүн, үүнийг анхны функц өгөх болно. Гэхдээ зарим ангиллын асуудлын хувьд тооцооллын хялбар байдал, хурдны ололт амжилт нь үр дүнгийн алдаанаас илүү байж болно.

Оператор интерполяци гэгддэг огт өөр төрлийн математик интерполяцыг дурдах нь зүйтэй. Операторын интерполяцийн сонгодог бүтээлүүдэд Риесз-Торины теорем болон Марцинкевич теоремууд багтдаг бөгөөд эдгээр нь бусад олон ажлын үндэс болсон.

Тодорхойлолт

Зарим D мужаас x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) давхцаагүй цэгүүдийн системийг авч үзье. \displaystyle D) . f (\displaystyle f) функцийн утгуудыг зөвхөн эдгээр цэгүүдэд мэдэгдье.

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Интерполяцийн асуудал нь өгөгдсөн функцүүдийн классаас F (\displaystyle F) функцийг олох явдал юм.

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots,N.)

• x i (\displaystyle x_(i)) цэгүүдийг дуудна интерполяцийн зангилаа, тэдгээрийн нийт хэмжээ нь юм интерполяцийн сүлжээ.
• Хос (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) гэж нэрлэдэг өгөгдлийн цэгүүдэсвэл суурь цэгүүд.
• "Хөрш" утгуудын ялгаа Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - интерполяцийн сүлжээний алхам. Энэ нь хувьсах эсвэл тогтмол байж болно.
• F (x) функц (\displaystyle F(x)) - интерполяцийн функцэсвэл интерполянт.

Жишээ

1. Бидэнд өгье хүснэгтийн функц, доор тайлбарласантай адил бөгөөд энэ нь x (\displaystyle x)-ийн хэд хэдэн утгын хувьд f (\displaystyle f)-ийн харгалзах утгуудыг тодорхойлдог:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяци нь заасан цэгээс өөр цэг дээр ийм функц ямар утгатай болохыг мэдэхэд тусалдаг (жишээлбэл, хэзээ x = 2,5).

Одоогоор олон байна янз бүрийн аргааринтерполяци. Хамгийн тохиромжтой алгоритмыг сонгох нь сонгосон арга хэр үнэн зөв бэ, түүнийг ашиглахад ямар зардал гарах вэ, интерполяцийн функц хэр жигд байна, хичнээн өгөгдлийн цэг шаардлагатай вэ гэх мэт асуултын хариултаас хамаарна.

2. Завсрын утгыг ол (шугаман интерполяцаар).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000)(8000)-6.(f) 15.5))(1))=16.1993)

Програмчлалын хэл дээр

y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) функцийн шугаман интерполяцийн жишээ. Хэрэглэгч 1-ээс 10 хүртэлх тоог оруулах боломжтой.

Фортран

програм интерполын бүхэл тоо i бодит x, y, xv, yv, yv2 хэмжээс x(10) хэмжээс y(10) дуудлага prisv(x, i) дуудлага func(x, y, i) бичих(*,*) "тоо оруулна уу: " унш (*,*) xv хэрэв ((xv >= 1).ба.(xv xv)) бол yv2 ​​= ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) төгсгөл бол дэд хөтөлбөрийг дуусгах

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); давхар ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, статус; system("echo Interpolation X1 - X2 "); system("echo Enter тоо: "); cin >> ob; system("echo Жишээ нь 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; статус = x2 + (pi * skolko); cout

Интерполяцийн аргууд

Хамгийн ойрын хөршийн интерполяци

Интерполяцийн хамгийн энгийн арга бол хамгийн ойрын хөршийн интерполяцийн арга юм.

Олон гишүүнтийн интерполяци

Практикт олон гишүүнт интерполяцийг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь юуны түрүүнд олон гишүүнтийг тооцоолоход хялбар, тэдгээрийн деривативыг аналитик аргаар олоход хялбар, олон гишүүнтийн багц орон зайд нягт байдагтай холбоотой юм. тасралтгүй функцууд(Weierstrass теорем).

• Шугаман интерполяци
• Ньютоны интерполяцийн томъёо
• Төгсгөлийн ялгаа арга
• IMN-1 ба IMN-2
• Лагранж олон гишүүнт (интерполяцийн олон гишүүнт)
• Айткен схем
• Сплайн функц
• Куб сплайн

Урвуу интерполяци (өгөгдсөн y х-г тооцоолох)

• Лагранжийн олон гишүүнт
• Ньютоны томьёог ашиглан урвуу интерполяц
• Гауссын томъёог ашиглан урвуу интерполяци

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн интерполяци

• Хоёр шугаман интерполяци
• Бикуб интерполяци

Бусад интерполяцийн аргууд

• Рационал интерполяци
• Тригонометрийн интерполяци

Холбоотой ойлголтууд

• Экстраполяци - өгөгдсөн интервалаас гадуур цэгүүдийг олох аргууд (муруй өргөтгөл)
• Ойролцоогоор - ойролцоо муруйг барих аргууд

Урвуу интерполяци

Графикууд нь массивын (xi, yi) цэгүүдээр дамждаг С2 орон зайн функцүүдийн ангилалд i = 0, 1, . . . , м.

Шийдэл. Лавлах цэгүүдийг (xi, f(xi)) дайран өнгөрч, дурдсан орон зайд хамаарах бүх функцүүдийн дотроос S00(a) = S00(b) = 0 хилийн нөхцлийг хангасан куб сплайн S(x) юм. , энэ нь экстремум (хамгийн бага) функциональ I(f)-ийг хангадаг.

Ихэнх тохиолдолд практикт функцийн өгөгдсөн утгыг ашиглан аргументийн утгыг хайхад асуудал үүсдэг. Энэ асуудлыг урвуу интерполяцийн аргаар шийддэг. Хэрэв өгөгдсөн функцнь монотон, дараа нь урвуу интерполяц нь функцийг аргументаар сольж, эсрэгээр нь интерполяци хийх замаар хамгийн амархан хийгддэг. Хэрэв өгөгдсөн функц нь монотон биш бол энэ аргыг ашиглах боломжгүй. Дараа нь функц болон аргументуудын үүргийг өөрчлөхгүйгээр бид нэг буюу өөр интерполяцийн томъёог бичнэ; ашиглах мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэаргумент ба функц нь мэдэгдэж байгаа гэж үзвэл бид аргументтай холбоотой үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ.

Эхний аргыг ашиглах үед үлдсэн гишүүний үнэлгээ нь шууд интерполяцитай адил байх бөгөөд зөвхөн шууд функцийн деривативыг урвуу функцийн деривативаар солих шаардлагатай. Хоёр дахь аргын алдааг тооцоолъё. Хэрэв бидэнд f(x) функц өгөгдсөн бол Ln (x) нь энэ функцэд зориулж x0, x1, x2, зангилаанаас бүтээгдсэн Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт юм. . . , xn, тэгвэл

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

f (¯x) = y¯ (y¯ өгөгдсөн) x¯-ийн утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Бид Ln (x) = y¯ тэгшитгэлийг шийднэ. x¯ утгыг авцгаая. Өмнөх тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Лангранжийн томъёог ашигласнаар бид олж авна
(x¯ − x¯) f0 (η) =
Энд η нь x¯ болон x¯ хооронд байна. Хэрэв бол x¯ ба x¯ ба мин агуулсан интервал юм

Сүүлийн илэрхийллээс дараах байдалтай байна.

|x¯ − x¯| 6м1(n+1)! |$n(x¯)| .

Энэ тохиолдолд мэдээж Ln (x) = y¯ тэгшитгэлийг яг шийдсэн гэж үзнэ.

Хүснэгт үүсгэхийн тулд интерполяцыг ашиглах

Интерполяцийн онол нь функцийн хүснэгтийг эмхэтгэхэд хэрэглэгддэг. Ийм асуудлыг хүлээн авсны дараа математикч тооцооллыг эхлүүлэхийн өмнө хэд хэдэн асуултыг шийдэх ёстой. Тооцооллыг хийх томъёог сонгох ёстой. Энэ томъёо нь сайт бүрт өөр өөр байж болно. Дүрмээр бол функцийн утгыг тооцоолох томьёо нь төвөгтэй байдаг тул тэдгээрийг зарим лавлагаа утгыг олж авахад ашигладаг бөгөөд дараа нь дэд хүснэгтээр хүснэгтийг хураангуй болгодог. Функцийн лавлагааны утгыг өгсөн томъёо нь дараах дэд хүснэгтийг харгалзан хүснэгтийн шаардлагатай нарийвчлалыг өгөх ёстой. Хэрэв та тогтмол алхамтай хүснэгт үүсгэх шаардлагатай бол эхлээд түүний алхамыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Буцах Эхний Өмнөх Дараах Сүүлийн Индекс рүү очих

Ихэнх тохиолдолд функциональ хүснэгтүүдийг шугаман интерполяци хийх боломжтой байхаар эмхэтгэдэг (өөрөөр хэлбэл Тейлорын томъёоны эхний хоёр нөхцөлийг ашиглан интерполяци хийх). Энэ тохиолдолд үлдсэн нэр томъёо нь маягттай байна

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Энд ξ нь аргументийн хоёр зэргэлдээх хүснэгтийн утгын хоорондох интервалд хамаарах бөгөөд үүнд x, t нь 0-ээс 1-ийн хооронд байна. t (t - 1) бүтээгдэхүүн нь хамгийн том модулийг авна.

t = 12 дахь утга. Энэ утга нь 14 байна. Тэгэхээр,

Завсрын утгуудын практик тооцоололд энэ алдаа - аргын алдаатай зэрэгцэн арилгах боломжгүй алдаа, дугуйралтын алдаа гарах болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Бидний өмнө нь харсанчлан шугаман интерполяцийн алдаа нь хүснэгтийн функцийн утгуудын алдаатай тэнцүү байх болно. Дугуйлах алдаа нь үүнээс хамаарна тооцоолох төхөөрөмжболон тооцооны программаас.

Буцах Эхний Өмнөх Дараах Сүүлийн Индекс рүү очих

Сэдвийн индекс

2-р эрэмбийн салангид ялгаа, 8 нэгдүгээр эрэмбэ, 8

сплайн, 15

интерполяцийн зангилаа, 4

Буцах Эхний Өмнөх Дараах Сүүлийн Индекс рүү очих

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Интерполяци хийх арга

Хүснэгтийн өгөгдлийг интерполяци хийх томъёо

Нөхцөл байдлаас NHR-ийн хэмжээ (Q, t) гарах үед 2-р үйлдэлд хэрэглэнэ хооронд завсрын байна 100 тонн ба 300 тонн.

(Үл хамаарах зүйл:нөхцөлөөр Q нь 100 эсвэл 300-тай тэнцүү бол интерполяци хийх шаардлагагүй).

y о- Нөхцөл байдлаас таны NHR-ийн анхны хэмжээ, тонноор

(Q үсэгтэй тохирч байна)

y 1 – жижиг

(хүснэгт 11-16, ихэвчлэн 100-тай тэнцдэг).

y 2 – илүү танд хамгийн ойр байгаа NHR-ийн тоо хэмжээний утга, тонноор

(хүснэгт 11-16, ихэвчлэн 300-тай тэнцдэг).

x 1 y 1 (x 1 эсрэг талд байрладаг y 1 ), км.

x 2 – бохирдсон агаарын үүлний тархалтын гүний хүснэгтийн утга (Gt) тус тус y 2 (x 2 эсрэг талд байрладаг y 2 ), км.

x 0 - шаардлагатай үнэ цэнэ Г Ттохиромжтой y о(томъёоны дагуу).

Жишээ.

NHR - хлор; Q = 120 тонн;

SVSP-ийн төрөл (агаарын босоо эсэргүүцлийн зэрэг) - урвуу.

Хай Г Т- бохирдсон агаарын үүлний тархалтын гүний хүснэгтийн утга.

Бид 11-16-р хүснэгтийг судалж, таны нөхцөл байдалд тохирсон өгөгдлийг (хлор, урвуу) олдог.

Хүснэгт 11 тохиромжтой.

Утга сонгох y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Чухал – салхины хурдыг 1 м/с, температурыг 20 ° C гэж авна.

Бид сонгосон утгуудыг томъёонд орлуулж, олно x 0 .

Чухал - тооцоолол зөв бол x 0 хооронд хаа нэгтээ үнэ цэнэтэй байх болно x 1 , x 2 .

1.4. Лагранжийн интерполяцийн томъёо

Интерполяцыг бий болгохын тулд Лагранжийн санал болгосон алгоритм

(1) хүснэгтээс авсан функцууд нь интерполяцийн олон гишүүнт Ln(x)-ийг хэлбэрээр байгуулахыг заасан.

Мэдээжийн хэрэг, (10)-ын (11) нөхцлийн биелэлт нь интерполяцийн асуудлыг тогтоох нөхцөл (2)-ын биелэлтийг тодорхойлдог.

li(x) олон гишүүнтүүдийг дараах байдлаар бичнэ

Томъёоны (14) хуваагчийн нэг ч хүчин зүйл тэгтэй тэнцүү биш гэдгийг анхаарна уу. ci тогтмолуудын утгыг тооцоолсны дараа та тэдгээрийг өгөгдсөн цэгүүдэд интерполяцлагдсан функцийн утгыг тооцоолоход ашиглаж болно.

(13) ба (14) томъёог харгалзан Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт (11) томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Лагранжийн томьёог ашиглан гар аргаар тооцоо хийх ажлыг зохион байгуулах

Лагранжийн томъёог шууд хэрэглэх нь олон тооны ижил төстэй тооцоололд хүргэдэг. Жижиг хэмжээтэй хүснэгтүүдийн хувьд эдгээр тооцоог гараар эсвэл програмын орчинд хийж болно

Эхний шатанд бид гараар тооцоолох алгоритмыг авч үзэх болно. Ирээдүйд эдгээр тооцоог хүрээлэн буй орчинд давтах ёстой

Microsoft Excel эсвэл OpenOffice.org Calc.

Зураг дээр. Зураг 6-д дөрвөн зангилаагаар тодорхойлсон интерполяцлагдсан функцийн анхны хүснэгтийн жишээг үзүүлэв.

Зураг 6. Интерполяцлагдсан функцийн дөрвөн зангилааны анхны өгөгдлийг агуулсан хүснэгт

Хүснэгтийн гурав дахь баганад бид томъёо (14) ашиглан тооцоолсон qi коэффициентүүдийн утгыг бичнэ. n=3-ын хувьд эдгээр томьёоны бичлэгийг доор үзүүлэв.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Гарын авлагын тооцооллыг хэрэгжүүлэх дараагийн алхам бол (13) томъёоны дагуу гүйцэтгэсэн li(x) (j=0,1,2,3) утгуудын тооцоо юм.

Бидний бодож байгаа дөрвөн зангилаа бүхий хүснэгтийн хувилбарт эдгээр томъёог бичье.

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

li(xj) (j=0,1,2,3) олон гишүүнтүүдийн утгыг тооцоод хүснэгтийн нүдэнд бичье. (11) томъёоны дагуу Ycalc(x) функцийн утгуудыг li(xj) утгуудыг мөр болгон нэгтгэсний үр дүнд олж авна.

Тооцоолсон утгын багана li(xj) ба Ycalc(x) утгын багана зэрэг хүснэгтийн форматыг Зураг 8-д үзүүлэв.

Цагаан будаа. 8. X аргументын бүх утгын хувьд (16), (17) ба (11) томъёог ашиглан гүйцэтгэсэн гар аргаар хийсэн тооцооллын үр дүнгийн хүснэгт.

Зурагт үзүүлсэн хүснэгтийг үүсгэсний дараа. 8, (17) ба (11) томъёог ашиглан та X аргументын дурын утгын интерполяцлагдсан функцийн утгыг тооцоолж болно. Жишээлбэл, X=1-ийн хувьд бид li(1) (i=0,) утгыг тооцоолно. 1,2,3):

l0(1)= 0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)= 0.2966.

Li(1)-ийн утгыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид Yinterp(1)=3.1463 утгыг авна.

1.4.2. Microsoft Excel програмын орчинд Лагранжийн томъёог ашиглан интерполяцийн алгоритмыг хэрэгжүүлэх

Интерполяцийн алгоритмыг хэрэгжүүлэх нь гар тооцооллын нэгэн адил qi коэффициентийг тооцоолох томъёог бичих замаар эхэлдэг. Зураг 9-д аргументийн өгөгдсөн утгууд, интерполяцлагдсан функц, qi коэффициент бүхий хүснэгтийн багануудыг харуулав. Энэ хүснэгтийн баруун талд qi коэффициентийн утгыг тооцоолохын тулд C баганын нүднүүдэд бичсэн томъёонууд байна.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ж q3

Цагаан будаа. 9 Коэффициент qi ба тооцооны томъёоны хүснэгт

С2 нүдэнд q0 томьёог оруулсны дараа C3 нүдээр дамжин С5 хүртэл нэмэгдэнэ. Үүний дараа эдгээр нүднүүдийн томъёог (16)-ын дагуу Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэрт тохируулна. 9.

Ycalc(xi),

Томьёог (17) хэрэгжүүлснээр бид D, E, F, G баганын нүдэнд li(x) (i=0,1,2,3) утгыг тооцоолох томъёог бичнэ. Утгыг тооцоолох D2 нүдэнд l0(x0) томъёог бичнэ:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

бид l0 (xi) утгыг авна (i=0,1,2,3).

$A2 холбоосын формат нь li(x0) (i=1,2,3)-ийг тооцоолох тооцооллын томьёог бүрдүүлэхийн тулд E, F, G баганууд дээр томъёог сунгах боломжийг олгодог. Томьёог мөрөнд чирэхэд аргумент баганын индекс өөрчлөгдөхгүй. l0(x0) томьёог зурсны дараа li(x0) (i=1,2,3)-ийг тооцоолохын тулд (17) томъёоны дагуу тэдгээрийг засах шаардлагатай.

H баганад бид байрлуулна Excel томъёотомьёог ашиглан li(x)-ийг нийлбэр болгоно

(11) алгоритм.

Зураг дээр. Зураг 10-д хүрээлэн буй орчинд хэрэгжүүлсэн хүснэгтийг харуулав Microsoft програмууд Excel. Хүснэгтийн нүдэнд бичсэн томьёо болон гүйцэтгэсэн тооцооллын үйлдлүүд зөв байгаагийн шинж тэмдэг нь li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,) диагональ матриц юм. 3), Зураг дээр үзүүлсэн үр дүнг давтах. 8 ба эх хүснэгтийн зангилаа дахь интерполяцлагдсан функцийн утгатай давхцаж буй утгуудын багана.

Цагаан будаа. 10. li(xj) (j=0,1,2,3) ба Ycalc(xj) утгын хүснэгт

Зарим завсрын цэгүүдийн утгыг тооцоолоход хангалттай

A6 нүднээс эхлэн А баганын нүднүүдэд интерполяцлагдсан функцийн утгыг тодорхойлохыг хүсч буй X аргументын утгуудыг оруулна уу. Сонго

Хүснэгтийн сүүлийн (5-р) мөрөнд l0(xn)-аас Ycalc(xn) хүртэлх нүднүүдийг сонгож, сонгосон нүдэнд бичигдсэн томьёог сүүлчийнхийг агуулсан мөр хүртэл сунгана.

аргументийн заасан утга x.

Зураг дээр. 11-т функцийн утгыг x=1, x=2, x=3 гэсэн гурван цэгт тооцсон хүснэгтийг үзүүлэв. Хүснэгтэнд эх өгөгдлийн хүснэгтийн мөрийн дугаар бүхий нэмэлт баганыг оруулсан болно.

Цагаан будаа. 11. Лагранжийн томьёог ашиглан интерполяцлагдсан функцүүдийн утгыг тооцоолох

Интерполяцийн үр дүнг илүү тодорхой харуулахын тулд бид өсөх дарааллаар эрэмблэгдсэн аргумент X утгуудын багана, Y(X) функцийн анхны утгуудын багана, багана агуулсан хүснэгтийг байгуулна.

Термодинамикийн (дулааны инженерчлэл) асуудлыг шийдвэрлэхэд интерполяцийн томъёог хэрхэн ашиглах, алийг нь ашиглахыг надад хэлээч.

Иван Шестакович

Хамгийн энгийн боловч хангалттай нарийвчлалгүй интерполяци нь шугаман байна. Хэрэв танд аль хэдийн мэдэгдэж байгаа хоёр цэг (X1 Y1) ба (X2 Y2) байгаа бөгөөд X1 ба X2 хооронд байрлах зарим X өдрийн Y утгыг олох хэрэгтэй. Дараа нь томъёо нь энгийн.
Ү=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Дашрамд хэлэхэд, энэ томъёо нь X1..X2 интервалаас гадуурх X утгуудын хувьд бас ажилладаг, гэхдээ үүнийг аль хэдийн экстраполяци гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ интервалаас нэлээд хол зайд маш том алдаа өгдөг.
Өөр олон хараалын үгс байдаг. Интерполяцийн аргууд - Би танд сурах бичиг унших эсвэл интернетээс хайхыг зөвлөж байна.
График интерполяцийн арга бас боломжтой - мэдэгдэж буй цэгүүдээр графикийг гараар зурж, шаардлагатай X-ийн графикаас Y-г олоорой. ;)

Роман

Та хоёр утгатай. Мөн ойролцоогоор хамаарал (шугаман, квадрат, ..)
Энэ функцийн график нь таны хоёр цэгээр дамждаг. Та хоёрын хооронд үнэ цэнэ хэрэгтэй. За, та илэрхийлээрэй!
Жишээлбэл. Хүснэгтэнд 22 градусын температурт ханасан уурын даралт 120,000 Па, 26, 124,000 Па байна. Дараа нь 23 градусын температурт 121000 Па.

Интерполяци (координат)

Газрын зураг дээр координатын сүлжээ байдаг (зураг).
Үүн дээр сайн мэддэг лавлах цэгүүд (n>3) байдаг бөгөөд тус бүр нь хоёртой x,y утгууд- координатыг пикселээр, координатыг метрээр илэрхийлнэ.
Пиксел дэх координатыг мэдэхийн тулд координатын завсрын утгыг метрээр олох шаардлагатай.
Шугаман интерполяци тохиромжгүй - шугамын гаднах алдаа хэт том байна.
Үүнтэй адил: (Xc нь ox дагуу метрээр илэрхийлсэн координат, Xp нь ox дагуух пикселээр илэрхийлэгдсэн координат, Xc3 нь ox дахь хүссэн утга)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Хоёр биш (энд байгаа шиг), харин N мэдэгдэж буй лавлах цэгийг харгалзан Xc ба Yc-ийг олох ижил томъёог хэрхэн олох вэ?

Жока Ферн Лоуд

Бичсэн томъёоноос харахад координатын системийн тэнхлэгүүд пиксел ба метрээр давхцаж байна уу?
Өөрөөр хэлбэл, Xp -> Xc нь бие даасан интерполяц, Yp -> Yc нь бие даасан интерполяци хийдэг. Хэрэв тийм биш бол та Xp,Yp->Xc ба Xp,Yp->Yc хоёр хэмжээст интерполяцыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь даалгаврыг зарим талаар хүндрүүлдэг.
Цаашлаад Xp ба Xc координатууд нь ямар нэг хамааралтай холбоотой гэж таамаглаж байна.
Хэрэв хамаарлын шинж чанар нь мэдэгдэж байгаа бол (эсвэл бид Xc=a*Xp^2+b*Xp+c гэж үзвэл) энэ хамаарлын параметрүүдийг (өгөгдсөн a, хамаарлын хувьд) авч болно. б, в) ашиглах регрессийн шинжилгээ(Арга хамгийн бага квадратууд). Энэ аргын хувьд хэрэв та Xc(Xp) тодорхой хамаарлыг зааж өгвөл лавлагааны өгөгдлөөс хамаарлын параметрийн томъёог авч болно. Энэ арга нь ялангуяа олох боломжийг олгодог шугаман хамаарал, хамгийн зөв замөгөгдсөн өгөгдлийн багцыг хангах.
Сул тал: Энэ аргын хувьд Xp хяналтын цэгүүдийн өгөгдлөөс олж авсан Xc координат нь заасан хэмжээнээс ялгаатай байж болно. Жишээлбэл, туршилтын цэгүүдээр татсан ойролцоох шулуун шугам нь эдгээр цэгүүдээр яг дамждаггүй.
Хэрэв яг тохирол шаардлагатай бөгөөд хамаарлын шинж чанар тодорхойгүй бол интерполяцийн аргыг ашиглах шаардлагатай. Математикийн хувьд хамгийн энгийн нь лавлах цэгүүдээр яг дамждаг Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт юм. Гэсэн хэдий ч, энэ олон гишүүнтийн өндөр зэрэглэлийн улмаас at их тоолавлах цэгүүд ба интерполяцийн чанар муу байгаа тул үүнийг ашиглахгүй байх нь дээр. Давуу тал нь харьцангуй энгийн томъёо юм.
Сплайн интерполяцийг ашиглах нь дээр. Энэ аргын мөн чанар нь хоёр хөршийн цэгийн хоорондох хэсэг бүрт судалж буй хамаарлыг олон гишүүнтээр интерполялж, хоёр интервалын нэгдэх цэгүүдэд тэгш байдлын нөхцлийг бичдэгт оршино. Энэ аргын давуу тал нь интерполяцийн чанар юм. Сул талууд - буцааж авах нь бараг боломжгүй юм ерөнхий томъёо, та хэсэг бүр дэх олон гишүүнтийн коэффициентийг алгоритмаар олох хэрэгтэй. Өөр нэг сул тал бол хоёр хэмжээст интерполяцид ерөнхийлөлт хийхэд хүндрэлтэй байдаг.

Энэ бол Билл Желений номын нэг хэсэг юм.

Бэрхшээл: Инженерийн дизайны зарим асуудал нь параметрийн утгыг тооцоолоход хүснэгт ашиглахыг шаарддаг. Хүснэгтүүд нь салангид байдаг тул дизайнер нь завсрын параметрийн утгыг олж авахын тулд шугаман интерполяцийг ашигладаг. Хүснэгтэд (Зураг 1) газрын гадаргаас дээш өндөр (хяналтын параметр) болон салхины хурд (тооцоолсон параметр) орно. Жишээлбэл, хэрэв та 47 метрийн өндөрт тохирох салхины хурдыг олох шаардлагатай бол 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 м / сек гэсэн томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Тэмдэглэлийг эсвэл форматаар, жишээнүүдийг форматаар татаж аваарай

Хяналтын хоёр параметр байвал яах вэ? Нэг томьёо ашиглан тооцоо хийх боломжтой юу? Хүснэгтэд (Зураг 2) янз бүрийн өндөр, байгууламжийн хүрээний салхины даралтын утгыг харуулав. 25 метрийн өндөр, 300 метрийн зайд салхины даралтыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл: Бид тухайн тохиолдолд ашигласан аргыг нэг хяналтын параметрээр өргөтгөх замаар асуудлыг шийддэг. Эдгээр алхмуудыг дагана уу:

Зурагт үзүүлсэн хүснэгтээс эхэл. 2. J1 ба J2-д тус тусад нь өндөр, зайны эх үүсвэрийн нүднүүдийг нэмнэ (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. J3:J17 нүдн дэх томьёо нь мегатомъёоны үйлдлийг тайлбарлана

Томьёог ашиглахад хялбар болгохын тулд нэрийг тодорхойл (Зураг 4).

J3 нүднээс J17 нүд рүү дараалан шилжих замаар томьёо хэрхэн ажиллахыг харна уу.

Мега томьёог бүтээхдээ урвуу дараалсан орлуулалтыг ашиглана. Томъёоны текстийг J17 нүднээс J19 рүү хуулна. Томъёоны J15-ийн лавлагааг J15 нүдэн дэх утгаараа солино: J7+(J8-J7)*J11/J13. гэх мэт. Үр дүн нь 984 тэмдэгтээс бүрдэх томьёог энэ хэлбэрээр хүлээн авах боломжгүй юм. Та үүнийг хавсаргасан Excel файлаас харж болно. Энэ төрлийн мегаформыг ашиглахад ашигтай гэдэгт би итгэлгүй байна.

Дүгнэлт: Хүснэгтийн утгыг зөвхөн муж улсын хил хязгаарт зааж өгсөн тохиолдолд завсрын параметрийн утгыг авахын тулд шугаман интерполяцийг ашигладаг; Хоёр хяналтын параметрийг ашиглан тооцоолох аргыг санал болгож байна.

Функцийн тооцооллын үр дүнг гаднаас нь мэдэх шаардлагатай тохиолдол байдаг мэдэгдэж буй газар нутаг. Ялангуяа хамааралтай энэ асуултурьдчилан таамаглах процедурын хувьд. Excel дээр энэ үйлдлийг гүйцэтгэх хэд хэдэн арга байдаг. Тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Арга 2: Графикийн экстраполяци

Та трендийн шугамыг зурах замаар графикт экстраполяцийн процедурыг хийж болно.

1. Юуны өмнө бид графикийг өөрөө бүтээдэг. Үүнийг хийхийн тулд хулганы зүүн товчийг дарж курсорыг ашиглан аргументууд болон холбогдох функцийн утгуудыг багтаасан хүснэгтийн бүх хэсгийг сонгоно уу. Дараа нь таб руу шилжинэ "Оруулах", товчлуур дээр дарна уу "Хуваарь". Энэ дүрс нь блок дотор байрладаг "Диаграммууд"багажны туузан дээр. Жагсаалт гарч ирнэ боломжтой сонголтуудграфикууд. Бид өөрсдийн үзэмжээр хамгийн тохиромжтойг нь сонгодог.



2. Графикийг барьж дууссаны дараа нэмэлт аргументийн мөрийг сонгоод товчлуур дээр дарж хасна уу. Устгахкомпьютерийн гар дээр.



3. Дараа нь бид хэвтээ масштабын хуваалтыг өөрчлөх хэрэгтэй, учир нь энэ нь аргументуудын утгыг бидний хүссэнээр харуулахгүй. Үүнийг хийхийн тулд диаграмм дээр хулганы баруун товчийг дараад гарч ирэх жагсаалтаас утгыг сонгоно уу "Өгөгдөл сонгох".



4. Нээгдэх өгөгдлийн эх сурвалж сонгох цонхонд товчлуур дээр дарна уу "Өөрчлөх"хэвтээ тэнхлэгийн шошго засварлах блок дотор.



5. Тэнхлэгийн гарын үсгийг тохируулах цонх нээгдэнэ. Энэ цонхны талбарт курсорыг байрлуулж, баганад байгаа бүх өгөгдлийг сонгоно уу "X"нэргүй. Дараа нь товчлуур дээр дарна уу "БОЛЖ БАЙНА УУ".



6. Өгөгдлийн эх үүсвэр сонгох цонх руу буцаж ирсний дараа бид ижил процедурыг давтаж, өөрөөр хэлбэл товчлуур дээр дарна уу "БОЛЖ БАЙНА УУ".



7. Одоо бидний диаграм бэлэн болсон бөгөөд бид шууд чиг хандлагын шугамыг барьж эхлэх боломжтой. Диаграм дээр дарж, дараа нь туузан дээрх нэмэлт табуудыг идэвхжүүлнэ - "Диаграммтай ажиллах". Таб руу шилжиж байна "Байршил"болон товчийг дарна уу "Тренд шугам"блок дотор "Шинжилгээ". Тухайн зүйл дээр дарна уу "Шугаман ойролцоо"эсвэл "Экспоненциал ойролцоо".



8. Трендийн шугамыг нэмсэн боловч бид түүний чиглүүлэх аргументийн утгыг заагаагүй тул графикийн шугамаас бүрэн доогуур байна. Үүнийг хийхийн тулд товчлуур дээр дахин дарна уу. "Тренд шугам", гэхдээ одоо тухайн зүйлийг сонгоно уу "Тренд шугамын дэвшилтэт сонголтууд".



9. Тренд шугамын форматын цонх нээгдэнэ. Бүлэгт "Тренд шугамын сонголтууд"тохиргооны блок байдаг "Урьдчилан таамаглах". Өмнөх аргын нэгэн адил экстраполяцийн аргументыг авч үзье 55 . Бидний харж байгаагаар график нь аргумент хүртэлх урттай байна 50 багтаасан. Бид үүнийг дахин сунгах шаардлагатай болж байна 5 нэгж. Хэвтээ тэнхлэг дээр 5 нэгж нь нэг хуваагдалтай тэнцэж байгааг харж болно. Тэгэхээр энэ бол нэг үе юм. Талбайд "Урагшаа"утгыг оруулна уу "1". Товчлуур дээр дарна уу "Хаах"цонхны баруун доод буланд.



10. Таны харж байгаагаар хуваарийг сунгасан байна заасан уртчиг хандлагын шугамыг ашиглах.

Тиймээс бид хүснэгт, графикт экстраполяцийн хамгийн энгийн жишээг авч үзсэн. Эхний тохиолдолд функцийг ашигладаг ТААМАГЛАЛ, хоёрдугаарт - чиг хандлагын шугам. Гэхдээ эдгээр жишээн дээр үндэслэн та илүү их зүйлийг шийдэж чадна нарийн төвөгтэй даалгаварурьдчилан мэдээлэх.

Бидний олонхи нь янз бүрийн шинжлэх ухаанд ойлгомжгүй нэр томъёотой тулгарсан. Гэтэл ойлгомжгүй үгээр айдаггүй, харин ч эсрэгээрээ тэднийг өөгшүүлж, судалж буй сэдвээ гүнзгийрүүлэхийг шахдаг хүн тун цөөхөн. Өнөөдөр бид интерполяци гэх мэт зүйлийн талаар ярих болно. Энэ нь мэдэгдэж буй цэгүүдийг ашиглан график байгуулах арга бөгөөд функцийн талаархи хамгийн бага мэдээлэлтэй, муруйн тодорхой хэсгүүдийн үйл ажиллагааг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог.

Тодорхойлолтын мөн чанарт орж, энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихаасаа өмнө түүхийг бага зэрэг гүнзгийрүүлье.

Өгүүллэг

Интерполяци нь эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Гэсэн хэдий ч энэ үзэгдэл нь өнгөрсөн үеийн хамгийн шилдэг математикч болох Ньютон, Лейбниц, Грегори нартай холбоотой юм. Тэд тухайн үед байсан илүү дэвшилтэт математикийн техникийг ашиглан энэхүү үзэл баримтлалыг боловсруулсан юм. Үүнээс өмнө мэдээжийн хэрэг интерполяцийг тооцоололд ашиглаж, ашигладаг байсан ч тэд үүнийг шаардлагатай огт буруу аргаар хийсэн. их хэмжээнийбодит байдалд багагүй ойр загвар бүтээх өгөгдөл.

Өнөөдөр бид аль интерполяцийн аргыг илүү тохиромжтой болохыг сонгох боломжтой. Бүх зүйлийг компьютерийн хэл рүү хөрвүүлдэг бөгөөд энэ нь мэдэгдэж буй цэгүүдээр хязгаарлагддаг тодорхой бүс дэх функцийн үйлдлийг маш нарийвчлалтайгаар урьдчилан таамаглах боломжтой юм.

Интерполяци гэдэг нь нэлээд явцуу ойлголт учраас түүний түүх тийм ч баримтаар баялаг биш юм. Дараагийн хэсэгт бид интерполяци гэж юу болох, түүний эсрэг заалт болох экстраполяциас юугаараа ялгаатай болохыг олж мэдэх болно.

Интерполяци гэж юу вэ?

Өмнө дурьдсанчлан энэ нь графикийг цэгээр байгуулах боломжийг олгодог аргуудын ерөнхий нэр юм. Сургуульд энэ нь ихэвчлэн хүснэгт зурах, график дээрх цэгүүдийг тодорхойлох, тэдгээрийг холбосон шугамыг зурах замаар хийгддэг. Сүүлчийн үйлдлийг судалж буй функцийн бусадтай ижил төстэй байдлыг харгалзан үзсэний үндсэн дээр хийсэн бөгөөд тэдгээрийн графикийн төрөл нь бидэнд мэдэгддэг.

Гэсэн хэдий ч цэгийн график зурах даалгаврыг биелүүлэх өөр, илүү төвөгтэй, үнэн зөв аргууд байдаг. Тиймээс интерполяци нь үнэндээ мэдэгдэж буй цэгүүдээр хязгаарлагддаг тодорхой бүс дэх функцийн үйл ажиллагааны "урьдчилан таамаглал" юм.

Ижил газартай холбоотой ижил төстэй ойлголт байдаг - экстраполяци. Энэ нь мөн функцийн графикийн таамаглалыг илэрхийлдэг боловч графикийн мэдэгдэж буй цэгүүдээс давж гардаг. Энэ аргын тусламжтайгаар мэдэгдэж буй интервал дахь функцийн үйлдэл дээр үндэслэн таамаглал дэвшүүлж, дараа нь энэ функцийг үл мэдэгдэх интервалд хэрэглэнэ. Энэ арга нь маш тохиромжтой практик хэрэглээбөгөөд жишээлбэл, эдийн засагт зах зээлийн өсөлт, бууралтыг урьдчилан таамаглах, урьдчилан таамаглахад идэвхтэй ашиглагддаг хүн ам зүйн байдалХөдөө.

Гэхдээ бид гол сэдвээсээ холдсон. Дараагийн хэсэгт бид интерполяци гэж юу болох, энэ үйлдлийг гүйцэтгэхэд ямар томьёог ашиглаж болохыг олж мэдэх болно.

Интерполяцийн төрлүүд

Хамгийн энгийн үзэмжнь хамгийн ойрын хөршийн аргыг ашиглан интерполяци юм. Энэ аргыг ашигласнаар бид тэгш өнцөгтүүдээс бүрдсэн маш бүдүүлэг графикийг олж авдаг. Хэрэв та график дээрх интегралын геометрийн утгын тайлбарыг харсан бол бид ямар график хэлбэрийн тухай ярьж байгааг ойлгох болно.

Үүнээс гадна бусад интерполяцийн аргууд байдаг. Хамгийн алдартай, алдартай нь олон гишүүнттэй холбоотой байдаг. Эдгээр нь илүү нарийвчлалтай бөгөөд нэлээн бага хэмжээний утгуудтай функцийн үйлдлийг урьдчилан таамаглах боломжийг танд олгоно. Бидний авч үзэх эхний интерполяцийн арга бол шугаман олон гишүүнт интерполяци юм. Энэ бол энэ ангиллын хамгийн энгийн арга бөгөөд та нарын хүн бүр үүнийг сургуульд хэрэглэж байсан байх. Үүний мөн чанар нь мэдэгдэж буй цэгүүдийн хооронд шулуун шугам барих явдал юм. Та бүхний мэдэж байгаагаар нэг шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр цэгээр дамждаг бөгөөд эдгээр цэгүүдийн координат дээр үндэслэн тэгшитгэлийг олж болно. Эдгээр шулуун шугамуудыг байгуулсны дараа бид хамгийн багадаа функцүүдийн ойролцоо утгыг тусгасан эвдэрсэн графикийг олж авдаг. ерөнхий тоймбодит байдалтай таарч байна. Шугаман интерполяцийг ингэж хийдэг.

Интерполяцийн дэвшилтэт төрлүүд

Илүү сонирхолтой зүйл бий, гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн илүү хэцүү заминтерполяци. Үүнийг Францын математикч Жозеф Луи Лагранж зохион бүтээжээ. Тийм ч учраас энэ аргыг ашиглан интерполяцийн тооцоог түүний нэрээр нэрлэсэн: Лагранжийн аргыг ашиглан интерполяци хийх. Энд байгаа заль мэх нь: хэрэв өмнөх догол мөрөнд дурдсан аргыг зөвхөн ашигладаг бол шугаман функц, дараа нь Лагранжийн аргаар өргөтгөх нь илүү өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтүүдийг ашиглахыг хамарна. Гэхдээ өөр өөр функцүүдийн интерполяцийн томъёог олох нь тийм ч хялбар биш юм. Илүү олон цэгийг мэдэх тусам интерполяцийн томъёо илүү нарийвчлалтай болно. Гэхдээ өөр олон арга бий.

Бодит байдалд ойртсон илүү дэвшилтэт тооцооллын арга бий. Үүнд ашигласан интерполяцийн томъёо нь олон гишүүнтүүдийн багц бөгөөд тэдгээрийн хэрэглээ нь функцийн хэсгээс хамаарна. Энэ аргыг сплайн функц гэж нэрлэдэг. Үүнээс гадна, хоёр хувьсагчийн функцийг интерполяци хийх гэх мэт зүйлийг хийх аргууд бас байдаг. Зөвхөн хоёр арга бий. Тэдгээрийн дотор хоёр шугаман эсвэл давхар интерполяци байдаг. Энэ арга нь гурван хэмжээст орон зай дахь цэгүүдийг ашиглан графикийг хялбархан бүтээх боломжийг олгодог. Бид бусад аргуудыг хөндөхгүй. Ерөнхийдөө интерполяци гэдэг нь график байгуулах эдгээр бүх аргуудын түгээмэл нэр боловч энэ үйлдлийг гүйцэтгэх олон янзын арга нь биднийг энэ үйлдэлд хамаарах функцийн төрлөөс хамааран тэдгээрийг бүлэгт хуваахад хүргэдэг. Өөрөөр хэлбэл, дээр дурдсан интерполяци нь шууд аргуудыг хэлдэг. Мөн урвуу интерполяци байдаг бөгөөд энэ нь шууд бус харин тооцоолох боломжийг олгодог гэдгээрээ ялгаатай урвуу функц(өөрөөр хэлбэл у-аас x). Энэ нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд сайн математикийн мэдлэг шаарддаг тул бид сүүлийн хувилбаруудыг авч үзэхгүй.

Магадгүй хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг рүү шилжье. Эндээс бидний ярилцаж буй аргуудыг амьдралд хэрхэн, хаана хэрэглэж байгааг мэдэж авдаг.

Өргөдөл

Бидний мэдэж байгаагаар математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан юм. Тиймээс, эхэндээ та тодорхой үйлдлүүдийн цэгийг олж харахгүй байсан ч энэ нь ашиггүй гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, интерполяци гэдэг бол одоо цөөхөн хүнд хэрэгтэй байгаа график л бүтээж болохуйц ашиггүй зүйл юм шиг санагддаг. Гэсэн хэдий ч технологи, физик болон бусад олон шинжлэх ухааны (жишээлбэл, биологи) аливаа тооцооллын хувьд тодорхой утгыг агуулсан байхын зэрэгцээ үзэгдлийн бүрэн дүр зургийг харуулах нь маш чухал юм. График дээр тархсан утгууд нь тодорхой газар нутаг дахь функцын үйл ажиллагаа, түүний деривативын утгууд, тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн талаар тодорхой ойлголт өгдөггүй. Мөн энэ нь бидний амьдралын олон салбарт маш чухал юм.

Энэ нь амьдралд хэрхэн хэрэг болох вэ?

Иймэрхүү асуултад хариулахад маш хэцүү байж болно. Гэхдээ хариулт нь энгийн: ямар ч боломжгүй. Энэ мэдлэг танд ямар ч ашиггүй болно. Гэхдээ хэрэв та энэ материал болон эдгээр үйлдлүүдийг хийх аргуудыг ойлговол та логикоо сургах бөгөөд энэ нь амьдралд маш их хэрэгтэй болно. Гол зүйл бол мэдлэг биш, харин тухайн хүний ​​суралцах явцад олж авсан чадвар юм. "Үүрд амьдар, мөнхөд суралц" гэж хэлээгүй байх.

Холбоотой ойлголтууд

Математикийн энэ салбар хэчнээн чухал байсныг (одоо ч байсаар байгаа) үүнтэй холбоотой бусад олон ойлголтыг хараад өөрөө ойлгож чадна. Экстраполяцийн талаар бид аль хэдийн ярьсан, гэхдээ бас ойролцоо тооцоолол байдаг. Магадгүй та энэ үгийг аль хэдийн сонссон байх. Ямар ч тохиолдолд бид энэ нийтлэлд энэ нь юу гэсэн үг болохыг ярилцсан. Ойролцоох нь интерполяцийн нэгэн адил функцүүдийн график байгуулахтай холбоотой ойлголтууд юм. Гэхдээ эхний болон хоёр дахь хоёрын ялгаа нь энэ нь ижил төстэй мэдэгдэж буй график дээр суурилсан графикийн ойролцоо бүтэц юм. Эдгээр хоёр ойлголт нь хоорондоо маш төстэй тул тус бүрийг судлах нь илүү сонирхолтой болгодог.

Дүгнэлт

Математик бол анх харахад тийм ч төвөгтэй шинжлэх ухаан биш юм. Тэр нэлээд сонирхолтой. Мөн энэ нийтлэлд бид үүнийг танд нотлохыг хичээсэн. Бид график зурахтай холбоотой ойлголтуудыг судалж, давхар интерполяци гэж юу болохыг олж мэдээд, үүнийг хаана ашигладаг жишээг авч үзсэн.