අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය. විසඳුම් උදාහරණ. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය

දේශනය 44. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ. අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය. නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ. (විශේෂ දකුණු කොටස).

සමාජ පරිවර්තනයන්. රාජ්යය සහ පල්ලිය.

බොල්ෂෙවිකයන්ගේ සමාජ ප්‍රතිපත්තිය බොහෝ දුරට ඔවුන්ගේ පන්ති ප්‍රවේශය මගින් නියම කරන ලදී. 1917 නොවැම්බර් 10 වන දින නියෝගයක් මගින් වතු පද්ධතිය අහෝසි කරන ලදී, පූර්ව විප්ලවවාදී නිලයන්, මාතෘකා සහ සම්මාන අහෝසි කරන ලදී. විනිසුරුවරුන් තෝරා පත් කර ගැනීම ස්ථාපිත කර ඇත; සිවිල් රාජ්‍යයන් ලෞකිකකරණය සිදු කරන ලදී. ස්ථාපිත නිදහස් අධ්‍යාපනය සහ වෛද්ය සේවය(1918 ඔක්තෝබර් 31 දින නියෝගය). කාන්තාවන් පිරිමින් සමඟ අයිතිවාසිකම්වලට සමාන විය (1917 දෙසැම්බර් 16 සහ 18 දින). විවාහය පිළිබඳ නියෝගය සිවිල් විවාහ ආයතනය හඳුන්වා දුන්නේය.

1918 ජනවාරි 20 වන දින මහජන කොමසාරිස්වරුන්ගේ කවුන්සිලයේ නියෝගයක් මගින් පල්ලිය රාජ්‍යයෙන් සහ අධ්‍යාපන පද්ධතියෙන් වෙන් කරන ලදී. පල්ලියේ දේපළ බොහොමයක් රාජසන්තක විය. 1918 ජනවාරි 19 වන දින මොස්කව්හි සහ සමස්ත රුසියාවේ කුලදෙටු ටිකොන් (නොවැම්බර් 5, 1917 තේරී පත් විය) සෝවියට් බලය අනාථ කළ අතර බොල්ෂෙවික්වරුන්ට එරෙහිව සටනක් ඉල්ලා සිටියේය.

රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සලකා බලන්න

ව්යුහය පොදු විසඳුමඑවැනි සමීකරණයක් පහත ප්‍රමේයය මගින් අර්ථ දක්වා ඇත:

ප්රමේයය 1.පොදු විසඳුම නොවේ සමජාතීය සමීකරණය(1) මෙම සමීකරණයේ යම් නිශ්චිත විසඳුමක එකතුව සහ අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම ලෙස නිරූපණය කෙරේ.

(2)

සාක්ෂි. අපි ඔප්පු කරන්න ඕනේ එකතුව කියලා

(1) සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වේ. (3) ශ්‍රිතය (1) සමීකරණයේ විසඳුමක් බව අපි පළමුව ඔප්පු කරමු.

වෙනුවට (1) සමීකරණයට එකතුව ආදේශ කිරීම හිදී, ඇත

(2) සමීකරණයට විසඳුමක් ඇති බැවින්, පළමු වරහන් වල ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට සමාන වේ. (1) සමීකරණයට විසඳුමක් ඇති බැවින්, දෙවන වරහන් තුළ ප්රකාශනය සමාන වේ f(x). එබැවින් සමානාත්මතාවය (4) යනු අනන්යතාවයකි. මේ අනුව, ප්රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු වේ.

අපි දෙවන ප්‍රකාශය ඔප්පු කරමු: ප්‍රකාශනය (3) වේ ජනරාල්සමීකරණයේ විසඳුම (1). මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් වන පරිදි මෙම ප්‍රකාශනයේ ඇතුළත් අත්තනෝමතික නියතයන් තෝරා ගත හැකි බව අපි ඔප්පු කළ යුතුය:

(5)

අංක කුමක් වුවත් x 0, y 0සහ (එසේ නම් පමණි x 0ක්‍රියාත්මක වන ප්‍රදේශයෙන් ගෙන ඇත a 1, a 2හා f(x)අඛණ්ඩ).

එය ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකි බව සඳහන් කිරීම . එවිට, කොන්දේසි (5) මත පදනම්ව, අපට තිබේ

අපි මෙම පද්ධතිය විසඳා සොයා බලමු 1 සිටහා 2 සිට. අපි පද්ධතිය නැවත ලියමු:

(6)

මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය කාර්යයන් සඳහා Wronsky නිර්ණායකය බව සලකන්න 1හා 2 ටලක්ෂ්යයේ x=x 0. උපකල්පනය අනුව මෙම ශ්‍රිත රේඛීයව ස්වාධීන බැවින්, Wronsky නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ; එබැවින් පද්ධතියට (6) නිශ්චිත විසඳුමක් ඇත 1 සිටහා 2 සිට, i.e. එවැනි අගයන් තිබේ 1 සිටහා 2 සිට, කුමන සූත්‍රය සඳහා (3) ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන සමීකරණයේ (1) විසඳුම තීරණය කරයි. Q.E.D.

අපි ඉදිරියට යමු පොදු ක්රමයසමජාතීය සමීකරණයකට විශේෂ විසඳුම් සෙවීම.

අපි සමජාතීය සමීකරණයේ (2) පොදු විසඳුම ලියන්නෙමු.

. (7)

අපි සලකා බලමින් (7) ආකෘති පත්‍රයේ සමජාතීය සමීකරණයේ (1) විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු. 1 සිටහා 2 සිටසමහර තවමත් නොදන්නා විශේෂාංග ලෙස X.

අපි සමානාත්මතාවය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු (7):

අපි අවශ්ය කාර්යයන් තෝරා ගනිමු 1 සිටහා 2 සිටඒ නිසා සමානාත්මතාවය

. (8)

මේ ගැන සලකා බලමින් අතිරේක කොන්දේසිය, එවිට පළමු ව්යුත්පන්න ස්වරූපය ගනී

.

දැන් මෙම ප්රකාශනය වෙනස් කිරීම, අපි සොයා ගන්නේ:

(1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

මුල් වරහන් දෙකේ ප්‍රකාශන අතුරුදහන් වීම නිසා y 1හා y2සමජාතීය සමීකරණයක විසඳුම් වේ. එබැවින්, අවසාන සමානාත්මතාවය ස්වරූපය ගනී

. (9)

මේ අනුව, ශ්‍රිතය (7) ශ්‍රිත නම් සමජාතීය සමීකරණයට (1) විසඳුමක් වනු ඇත. 1 සිටහා 2 සිට(8) සහ (9) සමීකරණ තෘප්තිමත් කරන්න (8) සහ (9) සමීකරණ වලින් සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු.

මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් සඳහා Vronsky නිර්ණායකය වන බැවින් y 1හා y2සමීකරණය (2), එවිට එය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. එබැවින්, පද්ධතිය විසඳීම, අපි සොයා ගන්නේ කෙසේද ඇතැම් කාර්යයන්සිට x.

අපි රේඛීය සමජාතීය සලකා බැලීම වෙත හැරෙමු අවකල සමීකරණකාරුණික

කොහෙද - අපේක්ෂිත තර්ක ශ්‍රිතය , සහ කාර්යයන්



ලබා දී ඇති අතර යම් කාල පරතරයක් මත අඛණ්ඩව පවතී
.

අපි සලකා බැලීමට රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක් හඳුන්වා දෙමු, වම් පැත්තසමජාතීය සමීකරණයේ වම් පැත්ත සමග සමපාත වන (2.31),

පෝරමයේ සමීකරණයක් (2.32) ලෙස හැඳින්වේ සමජාතීය සමීකරණයට අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණය (2.31).

සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයේ (2.31) පොදු විසඳුමේ ව්‍යුහය පිළිබඳ පහත සඳහන් ප්‍රමේයය පවතී.

ප්රමේයය 2.6.වසම තුළ රේඛීය අසමජාතීය සමීකරණයේ (2.31) පොදු විසඳුම

යනු එහි කිසියම් විශේෂිත විසඳුම්වල එකතුව සහ වසමෙහි (2.33) අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ (2.32) පොදු විසඳුමයි, i.e.

කොහෙද - සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් (2.31),
- මූලික පද්ධතියසමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම් (2.32), සහ
අත්තනෝමතික නියත වේ.

මෙම ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂි සොයාගත හැකිය.

දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයේ උදාහරණය භාවිතා කරමින්, රේඛීය අසමාන සමීකරණයක විශේෂිත විසඳුමක් සොයාගත හැකි ක්‍රමයක් අපි ඉදිරිපත් කරමු. මෙම ක්රමය හැඳින්වේ අත්තනෝමතික නියතවල Lagrange ක්රමය වෙනස්කම්.

එබැවින්, සමජාතීය රේඛීය සමීකරණයක් ලබා දෙන්න

(2.35)

එහිදී සංගුණක
සහ දකුණු පැත්ත
යම් කාල පරතරයක් තුළ අඛණ්ඩව
.

මගින් දක්වන්න
හා
සමජාතීය සමීකරණයේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය

(2.36)

එවිට එහි පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත

(2.37)

කොහෙද හා අත්තනෝමතික නියත වේ.

අපි සමීකරණයට (2.35) විසඳුමක් එකම ආකාරයෙන් සොයමු , අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ සාමාන්‍ය විසඳුම මෙන්ම, අත්තනෝමතික නියතයන් සමහර වෙනස් කළ හැකි ශ්‍රිත මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි. (අපි අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කරමු),එම.

කොහෙද
හා
සිට වෙනස් කළ හැකි කාර්යයන් වේ , ඒවා තවමත් නොදන්නා සහ අපි තීරණය කිරීමට උත්සාහ කරමු, එවිට ශ්‍රිතය (2.38) සමජාතීය සමීකරණයට (2.35) විසඳුමක් වනු ඇත. සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම වෙනස් කිරීම (2.38), අපි ලබා ගනිමු

ඒ නිසා ගණනය කිරීමේදී හි දෙවන පෙළ ව්‍යුත්පන්න නොමැත
හා
, අපට එය සෑම තැනකම අවශ්‍ය වේ
තත්ත්වය

එවිට සඳහා ඇති වනු ඇත

දෙවන ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්න

සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම ,,(2.38), (2.40), (2.41) සිට සමීකරණයට (2.35), අපි ලබා ගනිමු

හතරැස් වරහන් වල ප්‍රකාශන සෑම තැනකම ශුන්‍යයට සමාන වේ
, නිසා හා - සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුම් (2.36). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, (2.42) ස්වරූපය ගනී මෙම තත්ත්වය කොන්දේසිය (2.39) සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි තීරණය කිරීම සඳහා සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු.
හා

(2.43)

අවසාන පද්ධතිය යනු වීජීය රේඛීය අසමජාතීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියකි.
හා
. මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය වන්නේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සඳහා Wronsky නිර්ණායකයයි ,එබැවින් සෑම තැනකම ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ
. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියට (2.43) අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බවයි. සම්බන්ධව ඕනෑම ආකාරයකින් එය විසඳා ඇත
,
සොයාගන්න

කොහෙද
හා
සුප්රසිද්ධ කාර්යයන් වේ.

ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කිරීම සහ එය සැලකිල්ලට ගනිමින්
,
එක් ශ්‍රිත යුගලයක් ගත යුතුය, අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ නියතයන් බිංදුවට සමාන කරමු. ලබාගන්න

ප්‍රකාශන (2.44) සම්බන්ධතා (2.38) බවට ආදේශ කිරීම, අපට සමජාතීය සමීකරණයේ (2.35) අපේක්ෂිත විසඳුම පෝරමයේ ලිවිය හැකිය.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් සෙවීමට මෙම ක්‍රමය සාමාන්‍යකරණය කළ හැක -වන නියෝගය.

උදාහරණය 2.6. සමීකරණය විසඳන්න
හිදී
කාර්යයන් නම්

අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි.

අපි මෙම සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, Lagrange ක්රමයට අනුකූලව, මුලින්ම අපගේ නඩුවේ ආකෘතිය ඇති පද්ධතිය (2.43) විසඳිය යුතුය.
මගින් එක් එක් සමීකරණයේ දෙපැත්තම අඩු කිරීම අපට ලැබෙනවා

දෙවන සමීකරණයෙන් පළමු සමීකරණ පදය පදයෙන් අඩු කිරීම, අපි සොයා ගනිමු
ඉන්පසු පළමු සමීකරණයෙන් එය පහත දැක්වේ
අනුකලනය සිදු කිරීම සහ ශුන්‍යයට සමාන ඒකාබද්ධතා නියතයන් සැකසීම, අප සතුව ඇත

මෙම සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් ලෙස දැක්විය හැක

මෙම සමීකරණයේ පොදු විසඳුම පසුව ආකෘතිය ඇත

කොහෙද හා අත්තනෝමතික නියත වේ.

අවසාන වශයෙන්, අපි එක් කැපී පෙනෙන දේපලක් සටහන් කරමු, එය බොහෝ විට විසඳුම් පැනවීමේ මූලධර්මය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර පහත දැක්වෙන ප්රමේයය මගින් විස්තර කෙරේ.

ප්රමේයය 2.7.අතරේ නම්
කාර්යය
- ශ්රිතයේ සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක්
එකම කාල පරතරය මත සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක්, ශ්‍රිතය
සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් වේ

පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න:
(1) .
මෙම සමීකරණය විසඳීමට ක්රම තුනක් තිබේ:

• නියත විචලන ක්රමය (Lagrange).

Lagrange ක්‍රමය මගින් පළමු පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක විසඳුම සලකා බලන්න.

නියත විචලන ක්‍රමය (Lagrange)

නියත විචල්‍ය ක්‍රමයේදී අපි සමීකරණය පියවර දෙකකින් විසඳන්නෙමු. පළමු අදියරේදී අපි මුල් සමීකරණය සරල කර සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු. දෙවන අදියරේදී, අපි විසඳුමේ පළමු අදියරේදී ලබාගත් අනුකලනය කිරීමේ නියතය ශ්‍රිතයක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු. එවිට අපි මුල් සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්නෙමු.

සමීකරණය සලකා බලන්න:
(1)

පියවර 1 සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම

අපි සමජාතීය සමීකරණයට විසඳුමක් සොයන්නෙමු:

මෙය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයකි

වෙනම විචල්‍ය - dx වලින් ගුණ කරන්න, y වලින් බෙදන්න:

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

y මත අනුකලනය - වගු:

ඉන්පසු

විභවය:

අපි e C නියතය C මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කර නියතයෙන් ගුණ කිරීම දක්වා අඩු කරන මාපාංකයේ ලකුණ ඉවත් කරමු. ± 1, අපි C හි ඇතුළත් කරන:

පියවර 2 නියත C ශ්‍රිතය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න

දැන් අපි නියත C වෙනුවට x ශ්‍රිතයක් ආදේශ කරමු:
c → u (x)
එනම්, අපි මුල් සමීකරණයට විසඳුමක් සොයමු (1) පරිදි:
(2)
අපි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු.

සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක අවකලනය කිරීමේ රීතියට අනුව:
.
නිෂ්පාදන අවකලනය රීතියට අනුව:

.
අපි මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු (1) :
(1) ;

.
නියමයන් දෙකක් අඩු කර ඇත:
;
.
අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:
.
ආදේශ කරන්න (2) :
.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම අපි ලබා ගනිමු:
.

Lagrange ක්‍රමය මගින් පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්

අපි සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

විචල්‍ය වෙන් කිරීම:

අපි ගුණ කරමු:

අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:

වගු අනුකලනය:

විභවය:

අපි නියත e C වෙනුවට C සමඟ ආදේශ කර මාපාංකයේ සලකුණු ඉවත් කරමු:

මෙතැන් සිට:

නියත C වෙනුවට x ශ්‍රිතයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:
c → u (x)

අපි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
.
අපි මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
;
;
හෝ:
;
.
අපි ඒකාබද්ධ කරන්නෙමු:
;
සමීකරණ විසඳුම:
.

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කරයි. මෙම පාඩම දැනටමත් මාතෘකාව පිළිබඳ වැඩි හෝ අඩු දැනුමක් ඇති සිසුන් සඳහා අදහස් කෙරේ. ඔබ දුරස්ථ පාලකය සමඟ දැන හඳුනා ගැනීමට පටන් ගන්නේ නම්, i.e. ඔබ තේ පෝච්චියක් නම්, පළමු පාඩමෙන් ආරම්භ කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි: පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. විසඳුම් උදාහරණ. තවද ඔබ දැනටමත් අවසන් කරන්නේ නම්, කරුණාකර ක්‍රමය අපහසුය යන පූර්ව නිගමනය ඉවතලන්න. මොකද ඔහු සරලයි.

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරන්නේ කුමන අවස්ථා වලදීද?

1) අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය විසඳීම සඳහා භාවිතා කළ හැක 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE. සමීකරණය පළමු අනුපිළිවෙලෙහි බැවින්, නියතය (ස්ථාවර) ද එකකි.

2) සමහරක් විසඳීම සඳහා අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා වේ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණදෙවන නියෝගය. මෙහිදී නියත (අස්ථිර) දෙකක් වෙනස් වේ.

පාඩම ඡේද දෙකකින් සමන්විත වනු ඇතැයි උපකල්පනය කිරීම තර්කානුකූලයි .... එබැවින් මම මෙම යෝජනාව ලිවූ අතර, සුමට සංක්‍රාන්තියක් සඳහා එකතු කළ යුතු වෙනත් දක්ෂ ජරාව කුමක්දැයි මම විනාඩි 10 ක් පමණ වේදනාකාරී ලෙස සිතුවෙමි. ප්රායෝගික උදාහරණ. නමුත් කිසියම් හේතුවක් නිසා, නිවාඩුවෙන් පසු සිතුවිලි නොමැත, නමුත් මම කිසිවක් අපයෝජනය නොකළ බව පෙනේ. එබැවින් අපි පළමු ඡේදයට කෙලින්ම යමු.

අත්තනෝමතික නියත විචල්‍ය ක්‍රමය
රේඛීය සමජාතීය පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා

අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය සලකා බැලීමට පෙර, ලිපිය සමඟ හුරුපුරුදු වීම සුදුසුය. පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ. ඒ පාඩමේදී අපි පුහුණුවීම් කළා විසඳීමට පළමු මාර්ගය 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය නොවන DE. මෙම පළමු විසඳුම, මම ඔබට මතක් කරමි, හැඳින්වේ ප්රතිස්ථාපන ක්රමයහෝ බර්නූලි ක්රමය(ව්යාකූල නොවිය යුතුය බර්නූලි සමීකරණය!!!)

අපි දැන් සලකා බලමු විසඳීමට දෙවන මාර්ගය- අත්තනෝමතික නියතයක විචලනය කිරීමේ ක්රමය. මම උදාහරණ තුනක් පමණක් දෙන්නෙමි, මම ඒවා ඉහත පාඩමෙන් ගන්නෙමි. ඇයි එතරම් ස්වල්පයක්? ඇත්ත වශයෙන්ම දෙවන ආකාරයෙන් විසඳුම පළමු ආකාරයෙන් විසඳුමට බෙහෙවින් සමාන වනු ඇත. මීට අමතරව, මගේ නිරීක්ෂණවලට අනුව, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමය ප්රතිස්ථාපන ක්රමයට වඩා අඩුවෙන් භාවිතා වේ.

උදාහරණ 1

(පාඩමේ උදාහරණ අංක 2 න් වෙනස් කරන්න 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE)

විසඳුමක්:මෙම සමීකරණය රේඛීය සමජාතීය වන අතර හුරුපුරුදු ස්වරූපයක් ඇත:

පළමු පියවර වන්නේ සරල සමීකරණයක් විසඳීමයි:
එනම්, අපි මෝඩ ලෙස දකුණු පැත්ත නැවත සකසන්නෙමු - ඒ වෙනුවට අපි බිංදුව ලියන්නෙමු.
සමීකරණය මම කතා කරන්නම් සහායක සමීකරණය.

හිදී මෙම උදාහරණයපහත සහායක සමීකරණය විසඳන්න:

අපට පෙර වෙන් කළ හැකි සමීකරණය, (මම බලාපොරොත්තු වන) විසඳුම ඔබට තවදුරටත් අපහසු නොවනු ඇත:

මේ ක්රමයෙන්:
සහායක සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වේ.

දෙවන පියවරේදී ආදේශ කරන්නසමහරක් නියතයක් තවම"x" මත රඳා පවතින නොදන්නා ශ්‍රිතය:

එබැවින් ක්රමයේ නම - අපි නියතය වෙනස් කරමු . විකල්පයක් ලෙස, නියතය අපට දැන් සොයා ගත යුතු යම් කාර්යයක් විය හැකිය.

හිදී මුල්සමජාතීය සමීකරණය අපි ප්රතිස්ථාපනය කරමු:

ආදේශක සහ සමීකරණය තුළට :

පාලන මොහොත - වම් පැත්තේ ඇති පද දෙක අවලංගු වේ. මෙය සිදු නොවන්නේ නම්, ඔබ ඉහත දෝෂය සොයා බැලිය යුතුය.

ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයක් ලබා ගනී. විචල්‍යයන් වෙන් කර අනුකලනය කරන්න.

මොනතරම් ආශීර්වාදයක්ද, ඝාතකයන් ද හැකිලෙමින් තිබේ:

අපි සොයාගත් ශ්‍රිතයට “සාමාන්‍ය” නියතයක් එකතු කරමු:

මත අවසාන අදියරඅපගේ ආදේශනය මතක තබා ගන්න:

කාර්යය දැන් හමු විය!

එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

පිළිතුර:පොදු තීරණය:

ඔබ විසඳුම් දෙක මුද්‍රණය කළහොත්, අවස්ථා දෙකේදීම අපට හමු වූයේ එකම අනුකලනය බව ඔබට පහසුවෙන් පෙනෙනු ඇත. එකම වෙනස විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයේ පමණි.

දැන් වඩාත් සංකීර්ණ දෙයක්, මම දෙවන උදාහරණය ගැන ද අදහස් දක්වන්නෙමි:

උදාහරණය 2

අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයන්න
(උදාහරණ අංක 8 පාඩමෙන් වෙනස් වන්න 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE)

විසඳුමක්:අපි සමීකරණය පෝරමයට ගෙන එන්නෙමු :

දකුණු පැත්ත ශුන්‍යයට සකසන්න සහ සහායක සමීකරණය විසඳන්න:

සහායක සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:

සමජාතීය සමීකරණයේදී, අපි ආදේශනය කරන්නෙමු:

නිෂ්පාදන අවකලනය රීතියට අනුව:

ආදේශක සහ මුල් සමජාතීය සමීකරණයට:

වම් පැත්තේ ඇති පද දෙක අවලංගු වේ, එයින් අදහස් වන්නේ අපි නිවැරදි මාර්ගයේ සිටින බවයි:

අපි කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කරමු. කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්‍රයෙන් රසවත් ලිපියක් දැනටමත් විසඳුමට සම්බන්ධ වී ඇත, එබැවින් අපි උදාහරණයක් ලෙස "a" සහ "be" අක්ෂර භාවිතා කරමු:

දැන් අපි ආදේශනය දෙස බලමු:

පිළිතුර:පොදු තීරණය:

සහ එක් උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය:

උදාහරණය 3

දී ඇති ආරම්භක තත්ත්වයට අනුරූප වන අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න.

,
(4වන පාඩමේ උදාහරණයෙන් වෙනස් වන්න 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය DE)
විසඳුමක්:
මෙම DE රේඛීය සමජාතීය වේ. අපි අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. අපි සහායක සමීකරණය විසඳමු:

අපි විචල්‍යයන් වෙන් කර අනුකලනය කරමු:

පොදු තීරණය:
සමජාතීය සමීකරණයේදී, අපි ආදේශනය කරන්නෙමු:

අපි ආදේශනය කරමු:

එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසියට අනුරූප විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න:

පිළිතුර:පුද්ගලික විසඳුම:

පාඩම අවසානයේ විසඳුම ලෙස සේවය කළ හැකිය ආදර්ශමත්සදහා අවසන් කිරීමකාර්යයන්.

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය
රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා
නියත සංගුණක සමඟ

දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සඳහා අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය පහසු දෙයක් නොවන බවට මතයක් බොහෝ විට අසන්නට ලැබේ. නමුත් මම පහත සඳහන් දේ අනුමාන කරමි: බොහෝ දුරට, ක්‍රමය එතරම් සුලභ නොවන බැවින් බොහෝ දෙනෙකුට අපහසු බව පෙනේ. නමුත් යථාර්ථයේ දී, විශේෂිත දුෂ්කරතා නොමැත - තීරණයේ ගමන් මග පැහැදිලි, විනිවිද පෙනෙන සහ තේරුම් ගත හැකි ය. ඒ වගේම ලස්සනයි.

ක්‍රමය ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා, දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක් තෝරා ගැනීමෙන් දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය සමීකරණ විසඳීමට හැකි වීම යෝග්‍ය වේ. මෙම ක්රමයලිපියේ විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය DE. නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයක ස්වරූපය ඇති බව අපට මතකයි:

ඉහත පාඩමේදී සලකා බැලූ තේරීම් ක්‍රමය ක්‍රියාත්මක වන්නේ බහුපද, ඝාතක, සයින, කෝසයින දකුණු පස ඇති විට සීමිත අවස්ථා ගණනකදී පමණි. නමුත් දකුණේ ඇති විට කුමක් කළ යුතුද, උදාහරණයක් ලෙස, භාගයක්, ලඝුගණකයක්, ස්පර්ශකයක්? එවැනි තත්වයක් තුළ, නියත විචලනය කිරීමේ ක්රමය ගලවා ගැනීමට පැමිණේ.

උදාහරණය 4

දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක පොදු විසඳුම සොයන්න

විසඳුමක්:මෙම සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ කොටසක් ඇත, එබැවින් නිශ්චිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමේ ක්‍රමය ක්‍රියා නොකරන බව අපට වහාම පැවසිය හැකිය. අපි අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු.

කිසිවක් ගිගුරුම් සහිත වැස්සක් නිරූපණය නොකරයි, විසඳුමේ ආරම්භය තරමක් සාමාන්‍ය ය:

අපි සොයා බලමු පොදු තීරණයඅදාළ සමජාතීයසමීකරණ:

රචනා කර තීරණය කරන්න ලක්ෂණ සමීකරණය:


- සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් ලබා ගනී, එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

පොදු විසඳුමේ වාර්තාවට අවධානය යොමු කරන්න - වරහන් තිබේ නම්, ඒවා විවෘත කරන්න.

දැන් අපි පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයට සමාන උපක්‍රමයක් කරන්නෙමු: අපි නියතයන් වෙනස් කරන්නෙමු, ඒවා නොදන්නා ශ්‍රිතවලින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නෙමු. එනම්, සමජාතීය නොවන පොදු විසඳුමඅපි පෝරමයේ සමීකරණ සොයන්නෙමු:

කොහෙද - තවමනොදන්නා කාර්යයන්.

කුණු කන්දක් වගේ ගෘහස්ථ කසල, නමුත් දැන් අපි සියල්ල වර්ග කරමු.

ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් නොදන්නා ලෙස ක්‍රියා කරයි. අපගේ ඉලක්කය වන්නේ ව්‍යුත්පන්න සොයා ගැනීම වන අතර, සොයාගත් ව්‍යුත්පන්නයන් පද්ධතියේ පළමු සහ දෙවන සමීකරණ දෙකම තෘප්තිමත් කළ යුතුය.

"ක්‍රීඩා" පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද? කොකු ඒවා ගෙන එයි. අපි කලින් ලබාගත් සාමාන්‍ය විසඳුම දෙස බලා මෙසේ ලියන්නෙමු:

අපි ව්‍යුත්පන්න සොයා ගනිමු:

වම් පැත්ත සමඟ කටයුතු කරන්න. දකුණු පසින් ඇත්තේ කුමක්ද?

මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත වේ, මෙම නඩුව:

සංගුණකය යනු දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ සංගුණකයයි:

ප්රායෝගිකව, සෑම විටම පාහේ, අපගේ ආදර්ශය ව්යතිරේකයක් නොවේ.

සියල්ල ඉවත් කර ඇත, දැන් ඔබට පද්ධතියක් නිර්මාණය කළ හැකිය:

පද්ධතිය සාමාන්යයෙන් විසඳා ඇත ක්රේමර්ගේ සූත්ර අනුවසම්මත ඇල්ගොරිතම භාවිතා කරමින්. එකම වෙනස නම් සංඛ්‍යා වෙනුවට අපට ශ්‍රිත තිබීමයි.

පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය සොයා ගන්න:

"දෙකෙන් දෙක" නිර්ණායකය හෙළිදරව් කරන ආකාරය ඔබට අමතක නම්, පාඩම වෙත යොමු වන්න නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?සබැඳිය ලජ්ජාවේ පුවරුවට යොමු කරයි =)

ඉතින්: , එබැවින් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

අපි ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

නමුත් එය පමණක් නොවේ, මෙතෙක් අපට සොයා ගෙන ඇත්තේ ව්‍යුත්පන්නය පමණි.
ශ්‍රිතයම අනුකලනය මගින් ප්‍රතිෂ්ඨාපනය වේ:

දෙවන කාර්යය දෙස බලමු:

මෙන්න අපි "සාමාන්ය" නියතයක් එකතු කරමු

විසඳුමේ අවසාන අදියරේදී, අපි සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම සොයමින් සිටියේ කුමන ආකාරයෙන්ද යන්න අපට මතකද? එවැනි:

ඔබට අවශ්‍ය විශේෂාංග දැන් සොයාගෙන ඇත!

ආදේශනය සිදු කිරීමට සහ පිළිතුර ලිවීමට ඉතිරිව ඇත:

පිළිතුර:පොදු තීරණය:

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, පිළිතුර වරහන් විවෘත කළ හැකිය.

පිළිතුර සම්පූර්ණයෙන් පරීක්ෂා කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ ය සම්මත යෝජනා ක්රමය, පාඩමෙහි සාකච්ඡා කරන ලදී 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය DE. නමුත් සත්‍යාපනය පහසු නොවනු ඇත, මන්ද අපට තරමක් බර ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමට සහ අපහසු ආදේශනයක් සිදු කිරීමට සිදුවනු ඇත. ඔබ මෙවැනි වෙනස්කම් විසඳන විට මෙය නරක ලක්ෂණයකි.

උදාහරණ 5

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය මගින් අවකල සමීකරණය විසඳන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, දකුණු පැත්ත ද කොටසකි. අපට මතකයි ත්රිකෝණමිතික සූත්රය, මාර්ගය වන විට, එය විසඳුමේ පාඨමාලාවේ යෙදිය යුතුය.

අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය වඩාත්ම වේ සාමාන්ය ක්රමය. ඔවුන්ට විසඳිය හැකි ඕනෑම සමීකරණයක් විසඳිය හැකිය දකුණු පැත්තේ ස්වරූපය අනුව විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීමේ ක්රමය. ප්‍රශ්නය පැනනගින්නේ, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය එහිද භාවිතා නොකරන්නේ මන්ද? පිළිතුර පැහැදිලිය: පාඩමෙහි සලකා බැලූ විශේෂිත විසඳුමක් තෝරාගැනීම දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය සමීකරණ, විසඳුම සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් කරයි සහ අංකනය අඩු කරයි - නිර්ණායක සහ අනුකලනය සමඟ පටලවා නොගනී.

සමඟ උදාහරණ දෙකක් සලකා බලන්න Cauchy ගැටලුව.

උදාහරණය 6

ලබා දී ඇති ආරම්භක කොන්දේසි වලට අනුරූප වන අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න

,

විසඳුමක්:නැවතත් භාගයක් සහ ඝාතකයක් සිත්ගන්නා ස්ථානය.
අපි අත්තනෝමතික නියතවල විචලනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු.

අපි සොයා බලමු පොදු තීරණයඅදාළ සමජාතීයසමීකරණ:



- විවිධ සැබෑ මූලයන් ලබා ගනී, එබැවින් පොදු විසඳුම වන්නේ:

සමජාතීය නොවන පොදු විසඳුමඅපි පෝරමයේ සමීකරණ සොයන්නෙමු: , කොහෙද - තවමනොදන්නා කාර්යයන්.

අපි පද්ධතියක් නිර්මාණය කරමු:

මේ අවස්ථාවේ දී:
,
ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම:
,

මේ ක්රමයෙන්:

අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්නෙමු:
, එබැවින් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

අපි ඒකාබද්ධ කිරීම මගින් කාර්යය ප්රතිෂ්ඨාපනය කරමු:

මෙහි භාවිතා වේ අවකල ලකුණක් යටතේ ශ්‍රිතයක් ගෙන ඒමේ ක්‍රමය.

අපි දෙවන කාර්යය අනුකලනය මගින් ප්රතිෂ්ඨාපනය කරමු:

එවැනි අනුකලනයක් විසඳනු ලැබේ විචල්ය ආදේශන ක්රමය:

ආදේශනයෙන් ම, අපි ප්රකාශ කරන්නේ:

මේ ක්රමයෙන්:

මෙම අනුකලනය සොයාගත හැකිය සම්පූර්ණ හතරැස් තේරීමේ ක්රමය, නමුත් diffurs සමඟ උදාහරණ වලදී, මම භාගය පුළුල් කිරීමට කැමැත්තෙමි අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය:

කාර්යයන් දෙකම හමු විය:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:

මූලික කොන්දේසි සපුරාලන විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න .

තාක්ෂණික වශයෙන්, විසඳුමක් සෙවීම සම්මත ආකාරයකින් සිදු කරනු ලැබේ, එය ලිපියේ සාකච්ඡා කරන ලදී. සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.

රැඳී සිටින්න, දැන් අපි සොයාගත් සාමාන්‍ය විසඳුමේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:

මෙන්න එවැනි අපකීර්තියක්. එය සරල කිරීම අවශ්ය නොවේ, සමීකරණ පද්ධතියක් වහාම සකස් කිරීම පහසුය. මූලික කොන්දේසි අනුව :

නියතයන්ගේ සොයාගත් අගයන් ආදේශ කරන්න පොදු විසඳුමකට:

පිළිතුරෙහි, ලඝුගණක ටිකක් ඇසුරුම් කළ හැක.

පිළිතුර:පුද්ගලික විසඳුම:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අනුකලනය සහ ව්යුත්පන්නයන් තුළ දුෂ්කරතා මතු විය හැකි නමුත්, අත්තනෝමතික නියතයන්ගේ විචලනය කිරීමේ ක්රමයේ ඇල්ගොරිතමයේ නොවේ. ඔබව බිය ගැන්වූයේ මම නොවේ, මේ සියල්ල කුස්නෙට්සොව්ගේ එකතුවකි!

ලිහිල් කිරීමට, අවසාන, සරල, ස්වයං-විසඳුම් උදාහරණයක්:

උදාහරණ 7

Cauchy ගැටලුව විසඳන්න

,

උදාහරණය සරලයි, නමුත් නිර්මාණශීලීයි, ඔබ පද්ධතියක් සාදන විට, තීරණය කිරීමට පෙර එය හොඳින් බලන්න ;-),




ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පොදු විසඳුම වන්නේ:

ආරම්භක කොන්දේසි වලට අනුරූප විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගන්න .



අපි නියතයන්ගේ සොයාගත් අගයන් සාමාන්‍ය විසඳුමට ආදේශ කරමු:

පිළිතුර:පුද්ගලික විසඳුම:

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය

රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයකට විසඳුමක් තැනීම සඳහා අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය

ඒ n (ටී)z (n) (ටී) + ඒ n − 1 (ටී)z (n − 1) (ටී) + ... + ඒ 1 (ටී)z"(ටී) + ඒ 0 (ටී)z(ටී) = f(ටී)

අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේදී සමන්විත වේ c කේපොදු තීරණය තුළ

z(ටී) = c 1 z 1 (ටී) + c 2 z 2 (ටී) + ... + c n z n (ටී)

අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය

ඒ n (ටී)z (n) (ටී) + ඒ n − 1 (ටී)z (n − 1) (ටී) + ... + ඒ 1 (ටී)z"(ටී) + ඒ 0 (ටී)z(ටී) = 0

උපකාරක කාර්යයන් සඳහා c කේ (ටී) , එහි ව්‍යුත්පන්නයන් රේඛීය වීජීය පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරයි

පද්ධතියේ නිර්ණායකය (1) ශ්‍රිතවල Wronskian වේ z 1 ,z 2 ,...,z n , සම්බන්ධයෙන් එහි අද්විතීය විසදුම් බව සහතික කරයි.

ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න නම් ඒකාග්‍රතාවයේ නියත අගයන් සඳහා ගනු ලැබේ නම්, ශ්‍රිතය

මුල් රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයට විසඳුමක් වේ. අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුමක් ඉදිරියේ සමජාතීය සමීකරණයක් ඒකාබද්ධ කිරීම මෙලෙස චතුරස්රයන් දක්වා අඩු වේ.

දෛශික සාමාන්‍ය ස්වරූපයෙන් රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් තැනීම සඳහා අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය

ආකෘතියේ විශේෂිත විසඳුමක් (1) තැනීමේදී සමන්විත වේ

කොහෙද Z(ටී) අනුකෘතියක් ලෙස ලියා ඇති අනුරූප සමජාතීය සමීකරණයේ විසඳුම්වල පදනම වේ, සහ දෛශික කාර්යය, අත්තනෝමතික නියත වල දෛශිකය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන ලද, සම්බන්ධතාවය මගින් අර්ථ දැක්වේ. අපේක්ෂිත විශේෂිත විසඳුම (ශුන්‍ය ආරම්භක අගයන් සමඟ ටී = ටී 0 පෝරමය ඇත

නියත සංගුණක සහිත පද්ධතියක් සඳහා, අවසාන ප්‍රකාශනය සරල කර ඇත:

Matrix Z(ටී)Z- 1 (τ)කියලා Cauchy matrixක්රියාකරු එල් = ඒ(ටී) .

බාහිර සබැඳි

• exponenta.ru - උදාහරණ සමඟ න්‍යායාත්මක යොමුව

විකිමීඩියා පදනම. 2010 .