අක්ෂයක් වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන ශරීර පරිමාවන් සොයන්න. පාඩම "නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ ශරීර පරිමාවන් ගණනය කිරීම

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
භාවිතා කිරීම මගින් නිශ්චිත අනුකලනය?

පොදුවේ ගත් කල, නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් සිත්ගන්නා යෙදුම් රාශියක් ඇත, ඔබට රූපයක ප්‍රදේශය, භ්‍රමණය වන ශරීරයේ පරිමාව, චාපයක දිග, මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කළ හැකිය; භ්රමණය සහ තවත් බොහෝ දේ. එබැවින් එය විනෝදජනක වනු ඇත, කරුණාකර සුභවාදීව සිටින්න!

ඛණ්ඩාංක තලයේ පැතලි රූපයක් සිතන්න. හඳුන්වා දුන්නේ? ... මම කල්පනා කරන්නේ කවුද ඉදිරිපත් කළේ කවුද කියලා ... =))) අපි දැනටමත් එහි ප්රදේශය සොයාගෙන ඇත. නමුත් ඊට අමතරව මෙම රූපයඔබට ක්‍රම දෙකකින් කරකවන්න සහ කරකවන්නත් පුළුවන්:

- abscissa අක්ෂය වටා;
- ඕඩිනේට් අක්ෂය වටා.

මෙම ලිපිය අවස්ථා දෙකම පරීක්ෂා කරනු ඇත. භ්‍රමණය කිරීමේ දෙවන ක්‍රමය විශේෂයෙන් සිත්ගන්නා සුළුය, එය වඩාත් දුෂ්කරතා ඇති කරයි, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳුම x-අක්ෂය වටා වඩාත් පොදු භ්‍රමණයට සමාන වේ. ප්රසාද දීමනාවක් ලෙස මම නැවත එන්නෙමි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව, සහ දෙවන ආකාරයෙන් - අක්ෂය දිගේ ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි මම ඔබට කියමි. ද්රව්යය මාතෘකාවට හොඳින් ගැලපෙන බැවින් එය එතරම් ප්රසාද දීමනාවක් නොවේ.

වඩාත් ජනප්රිය ආකාරයේ භ්රමණයෙන් පටන් ගනිමු.

අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

අක්ෂයක් වටා රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ දී මෙන්, විසඳුම ඇඳීමකින් ආරම්භ වේ පැතලි රූපය . එනම්, තලය මත එය රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක් තැනීමට අවශ්ය වන අතර, සමීකරණය අක්ෂය නියම කරන බව අමතක නොකරන්න. චිත්‍රයක් වඩාත් කාර්යක්ෂමව සහ ඉක්මනින් සම්පූර්ණ කරන්නේ කෙසේද යන්න පිටුවල සොයාගත හැකිය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණසහ . මෙය චීන මතක් කිරීමක් වන අතර, මේ අවස්ථාවේදී මම තවදුරටත් වාසය නොකරමි.

මෙහි ඇඳීම තරමක් සරල ය:

අපේක්ෂිත පැතලි රූපය නිල් පැහැයෙන් යුක්ත වේ, එය භ්‍රමණය වීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අක්ෂය වටා සමමිතික වන තරමක් ඩිම්බකෝෂ පියාඹන පීරිසියකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශරීරයට ගණිතමය නමක් ඇත, නමුත් විමර්ශන පොතේ කිසිවක් පැහැදිලි කිරීමට මම කම්මැලි ය, එබැවින් අපි ඉදිරියට යමු.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

සූත්‍රයේ, සංඛ්‍යාව අනුකලයට පෙර තිබිය යුතුය. ඉතින් එය සිදු විය - ජීවිතයේ කැරකෙන සෑම දෙයක්ම මෙම නියතය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

සම්පුර්ණ කරන ලද චිත්‍රයෙන් "a" සහ "be" ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සකසන්නේ කෙසේදැයි අනුමාන කිරීම පහසු යැයි මම සිතමි.

කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. තල රූපය ඉහළින් ඇති පැරබෝලා ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි.

ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ අනුකලනය වර්ග කර ඇත: , මෙලෙස අනුකලනය සැමවිටම ඍණාත්මක නොවේ, එය ඉතා තාර්කික ය.

භාවිතා කරමින් විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව ගණනය කරමු මෙම සූත්රය:

මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, අනුකලනය සෑම විටම පාහේ සරල බව පෙනේ, ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් වීමයි.

පිළිතුර:

ඔබේ පිළිතුරෙහි ඔබ මානය සඳහන් කළ යුතුය - ඝන ඒකක. එනම්, භ්රමණය වන අපගේ ශරීරයේ "කියුබ්" 3.35 ක් පමණ ඇත. ඇයි ඝනක ඒකක? වඩාත්ම විශ්වීය සූත්රගත කිරීම නිසා. ඝන සෙන්ටිමීටර විය හැක, විය හැක ඝන මීටර්, සමහර විට ඝන කිලෝමීටර්, ආදිය, ඔබේ පරිකල්පනය පියාඹන පීරිසියක දමා ගත හැකි කුඩා කොළ මිනිසුන් කොපමණ වේ.

රේඛා වලින් මායිම් වූ රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව සොයන්න, ,

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

අපි තවත් දෙකක් සලකා බලමු සංකීර්ණ කාර්යයන්, ප්රායෝගිකව ද බොහෝ විට හමු වේ.

රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ

විසඳුමක්: සමීකරණය මගින් අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ඇඳීමේදී අපි නිරූපණය කරමු:

අපේක්ෂිත රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත. එය එහි අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන විට, එය කොන් හතරක් සහිත ඩෝනට් එකක් බවට පත්වේ.

අපි විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරමු ශරීර පරිමාවේ වෙනස.

පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. එය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ලබා ගනී. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව අපි දක්වන්නෙමු.

රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න කොළ. ඔබ මෙම රූපය අක්ෂය වටා කරකවන්නේ නම්, ඔබට කුඩා කේතුවක් ද ලැබෙනු ඇත. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු.

තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.

භ්‍රමණ ශරීරයක පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සම්මත සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය සරල රේඛාවකින් ඉහළින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය සරල රේඛාවකින් ඉහළින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව:

පිළිතුර:

තුළ සිටීම කුතුහලයට කරුණකි මේ අවස්ථාවේ දීකප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකිය.

තීරණය බොහෝ විට කෙටියෙන් ලියා ඇත, මේ වගේ දෙයක්:

දැන් අපි ටිකක් විවේක ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන ඔබට කියමු.

මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්‍යාවන් ඇත, එය පොතේ පෙරෙල්මන් (තවත්) විසින් නිරීක්ෂණය කරන ලදී විනෝදාත්මක ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු තම මුළු ජීවිත කාලය තුළම 18 ක ප්රදේශයක් සහිත කාමරයකට සමාන පානය කරයි. වර්ග මීටර, ඊට පටහැනිව, පරිමාව ඉතා කුඩා බව පෙනේ.

අනතුරුව ගීතමය අපගමනයතීරණය කිරීම සුදුසුය නිර්මාණාත්මක කාර්යය:

රේඛා වලින් මායිම් වූ පැතලි රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , , කොහෙද .

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සියලුම අවස්ථා සංගීත කණ්ඩායම තුළ සිදුවන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සූදානම් කළ සීමාවන් ඇත්ත වශයෙන්ම ලබා දී ඇත. ප්‍රස්ථාර නිවැරදිව අඳින්න ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, ගැන පාඩම් තොරතුරු ඔබට මතක් කිරීමට ඉඩ දෙන්න ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය: තර්කය දෙකකින් බෙදුවහොත්: , එවිට ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීම සුදුසුය ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුවඇඳීම වඩාත් නිවැරදිව සම්පූර්ණ කිරීමට. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.

භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම
අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

දෙවන ඡේදය පළමු ඡේදයට වඩා රසවත් වනු ඇත. ඕඩිනේට් අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමේ කාර්යය ද බොහෝ විට ආගන්තුකයෙකි. පරීක්ෂණ. මාර්ගය ඔස්සේ එය සලකා බලනු ඇත රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුවදෙවන ක්‍රමය වන්නේ අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ වීමයි, මෙය ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීමට පමණක් නොව, වඩාත්ම ලාභදායී විසඳුම් මාර්ගය සොයා ගැනීමට ඔබට උගන්වනු ඇත. මේකේ ප්‍රායෝගික ජීවිතේ තේරුමකුත් තියෙනවා! ගණිතය ඉගැන්වීමේ ක්‍රම පිළිබඳ මගේ ගුරුවරයා සිනහවකින් සිහිපත් කළ පරිදි, බොහෝ උපාධිධාරීන් ඇයට ස්තූති කළේ “ඔබේ විෂය අපට බොහෝ උපකාර විය, දැන් අපි කාර්යක්ෂම කළමනාකරුවන් සහ කාර්ය මණ්ඩලය ප්‍රශස්ත ලෙස කළමනාකරණය කරමු.” මෙම අවස්ථාව ප්‍රයෝජනයට ගනිමින්, මම ඇයට මගේ ඉමහත් කෘතඥතාවය ද ප්‍රකාශ කරමි, විශේෂයෙන් මම ලබාගත් දැනුම එහි අපේක්ෂිත අරමුණු සඳහා භාවිතා කරන බැවින් =).

මම එය සෑම කෙනෙකුටම නිර්දේශ කරමි, සම්පූර්ණ ඩමිස් පවා. එපමනක් නොව, දෙවන ඡේදයේ ඉගෙන ගත් ද්රව්ය ද්විත්ව අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී මිල කළ නොහැකි උපකාරයක් ලබා දෙනු ඇත.

පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත රේඛාවලින් බැඳී ඇත , , .

1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.

අවධානය!ඔබට කියවීමට අවශ්‍ය වන්නේ දෙවන කරුණ පමණක් වුවද, පළමුව පළමු එක කියවීමට වග බලා ගන්න!

විසඳුමක්: කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.

1) අපි චිත්රයක් සාදන්න:

ශ්‍රිතය මඟින් පරාවලයේ ඉහළ ශාඛාව ද ශ්‍රිතය මඟින් පරාවලයේ පහළ ශාඛාව ද සඳහන් කරන බව දැකීම පහසු ය. අප ඉදිරියේ ඇත්තේ "එහි පැත්තේ වැතිර සිටින" සුළු පැරබෝලා ය.

අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.

රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එය පන්තියේ සාකච්ඡා කරන ලද "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. එපමණක් නොව, රූපයේ වර්ගඵලය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙසින් සොයා ගැනේ:
- කොටස මත ;
- කොටස මත.

ඒක තමයි:

මෙම නඩුවේ සාමාන්ය විසඳුම නරක වන්නේ ඇයි? පළමුව, අපට අනුකලන දෙකක් තිබේ. දෙවනුව, අනුකලනය යටතේ මූලයන් ඇති අතර, අනුකලනයන්හි මූලයන් තෑග්ගක් නොවන අතර, ඊට අමතරව, අනුකලනයෙහි සීමාවන් ආදේශ කිරීමේදී ඔබට ව්යාකූල විය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, මිනීමරු නොවේ, නමුත් ප්රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා කණගාටුදායක විය හැකිය, මම ගැටලුව සඳහා "වඩා හොඳ" කාර්යයන් තෝරා ගත්තා.

වඩාත් තාර්කික විසඳුමක් තිබේ: එය ගමන් කිරීමේදී සමන්විත වේ ප්රතිලෝම ශ්රිතසහ අක්ෂය ඔස්සේ ඒකාබද්ධ කිරීම.

ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යන්නේ කෙසේද? දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඔබ "y" හරහා "x" ප්රකාශ කළ යුතුය. පළමුව, අපි පරාවලය දෙස බලමු:

මෙය ප්‍රමාණවත් වේ, නමුත් එම කාර්යයම පහළ ශාඛාවෙන් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි බවට වග බලා ගනිමු:

සරල රේඛාවක් සමඟ එය පහසු ය:

දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්‍ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. මෙම අවස්ථාවේ දී, කොටසේ සරල රේඛාව පරාවලයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ රූපයේ ප්‍රදේශය ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්‍රය භාවිතා කර සොයා ගත යුතු බවයි: . සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් සහ තවත් කිසිවක් නැත.

! සටහන: අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සැකසිය යුතුය තදින් පහළ සිට ඉහළට!

ප්රදේශය සොයා ගැනීම:

කොටස මත, එබැවින්:

මම ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ ආකාරය කරුණාකර සටහන් කරන්න, මෙය වඩාත්ම තාර්කික මාර්ගය වන අතර, කාර්යයේ ඊළඟ ඡේදයේ එය පැහැදිලි වනු ඇත.

ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි:

මුල් අනුකලිත ශ්‍රිතය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීම නිවැරදිව සිදු කර ඇති බවයි.

පිළිතුර:

2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණය මගින් සාදන ලද ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරමු.

මම චිත්‍රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:

ඉතින්, නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ එහි අක්ෂය වටා භ්රමණය වන "සැළෙන සමනලයා" ය.

භ්රමණය වන සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කරනු ඇත. මුලින්ම අපි ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යා යුතුයි. මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇති අතර පෙර ඡේදයේ විස්තරාත්මකව විස්තර කර ඇත.

දැන් අපි නැවතත් අපේ හිස දකුණට ඇල කර අපගේ රූපය අධ්යයනය කරමු. පැහැදිලිවම, භ්‍රමණ ශරීරයක පරිමාව පරිමාවන්හි වෙනස ලෙස සොයාගත යුතුය.

අපි අක්ෂය වටා රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය භ්රමණය කරමු, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ඇති වේ. අපි මෙම වෙළුම මගින් දක්වන්නෙමු.

අපි අක්ෂය වටා හරිත වර්ණයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය කරකවන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස භ්රමණය වන ශරීරයේ පරිමාවෙන් එය දක්වයි.

අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයේ වෙනස කුමක්ද? ලිපියේ පමණි.

නමුත් මම මෑතකදී කතා කළ ඒකාබද්ධතාවයේ වාසිය සොයා ගැනීම වඩා පහසුය , පළමුව අනුකලනය 4 වන බලයට නැංවීමට වඩා.

පිළිතුර:

එකම පැතලි රූපය අක්ෂය වටා කරකැවී ඇත්නම්, ඔබට ස්වභාවිකවම වෙනස් පරිමාවක් සහිත සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් භ්‍රමණ ශරීරයක් ලැබෙනු ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න.

රේඛා සහ අක්ෂයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත.

1) ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගොස් විචල්‍යය හරහා අනුකලනය කිරීමෙන් මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. උනන්දුවක් දක්වන අයට "සාමාන්‍ය" ආකාරයෙන් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගත හැකි අතර එමඟින් ලක්ෂ්‍යය 1 පරීක්ෂා කරයි). නමුත්, මම නැවත නැවතත්, ඔබ අක්ෂය වටා පැතලි රූපයක් කරකවන්නේ නම්, ඔබට වෙනස් පරිමාවක් සහිත සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් භ්රමණ ශරීරයක් ලැබෙනු ඇත, මාර්ගය වන විට, නිවැරදි පිළිතුර (ගැටළු විසඳීමට කැමති අය සඳහාද).

කාර්යයේ යෝජිත කරුණු දෙකට සම්පූර්ණ විසඳුම පාඩම අවසානයේ ඇත.

ඔව්, සහ භ්රමණය වන සිරුරු සහ ඒකාබද්ධතාවයේ සීමාවන් තේරුම් ගැනීමට ඔබේ හිස දකුණට ඇලවීමට අමතක නොකරන්න!

මම ලිපිය ඉවර කරන්න හිටියේ, නමුත් අද ඔවුන් එය ගෙනාවා රසවත් උදාහරණයක්විප්ලවීය අක්ෂය වටා ඇති විප්ලවයේ පරිමාව සොයා ගැනීමට පමණි. නැවුම්:

වක්‍රවලින් සීමා වූ රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි චිත්‍රයක් හදමු:

මඟදී, අපි වෙනත් කාර්යයන්හි ප්‍රස්ථාර සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය සිත්ගන්නා ප්‍රස්ථාරයකි පවා කාර්යය ….

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැකිය:

සූත්‍රයේ, සංඛ්‍යාව අනුකලයට පෙර තිබිය යුතුය. ඉතින් එය සිදු විය - ජීවිතයේ කැරකෙන සෑම දෙයක්ම මෙම නියතය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

සම්පුර්ණ කරන ලද චිත්‍රයෙන් "a" සහ "be" ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සකසන්නේ කෙසේදැයි අනුමාන කිරීම පහසු යැයි මම සිතමි.

කාර්යය... මොකක්ද මේ කාර්යය? අපි චිත්රය දෙස බලමු. තල රූපය ඉහළින් ඇති පැරබෝලා ප්‍රස්ථාරයෙන් මායිම් කර ඇත. සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වන ශ්‍රිතය මෙයයි.

ප්රායෝගික කාර්යයන් වලදී, පැතලි රූපයක් සමහර විට අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි - සූත්‍රයේ ශ්‍රිතය වර්ග කර ඇත: , මෙලෙස විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සෑම විටම ඍණාත්මක නොවේ, එය ඉතා තාර්කික ය.

මෙම සූත්‍රය භාවිතා කර භ්‍රමණ වස්තුවක පරිමාව ගණනය කරමු:

මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, අනුකලනය සෑම විටම පාහේ සරල බව පෙනේ, ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් වීමයි.

පිළිතුර:

ඔබේ පිළිතුරෙහි, ඔබ මානය සඳහන් කළ යුතුය - ඝන ඒකක. එනම්, භ්රමණය වන අපගේ ශරීරයේ "කියුබ්" 3.35 ක් පමණ ඇත. ඇයි ඝනක ඒකක? වඩාත්ම විශ්වීය සූත්රගත කිරීම නිසා. ඝන සෙන්ටිමීටර තිබිය හැකිය, ඝන මීටර් තිබිය හැකිය, ඝන කිලෝමීටර් ආදිය විය හැකිය, ඔබේ පරිකල්පනයට පියාඹන පීරිසියකට දැමිය හැකි හරිත මිනිසුන් කොපමණ ද යන්නයි.

උදාහරණ 2

රේඛා වලින් මායිම් වූ රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව සොයන්න, ,

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

ප්රායෝගිකව බොහෝ විට මුහුණ දෙන වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු දෙකක් සලකා බලමු.

උදාහරණය 3

රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ abscissa අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගත් සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , සහ

විසඳුමක්:සමීකරණය මගින් අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව අමතක නොකර, රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් චිත්‍රයේ නිරූපණය කරමු:

අපේක්ෂිත රූපය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත. එය එහි අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන විට, එය කොන් හතරක් සහිත ඩෝනට් එකක් බවට පත්වේ.

අපි විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරමු ශරීර පරිමාවේ වෙනස.

පළමුව, රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය දෙස බලමු. එය අක්ෂය වටා භ්රමණය වන විට, කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ලබා ගනී. මෙම කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ පරිමාව අපි දක්වන්නෙමු.

කොළ පාටින් රවුම් කර ඇති රූපය සලකා බලන්න. ඔබ මෙම රූපය අක්ෂය වටා කරකවන්නේ නම්, ඔබට කුඩා කේතුවක් ද ලැබෙනු ඇත. අපි එහි පරිමාව දක්වන්නෙමු.

තවද, පැහැදිලිවම, වෙළුම් වල වෙනස හරියටම අපගේ "ඩෝනට්" පරිමාවයි.

භ්‍රමණ ශරීරයක පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සම්මත සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

1) රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය සරල රේඛාවකින් ඉහළින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

2) කොළ පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය සරල රේඛාවකින් ඉහළින් මායිම් කර ඇත, එබැවින්:

3) අපේක්ෂිත විප්ලවයේ පරිමාව:

පිළිතුර:

මෙම අවස්ථාවේ දී කප්පාදු කරන ලද කේතුවක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා පාසල් සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳුම පරීක්ෂා කළ හැකි බව සිත්ගන්නා කරුණකි.

තීරණය බොහෝ විට කෙටියෙන් ලියා ඇත, මේ වගේ දෙයක්:

දැන් අපි ටිකක් විවේක ගෙන ජ්යාමිතික මිත්යාවන් ගැන ඔබට කියමු.

මිනිසුන්ට බොහෝ විට වෙළුම් හා සම්බන්ධ මිත්‍යාවන් ඇත, ඒවා පොතේ පෙරෙල්මන් (එය නොවේ) විසින් නිරීක්ෂණය කරන ලදී. විනෝදාත්මක ජ්යාමිතිය. විසඳන ලද ගැටලුවේ පැතලි රූපය දෙස බලන්න - එය ප්රදේශයෙන් කුඩා බව පෙනේ, සහ විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ඝන ඒකක 50 කට වඩා වැඩි ය, එය ඉතා විශාල බව පෙනේ. මාර්ගය වන විට, සාමාන්ය පුද්ගලයෙකු තම මුළු ජීවිත කාලය තුළම වර්ග මීටර් 18 ක කාමරයකට සමාන දියරයක් පානය කරයි, ඊට පටහැනිව, පරිමාව ඉතා කුඩා බව පෙනේ.

පොදුවේ ගත් කල, සෝවියට් සංගමයේ අධ්‍යාපන ක්‍රමය සැබවින්ම හොඳම විය. 1950 දී ඔහු විසින් ලියන ලද පෙරල්මන්ගේ එම පොත ඉතා හොඳින් වර්ධනය වේ, හාස්‍ය රචකයා පැවසූ පරිදි, සලකා බැලීම සහ මුල් පිටපත සෙවීමට කෙනෙකුට උගන්වයි. සම්මත නොවන විසඳුම්ගැටලු. මම මෑතකදී ඉතා උනන්දුවෙන් සමහර පරිච්ඡේද නැවත කියෙව්වා, මම එය නිර්දේශ කරමි, එය මානවවාදීන්ට පවා ප්රවේශ විය හැකිය. නැත, මම නිදහස් කාලයක් ලබා දුන් බව ඔබ සිනාසීමට අවශ්ය නැත, විචක්ෂණශීලීත්වය සහ සන්නිවේදනයේ පුළුල් ක්ෂිතිජය විශිෂ්ට දෙයක්.

ගීතමය අපගමනයකින් පසුව, නිර්මාණාත්මක කාර්යයක් විසඳීම සුදුසු ය:

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් මායිම් වූ පැතලි රූපයක අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න , , කොහෙද .

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සංගීත කණ්ඩායම තුළ සියලු දේ සිදු වන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඒකාබද්ධ කිරීමේ ප්‍රායෝගිකව සූදානම් කළ සීමාවන් ලබා දී ඇත. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර නිවැරදිව ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න: තර්කය දෙකකින් බෙදේ නම්: ප්‍රස්ථාර අක්ෂය දිගේ දෙවරක් දිගු වේ. අවම වශයෙන් ලකුණු 3-4 ක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න ත්‍රිකෝණමිතික වගු වලට අනුවසහ වඩාත් නිවැරදිව ඇඳීම සම්පූර්ණ කරන්න. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. මාර්ගය වන විට, කාර්යය තාර්කිකව විසඳා ගත හැකි අතර ඉතා තාර්කික නොවේ.

භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීම
අක්ෂයක් වටා පැතලි රූපයක්

දෙවන ඡේදය පළමු ඡේදයට වඩා රසවත් වනු ඇත. ඕඩිනේට් අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමේ කාර්යය ද පරීක්ෂණ කාර්යයේ තරමක් පොදු ආගන්තුකයෙකි. මාර්ගය ඔස්සේ එය සලකා බලනු ඇත රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුවදෙවන ක්‍රමය වන්නේ අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ වීමයි, මෙය ඔබේ කුසලතා වැඩි දියුණු කිරීමට පමණක් නොව, වඩාත්ම ලාභදායී විසඳුම් මාර්ගය සොයා ගැනීමට ඔබට උගන්වනු ඇත. මේකේ ප්‍රායෝගික ජීවිතේ තේරුමකුත් තියෙනවා! ගණිතය ඉගැන්වීමේ ක්‍රම පිළිබඳ මගේ ගුරුවරයා සිනහවකින් සිහිපත් කළ පරිදි, බොහෝ උපාධිධාරීන් ඇයට ස්තූති කළේ “ඔබේ විෂය අපට බොහෝ උපකාර විය, දැන් අපි කාර්යක්ෂම කළමනාකරුවන් සහ කාර්ය මණ්ඩලය ප්‍රශස්ත ලෙස කළමනාකරණය කරමු.” මෙම අවස්ථාව ප්‍රයෝජනයට ගනිමින්, මම ඇයට මගේ ඉමහත් කෘතඥතාවය ද ප්‍රකාශ කරමි, විශේෂයෙන් මම ලබාගත් දැනුම එහි අපේක්ෂිත අරමුණු සඳහා භාවිතා කරන බැවින් =).

උදාහරණ 5

රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත, , .

1) මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව සොයා ගන්න.

අවධානය!ඔබට දෙවන කරුණ පමණක් කියවීමට අවශ්‍ය වුවද, පළමුව අනිවාර්යයෙන්පළමු එක කියවන්න!

විසඳුමක්:කාර්යය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ. අපි චතුරස්රයෙන් පටන් ගනිමු.

1) අපි චිත්රයක් සාදන්න:

ශ්‍රිතය මඟින් පරාවලයේ ඉහළ ශාඛාව ද ශ්‍රිතය මඟින් පරාවලයේ පහළ ශාඛාව ද සඳහන් කරන බව දැකීම පහසු ය. අප ඉදිරියේ ඇත්තේ "එහි පැත්තේ වැතිර සිටින" සුළු පැරබෝලා ය.

අපේක්ෂිත රූපය, සොයා ගත යුතු ප්රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත.

රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එය පන්තියේ සාකච්ඡා කරන ලද "සාමාන්ය" ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. එපමණක් නොව, රූපයේ වර්ගඵලය ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙසින් සොයා ගැනේ:
- කොටස මත ;
- කොටස මත.

ඒක තමයි:

මෙම නඩුවේ සාමාන්ය විසඳුම නරක වන්නේ ඇයි? පළමුව, අපට අනුකලන දෙකක් තිබේ. දෙවනුව, අනුකලනය මූලයන් වන අතර අනුකලනයේ මූලයන් තෑග්ගක් නොවන අතර, ඊට අමතරව, අනුකලනයේ සීමාවන් ආදේශ කිරීමේදී ඔබට ව්යාකූල විය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, මිනීමරු නොවේ, නමුත් ප්රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩා කණගාටුදායක විය හැකිය, මම ගැටලුව සඳහා "වඩා හොඳ" කාර්යයන් තෝරා ගත්තා.

වඩාත් තාර්කික විසඳුමක් ඇත: එය ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් වෙත මාරු කිරීම සහ අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කිරීම සමන්විත වේ.

ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යන්නේ කෙසේද? දළ වශයෙන් කිවහොත්, ඔබ "y" හරහා "x" ප්රකාශ කළ යුතුය. පළමුව, අපි පරාවලය දෙස බලමු:

මෙය ප්‍රමාණවත් වේ, නමුත් එම කාර්යයම පහළ ශාඛාවෙන් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි බවට වග බලා ගනිමු:

සරල රේඛාවක් සමඟ එය පහසු ය:

දැන් අක්ෂය දෙස බලන්න: කරුණාකර ඔබ පැහැදිලි කරන පරිදි වරින් වර ඔබේ හිස අංශක 90 ක් දකුණට ඇල කරන්න (මෙය විහිළුවක් නොවේ!). අපට අවශ්‍ය රූපය රතු තිත් රේඛාවෙන් දැක්වෙන කොටසේ පිහිටා ඇත. මෙම අවස්ථාවේ දී, කොටසේ සරල රේඛාව පරාවලයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ රූපයේ ප්‍රදේශය ඔබට දැනටමත් හුරුපුරුදු සූත්‍රය භාවිතා කර සොයා ගත යුතු බවයි: . සූත්‍රයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? ලිපියක් සහ තවත් කිසිවක් නැත.

! සටහන: අක්ෂය දිගේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සැකසිය යුතුය තදින් පහළ සිට ඉහළට!

ප්රදේශය සොයා ගැනීම:

කොටස මත, එබැවින්:

මම ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කළ ආකාරය කරුණාකර සටහන් කරන්න, මෙය වඩාත්ම තාර්කික මාර්ගය වන අතර, කාර්යයේ ඊළඟ ඡේදයේ එය පැහැදිලි වනු ඇත.

ඒකාබද්ධයේ නිවැරදි බව සැක කරන පාඨකයන් සඳහා, මම ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගන්නෙමි:

මුල් අනුකලිත ශ්‍රිතය ලබා ගනී, එයින් අදහස් වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීම නිවැරදිව සිදු කර ඇති බවයි.

පිළිතුර:

2) අක්ෂය වටා මෙම රූපයේ භ්රමණය මගින් සාදන ලද ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරමු.

මම චිත්‍රය තරමක් වෙනස් මෝස්තරයකින් නැවත අඳින්නෙමි:

ඉතින්, නිල් පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපය අක්ෂය වටා භ්රමණය වේ. එහි ප්රතිඵලය වන්නේ එහි අක්ෂය වටා භ්රමණය වන "සැළෙන සමනලයා" ය.

භ්රමණය වන සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි අක්ෂය ඔස්සේ අනුකලනය කරනු ඇත. මුලින්ම අපි ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යා යුතුයි. මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇති අතර පෙර ඡේදයේ විස්තරාත්මකව විස්තර කර ඇත.

දැන් අපි නැවතත් අපේ හිස දකුණට ඇල කර අපගේ රූපය අධ්යයනය කරමු. පැහැදිලිවම, භ්‍රමණ ශරීරයක පරිමාව පරිමාවන්හි වෙනස ලෙස සොයාගත යුතුය.

අපි අක්ෂය වටා රතු පැහැයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය භ්රමණය කරමු, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ඇති වේ. අපි මෙම වෙළුම මගින් දක්වන්නෙමු.

අපි අක්ෂය වටා හරිත වර්ණයෙන් රවුම් කර ඇති රූපය කරකවන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස භ්රමණය වන ශරීරයේ පරිමාවෙන් එය දක්වයි.

අපගේ සමනලයාගේ පරිමාව පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ.

විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සොයා ගැනීමට අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු:

පෙර ඡේදයේ සූත්‍රයේ වෙනස කුමක්ද? ලිපියේ පමණි.

නමුත් මම මෑතකදී කතා කළ ඒකාබද්ධතාවයේ වාසිය සොයා ගැනීම වඩා පහසුය , පළමුව අනුකලනය 4 වන බලයට නැංවීමට වඩා.

පිළිතුර:

කෙසේ වෙතත්, අසනීප සමනලයෙක් නොවේ.

එකම පැතලි රූපය අක්ෂය වටා කරකැවී ඇත්නම්, ඔබට ස්වභාවිකවම වෙනස් පරිමාවක් සහිත සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් භ්‍රමණ ශරීරයක් ලැබෙනු ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න.

උදාහරණය 6

රේඛා සහ අක්ෂයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් ලබා දී ඇත.

1) ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත ගොස් විචල්‍යය හරහා අනුකලනය කිරීමෙන් මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.
2) අක්ෂය වටා මෙම රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

විප්ලවයේ සිරුරු පරිමාව සොයා ගැනීමට අනුකලනය භාවිතා කිරීම

ගණිතයේ ප්‍රායෝගික ප්‍රයෝජනයට හේතු වී ඇත්තේ එය නොමැති වීමයි

විශේෂිත ගණිතමය දැනුම උපාංගයේ මූලධර්ම සහ නවීන තාක්ෂණය භාවිතා කිරීම තේරුම් ගැනීමට අපහසු වේ. ඔහුගේ ජීවිතයේ සෑම පුද්ගලයෙකුටම තරමක් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට, බහුලව භාවිතා වන උපකරණ භාවිතා කිරීමට, විමර්ශන පොත්වල අවශ්ය සූත්ර සොයා ගැනීමට සහ ගැටළු විසඳීම සඳහා සරල ඇල්ගොරිතම නිර්මාණය කිරීමට සිදු වේ. තුල නූතන සමාජයවැඩි වැඩියෙන් විශේෂතා අවශ්ය වේ ඉහළ මට්ටමේඅධ්‍යාපනය ගණිතයේ සෘජු යෙදුම සමඟ සම්බන්ධ වේ. මේ අනුව, ගණිතය ශිෂ්‍යයෙකුට වෘත්තීයමය වශයෙන් වැදගත් විෂයයක් බවට පත්වේ. ඇල්ගොරිතම චින්තනය ගොඩනැගීමේදී ප්‍රමුඛ කාර්යභාරය ගණිතයට අයත් වේ;

විප්ලවයේ සිරුරුවල පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා අනුකලනය භාවිතා කිරීමේ මාතෘකාව අධ්‍යයනය කරන අතරතුර, තේරීම් පන්තිවල සිසුන් මාතෘකාව සලකා බලන ලෙස මම යෝජනා කරමි: “අනුකලනයන් භාවිතා කරන විප්ලවයේ ශරීර පරිමාවන්”. මෙම මාතෘකාව සලකා බැලීම සඳහා ක්‍රමවේද නිර්දේශ පහත දැක්වේ:

1. පැතලි රූපයක ප්රදේශය.

වීජ ගණිත පාඨමාලාවෙන් අපි දන්නවා ප්‍රායෝගික ස්වභාවයේ ගැටළු නිශ්චිත අනුකලනයක්..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" සංකල්පයට හේතු වූ බව. >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන විප්ලවයේ සිරුරක පරිමාව සොයා ගැනීමට වක්ර trapezoid Ox අක්ෂය වටා, කැඩුණු රේඛාව y=f(x), Ox අක්ෂය, සරල රේඛා x=a සහ x=b මගින් සීමා කර ඇති අතර, අපි සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කරමු

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.සිලින්ඩර පරිමාව.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">කේතුව භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගනී සෘජු ත්රිකෝණය ABC(C=90) කකුලේ AC පිහිටා ඇති ඔක්ස් අක්ෂය වටා.

AB කොටස පිහිටා ඇත්තේ y=kx+c, https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> යන සරල රේඛාවේ ය.

a=0, b=H (H යනු කේතුවේ උස), ඉන්පසු Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.කපන ලද කේතුවක පරිමාව.

භ්රමණය වීමෙන් කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් ලබා ගත හැකිය සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid Ox අක්ෂය වටා ABCD (CDOx).

AB ඛණ්ඩය y=kx+c, සරල රේඛාවේ පිහිටා ඇත , c=r.

සරල රේඛාව A (0;r) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන බැවින්.

මේ අනුව, සරල රේඛාව පෙනෙන්නේ https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

a=0, b=H (H යනු කප්පාදු කරන ලද කේතුවේ උස) යමු, ඉන්පසු https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src = "> = .

6. පන්දුවේ පරිමාව.

Ox අක්ෂය වටා කේන්ද්‍රය (0;0) සහිත කවයක් කරකැවීමෙන් පන්දුව ලබා ගත හැක. Ox අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති අර්ධ වෘත්තාකාරය සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. විප්ලවයේ සිරුරු පරිමාව. G. M. Fikhtengolts ගේ පෙළපොතෙන් XII පරිච්ඡේදය, 197, 198 ඡේද මූලික වශයෙන් අධ්‍යයනය කරන්න * 198 ඡේදයේ දක්වා ඇති උදාහරණ විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරන්න.

508. Ox අක්ෂය වටා ඉලිප්සයක් කරකැවීමෙන් සෑදෙන සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්න.

මේ අනුව,

530. sinusoid චාපයේ Ox අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන මතුපිට ප්‍රදේශය සොයන්න y = sin x ලක්ෂ්‍යය X = 0 සිට X = එය දක්වා.

531. උස h සහ අරය r සහිත කේතුවක මතුපිට වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.

532. සෑදූ මතුපිට ප්රදේශය ගණනය කරන්න

ඔක්ස් අක්ෂය වටා x3 -)- y* - a3 භ්‍රමණය වීම.

533. Ox අක්ෂය වටා 18 ug - x (6 - x) z වක්‍රයේ පුඩුව භ්‍රමණය කිරීමෙන් සාදන ලද මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කරන්න.

534. Ox අක්ෂය වටා X2 - j - (y-3)2 = 4 කවයේ භ්‍රමණයෙන් නිපදවන ටෝරස් මතුපිට සොයන්න.

535. Ox අක්ෂය වටා X = a cost, y = asint කවයේ භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කරන්න.

536. Ox අක්ෂය වටා x = 9t2, y = St - 9t3 වක්‍රයේ ලූපයේ භ්‍රමණයෙන් සාදන ලද මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කරන්න.

537. Ox අක්ෂය වටා x = e* sint, y = el යන වක්‍රයේ චාපයේ භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන මතුපිට ප්‍රදේශය සොයන්න

t = 0 සිට t = —.

538. Oy අක්ෂය වටා cycloid arc x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) භ්‍රමණයෙන් නිපදවන මතුපිට 16 u2 o2 ට සමාන බව පෙන්වන්න.

539. ධ්‍රැවීය අක්ෂය වටා කාඩියොයිඩ් කරකැවීමෙන් ලබාගත් මතුපිට සොයන්න.

540. ලෙම්නිස්කේට් භ්‍රමණයෙන් සාදන ලද මතුපිට ප්‍රදේශය සොයන්න ධ්රැවීය අක්ෂය වටා.

IV පරිච්ඡේදය සඳහා අමතර කාර්යයන්

ගුවන් යානා රූප ඇති ප්‍රදේශ

541. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ මුළු ප්‍රදේශයම සොයන්න සහ අක්ෂය Ox.

542. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සොයන්න

සහ අක්ෂය Ox.

543. පළමු චතුරස්‍රයේ පිහිටා ඇති සහ වක්‍රයෙන් මායිම් වූ කලාපයේ ප්‍රදේශයේ කොටස සොයන්න

l සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ.

544. ඇතුළත ඇති කලාපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න

ලූප:

545. වක්‍රයේ එක් ලූපයකින් සීමා වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සොයන්න:

546. ලූපය තුළ ඇති කලාපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න:

547. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සොයන්න

සහ අක්ෂය Ox.

548. වක්‍රයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සොයන්න

සහ අක්ෂය Ox.

549. Oxr අක්ෂයෙන් සීමා වූ කලාපයේ ප්‍රදේශය සොයන්න

කෙළින්ම සහ වක්රය

T යනු ඉහළ අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති curvilinear trapezoid හි x-අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන විප්ලවයේ ශරීරයක් වන අතර x-අක්ෂයෙන් සීමා වේ, සරල රේඛා x=a සහ x=b සහ ප්‍රස්ථාර අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය y=f(x) .

මෙය එසේ බව ඔප්පු කරමු විප්ලවයේ ශරීරය ඝනක වන අතර එහි පරිමාව සූත්‍රය මගින් ප්‍රකාශ වේ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

පළමුව, අපි \Pi ලෙස භ්‍රමණ අක්ෂයට ලම්බකව Oyz තලය තෝරා ගන්නේ නම්, මෙම විප්ලවයේ සිරුර විධිමත් බව අපි ඔප්පු කරමු. Oyz තලයේ සිට x දුරින් පිහිටා ඇති කොටස f(x) අරය කවයක් වන අතර එහි S(x) ප්‍රදේශය \pi f^2(x) ට සමාන වන බව සලකන්න (රූපය 46). එබැවින් f(x) හි අඛණ්ඩතාව හේතුවෙන් S(x) ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව පවතී. ඊළඟට, නම් S(x_1)\leqslant S(x_2), එවිට මෙයින් අදහස් වන්නේ එයයි. නමුත් Oyz තලය මත ඇති කොටස්වල ප්‍රක්ෂේපනය වන්නේ O කේන්ද්‍රය සහිත f(x_1) සහ f(x_2) රේඩියේ කවයන් වන අතර, f(x_1)\leqslant f(x_2) f(x_2) අරය කවයක් තුළ f(x_1) අරය කවයක් අඩංගු බව එයින් කියවේ.

ඉතින්, විප්ලවයේ ශරීරය නිතිපතා ය. එබැවින්, එය ඝනකයක් වන අතර එහි පරිමාව සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

වක්‍ර රේඛීය trapezoid එකක් y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) යන වක්‍රවලින් යටින් සහ ඉහළින් මායිම් කර ඇත්නම්, එවිට

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

භ්‍රමණය වන රූපයක මායිම ලබා දී ඇති අවස්ථාවකදී විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කිරීමට සූත්‍රය (3) භාවිතා කළ හැකිය. පරාමිතික සමීකරණ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට නිශ්චිත අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍යයේ වෙනසක් භාවිතා කළ යුතුය.

සමහර අවස්ථාවල භ්‍රමණ සිරුරු සෘජු චක්‍රලේඛ සිලින්ඩරවලට නොව වෙනත් වර්ගයක රූපවලට දිරාපත් කිරීම පහසු වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි සොයා ගනිමු ඕඩිනේට් අක්ෂය වටා වක්‍ර ට්‍රැපෙසොයිඩ් කරකැවීමෙන් ලබාගත් සිරුරේ පරිමාව. පළමුව, y# උස සහිත සෘජුකෝණාස්‍රයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් පරිමාව සොයා ගනිමු, එහි පාදයේ කොටස පිහිටා ඇත. මෙම පරිමාව සෘජු චක්රලේඛ සිලින්ඩර දෙකක පරිමාවේ වෙනසට සමාන වේ

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

නමුත් දැන් පැහැදිලි වන්නේ අවශ්‍ය පරිමාව පහතින් සහ ඉහලින් ඇස්තමේන්තු කර ඇති බවයි.

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

එය මෙතැන් සිට පහසුවෙන් අනුගමනය කරයි ඕඩිනේට් අක්ෂය වටා විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව සඳහා සූත්‍රය:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

උදාහරණය 4. R අරය ඇති බෝලයක පරිමාව සොයා ගනිමු.

විසඳුමක්.සාමාන්‍යභාවය නැතිවීමකින් තොරව, මූලාරම්භයේ කේන්ද්‍රය සහිත R අරය කවයක් අපි සලකා බලමු. Ox අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන මෙම කවය බෝලයක් සාදයි. වෘත්තයක සමීකරණය x^2+y^2=R^2 වේ, එබැවින් y^2=R^2-x^2. ඕඩිනේට් අක්ෂයට සාපේක්ෂව රවුමේ සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි මුලින්ම අවශ්‍ය පරිමාවෙන් අඩක් සොයා ගනිමු

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\වම(R^3- \frac(R^3)(3)\දකුණ)= \frac(2)(3)\pi R^3.

එබැවින්, සම්පූර්ණ පන්දුවෙහි පරිමාව සමාන වේ \frac(4)(3)\pi R^3.

උදාහරණ 5.උස h සහ පාද අරය r ඇති කේතුවක පරිමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්.අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තෝරා ගනිමු එවිට Ox අක්ෂය උස h සමග සමපාත වේ (රූපය 47), සහ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ලෙස කේතුවේ ශීර්ෂය ගනිමු. එවිට සරල රේඛා OA හි සමීකරණය y=\frac(r)(h)\,x ආකාරයෙන් ලියා ඇත.

සූත්රය (3) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

උදාහරණය 6.ග්‍රහකයේ x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගන්නා සිරුරේ පරිමාව සොයා ගනිමු \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(රූපය 48).

විසඳුමක්.අපි ඇස්ට්‍රොයිඩයක් හදමු. ඕඩිනේට් අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතිකව පිහිටා ඇති තාරකාවේ ඉහළ කොටසෙන් අඩක් අපි සලකා බලමු. සූත්‍රය (3) භාවිතා කිරීම සහ නිශ්චිත අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍යය වෙනස් කිරීම, නව විචල්‍ය t සඳහා ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් අපි සොයා ගනිමු.

x=a\cos^3t=0 නම්, t=\frac(\pi)(2) , සහ x=a\cos^3t=a නම්, t=0 . y^2=a^2\sin^6t සහ dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, අපට ලැබෙන්නේ:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

ඇස්ට්‍රොයිඩයේ භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන මුළු සිරුරේම පරිමාව වනු ඇත \frac(32\pi)(105)\,a^3.

උදාහරණ 7. x-අක්ෂයෙන් සහ සයික්ලොයිඩ්හි පළමු චාපයෙන් සීමා වූ වක්‍ර රේඛීය trapezoid එකක ordinate අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වීමෙන් ලබා ගන්නා සිරුරේ පරිමාව අපි සොයා ගනිමු. \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

විසඳුමක්.අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, සහ t විචල්‍යය 0 සිට 2\pi දක්වා වෙනස් වන විට සයික්ලොයිඩ්හි පළමු චාපය සෑදෙන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් අනුකලිත ලකුණ යටතේ විචල්‍යය ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න. මේ අනුව,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\දකුණ)= 6\pi^3a^3. \අවසන් (පෙළගැසී)

ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.
ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට, ඔබ ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!