සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid සූත්රයක පැත්ත සොයා ගන්න. සෘජුකෝණාස්රාකාර සහ සමස්ථානික trapezoid: ගුණ සහ ලක්ෂණ

සටහන. මෙය ජ්යාමිතික ගැටළු සහිත පාඩමක කොටසකි (සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid කොටස). මෙතන නැති ජ්‍යාමිතිය ප්‍රශ්නයක් විසඳන්න ඕන නම් ඒ ගැන ෆෝරම් එකේ ලියන්න. ගැටළු වලදී, "වර්ග මූල" සංකේතය වෙනුවට, sqrt() ශ්‍රිතය භාවිතා කරන අතර, එහි වර්ගමූල සංකේතය sqrt වන අතර, radicand ප්‍රකාශනය වරහන් තුළ දක්වා ඇත. සරල රැඩිකල් ප්රකාශයන් සඳහා ලකුණ භාවිතා කළ හැකිය "√"

සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid වල ගුණ

• යූ සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoidසහ කෝණ දෙකක් නිවැරදි විය යුතුය
• සෘජු කෝණ දෙකමසෘජුකෝණාස්‍රාකාර trapezoid එකක අනිවාර්යයෙන්ම යාබද සිරස් වලට අයත් වේ
• සෘජු කෝණ දෙකමසෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid දී ඒවා අනිවාර්යයෙන්ම එකම පැත්තට යාබදව පිහිටා ඇත
• සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid ක විකර්ණඑක් පැත්තක සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සාදන්න
• පැති දිගපාදවලට ලම්බකව ඇති trapezoid එහි උසට සමාන වේ
• සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid දී පදනම් සමාන්තර වේ, එක් පැත්තක් පාදවලට ලම්බක වන අතර, දෙවන පැත්ත පාදවලට නැඹුරු වේ
• සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid දී කෝණ දෙකක් නිවැරදි වන අතර අනෙක් දෙක තීව්‍ර හා නොපැහැදිලි වේ

කාර්ය

තුල සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoidවිශාලතම පැත්ත පාදවල එකතුවට සමාන වේ, උස සෙන්ටිමීටර 12 කි. trapezoid හි පාදවලට සමාන පැති ඇති සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.
අපි trapezoid ABCD ලෙස දක්වමු. අපි trapezoid හි පාදවල දිග a (විශාල පදනම AD) සහ b (කුඩා පදනම BC) ලෙස දක්වමු. එය සෘජු කෝණයක් වීමට ඉඩ දෙන්න

∠ඒ.

trapezoid හි පාදවලට සමාන පැති ඇති සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය සමාන වේ
S = ab

trapezoid ABCD හි ඉහළ පාදයේ C ශීර්ෂයේ සිට අපි උස CK පහළ පාදයට පහත් කරමු. trapezoid හි උස ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් දනී. එවිට, පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව
CK 2 + KD

2 = CD 2

trapezoid හි විශාලතම පාර්ශ්වීය පැත්ත පාදවල එකතුවට සමාන වන බැවින්, CD = a + b
trapezoid සෘජුකෝණාස්‍රාකාර බැවින්, trapezoid හි ඉහළ පාදයේ සිට අඳින ලද උස, පහළ පාදය කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත.

AD = AK + KD. පළමු කොටසේ අගය trapezoid හි කුඩා පාදයට සමාන වේ, උස ABCK සෘජුකෝණාස්රයක් සෑදූ බැවින්, එනම්, BC = AK = b, එබැවින්, KD හි පාදවල දිගෙහි වෙනසට සමාන වේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid KD = a - b.
එනම්
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
කොහෙද
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab

සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශය S = ab වන බැවින් (ඉහත බලන්න), එවිට
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36

පිළිතුර: 36 සෙ.මී

2 .

Trapezoid යනු විශේෂ අවස්ථාවක්එක් පැති යුගලයක් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක්. "trapezoid" යන පදය පැමිණෙන්නේ τράπεζα යන ග්‍රීක වචනයෙන් වන අතර එහි තේරුම "වගුව", "වගුව" යන්නයි. මෙම ලිපියෙන් අපි trapezoid වර්ග සහ එහි ගුණාංග දෙස බලමු. ඊට අමතරව, අපි ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු තනි මූලද්රව්යඋදාහරණයක් ලෙස, සමද්වීපක trapezoid ක විකර්ණය, මධ්‍ය රේඛාව, ප්‍රදේශය යනාදිය. ද්‍රව්‍යය මූලික ජනප්‍රිය ජ්‍යාමිතියේ විලාසයෙන්, එනම් පහසුවෙන් ප්‍රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.

සාමාන්ය තොරතුරු

පළමුව, චතුරස්රයක් යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මෙම රූපයපැති හතරක් සහ සිරස් හතරක් අඩංගු බහුඅස්‍රයක විශේෂ අවස්ථාවකි. යාබදව නොමැති චතුරස්‍රයක සිරස් දෙකක් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස හැඳින්වේ. යාබද නොවන පැති දෙකක් සඳහා ද එයම කිව හැකිය. ප්‍රධාන චතුරස්‍ර වර්ග වන්නේ සමාන්තර චලිතය, සෘජුකෝණාස්‍රය, රොම්බස්, හතරැස්, trapezoid සහ deltoid ය.

එබැවින් අපි නැවත trapezoids වෙත යමු. අප දැනටමත් පවසා ඇති පරිදි, මෙම රූපයට සමාන්තර පැති දෙකක් ඇත. ඒවා පදනම් ලෙස හැඳින්වේ. අනෙක් දෙක (සමාන්තර නොවන) පාර්ශ්වීය පැති වේ. විභාග ද්රව්ය සහ විවිධ පරීක්ෂණබොහෝ විට ඔබට trapezoids සම්බන්ධ ගැටළු සොයාගත හැකිය, එයට විසඳුම බොහෝ විට ශිෂ්‍යයාට වැඩසටහනේ සපයා නොමැති දැනුමක් අවශ්‍ය වේ. පාසල් ජ්‍යාමිතික පාඨමාලාව සිසුන්ට කෝණ සහ විකර්ණවල ගුණ මෙන්ම සමද්වීපක trapezoid වල මැද රේඛාව ද හඳුන්වා දෙයි. නමුත්, මෙයට අමතරව, සඳහන් ජ්යාමිතික රූපය වෙනත් ලක්ෂණ ඇත. නමුත් ඔවුන් ගැන වැඩි විස්තර ටිකක් පසුව ...

trapezoid වර්ග

මෙම රූපයේ බොහෝ වර්ග තිබේ. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට ඒවායින් දෙකක් සලකා බැලීම සිරිතකි - සමස්ථානික සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර.

1. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid යනු එක් පැත්තක් පාදවලට ලම්බකව ඇති රූපයකි. ඇගේ කෝණ දෙක සෑම විටම අංශක අනූවකට සමාන වේ.

2. සමද්වීපක trapezoid යනු පැති එකිනෙකට සමාන වන ජ්‍යාමිතික රූපයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පාදවල කෝණ ද යුගල වශයෙන් සමාන වන බවයි.

trapezoid වල ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමේ ක්රමවේදයේ ප්රධාන මූලධර්ම

ප්රධාන මූලධර්මය ඊනියා කාර්ය ප්රවේශය භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම රූපයේ නව ගුණාංග ජ්යාමිතිය පිළිබඳ න්යායික පාඨමාලාවට හඳුන්වා දීම අවශ්ය නොවේ. විවිධ ගැටළු විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී (වඩාත් සුදුසු පද්ධති ඒවා) ඒවා සොයාගෙන සකස් කළ හැකිය. ඒ අතරම, අධ්‍යාපන ක්‍රියාවලියේදී එක් වරක් හෝ තවත් අවස්ථාවක සිසුන්ට පැවරිය යුතු කාර්යයන් මොනවාදැයි ගුරුවරයා දැන සිටීම ඉතා වැදගත් වේ. එපමනක් නොව, trapezoid හි සෑම දේපලක්ම කාර්ය පද්ධතියේ ප්රධාන කාර්යයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

දෙවන මූලධර්මය වන්නේ trapezoid හි "විශිෂ්ට" ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමේ ඊනියා සර්පිලාකාර සංවිධානයයි. මෙමගින් හැඟවෙන්නේ ඉගෙනුම් ක්‍රියාවලියේ දී ලබා දී ඇති තනි ලක්ෂණ වෙත ආපසු යාමකි ජ්යාමිතික රූපය. මෙය සිසුන්ට ඒවා මතක තබා ගැනීම පහසු කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, ලකුණු හතරක දේපල. සමානකම් අධ්‍යයනය කිරීමේදී සහ පසුව දෛශික භාවිතා කිරීමේදී එය ඔප්පු කළ හැකිය. රූපයක පාර්ශ්වීය පැතිවලට යාබද ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති පැතිවලට සමාන උසකින් යුත් ත්‍රිකෝණවල ගුණ යෙදීමෙන් පමණක් නොව, S = 1/2( සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන් ද ඔප්පු කළ හැකිය. ab * sinα). ඊට අමතරව, ඔබට ශිලාලේඛන ලද trapezoid හෝ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් මත වැඩ කළ හැකිය.

පාසල් පාඨමාලාවේ අන්තර්ගතය තුළ ජ්යාමිතික රූපයක "විෂයට පරිබාහිර" ලක්ෂණ භාවිතා කිරීම ඔවුන්ට ඉගැන්වීම සඳහා කාර්යය පදනම් කරගත් තාක්ෂණයකි. වෙනත් මාතෘකා හරහා යන අතරතුර අධ්‍යයනය කරනු ලබන ගුණාංග නිරන්තරයෙන් යොමු කිරීම සිසුන්ට trapezoid පිළිබඳ ගැඹුරු දැනුමක් ලබා ගැනීමට සහ පවරා ඇති ගැටළු විසඳීමේ සාර්ථකත්වය සහතික කරයි. ඉතින්, අපි මෙම අපූරු රූපය අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගනිමු.

සමද්වීපක trapezoid වල මූලද්‍රව්‍ය සහ ගුණ

අප දැනටමත් සටහන් කර ඇති පරිදි, මෙම ජ්යාමිතික රූපය සමාන පැති ඇත. එය නිවැරදි trapezoid ලෙසද හැඳින්වේ. එය එතරම් කැපී පෙනෙන්නේ ඇයි සහ එයට එවැනි නමක් ලැබුණේ ඇයි? මෙම රූපයේ විශේෂත්වය වන්නේ පාදවල පැති සහ කෝණ පමණක් නොව විකර්ණ ද සමාන වීමයි. මීට අමතරව, සමද්වීපක trapezoid කෝණවල එකතුව අංශක 360 කි. නමුත් එය පමණක් නොවේ! දන්නා සියලුම trapezoids අතුරින්, කවයක් ලෙස විස්තර කළ හැක්කේ සමද්විපාදයක් පමණි. මෙයට හේතුව මෙම රූපයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට සමාන වන අතර මෙම කොන්දේසිය යටතේ පමණක් චතුරස්රයක් වටා කවයක් විස්තර කළ හැකිය. සලකා බලනු ලබන ජ්යාමිතික රූපයේ ඊළඟ ගුණාංගය වන්නේ මෙම පාදය අඩංගු සරල රේඛාවට පාදයේ සිරස් සිට ප්රතිවිරුද්ධ ශීර්ෂයේ ප්රක්ෂේපණය දක්වා ඇති දුර මැද රේඛාවට සමාන වනු ඇත.

දැන් අපි සමද්වීපක trapezoid කෝණ සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. රූපයේ පැතිවල මානයන් දන්නේ නම්, මෙම ගැටලුවට විසඳුමක් අපි සලකා බලමු.

විසඳුමක්

සාමාන්‍යයෙන්, චතුරස්‍රයක් සාමාන්‍යයෙන් දක්වනු ලබන්නේ A, B, C, D යන අකුරු වලින් වන අතර එහිදී BS සහ AD පදනම් වේ. සමද්වීපක trapezoid දී, පැති සමාන වේ. අපි ඔවුන්ගේ ප්රමාණය X ට සමාන වන අතර, පාදවල ප්රමාණ Y සහ Z (පිළිවෙලින් කුඩා හා විශාල) සමාන වේ. ගණනය කිරීම සිදු කිරීම සඳහා, B කෝණයෙන් උස H ඇඳීම අවශ්ය වේ. ප්රතිඵලය සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ABN වේ, AB යනු කර්ණය වන අතර BN සහ AN කකුල් වේ. අපි කකුලේ AN ප්රමාණය ගණනය කරමු: අපි විශාල පදනමෙන් කුඩා ප්රමාණය අඩු කර, ප්රතිඵලය 2 න් බෙදන්න. අපි එය සූත්රයක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු: (Z-Y) / 2 = F. දැන්, උග්ර කෝණය ගණනය කිරීමට ත්රිකෝණයේ, අපි භාවිතා කරන්නෙමු cos ශ්රිතය. අපට පහත ප්‍රවේශය ලැබේ: cos(β) = X/F. දැන් අපි කෝණය ගණනය කරමු: β=arcos (X/F). තවද, එක් කෝණයක් දැන ගැනීමෙන්, අපට දෙවැන්න තීරණය කළ හැකිය, මේ සඳහා අපි මූලික ගණිත මෙහෙයුමක් සිදු කරමු: 180 - β. සියලුම කෝණ නිර්වචනය කර ඇත.

මෙම ගැටලුව සඳහා දෙවන විසඳුමක් තිබේ. පළමුව, අපි කෙළවරේ සිට උස දක්වා අඩු කරන්නෙමු H. අපි කකුලේ BN අගය ගණනය කරමු. අපි දන්නවා සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණයේ වර්ග එකතුවට සමානයිකකුල් වර්ග. අපට ලැබෙන්නේ: BN = √(X2-F2). ඊළඟට අපි භාවිතා කරමු ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය tg. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ඇත්තේ: β = arctan (BN/F). උග්ර කෝණයක් සොයාගෙන ඇත. ඊළඟට, අපි එය පළමු ක්රමයට සමාන ලෙස අර්ථ දක්වන්නෙමු.

සමද්වීපක trapezoid ක විකර්ණවල දේපල

පළමුව, අපි නීති හතරක් ලියන්නෙමු. සමද්වීපක trapezoid එකක විකර්ණ ලම්බක නම්, එසේ නම්:

රූපයේ උස දෙකකින් බෙදූ පාදවල එකතුවට සමාන වේ;

එහි උස සහ මැද රේඛාව සමාන වේ;

රවුමේ කේන්ද්රය යනු ලක්ෂ්යය වේ;

පාර්ශ්වීය පැත්ත ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයෙන් H සහ M කොටස් වලට බෙදේ නම්, එය සමාන වේ වර්ගමුලයමෙම කොටස්වල නිෂ්පාදන;

ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍ය මගින් සාදන ලද චතුරස්‍රය, trapezoid හි ශීර්ෂය සහ ලියා ඇති කවයේ කේන්ද්‍රය යනු අරයට සමාන පැත්තක් වන චතුරස්‍රයකි;

රූපයක වර්ගඵලය පාදවල ගුණිතයට සමාන වන අතර පාදවල එකතුවෙන් අඩක් සහ එහි උසෙහි ගුණිතය සමාන වේ.

සමාන trapezoids

මෙම මාතෘකාව මෙහි ගුණාංග අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඉතා පහසු වේ උදාහරණයක් ලෙස, විකර්ණ ත්‍රිකෝණ හතරකට trapezoid බෙදයි, සහ පාදවලට යාබද ඒවා සමාන වන අතර පැතිවලට යාබද ඒවා ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ. මෙම ප්‍රකාශය ත්‍රිකෝණවල ගුණයක් ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර trapezoid එහි විකර්ණ මගින් බෙදනු ලැබේ. මෙම ප්‍රකාශයේ පළමු කොටස කෝණ දෙකක සමානත්වයේ ලකුණ හරහා ඔප්පු වේ. දෙවන කොටස ඔප්පු කිරීම සඳහා, පහත දැක්වෙන ක්රමය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය.

ප්රමේයයේ සාධනය

ABSD රූපය (AD සහ BS යනු trapezoid හි පාදයන් වේ) විකර්ණ VD සහ AC මගින් බෙදනු ලබන බව අපි පිළිගනිමු. ඔවුන්ගේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය O. අපි ත්රිකෝණ හතරක් ලබා ගනිමු: AOS - පහළ පාදයේ, BOS - ඉහළ පාදයේ, ABO සහ SOD පැතිවල. ත්‍රිකෝණ SOD සහ BOS ඛණ්ඩ BO සහ OD ඒවායේ පාද නම් පොදු උසක් ඇත. ඔවුන්ගේ ප්‍රදේශ (P) අතර වෙනස මෙම කොටස් අතර වෙනසට සමාන බව අපට පෙනී යයි: PBOS/PSOD = BO/OD = K. එබැවින්, PSOD = PBOS/K. ඒ හා සමානව, ත්රිකෝණ BOS සහ AOB පොදු උසකින් යුක්ත වේ. අපි CO සහ OA යන කොටස් ඒවායේ පදනම ලෙස ගනිමු. අපට PBOS/PAOB = CO/OA = K සහ PAOB = PBOS/K ලැබේ. මෙයින් කියවෙන්නේ PSOD = PAOB යන්නයි.

ද්රව්යය තහවුරු කිරීම සඳහා, පහත සඳහන් ගැටළුව විසඳීම මගින් trapezoid එහි විකර්ණ මගින් බෙදී ඇති ප්රතිඵලය වන ත්රිකෝණවල ප්රදේශ අතර සම්බන්ධතාවය සොයා ගැනීමට සිසුන් නිර්දේශ කරනු ලැබේ. BOS සහ AOD ත්‍රිකෝණවලට සමාන ප්‍රදේශ ඇති බව දන්නා කරුණකි; trapezoid ප්රදේශය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. PSOD = PAOB නිසා, එහි තේරුම PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD යන්නයි. BOS සහ AOD යන ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ BO/OD = √(PBOS/PAOD). එබැවින්, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). අපි PSOD = √(PBOS*PAOD) ලබා ගනිමු. එවිට PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

සමානතාවයේ ගුණාංග

මෙම මාතෘකාව සංවර්ධනය කිරීම දිගටම කරගෙන යාමෙන් කෙනෙකුට අනෙකා ඔප්පු කළ හැකිය රසවත් ලක්ෂණ trapezoid. මේ අනුව, සමානතාවය භාවිතා කරමින්, පාදවලට සමාන්තරව මෙම ජ්‍යාමිතික රූපයේ විකර්ණ ඡේදනය වීමෙන් සාදන ලද ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටසක ගුණය ඔප්පු කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පහත ගැටළුව විසඳා ගනිමු: O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන RK කොටසේ දිග සොයා ගත යුතුය. AOD සහ BOS ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙන් එය AO/OS = AD/BS බව අනුගමනය කරයි. AOP සහ ASB යන ත්‍රිකෝණවල සමානත්වය අනුව එය AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) ලෙස දැක්වේ. මෙතනින් අපිට ලැබෙන්නේ RO=BS*BP/(BS+BP) කියලා. ඒ හා සමානව, DOC සහ DBS ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙන්, එය OK = BS*AD/(BS+AD) ලෙස පහත දැක්වේ. මෙතනින් අපිට RO=OK සහ RK=2*BS*AD/(BS+AD) ලැබෙනවා. පාදවලට සමාන්තරව සහ පාර්ශ්වීය පැති දෙකක් සම්බන්ධ කරමින් විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටසක් ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදා ඇත. එහි දිග යනු රූපයේ පාදවල සුසංයෝග මධ්‍යන්‍යය වේ.

ලක්ෂ්‍ය හතරක ගුණය ලෙස හඳුන්වන trapezoid එකක පහත ගුණාංගය සලකා බලන්න. විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය (O), පැති අඛණ්ඩව ඡේදනය වීම (E), මෙන්ම පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය (T සහ F) සෑම විටම එකම රේඛාවක පිහිටා ඇත. සමානතා ක්රමය මගින් මෙය පහසුවෙන් ඔප්පු කළ හැකිය. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස BES සහ AED යන ත්‍රිකෝණ සමාන වන අතර, ඒ සෑම එකක් තුළම ET සහ EJ මධ්‍යස්ථයන් E ශීර්ෂ කෝණය E සමාන කොටස් වලට බෙදයි. එබැවින්, E, T සහ F යන ලක්ෂ්ය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත. ඒ ආකාරයෙන්ම T, O සහ Zh යන ලක්ෂ්‍යයන් එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත.මේ සියල්ල පහත දැක්වෙන්නේ BOS සහ AOD යන ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙනි. මෙතැන් සිට අපි නිගමනය කරන්නේ ලකුණු හතරම - E, T, O සහ F - එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති බවයි.

භාවිතා කරමින් සමාන trapezoids, රූපය සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන කොටසේ (LF) දිග සොයා ගැනීමට ඔබට සිසුන්ගෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක. මෙම කොටස පාදවලට සමාන්තර විය යුතුය. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ALFD සහ LBSF යන trapezoids සමාන වන බැවින්, BS/LF = LF/AD. එය පහත දැක්වෙන්නේ LF=√(BS*AD) යන්නයි. trapezoid සමාන දෙකකට බෙදන කොටස රූපයේ පාදවල දිගෙහි ජ්යාමිතික මධ්යන්යයට සමාන දිගක් ඇති බව අපට පෙනී යයි.

අපි සලකා බලමු ඊළඟ දේපලසමානකම් එය trapezoid සමාන රූප දෙකකට බෙදන කොටස මත පදනම් වේ. අපි උපකල්පනය කරන්නේ trapezoid ABSD EH කොටසින් සමාන දෙකකට බෙදනු ලැබේ. B ශීර්ෂයෙන් උසක් ඉවත් කර ඇත, එය EN කොටසින් කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත - B1 සහ B2. අපට ලැබෙන්නේ: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 සහ PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. ඊළඟට, අපි පළමු සමීකරණය (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 සහ දෙවන (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 වන පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු. එය අනුගමනය කරන්නේ B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) සහ BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). trapezoid එක සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන කොටසේ දිග පාදවල දිග වල මූල මධ්‍යන්‍ය වර්ග වලට සමාන බව අපට පෙනී යයි: √((BS2+AD2)/2).

සමානතා සොයාගැනීම්

මේ අනුව, අපි එය ඔප්පු කර ඇත:

1. trapezoid එකක පාර්ශ්වික පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස AD සහ BS ට සමාන්තර වන අතර BS සහ AD හි අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ (trapezoid හි පාදයේ දිග).

2. AD සහ BS ට සමාන්තරව විකර්ණවල ඡේදනය වන O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව AD සහ BS (2*BS*AD/(BS+AD)) සංඛ්‍යාවල සුසංයෝග මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ.

3. trapezoid සමාන ඒවාට බෙදන කොටස BS සහ AD භෂ්මවල ජ්යාමිතික මධ්යන්යයේ දිග ඇත.

4. රූපයක් සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන මූලද්‍රව්‍යයකට AD සහ BS සංඛ්‍යාවල මූල මධ්‍යන්‍ය වර්ග දිග ඇත.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ සලකා බලන ලද කොටස් අතර සම්බන්ධය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, ශිෂ්යයා විසින් විශේෂිත trapezoid සඳහා ඒවා ඉදි කිරීම අවශ්ය වේ. ඔහුට පහසුවෙන් මැද රේඛාව සහ O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටස - රූපයේ විකර්ණවල ඡේදනය - පාදවලට සමාන්තරව පෙන්විය හැකිය. නමුත් තුන්වන සහ සිව්වන ස්ථානගත වන්නේ කොහේද? මෙම පිළිතුර සාමාන්‍ය අගයන් අතර අපේක්ෂිත සම්බන්ධතාවය සොයා ගැනීමට ශිෂ්‍යයා යොමු කරයි.

trapezoid වල විකර්ණවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි

මෙම රූපයේ පහත ගුණාංගය සලකා බලන්න. MH කොටස පාදවලට සමාන්තර වන අතර විකර්ණ දෙකඩ කරයි යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. ඡේදනය වන ස්ථාන Ш සහ Ш ලෙස හඳුන්වමු. මෙම කොටස පාදවල වෙනසෙන් අඩකට සමාන වනු ඇත. අපි මෙය වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු. MS යනු ABS ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවයි, එය BS/2 ට සමාන වේ. MSH යනු ABD ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවයි, එය AD/2 ට සමාන වේ. එවිට අපට ලැබෙන්නේ ShShch = MSh-MSh, එබැවින්, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

ගුරුත්ව කේන්ද්රය

දී ඇති ජ්යාමිතික රූපයක් සඳහා මෙම මූලද්රව්යය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්හි කඳවුරු දිගු කිරීම අවශ්ය වේ. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක් ද? ඔබට පහළ පාදය ඉහළ පාදයට එකතු කළ යුතුය - ඕනෑම දිශාවකට, උදාහරණයක් ලෙස, දකුණට. අපි පහළ එක ඉහළ එකේ දිගෙන් වමට දිගු කරමු. ඊළඟට, අපි ඒවා විකර්ණ ලෙස සම්බන්ධ කරමු. රූපයේ මැද රේඛාව සමඟ මෙම කොටසෙහි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය trapezoid හි ගුරුත්වාකර්ෂණ කේන්ද්රය වේ.

ලියා ඇති සහ වටකුරු trapezoids

එවැනි රූපවල ලක්ෂණ ලැයිස්තුගත කරමු:

1. trapezoid රවුමක සටහන් කළ හැක්කේ එය සමද්වීපයක් නම් පමණි.

2. රවුම වටා trapezoid විස්තර කළ හැකි අතර, ඒවායේ පාදවල දිග එකතුව පැතිවල දිග එකතුවට සමාන වේ.

චක්‍රයේ අනුප්‍රාප්තික:

1. විස්තර කරන ලද trapezoid හි උස සෑම විටම අරය දෙකකට සමාන වේ.

2. විස්තර කරන ලද trapezoid පැත්ත සෘජු කෝණයකින් රවුමේ කේන්ද්රයේ සිට නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ.

පළමු අනුග්‍රහය පැහැදිලිය, නමුත් දෙවැන්න ඔප්පු කිරීම සඳහා SOD කෝණය නිවැරදි බව තහවුරු කිරීම අවශ්‍ය වේ, එය ඇත්ත වශයෙන්ම අපහසු නොවේ. නමුත් දැනුම මෙම දේපලෙන්ගැටළු විසඳීමේදී සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් භාවිතා කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

දැන් අපි රවුමක කොටා ඇති සමද්වීපක trapezoid සඳහා මෙම ප්‍රතිවිපාක සඳහන් කරමු. උස යනු රූපයේ පාදවල ජ්‍යාමිතික මධ්‍යන්‍යය බව අපට පෙනී යයි: H=2R=√(BS*AD). trapezoids සඳහා ගැටළු විසඳීම සඳහා මූලික තාක්ෂණය (උස දෙකක් ඇඳීමේ මූලධර්මය) පුහුණු කරන අතරතුර, ශිෂ්යයා පහත සඳහන් කාර්යය විසඳිය යුතුය. BT යනු ABSD සමද්වීපක රූපයේ උස බව අපි උපකල්පනය කරමු. AT සහ TD යන කොටස් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. ඉහත විස්තර කර ඇති සූත්රය භාවිතා කිරීම, මෙය කිරීමට අපහසු නොවනු ඇත.

දැන් අපි වටකුරු trapezoid ප්රදේශය භාවිතා කරමින් රවුමක අරය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. අපි ශීර්ෂය B සිට AD පාදය දක්වා උස අඩු කරමු. රවුම trapezoid එකක සටහන් කර ඇති බැවින්, BS+AD = 2AB හෝ AB = (BS+AD)/2. ABN ත්‍රිකෝණයෙන් අපි sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) සොයා ගනිමු. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. අපි PABSD = (BS+BP)*R ලබා ගනිමු, එය R = PABSD/(BS+BP) බව අනුගමනය කරයි.

trapezoid හි මැද රේඛාව සඳහා සියලුම සූත්‍ර

දැන් මෙම ජ්යාමිතික රූපයේ අවසාන අංගය වෙත යාමට කාලයයි. trapezoid (M) හි මැද රේඛාව සමාන වන්නේ කුමක් දැයි සොයා බලමු:

1. පදනම් හරහා: M = (A+B)/2.

2. උස, පාදම සහ කොන් හරහා:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. උස, විකර්ණ සහ ඒවා අතර කෝණය හරහා. උදාහරණයක් ලෙස, D1 සහ D2 යනු trapezoid වල විකර්ණ වේ; α, β - ඒවා අතර කෝණ:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. ප්රදේශය සහ උස හරහා: M = P/N.

\[(\විශාල(\පෙළ(නිදහස් trapezoid)))\]

අර්ථ දැක්වීම්

trapezoid යනු පැති දෙකක් සමාන්තර වන අතර අනෙක් පැති දෙක සමාන්තර නොවන උත්තල චතුරස්‍රයකි.

trapezoid එකක සමාන්තර පැති එහි පාද ලෙසත් අනෙක් පැති දෙක එහි පාර්ශ්වික පැති ලෙසත් හැඳින්වේ.

trapezoid එකක උස යනු එක් පාදයක ඕනෑම ස්ථානයක සිට තවත් පාදයකට ඇද ගන්නා ලම්බක වේ.

සිද්ධාන්ත: trapezoid වල ගුණ

1) පැත්තේ ඇති කෝණවල එකතුව \(180^\circ\) වේ.

2) විකර්ණ ත්‍රිකෝණ හතරකට ත්‍රිකෝණ බෙදයි, ඉන් දෙකක් සමාන වන අතර අනෙක් දෙක ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ.

සාක්ෂි

1) නිසා \(AD\parallel BC\), එවිට කෝණ \(\කෝණය BAD\) සහ \(\Angle ABC\) මෙම රේඛා සඳහා ඒකපාර්ශ්වික වන අතර හරස් \(AB\), එබැවින්, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) නිසා \(AD\parallel BC\) සහ \(BD\) යනු තත්පරයකි, එවිට \(\angle DBC=\angle BDA\) හරස් අතට පිහිටයි.
එසේම \(\angle BOC=\angle AOD\) සිරස් ලෙස.
එබැවින්, කෝණ දෙකකින් \(\ත්‍රිකෝණය BOC \sim \triangle AOD\).

ඒක ඔප්පු කරමු \(S_(\ත්‍රිකෝණය AOB)=S_(\ත්‍රිකෝණය COD)\). trapezoid හි උස \(h\) කරමු. ඉන්පසු \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\ත්‍රිකෝණය ACD)\). ඉන්පසු: \

අර්ථ දැක්වීම

trapezoid හි මැද රේඛාව යනු පැතිවල මැද ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි.

ප්රමේයය

trapezoid හි මැද රේඛාව පාදවලට සමාන්තර වන අතර ඒවායේ අර්ධ එකතුවට සමාන වේ.

සාක්ෂි*

1) සමාන්තර බව ඔප්පු කරමු.

ලක්ෂ්‍යය හරහා \(M\) සරල රේඛාව \(MN"\සමාන්තර AD\) (\(N"\in CD\) ) අඳිමු. ඉන්පසුව, තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව (සිට \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) ලක්ෂ්‍යය \(N"\) යනු \(CD\) කොටසේ මැදය. මෙයින් අදහස් වන්නේ \(N\) සහ \(N"\) යන ලක්ෂ්‍යයන් සමපාත වන බවයි.

2) සූත්‍රය ඔප්පු කරමු.

අපි \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) කරමු. ඉඩ \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

එවිට, තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව, \(M"\) සහ \(N"\) යනු පිළිවෙලින් \(BB"\) සහ \(CC"\) යන කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ. මෙයින් අදහස් වන්නේ \(MM"\) යනු \(\ත්‍රිකෝණය ABB"\) හි මැද රේඛාව වන අතර, \(NN"\) යනු \(\ත්‍රිකෝණය DCC"\) හි මැද රේඛාව බවයි. ඒක තමයි: \

නිසා \(MN\සමාන්තර AD\සමාන්තර BC\)සහ \(BB", CC"\perp AD\), පසුව \(B"M"N"C"\) සහ \(BM"N"C\) සෘජුකෝණාස්‍ර වේ. තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව, \(MN\parallel AD\) සහ \(AM=MB\) වලින් එය අනුගමනය කරන්නේ \(B"M"=M"B\) .එබැවින්, \(B"M"N"C "\) සහ \(BM"N"C\) සමාන සෘජුකෝණාස්‍ර වේ, එබැවින්, \(M"N"=B"C"=BC\) .

මේ අනුව:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\වම(AD+BC\දකුණ)\]

ප්රමේයය: අත්තනෝමතික trapezoid දේපල

පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය, trapezoid හි විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සහ පාර්ශ්වීය පැතිවල දිගුවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත.

සාක්ෂි*
“ත්‍රිකෝණවල සමානකම” යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු සාක්ෂි සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.

1) \(P\) , \(N\) සහ \(M\) යන ලක්ෂ්‍ය එකම රේඛාවක පිහිටා ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු.

අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු \(PN\) (\(P\) යනු පාර්ශ්වීය පැතිවල දිගුවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය, \(N\) යනු \(BC\) හි මැද). එය \(M\) ලක්ෂ්‍යයේ \(AD\) පැත්ත ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න. \(M\) යනු \(AD\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය බව ඔප්පු කරමු.

\(\ත්‍රිකෝණය BPN\) සහ \(\ත්‍රිකෝණය APM\) සලකා බලන්න. ඒවා කෝණ දෙකකින් සමාන වේ (\(\angle APM\) – general, \(\angle PAM=\angle PBN\) \(AD\parallel BC\) සහ \(AB\) secant). අදහස්: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\ත්‍රිකෝණය CPN\) සහ \(\ත්‍රිකෝණ DPM\) සලකා බලන්න. ඒවා කෝණ දෙකකින් සමාන වේ (\(\angle DPM\) – general, \(\angle PDM=\angle PCN\) \(AD\parallel BC\) සහ \(CD\) secant). අදහස්: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

මෙතැන් සිට \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). නමුත් \(BN=NC\) එබැවින් \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) ලක්ෂ්‍ය එකම රේඛාවක පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු.

\(N\) \(BC\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය සහ \(O\) විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වේ. අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු \(NO\) , එය \(M\) ලක්ෂ්‍යයේ \(AD\) පැත්ත ඡේදනය වේ. \(M\) යනු \(AD\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය බව ඔප්පු කරමු.

\(\ත්‍රිකෝණය BNO\sim \triangle DMO\)කෝණ දෙකක් දිගේ (\(\angle OBN=\angle ODM\) හරස් අතට \(BC\parallel AD\) සහ \(BD\) තත්පර; \(\angle BON=\angle DOM\) සිරස් ලෙස). අදහස්: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

එලෙසම \(\ත්‍රිකෝණය CON\sim \triangle AOM\). අදහස්: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

මෙතැන් සිට \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). නමුත් \(BN=CN\) එබැවින් \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isoceles trapezoid)))\]

අර්ථ දැක්වීම්

trapezoid එහි එක් කෝණයක් නිවැරදි නම් එය සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ.

trapezoid එහි පැති සමාන නම් සමද්වීප ලෙස හැඳින්වේ.

ප්‍රමේය: සමද්වීපක trapezoid වල ගුණ

1) සමද්වීපක trapezoid එකකට සමාන පාද කෝණ ඇත.

2) සමද්වීපක trapezoid එකක විකර්ණ සමාන වේ.

3) විකර්ණ සහ පාදය මගින් සාදන ලද ත්‍රිකෝණ දෙකක් සමද්වීපක වේ.

සාක්ෂි

1) සමද්විපාද trapezoid \(ABCD\) සලකා බලන්න.

\(B\) සහ \(C\) සිරස් වලින් අපි පිළිවෙලින් \(BM\) සහ \(CN\) පැත්තට \(AD\) ලම්බ තබමු. \(BM\perp AD\) සහ \(CN\perp AD\) , පසුව \(BM\සමාන්තර CN\) ; \(AD\parallel BC\) , එවිට \(MBCN\) යනු සමාන්තර චලිතයකි, එබැවින්, \(BM = CN\) .

අපි සලකා බලමු සෘජු ත්රිකෝණ\(ABM\) සහ \(CDN\) . ඒවායේ කර්ණය සමාන වන අතර කකුල \(BM\) කකුලට \(CN\) සමාන වන බැවින්, මෙම ත්‍රිකෝණ සමාන වේ, එබැවින්, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

නිසා \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- සාමාන්ය, පසුව පළමු ලකුණ අනුව. එබැවින්, \(AC=BD\) .

3) නිසා \(\ත්‍රිකෝණය ABD=\ත්‍රිකෝණය ACD\), පසුව \(\angle BDA=\angle CAD\) . එබැවින්, ත්‍රිකෝණය \(\ත්‍රිකෝණය AOD\) සමද්වීපක වේ. ඒ හා සමානව, \(\ත්‍රිකෝණය BOC\) සමද්වීපක බව ඔප්පු වේ.

ප්‍රමේය: සමද්වීපක trapezoid වල සංඥා

1) trapezoid එකකට සමාන පාද කෝණ තිබේ නම්, එය සමද්වීපක වේ.

2) trapezoid එකකට සමාන විකර්ණ තිබේ නම්, එය සමද්වීපක වේ.

සාක්ෂි

\(\angle A = \angle D\) trapezoid \(ABCD\) සලකා බලන්න.

රූපයේ දැක්වෙන පරිදි ත්‍රිකෝණය \(AED\) වෙත trapezoid සම්පූර්ණ කරමු. \(\angle 1 = \angle 2\) , එවිට ත්‍රිකෝණය \(AED\) සමද්වීප සහ \(AE = ED\) . \(1\) සහ \(3\) සමාන්තර රේඛා \(AD\) සහ \(BC\) සහ තත්පර \(AB\) සඳහා අනුරූප කෝණ ලෙස සමාන වේ. ඒ හා සමානව, කෝණ \(2\) සහ \(4\) සමාන වේ, නමුත් \(\angle 1 = \angle 2\), එවිට \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), එබැවින්, ත්‍රිකෝණය \(BEC\) ද සමද්වීපක සහ \(BE = EC\) .

අවසානයේ \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), එනම්, \(AB = CD\), ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වන්නේ එයයි.

2) ඉඩ දෙන්න \(AC=BD\) . නිසා \(\ත්‍රිකෝණය AOD\sim \ත්‍රිකෝණය BOC\), එවිට අපි ඒවායේ සමානතා සංගුණකය \(k\) ලෙස දක්වන්නෙමු. එවිට \(BO=x\) , එවිට \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) ට සමානයි.

නිසා \(AC=BD\) , පසුව \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . මෙයින් අදහස් වන්නේ \(\ත්‍රිකෝණය AOD\) යනු සමද්වීපක සහ \(\angle OAD=\angle ODA\) .

මේ අනුව, පළමු සංඥාව අනුව \(\ත්‍රිකෝණය ABD=\ත්‍රිකෝණය ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- ජනරාල්). ඉතින්, \(AB=CD\) , ඇයි.

ක්‍රි.පූ පස්වන ශතවර්ෂයේදී, පුරාණ ග්‍රීක දාර්ශනිකයෙකු වන එලියාහි Zeno ඔහුගේ සුප්‍රසිද්ධ aporias සූත්‍රගත කළ අතර, ඉන් වඩාත් ප්‍රසිද්ධ වන්නේ "Achilles and the Tortoise" aporia ය. එය ඇසෙන දේ මෙන්න:

අපි හිතමු අචිලස් කැස්බෑවාට වඩා දස ගුණයකින් වේගයෙන් දුවනවා, අඩි දාහක් පිටුපසින් ඉන්නවා කියලා. මෙම දුර ධාවනය කිරීමට Achilles ගත වන කාලය තුළ, කැස්බෑවා එකම දිශාවට පියවර සියයක් බඩගානු ඇත. අචිලස් පියවර සියයක් දුවන විට, ඉබ්බා තවත් පියවර දහයක් බඩගා යයි. මෙම ක්‍රියාවලිය අසීමිත ලෙස දිගටම පවතිනු ඇත, අචිලස් කිසි විටෙකත් ඉබ්බා අල්ලා නොගනී.

මෙම තර්කය සියලු පසු පරම්පරාවන්ට තාර්කික කම්පනයක් බවට පත් විය. ඇරිස්ටෝටල්, ඩයෝජිනීස්, කාන්ට්, හේගල්, හිල්බට්... මේ හැමෝම එක එක විදිහට සැලකුවේ Zeno ගේ aporia. කම්පනය කොතරම් ශක්තිමත්ද කියනවා නම් " ... සාකච්ඡා අද දක්වාම පවතී;විරෝධතාවල සාරය පිළිබඳ පොදු මතයකට පැමිණීමට විද්‍යාත්මක ප්‍රජාවට තවමත් නොහැකි වී ඇත ... ගැටලුව අධ්‍යයනයට සම්බන්ධ විය ගණිතමය විශ්ලේෂණය, න්‍යාය සැකසීම, නව භෞතික හා දාර්ශනික ප්‍රවේශයන්; ඔවුන්ගෙන් කිසිවක් ගැටලුවට පොදුවේ පිළිගත් විසඳුමක් බවට පත් නොවීය."[විකිපීඩියා, "Zeno's Aporia". සෑම දෙනාටම තමන් රැවටෙන බව තේරුම් ගත හැකි නමුත්, රැවටීම සමන්විත වන්නේ කුමක් දැයි කිසිවෙකුට වැටහෙන්නේ නැත.

ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, Zeno ඔහුගේ aporia හි ප්‍රමාණයේ සිට දක්වා සංක්‍රමණය පැහැදිලිව පෙන්නුම් කළේය. මෙම සංක්‍රාන්තිය ස්ථිර ඒවා වෙනුවට යෙදුම අදහස් කරයි. මා තේරුම් ගත් පරිදි, විචල්‍ය මිනුම් ඒකක භාවිතා කිරීම සඳහා ගණිතමය උපකරණය තවම සංවර්ධනය කර නැත, නැතහොත් එය Zeno ගේ aporia සඳහා යොදා ගෙන නොමැත. අපගේ සුපුරුදු තර්කය යෙදීමෙන් අපව උගුලකට ඇද දමයි. අපි, සිතීමේ අවස්ථිති භාවය නිසා, ප්‍රතිවර්ත අගයට කාලයෙහි නියත ඒකක යොදන්නෙමු. භෞතික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, මෙය අචිලස් කැස්බෑවා අල්ලා ගන්නා මොහොතේ සම්පූර්ණයෙන්ම නතර වන තෙක් කාලය මන්දගාමී වන බව පෙනේ. කාලය නතර වුවහොත්, Achilles හට තවදුරටත් කැස්බෑවා අභිබවා යා නොහැක.

අපි අපේ සුපුරුදු තර්කනය හැරුණොත්, සියල්ල නිසි තැනට වැටේ. Achilles නියත වේගයකින් ධාවනය වේ. ඔහුගේ මාර්ගයේ සෑම ඊළඟ කොටසක්ම පෙර එකට වඩා දස ගුණයකින් කෙටි වේ. ඒ අනුව, එය ජය ගැනීම සඳහා ගත කරන කාලය පෙර කාලයට වඩා දස ගුණයකින් අඩුය. මෙම තත්වය තුළ අපි "අනන්තය" යන සංකල්පය යෙදුවහොත්, "අචිලස් කැස්බෑවා අසීමිත ලෙස ඉක්මනින් අල්ලා ගනු ඇත" යැයි පැවසීම නිවැරදිය.

මෙම තාර්කික උගුල වළක්වා ගන්නේ කෙසේද? කාලයෙහි නියත ඒකකවල රැඳී සිටින්න සහ අන්‍යෝන්‍ය ඒකක වෙත මාරු නොවන්න. Zeno ගේ භාෂාවෙන් එය මෙසේ පෙනේ:

අචිලස්ට පියවර දහසක් දුවන්න ගතවන කාලය තුළ කැස්බෑවා පියවර සියයක් එකම දිශාවට බඩගානු ඇත. පළමු කාල පරතරයට සමාන ඊළඟ කාල පරතරය තුළ, අචිලස් තවත් පියවර දහසක් දුවනු ඇත, ඉබ්බා පියවර සියයක් බඩගා යයි. දැන් අචිලස් කැස්බෑවාට වඩා පියවර අටසියයක් ඉදිරියෙන් සිටී.

මෙම ප්‍රවේශය කිසිදු තාර්කික විරුද්ධාභාසයකින් තොරව යථාර්ථය ප්‍රමාණවත් ලෙස විස්තර කරයි. නමුත් එය නොවේ සම්පූර්ණ විසඳුමගැටලු. ආලෝකයේ ප්‍රවේගයේ ප්‍රතිරෝධය පිලිබඳ අයින්ස්ටයින්ගේ ප්‍රකාශය Zeno ගේ aporia "Achilles and the Tortoise" ට බෙහෙවින් සමාන ය. අපට තවමත් මෙම ගැටලුව අධ්‍යයනය කිරීමට, නැවත සිතා බැලීමට සහ විසඳීමට සිදුවේ. තවද විසඳුම සෙවිය යුත්තේ අසීමිත විශාල සංඛ්‍යාවකින් නොව මිනුම් ඒකක වලිනි.

Zeno හි තවත් රසවත් aporia පියාසර ඊතලයක් ගැන කියයි:

පියාඹන ඊතලයක් චලනය නොවී පවතී, මන්ද එය සෑම මොහොතකම විවේකයෙන් පවතින බැවින් සහ සෑම මොහොතකම එය විවේකයෙන් සිටින බැවින් එය සැමවිටම විවේකයෙන් පවතී.

මෙම අපෝරියා තුළ, තාර්කික විරුද්ධාභාසය ඉතා සරලව ජය ගනී - සෑම මොහොතකම පියාසර ඊතලයක් අභ්‍යවකාශයේ විවිධ ස්ථානවල නිශ්චලව පවතින බව පැහැදිලි කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ, එය ඇත්ත වශයෙන්ම චලනය වේ. මෙහිදී තවත් කරුණක් සඳහන් කළ යුතුය. පාරේ ඇති මෝටර් රථයක එක් ඡායාරූපයකින් එහි චලනය පිළිබඳ කාරණය හෝ එයට ඇති දුර තීරණය කළ නොහැක. මෝටර් රථයක් ගමන් කරන්නේද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබට එකම ස්ථානයේ සිට විවිධ වේලාවන්හි ලබාගත් ඡායාරූප දෙකක් අවශ්‍ය වේ, නමුත් ඔබට ඒවායින් ඇති දුර තීරණය කළ නොහැක. මෝටර් රථයකට ඇති දුර තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබට එක් අවස්ථාවක අභ්‍යවකාශයේ විවිධ ස්ථාන වලින් ලබාගත් ඡායාරූප දෙකක් අවශ්‍ය වේ, නමුත් ඒවායින් ඔබට චලනය පිළිබඳ කාරණය තීරණය කළ නොහැක (ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට තවමත් ගණනය කිරීම් සඳහා අමතර දත්ත අවශ්‍ය වේ, ත්‍රිකෝණමිතිය ඔබට උපකාරී වනු ඇත. ) මට පෙන්වා දීමට අවශ්‍ය දේ විශේෂ අවධානය, යනු කාලයෙහි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සහ අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යන දෙකම ව්‍යාකූල නොවිය යුතු විවිධ දේවල් වන අතර, ඒවා පර්යේෂණ සඳහා විවිධ අවස්ථා සපයන බැවිනි.

2018 ජූලි 4 බදාදා

කට්ටලය සහ බහු කට්ටලය අතර ඇති වෙනස්කම් විකිපීඩියාවේ ඉතා හොඳින් විස්තර කර ඇත. අපි බලමු.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, "කුලකයක සමාන මූලද්‍රව්‍ය දෙකක් තිබිය නොහැක", නමුත් කට්ටලයක සමාන මූලද්‍රව්‍ය තිබේ නම්, එවැනි කට්ටලයක් "බහු කට්ටලයක්" ලෙස හැඳින්වේ. මේ වගේ විකාර තර්කයක් සාධාරණ සත්වයන්ට කවදාවත් තේරෙන්නේ නැහැ. "සම්පූර්ණයෙන්ම" යන වචනයෙන් කිසිදු බුද්ධියක් නොමැති, කතා කරන ගිරවුන් සහ පුහුණු වඳුරන්ගේ මට්ටම මෙයයි. ගණිතඥයන් සාමාන්‍ය පුහුණුකරුවන් ලෙස ක්‍රියා කරමින් ඔවුන්ගේ අභූත අදහස් අපට දේශනා කරති.

ඉස්සර පාලම හදපු ඉන්ජිනේරුවෝ පාලම පරීක්‍ෂා කරනකොට පාලම යට බෝට්ටුවක හිටියා. පාලම කඩා වැටුණොත්, සාමාන්‍ය ඉංජිනේරුවා ඔහුගේ නිර්මාණයේ සුන්බුන් යට මිය ගියේය. පාලම බරට ඔරොත්තු දෙනවා නම්, දක්ෂ ඉංජිනේරුවා වෙනත් පාලම් ඉදි කළේය.

ගණිතඥයින් "මනස, මම නිවසේ සිටිමි" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය පිටුපස සැඟවී සිටියත්, "ගණිතය වියුක්ත සංකල්ප අධ්‍යයනය කරයි" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය පිටුපස සැඟවී සිටියත්, ඒවා යථාර්ථය සමඟ වෙන් කළ නොහැකි ලෙස සම්බන්ධ කරන එක් පෙකණි වැලක් තිබේ. මෙම පෙකණි වැල මුදල් ය. අදාළ වේ ගණිතමය න්යායගණිතඥයින්ටම සකසයි.

අපි හොඳට ගණිතය ඉගෙන ගෙන දැන් මුදල් ලේඛනයේ වාඩි වී වැටුප් ලබා දෙනවා. ඉතින් ගණිතඥයෙක් ඔහුගේ මුදල් සඳහා අප වෙත පැමිණේ. අපි මුළු මුදලම ඔහුට ගණන් කර විවිධ ගොඩවල්වල අපගේ මේසය මත තබමු, අපි එකම නිකායේ බිල්පත් තැබුවෙමු. ඊට පස්සේ අපි හැම ගොඩකින්ම බිල් එකක් අරගෙන ගණිතඥයාට ඔහුගේ "ගණිත වැටුප් කට්ටලය" දෙනවා. සමාන මූලද්‍රව්‍ය නොමැති කුලකයක් සමාන මූලද්‍රව්‍ය සහිත කට්ටලයකට සමාන නොවන බව ඔප්පු කළ විට පමණක් ඉතිරි බිල්පත් ඔහුට ලැබෙන බව ගණිතඥයාට පැහැදිලි කරමු. විනෝදය ආරම්භ වන්නේ මෙතැනිනි.

පළමුවෙන්ම, නියෝජිතයින්ගේ තර්කනය ක්‍රියාත්මක වනු ඇත: "මෙය අන් අයට යෙදිය හැකිය, නමුත් මට නොවේ!" එවිට එකම නිකායේ බිල්පත්වල විවිධ බිල්පත් අංක ඇති බව ඔවුන් අපට සහතික කිරීමට පටන් ගනීවි, එනම් ඒවා එකම මූලද්‍රව්‍ය ලෙස සැලකිය නොහැකි බවයි. හරි, අපි වැටුප් කාසිවල ගණන් කරමු - කාසිවල අංක නොමැත. මෙහිදී ගණිතඥයා භෞතික විද්‍යාව වියරුවෙන් මතක තබා ගැනීමට පටන් ගනී: විවිධ කාසිවල විවිධ අපිරිසිදු ප්‍රමාණයන් ඇත, පරමාණු වල ස්ඵටික ව්‍යුහය සහ සැකැස්ම එක් එක් කාසිය සඳහා අනන්‍ය වේ.

දැන් මට වැඩිපුරම තියෙනවා උනන්දුව අසන්න: බහු කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය බවට හැරෙන රේඛාවෙන් ඔබ්බට සහ අනෙක් අතට කොහිද? එවැනි රේඛාවක් නොපවතී - සෑම දෙයක්ම ෂාමන්වරුන් විසින් තීරණය කරනු ලැබේ, විද්යාව මෙහි බොරු කීමට පවා සමීප නොවේ.

මෙහෙ බලන්න. අපි එකම පිටි ප්රදේශයක් සහිත පාපන්දු ක්රීඩාංගන තෝරා ගනිමු. ක්ෂේත්‍රවල ප්‍රදේශ සමාන වේ - එයින් අදහස් කරන්නේ අපට බහු කට්ටලයක් ඇති බවයි. නමුත් අපි මේ එකම ක්‍රීඩාංගණවල නම් දෙස බැලුවහොත් අපට බොහෝ දේ ලැබේ, මන්ද නම් වෙනස් ය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, එකම මූලද්රව්ය කට්ටලයක් කට්ටලයක් සහ බහු කට්ටලයක් වේ. කුමන නිවැරදිද? මෙහිදී ගණිතඥයා-ෂාමන්-තියුණුවාදියා තම අත්ලෙන් තුරුම්පුවක් ඉවතට ගෙන කට්ටලයක් හෝ බහු කට්ටලයක් ගැන අපට පැවසීමට පටන් ගනී. ඕනෑම අවස්ථාවක, ඔහු නිවැරදි බව ඔහු අපට ඒත්තු ගන්වනු ඇත.

නූතන ෂාමන්වරුන් කුලක න්‍යාය සමඟ ක්‍රියාත්මක වන ආකාරය තේරුම් ගැනීමට, එය යථාර්ථයට ගැටගැසීමට, එක් ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරු දීමට එය ප්‍රමාණවත් වේ: එක් කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය තවත් කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍යවලින් වෙනස් වන්නේ කෙසේද? "තනි සමස්තයක් ලෙස සිතාගත නොහැකි" හෝ "තනි සමස්තයක් ලෙස සිතාගත නොහැකි" කිසිවක් නොමැතිව මම ඔබට පෙන්වන්නම්.

2018 මාර්තු 18 ඉරිදා

සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම්වල එකතුව යනු ගණිතයට කිසිදු සම්බන්ධයක් නැති රබන් සහිත ෂාමන්වරුන්ගේ නර්තනයකි. ඔව්, ගණිත පාඩම් වලදී අපට අංකයක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයාගෙන එය භාවිතා කිරීමට උගන්වා ඇත, නමුත් ඔවුන් ෂාමන්වරුන් වන්නේ එබැවිනි, ඔවුන්ගේ පරම්පරාවට ඔවුන්ගේ කුසලතා සහ ප්‍රඥාව ඉගැන්වීමට, එසේ නොමැතිනම් ෂාමන්වරු මිය යනු ඇත.

ඔබට සාක්ෂි අවශ්‍යද? විකිපීඩියාව විවෘත කර "සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම් එකතුව" පිටුව සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. ඇය නොපවතියි. ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීමට ගණිතයේ සූත්‍රයක් නොමැත. සියල්ලට පසු, සංඛ්‍යා යනු අප සංඛ්‍යා ලියන ග්‍රැෆික් සංකේත වන අතර ගණිතයේ භාෂාවෙන් කාර්යය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: “ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් නියෝජනය කරන ග්‍රැෆික් සංකේත එකතුව සොයන්න.” ගණිතඥයින්ට මෙම ගැටළුව විසඳිය නොහැක, නමුත් ෂාමන්වරුන්ට එය පහසුවෙන් කළ හැකිය.

දී ඇති අංකයක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීම සඳහා අප කරන්නේ කුමක්ද සහ කෙසේද යන්න සොයා බලමු. ඉතින්, අපි 12345 අංකය ලබා ගනිමු. මෙම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීමට කුමක් කළ යුතුද? සියලුම පියවර පිළිවෙලට සලකා බලමු.

1. කඩදාසි කැබැල්ලක අංකය ලියන්න. අපි මොනවද කරලා තියෙන්නේ? අපි අංකය චිත්රක සංඛ්යා සංකේතයක් බවට පරිවර්තනය කර ඇත. මෙය ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

2. අපි එක් ප්රතිඵලය පින්තූරයක් තනි සංඛ්යා අඩංගු පින්තූර කිහිපයක් කපා. පින්තූරයක් කැපීම ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

3. තනි ග්‍රැෆික් සංකේත සංඛ්‍යා බවට පරිවර්තනය කරන්න. මෙය ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

4. ප්රතිඵල සංඛ්යා එකතු කරන්න. දැන් මේක ගණිතය.

අංක 12345 හි ඉලක්කම්වල එකතුව 15 වේ. මේවා ගණිතඥයින් භාවිතා කරන ෂාමන්වරුන් විසින් උගන්වනු ලබන "කැපීම සහ මැහුම් පාඨමාලා" වේ. නමුත් එය පමණක් නොවේ.

ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, අපි අංකයක් ලියන්නේ කුමන සංඛ්‍යා පද්ධතියකද යන්න ගැටළුවක් නොවේ. ඉතින්, තුළ විවිධ පද්ධතිගණනය කිරීමේදී, එකම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව වෙනස් වේ. ගණිතයේ දී, සංඛ්‍යා පද්ධතිය සංඛ්‍යාවේ දකුණට උපසිරැසියක් ලෙස දැක්වේ. 12345 විශාල සංඛ්‍යාව සමඟ, මට මගේ හිස රවටා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත, අපි ලිපියෙන් අංක 26 සලකා බලමු. මෙම සංඛ්‍යාව ද්විමය, අෂ්ටක, දශම සහ ෂඩ් දශම සංඛ්‍යා පද්ධති වලින් ලියමු. අපි සෑම පියවරක්ම අන්වීක්ෂයකින් නොබලමු; අපි දැනටමත් එය කර ඇත. ප්‍රතිඵලය බලමු.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, විවිධ සංඛ්යා පද්ධතිවල එකම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව වෙනස් වේ. මෙම ප්‍රතිඵලය ගණිතයට සම්බන්ධ නැත. ඔබ සෘජුකෝණාස්‍රයක ප්‍රදේශය මීටර සහ සෙන්ටිමීටර වලින් තීරණය කළහොත් ඔබට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ප්‍රතිඵල ලැබෙනු ඇත.

ශුන්‍යය සියලුම සංඛ්‍යා පද්ධතිවල එකම ලෙස පෙනෙන අතර ඉලක්කම් එකතුවක් නොමැත. යන කාරණයට පක්ෂව මෙය තවත් තර්කයකි. ගණිතඥයින් සඳහා ප්‍රශ්නය: සංඛ්‍යාවක් නොවන දෙයක් ගණිතයේ නම් කරන්නේ කෙසේද? ගණිතඥයින්ට සංඛ්‍යා හැර අන් කිසිවක් නොපවතින්නේ කුමක්ද? මට මෙය ෂාමන්වරුන්ට ඉඩ දිය හැකිය, නමුත් විද්‍යාඥයින් සඳහා නොවේ. යථාර්ථය ඉලක්කම් පමණක් නොවේ.

ලබාගත් ප්‍රතිඵලය සංඛ්‍යා පද්ධති සංඛ්‍යා සඳහා මිනුම් ඒකක බවට සාක්ෂියක් ලෙස සැලකිය යුතුය. සියල්ලට පසු, අපට විවිධ මිනුම් ඒකක සමඟ සංඛ්යා සංසන්දනය කළ නොහැක. එකම ප්‍රමාණයේ විවිධ මිනුම් ඒකක සමඟ එකම ක්‍රියා වලට තුඩු දෙන්නේ නම් විවිධ ප්රතිඵලඒවා සංසන්දනය කිරීමෙන් පසු, එයින් අදහස් වන්නේ එය ගණිතය සමඟ කිසිදු සම්බන්ධයක් නොමැති බවයි.

සැබෑ ගණිතය යනු කුමක්ද? ප්‍රතිඵලය ලැබෙන විට මෙයයි ගණිතමය මෙහෙයුමඅංකයේ ප්‍රමාණය, භාවිතා කරන මිනුම් ඒකකය සහ ක්‍රියාව සිදු කරන්නේ කවුරුන්ද යන්න මත රඳා නොපවතී.

දොරේ අත්සන් කරන්න ඔහු දොර විවෘත කර මෙසේ කියයි.

ඔහ්! මේක කාන්තා විවේකාගාරය නේද?
- තරුණ කාන්තාව! මෙය ස්වර්ගයට නැගීමේදී ආත්මයන්ගේ අවිනිශ්චිත ශුද්ධකම අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා වූ රසායනාගාරයකි! ඉහළින් හා ඊතලය ඉහළට. වෙන මොන වැසිකිළිද?

ගැහැණු... උඩින් ඇති හැලෝ සහ පහළ ඊතලය පිරිමි.

එවැනි නිර්මාණ කලා කෘතියක් දිනකට කිහිප වතාවක් ඔබේ ඇස් ඉදිරිපිට දැල්වෙන්නේ නම්,

එවිට ඔබ හදිසියේම ඔබේ මෝටර් රථයේ අමුතු නිරූපකයක් සොයා ගැනීම පුදුමයක් නොවේ:

පුද්ගලිකව, මම මලපහ කරන පුද්ගලයෙකුගේ අංශක සෘණ හතරක් දැකීමට උත්සාහ කරමි (එක් පින්තූරයක්) (පින්තූර කිහිපයක සංයුතිය: ඍණ ලකුණක්, අංක හතර, අංශක නම් කිරීම). අනික මේ කෙල්ල භෞතික විද්‍යාව නොදන්න මෝඩයෙක් කියලා මම හිතන්නේ නෑ. ඇයට ඇත්තේ ග්‍රැෆික් රූප වටහා ගැනීමේ ශක්තිමත් ඒකාකෘතියක් පමණි. තවද ගණිතඥයන් මෙය අපට නිතරම උගන්වයි. මෙන්න උදාහරණයක්.

1A යනු "අංශක සෘණ හතර" හෝ "එක a" නොවේ. මෙය "pooping man" හෝ hexadecimal අංකනයේ "විසි හය" අංකයයි. මෙම සංඛ්‍යා පද්ධතියේ නිරන්තරයෙන් වැඩ කරන පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවක් සහ අකුරක් එක් ග්‍රැෆික් සංකේතයක් ලෙස ස්වයංක්‍රීයව වටහා ගනී.

මෙම ලිපියෙන් අපි trapezoid වල ගුණාංග හැකි තරම් සම්පූර්ණයෙන් පිළිබිඹු කිරීමට උත්සාහ කරමු. විශේෂයෙන්ම අපි කතා කරමු සාමාන්ය සංඥාසහ trapezoid එකක ගුණ මෙන්ම, trapezoid එකක ඇති ගුණාංග සහ trapezoid එකක කොටා ඇති වෘත්තයක් ගැන. සමස්ථානික සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid වල ගුණාංග ද අපි ස්පර්ශ කරන්නෙමු.

සාකච්ඡා කරන ලද ගුණාංග භාවිතයෙන් ගැටළුවක් විසඳීමේ උදාහරණයක් ඔබට එය ඔබේ හිසෙහි ස්ථාන වලට වර්ග කිරීමට සහ ද්රව්යය වඩා හොඳින් මතක තබා ගැනීමට උපකාරී වේ.

Trapeze සහ සියල්ල-සියල්ල-සියල්ල

ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි trapezoid යනු කුමක්ද සහ ඒ හා සම්බන්ධ වෙනත් සංකල්ප මොනවාද යන්න කෙටියෙන් සිහිපත් කරමු.

ඉතින්, trapezoid යනු චතුරස්රාකාර රූපයක් වන අතර, එහි පැති දෙකක් එකිනෙකට සමාන්තර වේ (මේවා පදනම් වේ). සහ දෙකම සමාන්තර නොවේ - මේවා පැති වේ.

trapezoid වලදී, උස අඩු කළ හැකිය - පාදවලට ලම්බකව. මැද රේඛාව සහ විකර්ණ ඇද ඇත. trapezoid හි ඕනෑම කෝණයකින් bisector ඇඳීමට ද හැකිය.

ගැන විවිධ ගුණාංග, මෙම සියලු මූලද්රව්ය හා ඒවායේ සංයෝජනයන් සමඟ සම්බන්ධ වී, අපි දැන් කතා කරමු.

trapezoid විකර්ණ වල ගුණ

එය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ඔබ කියවන අතරතුර, trapezoid ACME කඩදාසි කැබැල්ලක සටහන් කර එහි විකර්ණ අඳින්න.

1. ඔබ එක් එක් විකර්ණවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සොයාගෙන (මෙම ලක්ෂ්‍ය X සහ T ලෙස හඳුන්වමු) ඒවා සම්බන්ධ කළහොත්, ඔබට ඛණ්ඩයක් ලැබේ. trapezoid වල විකර්ණවල එක් ගුණාංගයක් වන්නේ HT කොටස මධ්‍ය රේඛාවේ පිහිටා තිබීමයි. පාදවල වෙනස දෙකකින් බෙදීමෙන් එහි දිග ලබා ගත හැකිය: ХТ = (a - b)/2.
2. අපට පෙර එකම trapezoid ACME වේ. විකර්ණ O ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ. අපි බලමු AOE සහ MOK යන ත්‍රිකෝණ දෙස බලමු, trapezoid හි පාද සමඟ විකර්ණවල කොටස් වලින් සෑදී ඇත. මෙම ත්රිකෝණ සමාන වේ. ත්‍රිකෝණවල k සමානතා සංගුණකය trapezoid හි පාදවල අනුපාතය හරහා ප්‍රකාශ වේ: k = AE/KM.
   AOE සහ MOK යන ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ වල අනුපාතය k 2 සංගුණකය මගින් විස්තර කෙරේ.
3. O ලක්ෂ්‍යයේදී එකම trapezoid, එකම විකර්ණ ඡේදනය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී පමණක් අපි සලකා බලන්නේ විකර්ණ වල කොටස් trapezoid හි පැති සමඟ එක්ව සෑදූ ත්‍රිකෝණයන් ය. AKO සහ EMO ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ - ඒවායේ ප්‍රදේශ සමාන වේ.
4. trapezoid හි තවත් දේපලක් විකර්ණ ඉදිකිරීම ඇතුළත් වේ. එබැවින්, ඔබ AK සහ ME හි පැති කුඩා පදනමේ දිශාවට දිගටම කරගෙන ගියහොත්, ඉක්මනින් හෝ පසුව ඒවා යම් ස්ථානයක ඡේදනය වේ. ඊළඟට, trapezoid හි පාදවල මැදින් සරල රේඛාවක් අඳින්න. එය X සහ T ලක්ෂ්‍යවලදී පාදයන් ඡේදනය කරයි.
   අපි දැන් XT රේඛාව දිගු කරන්නේ නම්, එය trapezoid O හි විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය, පැතිවල දිගු සහ X සහ T පාදවල මැද ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය එකට සම්බන්ධ කරයි.
5. විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය හරහා අපි trapezoid හි පාද සම්බන්ධ කරන කොටසක් අඳින්නෙමු (T කුඩා පාදයේ KM, X විශාල AE මත පිහිටා ඇත). විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය මෙම කොටස පහත අනුපාතයට බෙදයි: TO/OX = KM/AE.
6. දැන්, විකර්ණවල ඡේදනය වන ස්ථානය හරහා, අපි trapezoid (a සහ b) හි පාදවලට සමාන්තර කොටසක් අඳින්නෙමු. ඡේදනය වන ස්ථානය එය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදනු ඇත. සූත්‍රය භාවිතයෙන් ඔබට කොටසේ දිග සොයාගත හැකිය 2ab/(a + b).

trapezoid වල මැද රේඛාවේ ගුණ

එහි පාදවලට සමාන්තරව trapezoid හි මැද රේඛාව අඳින්න.

1. පාදවල දිග එකතු කර ඒවා අඩකින් බෙදීමෙන් trapezoid හි මැද රේඛාවේ දිග ගණනය කළ හැකිය: m = (a + b)/2.
2. ඔබ trapezoid හි පාද දෙකම හරහා කිසියම් කොටසක් (උස, උදාහරණයක් ලෙස) අඳින්නේ නම්, මැද රේඛාව එය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදනු ඇත.

Trapezoid ද්වි අංශයේ ගුණය

trapezoid හි ඕනෑම කෝණයක් තෝරන්න සහ bisector එකක් අඳින්න. උදාහරණයක් ලෙස, අපගේ trapezoid ACME හි KAE කෝණය ගනිමු. ඉදිකිරීම් ඔබම සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසු, බයිසෙක්ටරය පාදයේ සිට (හෝ රූපයෙන් පිටත සරල රේඛාවකින් එය අඛණ්ඩව) පැත්තට සමාන දිගකින් කපා හරින බව ඔබට පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකිය.

trapezoid කෝණවල ගුණ

1. ඔබ තෝරා ගන්නා පැත්තට යාබද කෝණ යුගල දෙකෙන් කුමක් වුවත්, යුගලයේ ඇති කෝණවල එකතුව සෑම විටම 180 0: α + β = 180 0 සහ γ + δ = 180 0 වේ.
2. trapezoid හි පාදවල මැද ලක්ෂ්‍ය TX කොටස සමඟ සම්බන්ධ කරමු. දැන් අපි trapezoid හි පාදවල කෝණ දෙස බලමු. ඒවායින් ඕනෑම එකක් සඳහා කෝණවල එකතුව 90 0 නම්, පාදයේ දිග වෙනස මත පදනම්ව TX කොටසේ දිග පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය, එය අඩකට බෙදා ඇත: TX = (AE – KM)/2.
3. trapezoid කෝණයක පැති හරහා සමාන්තර රේඛා අඳින්නේ නම්, ඒවා කෝණයේ පැති සමානුපාතික කොටස් වලට බෙදනු ඇත.

සමද්වීපක (සමපාර්ශ්වික) trapezoid වල ගුණ

1. සමද්වීපක trapezoid එකක, ඕනෑම පාදයක කෝණ සමාන වේ.
2. දැන් අපි කතා කරන්නේ කුමක්දැයි සිතීම පහසු කිරීම සඳහා නැවත trapezoid සාදන්න. AE පාදය දෙස හොඳින් බලන්න - ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයේ M හි ශීර්ෂය AE අඩංගු රේඛාවේ යම් ස්ථානයකට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ. A ශීර්ෂයේ සිට M ශීර්ෂයේ ප්‍රක්ෂේපණ ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඇති දුර සහ සමද්වීපක trapezoid හි මැද රේඛාව සමාන වේ.
3. සමද්වීපක trapezoid ක විකර්ණවල ගුණ ගැන වචන කිහිපයක් - ඒවායේ දිග සමාන වේ. තවද මෙම විකර්ණවල trapezoid පාදයට නැඹුරුවීමේ කෝණ සමාන වේ.
4. චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව 180 0 වන බැවින් කවයක් විස්තර කළ හැක්කේ සමද්වීපක trapezoid වටා පමණි. අවශ්ය කොන්දේසියමේ වෙනුවෙන්.
5. සමද්වීපක trapezoid වල ගුණය පෙර ඡේදයෙන් පහත දැක්වේ - trapezoid අසල කවයක් විස්තර කළ හැකි නම්, එය සමද්විපාදය වේ.
6. සමද්වීපක trapezoid වල ලක්ෂණ අනුව, trapezoid හි උසෙහි ගුණය පහත දැක්වේ: එහි විකර්ණ සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන්නේ නම්, උසෙහි දිග පාදවල එකතුවෙන් අඩකට සමාන වේ: h = (a + b)/2.
7. නැවතත්, trapezoid හි පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය හරහා TX කොටස අඳින්න - සමද්වීපක trapezoid වලදී එය පාදවලට ලම්බක වේ. ඒ අතරම TX යනු සමද්වීපක trapezoid හි සමමිතියේ අක්ෂය වේ.
8. මෙම අවස්ථාවේදී, trapezoid හි ප්රතිවිරුද්ධ ශීර්ෂයේ සිට විශාල පදනම මත උස අඩු කරන්න (අපි එය a ලෙස හඳුන්වමු). ඔබට කොටස් දෙකක් ලැබෙනු ඇත. පාදවල දිග එකතු කර අඩකින් බෙදුවහොත් එකක දිග සොයාගත හැකිය: (a + b)/2. අපි විශාල පාදයෙන් කුඩා එක අඩු කර ලැබෙන වෙනස දෙකකින් බෙදූ විට අපට දෙවැන්න ලැබේ: (a - b)/2.

රවුමක කොටා ඇති trapezoid වල ගුණ

අපි දැනටමත් රවුමක කොටා ඇති trapezoid ගැන කතා කරන බැවින්, අපි මෙම ගැටළුව වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු. විශේෂයෙන්, trapezoid සම්බන්ධව රවුමේ කේන්ද්‍රය කොතැනද යන්න. මෙහිදී ද, පැන්සලක් ගෙන පහත සාකච්ඡා කෙරෙන දේ ඇඳීමට කාලය ගත කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ. මේ ආකාරයෙන් ඔබ ඉක්මනින් තේරුම් ගන්නා අතර වඩා හොඳින් මතක තබා ගන්න.

1. රවුමේ කේන්ද්‍රයේ පිහිටීම තීරණය වන්නේ trapezoid හි විකර්ණය එහි පැත්තට නැඹුරුවන කෝණයෙනි. නිදසුනක් ලෙස, විකර්ණයක් trapezoid මුදුනේ සිට සෘජු කෝණවලින් පැත්තට විහිදේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විශාල පාදය වට රවුමේ කේන්ද්‍රය හරියටම මැදින් (R = ½AE) ඡේදනය කරයි.
2. විකර්ණ සහ පැත්ත ද තියුණු කෝණයකින් හමුවිය හැකිය - එවිට රවුමේ කේන්ද්රය trapezoid ඇතුළත වේ.
3. trapezoid හි විකර්ණය සහ පැත්ත අතර වටකුරු කෝණයක් තිබේ නම්, එහි විශාල පාදයෙන් ඔබ්බට, වටකුරු රවුමේ කේන්ද්‍රය trapezoid පිටත විය හැකිය.
4. trapezoid ACME (සෙල්ලිපි කළ කෝණය) හි විකර්ණ සහ විශාල පාදය මගින් සාදන ලද කෝණය එයට අනුරූප වන මධ්‍යම කෝණයෙන් අඩකි: MAE = ½MOE.
5. සංක්ෂිප්ත වෘත්තයක අරය සොයා ගැනීමට ක්‍රම දෙකක් ගැන කෙටියෙන්. පළමු ක්රමය: ඔබේ ඇඳීම දෙස හොඳින් බලන්න - ඔබ දකින්නේ කුමක්ද? විකර්ණය trapezoid ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදන බව ඔබට පහසුවෙන් දැකගත හැක. අරය ත්‍රිකෝණයේ පැත්තේ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණයේ සයිනයට අනුපාතය, දෙකකින් ගුණ කිරීමෙන් සොයාගත හැක. උදාහරණ වශයෙන්, R = AE/2*sinAME. ඒ හා සමානව, ත්‍රිකෝණ දෙකෙහිම ඕනෑම පැත්තක් සඳහා සූත්‍රය ලිවිය හැකිය.
6. දෙවන ක්රමය: trapezoid හි විකර්ණ, පැත්ත සහ පාදය මගින් සාදන ලද ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය හරහා වටකුරු රවුමේ අරය සොයා ගන්න: R = AM*ME*AE/4*S AME.

කවයක් වටා ඇති trapezoid වල ගුණ

එක් කොන්දේසියක් සපුරා ඇත්නම් ඔබට trapezoid තුලට රවුමක් සවි කළ හැකිය. ඒ ගැන වැඩි විස්තර පහතින් කියවන්න. මෙම සංඛ්‍යා සංයෝජනයට සිත්ගන්නාසුලු ගුණාංග ගණනාවක් ඇත.

1. කවයක් trapezoid එකක කොටා ඇත්නම්, එහි මැද රේඛාවේ දිග පහසුවෙන් සොයා ගත හැක්කේ පැතිවල දිග එකතු කර ලැබෙන එකතුව අඩකින් බෙදීමෙනි: m = (c + d)/2.
2. කවයක් ගැන විස්තර කර ඇති trapezoid ACME සඳහා, පාදවල දිග එකතුව පැතිවල දිග එකතුවට සමාන වේ: AK + ME = KM + AE.
3. trapezoid එකක පාදවල මෙම ගුණයෙන්, ප්‍රතිලෝම ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ: පාදවල එකතුව එහි පැතිවල එකතුවට සමාන වන trapezoid එකක කවයක් සටහන් කළ හැක.
4. trapezoid එකක සටහන් කර ඇති r අරය සහිත වෘත්තයක ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය පැත්ත කොටස් දෙකකට බෙදයි, අපි ඒවා a සහ b ලෙස හඳුන්වමු. රවුමක අරය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: r = √ab.
5. සහ තවත් එක් දේපලක්. ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීම සඳහා, මෙම උදාහරණය ඔබම අඳින්න. කවයක් වටා විස්තර කර ඇති හොඳ පැරණි trapezoid ACME අප සතුව ඇත. එහි O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වන විකර්ණ අඩංගු වේ. AOK සහ EOM යන ත්‍රිකෝණ විකර්ණවල කොටස් මගින් සාදනු ලබන අතර පාර්ශ්වීය පැති සෘජුකෝණාස්‍රාකාර වේ.
   මෙම ත්‍රිකෝණවල උස, කර්ණයට (එනම්, trapezoid හි පාර්ශ්වීය පැති) දක්වා පහත හෙලන ලද, අලේඛන ලද කවයේ අරය සමග සමපාත වේ. සහ trapezoid හි උස සටහන් කර ඇති රවුමේ විෂ්කම්භය සමඟ සමපාත වේ.

සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid වල ගුණ

trapezoid එහි එක් කෝණයක් නිවැරදි නම් එය සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ. තවද එහි ගුණාංග මෙම තත්වයෙන් පැන නගී.

1. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid එහි එක් පැත්තක් එහි පාදයට ලම්බකව ඇත.
2. යාබද trapezoid හි උස සහ පාර්ශ්වීය පැත්ත සෘජු කෝණය, සමාන වේ. මෙය ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි ( සාමාන්ය සූත්රය S = (a + b) * h/2) උස හරහා පමණක් නොව, නිවැරදි කෝණයට යාබද පැත්ත හරහා.
3. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid සඳහා, ඉහත දැනටමත් විස්තර කර ඇති trapezoid වල විකර්ණවල පොදු ගුණාංග අදාළ වේ.

trapezoid හි සමහර ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂි

සමද්වීපක trapezoid පාදයේ කෝණවල සමානාත්මතාවය:

• මෙහිදී අපට නැවත AKME trapezoid අවශ්‍ය වනු ඇතැයි ඔබ දැනටමත් අනුමාන කර ඇත - සමද්විපාද trapezoid අඳින්න. AK (MT || AK) පැත්තට සමාන්තරව M ශීර්ෂයෙන් MT සරල රේඛාවක් අඳින්න.

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන චතුරස්‍ර AKMT සමාන්තර චලිතයකි (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT නිසා, ∆ MTE සමද්වීපක වන අතර MET = MTE වේ.

AK || MT, එබැවින් MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME කොහෙද.

Q.E.D.

දැන්, සමද්වීපක trapezoid (විකර්ණවල සමානාත්මතාවය) දේපල මත පදනම්ව, අපි එය ඔප්පු කරමු trapezoid ACME යනු සමද්වීපක වේ:

• පළමුව, අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු MX - MX || කේ.ඊ. අපි KMHE (පදනම - MX || KE සහ KM || EX) සමාන්තර චලිතයක් ලබා ගනිමු.

AM = KE = MX, සහ MAX = MEA බැවින් ∆AMX සමද්වීප වේ.

MH || KE, KEA = MXE, එබැවින් MAE = MXE.

AM = KE සහ AE ත්‍රිකෝණ දෙකේ පොදු පැත්ත වන බැවින් AKE සහ EMA ත්‍රිකෝණ එකිනෙකට සමාන බව පෙනී ගියේය. ඒ වගේම MAE = MXE. AK = ME බව අපට නිගමනය කළ හැකි අතර, මෙයින් trapezoid AKME සමද්විපාදය බව අනුගමනය කරයි.

කාර්යය සමාලෝචනය කරන්න

trapezoid ACME හි පාදයන් 9 cm සහ 21 cm, පැති පැත්ත KA, 8 cm ට සමාන වේ, කුඩා පාදය සමඟ 150 0 කෝණයක් සාදයි. ඔබ trapezoid ප්රදේශය සොයා ගත යුතුය.

විසඳුම: vertex K සිට අපි trapezoid විශාල පදනම දක්වා උස අඩු කරමු. අපි trapezoid හි කෝණ දෙස බැලීමට පටන් ගනිමු.

AEM සහ KAN කෝණ ඒකපාර්ශ්වික වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමස්තයක් වශයෙන් ඔවුන් 180 0 ලබා දෙන බවයි. එබැවින්, KAN = 30 0 (trapezoidal කෝණවල ගුණය මත පදනම්ව).

අපි දැන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ∆ANC සලකා බලමු (මෙම කරුණ අතිරේක සාක්ෂි නොමැතිව පාඨකයන්ට පැහැදිලි බව මම විශ්වාස කරමි). එයින් අපි trapezoid KH හි උස සොයා ගනිමු - ත්‍රිකෝණයක එය 30 0 කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති කකුලකි. එබැවින්, KH = ½AB = 4 සෙ.මී.

සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපි trapezoid ප්‍රදේශය සොයා ගනිමු: S ACME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

පසු වදන

ඔබ මෙම ලිපිය ප්‍රවේශමෙන් හා කල්පනාකාරීව අධ්‍යයනය කළේ නම්, ඔබේ අතේ පැන්සලකින් ලබා දී ඇති සියලුම ගුණාංග සඳහා trapezoids ඇඳීමට සහ ඒවා ප්‍රායෝගිකව විශ්ලේෂණය කිරීමට කම්මැලි නොවන්නේ නම්, ඔබ ද්‍රව්‍යය හොඳින් ප්‍රගුණ කර තිබිය යුතුය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි බොහෝ තොරතුරු තිබේ, විවිධාකාර සහ සමහර විට පවා ව්යාකූල වේ: විස්තර කරන ලද trapezoid වල ගුණාංග සෙල්ලිපියේ ගුණාංග සමඟ පටලවා ගැනීම එතරම් අපහසු නොවේ. නමුත් වෙනස අති විශාල බව ඔබම දැක ඇත.

දැන් ඔබට සියල්ල පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක සාරාංශයක් තිබේ සාමාන්ය ගුණාංග trapezoids. සමද්වීපක සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoids වල විශේෂිත ගුණාංග සහ ලක්ෂණ මෙන්ම. පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීම සඳහා භාවිතා කිරීම ඉතා පහසු වේ. එය ඔබම උත්සාහ කර ඔබේ මිතුරන් සමඟ සබැඳිය බෙදා ගන්න!

blog.site, සම්පූර්ණයෙන් හෝ කොටස් වශයෙන් ද්‍රව්‍ය පිටපත් කිරීමේදී, මුල් මූලාශ්‍රය වෙත සබැඳියක් අවශ්‍ය වේ.