trapezoid විකර්ණ ලෙස සමාන ත්‍රිකෝණ. ට්රේප්සොයිඩ්. සම්පූර්ණ නිදර්ශන මාර්ගෝපදේශය (2019)

\[(\විශාල(\පෙළ(නිදහස් trapezoid)))\]

අර්ථ දැක්වීම්

trapezoid යනු පැති දෙකක් සමාන්තර වන අතර අනෙක් පැති දෙක සමාන්තර නොවන උත්තල චතුරස්‍රයකි.

trapezoid එකක සමාන්තර පැති එහි පාද ලෙසත් අනෙක් පැති දෙක එහි පාර්ශ්වික පැති ලෙසත් හැඳින්වේ.

trapezoid හි උස යනු එක් පාදයක ඕනෑම ස්ථානයක සිට තවත් පාදයකට ඇද ගන්නා ලම්බක වේ.

සිද්ධාන්ත: trapezoid වල ගුණ

1) පැත්තේ ඇති කෝණවල එකතුව \(180^\circ\) .

2) විකර්ණ ත්‍රිකෝණ හතරකට ත්‍රිකෝණ බෙදයි, ඉන් දෙකක් සමාන වන අතර අනෙක් දෙක ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ.

සාක්ෂි

1) නිසා \(AD\parallel BC\), එවිට කෝණ \(\කෝණය BAD\) සහ \(\angle ABC\) මෙම රේඛා සඳහා ඒකපාර්ශ්වික වන අතර තීර්යක් \(AB\), එබැවින්, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) නිසා \(AD\parallel BC\) සහ \(BD\) තත්පරයකි, එවිට \(\angle DBC=\angle BDA\) හරස් අතට පිහිටයි.
එසේම \(\angle BOC=\angle AOD\) සිරස් ලෙස.
එබැවින්, කෝණ දෙකකින් \(\ත්‍රිකෝණය BOC \sim \triangle AOD\).

ඒක ඔප්පු කරමු \(S_(\ත්‍රිකෝණය AOB)=S_(\ත්‍රිකෝණය COD)\). trapezoid හි උස \(h\) කරමු. ඉන්පසු \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\ත්‍රිකෝණය ACD)\). ඉන්පසු: \

අර්ථ දැක්වීම

trapezoid හි මැද රේඛාව යනු පැතිවල මැද ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි.

ප්රමේයය

trapezoid හි මැද රේඛාව පාදවලට සමාන්තර වන අතර ඒවායේ අර්ධ එකතුවට සමාන වේ.

සාක්ෂි*

1) සමාන්තර බව ඔප්පු කරමු.

අපි \(M\) ලක්ෂ්‍යය හරහා සරල රේඛාව \(MN"\සමාන්තර AD\) (\(N"\in CD\) ) අඳිමු. ඉන්පසුව, තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව (සිට \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) ලක්ෂ්‍යය \(N"\) යනු \(CD\) කොටසේ මැදය. මෙයින් අදහස් වන්නේ \(N\) සහ \(N"\) යන ලක්ෂ්‍යයන් සමපාත වන බවයි.

2) සූත්‍රය ඔප්පු කරමු.

අපි \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) කරමු. ඉඩ \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

එවිට, තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව, \(M"\) සහ \(N"\) යනු පිළිවෙලින් \(BB"\) සහ \(CC"\) යන කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේ. මෙයින් අදහස් වන්නේ \(MM"\) යනු \(\ත්‍රිකෝණය ABB"\) හි මැද රේඛාව වන අතර, \(NN"\) යනු \(\ත්‍රිකෝණය DCC"\) හි මැද රේඛාව බවයි. ඒක තමයි: \

නිසා \(MN\සමාන්තර AD\සමාන්තර BC\)සහ \(BB", CC"\perp AD\), පසුව \(B"M"N"C"\) සහ \(BM"N"C\) සෘජුකෝණාස්‍ර වේ. තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව, \(MN\parallel AD\) සහ \(AM=MB\) වලින් එය අනුගමනය කරන්නේ \(B"M"=M"B\) .එබැවින්, \(B"M"N"C "\) සහ \(BM"N"C\) සමාන සෘජුකෝණාස්‍ර වේ, එබැවින්, \(M"N"=B"C"=BC\) .

මේ අනුව:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\වම(AD+BC\දකුණ)\]

ප්රමේයය: අත්තනෝමතික trapezoid දේපල

පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය, trapezoid හි විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සහ පාර්ශ්වීය පැතිවල දිගුවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත.

සාක්ෂි*
“ත්‍රිකෝණවල සමානකම” යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු සාක්ෂි සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.

1) \(P\) , \(N\) සහ \(M\) යන ලක්ෂ්‍ය එකම රේඛාවක පිහිටා ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු.

අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු \(PN\) (\(P\) යනු පාර්ශ්වීය පැතිවල දිගුවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය, \(N\) යනු \(BC\) හි මැද). \(M\) ලක්ෂ්‍යයේ \(AD\) පැත්ත ඡේදනය වීමට ඉඩ දෙන්න. \(M\) යනු \(AD\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය බව ඔප්පු කරමු.

\(\ත්‍රිකෝණය BPN\) සහ \(\ත්‍රිකෝණය APM\) සලකා බලන්න. ඒවා කෝණ දෙකකින් සමාන වේ (\(\angle APM\) – general, \(\angle PAM=\angle PBN\) \(AD\parallel BC\) සහ \(AB\) secant). අදහස්: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\ත්‍රිකෝණය CPN\) සහ \(\ත්‍රිකෝණ DPM\) . ඒවා කෝණ දෙකකින් සමාන වේ (\(\angle DPM\) – general, \(\angle PDM=\angle PCN\) \(AD\parallel BC\) සහ \(CD\) secant). අදහස්: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

මෙතැන් සිට \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). නමුත් \(BN=NC\) එබැවින් \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) ලක්ෂ්‍ය එකම රේඛාවක පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු.

\(N\) \(BC\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය සහ \(O\) විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වේ. අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු \(NO\) , එය \(M\) ලක්ෂ්‍යයේ \(AD\) පැත්ත ඡේදනය වේ. \(M\) යනු \(AD\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය බව ඔප්පු කරමු.

\(\ත්‍රිකෝණය BNO\sim \triangle DMO\)කෝණ දෙකක් දිගේ (\(\angle OBN=\angle ODM\) හරස් අතට \(BC\parallel AD\) සහ \(BD\) තත්පර; \(\angle BON=\angle DOM\) සිරස් ලෙස). අදහස්: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

එලෙසම \(\ත්‍රිකෝණය CON\sim \triangle AOM\). අදහස්: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

මෙතැන් සිට \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). නමුත් \(BN=CN\) එබැවින් \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isoceles trapezoid)))\]

අර්ථ දැක්වීම්

trapezoid එහි එක් කෝණයක් නිවැරදි නම් එය සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ.

trapezoid එහි පැති සමාන නම් සමද්විපාද ලෙස හැඳින්වේ.

ප්‍රමේය: ගුණ isosceles trapezoid

1) සමද්වීපක trapezoid එකකට සමාන පාද කෝණ ඇත.

2) සමද්වීපක trapezoid එකක විකර්ණ සමාන වේ.

3) විකර්ණ සහ පාදය මගින් සාදන ලද ත්‍රිකෝණ දෙකක් සමද්වීපක වේ.

සාක්ෂි

1) සමද්විපාද trapezoid \(ABCD\) සලකා බලන්න.

\(B\) සහ \(C\) සිරස් වලින්, අපි පිළිවෙලින් \(BM\) සහ \(CN\) පැත්තට \(AD\) ලම්බ තබමු. \(BM\perp AD\) සහ \(CN\perp AD\) , පසුව \(BM\සමාන්තර CN\) ; \(AD\parallel BC\) , එවිට \(MBCN\) යනු සමාන්තර චලිතයකි, එබැවින්, \(BM = CN\) .

දකුණු ත්‍රිකෝණ \(ABM\) සහ \(CDN\) සලකා බලන්න. ඒවායේ කර්ණය සමාන වන අතර කකුල \(BM\) කකුලට \(CN\) සමාන වන බැවින්, මෙම ත්‍රිකෝණ සමාන වේ, එබැවින්, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

නිසා \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- සාමාන්ය, පසුව පළමු ලකුණ අනුව. එබැවින්, \(AC=BD\) .

3) නිසා \(\ත්‍රිකෝණය ABD=\ත්‍රිකෝණය ACD\), පසුව \(\angle BDA=\angle CAD\) . එබැවින්, ත්‍රිකෝණය \(\ත්‍රිකෝණය AOD\) සමද්වීපක වේ. ඒ හා සමානව, \(\ත්‍රිකෝණය BOC\) සමද්වීපක බව ඔප්පු වේ.

ප්‍රමේය: සමද්වීපක trapezoid වල සංඥා

1) trapezoid එකකට සමාන පාද කෝණ තිබේ නම්, එය සමද්වීපක වේ.

2) trapezoid එකකට සමාන විකර්ණ තිබේ නම්, එය සමද්වීපක වේ.

සාක්ෂි

\(\angle A = \angle D\) trapezoid \(ABCD\) සලකා බලන්න.

රූපයේ දැක්වෙන පරිදි ත්‍රිකෝණය \(AED\) වෙත trapezoid සම්පූර්ණ කරමු. \(\angle 1 = \angle 2\) , එවිට ත්‍රිකෝණය \(AED\) සමද්වීපාද සහ \(AE = ED\) . \(1\) සහ \(3\) සමාන්තර රේඛා \(AD\) සහ \(BC\) සහ තත්පර \(AB\) සඳහා අනුරූප කෝණ ලෙස සමාන වේ. ඒ හා සමානව, කෝණ \(2\) සහ \(4\) සමාන වේ, නමුත් \(\angle 1 = \angle 2\), එවිට \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), එබැවින්, ත්‍රිකෝණය \(BEC\) ද සමද්වීපක සහ \(BE = EC\) .

අවසානයේ \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), එනම්, \(AB = CD\), ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වන්නේ එයයි.

2) ඉඩ දෙන්න \(AC=BD\) . නිසා \(\ත්‍රිකෝණය AOD\sim \ත්‍රිකෝණය BOC\), එවිට අපි ඒවායේ සමානතා සංගුණකය \(k\) ලෙස දක්වන්නෙමු. එවිට \(BO=x\) , එවිට \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) ට සමානයි.

නිසා \(AC=BD\) , පසුව \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . මෙයින් අදහස් වන්නේ \(\ත්‍රිකෝණය AOD\) යනු සමද්වීප සහ \(\angle OAD=\angle ODA\) .

මේ අනුව, පළමු සංඥාව අනුව \(\ත්‍රිකෝණය ABD=\ත්‍රිකෝණය ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- ජනරාල්). ඉතින්, \(AB=CD\) , ඇයි.

Trapezoid යනු විශේෂ අවස්ථාවක්එක් පැති යුගලයක් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක්. "trapezoid" යන පදය පැමිණෙන්නේ τράπεζα යන ග්‍රීක වචනයෙන් වන අතර එහි තේරුම "වගුව", "වගුව" යන්නයි. මෙම ලිපියෙන් අපි trapezoid වර්ග සහ එහි ගුණාංග දෙස බලමු. ඊට අමතරව, අපි ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු තනි මූලද්රව්යඋදාහරණයක් ලෙස, සමද්වීපක trapezoid ක විකර්ණය, මධ්‍ය රේඛාව, ප්‍රදේශය යනාදිය. ද්‍රව්‍යය මූලික ජනප්‍රිය ජ්‍යාමිතියේ ශෛලියෙන්, එනම් පහසුවෙන් ප්‍රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.

සාමාන්ය තොරතුරු

පළමුව, චතුරස්රයක් යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මෙම රූපයපැති හතරක් සහ සිරස් හතරක් අඩංගු බහුඅස්‍රයක විශේෂ අවස්ථාවකි. යාබදව නොමැති චතුරස්‍රයක සිරස් දෙකක් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස හැඳින්වේ. යාබද නොවන පැති දෙකක් සඳහා ද එයම කිව හැකිය. ප්‍රධාන චතුරස්‍ර වර්ග වන්නේ සමාන්තර චලිතය, සෘජුකෝණාස්‍රය, රොම්බස්, හතරැස්, trapezoid සහ deltoid ය.

එබැවින් අපි නැවත trapezoids වෙත යමු. අප දැනටමත් පවසා ඇති පරිදි, මෙම රූපයට සමාන්තර පැති දෙකක් ඇත. ඒවා පදනම් ලෙස හැඳින්වේ. අනෙක් දෙක (සමාන්තර නොවන) පාර්ශ්වීය පැති වේ. විභාග ද්රව්ය සහ විවිධ පරීක්ෂණබොහෝ විට ඔබට trapezoids සම්බන්ධ ගැටළු සොයාගත හැකිය, එයට විසඳුම බොහෝ විට ශිෂ්‍යයාට වැඩසටහනේ සපයා නොමැති දැනුමක් අවශ්‍ය වේ. පාසල් ජ්‍යාමිතික පාඨමාලාව සිසුන්ට කෝණ සහ විකර්ණවල ගුණ මෙන්ම සමද්වීපක trapezoid වල මැද රේඛාව ද හඳුන්වා දෙයි. එහෙත්, මෙයට අමතරව, සඳහන් ජ්යාමිතික රූපය වෙනත් ලක්ෂණ ඇත. නමුත් ඔවුන් ගැන වැඩි විස්තර ටිකක් පසුව ...

trapezoid වර්ග

මෙම රූපයේ බොහෝ වර්ග තිබේ. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට ඒවායින් දෙකක් සලකා බැලීම සිරිතකි - සමස්ථානික සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර.

1. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid යනු එක් පැත්තක් පාදවලට ලම්බකව ඇති රූපයකි. ඇගේ කෝණ දෙක සෑම විටම අංශක අනූවකට සමාන වේ.

2. සමද්වීපක trapezoid යනු පැති එකිනෙකට සමාන වන ජ්‍යාමිතික රූපයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පාදවල කෝණ ද යුගල වශයෙන් සමාන වන බවයි.

trapezoid වල ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමේ ක්රමවේදයේ ප්රධාන මූලධර්ම

ප්රධාන මූලධර්මය ඊනියා කාර්ය ප්රවේශය භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම රූපයේ නව ගුණාංග ජ්යාමිතිය පිළිබඳ න්යායික පාඨමාලාවට හඳුන්වා දීම අවශ්ය නොවේ. විවිධ ගැටළු විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී (වඩාත් සුදුසු පද්ධති ඒවා) ඒවා සොයාගෙන සකස් කළ හැකිය. ඒ අතරම, අධ්‍යාපන ක්‍රියාවලියේදී එක් වරක් හෝ තවත් අවස්ථාවක සිසුන්ට පැවරිය යුතු කාර්යයන් මොනවාදැයි ගුරුවරයා දැන සිටීම ඉතා වැදගත් වේ. එපමනක් නොව, trapezoid හි සෑම දේපලක්ම කාර්ය පද්ධතියේ ප්රධාන කාර්යයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

දෙවන මූලධර්මය වන්නේ trapezoid හි "විශිෂ්ට" ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමේ ඊනියා සර්පිලාකාර සංවිධානයයි. මෙමගින් හැඟවෙන්නේ ඉගෙනුම් ක්‍රියාවලියේ දී ලබා දී ඇති තනි ලක්ෂණ වෙත ආපසු යාමකි ජ්යාමිතික රූපය. මෙය සිසුන්ට ඒවා මතක තබා ගැනීම පහසු කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, ලකුණු හතරක දේපල. සමානකම් අධ්‍යයනය කිරීමේදී සහ පසුව දෛශික භාවිතා කිරීමේදී එය ඔප්පු කළ හැකිය. රූපයක පාර්ශ්වීය පැතිවලට යාබද ත්‍රිකෝණවල සමානතාවය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති පැතිවලට සමාන උසකින් යුත් ත්‍රිකෝණවල ගුණාංග යෙදීමෙන් පමණක් නොව S = 1/2( සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන්ද ඔප්පු කළ හැකිය. ab * sinα). ඊට අමතරව, ඔබට ශිලාලේඛන ලද trapezoid හෝ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් මත වැඩ කළ හැකිය.

පාසල් පාඨමාලාවේ අන්තර්ගතය තුළ ජ්යාමිතික රූපයක "විෂයට පරිබාහිර" ලක්ෂණ භාවිතා කිරීම ඔවුන්ට ඉගැන්වීම සඳහා කාර්යය පදනම් කරගත් තාක්ෂණයකි. වෙනත් මාතෘකා හරහා යමින් අධ්‍යයනය කරන ගුණාංග නිරන්තරයෙන් යොමු කිරීම සිසුන්ට trapezoid පිළිබඳ ගැඹුරු දැනුමක් ලබා ගැනීමට සහ පවරා ඇති ගැටළු විසඳීමේ සාර්ථකත්වය සහතික කරයි. ඉතින්, අපි මෙම අපූරු රූපය අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගනිමු.

සමද්වීපක trapezoid වල මූලද්‍රව්‍ය සහ ගුණ

අප දැනටමත් සටහන් කර ඇති පරිදි, මෙම ජ්යාමිතික රූපය සමාන පැති ඇත. එය නිවැරදි trapezoid ලෙසද හැඳින්වේ. එය එතරම් කැපී පෙනෙන්නේ ඇයි සහ එයට එවැනි නමක් ලැබුණේ ඇයි? මෙම රූපයේ විශේෂත්වය වන්නේ පාදවල පැති සහ කෝණ පමණක් නොව විකර්ණ ද සමාන වීමයි. මීට අමතරව, සමද්වීපක trapezoid කෝණවල එකතුව අංශක 360 කි. නමුත් එය පමණක් නොවේ! දන්නා සියලුම trapezoids අතුරින්, කවයක් ලෙස විස්තර කළ හැක්කේ සමද්විපාදයක් පමණි. මෙයට හේතුව මෙම රූපයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට සමාන වන අතර මෙම කොන්දේසිය යටතේ පමණක් චතුරස්රය වටා කවයක් විස්තර කළ හැකිය. සලකා බලනු ලබන ජ්යාමිතික රූපයේ ඊළඟ ගුණාංගය වන්නේ මෙම පාදය අඩංගු සරල රේඛාවට පාදයේ සිරස් සිට ප්රතිවිරුද්ධ ශීර්ෂයේ ප්රක්ෂේපණය දක්වා ඇති දුර මැද රේඛාවට සමාන වනු ඇත.

දැන් අපි සමද්වීපක trapezoid කෝණ සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. රූපයේ පැතිවල මානයන් දන්නේ නම්, මෙම ගැටලුවට විසඳුමක් අපි සලකා බලමු.

විසඳුමක්

සාමාන්‍යයෙන්, චතුරස්‍රයක් සාමාන්‍යයෙන් දක්වනු ලබන්නේ A, B, C, D යන අකුරු වලින් වන අතර එහිදී BS සහ AD පදනම් වේ. සමද්වීපක trapezoid වල පැති සමාන වේ. අපි ඔවුන්ගේ ප්රමාණය X ට සමාන වන අතර, පාදවල ප්රමාණ Y සහ Z (පිළිවෙලින් කුඩා හා විශාල) සමාන වේ. ගණනය කිරීම සිදු කිරීම සඳහා, B කෝණයෙන් උස H ඇඳීම අවශ්ය වේ. ප්රතිඵලය සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ABN වේ, AB යනු කර්ණය වන අතර BN සහ AN කකුල් වේ. අපි කකුලේ AN ප්රමාණය ගණනය කරමු: අපි විශාල පදනමෙන් කුඩා ප්රමාණය අඩු කර, ප්රතිඵලය 2 න් බෙදන්න. අපි එය සූත්රයක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු: (Z-Y) / 2 = F. දැන්, උග්ර කෝණය ගණනය කිරීමට ත්රිකෝණයේ, අපි භාවිතා කරන්නෙමු cos ශ්රිතය. අපට පහත ප්‍රවේශය ලැබේ: cos(β) = X/F. දැන් අපි කෝණය ගණනය කරමු: β=arcos (X/F). තවද, එක් කෝණයක් දැන ගැනීමෙන්, අපට දෙවැන්න තීරණය කළ හැකිය, මේ සඳහා අපි මූලික ගණිත මෙහෙයුමක් සිදු කරමු: 180 - β. සියලුම කෝණ නිර්වචනය කර ඇත.

මෙම ගැටලුවට දෙවන විසඳුමක් තිබේ. පළමුව, අපි කෙළවරේ සිට උස දක්වා අඩු කරන්නෙමු H. අපි කකුලේ BN අගය ගණනය කරමු. අපි දනිමු කර්ණය වර්ග බව සෘජු ත්රිකෝණය එකතුවට සමානයිකකුල් වර්ග. අපට ලැබෙන්නේ: BN = √(X2-F2). ඊළඟට අපි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය tg භාවිතා කරමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට ඇත්තේ: β = arctan (BN/F). උග්ර කෝණයක් සොයාගෙන ඇත. ඊළඟට, අපි එය පළමු ක්රමයට සමාන ලෙස අර්ථ දක්වන්නෙමු.

සමද්වීපක trapezoid ක විකර්ණවල දේපල

පළමුව, අපි නීති හතරක් ලියන්නෙමු. සමද්වීපක trapezoid එකක විකර්ණ ලම්බක නම්, එසේ නම්:

රූපයේ උස දෙකකින් බෙදූ පාදවල එකතුවට සමාන වේ;

එහි උස සහ මැද රේඛාව සමාන වේ;

රවුමේ කේන්ද්රය යනු ලක්ෂ්යය වේ;

පාර්ශ්වීය පැත්ත ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයෙන් H සහ M ලෙස කොටස් වලට බෙදී ඇත්නම්, එය සමාන වේ වර්ගමුලයමෙම කොටස්වල නිෂ්පාදන;

ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍ය මගින් සාදන ලද චතුරස්‍රය, trapezoid හි ශීර්ෂය සහ ලියා ඇති කවයේ කේන්ද්‍රය යනු අරයට සමාන පැත්තක් වන චතුරස්‍රයකි;

රූපයක වර්ගඵලය පාදවල ගුණිතයට සමාන වන අතර පාදවල එකතුවෙන් අඩක් සහ එහි උසෙහි ගුණිතය සමාන වේ.

සමාන trapezoids

මෙම මාතෘකාව මෙහි ගුණාංග අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඉතා පහසු වේ උදාහරණයක් ලෙස, විකර්ණ ත්‍රිකෝණ හතරකට trapezoid බෙදයි, සහ පාදවලට යාබද ඒවා සමාන වන අතර පැතිවලට යාබද ඒවා ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ. මෙම ප්‍රකාශය ත්‍රිකෝණවල ගුණයක් ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර එහි trapezoid එහි විකර්ණ මගින් බෙදනු ලැබේ. මෙම ප්‍රකාශයේ පළමු කොටස කෝණ දෙකක සමානත්වයේ ලකුණ හරහා ඔප්පු වේ. දෙවන කොටස ඔප්පු කිරීම සඳහා, පහත දැක්වෙන ක්රමය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය.

ප්රමේයයේ සාධනය

ABSD රූපය (AD සහ BS යනු trapezoid හි පාදයන් වේ) විකර්ණ VD සහ AC මගින් බෙදනු ලබන බව අපි පිළිගනිමු. ඔවුන්ගේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය O. අපි ත්රිකෝණ හතරක් ලබා ගනිමු: AOS - පහළ පාදයේ, BOS - ඉහළ පාදයේ, ABO සහ SOD පැතිවල. ත්‍රිකෝණ SOD සහ BOS ඛණ්ඩ BO සහ OD ඒවායේ පාද නම් පොදු උසක් ඇත. ඔවුන්ගේ ප්‍රදේශ (P) අතර වෙනස මෙම කොටස් අතර වෙනසට සමාන බව අපට පෙනී යයි: PBOS/PSOD = BO/OD = K. එබැවින්, PSOD = PBOS/K. ඒ හා සමානව, ත්රිකෝණ BOS සහ AOB පොදු උසකින් යුක්ත වේ. අපි CO සහ OA යන කොටස් ඒවායේ පදනම ලෙස ගනිමු. අපට PBOS/PAOB = CO/OA = K සහ PAOB = PBOS/K ලැබේ. මෙයින් කියවෙන්නේ PSOD = PAOB යන්නයි.

ද්රව්යය තහවුරු කිරීම සඳහා, පහත සඳහන් ගැටළුව විසඳීම මගින් trapezoid එහි විකර්ණ මගින් බෙදී ඇති ප්රතිඵලය වන ත්රිකෝණවල ප්රදේශ අතර සම්බන්ධතාවය සොයා ගැනීමට සිසුන් නිර්දේශ කරනු ලැබේ. BOS සහ AOD ත්‍රිකෝණවලට සමාන ප්‍රදේශ ඇති බව දන්නා කරුණකි; PSOD = PAOB නිසා, එහි තේරුම PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD යන්නයි. BOS සහ AOD යන ත්‍රිකෝණවල සමානත්වය අනුව එය BO/OD = √(PBOS/PAOD) ලෙස පෙනේ. එබැවින්, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). අපි PSOD = √(PBOS*PAOD) ලබා ගනිමු. එවිට PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

සමානතාවයේ ගුණාංග

මෙම මාතෘකාව සංවර්ධනය කිරීම දිගටම කරගෙන යාමෙන් කෙනෙකුට අනෙකා ඔප්පු කළ හැකිය රසවත් ලක්ෂණ trapezoid. මේ අනුව, සමානතාවය භාවිතා කරමින්, පාදවලට සමාන්තරව මෙම ජ්‍යාමිතික රූපයේ විකර්ණ ඡේදනය වීමෙන් සාදන ලද ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටසක ගුණය ඔප්පු කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පහත ගැටළුව විසඳා ගනිමු: O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන RK කොටසේ දිග සොයා ගත යුතුය. AOD සහ BOS ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙන් එය AO/OS = AD/BS බව අනුගමනය කරයි. AOP සහ ASB යන ත්‍රිකෝණවල සමානත්වය අනුව එය AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) ලෙස දැක්වේ. මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ RO=BS*BP/(BS+BP) බවයි. ඒ හා සමානව, DOC සහ DBS ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයෙන්, එය OK = BS*AD/(BS+AD) ලෙස පහත දැක්වේ. මෙතනින් අපිට RO=OK සහ RK=2*BS*AD/(BS+AD) ලැබෙනවා. පාදවලට සමාන්තරව සහ පාර්ශ්වීය පැති දෙකක් සම්බන්ධ කරමින් විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටසක් ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදා ඇත. එහි දිග යනු රූපයේ පාදවල සුසංයෝග මධ්‍යන්‍යය වේ.

ලක්ෂ්‍ය හතරක ගුණය ලෙස හඳුන්වන trapezoid එකක පහත ගුණාංගය සලකා බලන්න. විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය (O), පැති අඛණ්ඩව ඡේදනය වීම (E), මෙන්ම පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය (T සහ F) සෑම විටම එකම රේඛාවක පිහිටා ඇත. සමානතා ක්රමය මගින් මෙය පහසුවෙන් ඔප්පු කළ හැකිය. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස BES සහ AED යන ත්‍රිකෝණ සමාන වන අතර, ඒ සෑම එකක් තුළම ET සහ EJ මධ්‍යස්ථයන් E ශීර්ෂ කෝණය E සමාන කොටස් වලට බෙදයි. එබැවින්, E, T සහ F යන ලක්ෂ්ය එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත. ඒ ආකාරයෙන්ම, T, O සහ Zh යන ලක්ෂ්යයන් එකම සරල රේඛාවක් මත පිහිටා ඇත්තේ BOS සහ AOD යන ත්රිකෝණවල සමානතාවයෙනි. මෙතැන් සිට අපි නිගමනය කරන්නේ ලකුණු හතරම - E, T, O සහ F - එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති බවයි.

සමාන trapezoids භාවිතා කරමින්, රූපය සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන කොටසේ (LS) දිග සොයා ගැනීමට ඔබට සිසුන්ගෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක. මෙම කොටස පාදවලට සමාන්තර විය යුතුය. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ALFD සහ LBSF යන trapezoids සමාන වන බැවින්, BS/LF = LF/AD. එය පහත දැක්වෙන්නේ LF=√(BS*AD) යන්නයි. trapezoid සමාන දෙකකට බෙදන කොටස රූපයේ පාදවල දිගෙහි ජ්යාමිතික මධ්යන්යයට සමාන දිගක් ඇති බව අපට පෙනී යයි.

අපි සලකා බලමු ඊළඟ දේපලසමානකම් එය trapezoid සමාන රූප දෙකකට බෙදන කොටස මත පදනම් වේ. අපි උපකල්පනය කරන්නේ trapezoid ABSD EH කොටසින් සමාන දෙකකට බෙදා ඇති බවයි. B ශීර්ෂයෙන් උසක් ඉවත් කර ඇත, එය EN කොටසින් කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත - B1 සහ B2. අපට ලැබෙන්නේ: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 සහ PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. ඊළඟට, අපි පළමු සමීකරණය (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 සහ දෙවන (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 වන පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු. එය අනුගමනය කරන්නේ B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) සහ BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). trapezoid එක සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන කොටසේ දිග පාදවල දිග වල මූල මධ්‍යන්‍ය වර්ග වලට සමාන බව අපට පෙනී යයි: √((BS2+AD2)/2).

සමානතා සොයාගැනීම්

මේ අනුව, අපි එය ඔප්පු කර ඇත:

1. trapezoid එකක පාර්ශ්වික පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස AD සහ BS ට සමාන්තර වන අතර BS සහ AD හි අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ (trapezoid හි පාදයේ දිග).

2. AD සහ BS ට සමාන්තරව විකර්ණවල ඡේදනය වන O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව AD සහ BS (2*BS*AD/(BS+AD)) සංඛ්‍යාවල සුසංයෝග මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ.

3. trapezoid සමාන ඒවාට බෙදන කොටස BS සහ AD භෂ්මවල ජ්යාමිතික මධ්යන්යයේ දිග ඇත.

4. රූපයක් සමාන ඒවා දෙකකට බෙදන මූලද්‍රව්‍යයකට AD සහ BS සංඛ්‍යාවල මූල මධ්‍යන්‍ය වර්ග දිග ඇත.

ද්රව්යය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ සලකා බලන ලද කොටස් අතර සම්බන්ධය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, ශිෂ්යයා විසින් විශේෂිත trapezoid සඳහා ඒවා ඉදි කිරීම අවශ්ය වේ. ඔහුට පහසුවෙන් මැද රේඛාව සහ O ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන කොටස - රූපයේ විකර්ණවල ඡේදනය - පාදවලට සමාන්තරව පෙන්විය හැකිය. නමුත් තුන්වන සහ සිව්වන ස්ථානගත වන්නේ කොහේද? මෙම පිළිතුර සාමාන්‍ය අගයන් අතර අපේක්ෂිත සම්බන්ධතාවය සොයා ගැනීමට ශිෂ්‍යයා යොමු කරයි.

trapezoid වල විකර්ණවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි

මෙම රූපයේ පහත ගුණාංගය සලකා බලන්න. MH කොටස පාදවලට සමාන්තර වන අතර විකර්ණ දෙකඩ කරයි යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. ඡේදනය වන ස්ථාන Ш සහ Ш ලෙස හඳුන්වමු මෙම කොටස පදනම්වල වෙනසෙන් අඩකට සමාන වේ. අපි මෙය වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු. MS යනු ABS ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවයි, එය BS/2 ට සමාන වේ. MSH යනු ABD ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවයි, එය AD/2 ට සමාන වේ. එවිට අපට ලැබෙන්නේ ShShch = MSh-MSh, එබැවින්, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

ගුරුත්ව කේන්ද්රය

දී ඇති ජ්යාමිතික රූපයක් සඳහා මෙම මූලද්රව්යය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්හි කඳවුරු දිගු කිරීම අවශ්ය වේ. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක් ද? ඔබට පහළ පාදය ඉහළ පාදයට එකතු කළ යුතුය - ඕනෑම දිශාවකට, උදාහරණයක් ලෙස, දකුණට. අපි පහළ එක ඉහළ එකේ දිගෙන් වමට දිගු කරමු. ඊළඟට, අපි ඒවා විකර්ණ ලෙස සම්බන්ධ කරමු. රූපයේ මැද රේඛාව සමඟ මෙම කොටසෙහි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය trapezoid හි ගුරුත්වාකර්ෂණ කේන්ද්රය වේ.

ලියා ඇති සහ වටකුරු trapezoids

එවැනි රූපවල ලක්ෂණ ලැයිස්තුගත කරමු:

1. trapezoid රවුමක සටහන් කළ හැක්කේ එය සමද්වීපයට නම් පමණි.

2. රවුම වටා trapezoid විස්තර කළ හැකි අතර, ඒවායේ පාදවල දිග එකතුව පැතිවල දිග එකතුවට සමාන වේ.

චක්‍රයේ අනුප්‍රාප්තික:

1. විස්තර කරන ලද trapezoid හි උස සෑම විටම අරය දෙකකට සමාන වේ.

2. විස්තර කරන ලද trapezoid පැත්ත සෘජු කෝණයකින් රවුමේ කේන්ද්රයේ සිට නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ.

පළමු අනුග්‍රහය පැහැදිලිය, නමුත් දෙවැන්න ඔප්පු කිරීම සඳහා SOD කෝණය නිවැරදි බව තහවුරු කිරීම අවශ්‍ය වේ, එය ඇත්ත වශයෙන්ම අපහසු නොවේ. නමුත් දැනුම මෙම දේපලෙන්ගැටළු විසඳීමේදී සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් භාවිතා කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

දැන් අපි රවුමක කොටා ඇති සමද්වීපක trapezoid සඳහා මෙම ප්‍රතිවිපාක සඳහන් කරමු. උස යනු රූපයේ පාදවල ජ්‍යාමිතික මධ්‍යන්‍යය බව අපට පෙනී යයි: H=2R=√(BS*AD). trapezoids සඳහා ගැටළු විසඳීම සඳහා මූලික තාක්ෂණය (උස දෙකක් ඇඳීමේ මූලධර්මය) පුහුණු කරන අතරතුර, ශිෂ්යයා පහත සඳහන් කාර්යය විසඳිය යුතුය. BT යනු ABSD සමද්වීපක රූපයේ උස බව අපි උපකල්පනය කරමු. AT සහ TD යන කොටස් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. ඉහත විස්තර කර ඇති සූත්රය භාවිතා කිරීම, මෙය කිරීමට අපහසු නොවනු ඇත.

දැන් අපි වටකුරු trapezoid ප්රදේශය භාවිතා කරමින් රවුමක අරය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. අපි ශීර්ෂය B සිට AD පාදය දක්වා උස අඩු කරමු. රවුම trapezoid එකක සටහන් කර ඇති බැවින්, BS+AD = 2AB හෝ AB = (BS+AD)/2. ABN ත්‍රිකෝණයෙන් අපි sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) සොයා ගනිමු. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. අපි PABSD = (BS+BP)*R ලබා ගනිමු, එය R = PABSD/(BS+BP) බව අනුගමනය කරයි.

trapezoid හි මැද රේඛාව සඳහා සියලුම සූත්‍ර

දැන් මෙම ජ්යාමිතික රූපයේ අවසාන අංගය වෙත යාමට කාලයයි. trapezoid (M) හි මැද රේඛාව සමාන වන්නේ කුමක් දැයි සොයා බලමු:

1. පදනම් හරහා: M = (A+B)/2.

2. උස, පාදම සහ කොන් හරහා:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. උස, විකර්ණ සහ ඒවා අතර කෝණය හරහා. උදාහරණයක් ලෙස, D1 සහ D2 යනු trapezoid වල විකර්ණ වේ; α, β - ඒවා අතර කෝණ:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. ප්රදේශය සහ උස හරහා: M = P/N.

එබැවින් අපි ඔවුන්ගෙන් එකක් අමතන්නෙමු මහා , දෙවැනි - කුඩා පදනම trapezoids. උස trapezoid ශීර්ෂයේ සිට අනුරූප ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්තට අඳින ලද ඕනෑම ලම්බක කොටසක් ලෙස හැඳින්විය හැකිය (එක් එක් සිරස් සඳහා ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති දෙකක් ඇත), ගත් සිරස් සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත අතර කොටු කර ඇත. නමුත් අපට "විශේෂ වර්ගයක්" උසින් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම 8. trapezoid හි පාදයේ උස යනු පාදවලට ලම්බකව ඇති සරල රේඛා කොටසකි.
ප්රමේයය 7 . trapezoid හි මැද රේඛාව පාදවලට සමාන්තර වන අතර ඒවායේ අර්ධ එකතුවට සමාන වේ.
සාක්ෂි. trapezoid ABCD සහ මැද රේඛාව KM ලබා දෙන්න. B සහ M ලකුණු හරහා සරල රේඛාවක් අඳිමු. එය BM සමඟ ඡේදනය වන තෙක් AD සිට D ලක්ෂ්‍යය හරහා පැත්ත දිගටම කරගෙන යමු. ත්‍රිකෝණ ВСм සහ МРD දෙපැත්තෙන් සමාන වන අතර කෝණ දෙකකින් (SM=MD, ∠ ВСМ=∠ МДР - හරස් අතට, ∠ ВСМ=∠ DМР - සිරස්), එබැවින් ВМ=МР හෝ ලක්ෂ්‍යය M යනු BP හි මැද වේ. KM යනු ABP ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවයි. ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවේ ගුණයට අනුව, KM AP ට සමාන්තර වන අතර විශේෂයෙන් AD සහ AP හි අඩකට සමාන වේ:

ප්රමේයය 8 . විකර්ණ trapezoid කොටස් හතරකට බෙදයි, ඉන් දෙකක්, පැතිවලට යාබදව, ප්රමාණයෙන් සමාන වේ.
ඉලක්කම් එකම ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් ප්‍රමාණයෙන් සමාන ලෙස හඳුන්වන බව මම ඔබට මතක් කරමි. ත්‍රිකෝණ ABD සහ ACD ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ: ඒවාට සමාන උස (කහ පැහැයෙන් දක්වා ඇත) සහ පොදු පදනමක් ඇත. මෙම ත්රිකෝණ ඇත පොදු කොටස AOD. ඔවුන්ගේ ප්රදේශය පහත පරිදි දිරාපත් විය හැක:

trapezoids වර්ග:
අර්ථ දැක්වීම 9. (රූපය 1) උග්‍ර කෝණික ට්‍රේප්සොයිඩ් යනු විශාල පාදයට යාබද කෝණ උග්‍ර වන ට්‍රැපෙසොයිඩ් ය.
අර්ථ දැක්වීම 10. (Figure 2) obtuse trapezoid යනු විශාල පාදයට යාබදව ඇති කෝණවලින් එකක් අශෝභන වන trapezoid වේ.
අර්ථ දැක්වීම 11. (රූපය 4) එක් පැත්තක් පාදවලට ලම්බක නම්, trapezoid සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 12. (රූපය 3) සමද්වීපක (සමද්වීප, සමද්වීප) යනු පැති සමාන වන trapezoid වේ.

සමද්වීපක trapezoid වල ගුණ:
ප්රමේයය 10 . සමද්වීපක trapezoid එකක එක් එක් පාදයට යාබද කෝණ සමාන වේ.
සාක්ෂි. අපි උදාහරණයක් ලෙස, සමද්වීපක trapezoid ABCD හි විශාල පාද AD සඳහා A සහ ​​D කෝණවල සමානාත්මතාවය ඔප්පු කරමු. මෙම කාර්යය සඳහා, අපි AB පැත්තට සමාන්තරව C ලක්ෂ්යය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු. එය M ලක්ෂ්‍යයේදී විශාල පාදය ඡේදනය කරයි. චතුරස්‍ර ABCM යනු සමාන්තර චලිතයකි, මන්ද ඉදි කිරීම මගින් එය සමාන්තර පැති යුගල දෙකක් ඇත. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, trapezoid ඇතුළත වසා ඇති සෙකන්ට් රේඛාවක CM කොටස එහි පැත්තට සමාන වේ: CM = AB. මෙතැන් සිට පැහැදිලි වන්නේ CM = CD, ත්රිකෝණය CMD සමද්විපාදය, ∠ CMD = ∠ CDM, සහ, එබැවින්, ∠ A = ∠ D. කුඩා පාදයට යාබද කෝණ ද සමාන වේ, මන්ද අභ්‍යන්තර ඒකපාර්ශ්වික සහ සම්පූර්ණ පේළි දෙකක් ඇති ඒවා සඳහා වේ.
ප්රමේයය 11 . සමද්වීපක trapezoid එකක විකර්ණ සමාන වේ.
සාක්ෂි. ABD සහ ACD ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න. ඒවා දෙපැත්තකින් සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය (AB=CD, AD පොදු වේ, A සහ ​​D ප්‍රමේයය 10 ට අනුව සමාන වේ). එබැවින් AC=BD.

ප්රමේයය 13 . සමද්වීපක trapezoid වල විකර්ණ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් අනුරූප සමාන කොටස් වලට බෙදා ඇත. ABD සහ ACD ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න. ඒවා දෙපැත්තකින් සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය (AB=CD, AD පොදු වේ, A සහ ​​D ප්‍රමේයය 10 ට අනුව සමාන වේ). එබැවින්, ∠ OAD=∠ ODA, එබැවින් OBC සහ OCB කෝණ සමාන වේ, මන්ද ඒවා පිළිවෙලින් ODA සහ OAD කෝණ සඳහා ඡේදනය වේ. අපි ප්‍රමේයය මතක තබා ගනිමු: ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සමාන නම්, එය සමද්වීප වේ, එබැවින් OBC සහ OAD ත්‍රිකෝණ සමද්වීප වේ, එනම් OC=OB සහ OA=OD, ආදිය.
සමපාර්ශ්වික trapezoid යනු සමමිතික රූපයකි.
අර්ථ දැක්වීම 13. සමද්වීපක trapezoid හි සමමිතියේ අක්ෂය යනු එහි පාදවල මැද ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවයි.
ප්රමේයය 14 . සමද්වීපක trapezoid හි සමමිතියේ අක්ෂය එහි පාදවලට ලම්බක වේ.
ප්‍රමේයය 9 හි, trapezoid හි පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන රේඛාව විකර්ණවල ඡේදනය වන ස්ථානය හරහා ගමන් කරන බව අපි ඔප්පු කළෙමු. මීළඟට (ප්‍රමේයය 13) AOD සහ BOC ත්‍රිකෝණ සමද්වීපක බව අපි ඔප්පු කළෙමු. OM සහ OK යනු නිර්වචනය අනුව පිළිවෙලින් මෙම ත්‍රිකෝණවල මධ්‍යයන් වේ. සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණයක ගුණය අපි සිහිපත් කරමු: සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණයක මධ්‍යස්ථය, පාදයට පහත් කර, ත්‍රිකෝණයේ උන්නතාංශය ද වේ. සරල රේඛා CM හි කොටස් පාදවලට ලම්බක වීම හේතුවෙන්, සමමිතියේ අක්ෂය පාදවලට ලම්බක වේ.
සියලුම trapezoids වලින් සමද්විපාද trapezoid වෙන්කර හඳුනාගත හැකි සලකුණු:
ප්රමේයය 15 . trapezoid එකක පාදයකට යාබද කෝණ සමාන නම්, trapezoid isoscelles වේ.
ප්රමේයය 16 . trapezoid එකක විකර්ණ සමාන නම්, trapezoid සමද්වීපක වේ.
ප්රමේයය 17 . trapezoid එකක පාර්ශ්වික පැති, ඒවා ඡේදනය වන තෙක් දිගු කර ඇත්නම්, එහි විශාල පාදය සමඟ එක්ව සෑදේ. සමද්වීපාද ත්රිකෝණය, එවිට trapezoid isoscelles වේ.
ප්රමේයය 18 . trapezoid රවුමක සටහන් කළ හැකි නම්, එය සමද්වීපක වේ.
අත්සන් කරන්න සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid:
ප්රමේයය 19 . යාබද සිරස් සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර දෙකක් පමණක් ඇති ඕනෑම චතුරස්‍රයක් සෘජුකෝණාස්‍ර ට්‍රැප්සෝයිඩ් වේ (පැහැදිලිවම, පැති දෙකක් සමාන්තර වේ, මන්ද එක් පැත්තක් සමාන වේ. සෘජුකෝණාස්‍ර තුනක් සෘජුකෝණාස්‍රයක් වන අවස්ථාවක)
ප්රමේයය 20 . trapezoid හි සටහන් කර ඇති රවුමක අරය පාදයේ උසින් අඩකට සමාන වේ.
මෙම ප්‍රමේයයේ සාධනය වන්නේ පාදවලට ඇද ගන්නා ලද අරය trapezoid හි උසෙහි පිහිටා ඇති බව පැහැදිලි කිරීමයි. O ලක්ෂ්‍යයේ සිට - ලබා දී ඇති trapezoid එකක සටහන් කර ඇති ABCD කවයේ කේන්ද්‍රය, අපි trapezoid හි පාද එය ස්පර්ශ කරන ස්ථාන වෙත අරය අඳින්නෙමු. දන්නා පරිදි, ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයට අඳින ලද අරය ස්පර්ශයට ලම්බක වේ, එබැවින් OK^ BC සහ OM^ AD. අපි ප්‍රමේයය සිහිපත් කරමු: රේඛාවක් සමාන්තර රේඛාවකට ලම්බක නම්, එය දෙවැන්නට ලම්බක වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ OK රේඛාව ද AD ට ලම්බක වන බවයි. මේ අනුව, O ලක්ෂ්‍යය හරහා AD රේඛාවට ලම්බක රේඛා දෙකක් ඇත, ඒවා විය නොහැක, එබැවින් මෙම රේඛා සමපාත වන අතර පොදු ලම්බක KM සාදයි, එය අරය දෙකක එකතුවට සමාන වන අතර එය සටහන් කර ඇති කවයේ විෂ්කම්භය වේ, එබැවින් r= KM/2 හෝ r=h/ 2.
ප්රමේයය 21 . trapezoid වල ප්‍රදේශය පාදවල එකතුවෙන් අඩක් සහ පාදවල උසෙහි ගුණිතයට සමාන වේ.

සාක්ෂි: ABCD ලබා දී ඇති trapezoid සහ AB සහ CD එහි භෂ්ම වීමට ඉඩ දෙන්න. AH ලක්ෂ්‍යයේ සිට CD රේඛාව දක්වා පහත් කරන ලද උස ද AH ලෙස සලකමු. එවිට S ABCD = S ACD + S ABC.
නමුත් S ACD = 1/2AH·CD, සහ S ABC = 1/2AH·AB.
එබැවින්, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Q.E.D.

දෙවන සූත්‍රය පැමිණියේ චතුර්ශ්‍රයෙන්.

මෙම ලිපියෙන් අපි trapezoid වල ගුණාංග හැකි තරම් සම්පූර්ණයෙන් පිළිබිඹු කිරීමට උත්සාහ කරමු. විශේෂයෙන්ම අපි කතා කරමු සාමාන්ය සංඥාසහ trapezoid එකක ගුණ මෙන්ම, trapezoid එකක ඇති ගුණාංග සහ trapezoid එකක කොටා ඇති වෘත්තයක් ගැන. සමස්ථානික සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid වල ගුණාංග ද අපි ස්පර්ශ කරන්නෙමු.

සාකච්ඡා කරන ලද ගුණාංග භාවිතයෙන් ගැටළුවක් විසඳීමේ උදාහරණයක් ඔබට එය ඔබේ හිසෙහි ස්ථාන වලට වර්ග කිරීමට සහ ද්රව්යය වඩා හොඳින් මතක තබා ගැනීමට උපකාරී වේ.

Trapeze සහ සියල්ල-සියල්ල-සියල්ල

ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි trapezoid යනු කුමක්ද සහ ඒ හා සම්බන්ධ වෙනත් සංකල්ප මොනවාද යන්න කෙටියෙන් සිහිපත් කරමු.

ඉතින්, trapezoid යනු චතුරස්රාකාර රූපයක් වන අතර, එහි පැති දෙකක් එකිනෙකට සමාන්තර වේ (මේවා පදනම් වේ). සහ දෙකම සමාන්තර නොවේ - මේවා පැති වේ.

trapezoid වලදී, උස අඩු කළ හැකිය - පාදවලට ලම්බකව. මැද රේඛාව සහ විකර්ණ ඇද ඇත. trapezoid හි ඕනෑම කෝණයකින් bisector ඇඳීමට ද හැකිය.

ගැන විවිධ ගුණාංග, මෙම සියලු මූලද්රව්ය හා ඒවායේ සංයෝජනයන් සමඟ සම්බන්ධ වී, අපි දැන් කතා කරමු.

trapezoid විකර්ණ වල ගුණ

එය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ඔබ කියවන අතරතුර, trapezoid ACME කඩදාසි කැබැල්ලක සටහන් කර එහි විකර්ණ අඳින්න.

1. ඔබ එක් එක් විකර්ණවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සොයාගෙන (මෙම ලක්ෂ්‍ය X සහ T ලෙස හඳුන්වමු) ඒවා සම්බන්ධ කළහොත්, ඔබට ඛණ්ඩයක් ලැබේ. trapezoid වල විකර්ණවල එක් ගුණාංගයක් වන්නේ HT කොටස මධ්‍ය රේඛාවේ පිහිටා තිබීමයි. පාදවල වෙනස දෙකකින් බෙදීමෙන් එහි දිග ලබා ගත හැකිය: ХТ = (a - b)/2.
2. අපට පෙර එකම trapezoid ACME වේ. විකර්ණ O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ. අපි බලමු AOE සහ MOK යන ත්‍රිකෝණ දෙස බලමු, trapezoid හි පාද සමඟ විකර්ණවල කොටස් වලින් සෑදී ඇත. මෙම ත්රිකෝණ සමාන වේ. ත්‍රිකෝණවල k සමානතා සංගුණකය trapezoid හි පාදවල අනුපාතය හරහා ප්‍රකාශ වේ: k = AE/KM.
   AOE සහ MOK ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ වල අනුපාතය k 2 සංගුණකය මගින් විස්තර කෙරේ.
3. O ලක්ෂ්‍යයේදී එකම trapezoid, එම විකර්ණ ඡේදනය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී පමණක් අපි සලකා බලන්නේ විකර්ණවල කොටස් trapezoid හි පැති සමඟ එක්ව සෑදුණු ත්‍රිකෝණයන්ය. AKO සහ EMO ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ ප්‍රමාණයෙන් සමාන වේ - ඒවායේ ප්‍රදේශ සමාන වේ.
4. trapezoid හි තවත් දේපලක් විකර්ණ ඉදිකිරීම ඇතුළත් වේ. එබැවින්, ඔබ කුඩා පදනමේ දිශාවට AK සහ ME පැති දිගටම කරගෙන ගියහොත්, ඉක්මනින් හෝ පසුව ඔවුන් යම් ස්ථානයක ඡේදනය වනු ඇත. ඊළඟට, trapezoid හි පාද මැදින් සරල රේඛාවක් අඳින්න. එය X සහ T ලක්ෂ්‍යවලදී පාදයන් ඡේදනය කරයි.
   අපි දැන් XT රේඛාව දිගු කරන්නේ නම්, එය trapezoid O හි විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය, පැතිවල දිගු සහ X සහ T පාදවල මැද ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය එකට සම්බන්ධ කරයි.
5. විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය හරහා අපි trapezoid හි පාද සම්බන්ධ කරන කොටසක් අඳින්නෙමු (T කුඩා පාදයේ KM, X විශාල AE මත පිහිටා ඇත). විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය මෙම කොටස පහත අනුපාතයට බෙදයි: TO/OX = KM/AE.
6. දැන්, විකර්ණවල ඡේදනය වන ස්ථානය හරහා, අපි trapezoid (a සහ b) හි පාදවලට සමාන්තර කොටසක් අඳින්නෙමු. ඡේදනය වන ස්ථානය එය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදනු ඇත. සූත්‍රය භාවිතයෙන් ඔබට කොටසේ දිග සොයාගත හැකිය 2ab/(a + b).

trapezoid වල මැද රේඛාවේ ගුණ

එහි පාදවලට සමාන්තරව trapezoid හි මැද රේඛාව අඳින්න.

1. පාදවල දිග එකතු කර ඒවා අඩකින් බෙදීමෙන් trapezoid හි මැද රේඛාවේ දිග ගණනය කළ හැකිය: m = (a + b)/2.
2. ඔබ trapezoid හි පාද දෙකම හරහා කිසියම් කොටසක් (උස, උදාහරණයක් ලෙස) අඳින්නේ නම්, මැද රේඛාව එය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදනු ඇත.

ට්‍රේප්සොයිඩ් බයිසෙක්ටර් දේපල

trapezoid හි ඕනෑම කෝණයක් තෝරන්න සහ bisector එකක් අඳින්න. උදාහරණයක් ලෙස, අපගේ trapezoid ACME හි KAE කෝණය ගනිමු. ඉදිකිරීම් ඔබම සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසු, බයිසෙක්ටරය පාදයේ සිට (හෝ රූපයෙන් පිටත සරල රේඛාවකින් එය අඛණ්ඩව) පැත්තට සමාන දිගකින් යුත් කොටසකින් කපා හරින බව ඔබට පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකිය.

trapezoid කෝණවල ගුණ

1. ඔබ තෝරා ගන්නා පැත්තට යාබද කෝණ යුගල දෙකෙන් කුමක් වුවත්, යුගලයේ ඇති කෝණවල එකතුව සෑම විටම 180 0: α + β = 180 0 සහ γ + δ = 180 0 වේ.
2. trapezoid හි පාදවල මැද ලක්ෂ්‍ය TX කොටස සමඟ සම්බන්ධ කරමු. දැන් අපි trapezoid හි පාදවල කෝණ දෙස බලමු. ඒවායින් ඕනෑම එකක් සඳහා කෝණවල එකතුව 90 0 නම්, පාදයේ දිග වෙනස මත පදනම්ව TX කොටසේ දිග පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය, එය අඩකට බෙදා ඇත: TX = (AE – KM)/2.
3. trapezoid කෝණයක පැති හරහා සමාන්තර රේඛා අඳින්නේ නම්, ඒවා කෝණයේ පැති සමානුපාතික කොටස් වලට බෙදනු ඇත.

සමද්වීපක (සමපාර්ශ්වික) trapezoid වල ගුණ

1. සමද්වීපක trapezoid එකක, ඕනෑම පාදයක කෝණ සමාන වේ.
2. දැන් අපි කතා කරන්නේ කුමක්දැයි සිතීම පහසු කිරීම සඳහා නැවත trapezoid සාදන්න. AE පාදය දෙස හොඳින් බලන්න - ප්‍රතිවිරුද්ධ පාදයේ M හි ශීර්ෂය AE අඩංගු රේඛාවේ යම් ස්ථානයකට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ. A ශීර්ෂයේ සිට M ශීර්ෂයේ ප්‍රක්ෂේපණ ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඇති දුර සහ සමද්වීපක trapezoid හි මැද රේඛාව සමාන වේ.
3. සමද්වීපක trapezoid හි විකර්ණවල දේපල ගැන වචන කිහිපයක් - ඒවායේ දිග සමාන වේ. තවද මෙම විකර්ණවල trapezoid පාදයට නැඹුරුවීමේ කෝණ සමාන වේ.
4. චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව 180 0 වන බැවින් කවයක් විස්තර කළ හැක්කේ සමද්වීපක trapezoid වටා පමණි. අවශ්ය කොන්දේසියමේ වෙනුවෙන්.
5. සමද්වීපක trapezoid හි ගුණය පෙර ඡේදයෙන් පහත දැක්වේ - trapezoid අසල කවයක් විස්තර කළ හැකි නම්, එය සමද්විපාදය වේ.
6. සමද්වීපක trapezoid වල ලක්ෂණ අනුව, trapezoid හි උසෙහි ගුණය පහත දැක්වේ: එහි විකර්ණ සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන්නේ නම්, උසෙහි දිග පාදවල එකතුවෙන් අඩකට සමාන වේ: h = (a + b)/2.
7. නැවතත්, trapezoid හි පාදවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය හරහා TX කොටස අඳින්න - සමද්වීපක trapezoid වලදී එය පාදවලට ලම්බක වේ. ඒ අතරම TX යනු සමද්වීපක trapezoid හි සමමිතියේ අක්ෂය වේ.
8. මෙම අවස්ථාවේදී, trapezoid හි ප්රතිවිරුද්ධ ශීර්ෂයේ සිට විශාල පදනම මත උස අඩු කරන්න (අපි එය a ලෙස හඳුන්වමු). ඔබට කොටස් දෙකක් ලැබෙනු ඇත. පාදවල දිග එකතු කර අඩකින් බෙදුවහොත් එකක දිග සොයාගත හැකිය: (a + b)/2. අපි විශාල පාදයෙන් කුඩා එක අඩු කර ලැබෙන වෙනස දෙකකින් බෙදූ විට අපට දෙවැන්න ලැබේ: (a - b)/2.

රවුමක කොටා ඇති trapezoid වල ගුණ

අපි දැනටමත් රවුමක කොටා ඇති trapezoid ගැන කතා කරන බැවින්, අපි මෙම ගැටළුව වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු. විශේෂයෙන්ම, රවුමේ කේන්ද්රය trapezoid සම්බන්ධව කොහෙද. මෙහිදී ද, පැන්සලක් ගෙන පහත සාකච්ඡා කෙරෙන දේ ඇඳීමට කාලය ගත කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ. මේ ආකාරයෙන් ඔබ ඉක්මනින් තේරුම් ගන්නා අතර වඩා හොඳින් මතක තබා ගන්න.

1. රවුමේ කේන්ද්‍රයේ පිහිටීම තීරණය වන්නේ trapezoid හි විකර්ණය එහි පැත්තට නැඹුරුවන කෝණයෙනි. නිදසුනක් ලෙස, විකර්ණයක් trapezoid මුදුනේ සිට සෘජු කෝණවලින් පැත්තට විහිදේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විශාල පාදය වට රවුමේ කේන්ද්‍රය හරියටම මැදින් (R = ½AE) ඡේදනය කරයි.
2. විකර්ණ සහ පැත්ත ද තියුණු කෝණයකින් හමුවිය හැකිය - එවිට රවුමේ කේන්ද්රය trapezoid ඇතුළත වේ.
3. trapezoid හි විකර්ණය සහ පැත්ත අතර වක්‍ර කෝණයක් තිබේ නම්, එහි විශාල පාදයෙන් ඔබ්බට, වටකුරු රවුමේ කේන්ද්‍රය trapezoid පිටත විය හැකිය.
4. trapezoid ACME (සෙල්ලිපි කළ කෝණය) හි විකර්ණ සහ විශාල පාදය මගින් සාදන ලද කෝණය එයට අනුරූප වන මධ්‍යම කෝණයෙන් අඩකි: MAE = ½MOE.
5. සංක්ෂිප්ත වෘත්තයක අරය සොයා ගැනීමට ක්‍රම දෙකක් ගැන කෙටියෙන්. පළමු ක්රමය: ඔබේ ඇඳීම දෙස හොඳින් බලන්න - ඔබ දකින්නේ කුමක්ද? විකර්ණය trapezoid ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදන බව ඔබට පහසුවෙන් දැකගත හැක. අරය ත්‍රිකෝණයේ පැත්තේ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණයේ සයිනයට අනුපාතය, දෙකකින් ගුණ කිරීමෙන් සොයාගත හැක. උදාහරණ වශයෙන්, R = AE/2*sinAME. ඒ හා සමානව, ත්‍රිකෝණ දෙකෙහිම ඕනෑම පැත්තක් සඳහා සූත්‍රය ලිවිය හැකිය.
6. දෙවන ක්රමය: trapezoid හි විකර්ණ, පැත්ත සහ පාදය මගින් සාදන ලද ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය හරහා වටකුරු රවුමේ අරය සොයා ගන්න: R = AM*ME*AE/4*S AME.

කවයක් වටා ඇති trapezoid වල ගුණ

එක් කොන්දේසියක් සපුරා ඇත්නම් ඔබට trapezoid තුලට රවුමක් සවි කළ හැකිය. ඒ ගැන වැඩි විස්තර පහතින් කියවන්න. මෙම සංඛ්‍යා සංයෝජනයට සිත්ගන්නාසුලු ගුණාංග ගණනාවක් ඇත.

1. කවයක් trapezoid එකක ලියා තිබේ නම්, එහි මැද රේඛාවේ දිග පහසුවෙන් සොයා ගත හැක්කේ පැතිවල දිග එකතු කර ලැබෙන එකතුව අඩකින් බෙදීමෙනි: m = (c + d)/2.
2. trapezoid ACME සඳහා, කවයක් වටා, පාදවල දිග එකතුව පැතිවල දිග එකතුවට සමාන වේ: AK + ME = KM + AE.
3. trapezoid එකක පාදවල මෙම ගුණයෙන්, ප්‍රතිලෝම ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ: පාදවල එකතුව එහි පැතිවල එකතුවට සමාන වන trapezoid එකක කවයක් සටහන් කළ හැක.
4. trapezoid එකක සටහන් කර ඇති r අරය සහිත වෘත්තයක ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යය පැත්ත කොටස් දෙකකට බෙදයි, අපි ඒවා a සහ b ලෙස හඳුන්වමු. රවුමක අරය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: r = √ab.
5. සහ තවත් එක් දේපලක්. ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීම සඳහා, මෙම උදාහරණය ඔබම අඳින්න. කවයක් වටා විස්තර කර ඇති හොඳ පැරණි trapezoid ACME අප සතුව ඇත. එහි O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වන විකර්ණ අඩංගු වේ. AOK සහ EOM යන ත්‍රිකෝණ විකර්ණවල ඛණ්ඩවලින් සෑදී ඇති අතර පාර්ශ්වීය පැති සෘජුකෝණාස්‍රාකාර වේ.
   මෙම ත්‍රිකෝණවල උස, කර්ණයට (එනම්, trapezoid හි පාර්ශ්වීය පැති) දක්වා පහත හෙලන ලද, අලේඛන ලද කවයේ අරය සමඟ සමපාත වේ. සහ trapezoid හි උස සටහන් කර ඇති රවුමේ විෂ්කම්භය සමඟ සමපාත වේ.

සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid වල ගුණ

trapezoid එහි එක් කෝණයක් නිවැරදි නම් එය සෘජුකෝණාස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ. තවද එහි ගුණාංග මෙම තත්වයෙන් පැන නගී.

1. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid එහි පාදයට ලම්බකව එහි එක් පැත්තක් ඇත.
2. ට යාබද trapezoid හි උස සහ පාර්ශ්වීය පැත්ත සෘජු කෝණය, සමාන වේ. මෙය ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි ( සාමාන්ය සූත්රය S = (a + b) * h/2) උස හරහා පමණක් නොව, නිවැරදි කෝණයට යාබද පැත්ත හරහා.
3. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid සඳහා, ඉහත දැනටමත් විස්තර කර ඇති trapezoid වල විකර්ණවල පොදු ගුණාංග අදාළ වේ.

trapezoid හි සමහර ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂි

සමද්වීපක trapezoid පාදයේ කෝණවල සමානාත්මතාවය:

• මෙහිදී අපට නැවත AKME trapezoid අවශ්‍ය වනු ඇතැයි ඔබ දැනටමත් අනුමාන කර ඇත - සමද්වීපක trapezoid අඳින්න. AK (MT || AK) පැත්තට සමාන්තරව M ශීර්ෂයෙන් MT සරල රේඛාවක් අඳින්න.

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන චතුරස්‍ර AKMT සමාන්තර චලිතයකි (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT නිසා, ∆ MTE සමද්වීපක වන අතර MET = MTE වේ.

AK || MT, එබැවින් MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME කොහෙද.

Q.E.D.

දැන්, සමද්වීපක trapezoid (විකර්ණවල සමානාත්මතාවය) දේපල මත පදනම්ව, අපි එය ඔප්පු කරමු trapezoid ACME යනු සමද්වීපක වේ:

• පළමුව, අපි සරල රේඛාවක් අඳිමු MX - MX || කේ.ඊ. අපි KMHE (පදනම - MX || KE සහ KM || EX) සමාන්තර චලිතයක් ලබා ගනිමු.

AM = KE = MX, සහ MAX = MEA නිසා ∆AMX සමද්වීප වේ.

MH || KE, KEA = MXE, එබැවින් MAE = MXE.

AM = KE සහ AE ත්‍රිකෝණ දෙකේ පොදු පැත්ත වන බැවින් AKE සහ EMA ත්‍රිකෝණ එකිනෙකට සමාන බව පෙනී ගියේය. ඒ වගේම MAE = MXE. AK = ME බව අපට නිගමනය කළ හැකි අතර, මෙයින් trapezoid AKME සමද්විපාදය බව අනුගමනය කරයි.

කාර්යය සමාලෝචනය කරන්න

trapezoid ACME හි පාදයන් 9 cm සහ 21 cm, පැති පැත්ත KA, 8 cm ට සමාන වේ, කුඩා පාදය සමඟ 150 0 කෝණයක් සාදයි. ඔබ trapezoid ප්රදේශය සොයා ගත යුතුය.

විසඳුම: vertex K සිට අපි trapezoid විශාල පදනම දක්වා උස අඩු කරමු. අපි trapezoid හි කෝණ දෙස බැලීමට පටන් ගනිමු.

AEM සහ KAN කෝණ ඒකපාර්ශ්වික වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමස්තයක් වශයෙන් ඔවුන් 180 0 ලබා දෙන බවයි. එබැවින්, KAN = 30 0 (trapezoidal කෝණවල ගුණය මත පදනම්ව).

අපි දැන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ∆ANC සලකා බලමු (මෙම කරුණ අතිරේක සාක්ෂි නොමැතිව පාඨකයන්ට පැහැදිලි බව මම විශ්වාස කරමි). එයින් අපි trapezoid KH හි උස සොයා ගනිමු - ත්‍රිකෝණයක එය 30 0 කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති කකුලයි. එබැවින්, KN = ½AB = 4 සෙ.මී.

සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපි trapezoid ප්‍රදේශය සොයා ගනිමු: S ACME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

පසු වදන

ඔබ මෙම ලිපිය ප්‍රවේශමෙන් හා කල්පනාකාරීව අධ්‍යයනය කළේ නම්, ඔබේ අතේ පැන්සලකින් ලබා දී ඇති සියලුම ගුණාංග සඳහා trapezoids ඇඳීමට සහ ඒවා ප්‍රායෝගිකව විශ්ලේෂණය කිරීමට කම්මැලි නොවන්නේ නම්, ඔබ ද්‍රව්‍යය හොඳින් ප්‍රගුණ කර තිබිය යුතුය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි බොහෝ තොරතුරු තිබේ, විවිධ සහ සමහර විට පවා ව්යාකූල වේ: විස්තර කරන ලද trapezoid වල ගුණාංග සෙල්ලිපියේ ගුණාංග සමඟ පටලවා ගැනීම එතරම් අපහසු නොවේ. නමුත් වෙනස අති විශාල බව ඔබම දැක ඇත.

දැන් ඔබට සියල්ල පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක සාරාංශයක් තිබේ සාමාන්ය ගුණාංග trapezoids. සමද්වීපක සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoids වල විශේෂිත ගුණාංග සහ ලක්ෂණ මෙන්ම. පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීම සඳහා භාවිතා කිරීම ඉතා පහසු වේ. එය ඔබම උත්සාහ කර ඔබේ මිතුරන් සමඟ සබැඳිය බෙදා ගන්න!

වෙබ් අඩවිය, සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් ද්රව්ය පිටපත් කරන විට, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

Tra-pe-tion

1. Trapezoid සහ එහි වර්ග

අර්ථ දැක්වීම

Tra-pe-tion- මෙය සමාන්තර රේඛා දෙසීයක් ඇති සිව්කොනකි, නමුත් අනෙක් දෙක එසේ නොවේ.

රූපයේ. 1. රූපය නිදහස් ආකාරයෙන් සාදා ඇත. - මේවා අනෙක් පැති (සමාන්තර නොවන ඒවා). - මූලික කරුණු (සමාන්තර අංශ).

සහල්. 1. Tra-pe-tion

අපි trape-tion එක par-ral-le-lo-gram සමඟ සංසන්දනය කරන්නේ නම්, par-le-lo-gram එකට සමාන්තර පැති යුගල දෙකක් ඇත. එනම්, සමාන්තර-le-lo-gram යනු tra-pe-tion හි විශේෂ අවස්ථාවක් නොවේ, tra-pe-tion හි නිර්වචනයේ දී එය පැහැදිලිවම -for-නමුත් tra-pe- හි පැති දෙක වේ. tions සමාන්තර නොවේ.

ඔබ සමහර උගුල් වර්ග (විශේෂ අවස්ථා):

2. trapezoid හි මැද රේඛාව සහ එහි ගුණාංග

අර්ථ දැක්වීම

උගුලේ මැද රේඛාව- පැති තුනක් සම්බන්ධ කරන කප්පාදුවකින්.

රූපයේ. 2. මැද රේඛාවක් සහිත trapezoid මත රූපය.

සහල්. 2. උගුලේ මැද රේඛාව

උගුලේ මැද රේඛාවේ ගුණාංග:

1. tra-pe-tion pa-ral-lel-na os-no-va-ni-yam tra-pe-tion හි මැද රේඛාව.

සාක්ෂි:

se-re-di-na bo-ko-voy நூறு-ro-ny tra-pe-tions - point කරමු. අපි මෙම ලක්ෂ්‍යය හරහා සරල රේඛාවක්, සමාන්තර os-no-va-ni-yam හරහා යමු. මෙම සරල රේඛාව ලක්ෂ්‍යයේදී රේඛාවේ දෙවන පැත්ත හරස් කරයි.

ව්යුහය අනුව:. Fa-le-sa හි න්‍යායට අනුව, එය මෙයින් පහත දැක්වේ: . එහි තේරුම, - se-re-di-anundy-ro-ny. ඒ කියන්නේ මැද රේඛාව.

Do-ka-za-නමුත්.

2. tra-pe-tion හි මැද රේඛාව ප්‍රධාන tra-pe-tion හි එකතුවට සමාන වේ: .

සාක්ෂි:

අපි trapezium හි මැද රේඛාව සහ dia-go-na-leys වලින් එකක් අඳින්නෙමු: උදාහරණයක් ලෙස, (රූපය 3 බලන්න).

Fa-le-sa හි න්‍යායට අනුව, කෙළවරේ පැතිවලින් සමාන්තර සරල රේඛා කැපූ කිහි සිට pro-por-tsi-o-nal වේ. දඩු කැබලි සමාන බැවින්: . මෙයින් අදහස් කරන්නේ re-zok වෙතින් සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් ඇති බවත්, නැවත-zok සිට සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් ඇති බවත් -Nika .

අදහස් වන්නේ, .

සටහන: මෙය ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවේ ගුණයෙන් පහත දැක්වේ: ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව par-ral-on-axis නමුත්-va-niyu වන අතර ඔහුගේ lo-vina ට සමාන වේ. මෙම දේපලෙහි පළමු කොටස ගමන් මාර්ගයේ මැද රේඛාවේ පළමු ගුණාංගයට සමාන වන අතර, දෙවන කොටස පෙන්විය හැක (උදාහරණයක් ලෙස, ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සඳහා), සරල රේඛා ලක්ෂයක් හරහා ගමන් කරයි. ral-lel-nuyu. Fa-le-sa හි න්‍යායෙන් එය අනුගමනය කරනුයේ මෙම සරල රේඛාව මැද රේඛාව වන අතර රූපය ඔබ-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mom (යුගල දෙකක් pair-but-par-ral-le-l-nyh පැති). මෙතැන් සිට මගේ දේපල ලබා ගැනීම තවදුරටත් අපහසු නැත.

අපි කමු: .

Do-ka-za-නමුත්.

අපි දැන් ප්‍රධාන උගුල් වර්ග සහ ඒවායේ ගුණාංග දෙස සමීපව බලමු.

3. සමස්ථානික trapezoid වල සංඥා

සමාන දුප්පත් උගුලක් යනු පැති සමාන වන උගුලක් බව අපි මතක තබා ගනිමු. bo-ko-voy tra-pe-tions වල ගුණ බලමු.

1. equal-to-be-ren-noy tra-pe-tion හි පාදයේ කෝණ සමාන වේ.

සාක්ෂි:

මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම සම්මත, සම්පූර්ණ ඉදිකිරීමක් වන අතර, ගැටළු විසඳීමේදී බොහෝ විට භාවිතා වේ - උගුලේ පුද්ගලික කාර්යයන්: අපි සෘජු සමාන්තර-නමුත්-පසෙකින් සිදු කරන්නෙමු (රූපය 4 බලන්න).

සමාන්තර චලිතය.

මෙතැන් සිට එය පහත පරිදි වේ: . මෙයින් අදහස් කරන්නේ ත්රිකෝණය සමාන බවයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි පාදයේ ඇති කෝණ සමාන වන බවයි, එනම්: (අවසන් කෝණ දෙක සමාන වේ, සමාන්තර රේඛා වලට අනුරූප වන පරිදි අපි X වේ).

Do-ka-za-නමුත්.

2. Dia-go-on-dhether equally-bed-ren-noy tra-pe-tions සමාන වේ.

සාක්ෂි:

මෙම දේපල සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා, අපි පෙර එක භාවිතා කරමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, ත්රිකෝණය සලකා බලන්න: සහ (රූපය 5 බලන්න.).

(ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ පළමු ලකුණ මත පදනම්ව: පැති දෙකක් සහ ඒවා අතර කෝණය).

මෙම සමානාත්මතාවයෙන් එය වහාම අනුගමනය කරයි:

Do-ka-za-නමුත්.

එය par-ral-le-lo-gram නඩුවේ දී මෙන්, සමාන-ඇඳ-ren-tra-pe-tion සමාන ගුණ ඇති බව හැරෙනවා - නමුත්-කාල සිට-ඔවුන් පෙනී සහ හඳුනා. අපි මෙම සලකුණු සකස් කර හඳුනා ගනිමු.

සමාන-නරක-රෙන්-ට්‍රා-පෙ-තියේ සංඥා

1. ලබා දී ඇත: - tra-pe-tion; .

ඔප්පු කරන්න:

සාක්ෂි:

පෙර-ka-za-tel-stvo සඳහා ab-so-lute-නමුත් ana-lo-gic-නමුත් පෙර-ka-za-tel-stvu-from-vet-st-stv- y-y ගුණාංග සමඟ ලබා දී ඇත. පැත්තට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් තුළ උගුලේ ගමන් කරමු (රූපය 6 බලන්න).

(සමාන්තර රේඛා සඳහා අනුරූප කෝණ). කොහෙන්ද-ඔව්, කොන්දේසිය-vi-e, po-lu-cha-e භාවිතා කරමින්: - සමානව-දුප්පත්-ren-ny

(අක්ෂයේ කෝණ සමාන වේ). මධ්යන්ය-වංචා: (par-ral-le-lo-gram-ma හි pro-ti-vo-false සිය-ro-ns සමාන වේ).

Do-ka-za-නමුත්.

2. ලබා දී ඇත: - tra-pe-tion; .

ඔප්පු කරන්න: .

සාක්ෂි:

tra-pe-tsi සමඟ ගැටලු විසඳන විට ඔබ තවත් සම්මත, සම්පූර්ණ ඉදිකිරීමක් සම්පූර්ණ කර ඇත: top-shi-well straight par-ral-lel-but dia-go-na-li (Fig. 7 බලන්න) හරහා එය කරමු.

Par-ral-le-lo-gram (par-නමුත් par-ral-lele-nyh පැති යුගල දෙකක්).

(සමාන්තර රේඛා සඳහා අනුරූප කෝණ). මීට අමතරව, - සමානව-දුප්පත්-ren-ny (- කොන්දේසිය අනුව; - par-le-lo-gram හි දේපල අනුව). ඒ කියන්නේ: .

Do-ka-za-නමුත්.

4. ගැටළු සඳහා උදාහරණ

උගුලට හසුවීමෙන් ගැටළු විසඳීම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණ 1.

ලබා දී ඇත: - tra-pe-tion; .

විසඳුමක්:

උගුලේ පැත්තේ ඇති කෝණවල එකතුව සමාන වේ - සමාන්තර රේඛාවල අභ්යන්තර ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල ගුණය. මෙම කරුණෙන් අපට සමානතා දෙකක් ලබා ගත හැකිය:

උදාහරණය 2.

ලබා දී ඇත: - tra-pe-tion; . .

විසඳුමක්:

අපි ඔබ ගැන කතා කරමු. මම කනවා හතරැස් කොනක්, එහි ගැති-අසත්‍ය පැති යුගල වශයෙන් ඇත, නමුත් par-ral-lel- us, සහ කෝණ දෙකක් සමාන වේ. එහි තේරුම, - par-ral-le-lo-gram, හෝ වඩාත් නිවැරදිව, සෘජුකෝණාස්රාකාර.

එය පහත දැක්වේ. කොහෙද:.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න. එහි දී, උග්ර කෝණවලින් එකක්, කොන්දේසිය අනුව, සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෙවැන්න සමාන වන බවයි, එනම්: . එය කෙළවරට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති ka-te-ta හි දේපලෙන් ප්‍රයෝජන ගනී: එය gi-po-te-nu-zy ප්‍රමාණයෙන් අඩකි.

මෙම පාඩමේදී, අපි උගුල සහ එහි ගුණාංග දෙස බැලුවෙමු, උගුල් වර්ග අධ්‍යයනය කළ අතර, ඇතැම් කාර්යයන්හි පියවර කිහිපයක් ද තීරණය කළෙමු.

මූලාශ්රය

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

ට්රේප්සොයිඩ්. Trapezoid මැද රේඛාවේ කාර්යය.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg