විසඳුමක් සමඟ නිශ්චිත කාර්යයන්හි සීමාවන් සොයා ගන්න. සීමාවන්. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය එක් අංශයකි ගණිතමය විශ්ලේෂණය. සීමාවන් විසඳීම සඳහා ක්රම දුසිම් ගණනක් ඇති බැවින් සීමාවන් විසඳීමේ ප්රශ්නය තරමක් පුළුල් ය විවිධ වර්ග. මෙම හෝ එම සීමාව විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූක්ෂ්මතා සහ උපක්‍රම දුසිම් ගණනක් ඇත. එසේ වුවද, ප්රායෝගිකව බොහෝ විට හමු වන ප්රධාන සීමාවන් තේරුම් ගැනීමට අපි තවමත් උත්සාහ කරමු.
සීමාවක් යන සංකල්පයෙන්ම පටන් ගනිමු. නමුත් පළමුව කෙටි එකක් ඓතිහාසික යොමු. 19 වන ශතවර්ෂයේ ප්‍රංශ ජාතිකයෙකු වූ ඔගස්ටින් ලුවී කෞචි ජීවත් වූ අතර ඔහු මාතාන්ගේ බොහෝ සංකල්ප සඳහා දැඩි නිර්වචන ලබා දී එහි අත්තිවාරම් දැමීය. මෙම ගෞරවනීය ගණිතඥයා භෞතික විද්‍යා හා ගණිත අංශවල සියලුම සිසුන්ගේ බියකරු සිහින තුළ සිටි, සිටින සහ සිටිනු ඇති බව පැවසිය යුතුය, මන්ද ඔහු ගණිතමය විශ්ලේෂණ ප්‍රමේයයන් විශාල ප්‍රමාණයක් ඔප්පු කළ අතර එක් ප්‍රමේයයක් අනෙකට වඩා මාරාන්තික ය. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි තවමත් සලකා බලන්නේ නැත Cauchy සීමාව තීරණය කිරීම, නමුත් අපි කරුණු දෙකක් කිරීමට උත්සාහ කරමු:
1. සීමාවක් යනු කුමක්දැයි තේරුම් ගන්න.
2. ප්රධාන වර්ගවල සීමාවන් විසඳීමට ඉගෙන ගන්න.
සමහර විද්‍යාත්මක නොවන පැහැදිලි කිරීම් සඳහා මම සමාව අයදිමි, තේ පෝච්චියකට පවා ද්රව්ය තේරුම් ගත හැකි වීම වැදගත් වේ, ඇත්ත වශයෙන්ම එය ව්‍යාපෘතියේ කාර්යය වේ.
එසේනම් සීමාව කුමක්ද?
ඒ වගේම ආච්චිව රවට්ටන්නේ ඇයි කියන එකට උදාහරණයක් විතරයි....
ඕනෑම සීමාවක් කොටස් තුනකින් සමන්විත වේ:
1) සුප්‍රසිද්ධ සීමා නිරූපකය.
2) සීමා නිරූපකය යටතේ ඇතුළත් කිරීම්, in මේ අවස්ථාවේ දී. ප්‍රවේශයේ කියවෙන්නේ “X එකකට නැඹුරු වේ” යන්නයි. බොහෝ විට - හරියටම, "X" වෙනුවට ප්රායෝගිකව වෙනත් විචල්යයන් ඇත. ප්‍රායෝගික කර්තව්‍ය වලදී, එකෙකුගේ ස්ථානය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම සංඛ්යාවක් මෙන්ම අනන්තය () විය හැකිය.
3) සීමාව ලකුණ යටතේ කාර්යයන්, මෙම නඩුවේ .
පටිගත කිරීමම 
මෙසේ කියවයි: "x ලෙස ශ්රිතයක සීමාව එක්සත් වීමට නැඹුරු වේ."
අපි ඊළඟ එක බලමු වැදගත් ප්රශ්නය- "x" යන යෙදුමෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? වෑයම් කරයිඑකකට"? සහ "උත්සාහය" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සංකල්පයකි, කතා කිරීමට, ගතික. අපි අනුපිළිවෙලක් ගොඩනඟමු: පළමුව, පසුව , ..., 
, ….
එනම් “x වෑයම් කරයිඑකකට" පහත පරිදි තේරුම් ගත යුතුය: "x" අඛණ්ඩව අගයන් ගනී එය සමගියට අසීමිත ලෙස සමීප වන අතර ප්රායෝගිකව එය සමග සමපාත වේ.
ඉහත උදාහරණය විසඳන්නේ කෙසේද? ඉහත මත පදනම්ව, ඔබට සීමා ලකුණ යටතේ ශ්‍රිතයට එකක් ආදේශ කිරීමට අවශ්ය වේ:
ඉතින්, පළමු රීතිය: කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
අපි සරලම සීමාව සලකා බැලුවෙමු, නමුත් මේවා ප්රායෝගිකව සිදු වන අතර එතරම් කලාතුරකින් නොවේ!
අනන්තය සමඟ උදාහරණය:
එය කුමක්දැයි සොයා බලමු? එය සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට මෙය සිදු වේ, එනම්: පළමුව, පසුව, පසුව, පසුව සහ වෙනත් දැන්වීම් අනන්තය.
මෙම අවස්ථාවේදී කාර්යයට කුමක් සිදුවේද?
, , 
, …
ඉතින්: නම්, ශ්රිතය අනන්තය අඩු කිරීමට නැඹුරු වේ:
දළ වශයෙන් කිවහොත්, අපගේ පළමු රීතියට අනුව, “X” වෙනුවට අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කර පිළිතුර ලබා ගනිමු.
අනන්තය සමඟ තවත් උදාහරණයක්:
නැවතත් අපි අනන්තය දක්වා වැඩි කිරීමට පටන් ගෙන ශ්රිතයේ හැසිරීම දෙස බලමු: 
නිගමනය: ශ්රිතය සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට:
සහ තවත් උදාහරණ මාලාවක්:
කරුණාකර පහත සඳහන් දේ ඔබම මානසිකව විශ්ලේෂණය කිරීමට උත්සාහ කර සරලම ආකාරයේ සීමාවන් මතක තබා ගන්න:
, , , , 
, , , , 
,
ඔබට ඕනෑම තැනක සැකයක් ඇත්නම්, ඔබට කැල්කියුලේටරය රැගෙන ටිකක් පුහුණු විය හැකිය.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුපිළිවෙල ගොඩනැගීමට උත්සාහ කරන්න, , . එසේ නම් , , .
! සටහන: හරියටම කිවහොත්, සංඛ්යා කිහිපයක අනුපිළිවෙලක් තැනීමට මෙම ප්රවේශය වැරදිය, නමුත් සරලම උදාහරණ තේරුම් ගැනීම සඳහා එය බෙහෙවින් සුදුසු ය.
පහත කරුණ කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න. ඉහළින් විශාල සංඛ්යාවක් සමඟ සීමාවක් ලබා දුන්නද, නැතහොත් මිලියනයක් සමඟ වුවද: , එවිට සියල්ල සමාන වේ 
, ඉක්මනින් හෝ පසුව "X" එවැනි යෝධ අගයන් ලබා ගැනීමට පටන් ගන්නා බැවින් සැසඳීමේදී මිලියනයක් සැබෑ ක්ෂුද්‍ර ජීවියෙකු වනු ඇත.
ඉහත කරුණු වලින් ඔබ මතක තබා ගත යුතු සහ තේරුම් ගත යුත්තේ කුමක්ද?
1) කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
2) ඔබ සරලම සීමාවන් තේරුම් ගෙන වහාම විසඳිය යුතුය 
,, ආදිය.
එපමණක් නොව, සීමාව ඉතා හොඳ ජ්යාමිතික අර්ථයක් ඇත. මාතෘකාව පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, ඔබ කියවන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි ක්රමවේදය ද්රව්ය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණ. මෙම ලිපිය කියවීමෙන් පසු, ඔබ අවසානයේ සීමාවක් යනු කුමක්දැයි තේරුම් ගන්නවා පමණක් නොව, පොදුවේ ශ්රිතයක සීමාව වන විට සිත්ගන්නා අවස්ථා පිළිබඳව ද දැන හඳුනා ගනු ඇත. නොපවතී!
ප්රායෝගිකව, අවාසනාවකට, තෑගි කිහිපයක් තිබේ. එබැවින් අපි වඩාත් සංකීර්ණ සීමාවන් සලකා බලමු. මාර්ගය වන විට, මෙම මාතෘකාව මත පවතී දැඩි පාඨමාලාව pdf ආකෘතියෙන්, ඔබට සූදානම් වීමට ඉතා සුළු කාලයක් තිබේ නම් එය විශේෂයෙන් ප්‍රයෝජනවත් වේ. නමුත් අඩවි ද්රව්ය, ඇත්ත වශයෙන්ම, නරක නැත:
දැන් අපි සීමා සමූහය සලකා බලමු විට , සහ ශ්රිතය යනු සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වන කොටසකි.
උදාහරණයක්:
සීමාව ගණනය කරන්න 
අපගේ රීතියට අනුව, අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු. අපට ඉහළින් ලැබෙන්නේ කුමක්ද? අනන්තය. සහ පහත කුමක් සිදුවේද? එසේම අනන්තය. මේ අනුව, අපට විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය ලෙස හැඳින්වේ. යමෙක් එසේ සිතනු ඇත , සහ පිළිතුර සූදානම්, නමුත් සාමාන්ය නඩුවමෙය කිසිසේත්ම නොවේ, ඔබ යම් විසඳුමක් යෙදිය යුතුය, එය අපි දැන් සලකා බලමු.
සීමාවන් විසඳන්නේ කෙසේද මෙම වර්ගයේ?
පළමුව අපි අංකනය දෙස බලා ඉහළම බලය සොයා ගනිමු: 
සංඛ්යාංකයේ ප්‍රමුඛ බලය දෙකකි.
දැන් අපි හරය දෙස බලා එය ඉහළම බලයට සොයා ගනිමු: 
හරයේ ඉහළම උපාධිය දෙකකි.
ඉන්පසුව අපි අංකනයේ සහ හරයේ ඉහළම බලය තෝරා ගනිමු: in මෙම උදාහරණයේඒවා සමපාත වන අතර දෙකකට සමාන වේ.
එබැවින්, විසඳුම් ක්රමය පහත පරිදි වේ: අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදීම අවශ්ය වේ.
මෙන්න එය, පිළිතුර මිස අනන්තය නොවේ.
තීරණයක් සැලසුම් කිරීමේදී මූලික වශයෙන් වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, අපි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත්නම්, එය පෙන්නුම් කරමු.
දෙවනුව, අතරමැදි පැහැදිලි කිරීම් සඳහා විසඳුම බාධා කිරීම යෝග්ය වේ. මම සාමාන්යයෙන් ලකුණ භාවිතා කරමි, එයට කිසිදු ගණිතමය අර්ථයක් නැත, නමුත් එයින් අදහස් වන්නේ අතරමැදි පැහැදිලි කිරීමක් සඳහා විසඳුම බාධා ඇති බවයි.
තෙවනුව, සීමාව තුළ කොතැනට යන්නේද යන්න සලකුණු කිරීම සුදුසුය. කාර්යය අතින් අඳින විට, එය මේ ආකාරයෙන් කිරීම වඩාත් පහසු වේ: 
සටහන් සඳහා සරල පැන්සලක් භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මේ කිසිවක් කළ යුතු නැත, නමුත් පසුව, සමහර විට, ගුරුවරයා විසඳුමේ අඩුපාඩු පෙන්වා දෙනු ඇත හෝ පැවරුම ගැන අමතර ප්රශ්න ඇසීමට පටන් ගනී. ඔබට එය අවශ්යද?
උදාහරණ 2
සීමාව සොයන්න 
නැවතත් සංඛ්යාංකයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටමින් අපට හමු වේ: 
සංඛ්යාංකයේ උපරිම උපාධිය: 3
හරයේ උපරිම උපාධිය: 4
තෝරා ශ්රේෂ්ඨතමඅගය, මෙම නඩුවේ හතර.
අපගේ ඇල්ගොරිතමයට අනුව, අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්යාංකය සහ හරය බෙදන්නෙමු.
සම්පූර්ණ ලියාපදිංචියකාර්යයන් මේ වගේ විය හැකිය:
ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න
උදාහරණය 3
සීමාව සොයන්න 
සංඛ්යාංකයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 2
හරයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 1 (ලෙස ලිවිය හැක)
අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, සංඛ්යාංකය සහ හරය මගින් බෙදීම අවශ්ය වේ. අවසාන විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:
ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න
අංකනය යන්නෙන් අදහස් වන්නේ බිංදුවෙන් බෙදීම නොවේ (ඔබට ශුන්‍යයෙන් බෙදිය නොහැක), නමුත් අපරිමිත සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම.
මේ අනුව, විශේෂ අවිනිශ්චිතභාවය අනාවරණය කර ගැනීමෙන්, අපට හැකි විය හැක අවසාන අංකය, ශුන්ය හෝ අනන්තය.
ඒවා විසඳීම සඳහා වර්ගය සහ ක්‍රමයේ අවිනිශ්චිතභාවය සහිත සීමාවන්
මීළඟ සීමාවන් සමූහය දැන් සලකා බැලූ සීමාවන්ට තරමක් සමාන ය: සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වේ, නමුත් “x” තවදුරටත් අනන්තයට නැඹුරු නොවේ, නමුත් සීමිත අංකය.
උදාහරණය 4
සීමාව විසඳන්න 
පළමුව, අපි -1 කොටසට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු: 
මෙම අවස්ථාවේ දී, ඊනියා අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනී.
සාමාන්ය රීතිය : සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු නම් සහ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබේ නම්, එය හෙළි කිරීමට ඔබ සංඛ්යාව සහ හරය ගණනය කළ යුතුය.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, බොහෝ විට ඔබ තීරණය කළ යුතුය චතුරස්රාකාර සමීකරණයසහ/හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්ර භාවිතා කරන්න. මේ දේවල් අමතක වෙලා නම් පේජ් එකට ගිහින් බලන්න ගණිතමය සූත්ර සහ වගුසහ ඉගැන්වීමේ ද්රව්ය කියවන්න පාසල් ගණිත පාඨමාලාව සඳහා උණුසුම් සූත්ර. මාර්ගය වන විට, එය මුද්රණය කිරීම වඩාත් සුදුසුය, එය බොහෝ විට අවශ්ය වන අතර, තොරතුරු කඩදාසි වලින් වඩා හොඳින් අවශෝෂණය වේ.
ඉතින්, අපි අපේ සීමාව විසඳා ගනිමු 
අංකනය සහ හරය සාධක කරන්න
සංඛ්යාංකය සාධක කිරීම සඳහා, ඔබ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳිය යුතුය: 
මුලින්ම අපි වෙනස්කම් කරන්නන් සොයා ගනිමු:
සහ වර්ගමුලයඔහුගෙන්:.
වෙනස්කම් කරන්නා විශාල නම්, උදාහරණයක් ලෙස 361, අපි වර්ගමූලය නිස්සාරණය කිරීමේ කාර්යය සරලම කැල්කියුලේටරය මත භාවිතා කරමු.
! මූල සම්පූර්ණයෙන්ම නිස්සාරණය නොකළහොත් (එය හැරෙනවා භාගික අංකයක්කොමාවකින්), වෙනස් කොට සැලකීම වැරදි ලෙස ගණනය කර තිබීම හෝ කාර්යයේ යතුරු ලියන දෝෂයක් තිබීම බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත.
ඊළඟට අපි මූලයන් සොයා ගනිමු: 
මේ අනුව:
සෑම. සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කර ඇත.
හරය. හරය දැනටමත් සරලම සාධකය වන අතර එය සරල කිරීමට ක්රමයක් නොමැත.
පැහැදිලිවම, එය කෙටි කළ හැක:
දැන් අපි සීමා ලකුණ යටතේ පවතින ප්‍රකාශනයට -1 ආදේශ කරමු:
ස්වභාවිකවම, තුළ පරීක්ෂණ කටයුතු, පරීක්ෂණයක් හෝ විභාගයක් අතරතුර, විසඳුම කිසි විටෙකත් එතරම් විස්තරාත්මකව ලියා නැත. අවසාන අනුවාදයේ, සැලසුම මේ වගේ දෙයක් විය යුතුය:
අපි සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කරමු. 
උදාහරණ 5
සීමාව ගණනය කරන්න 
පළමුව, විසඳුමේ "අවසන්" අනුවාදය
අංකනය සහ හරය සාධක කරමු.
අංකනය:
හරය: 
, 
මෙම උදාහරණයේ වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, අංකනය හෙළි වන ආකාරය පිළිබඳව ඔබට හොඳ අවබෝධයක් තිබිය යුතුය, පළමුව අපි වරහන් වලින් 2 ක් ගෙන, පසුව වර්ග වෙනස සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කළෙමු. මේ සූත්‍රය තමයි ඔබ දැනගත යුතුම බලන්න ඕනේ.
නිර්දේශය: සීමාවක (ඕනෑම වර්ගයක) වරහන් වලින් අංකයක් ගත හැකි නම්, අපි එය සැමවිටම කරන්නෙමු.
එපමනක් නොව, එවැනි සංඛ්යා සීමාව අයිකනය ඉක්මවා යාම යෝග්ය වේ. කුමක් සඳහා ද? ඔව්, ඔවුන් මාර්ගයට නොපැමිණීම සඳහා පමණි. ප්රධාන දෙය නම් විසඳුම අතරතුර මෙම සංඛ්යා පසුව අහිමි නොවීමයි.
ඒ බව කරුණාවෙන් සලකන්න අවසාන අදියරමම සීමාවෙන් ඔබ්බට තීරණය ගත්තේ දෙකක් ලෙස, පසුව අඩුවීමක් ලෙස.
! වැදගත්
විසඳුම අතරතුර, වර්ගයේ ඛණ්ඩනය බොහෝ විට සිදු වේ. මෙම කොටස අඩු කරන්නඑය තහනම්ය
. පළමුව ඔබ අංක හෝ හරයේ ලකුණ වෙනස් කළ යුතුය (වරහන් වලින් -1 දමන්න).
, එනම්, ඍණ ලකුණක් දිස්වේ, එය සීමාව ගණනය කිරීමේදී සැලකිල්ලට ගනු ලබන අතර එය කිසිසේත් අහිමි කිරීමට අවශ්ය නොවේ.
සාමාන්යයෙන්, මෙම වර්ගයේ සීමාවන් සෙවීමේදී බොහෝ විට ඔබට චතුරස්‍ර සමීකරණ දෙකක් විසඳිය යුතු බව මම දුටුවෙමි, එනම්, සංඛ්යා සහ හරය යන දෙකෙහිම චතුරස්‍ර ත්‍රිපද අඩංගු වේ.
සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් සංඛ්යා සහ හරය ගුණ කිරීමේ ක්රමය
පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවය අපි දිගටම සලකා බලමු
ඊළඟ වර්ගයේ සීමාවන් පෙර වර්ගයට සමාන වේ. එකම දෙය, බහුපද වලට අමතරව, අපි මුල් එකතු කරන්නෙමු.
උදාහරණය 6
සීමාව සොයන්න 
අපි තීරණය කිරීමට පටන් ගනිමු.
මුලින්ම අපි සීමා ලකුණ යටතේ ඇති ප්‍රකාශනයට 3 ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු
මම නැවත වරක් පුනරුච්චාරණය කරමි - ඕනෑම සීමාවක් සඳහා ඔබ කළ යුතු පළමු දෙය මෙයයි. මෙම ක්රියාවසාමාන්යයෙන් මානසිකව හෝ රළු කෙටුම්පත් වලින් සිදු කරනු ලැබේ.
ඉවත් කළ යුතු පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබාගෙන ඇත. 
ඔබ බොහෝ විට දැක ඇති පරිදි, අපගේ අංකනයෙහි මුල්වල වෙනස අඩංගු වේ. ගණිතයේ දී හැකි නම් මුල් ඉවත් කිරීම සිරිතකි. කුමක් සඳහා ද? ඒ වගේම ඔවුන් නොමැතිව ජීවිතය පහසුයි.
සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ එක් අංශයකි. විවිධ වර්ගවල සීමාවන් විසඳීම සඳහා ක්රම දුසිම් ගණනක් ඇති බැවින් සීමාවන් විසඳීමේ ප්රශ්නය තරමක් පුළුල් ය. මෙම හෝ එම සීමාව විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූක්ෂ්මතා සහ උපක්‍රම දුසිම් ගණනක් ඇත. එසේ වුවද, ප්රායෝගිකව බොහෝ විට හමු වන ප්රධාන සීමාවන් තේරුම් ගැනීමට අපි තවමත් උත්සාහ කරමු.
සීමාවක් යන සංකල්පයෙන්ම පටන් ගනිමු. නමුත් පළමුව, කෙටි ඓතිහාසික පසුබිමක්. 19 වන ශතවර්ෂයේ ප්‍රංශ ජාතික ඔගස්ටින් ලුවී කෞචි ජීවත් වූ අතර, ඔහු ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ අඩිතාලම දැමූ අතර දැඩි අර්ථ දැක්වීම්, සීමාවක් පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දුන්නේය. ඔහු ගණිතමය විශ්ලේෂණ ප්‍රමේයයන් අතිවිශාල ප්‍රමාණයක් ඔප්පු කළ නිසාත්, සෑම ප්‍රමේයයක්ම අනෙකට වඩා පිළිකුල් සහගත නිසාත්, භෞතික විද්‍යාව හා ගණිතය හදාරන සියලුම සිසුන්ගේ බියකරු සිහින තුළ මෙම කෞචිම සිටි බවත්, පවතින බවත්, සිටින බවත් පැවසිය යුතුය. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි සීමාව පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් සලකා බලන්නේ නැත, නමුත් කරුණු දෙකක් කිරීමට උත්සාහ කරමු:
1. සීමාවක් යනු කුමක්දැයි තේරුම් ගන්න.
2. ප්රධාන වර්ගවල සීමාවන් විසඳීමට ඉගෙන ගන්න.
සමහර විද්‍යාත්මක නොවන පැහැදිලි කිරීම් සඳහා මම සමාව අයදිමි, තේ පෝච්චියකට පවා ද්රව්ය තේරුම් ගත හැකි වීම වැදගත් වේ, ඇත්ත වශයෙන්ම එය ව්‍යාපෘතියේ කාර්යය වේ.
එසේනම් සීමාව කුමක්ද?
ඒ වගේම ආච්චිව රවට්ටන්නේ ඇයි කියන එකට උදාහරණයක් විතරයි....
ඕනෑම සීමාවක් කොටස් තුනකින් සමන්විත වේ:
1) සුප්‍රසිද්ධ සීමා නිරූපකය.
2) සීමා නිරූපකය යටතේ ඇතුළත් කිරීම්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී . ප්‍රවේශයේ කියවෙන්නේ “X එකකට නැඹුරු වේ” යන්නයි. බොහෝ විට - හරියටම, "X" වෙනුවට ප්රායෝගිකව වෙනත් විචල්යයන් ඇත. ප්‍රායෝගික කර්තව්‍ය වලදී, එකෙකුගේ ස්ථානය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම සංඛ්යාවක් මෙන්ම අනන්තය () විය හැකිය.
3) සීමාව ලකුණ යටතේ කාර්යයන්, මෙම නඩුවේ .
පටිගත කිරීමම මෙසේ කියවයි: "x ලෙස ශ්රිතයක සීමාව එක්සත් වීමට නැඹුරු වේ."
ඊළඟ වැදගත් ප්රශ්නය දෙස බලමු - “x” ප්‍රකාශනයේ තේරුම කුමක්ද? වෑයම් කරයිඑකකට"? සහ "උත්සාහය" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සංකල්පයකි, කතා කිරීමට, ගතික. අපි අනුපිළිවෙලක් ගොඩනඟමු: පළමුව, පසුව , ..., 
, ….
එනම් “x වෑයම් කරයිඑකකට" පහත පරිදි තේරුම් ගත යුතුය: "x" අඛණ්ඩව අගයන් ගනී එය සමගියට අසීමිත ලෙස සමීප වන අතර ප්රායෝගිකව එය සමග සමපාත වේ.
ඉහත උදාහරණය විසඳන්නේ කෙසේද? ඉහත මත පදනම්ව, ඔබට සීමා ලකුණ යටතේ ශ්‍රිතයට එකක් ආදේශ කිරීමට අවශ්ය වේ:
ඉතින්, පළමු රීතිය: කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
අපි සරලම සීමාව සලකා බැලුවෙමු, නමුත් මේවා ප්රායෝගිකව සිදු වන අතර එතරම් කලාතුරකින් නොවේ!
අනන්තය සමඟ උදාහරණය:
එය කුමක්දැයි සොයා බලමු? එය සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට මෙය සිදු වේ, එනම්: පළමුව, පසුව, පසුව, පසුව සහ වෙනත් දැන්වීම් අනන්තය.
මෙම අවස්ථාවේදී කාර්යයට කුමක් සිදුවේද?
, , , …
ඉතින්: නම්, ශ්රිතය අනන්තය අඩු කිරීමට නැඹුරු වේ:
දළ වශයෙන් කිවහොත්, අපගේ පළමු රීතියට අනුව, “X” වෙනුවට අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කර පිළිතුර ලබා ගනිමු.
අනන්තය සමඟ තවත් උදාහරණයක්:
නැවතත් අපි අනන්තය දක්වා වැඩි වීමට පටන් ගනිමු, සහ ශ්රිතයේ හැසිරීම දෙස බලන්න:
නිගමනය: ශ්රිතය සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට:
සහ තවත් උදාහරණ මාලාවක්:
කරුණාකර පහත සඳහන් දේ ඔබම මානසිකව විශ්ලේෂණය කිරීමට උත්සාහ කර සරලම ආකාරයේ සීමාවන් මතක තබා ගන්න:
, , , , , , , , ,
ඔබට ඕනෑම තැනක සැකයක් ඇත්නම්, ඔබට කැල්කියුලේටරය රැගෙන ටිකක් පුහුණු විය හැකිය.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුපිළිවෙල ගොඩනැගීමට උත්සාහ කරන්න, , . එසේ නම් , , .
සටහන: දැඩි ලෙස කථා කිරීම, සංඛ්යා කිහිපයක අනුපිළිවෙලක් තැනීම සඳහා මෙම ප්රවේශය වැරදියි, නමුත් සරලම උදාහරණ තේරුම් ගැනීම සඳහා එය බෙහෙවින් සුදුසු ය.
පහත කරුණ කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න. ඉහළින් විශාල සංඛ්යාවක් සමඟ සීමාවක් ලබා දුන්නද, නැතහොත් මිලියනයක් සමඟ වුවද: , එවිට සියල්ල සමාන වේ 
, ඉක්මනින් හෝ පසුව "X" එවැනි යෝධ අගයන් ගන්නා බැවින් ඒවාට සාපේක්ෂව මිලියනයක් සැබෑ ක්ෂුද්‍ර ජීවියෙකු වනු ඇත.
ඉහත කරුණු වලින් ඔබ මතක තබා ගත යුතු සහ තේරුම් ගත යුත්තේ කුමක්ද?
1) කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
2) ඔබ සරලම සීමාවන් තේරුම් ගෙන වහාම විසඳිය යුතුය 
,, ආදිය.
දැන් අපි සීමා සමූහය සලකා බලමු විට , සහ ශ්රිතය යනු සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වන කොටසකි.
උදාහරණයක්:
සීමාව ගණනය කරන්න
අපගේ රීතියට අනුව, අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු. අපට ඉහළින් ලැබෙන්නේ කුමක්ද? අනන්තය. සහ පහත කුමක් සිදුවේද? එසේම අනන්තය. මේ අනුව, අපට විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය ලෙස හැඳින්වේ. යමෙකුට සිතිය හැකිය , සහ පිළිතුර සූදානම්, නමුත් සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී මෙය කිසිසේත්ම නොපවතින අතර, අපි දැන් සලකා බලනු ලබන යම් විසඳුම් තාක්ෂණයක් යෙදීම අවශ්ය වේ.
මෙම වර්ගයේ සීමාවන් විසඳන්නේ කෙසේද?
පළමුව අපි අංකනය දෙස බලා ඉහළම බලය සොයා ගනිමු:
සංඛ්යාංකයේ ප්‍රමුඛ බලය දෙකකි.
දැන් අපි හරය දෙස බලා එය ඉහළම බලයට සොයා ගනිමු: 
හරයේ ඉහළම උපාධිය දෙකකි.
එවිට අපි සංඛ්යාංකයේ සහ හරයේ ඉහළම බලය තෝරා ගනිමු: මෙම උදාහරණයේ දී, ඒවා සමාන වන අතර දෙකකට සමාන වේ.
එබැවින්, විසඳුම් ක්රමය පහත පරිදි වේ: අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදීම අවශ්ය වේ.
මෙන්න එය, පිළිතුර මිස අනන්තය නොවේ.
තීරණයක් සැලසුම් කිරීමේදී මූලික වශයෙන් වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, අපි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත්නම්, එය පෙන්නුම් කරමු.
දෙවනුව, අතරමැදි පැහැදිලි කිරීම් සඳහා විසඳුම බාධා කිරීම යෝග්ය වේ. මම සාමාන්යයෙන් ලකුණ භාවිතා කරමි, එයට කිසිදු ගණිතමය අර්ථයක් නැත, නමුත් එයින් අදහස් වන්නේ අතරමැදි පැහැදිලි කිරීමක් සඳහා විසඳුම බාධා ඇති බවයි.
තෙවනුව, සීමාව තුළ කොතැනට යන්නේද යන්න සලකුණු කිරීම සුදුසුය. කාර්යය අතින් අඳින විට, එය මේ ආකාරයෙන් කිරීම වඩාත් පහසු වේ: 
සටහන් සඳහා සරල පැන්සලක් භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මේ කිසිවක් කළ යුතු නැත, නමුත් පසුව, සමහර විට, ගුරුවරයා විසඳුමේ අඩුපාඩු පෙන්වා දෙනු ඇත හෝ පැවරුම ගැන අමතර ප්රශ්න ඇසීමට පටන් ගනී. ඔබට එය අවශ්යද?
උදාහරණ 2
සීමාව සොයන්න
නැවතත් සංඛ්යාංකයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටමින් අපට හමු වේ: 
සංඛ්යාංකයේ උපරිම උපාධිය: 3
හරයේ උපරිම උපාධිය: 4
තෝරා ශ්රේෂ්ඨතමඅගය, මෙම නඩුවේ හතර.
අපගේ ඇල්ගොරිතමයට අනුව, අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්යාංකය සහ හරය බෙදන්නෙමු.
සම්පූර්ණ පැවරුම මේ වගේ විය හැකිය:
ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න
උදාහරණය 3
සීමාව සොයන්න
සංඛ්යාංකයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 2
හරයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 1 (ලෙස ලිවිය හැක)
අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, සංඛ්යාංකය සහ හරය මගින් බෙදීම අවශ්ය වේ. අවසාන විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:
ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න
අංකනය යන්නෙන් අදහස් වන්නේ බිංදුවෙන් බෙදීම නොවේ (ඔබට ශුන්‍යයෙන් බෙදිය නොහැක), නමුත් අපරිමිත සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම.
මේ අනුව, විශේෂ අවිනිශ්චිතභාවය අනාවරණය කර ගැනීමෙන්, අපට හැකි විය හැක අවසාන අංකය, ශුන්ය හෝ අනන්තය.
ඒවා විසඳීම සඳහා වර්ගය සහ ක්‍රමයේ අවිනිශ්චිතභාවය සහිත සීමාවන්
මීළඟ සීමාවන් සමූහය දැන් සලකා බැලූ සීමාවන්ට තරමක් සමාන ය: සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වේ, නමුත් “x” තවදුරටත් අනන්තයට නැඹුරු නොවේ, නමුත් සීමිත අංකය.
උදාහරණය 4
සීමාව විසඳන්න 
පළමුව, අපි -1 කොටසට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු: 
මෙම අවස්ථාවේ දී, ඊනියා අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනී.
සාමාන්ය රීතිය: සංඛ්යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු නම් සහ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබේ නම්, එය හෙළි කිරීමට ඔබ සංඛ්යාව සහ හරය ගණනය කළ යුතුය.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, බොහෝ විට ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීමට සහ/හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්ර භාවිතා කිරීමට අවශ්ය වේ. මේ දේවල් අමතක වෙලා නම් පේජ් එකට ගිහින් බලන්න ගණිතමය සූත්ර සහ වගුසහ ඉගැන්වීමේ ද්රව්ය කියවන්න පාසල් ගණිත පාඨමාලාව සඳහා උණුසුම් සූත්ර. මාර්ගය වන විට, එය මුද්රණය කිරීම වඩාත් සුදුසුය, එය බොහෝ විට අවශ්ය වන අතර, තොරතුරු කඩදාසි වලින් වඩා හොඳින් අවශෝෂණය වේ.
ඉතින්, අපි අපේ සීමාව විසඳා ගනිමු 
අංකනය සහ හරය සාධක කරන්න
සංඛ්යාංකය සාධක කිරීම සඳහා, ඔබ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳිය යුතුය:
මුලින්ම අපි වෙනස්කම් කරන්නන් සොයා ගනිමු:
සහ එහි වර්ගමූලය: .
වෙනස්කම් කරන්නා විශාල නම්, උදාහරණයක් ලෙස 361, අපි වර්ගමූලය නිස්සාරණය කිරීමේ කාර්යය සරලම කැල්කියුලේටරය මත භාවිතා කරමු.
! මූලය සම්පූර්ණයෙන් උපුටා නොගන්නේ නම් (කොමාවක් සහිත භාගික අංකයක් ලබා ගනී), වෙනස් කොට සැලකීම වැරදි ලෙස ගණනය කර තිබීම හෝ කාර්යයේ අක්ෂර වින්‍යාසයක් තිබීම බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත.
ඊළඟට අපි මූලයන් සොයා ගනිමු:
මේ අනුව:
සෑම. සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කර ඇත.
හරය. හරය දැනටමත් සරලම සාධකය වන අතර එය සරල කිරීමට ක්රමයක් නොමැත.
පැහැදිලිවම, එය කෙටි කළ හැක:
දැන් අපි සීමා ලකුණ යටතේ පවතින ප්‍රකාශනයට -1 ආදේශ කරමු:
ස්වාභාවිකවම, පරීක්ෂණයකදී, පරීක්ෂණයකදී හෝ විභාගයකදී විසඳුම එතරම් විස්තරාත්මකව ලියා නැත. අවසාන අනුවාදයේ, සැලසුම මේ වගේ දෙයක් විය යුතුය:
අපි සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කරමු. 
උදාහරණ 5
සීමාව ගණනය කරන්න 
පළමුව, විසඳුමේ "අවසන්" අනුවාදය
අංකනය සහ හරය සාධක කරමු.
අංකනය:
හරය: 
,
මෙම උදාහරණයේ වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, අංකනය හෙළි වන ආකාරය පිළිබඳව ඔබට හොඳ අවබෝධයක් තිබිය යුතුය, පළමුව අපි වරහන් වලින් 2 ක් ගෙන, පසුව වර්ග වෙනස සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කළෙමු. මේ සූත්‍රය තමයි ඔබ දැනගත යුතුම බලන්න ඕනේ.
නියත අංකය ඒකියලා සීමාව අනුපිළිවෙලවල්(x n ), කිසියම් අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා ධන සංඛ්යාවක් සඳහා නම්ε > 0 සියලුම අගයන් ඇති N අංකයක් ඇත x n, ඒ සඳහා n>N, අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්න
|x n - a|< ε. (6.1)
එය පහත පරිදි ලියන්න: හෝ x n →ඒ.
අසමානතාවය (6.1) ද්විත්ව අසමානතාවයට සමාන වේ
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
එනම් ලකුණු බවයි x n, n>N යම් සංඛ්‍යාවකින් පටන් ගෙන, අන්තරය තුළ සැතපෙන්න (a-ε, a+ ε ), i.e. ඕනෑම කුඩා දෙයකට වැටේε - ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශය ඒ.
සීමාවක් ඇති අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ අභිසාරී, එසේ නොමැතිනම් - අපසාරී.
ශ්රිත සීමාවක සංකල්පය යනු අනුක්‍රමික සීමාවක සංකල්පය සාමාන්‍යකරණය කිරීමකි, මන්ද අනුක්‍රමයක සීමාව පූර්ණ සංඛ්යා තර්කයක x n = f(n) ශ්රිතයක සීමාව ලෙස සැලකිය හැකිය. n.
f(x) ශ්රිතය ලබා දී ඉඩ දෙන්න ඒ - සීමාව ලක්ෂ්යයමෙම ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ වසම D(f), i.e. එවැනි ලක්ෂ්‍යයක්, හැර වෙනත් D(f) කුලකයේ ලකුණු අඩංගු ඕනෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඒ. තිත් ඒ D(f) කුලකයට අයත් විය හැක හෝ නොවිය හැක.
අර්ථ දැක්වීම 1.නියත අංකය A ලෙස හැඳින්වේ සීමාව කාර්යයන් f(x) හිදී x→a, කිසියම් අනුපිළිවෙලක් (x n ) සඳහා නැඹුරු වන තර්ක අගයන් සඳහා නම් ඒ, අනුරූප අනුපිළිවෙලවල් (f(x n)) එකම සීමාව A ඇත.
මෙම නිර්වචනය හැඳින්වේ Heine අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්වචනය කිරීමෙන්,හෝ " අනුපිළිවෙල භාෂාවෙන්”.
අර්ථ දැක්වීම 2. නියත අංකය A ලෙස හැඳින්වේ සීමාව කාර්යයන් f(x) හිදී x→a, නම්, අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා එකක් නියම කිරීමෙන් ධනාත්මක අංකය ε
, කෙනෙකුට එවැනි δ සොයා ගත හැක>0 (ε මත පදනම්ව), එය සෑම කෙනෙකුටම වේ x, වැතිර සිටීමඅංකයේ ε-අසල්වැසියන් ඒ, i.e. සදහා x, අසමානතාවය තෘප්තිමත් කිරීම
0 <
x-a< ε
, f(x) ශ්රිතයේ අගයන් පවතිනු ඇතA අංකයේ ε-අසල්වැසි, i.e.|f(x)-A|<
ε.
මෙම නිර්වචනය හැඳින්වේ Cauchy අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්වචනය කිරීමෙන්,හෝ "ε - δ භාෂාවෙන් “.
1 සහ 2 අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ. f(x) ශ්රිතය x → ලෙස නම්a ඇත සීමාව, A ට සමාන, මෙය පෝරමයේ ලියා ඇත
. (6.3)
කිසියම් ආසන්න ක්රමයක් සඳහා සීමාවකින් තොරව අනුක්‍රමය (f(x n)) වැඩි (හෝ අඩු වන) අවස්ථාවක xඔබේ සීමාවට ඒ, එවිට f(x) ශ්රිතය ඇති බව අපි කියමු අසීමිත සීමාව,සහ එය පෝරමයේ ලියන්න:
සීමාව ශුන්ය වන විචල්‍යයක් (එනම් අනුපිළිවෙලක් හෝ ශ්රිතයක්) ලෙස හැඳින්වේ අසීමිත කුඩා.
සීමාව අනන්තයට සමාන වන විචල්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ අසීමිත විශාලයි.
ප්රායෝගිකව සීමාව සොයා ගැනීම සඳහා, පහත සඳහන් ප්රමේය භාවිතා කරනු ලැබේ.
ප්රමේයය 1 . සෑම සීමාවක්ම තිබේ නම්
(6.4)
(6.5)
(6.6)
අදහස් දක්වන්න. 0/0 වැනි ප්‍රකාශන, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - උදාහරණයක් ලෙස, අපරිමිත කුඩා හෝ අසීමිත විශාල ප්‍රමාණ දෙකක අනුපාතය අවිනිශ්චිත වන අතර, මෙම වර්ගයේ සීමාවක් සොයා ගැනීම "අවිනිශ්චිතතා අනාවරණය කිරීම" ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රමේයය 2. (6.7)
එම. නියත ඝාතකයක් සහිත බලය මත පදනම්ව කෙනෙකුට සීමාවට යා හැකිය, විශේෂයෙන්, 
;
(6.8)
(6.9)
ප්රමේයය 3.
(6.10)
(6.11)
කොහෙද ඊ » 2.7 - ස්වභාවික ලඝුගණකයේ පදනම. සූත්ර (6.10) සහ (6.11) පළමු ලෙස හැඳින්වේ පුදුම සීමාවසහ දෙවන පුදුම සීමාව.
සූත්‍රයේ ප්‍රතිවිපාක (6.11) ද ප්රායෝගිකව භාවිතා වේ:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
විශේෂයෙන් සීමාව,
x නම් → a සහ එම අවස්ථාවේදීම x > a, පසුව x ලියන්න→a + 0. විශේෂයෙන්ම, a = 0 නම්, 0+0 සංකේතය වෙනුවට +0 ලියන්න. ඒ හා සමානව x→ නම්a සහ ඒ සමගම x 
සහ ඒ අනුව කැඳවනු ලැබේ නිවැරදි සීමාවසහ වම් සීමාව කාර්යයන් f(x) ලක්ෂ්යයේ ඒ. f(x) ශ්රිතයේ x→ ලෙස සීමාවක් තිබීම සඳහාa අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ 
. f(x) ශ්රිතය හැඳින්වේ අඛණ්ඩ ලක්ෂ්යයේ x 0 නම් සීමාව
. (6.15)
කොන්දේසිය (6.15) මෙසේ නැවත ලිවිය හැක:
,
එනම්, යම් ලක්ෂ්‍යයක අඛණ්ඩව පවතී නම් ශ්රිතයක ලකුණ යටතේ සීමාවට ගමන් කළ හැකිය.
සමානාත්මතාවය (6.15) උල්ලංඝනය වී ඇත්නම්, අපි එය කියමු හිදී x = xo කාර්යය f(x) එයට තිබෙනවා පරතරය y = 1/x ශ්රිතය සලකා බලන්න. මෙම ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ වසම කට්ටලය වේ ආර් x = 0 හැර. ලක්ෂ්යය 0 අඩංගු ඕනෑම විවෘත පරතරයක, D(f) වෙතින් ලක්ෂ්‍ය ඇත, නමුත් එයම මෙම කට්ටලයට අයත් නොවේ. අගය f(x o)= f(0) අර්ථ දක්වා නැත, එබැවින් x o = 0 ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩතාවයක් ඇත.
f(x) ශ්රිතය හැඳින්වේ ලක්ෂ්යයේ දකුණු පස අඛණ්ඩවසීමාව නම් x o
,
සහ ලක්ෂ්යයේ වම් පසින් අඛණ්ඩව x o, සීමාව නම්
ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක අඛණ්ඩ පැවැත්ම xoමෙම ස්ථානයේ දකුණට සහ වමට යන දෙකටම එහි අඛණ්ඩ පැවැත්මට සමාන වේ.
කාර්යය ලක්ෂ්‍යයක අඛණ්ඩව පැවතීම සඳහා xo, උදාහරණයක් ලෙස, දකුණු පසින්, පළමුව, සීමිත සීමාවක් තිබිය යුතු අතර, දෙවනුව, මෙම සීමාව f(x o) ට සමාන විය යුතුය. එබැවින්, අවම වශයෙන් මෙම කොන්දේසි දෙකෙන් එකක්වත් සපුරා නොමැති නම්, ශ්‍රිතයට විරාමයක් ඇත.
1. සීමාව පවතින්නේ නම් සහ f(x o) ට සමාන නොවේ නම්, ඔවුන් එය කියයි කාර්යය f(x) ලක්ෂ්යයේ x o ඇත පළමු වර්ගයේ කැඩීම,හෝ පිම්ම.
2. සීමාව නම්+∞ හෝ -∞ හෝ නොපවතියි, එවිට ඔවුන් එය කියයි ලක්ෂ්යය xo ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩ පැවැත්මක් ඇත දෙවන වර්ගයේ.
උදාහරණයක් ලෙස, ශ්රිතය y = cot x at x→ +0 ට +∞ ට සමාන සීමාවක් ඇත, එයින් අදහස් වන්නේ x=0 ලක්ෂ්යයේ එය දෙවන ආකාරයේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් ඇති බවයි. ශ්රිතය y = E(x) (හි පූර්ණ සංඛ්යා කොටස x) සම්පූර්ණ abscissas සහිත ලක්ෂ්යවල පළමු ආකාරයේ විරාමයන් ඇත, නැතහොත් පැනීම.
අන්තරයේ සෑම ලක්ෂයකම අඛණ්ඩව පවතින ශ්රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ අඛණ්ඩවී. අඛණ්ඩ ශ්රිතයක් ඝන වක්‍රයකින් නිරූපණය කෙරේ.
යම් ප්‍රමාණයක අඛණ්ඩ වර්ධනය හා සම්බන්ධ බොහෝ ගැටලු දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට හේතු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, එවැනි කාර්යයන් ඇතුළත් වේ: සංයුක්ත පොලී නීතියට අනුව තැන්පතු වර්ධනය, රටේ ජනගහනයේ වර්ධනය, විකිරණශීලී ද්රව්ය ක්ෂය වීම, බැක්ටීරියා පැතිරීම, ආදිය.
අපි සලකා බලමු Ya I. Perelman ගේ උදාහරණය, අංකය පිළිබඳ අර්ථකථනයක් ලබා දීම ඊඒකාබද්ධ පොලී ගැටලුව තුළ. අංකය ඊසීමාවක් තිබේ 
. ඉතුරුම් බැංකුවල වාර්ෂිකව ස්ථාවර ප්රාග්ධනයට පොලී මුදල් එකතු වේ. ප්රවේශය බොහෝ විට සිදු කරන්නේ නම්, පොලී ගොඩනැගීමට විශාල මුදලක් සම්බන්ධ වන බැවින් ප්‍රාග්ධනය වේගයෙන් වර්ධනය වේ. අපි තනිකරම න්යායික, ඉතා සරල උදාහරණයක් ගනිමු. ප්‍රතික්ෂේප කරන්නන් 100ක් බැංකුවේ තැන්පත් කරමු. ඒකක වාර්ෂිකව 100% මත පදනම්ව. වසරකට පසුව පමණක් ස්ථාවර ප්රාග්ධනයට පොලී මුදල් එකතු කරන්නේ නම්, මෙම කාලය වන විට 100 den. ඒකක මුදල් ඒකක 200 ක් බවට පත් වනු ඇත. දැන් අපි බලමු 100 denize එක මොකක්ද වෙන්නේ කියලා. ඒකක, සෑම මාස හයකට වරක් ස්ථාවර ප්රාග්ධනයට පොලී මුදල් එකතු කරන්නේ නම්. මාස හයකට පසු, 100 den. ඒකක 100 දක්වා වර්ධනය වනු ඇත×
1.5 = 150, සහ තවත් මාස හයකට පසු - 150 දී×
1.5 = 225 (ඩෙන්. ඒකක). ප්රවේශය සෑම වසර 1/3 කට වරක් සිදු කරන්නේ නම්, වසරකට පසුව 100 den. ඒකක 100 බවට හැරෙනු ඇත× (1 +1/3) 3 " 237 (ඩෙන්. ඒකක). අපි පොලී මුදල් එකතු කිරීමේ කොන්දේසි වසර 0.1 ට, වසර 0.01 ට, වසර 0.001 ට යනාදිය වැඩි කරන්නෙමු. එතකොට ගුහා 100 න්. ඒකක වසරකට පසු එය වනු ඇත:
100 × (1 +1/10) 10 »259 (ඩෙන්. ඒකක),
100 × (1+1/100) 100 »270 (ඩෙන්. ඒකක),
100 × (1+1/1000) 1000 »271 (ඩෙන්. ඒකක).
පොලී එකතු කිරීමේ කොන්දේසි අසීමිත ලෙස අඩු කිරීමත් සමඟ, සමුච්චිත ප්‍රාග්ධනය දින නියමයක් නොමැතිව වර්ධනය නොවේ, නමුත් ආසන්න වශයෙන් 271 ට සමාන යම් සීමාවකට ළඟා වේ. වසරකට 100% බැගින් තැන්පත් කරන ලද ප්‍රාග්ධනය උපචිත පොලිය වුවද, 2.71 ගුණයකින් වැඩි කළ නොහැක. සීමාව නිසා සෑම තත්පරයකම අගනුවරට එකතු විය
උදාහරණ 3.1.සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක සීමාවේ නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, x n =(n-1)/n අනුපිළිවෙලට 1 ට සමාන සීමාවක් ඇති බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.මොනවා වුණත් අපි ඒක ඔප්පු කරන්න ඕනε > 0, අපි කුමක් ගත්තත්, ඒ සඳහා N ස්වාභාවික අංකයක් ඇත, එය සියලු n N සඳහා අසමානතාවය රඳවා ගනී.|x n -1|< ε.
අපි ඕනෑම e > 0 ගනිමු. සිට ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, එවිට N සොයා ගැනීමට එය අසමානතාවය 1/n විසඳීමට ප්රමාණවත් වේ.< ඊ. එබැවින් n>1/ ඉ එබැවින්, N 1/ හි පූර්ණ සංඛ්යා කොටසක් ලෙස ගත හැක. e , N = E(1/ e ) සීමාව බව අපි එමගින් ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.
උදාහරණය 3.2
. පොදු පදයකින් ලබා දෙන අනුපිළිවෙලක සීමාව සොයන්න 
.
විසඳුමක්.එකතු ප්‍රමේයයයේ සීමාව යොදමින් එක් එක් පදයේ සීමාව සොයා ගනිමු. විට එන්→ ∞ එක් එක් පදයේ සංඛ්යාව සහ හරය අනන්තය වෙත නැඹුරු වන අතර, අපට ප්‍රමාණාත්මක සීමාව ප්රමේයය කෙලින්ම යෙදිය නොහැක. එමනිසා, පළමුව අපි පරිවර්තනය කරමු x n, පළමු පදයේ අංකනය සහ හරය බෙදීම n 2, සහ දෙවැන්න මත n. ඉන්පසුව, ඓක්‍ය ප්‍රමේයයයේ සීමාව සහ ප්‍රමාණයේ සීමාව යෙදීමෙන්, අපි සොයා ගන්නේ:
.
උදාහරණ 3.3. 
. සොයන්න .
විසඳුමක්. 
.
මෙහිදී අපි අංශක ප්‍රමේයයේ සීමාව භාවිතා කළෙමු: උපාධියක සීමාව පාදයේ සීමාවේ ප්‍රමාණයට සමාන වේ.
උදාහරණය 3.4
. සොයන්න ( 
).
විසඳුමක්.අපට පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බැවින් වෙනස ප්‍රමේයයයේ සීමාව යෙදිය නොහැක ∞-∞ . සාමාන්ය පදයේ සූත්‍රය පරිවර්තනය කරමු:
.
උදාහරණය 3.5 . f(x)=2 1/x ශ්රිතය ලබා දී ඇත. සීමාවක් නොමැති බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.අනුපිළිවෙලක් හරහා ශ්රිතයක සීමාවේ අර්ථ දැක්වීම 1 භාවිතා කරමු. අපි 0 ට අභිසාරී වන (x n) අනුපිළිවෙලක් ගනිමු, i.e. f(x n)= අගය විවිධ අනුපිළිවෙලවල් සඳහා වෙනස් ලෙස හැසිරෙන බව පෙන්වමු. x n = 1/n කරමු. පැහැදිලිවම, එවිට සීමාව 
අපි දැන් තෝරා ගනිමු x n x n = -1/n යන පොදු පදයක් සහිත අනුපිළිවෙලක්, ශුන්‍යයට ද නැඹුරු වේ. 
එබැවින් සීමාවක් නොමැත.
උදාහරණය 3.6 . සීමාවක් නැති බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.x 1 , x 2 ,..., x n ,... අනුපිළිවෙලක් වීමට ඉඩ දෙන්න
. විවිධ x n → ∞ සඳහා අනුපිළිවෙල (f(x n)) = (sin x n) හැසිරෙන්නේ කෙසේද?
x n = p n නම්, sin x n = sin p සියල්ල සඳහා n = 0 nසහ සීමාව නම්
x n =2 p n+ p /2, පසුව sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 සියල්ල සඳහා nඑබැවින් සීමාව. එබැවින් එය නොපවතී.
මාර්ගගත සීමාවන් ගණනය කිරීම සඳහා Widget
ඉහළ කවුළුවෙහි, sin(x)/x වෙනුවට, ඔබට සොයා ගැනීමට අවශ්ය සීමාවෙහි ශ්රිතය ඇතුළත් කරන්න. පහළ කවුළුවෙහි, x නැඹුරු වන අංකය ඇතුළත් කර කැල්කියුලර් බොත්තම ක්ලික් කරන්න, අපේක්ෂිත සීමාව ලබා ගන්න. තවද ප්‍රතිඵල කවුළුවේ ඔබ ඉහළ දකුණු කෙළවරේ ඇති Show පියවර මත ක්ලික් කළහොත් ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත.
ශ්රිත ඇතුළත් කිරීමේ රීති: වර්ග මූලය, cbrt(x) - ඝන මූල, එක්ස්ප්(x) - ඝාතකය, ln(x) - ස්වභාවික ලඝුගණකය, sin(x) - සයින්, cos(x) - cosine, tan (x) - ස්පර්ශක, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. සංඥා: * ගුණ කිරීම, / බෙදීම, ^ ඝාතය, ඒ වෙනුවට අනන්තයඅනන්තය. උදාහරණය: ශ්රිතය sqrt(tan(x/2)) ලෙස ඇතුලත් කර ඇත.
කාර්යය y = f (x) X කුලකයේ x එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය Y කුලකයේ y එක් මූලද්‍රව්‍යයක් සමඟ පමණක් සම්බන්ධ වන නීතියක් (නීතිය) වේ.
මූලද්රව්යය x ∈ Xකියලා කාර්යය තර්කයහෝ ස්වායක්ත විචල්යය.
මූලද්රව්යය y ∈ වයිකියලා කාර්යය අගයහෝ යැපෙන විචල්යය.
X කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයේ වසම.
මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලය y ∈ වයි X කට්ටලයේ පූර්ව රූප ඇති , ලෙස හැඳින්වේ ප්රදේශය හෝ ශ්රිත අගයන් කට්ටලයක්.
සැබෑ ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ ඉහලින් සීමා කර ඇත (පහළින්), අසමානතාවය සියල්ලන්ටම පවතින M අංකයක් තිබේ නම්:
.
සංඛ්යා ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ සීමිතයි, සියල්ලන්ටම එවැනි M අංකයක් තිබේ නම්:
.
ඉහළ කෙළවරහෝ හරියටම ඉහළ සීමාවසැබෑ ශ්රිතයක් එහි ඉහල සිට අගයන් පරාසය සීමා කරන කුඩාම සංඛ්යාව ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය සෑම කෙනෙකුටම සහ ඕනෑම කෙනෙකුට, ශ්රිත අගය s′: ඉක්මවන තර්කයක් පවතින සංඛ්යා වේ.
ශ්රිතයක ඉහල මායිම පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.
පිළිවෙළින් පහළ කෙළවරහෝ හරියටම අඩු සීමාවසැබෑ ශ්රිතයක් එහි අගයන් පරාසය පහතින් සීමා කරන විශාලතම සංඛ්යාව ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය i අංකයක් වන අතර, සෑම කෙනෙකුටම සහ ඕනෑම කෙනෙකුට, i′: ට වඩා අඩු ක්‍රියාකාරී අගයක් ඇති තර්කයක් ඇත.
ශ්රිතයක infimum පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.
ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
Cauchy අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
අවසාන ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයේ සීමිත සීමාවන්
ලක්ෂ්යය හැර, අවසාන ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. යම් අවස්ථාවක දී එවැනි දෙයක් තිබේ නම්, මත පදනම්ව, සියලු x සඳහා අසමානතාවය පවතී
.
ශ්රිතයක සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ.
.
හෝ හිදී.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.
ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්.
ලක්ෂ්‍යයක වම් සීමාව (වම් පැත්තේ සීමාව):
.
ලක්ෂ්‍යයක දකුණු සීමාව (දකුණු අත සීමාව):
.
වම් සහ දකුණු සීමාවන් බොහෝ විට පහත පරිදි දැක්වේ:
;
.
අනන්තයේ ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයක පරිමිත සීමාවන්
අනන්තයේ ලක්ෂ්යවල සීමාවන් සමාන ආකාරයකින් තීරණය වේ.
.
.
.
ඒවා බොහෝ විට හඳුන්වනු ලබන්නේ:
;
;
.
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කිරීම
අපි ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙන්නේ නම්, අපට සීමිත හා අපරිමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයක සීමිත සීමාව පිළිබඳ ඒකාබද්ධ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැකිය:
.
මෙහි අවසාන ලක්ෂ්‍ය සඳහා
;
;
.
අනන්තයේ ඇති ඕනෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් සිදුරු කර ඇත:
;
;
.
අසීමිත කාර්ය සීමාවන්
අර්ථ දැක්වීම
ලක්ෂ්‍යයක යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න (පරිමිත හෝ අනන්තය). ශ්රිතයේ සීමාව f (x) x → x ලෙස 0
අනන්තයට සමාන වේ, කිසියම් අත්තනෝමතික විශාල සංඛ්යාවක් සඳහා නම් M > 0
, δ M අංකයක් ඇත > 0
, M මත පදනම්ව, සිදුරු කරන ලද δ M - ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි සියලුම x සඳහා: , පහත අසමානතාවය පවතී:
.
අසීමිත සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ:
.
හෝ හිදී.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයක අසීමිත සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.
ඔබට සමාන සමහර සලකුණු වල අනන්ත සීමාවන් පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම් හඳුන්වා දිය හැකිය:
.
.
ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ විශ්වීය අර්ථ දැක්වීම
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කරමින්, අපට ශ්රිතයක පරිමිත සහ අසීමිත සීමාව පිළිබඳ විශ්වීය නිර්වචනයක් ලබා දිය හැකිය, එය සීමිත (ද්වි-පාර්ශ්වික සහ ඒකපාර්ශ්වික) සහ අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්‍ය සඳහා අදාළ වේ:
.
Heine අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
ශ්රිතය යම් X: කට්ටලයක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න.
a අංකය ශ්රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේස්ථානයේ:
,
x වෙත අභිසාරී වන කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් 0
:
,
එහි මූලද්‍රව්‍ය X කාණ්ඩයට අයත් වේ: ,
.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතයෙන් අපි මෙම නිර්වචනය ලියන්නෙමු:
.
අපි x ලක්ෂ්යයේ වම් පැත්තේ අසල්වැසි X කට්ටලයක් ලෙස ගත්තොත් 0 , එවිට අපි වම් සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු. එය දකුණු අත නම්, අපට නිවැරදි සීමාව පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම ලැබේ. අපි අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි X කට්ටලයක් ලෙස ගත්තොත්, අපි අනන්තයේ ශ්රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු.
ප්රමේයය
ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ Cauchy සහ Heine අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ.
සාක්ෂි
ශ්රිතයක සීමාවේ ගුණ සහ ප්රමේය
තවද, අපි සලකා බලන කාර්යයන් පරිමිත අංකයක් හෝ සංකේත වලින් එකක් වන ලක්ෂ්යයේ අනුරූප අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ අර්ථ දක්වා ඇති බව උපකල්පනය කරමු: . එය ඒකපාර්ශ්වික සීමා ලක්ෂ්‍යයක් ද විය හැකිය, එනම් පෝරමය තිබීම හෝ . අසල්වැසි සීමාව සඳහා ද්වි-පාර්ශ්වික සීමාව සඳහා ද්වි-පාර්ශ්වික සහ ඒක පාර්ශවීය සීමාව සඳහා එක් පැත්තකි.
මූලික ගුණාංග
ශ්රිතයේ අගයන් f නම් (x) x සීමිත ලකුණු සංඛ්යාවක් වෙනස් කරන්න (හෝ නිර්වචනය නොකළ කරන්න). 1, x 2, x 3, ... x n, එවිට මෙම වෙනස අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ සීමාවේ පැවැත්මට සහ අගයට බලපාන්නේ නැත x 0 .
සීමිත සීමාවක් තිබේ නම්, x ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත 0
, ශ්රිතය f (x)සීමිත:
.
ශ්රිතය x ලක්ෂයේ තිබෙන්නට හරින්න 0
සීමිත-ශුන්ය නොවන සීමාව:
.
එවිට, අන්තරයේ සිට c ඕනෑම අංකයක් සඳහා, x ලක්ෂ්යයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත. 0
කුමක් සඳහා ද,
, නම් ;
, නම් .
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක, , නියතයක් නම්, එවිට .
x ලක්ෂ්යයේ සීමිත සීමාවන් සහ සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම් 0
,
එම .
නම්, සහ ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක
,
එම .
විශේෂයෙන්ම, යම් ලක්ෂයක අසල්වැසි ප්රදේශයක නම්
,
එවිට නම්, එසේ නම් සහ;
එසේ නම් සහ .
x ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක නම් 0
:
,
සහ සීමිත (හෝ යම් ලකුණක අනන්ත) සමාන සීමාවන් ඇත:
, එම
.
ප්රධාන දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"ශ්රිතයක සීමාවන්හි මූලික ගුණාංග."
ශ්රිතයක සීමාවේ අංක ගණිතමය ගුණ
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිත සහ අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. තවද සීමිත සීමාවන් තිබිය යුතුය:
සහ .
C නියතයක්, එනම් දී ඇති අංකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු
;
;
;
, නම් .
එසේ නම්.
අංක ගණිතමය ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"ශ්රිතයක සීමාවන්හි අංක ගණිතමය ගුණාංග".
ශ්රිතයක සීමාවක පැවැත්ම සඳහා Cauchy නිර්ණායකය
ප්රමේයය
පරිමිත හෝ අනන්ත ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති ශ්රිතයක් සඳහා 0
, මෙම අවස්ථාවේදී සීමිත සීමාවක් තිබුණි, එය ඕනෑම ε සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ > 0
x ලක්ෂයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් විය 0
, ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා සහ මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් පහත අසමානතාවය පවතින බව:
.
සංකීර්ණ කාර්යයක සීමාව
සීමාව ප්රමේයය සංකීර්ණ කාර්යය
ශ්‍රිතයට සීමාවක් තිබිය යුතු අතර ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු වූ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් සිතියම්ගත කරන්න. මෙම අසල්වැසි ප්රදේශය මත ශ්රිතය නිර්වචනය කර එයට සීමාවක් තබා ගන්න.
මෙන්න අවසාන හෝ අසීමිත දුරස්ථ කරුණු: . අසල්වැසි සහ ඒවාට අනුරූප සීමාවන් ද්වි-පාර්ශ්වික හෝ ඒකපාර්ශ්වික විය හැකිය.
එවිට සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමාවක් ඇති අතර එය සමාන වේ:
.
සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමා ප්රමේයය අදාළ වන්නේ ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතය අර්ථ දක්වා නොමැති විට හෝ සීමාවට වඩා වෙනස් අගයක් ඇති විටය. මෙම ප්රමේයය යෙදීම සඳහා, ශ්රිතයේ අගයන් සමූහයේ ලක්ෂ්යය අඩංගු නොවන ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබිය යුතුය:
.
ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතය අඛණ්ඩව පවතී නම්, එවිට සීමාව ලකුණ තර්කයට යෙදිය හැක අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය:
.
පහත දැක්වෙන්නේ මෙම අවස්ථාවට අනුරූප වන ප්‍රමේයයකි.
ශ්රිතයක අඛණ්ඩ ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ ප්රමේයය
g ශ්රිතයේ සීමාවක් තියමු (ටී) t → t ලෙස 0
, සහ එය x ට සමාන වේ 0
:
.
මෙන්න ටී ලක්ෂ්යය 0
සීමිත හෝ අනන්ත දුරස්ථ විය හැක: .
සහ f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න (x) x ලක්ෂයේ අඛණ්ඩ වේ 0
.
එවිට සංකීර්ණ ශ්රිතයේ සීමාවක් ඇත f (g(t)), සහ එය f ට සමාන වේ (x0):
.
ප්‍රමේයවල සාධනය පිටුවේ දක්වා ඇත
"සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමාව සහ අඛණ්ඩතාව".
අපරිමිත හා අසීමිත විශාල කාර්යයන්
අපරිමිත කාර්යයන්
අර්ථ දැක්වීම
ශ්රිතයක් නම් අනන්තයැයි කියනු ලැබේ
.
එකතුව, වෙනස සහ නිෂ්පාදනයහි අපරිමිත ශ්‍රිතවල සීමිත සංඛ්‍යාවක අපරිමිත ශ්රිතයක් වේ.
සීමා වූ ශ්රිතයක නිෂ්පාදනයක්ලක්ෂ්‍යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත, දී අපරිමිත සූත්‍රයකට අපරිමිත ශ්රිතයක් වේ.
ශ්‍රිතයකට සීමිත සීමාවක් තිබීම සඳහා, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ
,
හි අපරිමිත ශ්රිතයක් කොහෙද.
"අපරිමිත ශ්‍රිතවල ගුණ".
අනන්ත විශාල කාර්යයන්
අර්ථ දැක්වීම
ශ්රිතයක් නම් අනන්තවත් විශාල යැයි කියනු ලැබේ
.
එකතුව හෝ වෙනස සීමිත කාර්යය, ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත, සහ හි අපරිමිත විශාල ශ්රිතයක් හිදී අසීමිත විශාල ශ්රිතයක් වේ.
සඳහා ශ්රිතය අනන්තවත් විශාල නම් සහ ශ්රිතය ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට සීමා වී තිබේ නම්, එවිට
.
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්:
,
සහ ශ්රිතය අසීමිත වේ:
, සහ (ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක), පසුව
.
දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි කොටසේ ඉදිරිපත් කර ඇත
"අසීමිත විශාල ශ්‍රිතවල ගුණ".
අසීමිත විශාල සහ අසීමිත ශ්රිත අතර සම්බන්ධය
පෙර ගුණාංග දෙකෙන් අපරිමිත විශාල සහ අසීමිත ශ්රිත අතර සම්බන්ධය අනුගමනය කරයි.
ශ්රිතයක් අසීමිත ලෙස විශාල නම්, එම ශ්රිතය හිදී අනන්තය.
සහ සඳහා ශ්රිතයක් අනන්තය නම්, ශ්රිතය සඳහා අනන්ත විශාල වේ.
අපරිමිත හා අසීමිත විශාල ශ්රිතයක් අතර සම්බන්ධය සංකේතාත්මකව ප්‍රකාශ කළ හැක:
,
.
අපරිමිත ශ්‍රිතයකට නිශ්චිත ලකුණක් තිබේ නම්, එනම්, ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක එය ධනාත්මක (හෝ සෘණ) වේ නම්, මෙම කරුණ පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය:
.
එලෙසම, අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයකට යම් ලකුණක් තිබේ නම්, ඔවුන් මෙසේ ලියයි.
.
එවිට අනන්ත සහ අනන්ත අතර සංකේතාත්මක සම්බන්ධය විශිෂ්ට ලක්ෂණපහත සම්බන්ධතා සමඟ අතිරේක කළ හැක:
,
,
,
.
අනන්ත සංකේත සම්බන්ධ අමතර සූත්ර පිටුවෙන් සොයාගත හැකිය
"අනන්තයේ ලකුණු සහ ඒවායේ ගුණාංග."
ඒකාකාරී ක්රියාකාරිත්වයේ සීමාවන්
අර්ථ දැක්වීම
X තාත්වික සංඛ්යා සමූහයක අර්ථ දක්වා ඇති ශ්රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ දැඩි ලෙස වැඩි කිරීම, එවැනි සියල්ල සඳහා පහත අසමානතාවය පවතින්නේ නම්:
.
ඒ අනුව, සඳහා දැඩි ලෙස අඩු කිරීමකාර්යය පහත අසමානතාවය පවත්වා ගනී:
.
සදහා අඩු නොවන:
.
සදහා වැඩි නොවන:
.
දැඩි ලෙස වැඩි වන කාර්යයක් ද අඩු නොවන බව එයින් කියවේ. දැඩි ලෙස අඩු වන ශ්රිතයක් ද වැඩි නොවේ.
කාර්යය ලෙස හැඳින්වේ ඒකාකාරී, එය අඩු නොවන හෝ වැඩි නොවන නම්.
ප්රමේයය
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න.
එය M අංකයෙන් ඉහළින් මායිම් කර ඇත්නම්: සීමිත සීමාවක් ඇත. ඉහත සිට සීමා නොවේ නම්, එසේ නම් .
එය m අංකයෙන් පහතින් සීමා කර ඇත්නම්: එවිට සීමිත සීමාවක් ඇත. පහතින් සීමා නොවේ නම්, එසේ නම් .
ලක්ෂ්‍ය a සහ b අනන්තයේ නම්, ප්‍රකාශනවල සීමා සලකුණු වලින් අදහස් වන්නේ .
මෙම ප්රමේයය වඩාත් සංයුක්තව සකස් කළ හැක.
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න. එවිට a සහ b ලක්ෂ්යවල ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් ඇත:
;
.
වැඩි නොවන ශ්රිතයක් සඳහා සමාන ප්‍රමේයයක්.
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය වැඩි නොවීමට ඉඩ හරින්න. එවිට ඒක පාර්ශවීය සීමාවන් ඇත:
;
.
ප්‍රමේයයේ සාක්ෂි පිටුවේ ඉදිරිපත් කර ඇත
"ඒකාකාරී ශ්‍රිතවල සීමාවන්".
යොමු:
එල්.ඩී. Kudryavtsev. ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව. වෙළුම 1. මොස්කව්, 2003.
සෙමී. නිකොල්ස්කි. ගණිතමය විශ්ලේෂණ පාඨමාලාව. වෙළුම 1. මොස්කව්, 1983.
මාතෘකාව 4.6 සීමාවන් ගණනය කිරීම
ශ්රිතයක සීමාව එය සීමා ලක්ෂ්‍යයේදී අර්ථ දක්වා තිබේද නැද්ද යන්න මත රඳා නොපවතී. නමුත් මූලික ශ්‍රිතවල සීමාවන් ගණනය කිරීමේ පරිචයේ දී මෙම තත්ත්වය සැලකිය යුතු වැදගත්කමක් දරයි.
1. ශ්රිතය ප්‍රාථමික නම් සහ තර්කයේ සීමාකාරී අගය එහි අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් වන්නේ නම්, ශ්රිතයේ සීමාව ගණනය කිරීම තර්කයේ සීමිත අගයේ සරල ආදේශනයකට අඩු කරනු ලැබේ, මන්ද සීමාව මූලික කාර්යය f(x) at x උත්සාහ කරනවාඒ , අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙහි ඇතුළත් වන, x = හි ශ්රිතයේ අර්ධ අගයට සමාන වේ ඒ, i.e. ලිම් f(x)=f( ඒ) .
2. නම් x අනන්තයට නැඹුරු වේහෝ තර්කය ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් නොවන සංඛ්යාවක් වෙත නැඹුරු වේ, එවිට එවැනි එක් එක් අවස්ථාවෙහිදී, ශ්රිතයේ සීමාව සොයා ගැනීම සඳහා විශේෂ පර්යේෂණ අවශ්ය වේ.
සූත්ර ලෙස භාවිතා කළ හැකි සීමාවන්ගේ ගුණ මත පදනම් වූ සරලම සීමාවන් පහත දැක්වේ.
තව සංකීර්ණ අවස්ථාශ්‍රිතයක සීමාව සොයා ගැනීම:
එක් එක් වෙන වෙනම සලකා බලනු ලැබේ.
මෙම කොටස අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීමට ප්රධාන මාර්ග ගෙනහැර දක්වයි.
1. අවස්ථාව x උත්සාහ කරනවාඒ f(x) ශ්රිතය නියෝජනය කරන්නේ අපරිමිත ප්‍රමාණ දෙකක අනුපාතයයි
a) පළමුව ඔබ ශ්රිතයේ සීමාව සෘජු ආදේශනයකින් සොයාගත නොහැකි බවට වග බලා ගත යුතු අතර, තර්කයේ දක්වා ඇති වෙනස සමඟ, එය අපරිමිත ප්‍රමාණ දෙකක අනුපාතය නියෝජනය කරයි. 0 ට නැඹුරු වන සාධකයක් මගින් භාගය අඩු කිරීම සඳහා පරිවර්තනයන් සිදු කරනු ලැබේ. ශ්රිතයක සීමාවේ නිර්වචනයට අනුව, තර්කය x එහි සීමාව අගයට නැඹුරු වේ, එය කිසි විටෙකත් සමපාත නොවේ.
සාමාන්යයෙන්, අපි ශ්රිතයක සීමාව සොයන්නේ නම් x උත්සාහ කරනවාඒ , එවිට x අගයක් නොගන්නා බව ඔබ මතක තබා ගත යුතුය ඒ, i.e. x a ට සමාන නොවේ.
b) Bezout ගේ ප්රමේයය යොදනු ලැබේ. ඔබ සොයන්නේ නම් x = සීමාව ලක්ෂ්‍යයේදී අතුරුදහන් වන සංඛ්යාව සහ හරය බහුපද වන භාගයක සීමාව ඒ, ඉහත ප්‍රමේයයට අනුව බහුපද දෙකම x- මගින් බෙදිය හැකිය. ඒ.
ඇ) සංඛ්යාංකයේ හෝ හරයේ ඇති අතාර්කිකත්වය අතාර්කික ප්‍රකාශනයට සංයුජයෙන් සංඛ්යාව හෝ හරය ගුණ කිරීමෙන් විනාශ වේ, පසුව සරල කිරීමෙන් පසු භාගය අඩු වේ.
ඈ) 1 වන කැපී පෙනෙන සීමාව (4.1) භාවිතා වේ.
ඉ) අනන්තයන්හි සමානාත්මතාවය පිළිබඳ ප්රමේයය සහ පහත සඳහන් මූලධර්ම භාවිතා කරනු ලැබේ:
2. විට නඩුව x උත්සාහ කරනවාඒ f(x) ශ්රිතය නියෝජනය කරන්නේ අනන්ත විශාල ප්‍රමාණ දෙකක අනුපාතයයි
අ) භාගයක සංඛ්යාව සහ හරය නොදන්නා ඉහළම බලයෙන් බෙදීම.
b) පොදුවේ, ඔබට රීතිය භාවිතා කළ හැකිය
3. විට නඩුව x උත්සාහ කරනවාඒ f (x) ශ්රිතය අසීමිත කුඩා ප්‍රමාණයක සහ අසීමිත විශාල ප්‍රමාණයක ගුණිතය නියෝජනය කරයි.
භාගය 0 හෝ අනන්තය වෙත එකවර නැඹුරු වන ආකාරයක් බවට පරිවර්තනය වේ. නඩුව 3 නඩුව 1 හෝ නඩුව 2 දක්වා අඩු කරයි.
4. විට නඩුව x උත්සාහ කරනවාඒ f (x) ශ්රිතය ධන අනන්ත විශාල ප්‍රමාණ දෙකක වෙනස නියෝජනය කරයි
මෙම නඩුව පහත ක්‍රමවලින් එකකින් 1 හෝ 2 වර්ගයට අඩු කර ඇත:
a) භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒම;
b) ශ්රිතයක් භාගයකට පරිවර්තනය කිරීම;
ඇ) අතාර්කිකත්වයෙන් මිදීම.
5. විට නඩුව x උත්සාහ කරනවාඒ f(x) ශ්රිතය නියෝජනය කරන්නේ පාදය 1 ට සහ ඝාතය අනන්තයට නැඹුරු වන බලයකි.
2 වැනි කැපී පෙනෙන සීමාව (4.2) භාවිතා කරන ආකාරයට ශ්රිතය පරිවර්තනය වේ.
උදාහරණයක්.සොයන්න 
.
නිසා x 3 වෙත නැඹුරු වේ, එවිට භාගයේ සංඛ්යාංකය 3 2 +3 *3+4=22 අංකයට නැඹුරු වන අතර හරය 3+8=11 අංකයට නැඹුරු වේ. එබැවින්,
උදාහරණයක්
මෙහි භාගයේ සංඛ්යා සහ හරය වේ x 2 වෙත නැඹුරු වේ 0 ට නැඹුරු (වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවය), අපි සංඛ්යාව සහ හරය සාධකකරණය කරමු, අපට lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) ලැබේ
උදාහරණයක්
සංඛ්‍යාංකයට සංයෝජන ප්‍රකාශනයෙන් සංඛ්යා සහ හරය ගුණ කිරීම, අපට ඇත්තේ
සංඛ්යාංකයේ වරහන් විවෘත කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
උදාහරණයක්
2 මට්ටම. උදාහරණයක්. ආර්ථික ගණනය කිරීම් වලදී ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ සංකල්පය යෙදීම පිළිබඳ උදාහරණයක් අපි දෙන්නෙමු. අපි සාමාන්ය මූල්ය ගනුදෙනුවක් සලකා බලමු: මුදලක් ණයට දීම එස් 0 කාල සීමාවකට පසුව යන කොන්දේසිය සමඟ ටීමුදල ආපසු දෙනු ලැබේ එස් ටී. අගය තීරණය කරමු ආර් සාපේක්ෂ වර්ධනයසූත්රය
r=(S T -S 0)/S 0 (1)
ලැබෙන අගය ගුණ කිරීමෙන් සාපේක්ෂ වර්ධනය ප්‍රතිශතයක් ලෙස දැක්විය හැක ආර් 100 කින්.
සූත්‍රයෙන් (1) අගය තීරණය කිරීම පහසුය එස් ටී:
එස් ටී= එස් 0 (1 + ආර්)
කිහිපයක් ආවරණය වන දිගු කාලීන ණය ගණනය කිරීමේදී සම්පූර්ණ වසර, සංයුක්ත පොලී යෝජනා ක්රමය භාවිතා කරන්න. එය 1 වන වසර සඳහා නම් එම මුදල සමන්විත වේ එස් 0 (1 +) දක්වා වැඩි වේ ආර්) වාර, පසුව දෙවන වසර සඳහා (1 + ආර්) එකතුව වැඩි වන වාර ගණන එස් 1 = එස් 0 (1 + ආර්), එනම් එස් 2 = එස් 0 (1 + ආර් 2 . එය ඒ හා සමානව හැරෙනවා එස් 3 = එස් 0 (1 + ආර් 3 . ඉහත උදාහරණ වලින් කෙනෙකුට නිගමනය කළ හැකිය සාමාන්ය සූත්රයසඳහා වන මුදල වැඩිවීම ගණනය කිරීමට nසංයුක්ත පොලී යෝජනා ක්රමය භාවිතයෙන් ගණනය කරන විට වසර:
එස් එන්= එස් 0 (1 + ආර්) n.
මූල්ය ගණනය කිරීම් වලදී, වසරකට කිහිප වතාවක් සංයුක්ත පොලී ගණනය කරනු ලබන යෝජනා ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවේ දී එය නියම කර ඇත වාර්ෂික අනුපාතය ආර්සහ වසරකට උපචිත සංඛ්යාව කේ. රීතියක් ලෙස, උපචිත සමාන කාල පරතරයකින් සිදු කරනු ලැබේ, එනම්, එක් එක් පරතරයේ දිග Tkවසරේ කොටසක් සාදයි. ඉන්පසු කාල සීමාව සඳහා ටීඅවුරුදු (මෙහි ටීඅවශ්යයෙන්ම පූර්ණ සංඛ්යාවක් නොවේ) ප්රමාණය එස් ටීසූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ
(2)
උදාහරණයක් ලෙස, අංකය සමඟම සමපාත වන අංකයේ පූර්ණ සංඛ්යා කොටස කොහිද? ටී? පූර්ණ සංඛ්යාව.
වාර්ෂික අනුපාතයට ඉඩ දෙන්න ආර්සහ නිෂ්පාදනය කරනු ලැබේ nනියමිත කාල පරාසයන් තුළ වසරකට උපචිත. එවිට වසර සඳහා මුදල එස් 0 සූත්‍රය මගින් තීරණය කරන අගයකට වැඩි වේ
(3)
තුල න්යායික විශ්ලේෂණයසහ මූල්ය ක්‍රියාකාරකම්වල භාවිතයේදී "අඛණ්ඩව උපචිත පොලී" යන සංකල්පය බොහෝ විට හමු වේ. අඛණ්ඩව උපචිත පොලී වෙත යාමට, ඔබ පිළිවෙලින් අංක (2) සහ (3) සූත්‍රවල දින නියමයක් නොමැතිව වැඩි කළ යුතුය. කේසහ n(එනම් අධ්‍යක්ෂණය කිරීමට කේසහ nඅනන්තය දක්වා) සහ කාර්යයන් කුමන සීමාවකට නැඹුරු වේද යන්න ගණනය කරන්න එස් ටීසහ එස් 1. මෙම ක්‍රියා පටිපාටිය සූත්‍රයට (3) යොදමු:
කැරලි වරහන් වල සීමාව දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව සමග සමපාත වන බව සලකන්න. එය වාර්ෂික අනුපාතයකින් එය අනුගමනය කරයි ආර්අඛණ්ඩව උපචිත පොලිය සමඟ, මුදල එස්වසර 1 කින් 0 අගය වැඩි වේ එස් 1 *, එය සූත්‍රයෙන් තීරණය වේ
එස් 1 * = එස් 0 ඊ ආර් (4)
දැන් එකතුව දෙන්න එස් 0 පොලී උපචිත ණයක් ලෙස ලබා දේ nවසරකට වරක් නියමිත කාල පරාසයන් තුළ. අපි සටහන් කරමු ආර් ඊවාර්ෂික අනුපාතය, වර්ෂය අවසානයේ මුදල එස් 0 අගයට වැඩි වේ එස් 1 * සූත්‍රයෙන් (4). මේ අවස්ථාවේ දී අපි එය කියන්නෙමු ආර් ඊ- මෙය වාර්ෂික පොලී අනුපාතය nවසරකට වරක්, වාර්ෂික පොලියට සමාන වේ ආර්අඛණ්ඩ උපචිත සමග.සූත්‍රයෙන් (3) අපි ලබා ගනිමු
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
අවසාන සූත්‍රයේ සහ සූත්‍රයේ (4) දකුණු පස සමාන කිරීම, පසුව උපකල්පනය කිරීම ටී= 1, අපට ප්‍රමාණ අතර සම්බන්ධතා ව්‍යුත්පන්න කළ හැක ආර්සහ ආර් ඊ:
මෙම සූත්ර මූල්ය ගණනය කිරීම් වලදී බහුලව භාවිතා වේ.
