භාග උදාහරණවල නිශ්චිත අනුකලනය. තාර්කික කාර්යයන් ඒකාබද්ධ කිරීම සහ අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය

තාර්කික ශ්‍රිතයක් යනු පෝරමයේ කොටසකි, එහි සංඛ්‍යාව සහ හරය බහුපද හෝ බහුපදවල නිෂ්පාදන වේ.

උදාහරණ 1 පියවර 2

.

මෙම තනි කොටසෙහි නොමැති නමුත් ලබාගත් අනෙකුත් භාගවල ඇති බහුපද මගින් අපි අවිනිශ්චිත සංගුණක ගුණ කරමු:

අපි වරහන් විවෘත කර ලබාගත් ප්‍රකාශනයට ලැබුණු මුල් අනුකලනයේ සංඛ්‍යාව සමාන කරමු:

සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකෙහිම, අපි x හි එකම බල සහිත නියමයන් සොයමින් ඒවායින් සමීකරණ පද්ධතියක් සාදන්නෙමු:

.

අපි සියලුම x අවලංගු කර සමාන සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

.

මේ අනුව, සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය:

.

උදාහරණ 2 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

.

දැන් අපි අවිනිශ්චිත සංගුණක සෙවීමට පටන් ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ශ්‍රිත ප්‍රකාශනයේ මුල් භාගයේ සංඛ්‍යාංකය භාග එකතුව අඩු කිරීමෙන් පසු ලබාගත් ප්‍රකාශනයේ සංඛ්‍යාවට සමාන කරමු. පොදු හරය:

දැන් ඔබට සමීකරණ පද්ධතියක් නිර්මාණය කර විසඳා ගත යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි විචල්‍යයේ සංගුණක ශ්‍රිතයේ මුල් ප්‍රකාශනයේ සංඛ්‍යාවේ සුදුසු මට්ටමට සමාන කරමු සහ පෙර පියවරේදී ලබාගත් ප්‍රකාශනයේ සමාන සංගුණක:

ප්රතිඵලය වන පද්ධතිය අපි විසඳන්නෙමු:

ඉතින්, මෙතැන් සිට

.

උදාහරණය 3 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

අපි අවිනිශ්චිත සංගුණක සෙවීමට පටන් ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ශ්‍රිත ප්‍රකාශනයේ මුල් භාගයේ සංඛ්‍යාංකය භාග එකතුව පොදු හරයකට අඩු කිරීමෙන් පසු ලබාගත් ප්‍රකාශනයේ සංඛ්‍යාවට සමාන කරමු:

පෙර උදාහරණවල මෙන්, අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු:

අපි x අඩු කර සමාන සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

පද්ධතිය විසඳීම, අපි අවිනිශ්චිත සංගුණකවල පහත අගයන් ලබා ගනිමු:

අපි සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:

.

උදාහරණය 4 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

.

එම භාගය සරල භාගවල එකතුවට වියෝජනය කර මෙම එකතුව පොදු හරයකට අඩු කිරීමෙන් පසු ලබාගත් සංඛ්‍යාවේ ප්‍රකාශනයට මුල් භාගයේ සංඛ්‍යා සමාන කරන්නේ කෙසේද, අපි කලින් උදාහරණ වලින් දැනටමත් දනිමු. එබැවින්, පාලනය සඳහා පමණක්, අපි සමීකරණ පද්ධතිය ඉදිරිපත් කරමු:

පද්ධතිය විසඳීම, අපි අවිනිශ්චිත සංගුණකවල පහත අගයන් ලබා ගනිමු:

අපි සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:

උදාහරණ 5 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

.

අපි ස්වාධීනව මෙම එකතුව පොදු හරයකට ගෙන එන්නෙමු, මෙම ප්‍රකාශනයේ සංඛ්‍යාංකය මුල් භාගයේ සංඛ්‍යාංකයට සමාන කරන්න. ප්රතිඵලය පහත සමීකරණ පද්ධතිය විය යුතුය:

පද්ධතිය විසඳීම, අපි අවිනිශ්චිත සංගුණකවල පහත අගයන් ලබා ගනිමු:

.

අපි සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:

.

උදාහරණය 6 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

අපි පෙර උදාහරණවල මෙන් මෙම මුදල සමඟ එකම ක්රියා සිදු කරන්නෙමු. ප්රතිඵලය පහත සමීකරණ පද්ධතිය විය යුතුය:

පද්ධතිය විසඳීම, අපි අවිනිශ්චිත සංගුණකවල පහත අගයන් ලබා ගනිමු:

.

අපි සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:

.

උදාහරණ 7 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

.

ලැබුණු එකතුව සමඟ දන්නා ක්‍රියාවලින් පසුව, පහත සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගත යුතුය:

පද්ධතිය විසඳීම, අපි අවිනිශ්චිත සංගුණකවල පහත අගයන් ලබා ගනිමු:

අපි සරල භාගවල එකතුවට අනුකලනයේ අවසාන ප්‍රසාරණය ලබා ගනිමු:

.

උදාහරණ 8 පියවර 2 1 වන පියවරේදී, අපි මුල් භාගයේ පහත දැක්වෙන ප්‍රසාරණය සංඛ්‍යාවේ අවිනිශ්චිත සංගුණක සහිත සරල භාගවල එකතුවට ලබා ගත්තෙමු:

.

සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගැනීම සඳහා දැනටමත් ස්වයංක්‍රීයත්වයට ගෙන එන ලද ක්‍රියා වල වෙනස්කම් කිහිපයක් කරමු. කෘතිම උපක්රමයක් ඇත, සමහර අවස්ථාවලදී අනවශ්ය ගණනය කිරීම් වළක්වා ගැනීමට උපකාරී වේ. භාගවල එකතුව පොදු හරයකට ගෙන ඒම, අපි මෙම ප්‍රකාශනයේ සංඛ්‍යාංකය ලබාගෙන මුල් භාගයේ සංඛ්‍යාංකයට සමාන කරමු.

මාතෘකාව: ඒකාබද්ධ කිරීම තාර්කික කොටස්.

අවධානය! ඒකාබද්ධ කිරීමේ ප්‍රධාන ක්‍රම වලින් එකක් - තාර්කික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම - අධ්‍යයනය කිරීමේදී දැඩි සාධනය සඳහා සංකීර්ණ වසමේ බහුපද සලකා බැලීම අවශ්‍ය වේ. එබැවින්, එය අවශ්ය වේ කලින් පාඩම් කරන්න සමහර දේපල සංකීර්ණ සංඛ්යාසහ ඔවුන් මත මෙහෙයුම්.

සරලම තාර්කික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම.

අ පී(z) හා ප්‍රශ්නය(z) සංකීර්ණ වසම තුළ බහුපද වේ, පසුව තාර්කික භාගයකි. එය හැඳින්වේ නිවැරදිඋපාධිය නම් පී(z) අඩු උපාධිය ප්‍රශ්නය(z) , හා වැරදිඋපාධිය නම් ආර් අඩු උපාධියක් නැත ප්‍රශ්නය.

ඕනෑම නුසුදුසු භාගයක් ලෙස දැක්විය හැකිය: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

ඒ ආර්(z) – උපාධියට වඩා අඩු උපාධිය බහුපද ප්‍රශ්නය(z).

මේ අනුව, තාර්කික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම බහුපද අනුකලනය දක්වා අඩු වේ, එනම් බල ශ්‍රිත සහ නිසි භාග, එය නිසි භාගයක් බැවින්.

අර්ථ දැක්වීම 5. සරලම (හෝ ප්‍රාථමික) භාග යනු පහත වර්ගවල භාග වේ:

1) , 2) , 3) , 4) .

ඒවා ඒකාබද්ධ වන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු.

3) (පෙර ගවේෂණය කරන ලදී).

ප්රමේයය 5. ඕනෑම නිසි භාගයක් සරල භාග එකතුවක් ලෙස (සාක්ෂි නොමැතිව) නිරූපණය කළ හැක.

නිගමනය 1. නිසි තාර්කික භාගයක් නම් සහ බහුපදයේ මූලයන් අතර ඇත්තේ සරල තාත්වික මූලයන් නම්, එම කොටස සරල භාගවල එකතුවට ප්‍රසාරණය කිරීමේදී 1 වන වර්ගයේ සරල භාග පමණක් පවතී:

උදාහරණ 1

නිගමනය 2. නිසි තාර්කික භාගයක් නම් සහ බහුපදයේ මූලයන් අතර ඇත්තේ බහු තාත්වික මූලයන් නම්, එම කොටස සරල භාගවල එකතුවට ප්‍රසාරණය කිරීමේදී 1 වන සහ 2 වන වර්ගවල සරල භාග පමණක් පවතී. :

උදාහරණ 2

නිගමනය 3. නිසි තාර්කික භාගයක් නම් සහ බහුපදයේ මූලයන් අතර ඇත්තේ සරල සංකීර්ණ සංයුජ මූලයන් නම්, එම කොටස සරල භාගවල එකතුවට ප්‍රසාරණය කිරීමේදී 3 වන වර්ගයේ සරල භාග පමණක් පවතී:

උදාහරණය 3

නිගමනය 4. නිසි තාර්කික භාගයක් නම් සහ බහුපදයේ මූලයන් අතර ඇත්තේ බහු සංකීර්ණ සංයුජ මූලයන් නම්, එම භාගය සරල භාගවල එකතුවට ප්‍රසාරණය කිරීමේදී 3 වන සහ 4 වැනි සරල භාග පමණක් පවතී. වර්ග:

ඉහත විස්තාරණයන්හි නොදන්නා සංගුණක තීරණය කිරීම සඳහා, පහත පරිදි ඉදිරියට යන්න. නොදන්නා සංගුණක අඩංගු ප්‍රසාරණයේ වම් සහ දකුණු කොටස් බහුපද දෙකක සමානාත්මතාවයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. අපේක්ෂිත සංගුණක සඳහා සමීකරණ එයින් ලබා ගනී, එය භාවිතා කරයි:

1. සමානාත්මතාවය X හි ඕනෑම අගයක් සඳහා වලංගු වේ (පාර්ශ්වික අගයන් ක්රමය). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඕනෑම සමීකරණ ගණනක් ලබා ගනී, ඒවායින් ඕනෑම m අපට නොදන්නා සංගුණක සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.

2. සංගුණක X හි එකම බලවලට සමපාත වේ (අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නොදන්නා සංගුණක සොයා ගන්නා ලද m - නොදන්නා සමග m - සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනී.

3. ඒකාබද්ධ ක්රමය.

උදාහරණ 5. කොටසක් පුළුල් කරන්න සරලම දේට.

විසඳුමක්:

A සහ B සංගුණක සොයන්න.

1 ආකාරය - පුද්ගලික අගය ක්‍රමය:

ක්රමය 2 - අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය:

පිළිතුර:

තාර්කික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම.

ප්රමේයය 6. එහි හරය ශුන්‍යයට සමාන නොවන ඕනෑම අන්තරයක ඕනෑම තාර්කික භාගයක අවිනිශ්චිත අනුකලනය පවතින අතර එය මූලික ශ්‍රිත, එනම් තාර්කික භාග, ලඝුගණක සහ ආක්ටෙන්ජන්ට් අනුව ප්‍රකාශ වේ.

සාක්ෂි.

අපි ස්වරූපයෙන් තාර්කික කොටසක් නියෝජනය කරමු: . එපමනක් නොව, අවසාන පදය නිසි භාගයක් වන අතර, ප්රමේයය 5 මගින් එය සරල භාගවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය. මේ අනුව, තාර්කික භාගයක් අනුකලනය කිරීම බහුපදයක් අනුකලනය කිරීම දක්වා අඩු කරයි එස්(x) සහ සරලම භාග, ඒවායේ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න, පෙන්වා ඇති පරිදි, ප්‍රමේයයේ දක්වා ඇති ස්වරූපය ඇත.

අදහස් දක්වන්න. මෙම නඩුවේ ප්රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ හරය සාධක වලට වියෝජනය කිරීමයි, එනම් එහි සියලු මූලයන් සෙවීමයි.

උදාහරණ 1. අනුකලනය සොයන්න

පෙර ඡේදවල ඉහත සියල්ලම තාර්කික භාගයක් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා මූලික නීති සකස් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි.

1. තාර්කික භාගයක් නුසුදුසු නම්, එය බහුපදයක එකතුවක් සහ නිසි තාර්කික භාගයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ (අයිතමය 2 බලන්න).

මේ අනුව, නුසුදුසු තාර්කික භාගයක අනුකලනය බහුපදයක් සහ නිසි තාර්කික භාගයක් ඒකාබද්ධ කිරීම දක්වා අඩු වේ.

2. නිසි භාගයක හරය සාධක බවට වියෝජනය කරන්න.

3. නිවැරදි තාර්කික භාගය සරලම භාගවල එකතුවට වියෝජනය වේ. මේ අනුව, නිසි තාර්කික භාගයක අනුකලනය සරල භාග අනුකලනය දක්වා අඩු වේ.

උදාහරණ සලකා බලන්න.

උදාහරණ 1. සොයන්න .

විසඳුමක්. අනුකලනය යටතේ නුසුදුසු තාර්කික භාගයකි. නිඛිල කොටස ගත්තොත් අපිට ලැබෙනවා

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

එය සටහන් කරමින්, අපි නිසි තාර්කික භාගය පුළුල් කරමු

සරල කොටස් වලට:

(සූත්රය (18) බලන්න). ඒක තමයි

මේ අනුව, අපට අවසානයේ ඇත

උදාහරණ 2. සොයන්න

විසඳුමක්. අනුකලනය යටතේ නිසි තාර්කික භාගයකි.

එය සරල භාග දක්වා පුළුල් කිරීම (සූත්රය (16) බලන්න), අපි ලබා ගනිමු

භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් ඒකාබද්ධ කිරීම.
නිර්ණය නොකළ සංගුණක ක්රමය

කොටස් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා අපි දිගටම වැඩ කරන්නෙමු. අපි දැනටමත් පාඩමේ සමහර වර්ගවල භාගවල අනුකලනය සලකා බලා ඇති අතර, එක් අර්ථයකින් මෙම පාඩම අඛණ්ඩ පැවැත්මක් ලෙස සැලකිය හැකිය. ද්‍රව්‍යය සාර්ථකව අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, මූලික ඒකාබද්ධතා කුසලතා අවශ්‍ය වේ, එබැවින් ඔබ අනුකලනය අධ්‍යයනය කිරීමට පටන් ගෙන තිබේ නම්, එනම් ඔබ තේ පෝච්චියක් නම්, ඔබ ලිපියෙන් ආරම්භ කළ යුතුය. අවිනිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් උදාහරණ.

පුදුමයට කරුණක් නම්, දැන් අපි නියැලී සිටින්නේ ... විසඳුම් පද්ධතිවල මෙන් අනුකලනය සෙවීමට නොවේ. රේඛීය සමීකරණ. මේ සම්බන්ධව දැඩි ලෙසපාඩමට පිවිසීමට මම නිර්දේශ කරමි, එනම්, ඔබ ආදේශන ක්‍රම (“පාසල්” ක්‍රමය සහ පද්ධති සමීකරණවල වාරයෙන් කාලීන එකතු කිරීමේ (අඩු කිරීම) ක්‍රමය) හොඳින් දැන සිටිය යුතුය.

භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් යනු කුමක්ද? සරල වචන වලින්, භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් යනු බහුපද හෝ බහුපදවල නිෂ්පාදන වන සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ කොටසකි. ඒ අතරම, භාග ලිපියේ සාකච්ඡා කර ඇති ඒවාට වඩා සංකීර්ණ වේ. සමහර කොටස් ඒකාබද්ධ කිරීම.

නිවැරදි භාගික-තාර්කික ශ්‍රිතය ඒකාබද්ධ කිරීම

භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක අනුකලනය විසඳීම සඳහා වහාම උදාහරණයක් සහ සාමාන්‍ය ඇල්ගොරිතමයක්.

උදාහරණ 1

පියවර 1.තාර්කික-භාගික ශ්‍රිතයක අනුකලනයක් විසඳන විට අප සැමවිටම කරන පළමු දෙය සොයා ගැනීමයි. ඊළඟ ප්රශ්නය: කොටස නිවැරදිද?මෙම පියවර වාචිකව සිදු කරනු ලබන අතර, දැන් මම පැහැදිලි කරන්නේ කෙසේද:

මුලින්ම numerator එක බලලා දැනගන්න ජ්යෙෂ්ඨ උපාධියබහුපද:

සංඛ්යාංකයේ ඉහළම බලය දෙකකි.

දැන් denominator එක බලලා දැනගන්න ජ්යෙෂ්ඨ උපාධියහරය. පැහැදිලි ක්‍රමය නම් වරහන් විවෘත කර සමාන නියමයන් ගෙන ඒමයි, නමුත් ඔබට එය පහසුවෙන් කළ හැකිය සෑමවරහන් ඉහළම උපාධිය සොයා ගනී

සහ මානසිකව ගුණ කරන්න: - මේ අනුව, හරයේ ඉහළම මට්ටම තුනට සමාන වේ. අපි ඇත්තටම වරහන් විවෘත කළහොත් අපට තුනකට වඩා වැඩි උපාධියක් නොලැබෙන බව පැහැදිලිය.

නිගමනය: සංඛ්යාංකයේ ඉහළම බලය දැඩි ලෙසහරයේ ඉහළම බලයට වඩා අඩු, එවිට භාගය නිවැරදි වේ.

ඇතුලේ නම් මෙම උදාහරණයසංඛ්‍යාංකයේ බහුපද 3, 4, 5, ආදිය අඩංගු විය. උපාධිය, එවිට භාගය වනු ඇත වැරදි.

දැන් අපි නිසි භාගික-තාර්කික ශ්රිතයන් පමණක් සලකා බලමු. සංඛ්‍යාංකයේ උපාධිය හරයේ ප්‍රමාණයට වඩා වැඩි හෝ සමාන වන අවස්ථාව, අපි පාඩම අවසානයේ විශ්ලේෂණය කරමු.

පියවර 2අපි හරය සාධකකරණය කරමු. අපි අපගේ හරය දෙස බලමු:

පොදුවේ ගත් කල, මෙහි දැනටමත් සාධකවල නිෂ්පාදනයක් ඇත, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, අපි අපෙන්ම මෙසේ අසන්නෙමු: වෙනත් දෙයක් පුළුල් කළ හැකිද? ඇත්ත වශයෙන්ම, වධහිංසා කිරීමේ පරමාර්ථය හතරැස් ත්රිකෝණය වනු ඇත. අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට වඩා වැඩි ය, එයින් අදහස් වන්නේ ත්‍රිකෝණය ඇත්ත වශයෙන්ම සාධකකරණය වී ඇති බවයි:

සාමාන්ය රීතිය: හරයේ ඇති සෑම දෙයක්ම සාධකකරණය කළ හැකිය - සාධකකරණය කරන්න

අපි තීරණයක් ගැනීමට පටන් ගනිමු:

පියවර 3අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි සරල (මූලික) භාග එකතුවකට අනුකලනය පුළුල් කරමු. දැන් එය වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත.

අපගේ ඒකාබද්ධ කාර්යය දෙස බලමු:

තවද, ඔබ දන්නවා, බුද්ධිමත් සිතුවිල්ලක් කෙසේ හෝ ලිස්සා යන අතර අපගේ විශාල භාගය කුඩා ඒවා කිහිපයක් බවට පත් කිරීම සතුටක් වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, මේ වගේ:

ප්රශ්නය පැනනගින්නේ, මෙය පවා කළ හැකිද? ආශ්වාස ප්‍රශ්වාස කරන්න, අනුරූප ප්‍රමේයය ගණිතමය විශ්ලේෂණයඑය කළ හැකි බව ප්‍රකාශ කරයි. එවැනි වියෝජනයක් පවතින අතර එය අද්විතීය වේ.

ඇත්තේ එක් අල්ලා ගැනීමක් පමණි, සංගුණක අපි ආයුබෝවන්අපි නොදනිමු, එබැවින් නම - අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය.

ඔබ එය අනුමාන කළා, පසුකාලීන අභිනයන් එසේ නම්, හූල්ලන්න එපා! ඒවා ඉගෙනීම පමණක් ඉලක්ක කරනු ඇත - ඒවා සමාන වන්නේ කුමක් දැයි සොයා ගැනීමට.

ප්රවේශම් වන්න, මම වරක් විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කරමි!

ඉතින්, අපි නටන්න පටන් ගනිමු:

වම් පැත්තේ අපි ප්‍රකාශනය පොදු හරයකට ගෙන එන්නෙමු:

දැන් අපි ආරක්ෂිතව හරයන් ඉවත් කරමු (ඒවා සමාන බැවින්):

වම් පැත්තේ, අපි තවමත් නොදන්නා සංගුණක ස්පර්ශ නොකරන අතර, වරහන් විවෘත කරමු:

ඒ අතරම, අපි බහුපද ගුණ කිරීමේ පාසල් රීතිය නැවත නැවතත් කරමු. මම ගුරුවරයෙකුව සිටියදී, මෙම රීතිය කෙළින් මුහුණින් පැවසීමට ඉගෙන ගතිමි: බහුපදයක් බහුපදයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එක් බහුපදයක එක් එක් පදය අනෙක් බහුපදයේ එක් එක් පදයෙන් ගුණ කළ යුතුය..

පැහැදිලි පැහැදිලි කිරීමක දෘෂ්ටි කෝණයෙන් බලන කල, සංගුණක වරහන් තුළ තැබීම වඩා හොඳය (කාලය ඉතිරි කර ගැනීම සඳහා මම පුද්ගලිකව කිසි විටෙකත් මෙය නොකරන නමුත්):

අපි රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු.
පළමුව, අපි ජ්යෙෂ්ඨ උපාධි සොයන්නෙමු:

තවද අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයේ අනුරූප සංගුණක ලියන්නෙමු:

හොඳින් මතක තබා ගන්න ඊළඟ nuance . දකුණු පැත්ත කිසිසේත්ම නොතිබුනේ නම් කුමක් සිදුවේද? කියන්න, එය කිසිදු චතුරස්රයක් නොමැතිව පෙන්විය හැකිද? මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතියේ සමීකරණයේ දී, දකුණු පසින් ශුන්ය තැබීම අවශ්ය වනු ඇත: . ඇයි බිංදුව? දකුණු පැත්තේ ඔබට සෑම විටම ශුන්‍යය සමඟ එකම චතුරස්‍රය ආරෝපණය කළ හැකි නිසා: විචල්‍ය හෝ (සහ) දකුණු පැත්තේ නිදහස් පදයක් නොමැති නම්, අපි පද්ධතියේ අනුරූප සමීකරණවල දකුණු පැතිවල ශුන්‍ය තබමු.

අපි පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයේ අනුරූප සංගුණක ලියන්නෙමු:

තවද, අවසාන වශයෙන්, ඛනිජ ජලය, අපි නිදහස් සාමාජිකයින් තෝරා ගනිමු.

ආ... මම විහිළුවක් කළේ. විහිළු පසෙකින් - ගණිතය බරපතල විද්‍යාවකි. අපේ ආයතන කණ්ඩායමේ, සහකාර මහාචාර්යවරිය තමන් සාමාජිකයන් සංඛ්‍යා රේඛාවක් දිගේ විසිර ගොස් ඔවුන්ගෙන් විශාලතම එක තෝරා ගන්නා බව පැවසූ විට කිසිවෙකු සිනාසුණේ නැත. අපි බැරෑරුම් වෙමු. කෙසේ වෙතත් ... මෙම පාඩමේ අවසානය දැකීමට ජීවත් වන ඕනෑම අයෙකු තවමත් නිහඬව සිනාසෙනු ඇත.

පද්ධතිය සූදානම්:

අපි පද්ධතිය විසඳමු:

(1) පළමු සමීකරණයෙන්, අපි එය පද්ධතියේ 2 වන සහ 3 වන සමීකරණවලට ප්‍රකාශ කර ආදේශ කරමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, වෙනත් සමීකරණයකින් ප්රකාශ කිරීමට (හෝ වෙනත් ලිපියක්) හැකි විය, නමුත් මෙම නඩුව 1 වන සමීකරණයේ සිට නිශ්චිතව ප්‍රකාශ කිරීම වාසිදායක වේ කුඩාම අවාසි.

(2) අපි 2 වන සහ 3 වන සමීකරණවල සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු.

(3) සමානාත්මතාවය ලබා ගන්නා අතරම, අපි 2 වන සහ 3 වන සමීකරණ පදය වාරයෙන් එක් කරන්නෙමු, එයින් එය පහත දැක්වේ.

(4) අපි එය සොයා ගන්නා දෙවන (හෝ තෙවන) සමීකරණයට ආදේශ කරමු

(5) අපි පළමු සමීකරණයට ආදේශ කර, ලබා ගනිමු.

පද්ධතිය විසඳීමේ ක්රම සමඟ ඔබට කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් තිබේ නම්, ඒවා පන්තියේ වැඩ කරන්න. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්නේ කෙසේද?

පද්ධතිය විසඳීමෙන් පසු, චෙක්පතක් කිරීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ - සොයාගත් අගයන් ආදේශ කරන්න එක් එක්පද්ධතියේ සමීකරණය, ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, සෑම දෙයක්ම "අභිසාරී" විය යුතුය.

බොහෝ දුරට පැමිණ ඇත. සංගුණක සොයාගත හැකි අතර,

නිර්මාණය නිම කිරීමකාර්යය මේ වගේ දෙයක් විය යුතුය:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, කාර්යයේ ප්රධාන දුෂ්කරතාවය වූයේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් රචනා කිරීම (නිවැරදිව!) සහ (නිවැරදිව!) විසඳීමයි. අවසාන අදියරේදී, සෑම දෙයක්ම එතරම් අපහසු නොවේ: අපි අවිනිශ්චිත අනුකලනයේ රේඛීයතාවයේ ගුණාංග භාවිතා කර අනුකලනය කරන්නෙමු. එක් එක් අනුකලන තුන යටතේ අපට “නිදහස්” ඇති බව මම ඔබේ අවධානයට යොමු කරමි. සංකීර්ණ කාර්යය, මම පාඩම තුළ එහි ඒකාබද්ධතාවයේ ලක්ෂණ ගැන කතා කළා indefinite integral හි විචල්‍ය වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය.

පරීක්ෂා කරන්න: පිළිතුර වෙනස් කරන්න:

මුල් අනුකලනය ලබා ගන්නා ලදී, එයින් අදහස් වන්නේ අනුකලනය නිවැරදිව සොයාගත් බවයි.
සත්‍යාපනය අතරතුර, ප්‍රකාශනය පොදු හරයකට ගෙන ඒම අවශ්‍ය වූ අතර මෙය අහම්බයක් නොවේ. අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය සහ ප්‍රකාශනය පොදු හරයකට ගෙන ඒම අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ප්‍රතිලෝම ක්‍රියා වේ.

උදාහරණ 2

අවිනිශ්චිත අනුකලනය සොයන්න.

අපි පළමු උදාහරණයේ කොටස වෙත ආපසු යමු: . හරය තුළ සියලු සාධක වෙනස් බව දැකීම පහසුය. ප්රශ්නය පැනනගින්නේ, උදාහරණයක් ලෙස, එවැනි කොටසක් ලබා දෙන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද යන්නයි: ? මෙහිදී අපට හරයෙන් උපාධි ඇත, නැතහොත්, ගණිතමය වශයෙන්, බහු සාධක. මීට අමතරව, දිරාපත් කළ නොහැකි හතරැස් ත්‍රිපදයක් ඇත (සමීකරණයේ වෙනස් කොට සැලකීම තහවුරු කිරීම පහසුය. ඍණාත්මක වේ, එබැවින් ත්රිකෝණය කිසිදු ආකාරයකින් සාධක කළ නොහැක). කුමක් කරන්න ද? එකතුවක් දක්වා පුළුල් කිරීම මූලික කොටස්වගේ පෙනෙනු ඇත ඉහළින් නොදන්නා සංගුණක සමඟ හෝ වෙනත් ආකාරයකින්?

උදාහරණය 3

කාර්යයක් ඉදිරිපත් කරන්න

පියවර 1.අපට නිවැරදි භාගයක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කිරීම
සංඛ්යාංකයේ ඉහළම බලය: 2
ඉහළම හරය: 8
, එබැවින් භාගය නිවැරදි වේ.

පියවර 2හරය තුළ කිසිවක් සාධක කළ හැකිද? පැහැදිලිවම නැත, සෑම දෙයක්ම දැනටමත් සකස් කර ඇත. ඉහත හේතූන් මත වර්ග ත්‍රිකෝණය නිෂ්පාදනයක් බවට ප්‍රසාරණය නොවේ. යහපත. වැඩ අඩුයි.

පියවර 3මූලික භාගවල එකතුවක් ලෙස භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් නිරූපණය කරමු.
මෙම අවස්ථාවේ දී, වියෝජනය ඇත ඊළඟ දර්ශනය:

අපි අපගේ හරය දෙස බලමු:
භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් මූලික භාග එකතුවකට වියෝජනය කරන විට, මූලික කරුණු තුනක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය:

1) හරය පළමු උපාධියේ (අපගේ නඩුවේ) "හුදකලා" සාධකයක් අඩංගු නම්, අපි ඉහළට (අපගේ නඩුවේ) අවිනිශ්චිත සංගුණකයක් තබමු. උදාහරණ අංක 1,2 සමන්විත වූයේ එවැනි "හුදකලා" සාධක පමණි.

2) හරය අඩංගු නම් බහුගුණකය, එවිට ඔබ පහත පරිදි දිරාපත් විය යුතුය:
- එනම්, "x" හි සියලුම අංශක පළමු සිට n වන උපාධිය දක්වා අනුපිළිවෙලින් වර්ග කරන්න. අපගේ උදාහරණයේ, බහුවිධ සාධක දෙකක් ඇත: සහ , මා ලබා දී ඇති වියෝජනය දෙස නැවත බලන්න සහ මෙම රීතියට අනුව ඒවා හරියටම දිරාපත් වී ඇති බවට වග බලා ගන්න.

3) හරයෙහි දෙවන උපාධියේ දිරාපත් කළ නොහැකි බහුපදයක් තිබේ නම් (අපගේ නඩුවේදී ), එවිට සංඛ්‍යාවේ ප්‍රසාරණය වන විට, ඔබ අවිනිශ්චිත සංගුණක සමඟ රේඛීය ශ්‍රිතයක් ලිවිය යුතුය (අපගේ නඩුවේදී, අවිනිශ්චිත සංගුණක සහ ).

ඇත්ත වශයෙන්ම, 4 වන නඩුව ද ඇත, නමුත් ප්රායෝගිකව එය අතිශයින් දුර්ලභ බැවින් මම ඒ ගැන නිහඬව සිටිමි.

උදාහරණය 4

කාර්යයක් ඉදිරිපත් කරන්න නොදන්නා සංගුණක සහිත මූලික භාග එකතුවක් ලෙස.

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන විසඳුම. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.
ඇල්ගොරිතම දැඩි ලෙස අනුගමනය කරන්න!

භාගික තාර්කික ශ්‍රිතයක් එකතුවකට වියෝජනය කිරීමට අවශ්‍ය මූලධර්ම ඔබ හඳුනාගෙන තිබේ නම්, ඔබට සලකා බලන ආකාරයේ ඕනෑම අනුකලනයක් පාහේ බිඳ දැමිය හැක.

උදාහරණ 5

අවිනිශ්චිත අනුකලනය සොයන්න.

පියවර 1.පැහැදිලිවම, කොටස නිවැරදි ය:

පියවර 2හරය තුළ කිසිවක් සාධක කළ හැකිද? පුළුවන්. මෙන්න කැට එකතුව . සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කරමින් හරය සාධක කිරීම

පියවර 3අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි අනුකලනය මූලික භාග එකතුවකට පුළුල් කරමු:

බහුපද වියෝජනය කළ නොහැකි බව සලකන්න (වෙනස් කොට සැලකීම සෘණ බව පරීක්ෂා කරන්න), එබැවින් ඉහළින් අපි තනි අකුරක් නොව නොදන්නා සංගුණක සහිත රේඛීය ශ්‍රිතයක් තබමු.

අපි කොටස පොදු හරයකට ගෙන එන්නෙමු:

අපි පද්ධතිය නිර්මාණය කර විසඳමු:

(1) පළමු සමීකරණයෙන්, අපි පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට ප්‍රකාශ කර ආදේශ කරන්නෙමු (මෙය වඩාත්ම තාර්කික ක්‍රමයයි).

(2) අපි දෙවන සමීකරණයේ සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු.

(3) අපි පද්ධතියේ පදයේ දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වාරය අනුව එකතු කරමු.

පද්ධතිය සරල බැවින් වැඩිදුර ගණනය කිරීම් ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් වාචික වේ.

(1) අපි සොයාගත් සංගුණකවලට අනුකූලව භාගවල එකතුව ලියන්නෙමු.

(2) අපි අවිනිශ්චිත අනුකලයේ රේඛීය ගුණාංග භාවිතා කරමු. දෙවන අනුකලනය තුළ සිදු වූයේ කුමක්ද? පාඩමේ අවසාන ඡේදයේ ඔබට මෙම ක්රමය සොයාගත හැකිය. සමහර කොටස් ඒකාබද්ධ කිරීම.

(3) නැවත වරක් අපි රේඛීයත්වයේ ගුණාංග භාවිතා කරමු. තෙවන අනුකලනය තුළ, අපි සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරා ගැනීමට පටන් ගනිමු (පාඩමේ අවසාන ඡේදය සමහර කොටස් ඒකාබද්ධ කිරීම).

(4) අපි දෙවන අනුකලනය ගනිමු, තෙවනුව අපි සම්පූර්ණ චතුරස්රය තෝරා ගනිමු.

(5) අපි තුන්වන අනුකලනය ගනිමු. සූදානම්.

මෙම මාතෘකාවේ ඉදිරිපත් කරන ලද ද්රව්ය පදනම් වී ඇත්තේ "තාර්කික භාග. තාර්කික භාග මූලික (සරල) භාග වලට වියෝජනය කිරීම" යන මාතෘකාවේ ඉදිරිපත් කර ඇති තොරතුරු මතය. කියවීමට යාමට පෙර අවම වශයෙන් මෙම මාතෘකාව හරහා ගමන් කරන ලෙස මම ඔබට තරයේ අවවාද කරමි. මෙම ද්රව්යය. ඊට අමතරව, අපට අවිනිශ්චිත අනුකලිත වගුවක් අවශ්ය වනු ඇත.

මම ඔබට පද කිහිපයක් මතක් කර දෙන්නම්. ඒවා අදාළ මාතෘකාව තුළ සාකච්ඡා කරන ලදී, එබැවින් මෙහි මම කෙටි සූත්‍රගත කිරීමකට සීමා කරමි.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ යන බහුපද දෙකක අනුපාතය තාර්කික ශ්‍රිතයක් හෝ තාර්කික භාගයක් ලෙස හැඳින්වේ. තාර්කික භාගය ලෙස හැඳින්වේ නිවැරදි$n නම්< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется වැරදි.

මූලික (සරලම) තාර්කික භාග තාර්කික භාග ලෙස හැඳින්වේ වර්ග හතරක්:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

සටහන (වැඩිදුර සඳහා අවශ්‍ය වේ සම්පූර්ණ අවබෝධයපෙළ): පෙන්වන්න / සඟවන්න

$p^2-4q කොන්දේසිය අවශ්‍ය වන්නේ ඇයි?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

උදාහරණයක් ලෙස, $x^2+5x+10$ ප්‍රකාශනය සඳහා අපට ලැබෙන්නේ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 සිට< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

මාර්ගය වන විට, මෙම චෙක්පත සඳහා $x^2$ ඉදිරිපිට ඇති සංගුණකය 1 ට සමාන වීම අවශ්‍ය නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, $5x^2+7x-3=0$ සඳහා අපට ලැබෙන්නේ: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ සිට, $5x^2+7x-3$ ප්‍රකාශනය සාධකකරණය කළ හැකිය.

තාර්කික භාග සඳහා උදාහරණ (සාමාන්‍ය හා නුසුදුසු) මෙන්ම තාර්කික භාගයක් ප්‍රාථමික ඒවාට වියෝජනය කිරීමේ උදාහරණ ද සොයාගත හැකිය. මෙන්න අපි ඔවුන්ගේ ඒකාබද්ධතාවයේ ප්රශ්න ගැන පමණක් උනන්දු වෙමු. මූලික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම සමඟ ආරම්භ කරමු. එබැවින්, ඉහත ප්‍රාථමික භාග වර්ග හතරෙන් එකක්ම පහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් අනුකලනය කිරීම පහසුය. (2) සහ (4) $n=2,3,4,\ldots$ වර්ගවල භාග අනුකලනය කිරීමේදී උපකල්පනය කරන බව මම ඔබට මතක් කරමි. සූත්‍ර (3) සහ (4) $p^2-4q කොන්දේසිය අවශ්‍ය වේ< 0$.

\begin(සමීකරණය) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(සමීකරණය)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ සඳහා $t=x+\frac(p)(2)$ ආදේශනය සාදනු ලබන අතර ඉන් පසුව ලැබෙන අනුකලනය දෙකට බෙදිලා. පළමු එක එය අවකල ලකුණ යටතේ ඇතුළු කිරීමෙන් ගණනය කරනු ලබන අතර, දෙවන එක $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ලෙස දිස්වේ. මෙම අනුකලනය ගනු ලබන්නේ පුනරාවර්තන සම්බන්ධතාවය භාවිතා කරමිනි

\begin(සමීකරණය) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(සමීකරණය)

එවැනි අනුකලනයක් ගණනය කිරීම උදාහරණ අංක 7 හි විශ්ලේෂණය කර ඇත (තුන්වන කොටස බලන්න).

තාර්කික ශ්‍රිත වලින් අනුකලයන් ගණනය කිරීමේ යෝජනා ක්‍රමය (තාර්කික භාග):

1. අනුකලනය ප්‍රාථමික නම්, (1)-(4) සූත්‍ර යොදන්න.
2. අනුකලනය ප්‍රාථමික නොවේ නම්, එය ප්‍රාථමික භාගවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කර (1)-(4) සූත්‍ර භාවිතයෙන් අනුකලනය කරන්න.

තාර්කික භාග ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා ඉහත ඇල්ගොරිතම ඇත අවිවාදිත ගරුත්වය- එය විශ්වීයයි. එම. මෙම ඇල්ගොරිතම භාවිතා කිරීමෙන් කෙනෙකුට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය කිසියම්තාර්කික කොටස. අවිනිශ්චිත අනුකලයේ (Euler, Chebyshev ආදේශන, විශ්ව ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශනය) විචල්‍යයන් සියල්ලම පාහේ සිදු කරනුයේ මෙම ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් පසුව අපට අන්තරය යටතේ තාර්කික භාගයක් ලැබෙන ආකාරයට ය. සහ එයට ඇල්ගොරිතම යොදන්න. කුඩා සටහනක් තැබීමෙන් පසු අපි උදාහරණ භාවිතා කරමින් මෙම ඇල්ගොරිතමයේ සෘජු යෙදුම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙම අනුකලනය සූත්‍රයේ යාන්ත්‍රික යෙදුමකින් තොරව ලබා ගැනීම පහසුය. අපි අනුකලිත ලකුණෙන් $7$ නියතය ගෙන $dx=d(x+9)$ බව සැලකිල්ලට ගත්තොත්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

සවිස්තරාත්මක තොරතුරු සඳහා, මාතෘකාව දෙස බැලීමට මම නිර්දේශ කරමි. එවැනි අනුකලනය විසඳන ආකාරය විස්තරාත්මකව විස්තර කරයි. මාර්ගය වන විට, "අතින්" විසඳන විට මෙම ඡේදයේ යොදන ලද එම පරිවර්තනයන් මගින් සූත්රය ඔප්පු වේ.

2) නැවතත්, ක්රම දෙකක් තිබේ: සූදානම් කළ සූත්රයක් යෙදීම හෝ එය නොමැතිව කරන්න. ඔබ සූත්‍රය යොදන්නේ නම්, $x$ (අංක 4) ඉදිරියෙන් ඇති සංගුණකය ඉවත් කිරීමට සිදුවන බව ඔබ සැලකිල්ලට ගත යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ඒවායින් හතර වරහන් වලින් ඉවත් කරමු:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\වම(4\වම(x+\frac(19)(4)\දකුණ)\දකුණ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\වම(x+\frac(19)(4)\දකුණ)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\වම(x+\frac(19)(4)\දකුණ)^8). $$

දැන් සූත්‍රය යෙදීමට කාලයයි:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\වම(x+\frac(19)(4)\දකුණ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\වම(x+\frac(19)(4) \දකුණ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\වම(x+\frac(19)(4) \දකුණ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \දකුණ )^7)+සී. $$

සූත්රය භාවිතා නොකර ඔබට කළ හැකිය. තවද නියත $4$ වරහන් වලින් පිටතට නොදැමීමෙනි. අපි $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ බව සැලකිල්ලට ගත්තොත්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

එවැනි අනුකලනය සොයා ගැනීම පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් "ආදේශන මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම (අවකල ලකුණ යටතේ හැඳින්වීම)" මාතෘකාවෙහි දක්වා ඇත.

3) අපි $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ කොටස අනුකලනය කළ යුතුයි. මෙම කොටසෙහි ව්‍යුහය $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. කෙසේ වෙතත්, මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම තුන්වන වර්ගයේ මූලික භාගයක් බව තහවුරු කර ගැනීමට, ඔබ $p^2-4q තත්ත්වය පරීක්ෂා කළ යුතුය.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

අපි එකම උදාහරණය විසඳමු, නමුත් සූදානම් කළ සූත්රය භාවිතා නොකර. අංකනයෙහි හරයෙහි ව්‍යුත්පන්නය හුදකලා කිරීමට උත්සාහ කරමු. මෙමගින් කුමක් වෙයිද? අපි දන්නවා $(x^2+10x+34)"=2x+10$. ඒක තමයි $2x+10$ කියන ප්‍රකාශය තමයි අපිට numerator එකේ හුදකලා කරන්න වෙන්නේ.මේ වෙනකම් numerator එකේ තියෙන්නේ $4x+7$ විතරයි. , නමුත් මෙය දිගු කාලයක් නොවේ. පහත පරිවර්තනය අංකනයට යොදන්න:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

දැන් සංඛ්‍යාංකයේ අවශ්‍ය ප්‍රකාශනය $2x+10$ පැමිණ ඇත. අපගේ අනුකලනය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

අපි අනුකලනය දෙකට කඩමු. හොඳයි, සහ, ඒ අනුව, අනුකලනය ද "බෙදීම" වේ:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \දකුණ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

අපි මුලින්ම පළමු අනුකලනය ගැන කතා කරමු, i.e. $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$ ගැන. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ බැවින්, හරය අවකලනය අනුකලනයේ සංඛ්‍යාංකයේ පිහිටා ඇත. කෙටියෙන් කිවහොත්, ඒ වෙනුවට $(2x+10)dx$ යන ප්‍රකාශනයේ අපි $d(x^2+10x+34)$ ලියන්නෙමු.

දැන් අපි දෙවන අනුකලනය ගැන වචන කිහිපයක් කියමු. අපි හරයේ සම්පූර්ණ චතුරස්‍රය තනි කරමු: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. ඊට අමතරව, අපි $dx=d(x+5)$ සැලකිල්ලට ගනිමු. දැන් අප විසින් කලින් ලබාගත් අනුකලන එකතුව තරමක් වෙනස් ආකාරයකින් නැවත ලිවිය හැකිය:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) $$

අපි පළමු අනුකලයේ $u=x^2+10x+34$ වෙනස් කළහොත්, එය $\int\frac(du)(u)$ පෝරමය ගෙන ගනු ඇත. සරල යෙදුමසිට දෙවන සූත්රය. දෙවන අනුකලය සඳහා, $u=x+5$ ප්‍රතිස්ථාපනය ඒ සඳහා ශක්‍ය වේ, ඉන්පසු එය $\int\frac(du)(u^2+9)$ ආකාරය ගනී. එය පිරිසිදුම ජලයඅවිනිශ්චිත අනුකල වගුවෙන් එකොළොස්වන සූත්‍රය. එබැවින්, අනුකලිත එකතුවට ආපසු යාම, අපට ලැබෙනු ඇත:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

සූත්‍රය යොදන විට අපට ලැබුණේ එකම පිළිතුරයි, එය ඇත්තෙන්ම පුදුමයක් නොවේ. පොදුවේ ගත් කල, මෙම අනුකලනය සොයා ගැනීමට අප භාවිතා කළ ක්‍රම මගින්ම සූත්‍රය ඔප්පු වේ. අවධානයෙන් සිටින පාඨකයෙකුට මෙහි එක් ප්‍රශ්නයක් තිබිය හැකි බව මම විශ්වාස කරමි, එබැවින් මම එය සකස් කරමි:

ප්රශ්නය අංක 1

අපි අවිනිශ්චිත අනුකල වගුවේ සිට අනුකල $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ දක්වා දෙවන සූත්‍රය යෙදුවොත්, අපට පහත දේ ලැබේ:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

විසඳුමෙන් මොඩියුලය අතුරුදහන් වූයේ ඇයි?

අංක 1 ප්‍රශ්නයට පිළිතුර

ප්රශ්නය සම්පූර්ණයෙන්ම නීත්යානුකූලයි. R$ හි ඕනෑම $x\න් සඳහා $x^2+10x+34$ ප්‍රකාශනය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි නිසා පමණක් මාපාංකය නොතිබුණි. මෙය ක්‍රම කිහිපයකින් පෙන්වීමට තරමක් පහසුය. උදාහරණයක් ලෙස, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ සහ $(x+5)^2 ≥ 0$ සිට, පසුව $(x+5)^2+9 > 0$ . සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරාගැනීම සම්බන්ධ නොවී, වෙනත් ආකාරයකින් විනිශ්චය කළ හැකිය. $10^2-4\cdot 34=-16 සිට< 0$, то $x^2+10x+34 >R$ හි ඕනෑම $x සඳහා 0$ (මෙම තාර්කික දාමය පුදුමයට කරුණක් නම්, බැලීමට මම ඔබට උපදෙස් දෙමි ග්රැෆික් ක්රමයවිසඳුම් වර්ග අසමානතා) ඕනෑම අවස්ථාවක, $x^2+10x+34 > 0$ සිට, පසුව $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. ඔබට මොඩියුලයක් වෙනුවට සාමාන්‍ය වරහන් භාවිතා කළ හැක.

උදාහරණ අංක 1 හි සියලුම කරුණු විසඳා ඇත, එය ඉතිරිව ඇත්තේ පිළිතුර ලිවීමට පමණි.

පිළිතුර:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

උදාහරණ #2

අනුකලිත $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ සොයන්න.

මුලින්ම බැලූ බැල්මට, අනුකලිත $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ තුන්වන වර්ගයේ ප්‍රාථමික කොටසකට බෙහෙවින් සමාන ය, i.e. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ වෙත. එකම වෙනස $x^2$ ඉදිරියෙන් ඇති $3$ සංගුණකය පමණක් බව පෙනේ, නමුත් සංගුණකය (වරහන් වලින් පිටත) ඉවත් කිරීමට වැඩි කාලයක් ගත නොවනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙම සමානකම පැහැදිලිව පෙනේ. කොටස සඳහා $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ කොන්දේසිය $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ ඉදිරියෙන් ඇති අපගේ සංගුණකය එකකට සමාන නොවේ, එබැවින් $p^2-4q තත්ත්වය පරීක්ෂා කරන්න< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант චතුරස්රාකාර සමීකරණය$x^2+px+q=0$. වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට වඩා අඩු නම්, $x^2+px+q$ ප්‍රකාශනය සාධකකරණය කළ නොහැක. අපගේ භාගයේ හරයේ ඇති $3x^2-5x-2$ බහුපදයේ වෙනස්කම් ගණනය කරමු: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. එබැවින්, $D > 0$, එබැවින් $3x^2-5x-2$ යන ප්‍රකාශය සාධකකරණය කළ හැක. තවද මෙයින් අදහස් වන්නේ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ යන කොටස තුන්වන වර්ගයේ මුලික භාගයක් නොවන අතර අනුකලිත $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ සූත්‍රයට අවසර නැත.

හොඳයි, ලබා දී ඇති තාර්කික භාගය ප්‍රාථමික නොවේ නම්, එය මූලික භාගවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ යුතු අතර පසුව ඒකාබද්ධ කළ යුතුය. කෙටියෙන් කිවහොත්, ට්‍රේල් ප්‍රයෝජන ගන්න. තාර්කික භාගයක් මූලික ඒවාට වියෝජනය කරන්නේ කෙසේද යන්න විස්තරාත්මකව ලියා ඇත. හරය සාධක කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(පෙළගැසී)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\දකුණ)\දකුණ)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2). $$

අපි පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් උප අභ්‍යන්තර කොටස නියෝජනය කරමු:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\වම(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2)). $$

දැන් අපි $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2))$ කොටස ප්‍රාථමික ඒවා බවට පුළුල් කරමු:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\වම(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\දකුණ))(\වම(x+) \frac(1)(3)\දකුණ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\වම(x+\frac(1)( 3)\දකුණ). $$

$A$ සහ $B$ සංගුණක සොයා ගැනීමට සම්මත ක්‍රම දෙකක් තිබේ: අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය සහ අර්ධ අගයන් ආදේශ කිරීමේ ක්‍රමය. $x=2$ ආදේශ කිරීමෙන් සහ පසුව $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\දකුණ).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\දකුණ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\දකුණ)+B\වම (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\දකුණ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

සංගුණක සොයාගෙන ඇති බැවින්, එය ඉතිරිව ඇත්තේ නිමි ප්‍රසාරණය ලිවීමට පමණි:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\වම(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඔබට මෙම ප්‍රවේශය හැර යා හැක, නමුත් මම වඩාත් නිවැරදි අනුවාදයකට කැමතියි:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\වම(x+\frac(1)(3)\දකුණ)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

මුල් අනුකලනය වෙත ආපසු යාම, අපි එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ප්රසාරණය ආදේශ කරමු. ඉන්පසුව අපි අනුකලනය දෙකට බෙදා, එක් එක් සූත්රය යොදන්න. අනුකලිත ලකුණෙන් පිටත නියතයන් වහාම ඉවත් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\දකුණ)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\දකුණ)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\දකුණ|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+සී. $$

පිළිතුර: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\දකුණ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

උදාහරණ #3

අනුකලිත $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ සොයන්න.

අපි $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ කොටස අනුකලනය කළ යුතුයි. සංඛ්‍යාංකය දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් වන අතර හරය තුන්වන අංශකයේ බහුපදයකි. සංඛ්‍යාංකයේ බහුපදයේ උපාධිය හරයේ ඇති බහුපද උපාධියට වඩා අඩු බැවින්, i.e. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

අපට ඇත්තේ ලබා දී ඇති අනුකලනය තුනකට කැඩී එක් එක් සූත්‍රය යෙදීම පමණි. අනුකලිත ලකුණෙන් පිටත නියතයන් වහාම ඉවත් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+සී. $$

පිළිතුර: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

මෙම මාතෘකාවේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය අඛණ්ඩව දෙවන කොටසෙහි පිහිටා ඇත.