Знайти площу трикутника по трьох сторонах онлайн. Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач
Трикутник - найпростіша геометрична фігура, що складається з трьох сторін та трьох вершин. Завдяки своїй простоті трикутник з античних часів використовується для проведення різних вимірів, а сьогодні фігура може стати в нагоді для вирішення практичних і побутових завдань.
Особливості трикутника
Фігура з давніх-давен використовується для обчислень, наприклад, землеміри і астрономи оперують властивостями трикутників для обчислення площ і відстаней. Через площу цієї фігури легко виразити площу будь-якого n-кутника, і ця властивість була використана античними вченими для виведення формул площ багатокутників. Постійна роботаз трикутниками, особливо з прямокутним трикутником, стала основною цілого розділу математики - тригонометрии.
Геометрія трикутника
Властивості геометричної фігурививчалися з давніх часів: ранню інформацію про трикутник було знайдено в єгипетських папірусах 4000-річної давності. Потім фігуру вивчали в Стародавню Греціюі найбільший внесок у геометрію трикутника зробили Евклід, Піфагор та Герон. Вивчення трикутника ніколи не припинялося, і в 18-му столітті Леонард Ейлер ввів поняття ортоцентра фігури та кола Ейлера. На рубежі 19 і 20 століть, коли здавалося, що про трикутник відомо все, Френк Морлі сформулював теорему про трисектриси кута, а Вацлав Серпінський запропонував трикутник-фрактал.
Існує кілька видів плоских трикутників, знайомих нам зі шкільного курсу геометрії:
- гострокутний – всі кути фігури гострі;
- тупокутний - фігура має один тупий кут (більше 90 градусів);
- прямокутний - фігура містить один прямий кут, що дорівнює 90 градусів;
- рівнобедрений - трикутник із двома рівними сторонами;
- рівносторонній – трикутник з усіма рівними сторонами.
- У реального життязустрічаються всі види трикутників, і в деяких випадках нам може знадобитися обчислити площу геометричної фігури.
Площа трикутника
Площа – це оцінка того, яку частину площини обмежує постать. Площа трикутника можна знайти шістьма способами, оперуючи сторонами, висотою, величинами кутів, радіусом вписаного або описаного кола, а також використовуючи формулу Герона або обчислюючи подвійний інтеграл по лініях, що обмежують площину. Найпростіша формула для обчислення площі трикутника виглядає як:
де a – сторона трикутника, h – його висота.
Однак на практиці нам не завжди зручно знаходити висоту геометричної фігури. Алгоритм нашого калькулятора дозволяє обчислювати площу, знаючи:
- три сторони;
- дві сторони та кут між ними;
- одну сторону та два кути.
Для визначення площі через три сторони ми використовуємо формулу Герона:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
де p – напівпериметр трикутника.
Обчислення площі з обох сторін і куту проводяться за класичною формулою:
S = a x b x sin (alfa),
де alfa - кут між сторонами a та b.
Для визначення площі через один бік та два кути ми використовуємо співвідношення, що:
a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)
Використовуючи просту пропорцію, ми визначаємо довжину другої сторони, після чого розраховуємо площу за формулою S = a x b x sin (alfa). Даний алгоритм повністю автоматизований і вам необхідно лише внести задані змінні та отримати результат. Розглянемо кілька прикладів.
Приклади з життя
Тротуарна плитка
Допустимо, ви хочете замостити підлогу трикутною плиткою, і щоб визначити кількість необхідного матеріалу, вам слід дізнатися площу однієї плитки та площу підлоги. Нехай потрібно обробити 6 квадратних метрів поверхні, використовуючи плитку, розміри якої становлять a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, що для обчислення площі трикутника калькулятор використовує формулу Герона і дасть результат:
Таким чином, площа одного елемента плитки становитиме 0,021 квадратний метр, і вам знадобиться 6/0,021 = 285 трикутників для благоустрою підлоги. Числа 20, 21 і 29 складають піфагорову трійку - числа, які задовольняють . І вірно, наш калькулятор також розрахував усі кути трикутника, і кут гама складає саме 90 градусів.
Шкільне завдання
У шкільному завданні необхідно знайти площу трикутника, знаючи, що сторона a = 5 см, а кути альфа та бета рани 30 і 50 градусів відповідно. Для вирішення цього завдання вручну ми спочатку знайшли б значення сторони b, використовуючи пропорцію співвідношення сторін і синусів кутів, що протилежать, після чого визначили площу з використанням простої формули S = a × b × sin (alfa). Давайте заощадимо час, введемо дані у форму калькулятора та отримаємо миттєву відповідь
При використанні калькулятора важливо коректно вказати кути та сторони, інакше результат буде неправильним.
Висновок
Трикутник - унікальна постать, яка зустрічається як у реальному житті, так і в абстрактних розрахунках. Використовуйте наш онлайн калькулятор для визначення площі трикутників будь-яких видів.
Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
Інструкція
Сторониі кути вважаються основними елементами а. Трикутник повністю визначається будь-яким з таких основних елементів: або трьома сторонами, або однією стороною і двома кутами, або двома сторонами і кутом між ними. Для існування трикутника, що задається трьома сторонами a, b, c, необхідно і достатньо виконання нерівностей, які називають нерівностями трикутника:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.
Для побудови трикутникапо трьох сторонах a, b, c, необхідно з точки С відрізка СВ=a як провести циркулем окружність радіусом b. Потім аналогічним чином провести з точки B коло радіусом рівним боці c. Точка їх перетину A – третя вершина шуканого трикутника ABC, де АВ = c, CB = a, CA = b - сторони трикутника. Завдання має , якщо сторони a, b, c, задовольняють нерівності трикутникавказаним у кроці 1.
Площа S, побудованого таким чином трикутника ABC з відомими сторонами a, b, c, обчислюється за формулою Герона:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
де a, b, c – сторони трикутника, p – напівпериметр.
p = (a+b+c)/2
Якщо трикутник є рівностороннім, тобто всі його сторони дорівнюють (a=b=c). трикутникаобчислюється за такою формулою:
S=(a^2 v3)/4
Якщо трикутник є прямокутним, тобто один із його кутів дорівнює 90°, а сторони, що його утворюють, катетами, третя сторона гіпотенузою. У даному випадку площадорівнює добутку катетів, поділеному на два.
S=ab/2
Щоб знайти площа трикутникаможна скористатися однією з численних формул. Формулу вибирайте залежно від того, які відомості вже відомі.
Вам знадобиться
- знання формул для знаходження площі трикутника
Інструкція
Якщо ви знаєте величину однієї зі сторін і величину висоти, опущеної на цю сторону з протилежного їй кута, то можна знайти площу за наступною: S = a * h/2, де S - площа трикутника, a - одна зі сторін трикутника, а h - Висота, до сторони a.
Існує відома для визначення площі трикутника, якщо відомі три сторони. Вона є формулою Герона. Для спрощення її запису вводять проміжну величину - напівпериметр: p = (a+b+c)/2 де a, b, c - . Тоді формула Герона наступним чином: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, зведення в ступінь.
Припустимо, що вам відома одна із сторін трикутника та три кути. Тоді легко знайти площу трикутника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), де β - кут, що протилежить стороні a, а α і γ - прилеглі до сторони кути.
Відео на тему
Зверніть увагу
Сама загальна формула, Що підходить для всіх випадків - це формула Герона.
Джерела:
Порада 3: Як знайти по трьох сторонах площу трикутника
Пошук площі трикутника – одне з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо визначення площі будь-якого трикутника. У окремих випадках і рівностороннього трикутників достатньо знати довжини двох і однієї сторони відповідно.
Вам знадобиться
- довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косінусів
Інструкція
Формула Герона для площі трикутника наступним чином: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
Можна вивести формулу площі трикутника і з міркувань, наприклад, застосувавши теорему косінусів.
За теоремою косінусів AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Використовуючи введені позначення, ці також можна у вигляді: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Звідси, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
Площа трикутника знаходиться також за формулою S = a*c*sin(ABC)/2 через дві сторони та кут між ними. Синус кута ABC можна виразити через його за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Підставляючи синус у формулу для площі та розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.
Відео на тему
Для проведення ремонтних робітбуває необхідно виміряти площастін. Так простіше розрахувати необхідна кількістьфарби або шпалери. Для вимірювань найкраще скористатися рулеткою чи сантиметровою стрічкою. Виміри слід проводити вже після того, як стінибули вирівняні.
Вам знадобиться
- -Рулетка;
- -драбинка.
Інструкція
Щоб порахувати площастін, вам необхідно знати точну висоту стель, а також виміряти довжину по підлозі. Робиться це так: візьміть сантиметр, прокладіть його над плінтусом. Зазвичай сантиметра для всієї довжини не вистачає, тому закріпіть його у кутку, потім розмотайте на максимальну довжину. У цій точці поставте позначку олівцем, запишіть отриманий результат і подальший вимір проводьте так само, починаючи з останньої точки виміру.
Стандартні стеліу типових – 2 метри 80 сантиметрів, 3 метри та 3 метри 20 сантиметрів, залежно від будинку. Якщо будинок був побудований до 50-х років, то, швидше за все, реальна висота дещо нижча за вказану. Якщо ви обчислюєте площадля ремонтних робіт, то невеликий запас не зашкодить - рахуйте, виходячи зі стандарту. Якщо все ж таки необхідно знати реальну висоту - проведіть виміри. Принцип аналогічний виміру довжини, але потрібно драбини.
Перемножте отримані показники – це і є площавашою стіни. Правда, за фарбувальні роботиабо для необхідно відняти площадверних та віконних отворів. Для цього прокладіть сантиметр уздовж отвору. Якщо йдеться про двері, які ви згодом збираєтеся міняти, то проводьте зі знятою дверною коробкою, враховуючи тільки площабезпосередньо самого отвору. Площа вікна обчислюється за периметром його рами. Після того як площавікна та дверного отвору вираховано, відніміть результат із загальної отриманої площі кімнати.
Врахуйте, що виміри довжини та ширини кімнати проводити удвох, так легше зафіксувати сантиметр або рулетку і, відповідно, отримати більше точний результат. Проводьте один і той же замір кілька разів, щоб переконатися в точності отриманих цифр.
Відео на тему
Знаходження обсягу трикутника справді нетривіальне завдання. Річ у тім, що трикутник – двомірна постать, тобто. він повністю лежить в одній площині, а це означає, що в нього просто немає обсягу. Зрозуміло, не можна знайти те, чого не існує. Але не опускатимемо руки! Можна прийняти таке припущення - об'єм двовимірної фігури, це її площа. Площу трикутника ми й шукатимемо.
Вам знадобиться
- аркуш паперу, олівець, лінійка, калькулятор
Інструкція
Накресліть на аркуші паперу за допомогою лінійки та олівця. Уважно розглянувши трикутник, ви зможете переконатися, що в нього справді немає, оскільки він намальований на площині. Підпишіть сторони трикутника: нехай одна сторона буде стороною "а", інша стороною "b", і третя - стороною "c". Підпишіть вершини трикутника літерами "A", "B" та "C".
Виміряйте лінійкою будь-яку сторону трикутника і запишіть результат, що вийшов. Після цього відновіть перпендикуляр до виміряної сторони протилежної їй вершини, такий перпендикуляр буде висотою трикутника. У випадку, наведеному на малюнку, перпендикуляр "h" відновлено до сторони "c" з вершини "A". Виміряйте висоту лінійкою і запишіть результат вимірювання.
Може статися, що вам буде важко відновити точний перпендикуляр. У цьому випадку вам слід користуватися іншою формулою. Виміряйте всі сторони трикутника лінійкою. Після цього підрахуйте півпериметр трикутника "p", склавши довжини сторін, що вийшли, і розділивши їх суму навпіл. Маючи у своєму розпорядженні значення напівпериметра, ви можете за формулою Герона. Для цього необхідно витягти квадратний коріньз наступного: p(p-a)(p-b)(p-c).
Ви отримали потрібну величину площі трикутника. Завдання знаходження обсягу трикутника не вирішена, але як говорилося вище, обсягу не . Ви можете знайти обсяг , яка по суті трикутником у тривимірному світі. Якщо уявити, що наш первісний трикутник став тривимірною пірамідою, то обсяг такої піраміди буде добутком довжини її основи на отриману нами площу трикутника.
Зверніть увагу
Підрахунки будуть тим точніше, чим ретельніше ви проводитимете вимірювання
Джерела:
- Калькулятор "Все у всі" - портал за довідковими величинами
- обсяг трикутника у 2019
Три точки, що однозначно визначають трикутник у Декартовій системі координат - це його вершини. Знаючи їх положення щодо кожної з координатних осей можна обчислити будь-які параметри цієї плоскої фігури, включаючи і периметром, що обмежується її площа. Це можна зробити кількома способами.
Інструкція
Використовуйте формулу Герона для розрахунку площі трикутника. У ній задіяні розміри трьох сторін фігури, тому обчислення починайте з . Довжина кожної сторони повинна дорівнювати кореню із суми квадратів довжин її проекцій на координатні осі. Якщо позначити координати A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) та C(X₃,Y₃,Z₃), довжини їх сторін можна виразити так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Для спрощення розрахунків введіть додаткову змінну - напівпериметр (Р). З , що це половина суми довжин усіх сторін: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Часом у житті зустрічаються такі ситуації, коли доводиться копатися у пам'яті у пошуках давно забутих шкільних знань. Наприклад, потрібно визначити площу земельної ділянки трикутної форми або ж настала черга чергового ремонту в квартирі або приватному будинку, і потрібно порахувати, скільки піде матеріалу для поверхні з трикутною формою. Був час, коли ви могли вирішити таке завдання за пару хвилин, а тепер намагаєтеся пригадати, як же визначити площу трикутника?
Не варто через це переживати! Адже це цілком нормально, коли мозок людини вирішує перекласти знання, що давно не використовуються, кудись у віддалений куточок, з якого часом їх не так і легко витягти. Щоб вам не довелося мучитися з пошуком забутих шкільних знань для вирішення такого завдання, у цій статті зібрані різні методи, які дозволяють легко знайти потрібну площу трикутника.
Загальновідомо, що трикутником називають такий вид багатокутника, який мінімально обмежений можливою кількістюсторін. В принципі, будь-який багатокутник можна розділити на кілька трикутників, з'єднавши його вершини відрізками, які не перетинають його сторони. Тому, знаючи трикутника, можна порахувати площу практично будь-якої фігури.
Серед усіх можливих трикутників, які зустрічаються в житті, можна виділити такі окремі види: і прямокутний.
Найпростіше площа трикутника розраховується, коли один з його кутів прямий, тобто у випадку прямокутного трикутника. Неважко помітити, що він є половиною прямокутника. Тому його площа дорівнює половині добутку сторін, які утворюють між собою прямий кут.
Якщо нам відомі висота трикутника, опущена з однієї з його вершин на протилежний бік, і довжина цієї сторони, яку називають основою, площа розраховується як половина твору висоти на основу. Записується це за допомогою такої формули:
S = 1/2*b*h, у якій
S - потрібна площа трикутника;
b, h - відповідно, висота та основа трикутника.
Так легко розрахувати площу рівнобедреного трикутникаоскільки висота ділитиме протилежну сторону навпіл, і її легко можна буде виміряти. Якщо визначається площа то як висота зручно брати довжину однієї зі сторін, що утворюють прямий кут.
Все це звичайно добре, але як визначити, чи є один із кутів трикутника прямим чи ні? Якщо розмір нашої фігури невеликий, то можна скористатися будівельним кутом, креслярським трикутником, листівкою або іншим предметом прямокутною формою.
Але що робити, якщо у нас трикутний земельна ділянка? У цьому випадку надходять так: відраховують від вершини передбачуваного прямого кутапо одній із сторін відстань кратна 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по іншій стороні відміряють у тій же пропорції відстань кратна 4 (40 см, 160 см, 4 м). Тепер потрібно виміряти відстань між кінцевими точками цих двох відрізків. Якщо вийшло значення кратне 5 (50 см, 250 см, 5 м), можна стверджувати, що кут прямий.
Якщо відомо значення довжини кожної із трьох сторін нашої фігури, то площу трикутника можна визначити, використовуючи формулу Герона. Для того, щоб вона мала більш простий вигляд, застосовують нову величину, яка називається напівпериметром. Це сума всіх сторін нашого трикутника, розділена навпіл. Після того, як напівпериметр порахований, можна приступати до визначення площі за формулою:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), де
sqrt – квадратний корінь;
p - значення напівпериметра (p = (a + b + c) / 2);
а,b,с - ребра (сторони) трикутника.
Але що робити, якщо трикутник має неправильну форму? Тут можливі два способи. Перший полягає в тому, щоб спробувати розділити таку фігуру на два прямокутний трикутниксуму площ яких порахувати окремо, а потім скласти. Або ж, якщо відомий кут між двома сторонами та розмір цих сторін, то застосувати формулу:
S = 0.5 * ab * sinC, де
a, b - Сторони трикутника;
с – величина кута між цими сторонами.
Останній випадок на практиці зустрічається рідко, проте в житті все можливо, тому наведена вище формула не буде зайвою. Успіхів у розрахунках!
