Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду. Лінійні та однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Приклади рішення

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) та q(x) - задані функціївід x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Якщо q(x)\equiv0 то рівняння (1) називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з змінними, що розділяються, і має загальне рішення

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення не однорідного рівнянняможна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Розв'язати рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Рішення.Застосуємо метод постійної варіації. Розглянемо однорідне рівняння y"+2xy=0 , відповідне даному неоднорідному рівнянню. Це рівняння з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд y=Ce^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x , звідки C(x)=x^2+C . Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2) , де C - Постійна інтегрування.

Зауваження.Може виявитися, що диференціальне рівняння лінійно щодо x як функція y . Нормальний вигляд такого рівняння

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо як x=C(y)e^(\sin(y)) , де C(y) - невідома функція від y . Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Отже,

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння x=C(y)e^(\sin(y)) , отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегроване так. Вважаємо

Y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0 , знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x) функцію u(x) , а отже, і рішення y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" у вихідне рівняння, матимемо

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C. Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Використовуючи початкову умову y|_(x=2)=4 отримуємо для знаходження C рівняння 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, звідки C = 0; так що розв'язанням поставленої задачі Коші буде функція y=x^2.

приклад 4.Відомо, що між силою струму i і електрорушійною силою E ланцюга, що має опір R і самоіндукцію L існує залежність E=Ri+L\frac(di)(dt)де R і L - постійні. Якщо вважати E функцією часу t, то отримаємо лінійне неоднорідне рівняння для сили струму i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

Рішення.Маємо \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Загальне рішення цього рівняння маємо вигляд i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Використовуючи початкову умову (13), отримуємо з C=I_0-frac(E_0)(R), так що шукане рішення буде

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що при t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення\frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих C_alpha , що визначається лінійним рівнянням, перетинаються в одній точці (рис. 13).

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

За визначенням, у відповідних точках х є постійним, а y змінним. Беручи будь-які дві дотичні до ліній C_alpha у відповідних точках, для координат точки S їх перетину, отримуємо

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі дотичні до кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рішення.Загальне рішення даного рівняння y = Ce ^ x + \ sin (x) . Будь-яке рішення рівняння, одержуване із загального рішення при C\ne0 буде необмежено, так як при x\to+\infty функція \sin(x) обмежена, а e^x\to+\infty . Звідси випливає, що це рівняння має єдине рішення y=\sin(x) , обмежене при x\to+\infty , яке виходить із загального рішення при C=0 .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

За допомогою заміни змінної z=\frac(1)(y^(n-1))рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння та інтегрується як лінійне.

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Робимо заміну змінної \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", звідки \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Після підстановки останнє рівняння звернеться до лінійне рівняння

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Зауваження.Рівняння Бернуллі може бути проінтегровано також методом постійної варіації, як і лінійне рівняння, і за допомогою підстановки y(x)=u(x)v(x) .

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

Рішення.Застосуємо метод варіації довільної постійної. Загальне рішення відповідного однорідного рівняння xy"+y=0 має вигляд y=\frac(C)(x) . Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді y=\frac(C(x))(x) , де C(x) - нова невідома функція Підставляючи у вихідне рівняння, матимемо

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Для знаходження функції C(x) отримаємо рівняння з змінними, що розділяються, з якого, розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі нелінійні рівнянняпершого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійних рівнянь або рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Заміна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))наводить це рівняння до лінійного \frac(dz)(dx)+z=-x, Загальне рішення якого z = 1-x + Ce ^ (-x) .

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

У деяких рівняннях потрібна функція y(x) може бути під знаком інтеграла. У цих випадках іноді вдається шляхом диференціювання звести дане рівняння до диференціального.

приклад 10.Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або Джерело інформації

Інструкція

Якщо рівняння представлено у вигляді: dy/dx = q(x)/n(y), відносите їх до категорії диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються. Їх можна вирішити, записавши умову в диференціалах за наступною: n (y) dy = q (x) dx. Потім проінтегруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується як інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, у разі dy/dx = x/y, вийде q(x) = x, n(y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx та проінтегруйте. Має вийти y^2 = x^2 + c.

До лінійних рівняннямвідносите рівняння "першої". Невідома функція з її похідними входить у подібне рівняння лише першою мірою. Лінійне має вигляд dy/dx + f(x) = j(x), де f(x) та g(x) – функції, що залежать від x. Рішення записується з допомогою інтегралів, які від відомих функцій.

Врахуйте, що багато диференціальних рівнянь - це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної: md 2x/dt 2 = -kx. Такі рівняння мають, в, приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого: лінійних диференціальних рівнянь, які мають постійний коефіцієнт.

Якщо в умовах завдання лише одне лінійне рівняння, то вам дано додаткові умовизавдяки яким можна знайти рішення. Уважно прочитайте завдання, щоб знайти ці умови. Якщо зміннимих і у позначені відстань, швидкість, вага – сміливо ставте обмеження х≥0 та у≥0. Цілком можливо, під х або у ховається кількість яблук, і т.д. - Тоді значеннями можуть бути лише . Якщо х – вік сина, зрозуміло, що він не може бути старшим за батька, тому вкажіть це в умовах завдання.

Джерела:

• як вирішити рівняння з однією змінною

Завдання на диференціальне та інтегральне обчислення є важливими елементамизакріплення теорії математичного аналізу, розділу вищої математики, що вивчається у вишах. Диференційне рівняннявирішується шляхом інтегрування.

Інструкція

Диференціальне обчислення досліджує властивості. І навпаки, інтегрування функції дозволяє цим властивостям, тобто. похідним або диференціалам функції знайти її саму. У цьому полягає рішення диференціального рівняння.

Будь-яке є співвідношенням між невідомою величиною та відомими даними. Що стосується диференціального рівняння роль невідомого грає функція, а роль відомих величин – її похідні. Крім цього, співвідношення може містити незалежну змінну: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, де x – невідома змінна, y (x) – функція, яку слід визначити, порядок рівняння – це максимальний порядок похідної (n).

Таке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Якщо ж у співвідношенні кілька незалежних змінних і приватні похідні (диференціали) функції цих змінних, то рівняння називається диференціальним рівнянням з приватними похідними і має вигляд: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0, де z(x, y) – потрібна функція.

Отже, щоб навчитися розв'язувати диференціальні рівняння, потрібно вміти знаходити первісні, тобто. вирішувати завдання, зворотне диференціювання. Наприклад: Розв'яжіть рівняння першого порядку y' = -y/x.

РішенняЗамініть y' на dy/dx: dy/dx = -y/x.

Наведіть рівняння до вигляду, зручного для інтегрування. Для цього помножте обидві частини на dx і поділіть на y:dy/y = -dx/x.

Проінтегруйте:∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln | x | + C.

Це рішення називається загальним диференціальним рівнянням. С – це константа, безліч значень якої визначає безліч розв'язків рівняння. За будь-якого конкретного значення З рішення буде єдиним. Таке рішення є частковим рішенням диференціального рівняння.

Вирішення більшості рівнянь вищих ступенівне має чіткої формули, як знаходження коріння квадратного рівняння. Однак існує кілька способів приведення, які дозволяють перетворити рівняння вищого ступеня до наочного вигляду.

Інструкція

Найбільш поширеним методом розв'язання рівнянь вищих ступенів є розкладання. Цей підхід є комбінацією підбору цілісних коренів, дільників вільного члена, і наступне поділ загального многочлена виду (x – x0).

Наприклад, розв'яжіть рівняння x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Рішення. Вільним членом даного багаточлена є -3, отже, його цілочисловими дільниками можуть бути числа ±1 і ±3. Підставте їх по черзі до рівняння та з'ясуйте, чи вийде тотожність:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Другий корінь x = -1. Поділіть на вираз (х + 1). Запишіть рівняння, що вийшло (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Ступінь знизився до другого, отже, рівняння може мати ще два корені. Щоб знайти їх, розв'яжіть квадратне рівняння: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Дискримінант – негативна величина, отже, дійсних коренів у рівняння більше немає. Знайдіть комплексне коріння рівняння: x = (-2 + i·√11)/2 та x = (-2 – i·√11)/2.

Інший спосіб розв'язання рівняння вищого ступеня – заміна змінних приведення його до квадратному. Такий підхід використовується, коли всі ступеня рівняння парні, наприклад: x^4 - 13 · x² + 36 = 0

Тепер знайдіть коріння вихідного рівняння: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Порада 10: Як визначити окисно-відновні рівняння

Хімічна реакція - це процес перетворення речовин, що протікає зі зміною їх складу. Ті речовини, які вступають у реакцію, називаються вихідними, а ті, що утворюються внаслідок цього процесу – продуктами. Буває так, що в ході хімічної реакціїелементи, що входять до складу вихідних речовин, змінюють свій рівень окислення. Тобто вони можуть прийняти чужі електрони та віддати свої. І в тому, і в іншому випадку змінюється їхній заряд. Такі реакції називаються окислювально-відновними.

Конспект лекцій з

диференціальним рівнянням

Диференційне рівняння

Вступ

При вивченні деяких явищ часто виникає ситуація, коли процес не вдається описати за допомогою рівняння y=f(x) чи F(x;y)=0. Крім змінної х і невідомої функції, рівняння входить похідна цієї функції.

Визначення:Рівняння, що зв'язує змінну х, невідому функцію y(x) та її похідні називається диференціальним рівнянням. У загальному виглядідиференціальне рівняння виглядає так:

F(x; y(x); ;;...; y (n)) = 0

Визначення:Порядком диференціального рівняння називається порядок входить до нього старшої похідної.

-Диференційне рівняння 1 порядку

-Диференційне рівняння 3 порядку

Визначення:Рішенням диференціального рівняння є функція, яка при підстановці рівняння перетворює його на тотожність.

Диференційне рівняння 1 порядку

Визначення:Рівняння виду =f(x;y) або F(x;y; )=0називається диференціальним рівнянням 1 порядку.

Визначення:Загальним рішенням диференціального рівняння 1 порядку називається функція y = γ (x; c), де (з -const), яка при підстановці рівняння звертає його в тотожність. Геометрично на площині загальним рішеннямвідповідає сімейство інтегральних кривих, що залежать від параметра с.

Визначення:Інтегральна крива, що проходить через точку площини з координатами (х 0; y 0) відповідає окремому рішенню диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові:

Теорема про існування єдиності розв'язання диференціального рівняння 1 порядку

Дано диференціальне рівняння 1 порядку
і функція f(x; y) безперервна разом з приватними похідними в деякій ділянці D площині XOY, тоді через точку М 0 (х 0; y 0) D проходить єдина крива, що відповідає приватному рішенню диференціального рівняння відповідній початковій умові y(x 0)=y 0

Через точку площини даних координатами проходить 1 інтегральна крива.

Якщо не вдається отримати загальне рішення диференціального рівняння порядку 1 в явному вигляді, тобто
, То його можна отримати в неявному вигляді:

F(x; y; c) = 0 – неявний вигляд

Загальне рішення у такому вигляді називається спільним інтеграломдиференціального рівняння.

По відношенню до диференціального рівняння 1 порядку ставиться 2 завдання:

1) Знайти загальне рішення (загальний інтеграл)

2) Знайти приватне рішення (приватний інтеграл), що задовольняє задану початкову умову. Це завдання називають завданням Коші для диференціального рівняння.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Рівняння виду:
називається диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються.

Підставимо

помножимо на dx

розділимо змінні

розділимо на

Зауваження: обов'язково потрібно розглядати окремий випадок, коли

змінні розділені

проінтегруємо обидві частини рівняння

- спільне рішення

Диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, можна записати у вигляді:

Окремий випадок
!

Проінтегруємо обидві частини рівняння:

1)

2)
поч. умови:

Однорідні диференціальні рівняння 1 порядку

Визначення:Функція
називається однорідної порядкаn, якщо

Приклад: - однорідна функція порядкуn = 2

Визначення:Однорідна функція порядку 0 називається однорідний.

Визначення:Диференціальне рівняння
називається однорідним, якщо
- однорідна функція, тобто

Таким чином, однорідне диференціальне рівняння може бути записано у вигляді:

За допомогою заміни , де t - Функція змінної х, однорідне диференціальне рівняння зводиться до рівняння з змінними, що розділяються.

- Підставимо в рівняння

Змінні розділені, проінтегруємо обидві частини рівняння

Зробимо зворотну заміну, підставивши замість , отримаємо загальне рішення у неявному вигляді.

Однорідне диференціальне рівняння може бути записано диференційної форми.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, де M(x;y) та N(x;y) – однорідні функції однакового порядку.

Розділимо на dx та висловимо

1)

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Конспект лекції для студентів бухгалтерського факультету

заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Диференціальні рівняння першого порядку

Поняття диференціального рівняння. Загальне та приватне рішення

При вивченні різних явищ часто не вдається знайти закон, який безпосередньо пов'язує незалежну змінну та шукану функцію, але можна встановити зв'язок між функцією, що шукається, і її похідними.

Співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням :

Тут x- незалежна змінна, y- Шукана функція,
- похідні функції, що шукається. При цьому у співвідношенні (1) обов'язкова наявність хоча б однієї похідної.

Порядок диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить до рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння

. (2)

Так до цього рівняння входить похідна тільки першого порядку, то воно зв ється диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо рівняння (2) можна дозволити щодо похідної та записати у вигляді

, (3)

то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

У багатьох випадках доцільно розглядати рівняння виду

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, записаним у диференційній формі.

Так як
, то рівняння (3) можна записати у вигляді
або
де можна вважати
і
. Це означає, що рівняння (3) перетворено на рівняння (4).

Запишемо рівняння (4) у вигляді
. Тоді
,
,
де можна вважати
, тобто. отримано рівняння виду (3). Таким чином, рівняння (3) та (4) рівносильні.

Рішенням диференціального рівняння (2) або (3) називається будь-яка функція
, Яка при підстановці її в рівняння (2) або (3) звертає його в тотожність:

або
.

Процес знаходження всіх рішень диференціального рівняння називається його інтегруванням , а графік рішення
диференціального рівняння називається інтегральної кривої цього рівняння.

Якщо рішення диференціального рівняння отримано у неявному вигляді
, то воно називається інтегралом даного диференціального рівняння.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається сімейство функцій виду
, що залежить від довільної постійної З, кожна з яких є рішенням даного диференціального рівняння за будь-якого допустиме значеннядовільної постійної З. Таким чином, диференціальне рівняння має безліч рішень.

Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, одержуване з формули загального рішення при конкретному значенні довільної постійної З, включаючи
.

Завдання Коші та її геометрична інтерпретація

Рівняння (2) має безліч рішень. Щоб із цієї множини виділити одне рішення, яке називається приватним, потрібно задати деякі додаткові умови.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (2) за заданих умов називається завданням Коші . Це є однією з найважливіших теорії диференціальних рівнянь.

Формулюється завдання Коші так: серед усіх розв'язків рівняння (2) знайти таке рішення
, в якому функція
приймає задане числове значення , якщо незалежна змінна x приймає задане числове значення , тобто.

,
, (5)

де D- Область визначення функції
.

Значення називається початковим значенням функції , а – початковим значенням незалежної змінної . Умова (5) називається початковою умовою або умовою Коші .

З геометричного погляду завдання Коші для диференціального рівняння (2) можна сформулювати так: з безлічі інтегральних кривих рівняння (2) виділити ту, що проходить через задану точку
.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Одним з найпростіших видів диференціальних рівнянь є диференціальне рівняння першого порядку, що не містить функції, що шукається:

. (6)

Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, отримаємо:
або

. (7)

Отже, (7) є загальним рішенням рівняння (6).

Приклад 1 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння:
,
. Остаточно запишемо
.

Приклад 2 . Знайти рішення рівняння
за умови
.

Рішення . Знайдемо загальне рішення рівняння:
,
,
,
. За умовою
,
. Підставимо у загальне рішення:
або
. Знайдене значення довільної постійної підставимо у формулу загального рішення:
. Це і є окреме рішення диференціального рівняння, що задовольняє задану умову.

Рівняння

(8)

Називається диференціальним рівнянням першого порядку, що не містить незалежної змінної . Запишемо його у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини останнього рівняння:
або
- загальне рішення рівняння (8).

приклад . Знайти загальне рішення рівняння
.

Рішення . Запишемо це рівняння у вигляді:
або
. Тоді
,
,
,
. Таким чином,
- Загальне рішення даного рівняння.

Рівняння виду

(9)

інтегрується за допомогою поділу змінних. Для цього рівняння запишемо у вигляді
, а потім за допомогою операцій множення та поділу наводимо його до такої форми, щоб в одну частину входила тільки функція від хта диференціал dx, а в другу частину – функція від ута диференціал dy. Для цього обидві частини рівняння потрібно помножити на dxта розділити на
. В результаті отримаємо рівняння

, (10)

в якому змінні хі урозділені. Проінтегруємо обидві частини рівняння (10):
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння (9).

Приклад 3 . Проінтегрувати рівняння
.

Рішення . Перетворимо рівняння та розділимо змінні:
,
. Проінтегруємо:
,
або – загальний інтеграл цього рівняння.
.

Нехай рівняння задано у вигляді

Таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку з змінними, що розділяються. у симетричній формі.

Для поділу змінних потрібно обидві частини рівняння поділити на
:

. (12)

Отримане рівняння називається диференціальним рівнянням з розділеними змінними . Проінтегруємо рівняння (12):

.(13)

Співвідношення (13) є загальним інтегралом диференціального рівняння (11).

Приклад 4 . Проінтегрувати диференціальне рівняння.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді

і розділимо обидві його частини на
,
. Отримане рівняння:
є рівнянням із розділеними змінними. Проінтегруємо його:

,
,

,
. Остання рівність є загальним інтегралом даного диференціального рівняння.

Приклад 5 . Знайти окреме рішення диференціального рівняння
, що задовольняє умову
.

Рішення . Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Розділимо змінні:
. Проінтегруємо це рівняння:
,
,
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння. За умовою
. Підставимо в загальний інтеграл і знайдемо З:
,З=1. Тоді вираз
є окремим рішенням даного диференціального рівняння, записаним як приватного інтеграла.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

(14)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку . Невідома функція
та її похідна входять до цього рівняння лінійно, а функції
і
безперервні.

Якщо
, то рівняння

(15)

називається лінійним однорідним . Якщо
, то рівняння (14) називається лінійним неоднорідним .

Для знаходження рішення рівняння (14) зазвичай використовують метод підстановки (Бернуллі) , Суть якого в наступному.

Рішення рівняння (14) будемо шукати у вигляді виконання двох функцій

, (16)

де
і
- Деякі безперервні функції. Підставимо
та похідну
рівняння (14):

функцію vбудемо підбирати таким чином, щоб виконувалася умова
. Тоді
. Отже, знаходження рішення рівняння (14) потрібно вирішити систему диференціальних рівнянь

Перше рівняння системи є однорідним лінійним рівнянням і вирішити його можна методом поділу змінних:
,
,
,
,
. Як функція
можна взяти одне з окремих рішень однорідного рівняння, тобто. при З=1:
. Підставимо у друге рівняння системи:
або
. Тоді
. Таким чином, загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку має вигляд
.

Приклад 6 . Вирішити рівняння
.

Рішення . Рішення рівняння будемо шукати у вигляді
. Тоді
. Підставимо до рівняння:

або
. функцію vвиберемо таким чином, щоб виконувалася рівність
. Тоді
. Вирішимо перше з цих рівнянь методом поділу змінних:
,
,
,
,. функцію vпідставимо у друге рівняння:
,
,
,
. Загальним рішенням цього рівняння є
.

Запитання для самоконтролю знань

Що називається диференціальним рівнянням?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Яке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку?

Як записується диференціальне рівняння першого порядку у диференційній формі?

Що називається розв'язком диференціального рівняння?

Що називається інтегральною кривою?

Що називається загальним рішенням диференціального рівняння першого ладу?

Що називається приватним розв'язком диференціального рівняння?

Як формулюється завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку?

Якою є геометрична інтерпретація задачі Коші?

Як записується диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, в симетричній формі?

Яке рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку?

Яким способом можна розв'язати лінійне диференціальне рівняння першого ладу й у чому суть цього?

Завдання для самостійної роботи

Розв'язати диференціальні рівняння з змінними, що розділяються:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Думаю, що нам варто почати з історії такого славетного математичного інструменту як диференціальні рівняння. Як і всі диференціальні та інтегральні обчислення, ці рівняння були винайдені Ньютоном наприкінці 17 століття. Він вважав саме це своє відкриття настільки важливим, що навіть зашифрував послання, яке сьогодні можна перекласти приблизно так: Усі закони природи описуються диференціальними рівняннями. Це може здатися перебільшенням, але так і є. Будь-який закон фізики, хімії, біології можна описати цими рівняннями.

Величезний внесок у розвиток та створення теорії диференціальних рівнянь зробили математики Ейлер та Лагранж. Вже у 18-му столітті вони відкрили та розвинули те, що зараз вивчають на старших курсах університетів.

Нова віха у вивченні диференціальних рівнянь почалася завдяки Анрі Пуанкаре. Він створив «якісну теорію диференціальних рівнянь», яка у поєднанні з теорією функцій комплексного змінного внесла значний внесок у основу топології – науки про простір та його властивості.

Що таке диференціальні рівняння?

Багато хто боїться одного словосполучення Однак у цій статті ми докладно викладемо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не такий складний, як здається з назви. Щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку ознайомитися з основними поняттями, які невід'ємно пов'язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціалу.

Диференціал

Багато хто знає це поняття ще зі школи. Проте все ж таки зупинимося на ньому детальніше. Уявіть графік функції. Ми можемо збільшити його настільки, що будь-який його відрізок набуде вигляду прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько одна до одної. Різниця їх координат (x чи y) буде нескінченно малою величиною. Її називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) і dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його зміст та основна функція.

А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це – похідна.

Похідна

Всі ми, напевно, чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання чи зменшення функції. Однак із цього визначення багато стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Повернімося до нескінченно малого відрізка функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за цю відстань функція встигає змінитися якусь величину. І щоб описати цю зміну і вигадали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f(x)"=df/dx.

Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх лише три:

1. Похідну суми або різниці можна представити як суму або різницю похідних: (a+b)"=a"+b" та (a-b)"=a"-b".
2. Друга властивість пов'язана з множенням. Похідна твори - це сума творів однієї функції похідну інший: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Похідну різниці записати можна у вигляді наступної рівності: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всі ці характеристики нам знадобляться для знаходження рішень диференціальних рівнянь першого порядку.

Також бувають приватні похідні. Допустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x та y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продиференціювати.

Інтеграл

Інше важливе поняття – інтеграл. По суті, це пряма протилежність похідної. Інтеграли бувають декількох видів, але для вирішення найпростіших диференціальних рівнянь нам знадобляться найтривіальніші

Отже, Припустимо, ми маємо деяку залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F(x) (часто її називають первісною), похідна від якої дорівнює початковій функції. Таким чином F(x)"=f(x). Звідси випливає також, що інтеграл від похідної дорівнює початковій функції.

При розв'язанні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, тому що доведеться часто їх брати для знаходження рішення.

Рівняння бувають різними залежно від власної природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, та був і навчимося їх вирішувати.

Класи диференціальних рівнянь

"Дифури" діляться по порядку похідних, що у них. Таким чином, буває перший, другий, третій і більш порядок. Їх також можна розділити на кілька класів: прості і в приватних похідних.

У статті ми розглянемо прості диференціальні рівняння першого порядку. Приклади та способи їх вирішення ми також обговоримо у наступних розділах. Розглянемо тільки ОДУ, тому що це найпоширеніші види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з змінними, що розділяються, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчитеся їх вирішувати.

Крім того, ці рівняння можна поєднувати, щоб після нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми також розглянемо та навчимося вирішувати.

Чому ми розглядаємо лише перший порядок? Тому що потрібно починати з простого, а описати все, що пов'язане з диференціальними рівняннями, в одній статті просто неможливо.

Рівняння з змінними, що розділяються

Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого ладу. До них відносяться приклади, які можна записати так: y"=f(x)*f(y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула подання похідної як відношення диференціалів: y"=dy/dx. З її допомогою отримуємо таке рівняння: dy/dx=f(x)*f(y). Тепер ми можемо звернутися до методу розв'язання стандартних прикладів: розділимо змінні частинами, тобто перенесемо все зі змінною y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо зі змінною x. Отримаємо рівняння виду: dy/f(y)=f(x)dx, яке вирішується взяттям інтегралів з обох частин. Не слід забувати і про константу, яку потрібно ставити після взяття інтегралу.

Рішення будь-якого "дифуру" - це функція залежності x від y (у нашому випадку) або, якщо є чисельна умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладівесь хід рішення:

Переносимо змінні в різні боки:

Тепер беремо інтеграли. Усі їх можна знайти у спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Якщо потрібно, ми можемо виразити "гравець" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умову. Можлива умова, наприклад, y(п/2)=e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних у розв'язання та знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно одно 1.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Тепер переходимо до складнішої частини. p align="justify"> Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному вигляді так: y" = z (x, y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її не можна розділити на дві залежності: z від x і z від y. Перевірити , чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто: ми робимо заміну x = k * x і y = k * y. Тепер скорочуємо всі k. Якщо всі ці літери скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. , Скажімо: принцип вирішення цих прикладів теж дуже простий.

Нам потрібно зробити заміну: y = t (x) * x, де t - якась функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y"=t"(x)*x+t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад з змінними t і x, що розділяються. Вирішуємо його та отримуємо залежність t(x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо нашу попередню заміну y=t(x)*x. Тоді одержуємо залежність y від x.

Щоб було зрозуміліше, розберемо приклад: x*y"=y-x*e y/x.

Під час перевірки із заміною все скорочується. Отже, рівняння справді однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y=t(x)*x та y"=t"(x)*x+t(x). Після спрощення отримуємо наступне рівняння: t"(x)*x=-e t . Вирішуємо приклад з розділеними змінними і отримуємо: e -t =ln(C*x). Нам залишилося тільки замінити t на y/x (адже якщо y =t*x, то t=y/x), ми отримуємо відповідь: e -y/x =ln(x*С).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку загалом можна записати такою рівністю: y" + g(x)*y=z(x). Варто уточнити, що z(x) і g(x) можуть бути постійними величинами.

Тепер приклад: y" - y*x=x 2 .

Існує два способи рішення, і ми по порядку розберемо обидва. Перший – метод варіації довільних констант.

Для того, щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частинудо нуля і розв'язати рівняння, яке після перенесення частин набуде вигляду:

ln | y | = x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С = C 1 *e x2/2 .

Тепер треба замінити константу C 1 на функцію v (x), яку ми повинні знайти.

Проведемо заміну похідної:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

І підставимо ці висловлювання у вихідне рівняння:

v"*e x2/2 - x * v * e x2/2 + x * v * e x2/2 = x 2 .

Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданки. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, то ви щось зробили не так. Продовжимо:

v"*e x2/2 = x 2 .

Тепер вирішуємо нормальне рівняння, в якому потрібно розділити змінні:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 * e - x2/2 dx.

Щоб отримати інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування частинами. Однак, це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і за достатньої навички та уважності не забирає багато часу.

Звернемося до другого способу вирішення неоднорідних рівнянь: методом Бернуллі. Який підхід швидше та простіше – вирішувати тільки вам.

Отже, при розв'язанні рівняння цим методом необхідно зробити заміну: y=k*n. Тут k і n – деякі залежні від x функції. Тоді похідна виглядатиме так: y"=k"*n+k*n". Підставляємо обидві заміни до рівняння:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групуємо:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Тепер треба прирівняти до нуля те, що знаходиться у дужках. Тепер, якщо об'єднати два рівняння, що виходять, виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити:

Першу рівність вирішуємо як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні:

Беремо інтеграл та отримуємо: ln(n)=x 2 /2. Тоді, якщо виразити n:

Тепер підставляємо рівність, що вийшла, в друге рівняння системи:

k"*e x2/2 = x 2 .

І перетворюючи, отримуємо таку ж рівність, що й у першому методі:

dk = x 2 /e x2/2.

Ми також не розбиратимемо подальші дії. Спершу рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає суттєві труднощі. Однак при глибшому зануренні в тему це починає виходити все краще та краще.

Де застосовуються диференціальні рівняння?

Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, тому що майже всі основні закони записуються в диференціальній формі, а ті формули, які ми бачимо – розв'язання цих рівнянь. У хімії вони використовують із тієї ж причини: основні закони виводяться з допомогою. У біології диференціальні рівняння застосовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, наприклад, колонії мікроорганізмів.

Як диференціальні рівняння допоможуть у житті?

Відповідь на це запитання проста: ніяк. Якщо ви не вчений або інженер, то навряд чи вам вони знадобляться. Однак для загального розвиткуне завадить знати, що таке диференціальне рівняння та як воно вирішується. І тоді питання сина чи доньки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас у глухий кут. Ну а якщо ви вчений чи інженер, то й самі розумієте важливість цієї теми у будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер питанням "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш те, що люди навіть бояться розібратися.

Основні проблеми щодо

Основною проблемою у розумінні цієї теми є погана навичка інтегрування та диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні та інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методиінтегрування та диференціювання, і лише потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний у статті.

Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (у школі) стверджувалося, що дріб dy/dx неподільний. Тут слід почитати літературу по похідної і зрозуміти, що вона є ставленням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати під час вирішення рівнянь.

Багато хто не відразу усвідомлює, що вирішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або інтеграл, що не береться, і ця помилка завдає їм чимало турбот.

Що ще можна вивчити для кращого розуміння?

Найкраще розпочати подальше занурення у світ диференціального обчисленнязі спеціалізованих підручників, наприклад, математичного аналізудля студентів нематематичних спеціальностей Потім можна переходити до більш спеціалізованої літератури.

Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняннятак що вам завжди буде чого прагнути і що вивчати.

Висновок

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті у вас з'явилося уявлення про те, що таке диференціальні рівняння та як правильно їх вирішувати.

У будь-якому випадку математика якимось чином стане нам у нагоді в житті. Вона розвиває логіку та увагу, без яких кожна людина як без рук.