Відстань між двома паралельними прямими: визначення та приклади знаходження. Найпростіші завдання із прямою на площині. Взаємне розташування прямих. Кут між прямими

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , та якщо з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішеннякраще закладемо ще один важлива цеглав геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівняньз двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну до цієї?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і самим оптимальним маршрутомбуде рух по перпендикуляру. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний добутокнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добутокнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти і сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

У цій статті увага націлена на знаходження відстані між прямими методом координат, що схрещуються. Спочатку дано визначення відстані між прямими, що схрещуються. Далі отримано алгоритм, що дозволяє знайти відстань між прямими, що схрещуються. Наприкінці детально розібрано рішення прикладу.

Навігація на сторінці.

Відстань між прямими, що схрещуються, - визначення.

Перш ніж дати визначення відстані між прямими, що схрещуються, нагадаємо визначення прямих, що схрещуються, і доведемо теорему, пов'язану з прямими, що схрещуються.

Визначення.

- Це відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму.

У свою чергу відстань між прямою та паралельною їй площиною є відстань від деякої точки прямої до площини. Тоді справедливе наступне формулювання визначення відстані між прямими, що схрещуються.

Визначення.

Відстань між схрещуючими прямими– це відстань від деякої точки однієї з прямих, що схрещуються, до площини, що проходить через іншу пряму паралельно першій прямій.

Розглянемо схрещувальні прямі a і b. Зазначимо на прямій a деяку точку М 1 , через пряму b проведемо площину , паралельну прямій a і з точки М 1 опустимо перпендикуляр М 1 H 1 на площину . Довжина перпендикуляра M 1 H 1 є відстань між прямими схрещуються a і b .

Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення.

При знаходженні відстані між прямими схрещуються основна складність часто полягає в тому, щоб побачити або побудувати відрізок, довжина якого дорівнює шуканій відстані. Якщо такий відрізок побудований, то залежно від умов завдання його довжина може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, ознак рівності чи подібності до трикутників тощо. Так ми і чинимо при знаходженні відстані між прямими, що схрещуються, на уроках геометрії в 10-11 класах.

Якщо ж у тривимірному просторі введена Oxyz і в ній задані прямі, що схрещуються, a і b , то впоратися із завданням обчислення відстані між заданими схрещуються прямими дозволяє метод координат. Давайте його докладно розберемо.

Нехай - площина, що проходить через пряму b паралельно прямий a . Тоді відстань між схрещуючими прямими a і b за визначенням дорівнює відстані від деякої точки М 1 , що лежить на прямій a , до площини . Таким чином, якщо ми визначимо координати деякої точки М 1 , що лежить на прямій a і отримаємо нормальне рівняння площини у вигляді , то ми зможемо обчислити відстань від точки до площини за формулою (ця формула була отримана у статті знаходження відстані від точки до площини). А ця відстань дорівнює шуканій відстані між прямими, що схрещуються.

Тепер докладно.

Завдання зводиться до отримання координат точки М 1 , що лежить на прямій a і до знаходження нормального рівняння площини .

З визначенням координат точки М 1 складнощів не виникає, якщо добре знати основні види рівнянь прямої в просторі . А ось на отриманні рівняння площини варто зупинитись докладніше.

Якщо ми визначимо координати деякої точки М 2 через яку проходить площину , а також отримаємо нормальний вектор площини у вигляді то ми зможемо написати загальне рівняння площини як .

Як точку М 2 можна взяти будь-яку точку, що лежить на прямій b , так як площина проходить через пряму b . Таким чином, координати точки М2 можна вважати знайденими.

Залишилося отримати координати нормального вектора площини. Зробимо це.

Площина проходить через пряму b і паралельна до прямої a . Отже, нормальний вектор площини перпендикулярний і напрямному вектору прямої a (позначимо його), і напрямному вектору прямої b (позначимо його). Тоді як вектор можна взяти і , тобто, . Визначивши координати та напрямних векторів прямих a та b та обчисливши ми знайдемо координати нормального вектора площини.

Отже, маємо загальне рівняння площини : .

Залишається тільки привести загальне рівняння площини до нормального вигляду і обчислити відстань між схрещуваними прямими a і b за формулою .

Таким чином, щоб знайти відстань між схрещувальними прямими a і b потрібно:

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

У тривимірному просторі в прямокутній системі координат Oxyz задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Пряму a визначають

Доведення.

Візьмемо крапку , яка лежить на прямий aтоді координати точки М1задовольняють рівняннятобто справедливо рівність, звідки маємо .

Якщо font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а якщо, то нормальне рівняння прямої bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тоді при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">відстань від точкидо прямої bобчислюється за формулою, а при - за формулою

Тобто за будь-якого значення С2відстаньвід крапки до прямої bможна обчислити за формулою. А якщо врахувати рівність, яке було отримано вище, то остання формула набуде виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

2. Розв'язання задач на знаходження відстані між паралельними прямими

Приклад №1.

Знайдіть відстань між паралельними прямимиі Рішення.

Отримаємо загальні рівняння заданих паралельних прямих.

Для прямої font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">відповідає загальне рівняння прямої. Перейдемо від параметричних рівнянь прямого виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">до загального рівняння цієї прямої:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коефіцієнти при змінних xі yв отриманих загальних рівняннях паралельних прямих рівні, тому ми одразу можемо застосувати формулу для обчислення відстані між паралельними прямими на площині:.

Відповідь: font-size:12.0pt; line-height:115%; font-family: Verdana">Приклад №2.

На площині введено прямокутна системакоординат Oxyі дано рівняння двох паралельних прямихі . Знайдіть відстань між вказаними паралельними прямими.

Рішення:

Перший спосіб розв'язання.

Канонічні рівняння прямої на площині видуfont-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">дозволяють відразу записати координати точки М1, що лежить на цій прямій:font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Відстань від цієї точки до прямоїдорівнює шуканій відстані між паралельними прямими. Рівнянняє нормальним рівняннямпрямий, отже, ми можемо відразу обчислити відстань від точкидо прямої font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Другий спосіб розв'язання.

Загальне рівняння однієї із заданих паралельних прямих нам вже даноfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Наведемо канонічне рівнянняпрямийдо загального рівняння прямої:. Коефіцієнти при змінній xу загальних рівняннях заданих паралельних прямих рівні (при змінній yкоефіцієнти теж рівні - вони дорівнюють нулю), тому можна застосовувати формулу, що дозволяє обчислити відстань між заданими паралельними прямими:.

Відповідь: 8

3. Домашнє завдання

Завдання для самоперевірки

1. Знайти відстань між двома паралельними прямими

4.ВИСНОВОК

Усі поставлені цілі та завдання виконані повністю. Розроблено два уроки з розділу « Взаємне розташуванняоб'єктів на площині» на тему «Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими» за допомогою методу координат. Матеріал підібраний на доступному для учнів рівні, що дозволить вирішувати завдання з геометрії більш простими та красивими методами.

5.СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1) , Юдіна. 7 – 9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.

2) , Позняк. Підручник для 10-11 класів середньої школи.

3) , Микільська математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

4) , Позняк геометрія.

6.ДОДАТКИ

Довідковий матеріал

Загальне рівняння прямої:

Ах + Ву + С = 0 ,

де Аі Уне дорівнюють нулю одночасно.

Коефіцієнти Аі Ує координатами нормального вектора прямий (тобто вектора, перпендикулярного до прямої). При А = 0 пряма паралельна осі ОХ, при В = 0 пряма паралельна осі Про Y .

При У0 отримуємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом :

Рівняння прямої, що проходить через точку ( х 0 , у 0) і не паралельної осіOY, має вигляд:

у – у 0 = m (x – х 0) ,

де m – кутовий коефіцієнт , рівний тангенсукута, утвореного даною прямою та позитивним напрямком осі ОХ .

При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

де a = – C / A , b = – C / B . Ця пряма проходить через точки (a, 0) та (0, b), тобто відсікає на осях координат відрізки завдовжкиaі b .

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки (х 1, у 1) та ( х 2, у 2):

Параметричне рівняння прямої , що проходить через точку ( х 0 , у 0) та паралельною напрямному вектору прямий (a, b) :

Умови паралельності прямих:

1) для прямих Ах + Ву + С = 0 таDх+Eу+F = 0: AE – BD = 0 ,

2) для прямих у = m x+ k і у= p x+ q : m = p .

Поряд з точкою та площиною. Це нескінченна фігура, якою можна поєднати будь-які дві точки у просторі. Пряма завжди належить будь-якій площині. Виходячи з розташування двох прямих, слід застосовувати різні методипошуку відстані між ними.

Існує три варіанти розташування двох прямих у просторі один щодо одного: вони паралельні, перетинаються або . Другий варіант можливий, тільки якщо вони в одній площині, не виключає належність двох паралельних площин. Третя ситуація свідчить, що прямі лежать у різних паралельних площинах.

Щоб знайти відстань між двома паралельними прямими, потрібно визначити довжину перпендикулярного відрізка, що з'єднує їх у будь-яких двох точках. Оскільки прямі мають дві однакові координати, що випливає з визначення їхньої паралельності, то рівняння прямих у двовимірному координатному просторі можна записати так:
L1: а х + b у + с = 0;
L2: х + b у + d = 0.
Тоді можна знайти довжину відрізка за такою формулою:
s = |с - d|/√(a² + b²), причому неважко помітити, що з = D, тобто. збігу прямих, відстань дорівнюватиме нулю.

Зрозуміло, що відстань між прямими, що перетинаються, у двомірній координат не має сенсу. Зате коли вони розташовані в різних площинах, його можна знайти як довжину відрізка, що лежить у площині перпендикулярної їм обом. Кінцями цього відрізка будуть точки, що є проекціями будь-яких двох точок прямих на цю площину. Іншими його довжина дорівнює відстані між паралельними площинами, що містять ці прямі. Таким чином, якщо площині задані загальними рівняннями:
α: А1 х + В1 у + С1 z + Е = 0,
β: А2 х + В2 у + С2 z + F = 0,
відстань між прямими можна за формулою:
s = | Е - F | / √ ( | А1 А2 | + В1 В2 + С1 С2).

Зверніть увагу

Прямі взагалі і схрещуються зокрема цікаві як математикам. Їх властивості корисні у багатьох інших областях: у будівництві та архітектурі, в медицині та в самій природі.

Порада 2: Як знайти відстань між двома паралельними прямими

Визначення відстані між двома об'єктами, що знаходяться в одній або декількох площинах, є одним із найпоширеніших завдань у геометрії. Керуючись загальноприйнятими методами, ви можете знайти відстань між двома паралельними прямими.

Інструкція

Паралельними називаються прямі, що лежать в одній площині, або не перетинаються, або збігаються. Для знаходження відстані між паралельними прямими слід вибрати довільну точку на одній із них, після чого опустити перпендикуляр до другої прямої. Тепер залишається лише виміряти довжину відрізка, що вийшов. Довжина з'єднує дві паралельні прямі перпендикуляри і буде відстанню між ними.

Зверніть увагу на порядок проведення перпендикуляра від однієї паралельної прямої до іншої, оскільки від цього залежить точність розрахованої відстані. Для цього скористайтеся креслярським інструментом «трикутником» із прямим кутом. Виберіть точку на одній із прямих, прикладіть до неї одну із сторін трикутника, що примикають до прямому куту(катет), а другу сторону поєднайте з іншою прямою. Гостро заточеним олівцем проведіть уздовж першого катета лінію так, щоб вона досягла протилежної прямої.

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих (рис.1).

Теорема 1. Про властивість сторін та кутів паралелограма.У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні сума кутів, прилеглих до однієї стороні паралелограма, дорівнює 180°.

Доведення. У даному паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС та отримаємо два трикутники ABC та ADC (рис.2).

Ці трикутники рівні, оскільки ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна. З рівності ΔABC = ΔADC випливає, що АВ = CD, ВС = AD, ∠B = ∠D. Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих. Теорему доведено.

Зауваження. Рівність протилежних сторін паралелограма означає, що відрізки паралельних, що відсікаються паралельними, рівні.

Наслідок 1. Якщо дві прямі паралельні, то всі точки однієї прямої знаходяться на тій самій відстані від іншої прямої.

Доведення. Справді, нехай || b (рис.3).

Проведемо з якихось двох точок В і С прямої b перпендикуляри ВА і CD до прямої а. Оскільки АВ || CD, то фігура ABCD - паралелограм, а отже, АВ = CD.

Відстанню між двома паралельними прямими називається відстань від довільної точки однієї з прямих до іншої прямої.

За доведеним воно дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з якоїсь точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

приклад 1.Периметр паралелограма дорівнює 122 см. Одна з його сторін більша за іншу на 25 см. Знайти сторони паралелограма.

Рішення. По теоремі 1 протилежні сторони паралелограма дорівнюють. Позначимо одну сторону паралелограма через х, іншу через у. Тоді за умовою $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Вирішуючи цю систему, отримаємо х = 43, у = 18. Таким чином, сторони паралелограма дорівнюють 18, 43, 18 і 43 см.

приклад 2.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 4.

Позначимо АВ через х, а ПС через у. За умовою периметр паралелограма дорівнює 10 см, тобто 2(x + у) = 10 або х + у = 5. Периметр трикутника ABD дорівнює 8 см. А так як АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8-5 = 3 . Отже, BD = 3 див.

приклад 3.Знайти кути паралелограма, знаючи, що один з них більший за інший на 50°.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 5.

Позначимо градусний захід кута А через х. Тоді градусна міра кута D дорівнює х + 50 °.

Кути BAD та ADC внутрішні односторонні при паралельних прямих АВ та DC та січній AD. Тоді сума цих названих кутів становитиме 180°, тобто.
х + х + 50 ° = 180 °, або х = 65 °. Таким чином, ∠A = ∠C = 65°, a ∠B = ∠D = 115°.

приклад 4.Сторони паралелограма дорівнюють 4,5 дм та 1,2 дм. З вершини гострого кута проведено бісектрису. На які частини вона ділить велику сторону паралелограма?

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 6.

АЕ - бісектриса гострого кута паралелограма. Отже, ∠1 = ∠2.