Закони вагань. Гармонічні коливання - Гіпермаркет знань

Ми розглянули декілька фізично повністю різних систем, і переконалися, що рівняння руху наводяться до однієї і тієї ж форми

Відмінності між фізичними системамивиявляються лише в різному визначеннівеличини і в різному фізичному сенсі змінної x: це може бути координата, кут, заряд, струм і т. д. Зазначимо, що при цьому, як випливає із самої структури рівняння (1.18), величина завжди має розмірність зворотного часу.

Рівняння (1.18) описує так звані гармонійні коливання.

Рівняння гармонійних коливань(1.18) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку (оскільки воно містить другу похідну від змінної) x). Лінійність рівняння означає, що

якщо якась функція x(t)є рішенням цього рівняння, то функція Cx(t)також буде його рішенням ( C- Довільна постійна);

якщо функції x 1 (t)і x 2 (t)є рішеннями цього рівняння, їх сума x 1 (t) + x 2 (t)також буде вирішенням того ж рівняння.

Доведено також математичну теорему, згідно з якою рівняння другого порядку має два незалежні рішення. Всі інші рішення, згідно з властивостями лінійності, можуть бути отримані як їх лінійні комбінації. Безпосереднім диференціюванням легко перевірити, чи незалежні функції задовольняють рівняння (1.18). Значить, загальне рішенняцього рівняння має вигляд:

де C 1 ,C 2- Довільні постійні. Це рішення може бути подане і в іншому вигляді. Введемо величину

і визначимо кут співвідношеннями:

Тоді загальне рішення (1.19) записується як

Згідно з формулами тригонометрії, вираз у дужках дорівнює

Остаточно приходимо до загальному рішенню рівняння гармонійних коливаньу вигляді:

Невід'ємна величина Aназивається амплітудою коливання, - початковою фазою коливання. Весь аргумент косинуса – комбінація – називається фазою коливання.

Вирази (1.19) і (1.23) цілком еквівалентні, тому ми можемо користуватися будь-яким з них, виходячи з міркувань простоти. Обидва рішення є періодичними функціямичасу. Справді, синус та косинус періодичні з періодом . Тому різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу t*, за який фаза коливання отримує приріст, кратне :

Звідси випливає, що

Найменша з цих часів

називається періодом коливань (рис. 1.8), а - його круговий (циклічний) частотою.

Мал. 1.8.

Використовують також частоту вагань

Відповідно, кругова частота дорівнює числу коливань за секунд.

Отже, якщо система в момент часу tхарактеризується значенням змінної x(t),те ж саме значення, змінна буде мати через проміжок часу (рис.1.9), тобто

Це значення, природно, повториться через час 2T, ЗTі т.д.

Мал. 1.9. Період коливань

До загального рішення входять дві довільні постійні ( C 1 , C 2або A, a), значення яких повинні визначатися двома початковими умовами. Зазвичай (хоч і не обов'язково) їхню роль відіграють початкові значення змінної x(0)та її похідною.

Наведемо приклад. Нехай рішення (1.19) рівняння гармонійних коливань визначає рух пружинного маятника. Значення довільних постійних залежить від способу, яким ми вивели маятник зі стану рівноваги. Наприклад, ми відтягли пружину на відстань і відпустили кульку без початкової швидкості. У цьому випадку

Підставляючи t = 0в (1.19), знаходимо значення постійної З 2

Рішення, таким чином, має вигляд:

Швидкість вантажу знаходимо диференціюванням за часом

Підставляючи сюди t = 0, знаходимо постійну З 1:

Остаточно

Порівнюючи з (1.23), знаходимо, що - це амплітуда коливань, яке початкова фаза дорівнює нулю: .

Виведемо тепер маятник із рівноваги іншим способом. Вдаримо по вантажу, так що він придбає початкову швидкість, але практично не зміститься за час удару. Маємо тоді інші початкові умови:

наше рішення має вигляд

Швидкість вантажу змінюватиметься згідно із законом:

Підставимо сюди:

Гармонічні коливання

Графіки функцій f(x) = sin( x) та g(x) = cos( x) на декартовій площині.

Гармонічне коливання- коливання, при яких фізична (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним або косинусоїдальним законом. Кінематичне рівняння гармонійних коливань має вигляд

,

де х- зміщення (відхилення) точки, що коливається від положення рівноваги в момент часу t; А- амплітуда коливань, це величина, що визначає максимальне відхилення точки, що коливається від положення рівноваги; ω - циклічна частота, величина, що показує кількість повних коливань, що відбуваються протягом 2π секунд - повна фаза коливань - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання в диференційному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішенняцього диференціального рівняння- є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Еволюція в часі переміщення, швидкості та прискорення при гармонійному русі

• Вільні коливанняздійснюються під дією внутрішніх силсистеми після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннямируху), і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).
• Вимушені коливаннявідбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Застосування

Гармонічні коливання виділяються з решти видів коливань з наступних причин:

також

Примітки

Література

• фізика. Елементарний підручник фізики/За ред. Г. С. Лансберг. - 3 вид. – М., 1962. – Т. 3.
• Хайкін З. Еге.Фізичні засади механіки. - М., 1963.
• А. М. Афонін.Фізичні засади механіки. - вид. МДТУ ім. Баумана, 2006.
• Горєлік Г. С.Коливання та хвилі. Введення в акустику, радіофізику та оптику. – М.: Фізматліт, 1959. – 572 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Гармонічні коливання" в інших словниках:

Сучасна енциклопедія

Гармонічні коливання- ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ, періодичні зміни фізичної величини, що відбуваються за законом синуса. Графічно гармонійні коливання зображуються кривою синусоїдою. Гармонічні коливання найпростіший видперіодичних рухів, що характеризується … Ілюстрований енциклопедичний словник

Коливання, у яких фізична величина змінюється із часом за законом синуса чи косинуса. Графічно Р. до. зображуються кривою синусоїдою або косінусоїдою (див. рис.); вони можуть бути записані у формі: х = Asin (ωt + φ) або х … Велика радянська енциклопедія

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ, періодичний рух, такий як рух МАЯТНИКА, атомні коливання або коливання в електричного ланцюга. Тіло робить незагасаючі гармонічні коливання, коли воно коливається вздовж лінії, переміщаючись на однакове… Науково-технічний енциклопедичний словник

Коливання, при яких фіз. (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним законом: x = Asin (wt + j), де x значення величини, що коливається в даний. момент часу t (для механіч. Р. до., напр., Зміщення або швидкість, для ... Фізична енциклопедія

гармонійні коливання- механічні коливання, при яких узагальнена координата та (або) узагальнена швидкість змінюються пропорційно синусу з аргументом, що лінійно залежить від часу. [Збірник термінів, що рекомендуються. Випуск 106. Механічні вагання. Академія наук … Довідник технічного перекладача

Коливання, при яких фіз. (або будь-яка інша) величина змінюється в часі за синусоїдальним законом, де х значення коливається величини в момент часу t (для механіч. Р. до., напр., зсув і швидкість, для електрич. напруга і сила струму) … Фізична енциклопедія

Гармонічні коливання- (Див.), При яких фіз. величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса (напр. зміни (див.) та швидкості при коливанні (див.) або зміни (див.) та сили струму при електричних Р. к.) … Велика політехнічна енциклопедія

Характеризуються зміною величини x, що коливається (напр., відхилення маятника від положення рівноваги, напруги в ланцюгу змінного струму і т. д.) у часі t за законом: x = Asin (?t + ?), де А амплітуда гармонійних коливань, ? кутова… … Великий Енциклопедичний словник

Гармонічні коливання- 19. Гармонічні коливання Коливання, у яких значення коливається величини змінюються у часі згідно із законом Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Періодич. коливання, при яких зміна в часі фіз. величини відбувається за законом синуса або косинуса (див. рис.): s = Аsin (wt + ф0), де s відхилення величини, що коливається від її пор. (Рівноважного) значення, А = const амплітуда, w = const кругова … Великий енциклопедичний політехнічний словник

Рух маятника в годиннику, землетрус, змінний струм в електричному ланцюзі, процеси радіопередачі та радіоприймання - це зовсім різні, не пов'язані один з одним процеси. Кожен з них має свої особливі причини, але їх поєднує одна ознака – ознака спільності характеру зміни фізичних величин із часом. Ці та багато інших процесів різної фізичної природи у багатьох випадках виявляється доцільним розглядати як один особливий тип фізичних явищ – коливання.

Загальна ознака фізичних явищ, які називають коливаннями, - це їх повторюваність у часі. За різної фізичної природи багато коливань відбуваються за однаковими законами, що дозволяє застосовувати загальні методидля їх опису та аналізу.

Гармонійні коливання.З великої кількостірізних коливань у природі та техніці особливо часто зустрічаються гармонійні коливання. Гармонічними називають коливання, що відбуваються за законом косинуса чи синуса:

де - величина, що зазнає коливань; - Час; - Постійна величина, зміст якої буде з'ясовано далі.

Максимальне значення величини, що змінюється за гармонічним законом, називають амплітудою коливань. Аргумент косинуса чи синуса при гармонійних коливаннях називають фазою коливання

Фазу коливання в початковий час називають початковою фазою. Початкова фаза визначає значення величини у початковий момент часу

Значення функції синуса або косинуса при зміні аргументу функції повторюються, тому при гармонійних коливаннях значення величини повторюються при зміні фази коливання на . З іншого боку, при гармонійному коливанні величина повинна приймати ті ж значення через інтервал часу, званий періодом коливань Т. Отже, зміна фази відбувається

через період коливань Т. Для випадку, коли отримаємо:

З виразу (1.2) випливає, що постійна рівняння гармонійних коливань є число коливань, які за секунд. Величину називають циклічною частотою коливань. Використовуючи вираз (1.2), рівняння (1.1) можна виразити через частоту або період Т коливань:

Поряд з аналітичним способом опису гармонійних коливань широко використовують графічні методиїх уявлення.

Перший спосіб – завдання графіка коливань у декартовій системі координат. По осі абсцис відкладають час I, а по осі ординат - значення величини, що змінюється Для гармонійних коливань цей графік - синусоїда або косинусоїда (рис. 1).

Другий спосіб представлення коливального процесу – спектральний. По осі ординат відраховують амплітуду, а осі абсцис - частоту гармонійних коливань. Гармонійний коливальний процес із частотою та амплітудою представлений у цьому випадку вертикальним відрізком прямою довжиною проведеним від точки з координатою на осі абсцис (рис. 2).

Третій спосіб опису гармонійних коливань – метод векторних діаграм. У цьому способі використовують наступний, чисто формальний прийом для знаходження в будь-який момент часу значення величини, що змінюється за гармонічним законом:

Виберемо на площині довільно спрямовану координатну вісь по якій відлічуватимемо цікаву для нас величину З початку координат вздовж осі проведемо вектор модуль якого дорівнює амплітуді гармонійного коливання ХТ. Якщо тепер уявімо, що вектор обертається навколо початку координат в площині з постійною кутовою швидкістю проти годинникової стрілки, то кут а між вектором, що обертається, і віссю в будь-який момент часу визначиться виразом.

>> Гармонічні коливання

§ 22 Гармонічні коливання

Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і координата тіла, що коливається, можна на основі математичного аналізу знайти залежність координати від часу.

Прискорення – друга похідна координати за часом.Миттєва швидкість точки, як вам відомо з курсу математики, є похідною координати точки за часом. Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом. Тому рівняння (3.4) можна записати так:

де х " - Друга похідна координати за часом. Відповідно до рівняння (3.11) при вільних коливаннях координата х змінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

З курсу математики відомо, що похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функцій, взятим з протилежним знаком. У математичний аналіздоводиться, що жодні інші функції такою властивістю не мають. Все це дозволяє з повною підставою стверджувати, що координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синусу або пасинусу. На малюнку 3.6 показано зміну координати точки з часом за законом косинуса.

p align="justify"> Періодичні зміни фізичної величини в залежності від часу, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань.Амплітудою гармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда може мати різні значенняв залежності від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу або від того, яка швидкість повідомляється тілу. Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу. Але максимальні значеннямодуля синуса та модуля косинуса рівні одиниці. Тому рішення рівняння (3.11) не може виражатися просто синусом чи косинусом. Воно повинне мати вигляд твору амплітуди коливань х m на синус чи косинус.

Розв'язання рівняння, що описує вільні коливання.Запишемо рішення рівняння (3.11) у такому вигляді:

а друга похідна дорівнюватиме:

Ми здобули рівняння (3.11). Отже, функція (3.12) є рішенням вихідного рівняння (3.11). Вирішенням цього рівняння буде також функція

Графік залежності координати тіла від часу згідно (3.14) є косинусоїдою (див. рис. 3.6).

Період та частота гармонійних коливань. При коливаннях руху тіла періодично повторюються. Проміжок часу Т, за який система здійснює один повний циклколивань, називається періодом коливань.

Знаючи період, можна визначити частоту коливань, тобто число коливань в одиницю часу, наприклад, за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системіодиниць (СІ) частота коливань дорівнює одиниці, якщо за секунду відбувається одне коливання. Одиниця частоти називається герцем (скорочено: Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2 с дорівнює:

Величина – циклічна, або кругова, частота коливань. Якщо в рівнянні (3.14) час t дорівнює одному періоду, то T = 2. Таким чином, якщо в момент часу t = 0 х = х m, то і в момент часу t = Т х = х m, тобто через Проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань визначають своєю частотою коливальної системи 1 .

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.Власна частота коливань тіла, прикріпленого до пружини, відповідно до рівняння (3.13) дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m. Це легко зрозуміти: жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла. А чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили. Період коливань дорівнює:

Маючи в своєму розпорядженні набором пружин різної жорсткостіі тілами різної маси, неважко переконатися з досвіду, що формули (3.13) і (3.18) правильно описують характер залежності і від k і m.

Чудово, що період коливань тіла на пружині та період коливань маятника при малих кутах відхилення не залежать від амплітуди коливань.

Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням t і зміщенням х в рівнянні (3.10), що описує коливання маятника, являє собою, як і в рівнянні (3.11), квадрат циклічної частоти. Отже, власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Ця формула була вперше отримана та перевірена на досвіді голландським ученим Г. Гюйгенсом – сучасником І. Ньютона. Вона справедлива лише малих кутів відхилення нитки.

1 Часто надалі для стислості ми називатимемо циклічну частоту просто частотою. Відрізнити циклічну частоту від звичайної частоти можна за позначеннями.

Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить. Це легко перевірити на досвіді з різними маятниками. Залежність періоду коливань від прискорення вільного падіння можна також виявити. Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

Залежність періоду коливань маятника значення g використовується практично. Вимірюючи період коливань, можна точно визначити g. Прискорення вільного падіння змінюється з географічною широтою. Але й цій широті воно скрізь однаково. Адже щільність земної корине всюди однакова. У районах, де залягають щільні породи, прискорення g дещо більше. Це враховують під час пошуку корисних копалин.

Так, залізна руда має підвищену щільність у порівнянні зі звичайними породами. Проведені під керівництвом академіка А. А. Михайлова виміри прискорення вільного падіння під Курськом дозволили уточнити місця залягання залізняку. Спочатку вони були виявлені за допомогою магнітних вимірів.

Властивості механічних коливань використовуються у пристроях більшості електронних ваг. Тіло, що зважується, кладуть на платформу, під якою встановлена ​​жорстка пружина. В результаті виникають механічні коливання частота яких вимірюється відповідним датчиком. Мікропроцесор, пов'язаний з цим датчиком, переводить частоту коливань в масу тіла, що зважується, так як ця частота залежить від маси.

Отримані формули (3.18) та (3.20) для періоду коливань свідчать про те, що період гармонійних коливань залежить від параметрів системи (жорсткості пружини, довжини нитки тощо).

Мякішев Г. Я., Фізика. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні / Г. Я. Мякішев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругін; за ред. В. І. Ніколаєва, Н. А. Парфентьєвої. - 17-те вид., перероб. та дод. – М.: Просвітництво, 2008. – 399 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно шкільній програміз фізики онлайн, відеоматеріал з фізики для 11 класу

Зміст уроку конспект уроку опорний каркаспрезентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Механічне гармонійне коливання- це прямолінійний нерівномірний рух, при якому координати тіла, що коливається (матеріальної точки) змінюються за законом косинуса або синуса в залежності від часу.

Відповідно до цього визначення, закон зміни координати в залежності від часу має вигляд:

Де wt – величина під знаком косинуса чи синуса; w- Коефіцієнт, фізичний зміст якого розкриємо нижче; А – амплітуда механічних гармонійних коливань.

Рівняння (4.1) є основними кінематичними рівняннями гармонійних механічних коливань.

Розглянемо наступний приклад. Візьмемо вісь Ох (рис. 64). З точки 0 проведемо коло з радіусом R = А. Нехай точка М з положення 1 починає рухатися коло з постійною швидкістю v(або з постійною кутовою швидкістю w, v = wА). Через деякий час t радіус повернеться на кут ф: ф = wt.

При такому русі по колу точки М її проекція на вісь х М х здійснюватиме рух уздовж осі х, координата якої х дорівнюватиме х = А cos ф = = А cos wt. Таким чином, якщо матеріальна точка рухається по колу радіусом А, центр якого збігається з початком координат, то проекція цієї точки на вісь х (і на вісь у) здійснюватиме гармонійні механічні коливання.

Якщо відома величина wt, що стоїть під знаком косинуса, і амплітуда А, можна визначити їх у рівнянні (4.1).

Величину wt, що стоїть під знаком косинуса (або синуса), однозначно визначальну координату точки, що коливається при заданій амплітуді, називають фазою коливання. Для точки М, що рухається по колу, величина w означає її кутову швидкість. Який фізичний зміст величини w для точки М х, що здійснює механічні гармонійні коливання? Координати точки М х, що коливається, однакові в деякий момент часу t і (Т +1) (з визначення періоду Т), тобто A cos wt = A cos w (t + Т), а це означає, що w(t + Т) - wt = 2 ПІ(З якості періодичності функції косинуса). Звідси випливає, що

Отже, для матеріальної точки, що здійснює гармонічні механічні коливання, величину w можна інтерпретувати як кількість коливань за певний циклчасу, рівний 2л. Тому величину wназвали циклічною(або круговий) частотою.

Якщо точка М починає свій рух не з точки 1 а з точки 2, то рівняння (4,1) набуде вигляду:

Величину ф 0називають початковою фазою.

Швидкість точки М х знайдемо як похідну від координати часу:

Прискорення точки, що вагається за гармонійним законом, визначимо як похідну від швидкості:

З формули (4.4) видно, що швидкість точки, що здійснює гармонійні коливання, змінюється також за законом косинуса. Але швидкість по фазі випереджає координату на ПІ/2. Прискорення при гармонійному коливанні змінюється за законом косинуса, але випереджає координату по фазі п. Рівняння (4.5) можна записати через координату х:

Прискорення при гармонійних коливаннях пропорційно усунення з протилежним знаком. Помножимо праву та ліву частини рівняння (4.5) на масу коливальної матеріальної точки т, отримаємо співвідношення:

Згідно з другим законом Ньютона, фізичний зміст правої частини виразу (4.6) є проекцією сили F x , яка забезпечує гармонійне механічний рух:

Величина F x пропорційна зсуву х і спрямована протилежно йому. Прикладом такої сили є сила пружності, величина якої пропорційна деформації та протилежно їй спрямована (закон Гука).

Закономірність залежності прискорення від усунення, що випливає з рівняння (4.6), розглянуту нами для механічних гармонійних коливань, можна узагальнити і застосувати при розгляді коливань іншої фізичної природи (наприклад, зміна струму в коливальному контурі, зміна заряду, напруги, індукції магнітного поляі т. д.). Тому рівняння (4.8) називають основним рівнянням динаміки гармонічних коливань.

Розглянемо рух пружинного та математичного маятників.

Нехай до пружини (рис. 63), розташованої горизонтально і закріпленої в точці 0, одним кінцем прикріплено тіло масою т, яке може переміщатися вздовж осі без тертя. Коефіцієнт жорсткості пружини нехай дорівнює k. Виведемо тіло m зовнішньою силоюз положення рівноваги та відпустимо. Тоді вздовж осі х на тіло діятиме лише пружна сила, яка згідно із законом Гука, дорівнюватиме: F yпр = -kx.

Рівняння руху цього тіла матиме вигляд:

Порівнюючи рівняння (4.6) і (4.9), робимо два висновки:

З формул (4.2) та (4.10) виводимо формулу для періоду коливань вантажу на пружині:

Математичним маятником називається тіло масою т, підвішене на довгій нерозтяжній нитці дуже малої маси. У положенні рівноваги цього тіла діятимуть сила тяжкості і сила пружності нитки. Ці сили врівноважуватимуть одна одну.

Якщо нитку відхилити на кут авід положення рівноваги, то на тіло діють ті ж сили, але вони вже не врівноважують один одного, і тіло починає рухатися по дузі під дією складової сили тяжіння, спрямованої вздовж дотичної до дуги і mg sin a.

Рівняння руху маятника набуває вигляду:

Знак мінус у правій частині означає, що сила F x = mg sin a спрямована проти усунення. Гармонічне коливання відбуватиметься за малих кутів відхилення, тобто за умови а 2* sin a.

Замінимо sin а врівняння (4.12), отримаємо наступне рівняння.