Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга. Шийдлийн жишээ. Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дурын тогтмолыг өөрчлөх арга

Лекц 44. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлүүд. (Онцгой баруун хэсэг).

Нийгмийн өөрчлөлтүүд. Төр ба сүм.

Большевикуудын нийгмийн бодлого нь тэдний ангийн хандлагаас ихээхэн хамааралтай байв. 1917 оны арваннэгдүгээр сарын 10-ны өдрийн зарлигаар үл хөдлөх хөрөнгийн тогтолцоог халж, хувьсгалаас өмнөх цол, цол, шагналыг татан буулгасан. Шүүгчийн сонгуулийг тогтоосон; иргэний улсуудыг секуляржуулах ажил хийгдсэн. Үнэгүй боловсролыг бий болгосон ба эмнэлгийн үйлчилгээ(1918 оны 10-р сарын 31-ний өдрийн тогтоол). Эмэгтэйчүүд эрчүүдтэй адил тэгш эрхтэй болсон (1917 оны 12-р сарын 16, 18-ны тогтоол). Гэрлэлтийн тухай тогтоолд иргэний гэрлэлтийн институцийг нэвтрүүлсэн.

Ардын Комиссаруудын Зөвлөлийн 1918 оны 1-р сарын 20-ны өдрийн тогтоолоор сүмийг төрөөс, боловсролын тогтолцооноос тусгаарлав. Сүмийн эд хөрөнгийн ихэнх хэсгийг хураан авчээ. 1918 оны 1-р сарын 19-нд Москва ба Бүх Оросын Патриарх Тихон (1917 оны 11-р сарын 5-нд сонгогдсон) Зөвлөлт засгийн эрхийг анатематизмд оруулж, большевикуудын эсрэг тэмцэхийг уриалав.

Шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзье

Бүтэц нийтлэг шийдэлИйм тэгшитгэлийг дараах теоремоор тодорхойлно.

Теорем 1.Ерөнхий шийдэл нь тийм биш юм нэгэн төрлийн тэгшитгэл(1) нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл болон харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

(2)

Баталгаа. Бид нийлбэр гэдгийг батлах хэрэгтэй

(1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм. Эхлээд (3) функц нь (1) тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг баталъя.

Үүний оронд нийлбэрийг (1) тэгшитгэлд орлуулж байна цагт, байх болно

(2) тэгшитгэлийн шийдэл байгаа тул эхний хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэгтэй ижил байна. (1) тэгшитгэлийн шийдэл байгаа тул хоёр дахь хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэнцүү байна f(x). Тиймээс тэгш байдал (4) нь ижил төстэй байдал юм. Ийнхүү теоремын эхний хэсэг нотлогдож байна.

Хоёр дахь мэдэгдлийг баталцгаая: илэрхийлэл (3) байна ерөнхийтэгшитгэлийн шийдэл (1). Энэ илэрхийлэлд орсон дурын тогтмолуудыг эхний нөхцөл хангагдахын тулд сонгож болно гэдгийг бид нотлох ёстой.

(5)

ямар ч тоо x 0 , y 0ба (зөвхөн бол x 0үйл ажиллагаа явуулдаг газраас авсан a 1, a 2болон f(x)Үргэлжилсэн).

хэлбэрээр төлөөлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй . Дараа нь нөхцөл (5) дээр үндэслэн бид байна

Энэ системийг шийдэж, олъё 1-ээсболон 2-оос. Системийг дараах байдлаар дахин бичье.

(6)

Энэ системийн тодорхойлогч нь функцүүдийн Вронский тодорхойлогч гэдгийг анхаарна уу 1болон 2 цагтцэг дээр x=x 0. Эдгээр функцууд нь таамаглалаар шугаман бие даасан байдаг тул Вронскийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш; Тиймээс (6) систем тодорхой шийдэлтэй байна 1-ээсболон 2-оос, өөрөөр хэлбэл ийм үнэт зүйлс байдаг 1-ээсболон 2-оос, өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангах (1) тэгшитгэлийн шийдийг (3) томъёогоор тодорхойлно. Q.E.D.

Дараа нь үргэлжлүүлье нийтлэг арганэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүдийг олох.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичье (2)

. (7)

Бид нэгэн төрлийн бус (1) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг (7) хэлбэрээр хайх болно. 1-ээсболон 2-оос-аас хараахан үл мэдэгдэх зарим онцлог шинж чанарууд X.

Тэгш байдлыг ялгаж үзье (7):

Бид хүссэн функцүүдийг сонгоно 1-ээсболон 2-оосингэснээр тэгш байдал

. (8)

Үүнийг харгалзан үзвэл нэмэлт нөхцөл, дараа нь эхний дериватив хэлбэрийг авна

.

Одоо энэ илэрхийлэлийг ялгаж үзвэл бид:

Тэгшитгэл (1)-д орлуулж бид олж авна

Эхний хоёр хаалтанд байгаа илэрхийллүүд алга болно, учир нь y 1болон y2нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм. Тиймээс сүүлчийн тэгш байдал нь хэлбэрийг авдаг

. (9)

Тиймээс (7) функц нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн (1) шийдэл байх болно 1-ээсболон 2-оос(8) ба (9) тэгшитгэлийг хангана. (8) ба (9) тэгшитгэлээс тэгшитгэлийн системийг зохиоё.

Энэ системийн тодорхойлогч нь шугаман бие даасан шийдлийн Вронскийн тодорхойлогч учраас y 1болон y2тэгшитгэл (2), тэгвэл энэ нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс, системийг шийдэж, бид яаж гэдгийг олж мэднэ тодорхой функцууд-аас X.

Шугаман нэг төрлийн бус байдлыг авч үзье дифференциал тэгшитгэлтөрлийн

хаана - хүссэн аргумент функц , болон функцууд



тодорхой интервалаар өгөгдсөн бөгөөд үргэлжилдэг
.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье. зүүн талнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн зүүн талтай давхцаж байгаа (2.31),

(2.32) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл (2.31).

Нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай дараах теорем (2.31) биелнэ.

Теорем 2.6.Домэйн дэх шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн (2.31) ерөнхий шийдэл

нь түүний аль нэг шийдлийн нийлбэр ба (2.33) муж дахь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2.32) ерөнхий шийд, i.e.

хаана - тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл (2.31),
- үндсэн системнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл (2.32), ба
дурын тогтмолууд юм.

Энэ теоремын баталгааг эндээс олж болно.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээг ашиглан шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох аргыг танилцуулж байна. Энэ аргыг нэрлэдэг Дурын тогтмолуудын Лагранж аргын хувилбарууд.

Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэл өгье

(2.35)

коэффициентүүд хаана байна
ба баруун тал
тодорхой интервалд тасралтгүй
.

-ээр тэмдэглээрэй
болон
нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем

(2.36)

Дараа нь түүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

(2.37)

хаана болон дурын тогтмолууд юм.

Бид ижил хэлбэрээр (2.35) тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно , түүнчлэн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, дурын тогтмолуудыг зарим дифференциалагдах функцээр солих. (бид дурын тогтмолуудыг өөрчилдөг),тэдгээр.

хаана
болон
-аас ялгах функцууд юм , одоо болтол тодорхойгүй байгаа бөгөөд (2.38) функц нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн (2.35) шийдэл байхаар тодорхойлохыг хичээх болно. Тэгш байдлын хоёр талыг ялгаж (2.38) бид олж авна

Тиймээс тооцоолохдоо -ийн хоёрдугаар эрэмбийн дериватив байхгүй
болон
, бид үүнийг хаа сайгүй шаарддаг
нөхцөл

Дараа нь байх болно

Хоёр дахь деривативыг тооцоол

Орлуулах илэрхийлэл ,,(2.38), (2.40), (2.41)-ээс (2.35) тэгшитгэлд оруулснаар бид олж авна.

Дөрвөлжин хаалт дахь илэрхийлэл нь хаа сайгүй тэгтэй тэнцүү байна
, учир нь болон - тэгшитгэлийн тусгай шийдлүүд (2.36). Энэ тохиолдолд (2.42) хэлбэрийг авна. Энэ нөхцлийг (2.39) нөхцөлтэй хослуулснаар бид тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.
болон

(2.43)

Сүүлийн систем нь хоёр алгебрийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн систем юм
болон
. Энэ системийн тодорхойлогч нь шийдлүүдийн үндсэн системийн Вронскийн тодорхойлогч юм ,тэгэхээр хаа сайгүй тэгээс ялгаатай
. Энэ нь систем (2.43) өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Ямар нэгэн байдлаар шийдвэрлэсэн байх
,
олох

хаана
болон
сайн мэддэг функцууд юм.

Интеграцчлалыг хийж, үүнийг харгалзан үзэх
,
Хэрэв та аль нэг хос функцийг авах ёстой, бид интеграцийн тогтмолуудыг тэгтэй тэнцүүлэв. Авах

(2.44) илэрхийллийг (2.38) харьцаанд орлуулснаар бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2.35) хүссэн шийдийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олохын тулд энэ аргыг ерөнхийд нь авч үзэж болно --р захиалга.

Жишээ 2.6. тэгшитгэлийг шийд
цагт
хэрэв функцууд

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.

Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд Лагранжийн аргын дагуу эхлээд системийг (2.43) шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь манай тохиолдолд хэлбэртэй байна.
Тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг дараах байдлаар багасгах бид авдаг

Эхний тэгшитгэлийн гишүүнийг хоёр дахь тэгшитгэлээс гишүүнээр хасвал бид олно
дараа нь эхний тэгшитгэлээс дагана
Интеграцийг хийж, интеграцийн тогтмолуудыг тэгтэй тэнцүү болгосноор бид байна

Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна

хаана болон дурын тогтмолууд юм.

Эцэст нь бид шийдэл ногдуулах зарчим гэж нэрлэгддэг нэг гайхалтай шинж чанарыг тэмдэглэж, дараах теоремоор тайлбарлав.

Теорем 2.7.Хэрэв хооронд нь байвал
функц
- функцийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл
ижил интервал дээрх тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, функц
тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх гурван арга бий:

• тогтмол өөрчлөлтийн арга (Лагранж).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг Лагранжийн аргаар авч үзье.

Тогтмол өөрчлөлтийн арга (Лагранж)

Тогтмол өөрчлөлтийн аргын хувьд бид тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг. Эхний шатанд бид анхны тэгшитгэлийг хялбарчилж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийддэг. Хоёр дахь шатанд бид шийдлийн эхний шатанд олж авсан интеграцийн тогтмолыг функцээр солих болно. Дараа нь бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

Тэгшитгэлийг авч үзье:
(1)

Алхам 1 Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна.

Энэ бол салгаж болох тэгшитгэл юм

Тусдаа хувьсагч - dx-ээр үржүүлж, y-ээр хуваана:

Бид нэгтгэдэг:

y дээр интеграл - хүснэгт:

Дараа нь

Хүчтэй болгох:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, тогтмол тоогоор үржүүлэхэд хүргэдэг модулийн тэмдгийг хасъя. ±1, бид үүнийг C-д багтаасан:

Алхам 2 С тогтмолыг функцээр солино

Одоо C тогтмолыг x функцээр орлъё:
c → u (x)
Өөрөөр хэлбэл, бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно (1) зэрэг:
(2)
Бид деривативыг олдог.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
.
Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

.
Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна (1) :
(1) ;

.
Хоёр нэр томъёог багасгасан:
;
.
Бид нэгтгэдэг:
.
Орлуулах (2) :
.
Үүний үр дүнд бид нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.
.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх жишээ

тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ:

Хувьсагчдыг ялгах:

Үржүүлье:

Бид нэгтгэдэг:

Хүснэгтийн интеграл:

Хүчтэй болгох:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, модулийн тэмдгүүдийг арилгацгаая.

Эндээс:

С тогтмолыг x функцээр орлъё:
c → u (x)

Бид деривативыг олдог:
.
Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:
;
;
Эсвэл:
;
.
Бид нэгтгэдэг:
;
Тэгшитгэлийн шийдэл:
.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ хичээл нь тухайн сэдвийг аль хэдийн сайн эсвэл бага мэддэг оюутнуудад зориулагдсан болно. Хэрэв та алсын удирдлагатай дөнгөж танилцаж эхэлж байгаа бол, i.e. Хэрэв та цайны хүн бол эхний хичээлээс эхлэхийг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ. Хэрэв та аль хэдийн дуусгаж байгаа бол арга нь хэцүү гэсэн урьдчилсан төсөөллөөс татгалзана уу. Учир нь тэр энгийн нэгэн.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ямар тохиолдолд ашигладаг вэ?

1) Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE. Тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэрэглэлийн тул тогтмол (тогтмол) нь бас нэг байна.

2) Заримыг шийдэхийн тулд дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашигладаг шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлхоёр дахь захиалга. Энд хоёр тогтмол (тогтмол) өөрчлөгддөг.

Хичээл нь хоёр догол мөрөөс бүрдэнэ гэж үзэх нь логик юм .... Тиймээс би энэ саналыг бичиж, 10 орчим минутын турш өөр ямар ухаантай новшийг нэмэх талаар маш их бодсон. практик жишээнүүд. Гэхдээ яагаад ч юм амралтын дараа ямар ч бодол алга, гэхдээ би юу ч буруулаагүй юм шиг санагддаг. Тиймээс эхний догол мөр рүү шууд орцгооё.

Дурын тогтмол өөрчлөлтийн арга
шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг авч үзэхээсээ өмнө нийтлэлтэй танилцах нь зүйтэй. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл. Тэр хичээл дээр бид дадлага хийсэн шийдвэрлэх эхний арга 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус DE. Энэхүү анхны шийдлийг би танд сануулж байна солих аргаэсвэл Бернулли арга(үүнтэй андуурч болохгүй Бернулли тэгшитгэл!!!)

Бид одоо авч үзэх болно шийдвэрлэх хоёр дахь арга– дурын тогтмолыг өөрчлөх арга. Би зөвхөн гурван жишээ хэлье, би дээрх хичээлээс авч үзэх болно. Яагаад ийм цөөхөн гэж? Учир нь үнэн хэрэгтээ хоёр дахь аргын шийдэл нь эхний аргын шийдэлтэй маш төстэй байх болно. Нэмж дурдахад, миний ажигласнаар дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг орлуулах аргыг бодвол бага ашигладаг.

Жишээ 1

(Хичээлийн 2-р жишээнээс ялгаатай 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус бөгөөд танил хэлбэртэй байна:

Эхний алхам бол илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм.
Өөрөөр хэлбэл, бид тэнэг байдлаар баруун талыг дахин тохируулсан - үүний оронд бид тэг бичдэг.
Тэгшитгэл Би залгая туслах тэгшитгэл.

AT энэ жишээДараах туслах тэгшитгэлийг шийд.

Бидний өмнө салгаж болох тэгшитгэл, үүний шийдэл нь танд хэцүү байхаа больсон гэж найдаж байна:

Энэ замаар:
нь туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Хоёр дахь алхам дээр солихзаримын тогтмол хараахан"x"-ээс хамаарах үл мэдэгдэх функц:

Тиймээс аргын нэр - бид тогтмолыг өөрчилдөг. Эсвэл тогтмол нь одоо олох ёстой зарим функц байж болно.

AT эхнэгэн төрлийн бус тэгшитгэл Орлуулъя:

Орлуулах ба тэгшитгэлд оруулна :

хяналтын мөч - зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёог цуцална. Хэрэв ийм зүйл болохгүй бол та дээрх алдааг хайх хэрэгтэй.

Орлуулалтын үр дүнд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авна. Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэ.

Ямар их ерөөл вэ, илтгэгчид ч бас багасч байна:

Бид олсон функцэд "хэвийн" тогтмолыг нэмнэ:

Дээр эцсийн шатБидний орлуулалтыг санаарай:

Функц дөнгөж олдлоо!

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Хариулт:нийтлэг шийдвэр:

Хэрэв та хоёр шийдлийг хэвлэвэл бид хоёр тохиолдолд ижил интеграл олсон гэдгийг та амархан анзаарах болно. Ганц ялгаа нь шийдлийн алгоритмд л байна.

Одоо илүү төвөгтэй зүйл бол би хоёр дахь жишээн дээр тайлбар өгөх болно:

Жишээ 2

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
(Хичээлийн 8-р жишээнээс ялгаатай 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)

Шийдэл:Бид тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулдаг :

Баруун талыг тэг болгож, туслах тэгшитгэлийг шийд:

Туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид орлуулалтыг хийнэ:

Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

Орлуулах ба анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлд:

Зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёо хүчингүй болж, энэ нь бид зөв зам дээр байна гэсэн үг юм:

Бид хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг. Хэсэг хэсгүүдийг нэгтгэх томъёоны амттай үсэг нь шийдэлд аль хэдийн орсон тул бид жишээ нь "a" ба "be" үсгүүдийг ашигладаг.

Одоо орлуулалтыг харцгаая:

Хариулт:нийтлэг шийдвэр:

Бас нэг жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 3

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

,
(4-р хичээлийн жишээнээс ялгаатай 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)
Шийдэл:
Энэ DE нь шугаман нэг төрлийн бус байна. Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Туслах тэгшитгэлийг шийдье:

Бид хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэдэг:

Нийтлэг шийдвэр:
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид орлуулалтыг хийнэ:

Орлуулахыг хийцгээе:

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох тодорхой шийдлийг ол.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл нь байж болно үлгэр жишээтөлөө дуусгахдаалгавар.

Дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга
шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд
тогтмол коэффициенттэй

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийн дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь тийм ч амар зүйл биш гэсэн санааг олонтаа сонсдог. Гэхдээ би дараахь зүйлийг таамаглаж байна: энэ арга нь тийм ч түгээмэл биш тул олон хүнд хэцүү мэт санагддаг. Гэвч бодит байдал дээр онцгой бэрхшээл байхгүй - шийдвэрийн явц нь тодорхой, ил тод, ойлгомжтой байдаг. Бас үзэсгэлэнтэй.

Энэ аргыг эзэмшихийн тулд баруун талын хэлбэрийн дагуу тодорхой шийдлийг сонгох замаар хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх нь зүйтэй юм. Энэ арганийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн. 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус DE. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болохыг бид санаж байна.

Дээрх хичээл дээр авч үзсэн сонголтын арга нь зөвхөн олон гишүүнт, экспонент, синус, косинусууд баруун талд байрлах цөөн тооны тохиолдолд л ажилладаг. Гэхдээ баруун талд, жишээлбэл, бутархай, логарифм, шүргэгч байвал яах вэ? Ийм нөхцөлд тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга нь аврах ажилд ирдэг.

Жишээ 4

Хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн баруун талд бутархай байгаа тул тодорхой шийдлийг сонгох арга нь ажиллахгүй гэдгийг бид шууд хэлж чадна. Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.

Аадар бороог юу ч илэрхийлдэггүй, шийдлийн эхлэл нь маш энгийн зүйл юм.

Олъё нийтлэг шийдвэрхамааралтай нэгэн төрлийнтэгшитгэл:

Зохиолж, шийдээрэй шинж чанарын тэгшитгэл:


– коньюгат нийлмэл үндсийг олж авдаг тул ерөнхий шийдэл нь:

Ерөнхий шийдлийн тэмдэглэлд анхаарлаа хандуулаарай - хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү.

Одоо бид эхний эрэмбийн тэгшитгэлтэй бараг ижил трик хийж байна: бид тогтмолуудыг өөрчилдөг, тэдгээрийг үл мэдэгдэх функцээр сольдог. Тэр бол, нэгэн төрлийн бус ерөнхий шийдэлБид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно.

Хаана - харааханүл мэдэгдэх функцууд.

Хогийн цэг шиг харагдаж байна ахуйн хог хаягдал, гэхдээ одоо бүгдийг цэгцэлье.

Функцийн дериватив нь үл мэдэгдэх үүрэг гүйцэтгэдэг. Бидний зорилго бол дериватив олох бөгөөд олсон дериватив нь системийн эхний болон хоёрдугаар тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой.

"Тоглоом" хаанаас гардаг вэ? Өрөвтас тэднийг авчирдаг. Бид өмнө нь олж авсан ерөнхий шийдлийг хараад дараахь зүйлийг бичнэ.

Деривативуудыг олцгооё:

Зүүн талтай харьцсан. Баруун талд юу байна?

анхны тэгшитгэлийн баруун тал, Энэ тохиолдолд:

Коэффициент нь хоёр дахь дериватив дээрх коэффициент юм.

Практикт бараг үргэлж, бидний жишээ ч үл хамаарах зүйл биш юм.

Бүх зүйл тодорхой болсон, одоо та систем үүсгэж болно:

Систем нь ихэвчлэн шийдэгддэг Крамерын томъёоны дагуустандарт алгоритмыг ашиглан. Ганц ялгаа нь бид тоонуудын оронд функцтэй байдаг.

Системийн гол тодорхойлогчийг ол:

Хэрэв та "хоёр хоёр" тодорхойлогч хэрхэн илчлэгдэж байгааг мартсан бол хичээлийг үзнэ үү Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?Холбоос нь ичгүүрийн самбар руу хөтөлдөг =)

Тэгэхээр: , тэгэхээр систем нь өвөрмөц шийдэлтэй.

Бид деривативыг олдог:

Гэхдээ энэ нь бүгд биш, одоогоор бид зөвхөн деривативыг олсон.
Функц өөрөө интеграцчилалаар сэргээгддэг:

Хоёрдахь функцийг авч үзье:

Энд бид "хэвийн" тогтмолыг нэмнэ

Шийдлийн эцсийн шатанд бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ямар хэлбэрээр хайж байснаа санаж байна уу? Ийм-д:

Танд хэрэгтэй функцууд саяхан олдлоо!

Орлуулах ажлыг хийж, хариултыг бичихэд л үлддэг.

Хариулт:нийтлэг шийдвэр:

Зарчмын хувьд хариулт нь хаалтыг нээж болно.

Хариултыг бүрэн шалгах ажлыг гүйцэтгэнэ стандарт схем, энэ нь хичээл дээр яригдсан 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус DE. Гэхдээ бид нэлээд хүнд деривативуудыг олж, нүсэр орлуулалт хийх ёстой тул баталгаажуулах нь тийм ч хялбар биш байх болно. Та ийм ялгааг шийдэж байх үед энэ нь тааламжгүй шинж чанар юм.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийг дурын тогтмолуудын вариацын аргаар шийд

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Үнэн хэрэгтээ баруун тал нь бас бутархай юм. Бид санаж байна тригонометрийн томъёо, дашрамд хэлэхэд, үүнийг шийдлийн явцад хэрэглэх шаардлагатай болно.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь хамгийн их байдаг бүх нийтийн арга. Тэд шийдэж болох ямар ч тэгшитгэлийг шийдэж чадна баруун талын хэлбэрийн дагуу тодорхой шийдлийг сонгох арга. Тэнд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг яагаад ашиглаж болохгүй гэж асуулт гарч ирнэ. Хариулт нь тодорхой байна: хичээл дээр авч үзсэн тодорхой шийдлийг сонгох Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлүүд, шийдлийг ихээхэн хурдасгаж, тэмдэглэгээг багасгадаг - тодорхойлогч болон интегралтай холилдохгүй.

Хоёр жишээг авч үзье Кошигийн асуудал.

Жишээ 6

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол

,

Шийдэл:Дахин бутархай ба илтгэгч сонирхолтой газар.
Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.

Олъё нийтлэг шийдвэрхамааралтай нэгэн төрлийнтэгшитгэл:



- өөр өөр бодит үндэсийг олж авсан тул ерөнхий шийдэл нь:

Нэг төрлийн бус байдлын ерөнхий шийдэлБид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайж байна: , энд - харааханүл мэдэгдэх функцууд.

Системийг үүсгэцгээе:

Энэ тохиолдолд:
,
Дериватив олох:
,

Энэ замаар:

Бид системийг Крамерын томъёогоор шийддэг.
, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Бид интеграцийн тусламжтайгаар функцийг сэргээдэг:

Энд ашигласан функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах арга.

Бид хоёр дахь функцийг нэгтгэх замаар сэргээдэг.

Ийм интеграл шийдэгддэг хувьсах орлуулалтын арга:

Орлуулалтаас бид дараахь зүйлийг илэрхийлж байна.

Энэ замаар:

Энэ интегралыг олж болно бүтэн квадрат сонгох арга, гэхдээ ялгавартай жишээнүүдэд би бутархайг өргөжүүлэхийг илүүд үздэг тодорхойгүй коэффициентийн арга:

Хоёр функцийг олсон:

Үүний үр дүнд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Анхны нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг ол .

Техникийн хувьд шийдлийн эрэл хайгуул нь нийтлэлд дурдсан стандарт аргаар явагддаг. Нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Хүлээгээрэй, одоо бид олсон ерөнхий шийдлийн деривативыг олох болно.

Ийм гутамшиг энд байна. Үүнийг хялбарчлах шаардлагагүй, тэгшитгэлийн системийг нэн даруй зохиох нь илүү хялбар байдаг. Эхний нөхцлийн дагуу :

Тогтмолуудын олсон утгыг орлуулна уу ерөнхий шийдэл болгон:

Хариуд нь логарифмуудыг бага зэрэг багцалж болно.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Таны харж байгаагаар интеграл ба деривативт хүндрэл гарч болох боловч дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргын алгоритмд биш юм. Би чамайг айлгасан биш, энэ бүгд Кузнецовын цуглуулга юм!

Амрахын тулд эцсийн, энгийн, өөрөө шийдэх жишээ:

Жишээ 7

Кошигийн асуудлыг шийд

,

Жишээ нь энгийн, гэхдээ бүтээлч, та систем хийхдээ шийдэхээсээ өмнө сайтар ажиглаарай ;-),




Үүний үр дүнд ерөнхий шийдэл нь:

Эхний нөхцөлд тохирсон тодорхой шийдлийг ол .



Бид тогтмолуудын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга

Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бүтээх дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = е(т)

дурын тогтмолуудыг өөрчлөхөөс бүрдэнэ в керөнхий шийдвэрт

z(т) = в 1 z 1 (т) + в 2 z 2 (т) + ... + в n z n (т)

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл

а n (т)z (n) (т) + а n − 1 (т)z (n − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0

туслах функцүүдэд в к (т) , тэдгээрийн деривативууд нь шугаман алгебрийн системийг хангадаг

Системийн тодорхойлогч (1) нь функцүүдийн Вронскийн үзүүлэлт юм z 1 ,z 2 ,...,z n , энэ нь түүний өвөрмөц шийдэлтэй байдлыг баталгаажуулдаг.

Хэрэв интегралын тогтмолуудын тогтмол утгуудын эсрэг деривативууд байвал функц болно

нь анхны шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байгаа үед нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн интеграл нь квадрат болж буурдаг.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдийг векторын хэвийн хэлбэрт оруулах дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга

хэлбэрээр тодорхой шийдэл (1) бүтээхээс бүрдэнэ

хаана З(т) нь матриц хэлбэрээр бичигдсэн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн үндэс юм. вектор функцдурын тогтмолуудын векторыг орлуулсан , хамаарлаар тодорхойлогдоно. Хүссэн тодорхой шийдэл (эхний утга тэг байх үед). т = т 0 хэлбэртэй байна

Тогтмол коэффициент бүхий системийн хувьд сүүлийн илэрхийллийг хялбаршуулсан болно.

Матриц З(т)З− 1 (τ)дуудсан Коши матрицоператор Л = А(т) .

Гадаад холбоосууд

• exponenta.ru - Жишээнүүдийн онолын лавлагаа

Викимедиа сан. 2010 он.