Санамсаргүй хэмжигдэхүүний томъёоны дисперсийг ол. Disp.v функцийг ашиглан excel дээр дисперсийг хэрхэн тооцох вэ
Математикийн хүлээлт ба тархалт - хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанарууд санамсаргүй хувьсагч. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Практикийн олон асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн тайлбарыг - тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тэдгээр нь тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тодорхойлолтоор хязгаарлагддаг.
Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт - тархалтын шинж чанар, түүний эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт математикийн хүлээлт.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбараас эхлээд математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг x тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая x1 , x 2 , ..., x n, мөн материаллаг цэг бүр нь түүнд тохирох масстай х1 , х 2 , ..., х n. Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан тодорхойлдог x тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, үүнд цэг бүрийн абсцисса xбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийнхүү олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.
Жишээ 1Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд 400 нь тус бүр 10 рубль юм. Тус бүр нь 300-20 рубль Тус бүр нь 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль байна. Нэг тасалбар авсан хүн дунджаар хэдэн төгрөгийн хожил авах вэ?
Шийдэл. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 рубльтэй тэнцэх нийт хожлын дүнг 1000-д (хожлын нийт дүн) хуваасан тохиолдолд бид дундаж ялалтыг олох болно. Дараа нь бид 50000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж ашгийг тооцоолох илэрхийллийг дараахь хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Нөгөөтэйгүүр, эдгээр нөхцөлд хожлын хэмжээ нь 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж өгөөж нийлбэртэй тэнцүү байнахожлын хэмжээний бүтээгдэхүүнийг олж авах магадлалаар.
Жишээ 2Хэвлэлийн газар хэвлүүлэхээр шийдсэн шинэ ном. Тэр номоо 280 рублиэр зарах гэж байгаа бөгөөд үүнээс 200-г нь өөрт нь, 50-г нь номын дэлгүүрт, 30-ыг нь зохиолчид өгөх юм байна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.
Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтын орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.
| Тоо | Ашиг xби | Магадлал хби | xби хби |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Нийт: | 1,00 | 25000 |
Тиймээс бид нийтлэгчийн ашгийн математикийн хүлээлтийг олж авдаг.
.
Жишээ 3Нэг цохилтоор цохих боломж х= 0.2. 5-тай тэнцэх тооны цохилтын математик хүлээлтийг хангах бүрхүүлийн хэрэглээг тодорхойл.
Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байсан хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлж байна x- бүрхүүлийн хэрэглээ:
.
Жишээ 4Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл xГурван цохилттой цохилтын тоо, хэрэв сум тус бүрээр онох магадлал х = 0,4 .
Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг олох Бернулли томъёо .
Хүлээгдэж буй шинж чанарууд
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно:
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Эд хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). FROM, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:
Зөвхөн математикийн хүлээлтээр хязгаарлагдах боломжгүй үед
Ихэнх тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг зохих ёсоор тодорхойлж чадахгүй.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье Xболон ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:
| Утга X | Магадлал |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Утга Ю | Магадлал |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:
Гэсэн хэдий ч тэдний тархалт өөр байна. Санамсаргүй утга Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь шүүх боломжгүй тодорхой татах хүчөндөр, бага цалинтай ажилчид. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээр дор хаяж дунджаар ямар хазайлт гарах боломжтойг дүгнэж болохгүй. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт
тархалтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематикийн хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xдуудсан арифметик утгатүүний дисперсийн квадрат язгуур:
.
Жишээ 5Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох Xболон Ю, тэдгээрийн тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт Xболон Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. дисперсийн томъёоны дагуу Э(X)=Э(y)=0 бид дараахыг авна:
Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xболон Юбүрдүүлнэ
.
Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг бөгөөд санамсаргүй Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний хуваарилалтын ялгааны үр дагавар юм.
Жишээ 6Хөрөнгө оруулагч нь өөр хөрөнгө оруулалтын 4 төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийн талаархи мэдээллийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.
| Төсөл 1 | Төсөл 2 | Төсөл 3 | Төсөл 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Альтернатив тус бүрийн хувьд математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.
Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр хэмжигдэхүүнийг хэрхэн тооцдог болохыг харуулъя.
Хүснэгтэд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.
Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд бүгд ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүр гэж тайлбарлаж болно - энэ нь том байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл их байх болно. Нэг их эрсдэл хүсэхгүй байгаа хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгох бөгөөд энэ нь хамгийн бага стандарт хазайлттай (0). Хэрэв хөрөнгө оруулагч эрсдэлтэй, богино хугацаанд өндөр өгөөжтэй байхыг илүүд үздэг бол тэр хамгийн том төслийг сонгох болно стандарт хэлбэлзэл- төсөл 4.
Тархалтын шинж чанарууд
Дисперсийн шинж чанарыг танилцуулъя.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын тархалт тэг байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.
.
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ утгын квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн утгын математик хүлээлтийн квадратыг хасна.
,
хаана 
.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:
Жишээ 7Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.
Шийдэл. -ээр тэмдэглээрэй хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал x1 = −3 . Дараа нь үнэ цэнийн магадлал x2 = 7 1 - байх болно х. Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:
Э(X) = x 1 х + x 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,
Бид магадлалыг хаанаас авах вэ: х= 0.3 ба 1 − х = 0,7 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | −3 | 7 |
| х | 0,3 | 0,7 |
Бид энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг дисперсийн 3-р шинж чанарын томъёог ашиглан тооцоолно.
Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 8Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлалтай 3 гэсэн том утгыг авна. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.
Жишээ 9Нэг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байдаг. 3 бөмбөгийг савнаас авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Санамсаргүй утга X 0, 1, 2, 3 утгуудыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно. магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| х | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Иймээс энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь:
Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтралтай x тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(x). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функц нь аргумент болдог xбигэнэт өөрчлөгддөг, тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд аргумент тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. . Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгах замаар нягтын функцийг олох хэрэгтэй.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
Статистикийн хэлбэлзлийн үндсэн ерөнхий үзүүлэлтүүд нь хэлбэлзэл ба дундаж юм стандарт хэлбэлзэл.
Тархалт тэр Арифметик дундаж Онцлог бүрийн утгын нийт дунджаас квадрат хазайлт. Дисперсийг ихэвчлэн хазайлтын дундаж квадрат гэж нэрлэдэг ба 2 гэж тэмдэглэнэ. Анхны өгөгдлөөс хамааран дисперсийг энгийн эсвэл жигнэсэн арифметик дундажаас тооцоолж болно.
жингүй (энгийн) тархалт;
жигнэсэн дисперс.
Стандарт хэлбэлзэл нь үнэмлэхүй хэмжээсийн ерөнхий шинж чанар юм өөрчлөлтүүд нийлбэр дэх шинж чанар. Энэ нь тэмдэгтэй ижил нэгжээр (метр, тонн, хувь, га гэх мэт) илэрхийлэгддэг.
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур бөгөөд -ээр тэмдэглэнэ:
жинлээгүй стандарт хазайлт;
жигнэсэн стандарт хазайлт.
Стандарт хазайлт нь дундаж утгын найдвартай байдлын хэмжүүр юм. Стандарт хазайлт бага байх тусам арифметик дундаж нь төлөөлсөн нийт хүн амыг илүү сайн тусгадаг.
Стандарт хазайлтыг тооцоолохын өмнө хэлбэлзлийн тооцоог хийнэ.
Жинлэсэн дисперсийг тооцоолох журам нь дараах байдалтай байна.
1) арифметик жигнэсэн дундажийг тодорхойлно:
2) сонголтуудын дунджаас хазайлтыг тооцоолох:
3) сонголт бүрийн дундажаас хазайлтыг квадрат:
4) квадрат хазайлтыг жингээр (давтамжаар) үржүүлэх:
5) хүлээн авсан ажлуудыг нэгтгэн дүгнэх:
6) үүссэн дүнг жингийн нийлбэрт хуваана:
Жишээ 2.1
Арифметик жигнэсэн дундажийг тооцоолох:
Дунджаас хазайсан утгууд ба тэдгээрийн квадратуудыг хүснэгтэд үзүүлэв. Зөрчлийг тодорхойлъё:
Стандарт хазайлт нь дараахтай тэнцүү байна.
Хэрэв эх сурвалж өгөгдлийг интервал хэлбэрээр үзүүлбэл түгээлтийн цуврал , дараа нь та эхлээд онцлог шинж чанарын дискрет утгыг тодорхойлж, дараа нь тайлбарласан аргыг хэрэглэх хэрэгтэй.
Жишээ 2.2
Улаан буудайн ургацаар нэгдлийн тариалангийн талбайн тархалтын талаархи мэдээлэлд интервалын цувралын зөрүүгийн тооцоог үзүүлье.
Арифметик дундаж нь:
Вариацийг тооцоолъё:
6.3. Хувь хүний өгөгдлийн томъёоны дагуу тархалтыг тооцоолох
Тооцооллын техник тархалт нарийн төвөгтэй, сонголт, давтамжийн том утгын хувьд төвөгтэй байж болно. Тархалтын шинж чанарыг ашиглан тооцооллыг хялбарчилж болно.
Тархалт нь дараах шинж чанартай байдаг.
1. Хувьсах шинж чанарын жинг (давтамж) тодорхой тоогоор бууруулах буюу нэмэгдүүлэх нь тархалтыг өөрчлөхгүй.
2. Онцлог бүрийн утгыг ижил тогтмол утгаар бууруулах буюу нэмэгдүүлэх ГЭХДЭЭтархалт өөрчлөгдөхгүй.
3. Онцлог бүрийн үнэ цэнийг тодорхой тоогоор бууруулах буюу нэмэгдүүлэх кдахь хэлбэлзлийг тус тус бууруулж эсвэл нэмэгдүүлдэг к 2 удаа стандарт хэлбэлзэл дотор кнэг удаа.
4. Дурын утгаас хамаарах шинж чанарын дисперс нь арифметик дундажтай харьцуулахад дундаж ба дурын утгуудын зөрүүний квадратаар үргэлж их байна:
Хэрвээ ГЭХДЭЭ 0 байвал бид дараах тэгшитгэлд хүрнэ.
өөрөөр хэлбэл, шинж чанарын хэлбэлзэл нь шинж чанарын утгын дундаж квадрат ба дундаж утгын квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
Зөрчлийг тооцоолохдоо өмч бүрийг дангаар нь эсвэл бусадтай хослуулан ашиглаж болно.
Зөрчлийг тооцоолох журам нь энгийн:
1) тодорхойлох Арифметик дундаж :
2) арифметик дундажийг квадрат болгоно:
3) цувралын хувилбар бүрийн хазайлтыг квадрат:
X би 2 .
4) сонголтуудын квадратуудын нийлбэрийг ол:
5) сонголтуудын квадратуудын нийлбэрийг тоогоор нь хуваана, өөрөөр хэлбэл дундаж квадратыг тодорхойлно.
6) шинж чанарын дундаж квадрат ба дундаж квадратын хоорондох ялгааг тодорхойлно.
Жишээ 3.1Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмжийн талаарх дараах мэдээлэл бидэнд байна.
Дараах тооцоог хийцгээе.
Статистикт ашигладаг олон үзүүлэлтүүдийн дотроос вариацын тооцоог онцлон тэмдэглэх шаардлагатай. Энэ тооцоог гараар хийх нь нэлээд уйтгартай ажил гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аз болоход, Excel-д тооцооллын процедурыг автоматжуулах боломжийг олгодог функцууд байдаг. Эдгээр хэрэгслүүдтэй ажиллах алгоритмыг олж мэдье.
Тархалт нь хэлбэлзлийн үзүүлэлт бөгөөд энэ нь математикийн хүлээлтээс хазайсан дундаж квадрат юм. Тиймээс энэ нь дундажийн талаархи тоонуудын тархалтыг илэрхийлдэг. Зөрчлийн тооцоог дараах байдлаар хийж болно хүн ам, түүнчлэн сонгомол байдлаар.
Арга 1: Нийт хүн амын тоогоор тооцоолох
Тооцооллын хувьд энэ үзүүлэлт Excel-д ерөнхий популяци дээр функцийг ашигладаг DISP.G. Энэ илэрхийллийн синтакс нь дараах байдалтай байна.
DISP.G(Дугаар1;Дугаар2;…)
Нийтдээ 1-ээс 255 аргумент хэрэглэж болно. Аргументууд нь тоон утгууд болон тэдгээрийн байгаа нүднүүдийн лавлагаа байж болно.
Хэд хэдэн тоон өгөгдлийн хувьд энэ утгыг хэрхэн тооцоолохыг харцгаая.
Арга 2: дээжийн тооцоо
Нийт хүн амд зориулсан утгыг тооцоолохоос ялгаатай нь түүврийн тооцоонд хуваагчийг заагаагүй болно. нийттоо, гэхдээ нэгээр бага. Энэ нь алдааг засахын тулд хийгддэг. Excel нь энэ төрлийн тооцоололд зориулагдсан тусгай функцэд энэ ялгааг харгалзан үздэг - DISP.V. Түүний синтаксийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
VAR.B(Дугаар1;Дугаар2;…)
Аргументуудын тоо өмнөх функцийн адил 1-ээс 255 хүртэл байж болно.
Таны харж байгаагаар Excel програм нь хэлбэлзлийг тооцоолоход ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой юм. Энэ статистикийг хүн амын тоо болон түүврийн аль алинд нь хэрэглэх замаар тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд хэрэглэгчийн бүх үйлдэл нь зөвхөн боловсруулсан тоонуудын хүрээг зааж өгөхөд л буурдаг. Excel ажилөөрөө хийдэг. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь хэрэглэгчдийн цагийг ихээхэн хэмнэх болно.
Гэхдээ энэ шинж чанар нь дангаараа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахад хангалттай биш байна. Зорилтот руу буудаж байгаа хоёр буудагчийг төсөөлөөд үз дээ. Нэг нь оновчтой харваж, төвийн ойролцоо онож, нөгөө нь ... зүгээр л хөгжилдөж, бүр онилдоггүй. Гэхдээ инээдтэй нь юу вэ дундажүр дүн нь эхний мэргэн буучтай яг адилхан байх болно! Энэ нөхцөл байдлыг дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр дүрсэлсэн болно.
"Мэргэн буудагч" математикийн хүлээлт нь -тэй тэнцүү боловч " сонирхолтой зан чанар»: - энэ нь бас тэг юм!
Тэгэхээр хэр хол байгааг тоон үзүүлэлтээр гаргах шаардлага гарч байна тараагдсансум (санамсаргүй хувьсагчийн утгууд) зорилтот төв (хүлээлт) -тэй харьцуулахад. сайн ба тараахЛатин хэлнээс зөвхөн гэж орчуулсан тархалт .
Хичээлийн 1-р хэсгийн жишээнүүдийн аль нэгэнд энэ тоон шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлохыг харцгаая. 
Тэнд бид энэ тоглоомын урам хугарсан математик хүлээлтийг олж мэдсэн бөгөөд одоо бид түүний дисперсийг тооцоолох хэрэгтэй. тэмдэглэсэндамжуулан.
Хожлол/хожигдлыг дундаж утгатай харьцуулахад хэр хол "тарсан" болохыг олж мэдье. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд бид тооцоолох хэрэгтэй ялгаахооронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудмөн тэр математикийн хүлээлт:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Одоо үр дүнг нэгтгэх шаардлагатай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ энэ нь тийм ч сайн биш юм - зүүн талын хэлбэлзэл нь баруун талын хэлбэлзэлтэй хамт бие биенээ цуцлах болно. Жишээлбэл, "сонирхогчийн" мэргэн бууч (дээрх жишээ)ялгаанууд байх болно 
, мөн нэмэх үед тэд тэг өгөх болно, тиймээс бид түүний буудлагын тархалт ямар ч тооцоо авч чадахгүй.
Энэ бухимдлыг тойрон гарахын тулд бодож үзээрэй модулиудялгаа, гэхдээ техникийн шалтгааны улмаас тэдгээрийг квадрат болгоход арга барил нь үндэс болсон. Шийдлийг хүснэгтэд байрлуулах нь илүү тохиромжтой. 
Тэгээд энд тооцохыг гуйж байна жигнэсэн дундажквадрат хазайлтын утга. Энэ юу вэ? Энэ бол тэднийх хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, энэ нь тархалтын хэмжүүр юм:
– тодорхойлолттархалт. Энэ нь тодорхойлолтоос шууд тодорхой харагдаж байна ялгаа сөрөг байж болохгүй- дасгал хийхдээ анхаараарай!
Хүлээлтийг хэрхэн олохыг санацгаая. Квадрат зөрүүг харгалзах магадлалаар үржүүлнэ (Хүснэгтийн үргэлжлэл):
зүйрлэвэл энэ татах хүч»,
мөн үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:
Хожлын цаана үр дүн нь хэтэрхий том болсон гэж та бодохгүй байна уу? Энэ нь зөв - бид квадрат болгож байсан бөгөөд тоглоомынхоо хэмжээс рүү буцахын тулд бид задлах хэрэгтэй. Квадрат язгуур. Энэ үнэ цэнэдуудсан стандарт хэлбэлзэл
ба Грекийн "сигма" үсгээр тэмдэглэсэн:
Заримдаа энэ утгыг нэрлэдэг стандарт хэлбэлзэл .
Энэ нь ямар утгатай вэ? Хэрэв бид математикийн хүлээлтээс зүүн ба баруун тийш стандарт хазайлтаар хазайвал: 
- тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгууд энэ интервал дээр "баяжсан" болно. Үнэндээ бидний харж байгаа зүйл:
Гэсэн хэдий ч тархалтын шинжилгээнд бараг үргэлж дисперс гэсэн ойлголттой ажилладаг. Энэ нь тоглоомтой холбоотой ямар утгатай болохыг харцгаая. Хэрэв буудлагын хувьд бид байны төвтэй харьцуулахад цохилтын "нарийвчлал" -ын тухай ярьж байгаа бол энд тархалт нь хоёр зүйлийг тодорхойлдог.
Нэгдүгээрт, хувь хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр хэлбэлзэл нэмэгдэх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 10 дахин нэмэгдвэл математикийн хүлээлт 10 дахин, дисперс нь 100 дахин нэмэгдэх болно. (квадрат утга болмогц). Гэхдээ тоглоомын дүрэм өөрчлөгдөөгүй гэдгийг анхаарна уу! Зөвхөн ханш өөрчлөгдсөн, ойролцоогоор хэлэхэд бид 10 рубль бооцоо тавьдаг байсан бол одоо 100 болсон.
Хоёрдугаарт, илүү сонирхолтой цэгЭнэ ялгаа нь тоглоомын хэв маягийг тодорхойлдог. Тоглоомын ханшийг оюун ухаанаараа засаарай тодорхой түвшинд, энд юу байгааг хараарай:
Бага зөрүүтэй тоглоом бол болгоомжтой тоглоом юм. Тоглогч хамгийн найдвартай схемийг сонгох хандлагатай байдаг бөгөөд тэр нэг удаад хэт их хожигдохгүй/хожихгүй. Жишээлбэл, рулет дахь улаан / хар систем (Өгүүллийн 4-р жишээг үзнэ үү санамсаргүй хэмжигдэхүүн) .
Өндөр зөрүүтэй тоглоом. Түүнийг ихэвчлэн дууддаг тархалттоглоом. Адал явдалтай юу эсвэл түрэмгий хэв маягтоглогч "адреналин" схемийг сонгодог тоглоомууд. Ядаж санацгаая "Мартингейл", үүнд эрсдэлтэй нийлбэрүүд нь өмнөх догол мөрийн "чимээгүй" тоглоомоос илүү их хэмжээний захиалга юм.
Покерын нөхцөл байдлыг харуулж байна: гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нягтболгоомжтой байх хандлагатай тоглогчид, тэдний дээр "сэгсрэх" тоглоом гэсэн үг (банк). Тэдний мөнгөн дүн тийм ч их хэлбэлздэггүй (бага хэлбэлзэлтэй) нь гайхах зүйл биш юм. Эсрэгээр, хэрэв тоглогч өндөр зөрүүтэй бол тэр нь түрэмгийлэгч юм. Тэр ихэвчлэн эрсдэлд ордог, том бооцоо тавьдаг бөгөөд асар том банкийг эвдэж, хэсэг хэсгээрээ явж чаддаг.
Үүнтэй ижил зүйл Forex-д тохиолддог, гэх мэт - маш олон жишээ бий.
Түүнээс гадна, бүх тохиолдолд тоглоом нь нэг пенни эсвэл хэдэн мянган долларын үнэтэй эсэх нь хамаагүй. Түвшин болгонд бага, өндөр хэлбэлзэлтэй тоглогчид байдаг. За, дундаж ялалтын хувьд бидний санаж байгаагаар "хариуцлагатай" хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.
Зөрчлийг олох нь урт бөгөөд хэцүү үйл явц гэдгийг та анзаарсан байх. Гэхдээ математик бол өгөөмөр юм:
Дисперсийг олох томъёо
Энэ томъёодисперсийн тодорхойлолтоос шууд үүсэлтэй бөгөөд бид үүнийг даруй эргэлтэд оруулав. Би дээрээс бидний тоглоомтой хавтанг хуулах болно: 
болон олсон хүлээлт.
Бид зөрүүг хоёр дахь аргаар тооцдог. Эхлээд математикийн хүлээлтийг олъё - санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат . By математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт:
AT Энэ тохиолдолд:
Тиймээс, томъёоны дагуу:
Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр. Практик дээр мэдээжийн хэрэг томъёог хэрэглэх нь илүү дээр юм (хэрэв нөхцөл байдал өөрөөр заагаагүй бол).
Бид шийдвэрлэх, дизайн хийх техникийг эзэмшдэг:
Жишээ 6
Түүний математик хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.
Энэ даалгавар нь хаа сайгүй олддог бөгөөд дүрмээр бол ямар ч утга учиргүй байдаг.
Та хэд хэдэн гэрлийн чийдэнг тодорхой магадлалтайгаар галзуугийн өрөөнд асдаг тоогоор төсөөлж болно :)
Шийдэл: Үндсэн тооцоог хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой. Эхлээд бид эхний өгөгдлийг дээд хоёр мөрөнд бичнэ. Дараа нь бид бүтээгдэхүүнийг тооцоолж, дараа нь баруун баганад байгаа нийлбэрүүдийг тооцоолно. 
Үнэндээ бараг бүх зүйл бэлэн болсон. Гурав дахь мөрөнд бэлэн математикийн хүлээлтийг зурав. 
.
Тархалтыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Эцэст нь стандарт хазайлт:
- Би хувьдаа ихэвчлэн 2 аравтын орон хүртэл дугуйрдаг.
Бүх тооцооллыг тооцоолуур дээр, бүр илүү сайн - Excel дээр хийж болно.
Энд алдаа гаргахад хэцүү байна :)
Хариулт:
Хүссэн хүмүүс амьдралаа илүү хялбарчилж, миний давуу талыг ашиглах боломжтой тооны машин (демо), энэ нь зөвхөн энэ асуудлыг даруй шийдээд зогсохгүй бүтээдэг сэдэвчилсэн график (удахгүй ирнэ). Хөтөлбөр боломжтой номын санд татаж авах- Хэрэв та дор хаяж нэгийг татаж авсан бол боловсролын материалэсвэл авах Өөр арга зам. Төслийг дэмжсэнд баярлалаа!
Хэд хэдэн даалгавар бие даасан шийдвэр:
Жишээ 7
Өмнөх жишээний санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тодорхойлолтоор тооцоол.
Мөн ижил төстэй жишээ:
Жишээ 8
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өөрийн тархалтын хуулиар өгөгдсөн:
Тийм ээ, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь нэлээд том байж болно (жишээ нь жинхэнэ ажил) , энд боломжтой бол Excel-ийг ашиглана уу. Дашрамд хэлэхэд, 7-р жишээнд - энэ нь илүү хурдан, илүү найдвартай, илүү тааламжтай байдаг.
Шийдэл ба хариултууд хуудасны доод талд байна.
Хичээлийн 2-р хэсгийн төгсгөлд бид өөр нэг ердийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно, тэр ч байтугай жижиг эсэргүүцлийг хэлж болно.
Жишээ 9
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: ба , болон. Магадлал, математикийн хүлээлт, дисперс нь мэдэгдэж байна.
Шийдэл: Үл мэдэгдэх магадлалаас эхэлцгээе. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлын магадлалын нийлбэр:
ба түүнээс хойш .
Энэ нь ... олоход л үлддэг, хэлэхэд хялбар :) Гэхдээ өө, энэ нь эхэлсэн. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор: 
- мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулах:
- Энэ тэгшитгэлээс өөр юу ч шахаж чадахгүй, зөвхөн та үүнийг ердийн чиглэлд дахин бичиж болно. 
эсвэл: 
О Дараагийн алхмуудТа таамаглаж чадна гэж бодож байна. Системийг үүсгэж, шийдье: 
Аравтын тоо- энэ нь мэдээжийн хэрэг бүрэн гутамшиг юм; Хоёр тэгшитгэлийг 10-аар үржүүлнэ: 
ба 2-т хуваана: 
Энэ нь хамаагүй дээр. 1-р тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг илэрхийлнэ. 
(энэ бол илүү хялбар арга)- 2-р тэгшитгэлд орлуулах:
Бид барьж байна дөрвөлжинболон хялбаршуулах: 
Бид үржүүлдэг: 
Үр дүнд нь, квадрат тэгшитгэл, түүний ялгагчийг ол:
- төгс!
мөн бид хоёр шийдлийг олж авдаг:
1) хэрэв 
, дараа нь 
;
2) хэрэв 
, дараа нь.
Эхний хос утгууд нь нөхцөлийг хангаж байна. Өндөр магадлалтайгаар бүх зүйл зөв, гэхдээ бид түгээлтийн хуулийг бичнэ. 
болон шалгалт хийж, тухайлбал, хүлээлтийг ол:
Тархалт гэдэг нь өгөгдлийн утга ба дундаж хоорондын харьцангуй хазайлтыг тодорхойлдог тархалтын хэмжүүр юм. Энэ нь өгөгдлийн утга бүрийн хазайлтыг нийлбэр, квадратаар тооцдог статистикийн хамгийн их хэрэглэгддэг тархалтын хэмжүүр юм. дундаж хэмжээ. Зөрчлийг тооцоолох томъёог доор үзүүлэв.
s 2 - түүврийн зөрүү;
x cf - түүврийн дундаж утга;
n — түүврийн хэмжээ (өгөгдлийн утгын тоо),
(x i – x cf) нь өгөгдлийн багцын утга бүрийн дундаж утгаас хазайлт юм.
Томьёог илүү сайн ойлгохын тулд жишээг авч үзье. Би хоол хийх дургүй болохоор бараг хийдэггүй. Гэсэн хэдий ч өлсөж үхэхгүйн тулд бие махбодоо уураг, өөх тос, нүүрс усаар ханах төлөвлөгөөгөө хэрэгжүүлэхийн тулд үе үе зууханд явах хэрэгтэй болдог. Доорх өгөгдөл нь Ренат сард хэдэн удаа хоол хийж байгааг харуулж байна.
Дисперсийг тооцоолох эхний алхам бол түүврийн дундажийг тодорхойлох явдал бөгөөд энэ нь бидний жишээнд сард 7.8 удаа байдаг. Үлдсэн тооцоог дараах хүснэгтийн тусламжтайгаар хөнгөвчлөх боломжтой.
Зөрчлийг тооцоолох эцсийн шат дараах байдалтай байна.
Бүх тооцоог нэг дор хийх дуртай хүмүүсийн хувьд тэгшитгэл дараах байдалтай байна.
Түүхий тоолох аргыг ашиглах (хоол хийх жишээ)
Илүү их байна үр дүнтэй арга"түүхий тоолох" арга гэж нэрлэгддэг дисперсийг тооцоолох. Хэдийгээр анх харахад энэ тэгшитгэл нь нэлээд төвөгтэй мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм ч аймшигтай биш юм. Та үүнийг баталгаажуулж, дараа нь аль аргыг хамгийн сайн хүсч байгаагаа шийдэж болно.
квадрат болгосны дараа өгөгдлийн утга бүрийн нийлбэр,
нь бүх өгөгдлийн утгуудын нийлбэрийн квадрат юм.
Яг одоо ухаанаа бүү алдаарай. Бүгдийг хүснэгт хэлбэрээр оруулъя, тэгвэл та өмнөх жишээнээсээ цөөн тооны тооцоо байгааг харах болно.
Таны харж байгаагаар үр дүн нь өмнөх аргыг ашиглахтай ижил байна. Давуу тал энэ аргатүүврийн хэмжээ (n) өсөх тусам тодорхой болно.
Excel програмын зөрүүг тооцоолох
Та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан Excel нь хэлбэлзлийг тооцоолох боломжийг олгодог томьёотой. Нэмж дурдахад Excel 2010-аас эхлэн дисперсийн томъёоны 4 төрлийг олж болно.
1) VAR.V - Түүврийн дисперсийг буцаана. Булийн утгууд болон текстийг үл тоомсорлодог.
2) VAR.G - Хүн амын хэлбэлзлийг буцаана. Булийн утгууд болон текстийг үл тоомсорлодог.
3) VASP - Боолийн болон текстийн утгыг харгалзан түүврийн зөрүүг буцаана.
4) VARP - Логик болон текст утгыг харгалзан хүн амын хэлбэлзлийг буцаана.
Эхлээд түүвэр болон популяцийн ялгааг харцгаая. Дүрслэх статистикийн зорилго нь ерөнхий дүр зургийг хурдан гаргахын тулд өгөгдлийг нэгтгэн харуулах эсвэл харуулах явдал юм. Статистикийн дүгнэлт нь энэ популяциас авсан мэдээллийн түүвэр дээр үндэслэн популяцийн талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог. Хүн ам нь бидний сонирхож буй бүх боломжит үр дүн эсвэл хэмжилтийг илэрхийлдэг. Түүвэр нь популяцийн дэд хэсэг юм.
Жишээлбэл, бид Оросын аль нэг их дээд сургуулийн оюутнуудын нийлбэрийг сонирхож байгаа бөгөөд бид бүлгийн дундаж оноог тодорхойлох шаардлагатай байна. Бид оюутнуудын дундаж гүйцэтгэлийг тооцоолж болох бөгөөд дараа нь үр дүнгийн тоо нь параметр болно, учир нь бидний тооцоололд нийт хүн ам оролцох болно. Харин манай улсын нийт оюутнуудын голч оноог бодъё гэвэл энэ бүлэг бидний түүвэр болно.
Түүвэр ба олонлогийн хоорондын зөрүүг тооцоолох томъёоны зөрүү нь хуваагч дээр байна. Түүврийн хувьд энэ нь (n-1) -тэй тэнцүү байх ба ерөнхий олонлогийн хувьд зөвхөн n байх болно.
Одоо төгсгөлүүдтэй дисперсийг тооцоолох функцуудыг авч үзье ГЭХДЭЭ,тайлбарт нь тооцоололд текст болон логик утгыг харгалзан үздэг гэж хэлсэн. Энэ тохиолдолд тоон бус утгууд гарч ирэх тодорхой өгөгдлийн багцын хэлбэлзлийг тооцоолохдоо Excel нь текст болон худал логик утгыг 0, жинхэнэ логик утгыг 1 гэж тайлбарлах болно.
Тиймээс, хэрэв танд массив өгөгдөл байгаа бол дээр дурдсан Excel функцүүдийн аль нэгийг ашиглан тэдгээрийн хэлбэлзлийг тооцоолоход хэцүү биш байх болно.
