Энгийн тоо бүхий үйлдлийн энгийн бутархай. Бутархай тоог нэмэх, хасах

Хичээлийн агуулга

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх нь хоёр төрөлтэй:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмж эхэлцгээе. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бутархай ба . Бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхино.

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2Бутархай ба .

Хариулт нь буруу бутархай юм. Хэрэв даалгаврын төгсгөл ирвэл зохисгүй бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Зохисгүй фракцаас салахын тулд та түүний доторх хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл тоо нь амархан хуваарилагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэгтэй тэнцүү байна:

Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа илүү олон пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд, тоологчдыг нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Хэрэв бид гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанд илүү олон пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурах болно. Бутархайг нэмэхдээ тэдгээр бутархайн хуваагч нь ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул нэмж болно.

Гэхдээ бутархайг шууд нэмэх боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд байдаг өөр өөр хуваагч. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Үлдсэн аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь хоёр бутархайн хуваагчийг эхлээд (LCM) хайж байгаа явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - LCM-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. Бутархай нэмэх ба

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай болон . Эхлээд бид LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт хүчин зүйл юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид бутархайн дээгүүр жижиг ташуу зураас хийж, олсон нэмэлт хүчин зүйлийг дээр нь бичнэ.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай руу бичнэ. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархайн дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид бүгд нэмэхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.

Бидний юунд хүрснийг сайтар ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл гүйцээцгээе:

Ингээд жишээ дуусна. Нэмэх нь харагдаж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанд пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархайг авчрах ба Ерөнхий хуваарь, бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил зүсмэл пиццагаар төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдана (ижил хуваарьт хүртэл бууруулна).

Эхний зураг нь бутархай (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархай (зургаагаас гурван хэсэг) -ийг харуулж байна. Эдгээр хэсгүүдийг нийлүүлснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авдаг. Энэ бутархай буруу байна, тиймээс бид бүхэл тоон хэсгийг онцлон тэмдэглэв. Үр дүн нь (нэг бүтэн пицца, зургаа дахь пицца) байв.

Бид зурсан гэдгийг анхаарна уу жишээ өгсөнхэтэрхий нарийвчилсан. AT боловсролын байгууллагуудийм нарийн бичдэг заншил биш. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлсийн LCM-ийг хурдан олох, мөн өөрийн тоо болон хуваагчаар олсон нэмэлт хүчин зүйлийг хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Сургуульд байхдаа бид энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.

Гэхдээ бас байдаг арын талмедаль. Хэрэв математикийн хичээлийн эхний үе шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хийгээгүй бол энэ төрлийн асуултууд гарч ирнэ "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

1. Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
2. LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт үржүүлэгчийг авах;
3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээрх зааврыг ашиглацгаая.

Алхам 1. Бутархай бутархайн хуваагчийг ол

Хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм

Алхам 2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт үржүүлэгчийг авна.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-т хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Эхний бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авсан. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Гурав дахь бутархай дээр бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээрээ үржүүл

Бид тооны болон хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ үү

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр фракцуудыг нэмэхэд л үлддэг. Нэмэх:

Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжүүлэх ба эхний мөрийн төгсгөл болон шинэ мөрийн эхэнд тэнцүү тэмдэг (=) тавих шаардлагатай. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол бүхэл хэсгийг нь сонгоно уу

Бидний хариулт бол буруу бутархай юм. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг нь ялгах ёстой. Бид онцолж байна:

Хариу авлаа

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархай хасах хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
2. Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх шаардлагатай. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн тоологчоос хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Хэрэв бид гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай бодох юм бол энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;
2. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болсон бол та бүхэл бүтэн хэсгийг нь сонгох хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, эдгээр бутархайнууд ижил хуваагчтай тул бутархайг бутархайгаас хасаж болно. Гэхдээ бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Нийтлэг хуваагчийг өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмын дагуу олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд үүнийг эхний бутархай дээр бичнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1Илэрхийллийн утгыг ол:

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул та тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч руу авчрах хэрэгтэй.

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай болон руу буцах

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид дөрөвийг эхний бутархай дээр бичнэ.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Хоёр дахь бутархай дээр гурвалсан тоог бичнэ үү.

Одоо бид бүгдийг хасахад бэлэн байна. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл гүйцээцгээе:

Хариу авлаа

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно.

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Сургуульд байхдаа бид энэ жишээг илүү богино байдлаар шийдэх хэрэгтэй болно. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахад бид бутархай ба . Эдгээр фракцуудыг ижил пиццаны зүсмэлүүдээр төлөөлөх боловч энэ удаад ижил бутархай хэсгүүдэд хуваагдана (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван хэсгийг тасласнаар бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч руу авчрах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ын тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархай дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай дээр бичнэ:

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5-ын тоо юм. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархай дээр бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь зөв бутархай болж, бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү хялбар болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг багасгаж болно.

Бутархайг багасгахын тулд түүний тоо ба хуваагчийг (gcd) 20 ба 30 тоонд хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын GCD-ийг олно.

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон GCD-д, өөрөөр хэлбэл 10-д хуваана.

Хариу авлаа

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд өгөгдсөн бутархайг энэ тоогоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүлнэ.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Оруулгыг хагас 1 удаа авч байна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 1 удаа пицца авбал та пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас харахад үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана:

Энэ оруулга нь нэгжийн талыг авч байна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Хариулт нь буруу бутархай юм. Үүний нэг хэсгийг авч үзье:

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 удаа пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно.

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг оронд нь сольвол илэрхийлэл гарч ирнэ. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай бол та доторх хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.

Жишээ 1Илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу авлаа. Энэ фракцыг багасгах нь зүйтэй юм. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдвэрдараах хэлбэрийг авна.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца авна. Пицца гурван хэсэгт хуваагдаж хэрхэн харагддагийг санаарай.

Энэ пиццаны нэг зүсмэл болон бидний авсан хоёр зүсмэл ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл, бид ижил хэмжээний пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай юм. Үүний нэг хэсгийг авч үзье:

Жишээ 3Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь зөв бутархай болсон, гэхдээ үүнийг багасгавал сайн байх болно. Энэ бутархайг багасгахын тулд та энэ бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хамгийн томд хуваах хэрэгтэй нийтлэг хуваагч(gcd) 105 ба 450 тоо.

Тиймээс 105 ба 450 тоонуудын GCD-ийг олъё:

Одоо бид олсон GCD-ийн хариултын тоо ба хуваагчийг, өөрөөр хэлбэл 15-д хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Үүнээс харахад тав нь утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тавтай тэнцүү байна.

Урвуу тоо

Одоо бид танилцах болно сонирхолтой сэдэвматематикт. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцаха үржүүлсэн тоо юма нэгж өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 үржүүлсэн тоо юм 5 нэгж өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Чи чадна гэж харагдаж байна. Тавыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуу байдлаар үржүүлье:

Үүнээс ямар үр дүн гарах вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна.

Энэ нь 5-ыг нэгээр үржүүлэхэд нэгийг олж авдаг тул 5-ын урвуу тоо гэсэн үг юм.

Бусад бүхэл тоонуудын хувьд харилцан хамаарлыг олж болно.

Та мөн бусад бутархайн эсрэг тоог олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг эргүүлэхэд хангалттай.

Бутархайг тоонд хуваах

Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Хоёулаа тэнцүү хувааж авъя. Тус бүр хэдэн пицца авах вэ?

Эндээс харахад пиццаны талыг хуваасны дараа хоёр тэнцүү хэсэг гарсан бөгөөд тус бүр нь пицца болдог. Тиймээс хүн бүр пицца авдаг.

Бутархай хэсгүүдийг хуваах нь эсрэг заалтыг ашиглан хийгддэг. Reciprocals нь хуваалтыг үржүүлэх замаар солих боломжийг олгодог.

Бутархайг тоонд хуваахын тулд энэ бутархайг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Энэ дүрмийг ашиглан бид пиццаныхаа хагасыг хоёр хэсэгт хуваахыг бичнэ.

Тиймээс та бутархайг 2 тоогоор хуваах хэрэгтэй. Энд ногдол ашиг нь бутархай, хуваагч нь 2 байна.

Бутархайг 2-ын тоонд хуваахын тулд энэ бутархайг 2 хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй. 2 хуваагчийн эсрэг тал нь бутархай байна. Тиймээс та үржүүлэх хэрэгтэй

Бутархай нь энгийн ба аравтын бутархай. Оюутан сүүлчийнх нь оршин тогтнох талаар олж мэдсэнийхээ дараа шаардлагатай биш ч гэсэн боломжтой бүх зүйлийг аравтын бутархай хэлбэрт орчуулж эхэлдэг.

Хачирхалтай нь, ахлах сургуулийн сурагчид болон оюутнуудын сонголт өөрчлөгддөг, учир нь энгийн бутархайгаар олон тооны арифметик үйлдлүүд хийх нь илүү хялбар байдаг. Төгсөгчдийн харьцдаг үнэт зүйлсийг заримдаа аравтын бутархай хэлбэрт алдагдуулахгүйгээр хөрвүүлэх боломжгүй байдаг. Үүний үр дүнд хоёр төрлийн бутархай нь тухайн нөхцөл байдалд тохирсон, давуу болон сул талуудтай байдаг. Тэдэнтэй хэрхэн ажиллахыг харцгаая.

Тодорхойлолт

Бутархай нь ижил хувьцаа юм. Хэрэв жүржид арван зүсмэл байвал нэгийг нь өгсөн бол таны гарт байгаа жимсний 1/10 нь байна. Өмнөх өгүүлбэрийн нэгэн адил ийм тэмдэглэгээтэй бол бутархайг энгийн бутархай гэж нэрлэнэ. Хэрэв та 0.1 - аравтын тоотой адилхан бичвэл. Хоёр сонголт хоёулаа тэнцүү боловч өөрийн гэсэн давуу талтай. Эхний сонголт нь үржүүлэх, хуваахад илүү тохиромжтой, хоёр дахь нь нэмэх, хасах болон бусад хэд хэдэн тохиолдолд тохиромжтой.

Бутархайг өөр хэлбэрт хэрхэн хөрвүүлэх вэ

Танд байна гэж бодъё энгийн бутархай, мөн та үүнийг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийг хүсч байна. Би юу хийх хэрэгтэй вэ?

Дашрамд хэлэхэд, та ямар ч тоог аравтын хэлбэрээр ямар ч асуудалгүйгээр бичиж болохгүй гэдгийг урьдчилан шийдэх хэрэгтэй. Заримдаа та үр дүнг дугуйруулж, тодорхой тооны аравтын бутархайг алдаж, олон салбарт - жишээлбэл, нарийн шинжлэх ухаанд - энэ нь огт боломжгүй тансаг байдал юм. Үүний зэрэгцээ, 5-р ангид аравтын бутархай ба энгийн бутархайтай үйлдэл нь ийм шилжүүлгийг нэг төрлөөс нөгөөд шилжүүлэх ажлыг ядаж сургалт хэлбэрээр хийх боломжтой болгодог.

Хэрэв хуваагчаас бүхэл тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар та 10-ын үржвэрийн утгыг авах боломжтой бол шилжүүлэг ямар ч хүндрэлгүйгээр явагдана: ¾ 0.75, 13/20 - 0.65 болж хувирна.

Та аравтын бутархайн бутархайгаас энгийн бутархайг үнэн зөвөөр алдахгүйгээр үргэлж авах боломжтой тул урвуу процедур нь илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, 0.2 нь 1/5 болж, 0.08 нь 4/25 болно.

Дотоод хөрвүүлэлтүүд

Энгийн бутархайтай хамтарсан үйлдэл хийхээсээ өмнө та математикийн боломжит үйлдлүүдийн тоог бэлтгэх хэрэгтэй.

Юуны өмнө та жишээн дээрх бүх бутархайг нэг ерөнхий хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Тэдгээр нь энгийн эсвэл аравтын бутархай байх ёстой. Үржүүлэх, хуваах нь эхнийхтэй харьцуулахад илүү тохиромжтой гэдгийг нэн даруй захиалаарай.

Тооны бэлтгэлд цаашдын арга хэмжээЭнэ сэдвийг судлах эхний жилүүдэд болон их дээд сургуулиудад судалдаг дээд математикийн аль алинд нь хэрэглэгддэг дүрэм танд туслах болно.

Бутархайн шинж чанар

Танд ямар нэгэн үнэ цэнэ бий гэж бодъё. 2/3 гэж үзье. Тоолуур ба хуваагчийг 3-аар үржүүлбэл юу болох вэ? 6/9 авах. Сая бол яах вэ? 2000000/3000000. Гэхдээ хүлээгээрэй, учир нь тоо нь чанарын хувьд огт өөрчлөгддөггүй - 2/3 нь 2000000/3000000-тай тэнцүү хэвээр байна. Зөвхөн хэлбэр өөрчлөгддөг болохоос агуулга нь өөрчлөгддөггүй. Хоёр хэсэг нь ижил утгатай хуваагдвал ижил зүйл тохиолддог. Энэ бол бутархайн үндсэн шинж чанар бөгөөд шалгалт, шалгалт дээр аравтын бутархай болон энгийн бутархайтай үйлдэл хийхэд тань туслах болно.

Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэхийг бутархайг тэлэх, хуваахыг багасгах гэж нэрлэдэг. Бутархайг үржүүлж, хуваахдаа дээд ба доод талд ижил тоонуудыг таслах нь гайхалтай тааламжтай журам гэдгийг хэлэх ёстой (мэдээжийн хэрэг математикийн хичээлийн нэг хэсэг). Хариулт нь аль хэдийн ойрхон, жишээ нь бараг шийдэгдсэн бололтой.

Буруу бутархай

Бутархай бутархай нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байхыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бүхэл бүтэн хэсэг нь түүнээс ялгагдах боломжтой бол энэ тодорхойлолтод хамаарна.

Хэрэв ийм тоог (нэгээс их эсвэл тэнцүү) энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлсэн бол түүнийг буруу гэж нэрлэнэ. Хэрэв тоологч бол хуваагчаас бага- зөв. Хоёр төрөл нь энгийн бутархайтай боломжит үйлдлүүдийг хэрэгжүүлэхэд адилхан тохиромжтой. Тэдгээрийг чөлөөтэй үржүүлж, хувааж, нэмж, хасаж болно.

Хэрэв нэгэн зэрэг бүхэл тоо сонгогдсон бөгөөд нэгэн зэрэг бутархай хэлбэрээр үлдэгдэл байвал үүссэн тоог холимог гэж нэрлэнэ. Ирээдүйд та тулгарах болно янз бүрийн арга замуудхувьсагчтай ийм бүтцийн хослолууд, түүнчлэн энэ мэдлэг шаардлагатай тохиолдолд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Арифметик үйлдлүүд

Хэрэв бутархайн үндсэн шинж чанарын хувьд бүх зүйл тодорхой бол бутархайг үржүүлэхэд хэрхэн биеэ авч явах вэ? 5-р ангийн энгийн бутархайтай үйлдлүүд нь хоёр өөр аргаар хийгддэг бүх төрлийн арифметик үйлдлүүдийг агуулдаг.

Үржүүлэх, хуваах нь маш хялбар байдаг. Эхний тохиолдолд хоёр бутархайн тоо болон хуваагчийг зүгээр л үржүүлнэ. Хоёр дахь нь - ижил, зөвхөн хөндлөн. Тиймээс эхний бутархайн тоог хоёр дахь хуваагчаар үржүүлнэ, мөн эсрэгээр.

Нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд та нэмэлт үйлдэл хийх хэрэгтэй - илэрхийллийн бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч руу аваачна. Энэ нь бутархайн доод хэсгүүдийг ижил утгатай буюу боломжит хуваагчийн үржвэр болгон өөрчлөх ёстой гэсэн үг юм. Жишээлбэл, 2 ба 5-ын хувьд энэ нь 10 байх болно. 3 ба 6-д - 6. Гэхдээ дараа нь дээд талд нь юу хийх вэ? Хэрэв бид доод талыг нь өөрчилсөн бол түүнийг байгаагаар нь үлдээж болохгүй. Бутархайн үндсэн шинж чанарын дагуу бид тоологчийг хуваагчтай ижил тоогоор үржүүлнэ. Энэ үйлдлийг бидний нэмэх, хасах тоо бүр дээр хийх ёстой. Гэсэн хэдий ч 6-р ангид энгийн бутархайтай ийм үйлдлүүдийг аль хэдийн "машин дээр" хийдэг бөгөөд зөвхөн бэрхшээлүүд үүсдэг. эхний шатсэдвийг судалж байна.

Харьцуулалт

Хэрэв хоёр бутархай ижил хуваагчтай бол илүү том тоологч нь илүү том байх болно. Хэрэв дээд хэсгүүд нь ижил байвал жижиг хуваагчтай хэсэг нь илүү том байх болно. Харьцуулахад ийм амжилттай нөхцөл байдал ховор тохиолддог гэдгийг санах нь зүйтэй. Илэрхийллийн дээд ба доод хэсэг хоёулаа таарахгүй байх магадлалтай. Дараа нь та ердийн бутархайтай хийх боломжтой үйлдлүүдийн талаар санаж, нэмэх, хасах арга техникийг ашиглах хэрэгтэй. Түүнчлэн, хэрэв бид ярьж байгаа бол үүнийг санаарай сөрөг тоонууд, дараа нь том хэсэг нь бага байх болно.

Энгийн бутархайн давуу тал

Багш нар хүүхдүүдэд нэг хэллэг хэлдэг бөгөөд үүний агуулгыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: даалгаврыг боловсруулахдаа илүү их мэдээлэл өгөх тусам шийдэл нь хялбар байх болно. Хачирхалтай сонсогдож байна уу? Гэхдээ үнэндээ: олон тооны мэдэгдэж буй утгуудын хувьд та бараг ямар ч томьёог ашиглаж болно, гэхдээ зөвхөн хоёр тоо өгвөл нэмэлт эргэцүүлэл шаардагдаж магадгүй тул та теоремуудыг санаж, нотлох, өөрийн зөв байдлын талаар аргумент өгөх шаардлагатай болно. ...

Бид яагаад үүнийг хийж байгаа юм бэ? Түүгээр ч барахгүй энгийн бутархайнууд нь бүх ээдрээтэй байдгаараа оюутны амьдралыг ихээхэн хялбаршуулж, үржүүлэх, хуваах үед утгын мөрийг бүхэлд нь багасгах, нийлбэр ба зөрүүг тооцоолохдоо нийтлэг аргументуудыг гаргаж авах боломжийг олгодог. , дахин тэдгээрийг багасгах.

Энгийн ба аравтын бутархайтай хамтарсан үйлдэл хийх шаардлагатай бол эхнийх нь дээр хувиргах ажлыг гүйцэтгэдэг: 3/17-г аравтын бутархай хэлбэрт хэрхэн хөрвүүлэх вэ? Зөвхөн мэдээлэл алдагдсан тохиолдолд, өөрөөр биш. Гэхдээ 0.1-ийг 1/10, дараа нь 17/170 гэж илэрхийлж болно. Дараа нь гарсан хоёр тоог нэмж эсвэл хасаж болно: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Аравтын бутархай яагаад ашигтай байдаг вэ?

Хэрэв энгийн бутархайтай үйлдлүүдийг хийхэд илүү тохиромжтой бол тэдгээрийн тусламжтайгаар бүх зүйлийг бичих нь туйлын тохиромжгүй, аравтын бутархай энд ихээхэн давуу талтай байдаг. Харьцуул: 1748/10000 ба 0.1748. Энэ нь хоёр хэлбэрээр үзүүлсэн ижил утга юм янз бүрийн сонголтууд. Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь арга нь илүү хялбар!

Түүнээс гадна, аравтын бутархайБүх өгөгдөл нь зөвхөн цар хүрээний дарааллаар ялгаатай нийтлэг үндэслэлтэй тул төсөөлөхөд хялбар байдаг. Бид 30%-ийн хөнгөлөлтийг хялбархан таньж, бүр чухал ач холбогдолтой гэж үнэлж болно гэж бодъё. Аль нь илүү вэ - 30% эсвэл 137/379 гэдгийг та шууд ойлгох уу? Тиймээс аравтын бутархай нь тооцооллын стандартчиллыг хангадаг.

Ахлах сургуульд сурагчид шийддэг квадрат тэгшитгэл. Хувьсагчийн утгыг тооцоолох томьёо нь энд байгаа тул энгийн бутархайтай үйлдэл хийх нь аль хэдийн маш их асуудалтай байдаг. Квадрат язгуурдүнгээс. Аравтын бутархай болтлоо буурдаггүй бутархай байгаа тохиолдолд шийдэл нь маш төвөгтэй болж, тооцоолуургүйгээр яг хариултыг тооцоолох бараг боломжгүй болно.

Тиймээс бутархайг илэрхийлэх арга бүр нь зохих нөхцөлд өөрийн гэсэн давуу талтай байдаг.

Нэвтрэх хэлбэрүүд

Энгийн бутархайгаар үйлдлүүдийг бичих хоёр арга байдаг: хэвтээ шугамаар, хоёр "давхарга" болгон, ташуу зураасаар ("налуу зураас") -аар зураасаар бичнэ. Оюутан дэвтэр дээр бичих үед эхний сонголт нь ихэвчлэн илүү тохиромжтой байдаг тул илүү түгээмэл байдаг. Хэд хэдэн тоог эсүүдэд хуваарилах нь тооцоолол, хувиргалтанд анхаарал хандуулах чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. Мөрт бичихдээ та үйлдлүүдийн дарааллыг санамсаргүйгээр төөрөлдүүлж, аливаа өгөгдлийг алдаж, өөрөөр хэлбэл алдаа гаргаж болно.

Бидний цаг үед компьютер дээр тоо хэвлэх хэрэгцээ байнга гардаг. Та Microsoft Word 2010 болон түүнээс хойшхи хувилбаруудын функцийг ашиглан уламжлалт хэвтээ баараар бутархайг салгаж болно. Програм хангамжийн эдгээр хувилбаруудад "томъёо" гэсэн сонголт байдаг нь баримт юм. Энэ нь тэгш өнцөгт хувиргах талбарыг харуулдаг бөгөөд үүнд та математикийн ямар ч тэмдгийг нэгтгэж, хоёр ба "дөрвөн давхар" бутархайг хоёуланг нь бүрдүүлж болно. Хугацаа ба тоологч хэсэгт та хаалт, үйлдлийн тэмдэг ашиглаж болно. Үүний үр дүнд та энгийн болон аравтын бутархай бүхий аливаа хамтарсан үйлдлийг бичиж болно уламжлалт хэлбэр, өөрөөр хэлбэл, сургуульд үүнийг хийхийг заадаг арга зам.

Хэрэв та стандарт Notepad текст засварлагчийг ашигладаг бол бүх бутархай илэрхийллийг ташуу зураасаар бичих шаардлагатай болно. Харамсалтай нь энд өөр арга байхгүй.

Дүгнэлт

Тиймээс бид энгийн бутархайтай бүх үндсэн үйлдлүүдийг авч үзсэн бөгөөд энэ нь тийм ч олон биш юм.

Хэрэв эхэндээ энэ бол математикийн нарийн төвөгтэй хэсэг юм шиг санагдаж байвал энэ нь зөвхөн түр зуурын сэтгэгдэл юм - нэг удаа та үржүүлэх хүснэгтийн талаар, бүр өмнө нь ердийн хуулбар дэвтэр, нэгээс арав хүртэл тоолох талаар бодож байсныг санаарай.

Бутархай хэсгүүдийг ашигладаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм Өдөр тутмын амьдралхаа сайгүй. Та мөнгө, инженерийн тооцоо, мэдээллийн технологи, хөгжмийн бичиг үсгийн талаар, мөн хаа сайгүй - хаа сайгүй ажиллах болно! - бутархай тоо гарч ирнэ. Тиймээс, залхуу байж болохгүй, энэ сэдвийг сайтар судалж үзээрэй, ялангуяа энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Энэ хэсэг нь энгийн бутархайтай үйлдлүүдийг авч үздэг. Хэрэв холимог тоо бүхий математикийн үйлдлийг гүйцэтгэх шаардлагатай бол холимог бутархайг ер бусын болгон хувиргаж, шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, шаардлагатай бол эцсийн үр дүнг хэлбэрээр дахин үзүүлэхэд хангалттай. холимог тоо. Энэ үйлдлийг доор тайлбарлах болно.

Бутархайн бууралт

математик үйл ажиллагаа. Бутархайн бууралт

\frac(m)(n) бутархайг багасгахын тулд та түүний хуваагч ба хуваагчийн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй: gcd(m,n), дараа нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг энэ тоонд хуваана. Хэрэв gcd(m,n)=1 бол бутархайг багасгах боломжгүй. Жишээ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Ихэвчлэн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг нэн даруй олох хэрэгтэй сорилттой даалгаварпрактикт бутархайг хэд хэдэн үе шаттайгаар багасгаж, тодорхой нийтлэг хүчин зүйлсийг тоологч ба хуваагчаас алхам алхмаар тодруулдаг. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах

математик үйлдэл. Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах

\frac(a)(b) ба \frac(c)(d) хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулахын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

• хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол: M=LCM(b,d);
• эхний бутархайн тоо ба хуваагчийг M / b-ээр үржүүлэх (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно);
• хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг M/d-ээр үржүүлнэ (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно).

Тиймээс бид анхны бутархайг ижил хуваагчтай бутархай болгон хувиргадаг (энэ нь M тоотой тэнцүү байх болно).

Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайнууд LCM(6,9) = 18 байна. Дараа нь: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Тиймээс үүссэн бутархай нь нийтлэг хуваагчтай байна.

Практикт хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох нь үргэлж амар ажил биш юм. Тиймээс анхны бутархайн хуваагчийн үржвэртэй тэнцүү тоог нийтлэг хуваагчаар сонгоно. Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайг N=6\cdot9 нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Бутархай харьцуулалт

математик үйл ажиллагаа. Бутархай харьцуулалт

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулахын тулд:

• үүссэн бутархайн тоог харьцуулах; илүү том тоологчтой бутархай нь том байх болно.

Жишээ нь, \frac(9)(14)

Бутархайг харьцуулахдаа хэд хэдэн онцгой тохиолдол байдаг:

1. Хоёр бутархайгаас ижил хуваагчтайтоологч нь их байх тусмаа их байна. Жишээ нь \frac(3)(15)
2. Хоёр бутархайгаас -тай ижил тоологч их байх тусмаа хуваагч нь бага байх бутархай. Жишээ нь, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Тэр фракц, тэр үед илүү том, бага хуваагч, илүү. Жишээлбэл, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Анхаар!Дүрэм 1 аливаа бутархайн нийтлэг хуваагч нь эерэг тоо байвал хамаарна. 2 ба 3-р дүрмүүд эерэг бутархай (тоо ба хуваагч хоёулаа тэгээс их байдаг) хамаарна.

Бутархай тоог нэмэх, хасах

математик үйл ажиллагаа. Бутархай тоог нэмэх, хасах

Хоёр бутархай нэмэхийн тулд танд хэрэгтэй:

• тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэх;
• тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Жишээ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Нэгээс өөр бутархайг хасахын тулд танд хэрэгтэй:

• бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах;
• Эхний бутархайн хүртэгчээс хоёр дахь бутархайн тоог хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй.

Жишээ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Хэрэв анхны бутархай нь нийтлэг хуваагчтай бол 1-р цэгийг (нийтлэг хуваагч болгон бууруулах) алгасна.

Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

математик үйл ажиллагаа. Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

Холимог бутархайг буруу болгон хувиргахын тулд холимог бутархайн бүх хэсгийг бутархай хэсэгтэй нэгтгэхэд хангалттай. Ийм нийлбэрийн үр дүн нь тоологч нь буруу бутархай байх болно нийлбэртэй тэнцүү байнабүхэл хэсгийн үржвэр ба бутархайн хуваагч нь холимог бутархайн хүртэгчтэй байх ба хуваагч нь хэвээр байна. Жишээлбэл, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Бутархай бутархайг холимог тоо руу хөрвүүлэхийн тулд:

• бутархайн хуваагчийг хуваагчаар нь хуваах;
• хуваалтын үлдэгдлийг тоонд бичиж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ;
• хуваалтын үр дүнг бүхэл тоогоор бичнэ.

Жишээ нь, бутархай \frac(23)(4) . 23:4=5.75-ыг хуваахад бүхэл хэсэг нь 5, үлдсэн хэсэг нь 23-5*4=3 болно. Дараа нь холимог тоо бичнэ: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлэх

математик үйл ажиллагаа. Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлэх

Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд:

1. аравын n-р хүчийг хуваагч болгон авна (энд n нь аравтын бутархайн тоо);
2. тоологчийн хувьд аравтын бутархайн дараах тоог авна (хэрэв анхны тооны бүхэл хэсэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол бүх тэргүүлэгч тэгүүдийг авна);
3. тэг биш бүхэл хэсэг нь тоологчийн хамгийн эхэнд бичигдсэн; тэг бүхэл тоо хасагдсан.

Жишээ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 аравтын орон тул хуваагч нь 10 4 =10000, бүхэл хэсэг нь 0 тул тоологч нь аравтын бутархайн дараа орох тэггүй тоо)

Жишээ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (тоологч дээр бид аравтын бутархайн дараах тоог бүх тэгээр бичнэ: "0109", дараа нь түүний өмнө "31" анхны тооны бүхэл хэсгийг нэмнэ)

Хэрэв аравтын бутархайн бүхэл хэсэг нь тэгээс ялгаатай бол түүнийг холимог бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид бүхэл тоо нь тэгтэй тэнцүү (1 ба 2-р цэгүүд) шиг тоог энгийн бутархай болгон хөрвүүлж, бутархайн өмнө бүхэл хэсгийг дахин бичнэ - энэ нь холимог тооны бүхэл хэсэг болно. Жишээ:

3.014=3\frac(14)(100)

Энгийн бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд тоологчийг хуваарьт хуваахад л хангалттай. Заримдаа та хязгааргүй аравтын бутархай авдаг. Энэ тохиолдолд хүссэн аравтын бутархай руу дугуйлах шаардлагатай. Жишээ нь:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\ойролцоогоор 0.6667

Бутархайг үржүүлэх, хуваах

математик үйл ажиллагаа. Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Хоёр энгийн бутархайг үржүүлэхийн тулд та бутархайн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Нэг энгийн бутархайг нөгөөд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй ( харилцантоологч болон хуваагч нь урвуу байгаа бутархай юм.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Хэрэв бутархайн аль нэг нь натурал тоо байвал дээрх үржүүлэх, хуваах дүрэм хүчинтэй хэвээр байна. Бүхэл тоо нь ижил бутархай, хуваагч нь нэгтэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Жишээ нь: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Математикийн хувьд янз бүрийн төрөлтоо үүссэн цагаасаа эхлэн судалж ирсэн. Байгаа олон тоонытоонуудын олонлог ба дэд олонлогууд. Эдгээрийн дотор бүхэл тоо, рационал, иррационал, натурал, тэгш, сондгой, нийлмэл, бутархай тоонууд байдаг. Өнөөдөр бид хамгийн сүүлийн багц - бутархай тоонуудын талаархи мэдээллийг шинжлэх болно.

Бутархайн тодорхойлолт

Бутархай гэдэг нь нэгжийн бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгээс бүрдэх тоо юм. Бүхэл тоонуудын нэгэн адил хоёр бүхэл тооны хооронд хязгааргүй тооны бутархай тоо байдаг. Математикийн хувьд бүхэл тоо, натурал тоотой адил бутархайтай үйлдлүүд хийгддэг. Энэ нь маш энгийн бөгөөд хэд хэдэн хичээлээр сурч болно.

Нийтлэлд хоёр төрлийг танилцуулж байна

Энгийн бутархай

Энгийн бутархай нь бүхэл тоо a хэсэг ба бутархайн б/c-ээр бичигдсэн хоёр тоо юм. Хэрэв бутархай хэсгийг оновчтой аравтын бутархай хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй бол энгийн бутархай нь маш тохиромжтой байж болно. Үүнээс гадна арифметик үйлдлийг бутархай шугамаар гүйцэтгэх нь илүү тохиромжтой. Дээд хэсэгтоологч, доод хэсэг - хуваагч гэж нэрлэдэг.

Энгийн бутархайтай үйлдэл: жишээ

Бутархайн үндсэн шинж чанар. AtТоолуур ба хуваагчийг тэг биш ижил тоогоор үржүүлбэл өгөгдсөнтэй тэнцүү тоо гарна. Бутархайн энэ шинж чанар нь нэмэхэд хуваагчийг авчрах (үүнийг доор авч үзэх болно) эсвэл бутархайг багасгахад тусалдаг тул тоолоход илүү тохиромжтой болгодог. a/b = a*c/b*c. Жишээлбэл, 36/24 = 6/4 эсвэл 9/13 = 18/26

Нийтлэг хуваагч болгон бууруулах.Бутархайн хуваагчийг авчрахын тулд та хуваагчийг хүчин зүйл хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь алга болсон тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, 7/15 ба 12/30; 7/5*3 ба 12/5*3*2. Бид хуваагч хоёроор ялгаатай байгааг харж байгаа тул эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2-оор үржүүлбэл: 14/30 ба 12/30.

Нийлмэл фракцууд- тодруулсан бүхэл хэсэг бүхий энгийн бутархай. (A b/c) Нийлмэл бутархайг энгийн бутархайгаар илэрхийлэхийн тулд бутархайн урд байгаа тоог хуваагчаар үржүүлээд дараа нь тоологч дээр нэмнэ: (A*c + b)/c.

Бутархайтай арифметик үйлдлүүд

Зөвхөн бутархай тоотой ажиллахдаа сайн мэддэг арифметик үйлдлүүдийг авч үзэх нь илүүц байх болно.

Нэмэх ба хасах.Бутархайг нэмэх, хасах нь бүхэл тоонуудтай адил хялбар бөгөөд нэг бэрхшээлийг эс тооцвол бутархай бар байх болно. -ээр бутархай нэмэх ижил хуваагч, зөвхөн хоёр бутархайн тоог нэмэх шаардлагатай бөгөөд хуваагч өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна. Жишээ нь: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Хоёр бутархайн хуваагч нь байвал өөр өөр тооэхлээд та тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэх хэрэгтэй (үүнийг хэрхэн хийх талаар дээр дурдсан). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Хасах нь яг ижил зарчмын дагуу явагдана: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Үржүүлэх, хуваах. Үйлдлүүдүржүүлэх замаар бутархай нь тохиолддог баримтлах зарчим: тоологч ба хуваагчийг тус тусад нь үржүүлнэ. AT ерөнхий үзэлүржүүлэх томъёо нь дараах байдалтай байна: a/b *c/d = a*c/b*d. Нэмж хэлэхэд, үржүүлэх явцад та хуваагч ба хуваагчаас ижил хүчин зүйлийг хасч, бутархайг багасгаж болно. Өөр хэлээр бол тоологч ба хуваагч нь ижил тоонд хуваагддаг: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Нэг энгийн бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та хуваагчийн хуваагч ба хуваагчийг сольж, өмнө нь авч үзсэн зарчмын дагуу хоёр бутархайг үржүүлэх хэрэгтэй: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Аравтын тоо

Аравтын тоо нь бутархай тооны илүү түгээмэл бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг хувилбар юм. Тэдгээрийг мөрөнд бичих эсвэл компьютер дээр харуулах нь илүү хялбар байдаг. Аравтын бутархайн бүтэц нь дараах байдалтай байна: эхлээд бүхэл тоог бичнэ, дараа нь бутархайн бутархай хэсгийг бичнэ. Үндсэндээ аравтын бутархай нь нийлмэл бутархай боловч бутархай хэсэг нь 10-ын үржвэрт хуваагдсан тоогоор илэрхийлэгддэг. Тиймээс тэдний нэр. Аравтын бутархайтай үйлдлүүд нь аравтын бутархай тооллын системд бичигдсэн байдаг тул бүхэл тоотой үйлдлүүдтэй төстэй. Мөн энгийн бутархайгаас ялгаатай нь аравтын бутархай нь иррациональ байж болно. Энэ нь тэд хязгааргүй байж болно гэсэн үг юм. Тэдгээрийг 7, (3) гэж бичнэ. Дараах оруулгыг уншина: долоон бүхэл бүтэн, аравны гурав нь хугацаанд.

Аравтын тоотой үндсэн үйлдлүүд

Аравтын бутархайг нэмэх, хасах.Бутархай тоогоор үйлдлийг гүйцэтгэх нь бүхэл натурал тооноос илүү хэцүү биш юм. Дүрмүүд нь нэмэх, хасахад ашигладагтай яг ижил байна. натурал тоонууд. Тэдгээрийг мөн адил багана гэж үзэж болох боловч шаардлагатай бол алга болсон газруудыг тэгээр солино. Жишээ нь: 5.5697 - 1.12. Баганын хасах үйлдлийг хийхийн тулд аравтын бутархайн дараах тооны тоог тэнцүүлэх шаардлагатай: (5.5697 - 1.1200). Тиймээс тоон утга өөрчлөгдөхгүй бөгөөд баганад тоолж болно.

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь иррационал хэлбэртэй байвал аравтын бутархайтай үйлдлийг гүйцэтгэх боломжгүй. Үүнийг хийхийн тулд та хоёр тоог энгийн бутархай болгон хөрвүүлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь өмнө тайлбарласан техникийг ашиглах хэрэгтэй.

Үржүүлэх, хуваах.Аравтын бутархайг үржүүлэх нь натурал тоог үржүүлэхтэй төстэй. Тэдгээрийг зөвхөн таслалыг үл тоомсорлож, баганаар үржүүлж, дараа нь аравтын бутархайн хоёр бутархайн нийлбэртэй ижил тооны цифрийг эцсийн утгад таслалаар тусгаарлаж болно. Жишээлбэл, 1.5 * 2.23 = 3.345. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хэрэв та натурал тоог үржүүлэхийг аль хэдийн эзэмшсэн бол хүндрэл учруулах ёсгүй.

Хуваалт нь натурал тооны хуваагдалтай давхцдаг боловч бага зэрэг хазайлттай байдаг. Хуваах аравтын тообаганад, та хуваагч дахь таслалыг хаяж, ногдол ашгийг хуваагч дахь аравтын бутархайн дараах цифрүүдийн тоогоор үржүүлэх ёстой. Дараа нь натурал тоонуудын адил хуваахыг гүйцэтгэнэ. Бүрэн бус хуваах үед та баруун талд байгаа ногдол ашиг дээр тэг нэмж, аравтын бутархайн араас тэг нэмж болно.

Аравтын бутархайтай үйлдлийн жишээ.Аравтын тоо - маш тохиромжтой хэрэгсэларифметикийн хувьд. Эдгээр нь натурал, бүхэл тоо, энгийн бутархайн нарийвчлалыг хослуулсан. Үүнээс гадна, нэг бутархайг нөгөө рүү хөрвүүлэх нь маш энгийн. Бутархай тоонуудтай үйлдлүүд нь натурал тоотой үйлдлээс ялгаатай биш юм.

1. Нэмэлт: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. Хасах: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. Үржүүлэх: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. Хуваалт: 3.6: 0.6 = 6

Үүнээс гадна аравтын бутархай нь хувь хэмжээг илэрхийлэхэд тохиромжтой. Тэгэхээр 100% = 1; 60% = 0.6; ба эсрэгээр: 0.659 = 65.9%.

Энэ бол бутархайн талаар мэдэх ёстой зүйл юм. Нийтлэлд энгийн ба аравтын бутархай гэсэн хоёр төрлийн бутархайг авч үзсэн. Хоёуланг нь тооцоолоход маш хялбар бөгөөд хэрэв та натурал тоо, тэдгээртэй үйлдлүүдийг бүрэн эзэмшсэн бол бутархай тоонуудыг аюулгүйгээр сурч эхлэх боломжтой.

Энэ нийтлэлийн тухай юм энгийн бутархай. Энд бид бүхэл бутархай гэсэн ойлголттой танилцах бөгөөд энэ нь биднийг энгийн бутархайн тодорхойлолтод хүргэх болно. Дараа нь бид ердийн бутархайн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээний талаар анхаарч, бутархайн жишээг өгье, бутархайн тоологч ба хуваагчийн талаар хэлнэ. Үүний дараа бид зөв ба буруу, эерэг ба сөрөг бутархайн тодорхойлолтыг өгч, координатын туяа дээрх бутархай тоонуудын байрлалыг авч үзэх болно. Дүгнэж хэлэхэд бид үндсэн үйлдлүүдийг бутархайгаар жагсаав.

Хуудасны навигаци.

Бүхэл бүтэн хувьцаа

Эхлээд бид танилцуулъя үзэл баримтлалыг хуваалцах.

Бидэнд хэд хэдэн туйлын ижил (өөрөөр хэлбэл тэнцүү) хэсгүүдээс бүрдсэн объект байна гэж бодъё. Тодорхой болгохын тулд, жишээ нь, алимыг хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдэд хуваасан, эсвэл хэд хэдэн тэнцүү зүсмэлүүдээс бүрдсэн жүржийг төсөөлж болно. Бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлдэг эдгээр тэнцүү хэсэг бүрийг нэрлэдэг бүхэлд нь эзлэх хувьэсвэл зүгээр л хувьцаа.

Хувьцаа өөр гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг тайлбарлая. Бид хоёр алимтай гэж бодъё. Эхний алимыг хоёр тэнцүү хэсэг болгон хувааж, хоёр дахь алимыг 6 тэнцүү хэсэг болгон хуваая. Эхний алимны эзлэх хувь хоёр дахь алимныхоос өөр байх нь ойлгомжтой.

Бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлдэг хувьцааны тооноос хамааран эдгээр хувьцаанууд нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Ингээд дүн шинжилгээ хийцгээе нэр хуваалцах. Хэрэв объект нь хоёр хэсгээс бүрдэх бол тэдгээрийн аль нэгийг нь бүхэл зүйлийн хоёр дахь хэсэг гэж нэрлэдэг; хэрэв объект гурван хэсгээс бүрдэх юм бол тэдгээрийн аль нэгийг нь гуравны нэг хэсэг гэх мэт.

Нэг секундын цохилт нь тусгай нэртэй байдаг - хагас. Гуравны нэг нь гэж нэрлэдэг гурав дахь, мөн нэг дөрөв дахин - улирал.

Товчхон байхын тулд дараахь зүйлийг хэлье тэмдэглэгээг хуваалцах. Нэг хоёр дахь хувьцааг буюу 1/2, гуравны нэг хувийг буюу 1/3 гэж тодорхойлсон; дөрөвний нэгийг хуваалцах - дуртай эсвэл 1/4 гэх мэт. Хэвтээ баар бүхий тэмдэглэгээг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Материалыг нэгтгэхийн тулд дахин нэг жишээ хэлье: оруулга нь бүхэл бүтэн зуун жаран долооны нэгийг илэрхийлдэг.

Хувьцааны тухай ойлголт нь объектоос хэмжээ хүртэл үргэлжилдэг. Жишээлбэл, уртын хэмжүүрүүдийн нэг нь метр юм. Нэг метрээс бага уртыг хэмжихийн тулд метрийн фракцыг ашиглаж болно. Тиймээс та жишээ нь хагас метр эсвэл метрийн аравны нэг буюу мянганы нэгийг ашиглаж болно. Бусад хэмжээний хувьцааг мөн адил хэрэглэнэ.

Энгийн бутархай, тодорхойлолт, бутархайн жишээ

Хувьцааны тоог тодорхойлоход ашигладаг энгийн бутархай. Энгийн бутархайн тодорхойлолтод ойртох боломжийг олгох жишээг өгье.

Жүржийг 12 хэсгээс бүрдүүлээрэй. Энэ тохиолдолд хувьцаа бүр бүхэл жүржийн арван хоёрны нэгийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл, . Хоёр цохилтыг , гурван цохилтыг , гэх мэтээр 12 цохилтыг гэж тэмдэглэе. Эдгээр бичилт бүрийг энгийн бутархай гэж нэрлэдэг.

Одоо нэг генерал өгье энгийн бутархайн тодорхойлолт.

Энгийн бутархайн дуут тодорхойлолт нь бидэнд авчрах боломжийг олгодог энгийн бутархайн жишээ: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Мөн энд бичлэгүүд байна энгийн бутархайн дуут тодорхойлолтонд тохирохгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь энгийн бутархай биш юм.

Тоолуур ба хуваагч

Тохиромжтой болгохын тулд бид ердийн бутархайгаар ялгадаг тоологч ба хуваагч.

Тодорхойлолт.

Тоологчэнгийн бутархай (m / n) нь натурал тоо m юм.

Тодорхойлолт.

Хуваагчэнгийн бутархай (m / n) нь натурал n тоо юм.

Тиймээс, тоологч нь бутархайн зураасны дээгүүр (налуу зураасны зүүн талд), хуваагч нь бутархайн зураасны доор (налуу зураасны баруун талд) байрладаг. Жишээлбэл, 17/29 гэсэн энгийн бутархайг авч үзье, энэ бутархайн хуваагч нь 17, хуваагч нь 29 гэсэн тоо юм.

Энгийн бутархайн тоо болон хуваагчд агуулагдах утгыг хэлэлцэх л үлдлээ. Бутархайн хуваагч нь нэг зүйл хэдэн хувьцаанаас бүрдэхийг, харин тоологч нь эргээд ийм хувьцааны тоог заана. Жишээлбэл, 12/5 бутархайн хуваагч 5 нь нэг зүйл таван хэсгээс бүрдэх, 12 тоологч нь 12 ийм хэсгийг авсан гэсэн үг юм.

Натурал тоог хуваагч 1-тэй бутархай

Энгийн бутархайн хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ тохиолдолд бид объектыг хуваагдашгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүхэл бүтэн зүйл гэж үзэж болно. Ийм бутархайн тоо нь хэдэн бүхэл зүйлийг авч байгааг илтгэнэ. Тиймээс m/1 хэлбэрийн энгийн бутархай нь натурал m тооны утгатай байна. m/1=m тэгшитгэлийг ингэж нотолсон.

Сүүлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье: m=m/1 . Энэ тэгш байдал нь ямар ч натурал m тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 4 тоо нь 4/1 бутархай, 103498 тоо нь 103498/1 бутархай юм.

Тэгэхээр, дурын натурал тоо m-ийг 1 хуваарьтай энгийн бутархай хэлбэрээр m/1 хэлбэрээр дүрсэлж болох ба m/1 хэлбэрийн дурын энгийн бутархайг m натурал тоогоор сольж болно..

Бутархайн талбарыг хуваах тэмдэг болгон

Анхны объектыг n ширхэг хувьцаа хэлбэрээр дүрслэх нь n тэнцүү хэсэгт хуваагдахаас өөр зүйл биш юм. Тухайн зүйлийг n ширхэг хувьцаанд хуваасны дараа бид үүнийг n хүнд тэнцүү хувааж болно - тус бүр нэг хувьцаа авах болно.

Хэрэв бид эхлээд m ижил объекттой бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь n ширхэг хувьцаанд хуваагддаг бол бид эдгээр m объектыг n хүнд тэнцүү хувааж, хүн бүрт m объект тус бүрээс нэг хувийг өгч чадна. Энэ тохиолдолд хүн бүрт m хувьцаа 1/n байх ба m хувьцаа 1/n нь энгийн бутархай m/n өгнө. Тиймээс m/n энгийн бутархайг n хүний ​​дунд m зүйлийг хуваахыг илэрхийлэхэд ашиглаж болно.

Тиймээс бид энгийн бутархай ба хуваагдлын хооронд тодорхой холболтыг олж авсан (натурал тоог хуваах ерөнхий санааг үзнэ үү). Энэ хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. Бутархайн зураасыг хуваах тэмдэг, өөрөөр хэлбэл m/n=m:n гэж ойлгож болно..

Энгийн бутархайн тусламжтайгаар та бүхэл тоогоор хуваагддаггүй хоёр натурал тоог хуваах үр дүнг бичиж болно. Жишээлбэл, 5 алимыг 8 хүнд хуваасны үр дүнг 5/8 гэж бичиж болно, өөрөөр хэлбэл тус бүр алимны наймны тавыг авна: 5: 8 = 5/8.

Тэгш ба тэгш бус энгийн бутархай, бутархайн харьцуулалт

Энэ нь нэлээд байгалийн үйл ажиллагаа юм энгийн бутархайн харьцуулалт, учир нь жүржийн 1/12 нь 5/12-оос ялгаатай, алимны 1/6 нь энэ алимны бусад 1/6-тай ижил байх нь ойлгомжтой.

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулсны үр дүнд үр дүнгийн нэг нь гарна: бутархай нь тэнцүү эсвэл тэнцүү биш байна. Эхний тохиолдолд бидэнд байна тэнцүү энгийн бутархай, хоёрдугаарт тэгш бус энгийн бутархай. Тэнцүү ба тэгш бус энгийн бутархайн тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

тэнцүү, хэрэв a d=b c тэгшитгэл үнэн бол.

Тодорхойлолт.

a/b ба c/d хоёр энгийн бутархай тэнцүү биш, a d=b c тэгшитгэл хангагдаагүй бол.

Тэнцүү бутархайн зарим жишээ энд байна. Жишээлбэл, энгийн бутархай 1/2 нь 2/4-тэй тэнцүү, учир нь 1 4=2 2 (шаардлагатай бол натурал тоог үржүүлэх дүрэм, жишээг үзнэ үү). Тодорхой болгохын тулд та хоёр ижил алимыг төсөөлж болно, эхнийх нь хагас, хоёр дахь нь 4 ширхэг хуваагдана. Алимны дөрөвний хоёр нь хувьцааны 1/2 нь гэдэг нь ойлгомжтой. Тэнцүү энгийн бутархайн бусад жишээ бол 4/7 ба 36/63 бутархай, 81/50 ба 1620/1000 бутархай хосууд юм.

Мөн энгийн бутархай 4/13 ба 5/14 тэнцүү биш, учир нь 4 14=56, 13 5=65, өөрөөр хэлбэл 4 14≠13 5. Тэгш бус энгийн бутархайн өөр нэг жишээ бол 17/7 ба 6/4 бутархай юм.

Хэрэв хоёр энгийн бутархайг харьцуулж үзвэл тэдгээр нь тэнцүү биш бол та эдгээр энгийн бутархайн аль нь болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. багаөөр, аль нь илүү. Үүнийг олж мэдэхийн тулд жирийн бутархайг харьцуулах дүрмийг ашигладаг бөгөөд үүний мөн чанар нь харьцуулсан бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь тоологчдыг харьцуулах явдал юм. Энэ сэдвийн талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг бутархай харьцуулах өгүүллээр цуглуулсан: дүрэм, жишээ, шийдэл.

Бутархай тоо

Бутархай бүр нь рекорд юм бутархай тоо. Өөрөөр хэлбэл, бутархай нь бутархай тооны "бүрхүүл" юм Гадаад төрх, мөн бүх семантик ачааллыг яг бутархай тоонд агуулна. Гэхдээ товч бөгөөд хялбар байх үүднээс бутархай ба бутархай тоо гэсэн ойлголтыг нэгтгэж, зүгээр л бутархай гэж нэрлэдэг. Энд алдартай хэллэгийг тайлбарлах нь зүйтэй юм: бид бутархай гэж хэлдэг - бид гэсэн үг бутархай тоо, бид бутархай тоог хэлдэг - бид бутархай гэсэн үг.

Координатын цацраг дээрх бутархай

Энгийн бутархайтай харгалзах бүх бутархай тоонууд өөрийн гэсэн байдаг өвөрмөц газардээр, өөрөөр хэлбэл, координатын цацрагийн бутархай ба цэгүүдийн хооронд нэгээс нэг харгалзах байдал байна.

Координатын туяа дээрх m / n фракцтай тохирох цэг рүү хүрэхийн тулд гарал үүслээс эерэг чиглэлд m сегментийг хойшлуулах шаардлагатай бөгөөд урт нь нэгж сегментийн 1 / n хэсэг юм. Ийм сегментийг нэг сегментийг n тэнцүү хэсэгт хуваах замаар олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг үргэлж луужин болон захирагч ашиглан хийж болно.

Жишээлбэл, координатын цацраг дээр 14/10 бутархайтай тохирох M цэгийг үзүүлье. Жижиг зураасаар тэмдэглэгдсэн О цэг дээр төгсгөлтэй сегментийн урт ба түүнд хамгийн ойр байгаа цэг нь нэгж сегментийн 1/10 байна. 14/10 координаттай цэгийг эхээс 14 ийм сегментээр хасна.

Тэнцүү бутархай нь ижил бутархай тоотой тохирч байна, өөрөөр хэлбэл тэнцүү бутархай нь координатын туяа дээрх ижил цэгийн координат юм. Жишээлбэл, нэг цэг нь координатын туяа дээрх 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 координатуудтай тохирч байна, учир нь бүх бичигдсэн бутархайнууд тэнцүү байна (энэ нь нэгж сегментийн хагасын зайд байрладаг, хойшлогдсон эерэг чиглэлд гарал үүсэл).

Хэвтээ ба баруун тийш чиглэсэн координатын цацраг дээр координат нь том бутархай цэг нь жижиг бутархай цэгийн баруун талд байрлана. Үүний нэгэн адил жижиг координаттай цэг нь том координаттай цэгийн зүүн талд байрладаг.

Зөв ба буруу бутархай, тодорхойлолт, жишээ

Энгийн фракцуудын дунд байдаг зөв ба буруу бутархай. Энэ хуваагдал нь үндсэндээ тоологч ба хуваагчийн харьцуулалттай байдаг.

Зөв ба буруу жирийн бутархайн тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Зөв бутархай нь хуваагчаас бага энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m бол.

Тодорхойлолт.

Буруу бутархайнь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m≥n бол энгийн бутархай буруу байна.

Зөв бутархайн зарим жишээ энд байна: 1/4 , , 32 765/909 003 . Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархай тус бүрт тоологч нь хуваагчаас бага байдаг (шаардлагатай бол натурал тоонуудын харьцуулалтыг үзнэ үү), тиймээс тэдгээр нь тодорхойлолтоор зөв юм.

Бутархай бутархайн жишээ энд байна: 9/9, 23/4,. Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархайн эхнийх нь хуваагчтай тэнцүү, үлдсэн бутархайн хувьд хуваагч нь хуваагчаас их байна.

Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв ба буруу бутархайн тодорхойлолтууд бас бий.

Тодорхойлолт.

зөвнэгээс бага бол.

Тодорхойлолт.

Энгийн бутархай гэж нэрлэдэг буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл 1-ээс их бол.

Тэгэхээр 7/11 энгийн бутархай 7/11 зөв байна<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ба 27/27=1 .

Хуваагчаас их буюу тэнцүү тоологчтой энгийн бутархайнууд "буруу" гэсэн нэрийг хэрхэн авах ёстойг бодъё.

9/9 буруу бутархайг жишээ болгон авч үзье. Энэ бутархай нь есөн хэсгээс бүрдэх объектын есөн хэсгийг авдаг гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, байгаа есөн хувьцаанаас бид бүхэл бүтэн сэдвийг бүрдүүлж чадна. Өөрөөр хэлбэл, 9/9 буруу бутархай нь үндсэндээ бүхэл объектыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл 9/9=1. Ерөнхийдөө хуваарьтай тэнцэх тоотой буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг илэрхийлэх бөгөөд ийм бутархайг натурал 1 тоогоор сольж болно.

Одоо 7/3 ба 12/4 буруу бутархайг авч үзье. Эдгээр гуравны долоон хэсгээс бид хоёр бүхэл объектыг (нэг бүхэл объект нь 3 хувь, дараа нь хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд 3 + 3 = 6 хувьцаа) хийх боломжтой бөгөөд гуравны нэг хувь байх нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, 7/3-ийн буруу бутархай нь үндсэндээ 2 зүйл, тэр ч байтугай ийм зүйлийн 1/3 гэсэн үг юм. Мөн арван хоёр дөрөвний нэгээс бид гурван бүхэл бүтэн объект (тус бүр нь дөрвөн хэсэгтэй гурван объект) хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, 12/4 гэсэн хэсэг нь үндсэндээ 3 бүхэл объект гэсэн үг юм.

Үзсэн жишээнүүд нь биднийг дараах дүгнэлтэд хүргэж байна: буруу бутархайг натурал тоогоор, тоологчийг хуваагчаар (жишээ нь 9/9=1 ба 12/4=3) хуваах үед эсвэл нийлбэрээр сольж болно. натурал тоо ба зохих бутархай, тоологч нь хуваарьт жигд хуваагддаггүй (жишээлбэл, 7/3=2+1/3 ). Магадгүй энэ нь зохисгүй фракцууд "буруу" гэж нэрлэгдэх ёстой зүйл юм.

Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн (7/3=2+1/3) нийлбэрээр дүрслэх нь онцгой анхаарал татаж байна. Энэ процессыг буруу бутархайгаас бүхэл тоон хэсгийг гаргаж авах гэж нэрлэдэг бөгөөд тусад нь, илүү анхааралтай авч үзэх шаардлагатай.

Бутархай бутархай ба холимог тоонуудын хооронд маш нягт хамаарал байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эерэг ба сөрөг бутархай

Энгийн бутархай бүр нь эерэг бутархай тоотой тохирч байна (эерэг ба сөрөг тоонуудыг өгүүллийг үзнэ үү). Энэ нь энгийн бутархайнууд юм эерэг бутархай. Жишээлбэл, энгийн бутархай 1/5, 56/18, 35/144 эерэг бутархай байна. Бутархайн эерэг талыг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай бол түүний өмнө нэмэх тэмдэг тавина, жишээлбэл, +3/4, +72/34.

Хэрэв та энгийн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьсан бол энэ оруулга нь сөрөг бутархай тоотой тохирно. Энэ тохиолдолд нэг нь ярьж болно сөрөг бутархай. Сөрөг бутархайн зарим жишээ энд байна: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Эерэг ба сөрөг бутархай m/n ба −m/n нь эсрэг тоонууд юм. Жишээлбэл, 5/7 ба -5/7 бутархайнууд нь эсрэг талын бутархайнууд юм.

Эерэг бутархай, ерөнхийдөө эерэг тоонууд нь өсөлт, орлого, зарим үнэ цэнийн өсөлт гэх мэтийг илэрхийлдэг. Сөрөг бутархай нь зардал, өр, буурах чиглэлд аливаа үнэ цэнийн өөрчлөлттэй тохирч байна. Жишээлбэл, сөрөг бутархай -3/4-ийг өр гэж тайлбарлаж болно, түүний утга нь 3/4 байна.

Хэвтээ ба баруун тийш чиглэсэн сөрөг фракцууд нь лавлагааны цэгийн зүүн талд байрладаг. Координатууд нь эерэг бутархай m/n ба сөрөг бутархай −m/n болох координатын шугамын цэгүүд нь эх цэгээс ижил зайд, харин О цэгийн эсрэг талд байрладаг.

Энд 0/n хэлбэрийн бутархай хэсгүүдийг дурдах нь зүйтэй. Эдгээр бутархайнууд нь тэг тоотой тэнцүү буюу 0/n=0 .

Эерэг бутархай, сөрөг бутархай, 0/n бутархайнууд нийлж рационал тоог үүсгэдэг.

Бутархайтай үйлдлүүд

Энгийн бутархайтай нэг үйлдэл - бутархайг харьцуулах - бид дээр дурдсан. Өөр дөрвөн арифметикийг тодорхойлсон бутархайтай үйлдлүүд- бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах. Тэд тус бүр дээр тогтцгооё.

Бутархайтай үйлдлийн ерөнхий мөн чанар нь натурал тоотой харгалзах үйлдлүүдийн мөн чанартай төстэй юм. Аналогийг зурцгаая.

Бутархайг үржүүлэхбутархайгаас бутархай олдох үйлдэл гэж үзэж болно. Тодорхой болгохын тулд жишээ татъя. Бидэнд 1/6 алим байгаа бөгөөд бид 2/3-ыг нь авах хэрэгтэй гэж бодъё. Бидэнд хэрэгтэй хэсэг нь 1/6 ба 2/3 бутархайг үржүүлсний үр дүн юм. Хоёр энгийн бутархайг үржүүлсний үр дүн нь энгийн бутархай (энэ нь тодорхой тохиолдолд натурал тоотой тэнцүү) юм. Цаашид бид бутархайг үржүүлэх нийтлэлийн мэдээллийг судлахыг зөвлөж байна - дүрэм, жишээ, шийдэл.

Ном зүй.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик: 5 эсийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Виленкин Н.Я. гэх мэт Математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагын сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).