Маягтын эхний эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүд. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман ба нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) - урьдчилан тодорхойлсон функцууд x дээр, (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай мужид тасралтгүй байна.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд ерөнхий шийдэлтэй

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун)\!,

Ерөнхий шийдэл нь тийм биш юм нэгэн төрлийн тэгшитгэлолж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

Y=C(x)\exp\!\зүүн(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1 y"+2xy=2xe^(-x^2) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Бид тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн y"+2xy=0 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) .

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайж байна, энд C(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C "(x)=2x, эндээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=(x^2+C)e^(-x^) болно. 2) , энд C нь интегралын тогтмол юм.

Сэтгэгдэл.Дифференциал тэгшитгэл нь у-ийн функцээр x-д шугаман байна. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-г y-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсах тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг x=C(y)e^(\sin(y)) хэлбэрээр хайж байна, энд C(y) нь y-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулж, бид авдаг

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Тиймээс бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж байна

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг x=C(y)e^(\sin(y)) гэж орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

Y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-г дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцөлөөс v(x)-г тодорхойлохдоо vu"+(pv+v")u=q(x)-аас u(x) функцийг олоод, y=uv-ийн шийдийг олно. тэгшитгэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ийн хувьд тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Шийдэл.Бид y=u(x)v(x) хэлбэрээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна; Бидэнд y"=u"v+uv" байна. y ба y"-ийн илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлуулбал бид дараах байдалтай болно.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Бид x(x-1)v"+v=0 нөхцөлөөс v=v(x) функцийг олно. Сүүлчийн тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдийг авч, жишээ нь v=\frac(x)(x-1) , ба түүнийг орлуулснаар бид u"=2x-1 тэгшитгэлийг олж, үүнээс u(x)=x^2-x+C функцийг олно. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)байх болно

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

y|_(x=2)=4 анхны нөхцөлийг ашиглан С-г олох тэгшитгэлийг гаргана 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, эндээс C=0; тэгэхээр заасан Коши бодлогын шийдэл нь y=x^2 функц байх болно.

Жишээ 4 R эсэргүүцэл ба өөрөө индукц L-тэй хэлхээний гүйдлийн хүч i ба цахилгаан хөдөлгөгч хүч E хооронд хамаарал байдаг нь мэдэгдэж байна. E=Ri+L\frac(di)(dt), энд R ба L тогтмолууд. Хэрэв бид E-г t хугацааны функц гэж үзвэл одоогийн i хүч чадлын шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийг авна.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолын одоогийн i(t)-ийг ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Анхны нөхцөлийг (13) ашиглан бид -аас авна C=I_0-\frac(E_0)(R), тэгэхээр хүссэн шийдэл байх болно

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Энэ нь t\to+\infty үед одоогийн хүч i(t) хандлагатай байгааг харуулж байна тогтмол утга\frac(E_0)(R) .

Жишээ 5Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон C_\alpha муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул (Зураг 13).

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх зарим C_\alpha муруйтай шүргэгчийг авч үзье.M(x,y) цэг дээрх шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

Тодорхойлолтоор тус тусын цэгүүдэд x нь тогтмол, у нь хувьсагч юм. Харгалзах цэгүүдэд C_\alpha шулуунуудын аль ч хоёр шүргэгчийг авч үзвэл тэдгээрийн огтлолцлын S цэгийн координатыг олж авна.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь C_\alpha муруйнуудын харгалзах цэгүүдийн (x тогтмол) бүх шүргэгч нь нэг цэг дээр огтлолцож байгааг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S \colon f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангадаг: y нь y\to+\infty -д хязгаарлагдана.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0-ийн ерөнхий шийдээс олж авсан тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь хязгааргүй байх болно, учир нь x\to+\infty-ийн хувьд \sin(x) функц нь хязгаарлагдмал байдаг бол e^x\to+\infty . Энэ нь энэ тэгшитгэл нь x\to+\infty -д хязгаарлагдсан y=\sin(x) өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг C=0 цэгийн ерөнхий шийдээс олж авсан гэсэн үг юм.

Бернулли тэгшитгэл

Бернулли дифференциал тэгшитгэлхэлбэртэй байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Хувьсагчийг өөрчлөх замаар z=\frac(1)(y^(n-1))Бернулли тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж, шугаман тэгшитгэл болгон нэгтгэдэг.

Жишээ 7Бернулли тэгшитгэлийг y"-xy=-xy^3 шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх \frac(1)(y^2)=z\Баруун сум-\frac(2y")(y^3)=z", хаана \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Орлуулсны дараа сүүлчийн тэгшитгэл болно шугаман тэгшитгэл

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x , ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Сэтгэгдэл.Бернулли тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэх мэт тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга, y(x)=u(x)v(x) орлуулгыг ашиглан нэгтгэж болно.

Жишээ 8Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Харгалзах нэгэн төрлийн xy"+y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=\frac(C)(x) хэлбэртэй байна. Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=\frac(C(x)) хэлбэрээр хайж байна. )(x) , энд C(x) - шинэ үл мэдэгдэх функц Анхны тэгшитгэлд орлуулбал бид байна

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) функцийг олохын тулд бид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг салгаж, интегралдах замаар бид олдог.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим шугаман бус тэгшитгэлНэгдүгээр эрэмбийн хувьсагчдын сайн олдсон өөрчлөлтийн тусламжтайгаар шугаман тэгшитгэл эсвэл Бернуллигийн тэгшитгэл болгон бууруулна.

Жишээ 9тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Бид энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Солих \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))энэ тэгшитгэлийг шугаман болгож байна \frac(dz)(dx)+z=-x, ерөнхий шийдэл нь z=1-x+Ce^(-x) .

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Зарим тэгшитгэлд хүссэн функц y(x) нь интеграл тэмдгийн доор байж болно. Эдгээр тохиолдолд заримдаа өгөгдсөн тэгшитгэлийг дифференциал болгон бууруулж болно.

Жишээ 10тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл мэдээллийн эх сурвалж

Заавар

Хэрэв тэгшитгэлийг: dy/dx = q(x)/n(y) гэж үзүүлбэл салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн ангилалд хандана уу. Дифференциал дахь нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж тэдгээрийг шийдэж болно: n(y)dy = q(x)dx. Дараа нь хоёр хэсгийг нэгтгэнэ. Зарим тохиолдолд шийдлийг мэдэгдэж буй функцээс авсан интеграл хэлбэрээр бичдэг. Жишээлбэл, dy/dx = x/y тохиолдолд бид q(x) = x, n(y) = y болно. Үүнийг ydy = xdx гэж бичээд нэгтгэ. Та y^2 = x^2 + c-г авах ёстой.

шугаман руу тэгшитгэлтэгшитгэлийг "эхний" гэж нэрлэ. Үүсмэлүүдтэй үл мэдэгдэх функцийг ийм тэгшитгэлд зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт оруулна. Шугаман нь dy/dx + f(x) = j(x) хэлбэртэй бөгөөд f(x) ба g(x) нь x-ээс хамааралтай функцууд юм. Уг шийдлийг мэдэгдэж буй функцээс авсан интеграл ашиглан бичнэ.

Олон дифференциал тэгшитгэлүүд нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл (хоёр дахь дериватив агуулсан) гэдгийг санаарай.Жишээ нь, энэ нь ерөнхий байдлаар бичигдсэн энгийн гармоник хөдөлгөөний тэгшитгэл юм: md 2x / dt 2 = -kx. Ийм тэгшитгэл нь хэсэгчилсэн шийдтэй байна. Энгийн гармоник хөдөлгөөний тэгшитгэл нь маш чухал шугаман дифференциал тэгшитгэлийн жишээ юм. тогтмол хүчин зүйл.

Хэрэв асуудлын нөхцөлд зөвхөн нэг шугаман тэгшитгэл байгаа бол танд өгөгдсөн болно нэмэлт нөхцөлүүгээр шийдлийг олох боломжтой. Эдгээр нөхцлийг олохын тулд асуудлыг анхааралтай уншина уу. Хэрвээ хувьсагч x ба y нь зай, хурд, жин - x≥0 ба y≥0 хязгаарыг чөлөөтэй тохируулаарай. X эсвэл y нь , алим гэх мэт тоог нууж байгаа байх магадлалтай. - тэгвэл утгууд нь зөвхөн байж болно. Хэрвээ х нь хүүгийн нас бол тэрээр эцгээсээ илүү настай байж болохгүй нь тодорхой тул асуудлын нөхцөлөөр үүнийг зааж өгнө үү.

Эх сурвалжууд:

• Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх

Дифференциал ба интеграл тооцооллын бодлого чухал элементүүдих дээд сургуульд суралцдаг дээд математикийн нэг хэсэг болох математик анализын онолыг нэгтгэх. дифференциал тэгшитгэлинтеграцийн аргаар шийддэг.

Заавар

Дифференциал тооцоо нь шинж чанарыг судалдаг. Үүний эсрэгээр, функцийг нэгтгэх нь өгөгдсөн шинж чанаруудын дагуу, i.e. Функцийн дериватив эсвэл дифференциалыг өөрөө олох. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Any нь үл мэдэгдэх утга болон мэдэгдэж буй өгөгдлийн хоорондох харьцаа юм. Дифференциал тэгшитгэлийн хувьд үл мэдэгдэхийн үүргийг функц, мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүний үүргийг түүний дериватив гүйцэтгэдэг. Үүнээс гадна харьцаа нь бие даасан хувьсагчийг агуулж болно: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, энд x нь үл мэдэгдэх хувьсагч юм. хувьсагч, у (х) нь тодорхойлох функц, тэгшитгэлийн дараалал нь деривативын (n) хамгийн их дараалал юм.

Ийм тэгшитгэлийг энгийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв эдгээр хувьсагчтай холбоотой функцүүдийн хамаарал болон хэсэгчилсэн дериватив (дифференциал)-д хэд хэдэн бие даасан хувьсагч байгаа бол тэгшитгэлийг хэсэгчилсэн дериватив бүхий дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэх ба x∂z/∂y - ∂z/∂ хэлбэртэй байна. x = 0, энд z(x, y) нь хүссэн функц юм.

Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та эсрэг деривативуудыг олох чадвартай байх хэрэгтэй. урвуу ялгах асуудлыг шийдэх. Жишээ нь: Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг y’ = -y/x шийд.

Шийдэл y'-г dy/dx-ээр солино: dy/dx = -y/x.

Тэгшитгэлийг нэгтгэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруул. Үүнийг хийхийн тулд хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, y:dy/y = -dx/x-д хуваана.

Интеграл: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Энэ шийдлийг ерөнхий дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. C нь утгуудын багц нь тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцыг тодорхойлдог тогтмол юм. С-ийн аливаа тодорхой утгын хувьд шийдэл нь өвөрмөц байх болно. Ийм шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Ихэнх тэгшитгэлийн шийдэл градусквадратын үндсийг олох гэх мэт тодорхой томъёо байхгүй тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшний тэгшитгэлийг илүү харааны хэлбэрт шилжүүлэх боломжийг олгодог хэд хэдэн бууруулах аргууд байдаг.

Заавар

Өндөр түвшний тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол өргөтгөл юм. Энэ арга нь бүхэл язгуур, чөлөөт гишүүний хуваагчийг сонгох, дараа нь ерөнхий олон гишүүнтийг (x - x0) хэлбэрт хуваах хосолсон арга юм.

Жишээ нь: x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийд.Энэ олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүн нь -3 тул бүхэл хуваагч нь ±1 ба ±3 байж болно. Тэдгээрийг нэг нэгээр нь тэгшитгэлд орлуулж, ижил утгатай эсэхийг олж мэдээрэй: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Хоёрдахь үндэс x = -1. (x + 1) илэрхийллээр хуваана. Үүссэн тэгшитгэлийг бич (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Зэрэг нь хоёр дахь руу буурсан тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй байж болно. Тэдгээрийг олохын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийд: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Дискриминант нь сөрөг утга бөгөөд энэ нь тэгшитгэл жинхэнэ үндэсгүй болсон гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн цогц язгуурыг ол: x = (-2 + i √11)/2 ба x = (-2 – i √11)/2.

Дээд зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг арга бол хувьсагчийг квадрат болгон өөрчлөх явдал юм. Энэ аргыг тэгшитгэлийн бүх хүч тэгш байх үед хэрэглэнэ, жишээлбэл: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Одоо анхны тэгшитгэлийн язгуурыг ол: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Зөвлөгөө 10: Redox тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Химийн урвал гэдэг нь тэдгээрийн найрлага өөрчлөгдөхөд үүсдэг бодисыг хувиргах үйл явц юм. Урвалд орж буй бодисыг анхдагч гэж нэрлэдэг ба энэ үйл явцын үр дүнд үүссэн бодисыг бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Энэ үед ийм зүйл тохиолддог химийн урвалэхлэл материалыг бүрдүүлдэг элементүүд нь исэлдэлтийн төлөвөө өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, тэд бусдын электроныг хүлээн авч, өөрийн электроныг өгч чадна. Аль ч тохиолдолд тэдний төлбөр өөрчлөгддөг. Ийм урвалыг исэлдэлтийн урвал гэж нэрлэдэг.

дээр лекцийн тэмдэглэл

дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэл

Оршил

Зарим үзэгдлийг судлахдаа y=f(x) эсвэл F(x;y)=0 тэгшитгэлийг ашиглан үйл явцыг тайлбарлах боломжгүй нөхцөл байдал ихэвчлэн үүсдэг. Хувьсагч х ба үл мэдэгдэх функцээс гадна тэгшитгэлд энэ функцийн дериватив орно.

Тодорхойлолт: x хувьсагч, үл мэдэгдэх y(x) функц болон түүний уламжлалтай холбоотой тэгшитгэлийг гэнэ. дифференциал тэгшитгэл. AT ерөнхий үзэлдифференциал тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Тодорхойлолт:Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь түүний хамгийн дээд деривативын дараалал юм.

-1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

-3-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт:Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь тэгшитгэлд орлуулснаар түүнийг ижил шинж чанар болгон хувиргадаг функц юм.

Дифференциал тэгшитгэл 1 захиалга

Тодорхойлолт:Төрөл тэгшитгэл =f(x;y) эсвэл F(x;y); )=01-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт: 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=γ(x;c) функц бөгөөд (с –const) нь тэгшитгэлд орлуулснаар ижил төстэй байдал болж хувирдаг. Геометрийн хувьд хавтгай дээр нийтлэг шийдэл c параметрээс хамаарч интеграл муруйн бүлэгт тохирно.

Тодорхойлолт:Хавтгайн (x 0; y 0) координаттай цэгээр дамжин өнгөрөх интеграл муруй нь анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд тохирно.

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийн өвөрмөц байдлын тухай теорем

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл өгөгдсөн
ба f(x; y) функц нь XOY хавтгайн зарим D мужид хэсэгчилсэн деривативуудын хамт тасралтгүй, дараа нь M 0 (x 0; y 0) цэгээр дамжина. D нь y(x 0)=y 0 анхны нөхцөлтэй тохирох дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд харгалзах цорын ганц муруйг дамжуулдаг.

Өгөгдсөн координат бүхий хавтгайн цэгээр 1 интеграл муруй өнгөрдөг.

Хэрэв 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг тодорхой хэлбэрээр авах боломжгүй бол, i.e.
, дараа нь үүнийг далд хэлбэрээр авч болно:

F(x; y; c) =0 – далд хэлбэр

Энэ хэлбэрийн ерөнхий шийдлийг нэрлэдэг нийтлэг интегралдифференциал тэгшитгэл.

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд 2 даалгавар өгсөн болно.

1) Ерөнхий шийдлийг олох (ерөнхий интеграл)

2) Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангах тодорхой шийдийг (хэсэгчилсэн интеграл) ол. Энэ бодлогыг дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлого гэж нэрлэдэг.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Маягтын тэгшитгэл:
салангид хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Орлуулах

dx-ээр үржүүлнэ

Бид хувьсагчдыг ялгадаг

хуваах

Анхаарна уу: Энэ тохиолдолд онцгой тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай

хувьсагчдыг тусгаарласан

Бид тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг

- нийтлэг шийдвэр

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

бие даасан тохиолдол
!

Бид тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг:

1)

2)
эрт нөхцөл:

1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт:Чиг үүрэг
n дарааллын нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг if

Жишээ: - n=2 дарааллын нэгэн төрлийн функц

Тодорхойлолт: 0 эрэмбийн нэгэн төрлийн функц гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн.

Тодорхойлолт:Дифференциал тэгшитгэл
нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг бол
- нэгэн төрлийн функц, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Орлуулах замаар , t нь х хувьсагчийн функц бол нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулна.

- тэгшитгэлд орлуулах

Хувьсагчдыг тусгаарласан, бид тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг

Орлуулах замаар урвуу орлуулалтыг хийцгээе , бид далд хэлбэрээр ерөнхий шийдлийг олж авдаг.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно дифференциал хэлбэр.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, энд M(x;y) ба N(x;y) нь ижил дарааллын нэгэн төрлийн функцууд юм.

dx-д хувааж, илэрхийлэх

1)

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

НЭГДҮГЭЭР ЗОРИУЛАЛТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТҮҮД

Нягтлан бодох бүртгэлийн оюутнуудад зориулсан лекцийн хураангуй

Боловсролын захидал харилцааны хэлбэр (NISPO)

Горки, 2013 он

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт. Ерөнхий болон тусгай шийдэл

Төрөл бүрийн үзэгдлийг судлахдаа бие даасан хувьсагч болон хүссэн функцийг шууд холбосон хуулийг олох боломжгүй байдаг ч хүссэн функц болон түүний деривативуудын хооронд холбоо тогтоох боломжтой байдаг.

Бие даасан хувьсагч, хүссэн функц, түүний деривативыг холбосон хамаарлыг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэл :

Энд xбие даасан хувьсагч, yхүссэн функц нь
нь хүссэн функцийн деривативууд юм. Энэ тохиолдолд (1) харьцаа нь дор хаяж нэг дериватив байхыг шаарддаг.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал тэгшитгэлийн хамгийн дээд деривативын дараалал юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

. (2)

Энэ тэгшитгэлд зөвхөн эхний эрэмбийн дериватив багтсан тул үүнийг дуудна нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэрэв (2) тэгшитгэлийг деривативтай холбоотойгоор шийдэж, дараах байдлаар бичиж болно

, (3)

тэгвэл ийм тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Ихэнх тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзэх нь зүйтэй

гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрээр бичигдсэн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Учир нь
, тэгвэл (3) тэгшитгэлийг гэж бичиж болно
эсвэл
, хаана тоолж болно
болон
. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг (4) тэгшитгэлд шилжүүлсэн гэсэн үг юм.

Бид (4) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
. Дараа нь
,
,
, хаана тоолж болно
, өөрөөр хэлбэл (3) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх замаар (2) эсвэл (3) ямар ч функц дуудагдана
, энэ нь тэгшитгэл (2) эсвэл (3)-д орлуулахдаа үүнийг ижил төстэй байдал болгон хувиргадаг:

эсвэл
.

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох үйл явцыг түүний гэж нэрлэдэг интеграци , мөн шийдлийн график
дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг интеграл муруй энэ тэгшитгэл.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг далд хэлбэрээр олж авбал
, дараа нь үүнийг дууддаг интеграл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдэл Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн функцүүдийн гэр бүл юм
, дурын тогтмолоос хамаарна FROM, тус бүр нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм зөвшөөрөгдөх утгадурын тогтмол FROM. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хувийн шийдвэр дифференциал тэгшитгэлийг дурын тогтмолын тодорхой утгын ерөнхий шийдийн томъёоноос гаргаж авсан шийдэл гэнэ. FROM, үүнд
.

Кошигийн асуудал ба түүний геометрийн тайлбар

Тэгшитгэл (2) нь хязгааргүй олон шийдтэй. Тодорхой шийдэл гэж нэрлэгддэг энэхүү багцаас нэг шийдлийг ялгахын тулд зарим нэмэлт нөхцлийг зааж өгөх шаардлагатай.

Өгөгдсөн нөхцөлд (2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох асуудлыг нэрлэнэ Кошигийн асуудал . Энэ асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Кошигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. (2) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн дунд ийм шийдийг ол
, үүнд функц байна
өгөгдсөн тоон утгыг авна бие даасан хувьсагч бол x өгөгдсөн тоон утгыг авна , өөрөөр хэлбэл

,
, (5)

хаана Днь функцийн домэйн юм
.

Утга дуудсан функцийн анхны утга , a – бие даасан хувьсагчийн анхны утга . Нөхцөл (5) гэж нэрлэдэг анхны нөхцөл эсвэл Кошигийн байдал .

Геометрийн үүднээс авч үзвэл (2) дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно. (2) тэгшитгэлийн интеграл муруйн олонлогоос өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөхийг сонгоно
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг нь хүссэн функцийг агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

. (6)

Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

. (7)

Тиймээс (7) нь (6) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Бид үүссэн тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг.
,
. Эцэст нь бичье
.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийн шийдийг ол
нөхцөлөөр
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё:
,
,
,
. Нөхцөлөөр
,
. Ерөнхий шийдэлд орлуулах:
эсвэл
. Ерөнхий шийдлийн томъёонд дурын тогтмолын олсон утгыг орлуулна.
. Энэ бол өгөгдсөн нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэл

(8)

дуудсан бие даасан хувьсагч агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл . Бид үүнийг хэлбэрээр бичдэг
эсвэл
. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг.
эсвэл
- тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (8).

Жишээ . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Бид энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
эсвэл
. Дараа нь
,
,
,
. Энэ замаар,
нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Төрөл тэгшитгэл

(9)

хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан нэгтгэсэн. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
, дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан бид үүнийг нэг хэсэг нь зөвхөн функцийг агуулсан хэлбэрт оруулдаг. Xба дифференциал dx, хоёрдугаар хэсэгт - функц цагтба дифференциал dy. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх шаардлагатай dxболон хуваах
. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна

, (10)

хувьсагчууд Xболон цагттусгаарлагдсан. Бид (10) тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг:
. Үүссэн хамаарал нь (9) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хувиргаж, хувьсагчдыг салга.
,
. Нэгтгэцгээе:
,
эсвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгье

Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгах хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тэгш хэмтэй хэлбэрээр.

Хувьсагчдыг салгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах шаардлагатай
:

. (12)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл . Бид тэгшитгэлийг (12) нэгтгэнэ:

.(13)

(13) хамаарал нь дифференциал тэгшитгэлийн (11) ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 4 . Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэ.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

мөн хоёр хэсэгт хуваана
,
. Үр дүнгийн тэгшитгэл:
нь тусдаа хувьсах тэгшитгэл юм. Үүнийг нэгтгэж үзье:

,
,

,
. Сүүлийн тэгшитгэл нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол
, нөхцөлийг хангаж байна
.

Шийдэл . Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Хувьсагчдыг салгая:
. Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:
,
,
. Үүссэн хамаарал нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Нөхцөлөөр
. Ерөнхий интегралд орлуулж ол FROM:
,FROM=1. Дараа нь илэрхийлэл
нь тодорхой интеграл хэлбэрээр бичигдсэн өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл

(14)

дуудсан нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл . үл мэдэгдэх функц
ба түүний дериватив нь энэ тэгшитгэлийг шугаман байдлаар оруулах ба функцууд
болон
Үргэлжилсэн.

Хэрвээ
, дараа нь тэгшитгэл

(15)

дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Хэрвээ
, тэгвэл (14) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг орлуулах арга (Бернулли) , мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

(14) тэгшитгэлийн шийдийг хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр хайна

, (16)

хаана
болон
- зарим нь тасралтгүй функцууд. Орлуулах
ба дериватив
тэгшитгэлд (14):

Чиг үүрэг vнөхцөл байхаар сонгогдоно
. Дараа нь
. Тиймээс (14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай

Системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд хувьсагчдыг салгах аргаар шийдэж болно.
,
,
,
,
. Функц болгон
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг авч болно, жишээлбэл. цагт FROM=1:
. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
эсвэл
.Дараа нь
. Тиймээс нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 . тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
. Дараа нь
. Тэгшитгэлд орлуулах:

эсвэл
. Чиг үүрэг vтэгш байдлыг хангахуйц байдлаар сонгох
. Дараа нь
. Бид эдгээр тэгшитгэлийн эхнийхийг хувьсагчдыг салгах аргаар шийддэг.
,
,
,
,. Чиг үүрэг vХоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
,
,
,
. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь
.

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал гэж юу вэ?

Аль дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ?

Интеграл муруй гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлогыг хэрхэн томъёолсон бэ?

Коши бодлогын геометрийн тайлбар юу вэ?

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг тэгш хэмтэй хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Аль тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ямар аргыг ашиглаж болох ба энэ аргын мөн чанар юу вэ?

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:

а)
; б)
;

онд)
; G)
.

2. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийд:

а)
; б)
; онд)
;

G)
; д)
.

Дифференциал тэгшитгэл гэх мэт гайхамшигтай математик хэрэгслийн түүхээс эхлэх ёстой гэж би бодож байна. Бүх дифференциал ба интеграл тооцооллын нэгэн адил эдгээр тэгшитгэлийг 17-р зууны төгсгөлд Ньютон зохион бүтээсэн. Тэрээр энэхүү нээлтээ маш чухал гэж үзсэн тул өнөө үед "Байгалийн бүх хуулиудыг дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн байдаг" гэсэн мессежийг шифрлэсэн байна. Энэ нь хэтрүүлэг мэт санагдаж болох ч үнэн. Физик, хими, биологийн аливаа хуулийг эдгээр тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэх, бий болгоход математикч Эйлер, Лагранж нар асар их хувь нэмэр оруулсан. 18-р зуунд тэд одоо их дээд сургуулиудын ахлах курст сурч байгаа зүйлээ нээж, хөгжүүлсэн.

Анри Пуанкарегийн ачаар дифференциал тэгшитгэлийг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тэрээр "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онол"-ыг бүтээсэн бөгөөд энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолтой хослуулан топологийн үндэс суурь болох орон зай, түүний шинж чанарын шинжлэх ухаанд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан юм.

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Олон хүмүүс нэг хэллэгээс айдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нийтлэлд бид энэ маш хэрэгтэй математикийн аппаратын мөн чанарыг бүхэлд нь нарийвчлан тайлбарлах болно, энэ нь үнэндээ нэрнээс нь харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэхийн тулд эхлээд энэ тодорхойлолттой угаасаа холбоотой үндсэн ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Дифференциалаас эхэлье.

Дифференциал

Олон хүмүүс энэ ойлголтыг сургуулиасаа мэддэг. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. Функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг аль ч сегмент нь шулуун шугам хэлбэртэй байхаар нэмэгдүүлэх боломжтой. Үүн дээр бид бие биентэйгээ хязгааргүй ойрхон хоёр цэгийг авдаг. Тэдний координатын (x эсвэл y) хоорондын зөрүү нь хязгааргүй бага утгатай байх болно. Үүнийг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд dy (y-ээс ялгавартай) ба dx (х-ээс ялгаатай) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дифференциал нь хязгаарлагдмал утга биш гэдгийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд энэ нь түүний утга, үндсэн үүрэг юм.

Одоо дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг тайлбарлахад тустай дараах элементийг авч үзэх шаардлагатай байна. Энэ бол дериватив юм.

Дериватив

Энэ ойлголтыг бид бүгд сургуульд байхдаа сонссон байх. Дериватив нь функцийн өсөлт эсвэл бууралтын хурд юм. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтын ихэнх нь ойлгомжгүй болдог. Деривативыг дифференциалаар тайлбарлахыг оролдъё. Бие биенээсээ хамгийн бага зайд байрлах хоёр цэг бүхий функцийн хязгааргүй жижиг сегмент рүү буцъя. Гэхдээ энэ зайд ч гэсэн функц тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөж чаддаг. Мөн энэ өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд тэд өөрөөр хэлбэл дифференциалын харьцаагаар бичиж болох деривативыг гаргаж ирэв: f (x) "=df / dx.

Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх нь зүйтэй юм. Тэдгээрийн зөвхөн гурав нь байна:

1. (a+b)"=a"+b" ба (a-b)"=a"-b" гэсэн нийлбэр буюу зөрүүний деривативыг деривативуудын нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно.
2. Хоёрдахь шинж чанар нь үржүүлэхтэй холбоотой. Бүтээгдэхүүний дериватив нь нэг функцийн үржвэр ба нөгөө функцийн деривативын нийлбэр юм: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Зөрүүний деривативыг дараах тэгшитгэлээр бичиж болно: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олоход хэрэгтэй болно.

Мөн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Бидэнд x ба y хувьсагчдаас хамаарах z функц байна гэж бодъё. Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцохын тулд, жишээ нь x-тэй холбоотой, бид y хувьсагчийг тогтмол гэж аваад зүгээр л ялгах хэрэгтэй.

Интеграл

Өөр нэг чухал ойлголт бол интеграл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын шууд эсрэг зүйл юм. Хэд хэдэн төрлийн интеграл байдаг боловч хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бидэнд хамгийн энгийн зүйл хэрэгтэй.

Тэгэхээр бид f-ээс х-ээс ямар нэгэн хамааралтай байна гэж бодъё. Үүнээс бид интегралыг аваад F (x) функцийг (ихэвчлэн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг) авдаг бөгөөд уламжлал нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Тиймээс F(x)"=f(x). Үүнээс гадна деривативын интеграл нь анхны функцтэй тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ интегралын утга, функцийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд учир нь та шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг маш олон удаа авах шаардлагатай болно.

Тэгшитгэл нь шинж чанараасаа хамааран өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзэх бөгөөд дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн ангиуд

"Diffura" нь тэдгээрт хамаарах деривативуудын дарааллаар хуваагдана. Тиймээс эхний, хоёр, гурав, түүнээс дээш дараалал байдаг. Тэдгээрийг мөн хэд хэдэн ангилалд хувааж болно: энгийн ба хэсэгчилсэн дериватив.

Энэ нийтлэлд бид эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Дараах хэсгүүдэд бид жишээ болон тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно. Эдгээр нь хамгийн түгээмэл төрлийн тэгшитгэлүүд учраас бид зөвхөн ODE-г авч үзэх болно. Энгийнийг дэд зүйлд хуваадаг: салгаж болох хувьсагчтай, нэгэн төрлийн ба гетероген. Дараа нь та тэдгээр нь бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Нэмж дурдахад эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэж болох бөгөөд ингэснээр бид эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна. Бид мөн ийм системийг авч үзэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Яагаад бид зөвхөн эхний захиалгыг авч үзэж байна вэ? Учир нь та энгийн нэгээс эхлэх хэрэгтэй бөгөөд дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой бүх зүйлийг нэг өгүүллээр тайлбарлах нь ердөө боломжгүй юм.

Салгаж болох хувьсах тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь магадгүй хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнд: y "=f (x) * f (y). Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүсмэлийг дифференциалын харьцаагаар илэрхийлэх томъёо хэрэгтэй: y" = dy / dx. Үүнийг ашигласнаар бид дараах тэгшитгэлийг авна: dy/dx=f(x)*f(y). Одоо бид шийдлийн арга руу шилжиж болно стандарт жишээнүүд: бид хувьсагчдыг хэсэг болгон хуваах, өөрөөр хэлбэл бид y хувьсагчтай бүх зүйлийг dy байрлаж байгаа хэсэг рүү шилжүүлж, x хувьсагчтай ижил зүйлийг хийнэ. Бид dy/f(y)=f(x)dx хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийн интегралыг авах замаар шийдэгддэг. Интегралыг авсны дараа тохируулах ёстой тогтмол байдлын талаар бүү мартаарай.

Аливаа "диффурантын" шийдэл нь x-ийн y-ээс хамаарах функц юм (манай тохиолдолд) эсвэл хэрэв тоон нөхцөл байгаа бол хариулт нь тоо хэлбэртэй байна. Ингээд харцгаая тодорхой жишээшийдлийн бүх явц:

Бид хувьсагчдыг янз бүрийн чиглэлд шилжүүлдэг.

Одоо бид интегралуудыг авч байна. Тэдгээрийг бүгдийг нь интегралын тусгай хүснэгтээс олж болно. Тэгээд бид авах:

log(y) = -2*cos(x) + C

Шаардлагатай бол бид "y" -ийг "x" функцээр илэрхийлж болно. Одоо бид ямар ч нөхцөл өгөөгүй бол дифференциал тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж хэлж болно. Нөхцөл өгч болно, жишээ нь y(n/2)=e. Дараа нь бид эдгээр хувьсагчийн утгыг шийдэлд орлуулж, тогтмолын утгыг олно. Бидний жишээнд энэ нь 1-тэй тэнцүү байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Одоо илүү хэцүү хэсэг рүүгээ явцгаая. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y "= z (x, y). Хоёр хувьсагчийн баруун талын функц нь нэгэн төрлийн бөгөөд үүнийг хоёр хамааралд хувааж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. : z дээр x ба z дээр y.Тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгах нь маш энгийн: бид x=k*x ба y=k*y орлуулалтыг хийнэ. Одоо бид k-г бүгдийг нь цуцална.Хэрэв эдгээр үсэг бүгд байвал багасгасан бол тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх бөгөөд та үүнийг шийдвэрлэхийн тулд аюулгүйгээр үргэлжлүүлж болно. Урагшаа харвал: эдгээр жишээнүүдийг шийдвэрлэх зарчим нь бас маш энгийн.

Бид орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=t(x)*x, энд t нь x-ээс бас хамааралтай зарим функц юм. Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно: y"=t"(x)*x+t. Энэ бүгдийг анхны тэгшитгэлдээ орлуулж, хялбаршуулж үзвэл бид t ба x салж болох хувьсагчтай жишээг олж авна. Бид үүнийг шийдэж t(x) хамаарлыг авна. Бид үүнийг авахдаа y=t(x)*x-г өмнөх орлуулалтдаа орлуулна. Дараа нь y-ийн x-ээс хамаарлыг олж авна.

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд жишээг авч үзье: x*y"=y-x*e y/x .

Орлуулахаар шалгахад бүх зүйл багасдаг. Тэгэхээр тэгшитгэл үнэхээр нэгэн төрлийн байна. Одоо бид өөр нэг орлуулалтыг хийж байна: y=t(x)*x ба y"=t"(x)*x+t(x). Хялбаршуулсаны дараа бид дараах тэгшитгэлийг авна: t "(x) * x \u003d -e t. Бид үүссэн жишээг салангид хувьсагчаар шийдэж, авна: e -t \u003dln (C * x). Бид зөвхөн t-г солих хэрэгтэй. y / x-тэй (учир нь y \u003d t * x бол t \u003d y / x), бид хариултыг авна: e -y / x \u003d ln (x * C).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Өөр нэг өргөн сэдвийг авч үзэх цаг болжээ. Бид эхний эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шинжлэх болно. Тэд өмнөх хоёроос юугаараа ялгаатай вэ? Үүнийг олж мэдье. Эхний дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y " + g (x) * y \u003d z (x). Z (x) ба g (x) нь тогтмол утга байж болохыг тодруулах нь зүйтэй. .

Одоо жишээ нь: y" - y*x=x 2 .

Шийдэх хоёр арга байдаг бөгөөд бид хоёуланг нь дарааллаар нь шинжлэх болно. Эхнийх нь дурын тогтмолыг өөрчлөх арга юм.

Тэгшитгэлийг ингэж шийдэхийн тулд эхлээд тэгшитгэх хэрэгтэй баруун талТэг болгож, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, хэсгүүдийг шилжүүлсний дараа дараах хэлбэрийг авна.

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Одоо бид C 1 тогтмолыг v(x) функцээр солих хэрэгтэй, үүнийг олох хэрэгтэй.

Деривативыг өөрчилье:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Эдгээр илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлъё:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Зүүн талд хоёр нэр томъёо хүчингүй болсон нь харагдаж байна. Хэрэв зарим жишээнд ийм зүйл болоогүй бол та буруу зүйл хийсэн. Үргэлжлүүлье:

v"*e x2/2 = x 2.

Одоо бид хувьсагчдыг салгах шаардлагатай ердийн тэгшитгэлийг шийдэж байна.

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Интегралыг гаргаж авахын тулд бид энд хэсгүүдээр интеграцийг ашиглах ёстой. Гэсэн хэдий ч энэ нь бидний нийтлэлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол ийм үйлдлүүдийг өөрөө хийж сурах боломжтой. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд хангалттай ур чадвар, анхаарал халамж тавихад их цаг хугацаа шаарддаггүй.

Хоёр дахь шийдэл рүү шилжье. нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл: Бернулли арга. Аль арга нь илүү хурдан бөгөөд хялбар байх нь танд хамаарна.

Тэгэхээр тэгшитгэлийг энэ аргаар шийдвэрлэхдээ орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=k*n. Энд k ба n нь х-ээс хамааралтай зарим функцууд юм. Дараа нь дериватив нь иймэрхүү харагдах болно: y"=k"*n+k*n". Бид хоёр орлуулалтыг тэгшитгэлд орлуулна:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Бүлэглэх:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Одоо бид хаалтанд байгаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэвэл бид шийдвэрлэх шаардлагатай нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчдыг салгах хэрэгтэй:

Бид интегралыг аваад: ln(n)=x 2 /2 болно. Хэрэв бид n-ийг илэрхийлбэл:

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж байна:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Мөн хувиргаснаар бид эхний аргын адил тэгш байдлыг олж авна.

dk=x 2 /e x2/2 .

Бид мөн задлан шинжлэхгүй цаашдын арга хэмжээ. Эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихээхэн бэрхшээл учруулдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч энэ сэдвийг гүнзгийрүүлэх тусам улам сайжирч эхэлдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг хаана ашигладаг вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийг физикт маш идэвхтэй ашигладаг, учир нь бараг бүх үндсэн хуулиудыг дифференциал хэлбэрээр бичсэн байдаг бөгөөд бидний харж буй томъёонууд нь эдгээр тэгшитгэлийн шийдэл юм. Химийн хувьд тэдгээрийг ижил шалтгаанаар ашигладаг: үндсэн хуулиуд нь тэдгээрээс гаралтай. Биологийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийг махчин-олз гэх мэт системийн зан төлөвийг загварчлахад ашигладаг. Тэдгээрийг бичил биетний колони гэх мэт нөхөн үржихүйн загварыг бий болгоход ашиглаж болно.

Дифференциал тэгшитгэл нь амьдралд хэрхэн туслах вэ?

Энэ асуултын хариулт нь энгийн: ямар ч боломжгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер биш бол тэд танд ашигтай байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч, төлөө ерөнхий хөгжилДифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, түүнийг хэрхэн шийдэж байгааг мэдэх нь гэмтээхгүй. Тэгээд дараа нь хүү эсвэл охины асуулт "дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?" чамайг төөрөгдүүлэхгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер бол энэ сэдвийн ямар ч шинжлэх ухаанд чухал ач холбогдолтой болохыг та өөрөө ойлгодог. Гэхдээ хамгийн гол нь одоо "Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" Та үргэлж хариулж чадна. Зөвшөөрч байна, хүмүүс ойлгохоос айдаг зүйлийг ойлгох нь үргэлж сайхан байдаг.

Сургалтын гол бэрхшээлүүд

Энэ сэдвийг ойлгоход тулгарч буй гол асуудал бол функцүүдийг нэгтгэх, ялгах чадвар муутай байдаг. Хэрэв та дериватив, интеграл авахдаа муу бол илүү ихийг сурах хэрэгтэй, багш аа өөр өөр аргууднэгтгэх, ялгах, зөвхөн дараа нь өгүүлэлд дурдсан материалыг судлах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Зарим хүмүүс dx-г шилжүүлж болно гэдгийг мэдээд гайхдаг, учир нь өмнө нь (сургуульд) dy / dx фракц хуваагдашгүй гэж заасан байдаг. Энд та деривативын талаархи уран зохиолыг уншиж, энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед удирдаж болох хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихэвчлэн авч болохгүй функц эсвэл интеграл байдгийг олон хүн шууд ойлгодоггүй бөгөөд энэ төөрөгдөл нь тэдэнд маш их бэрхшээл учруулдаг.

Илүү сайн ойлгохын тулд өөр юуг судалж болох вэ?

Дэлхийд илүү их умбаж эхлэх нь хамгийн сайн арга юм дифференциал тооцоотусгай сурах бичгээс, жишээ нь, математик шинжилгээматематикийн бус мэргэжлийн оюутнуудад зориулсан. Дараа нь та илүү нарийн мэргэжлийн уран зохиол руу шилжиж болно.

Дифференциалаас гадна бас байдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу интеграл тэгшитгэл, тиймээс та үргэлж хичээх, сурах зүйлтэй байх болно.

Дүгнэлт

Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх талаар ойлголттой болно гэж найдаж байна.

Ямар ч байсан математик бидний амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болдог. Энэ нь логик, анхаарлыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнгүйгээр хүн бүр гаргүй мэт байдаг.