දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණය. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ. නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය DE. විසඳුම් උදාහරණ
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ.
සමඟ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය DE නියත සංගුණක.
විසඳුම් උදාහරණ.
අපි සලකා බැලීමට ඉදිරියට යමු අවකල සමීකරණදෙවන අනුපිළිවෙල සහ ඉහළ ඇණවුම්වල අවකල සමීකරණ. අවකල සමීකරණයක් යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳ නොපැහැදිලි අදහසක් ඔබට තිබේ නම් (නැතහොත් එය කුමක්දැයි වටහා නොගන්නේ නම්), එවිට මම පාඩම සමඟ ආරම්භ කිරීමට නිර්දේශ කරමි. පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. විසඳුම් උදාහරණ. තීරණයේ බොහෝ මූලධර්ම සහ මූලික සංකල්පපළමු අනුපිළිවෙලෙහි විභේදක ස්වයංක්‍රීයව ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ දක්වා විහිදේ පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණ තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.
බොහෝ පාඨකයන්ට 2, 3, සහ අනෙකුත් ඇණවුම් වල DE ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා ඉතා අපහසු සහ ප්‍රවේශ විය නොහැකි දෙයක් බවට අගතියක් තිබිය හැක. මෙය සත්ය නොවේ . ඉහළ පෙළේ විසරණයන් විසඳීමට ඉගෙනීම “සාමාන්ය” පළමු පෙළ DE වලට වඩා දුෂ්කර නොවේ.. පාසල් විෂය මාලාවේ තොරතුරු තීරණ වලදී සක්‍රියව භාවිතා කරන බැවින් සමහර ස්ථානවල එය වඩාත් පහසු වේ.
වඩාත්ම ජනප්රියයි දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ. දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයකට අවශ්යයෙන්මදෙවන ව්යුත්පන්න සහ ඇතුළත් වේ ඇතුළත් නොවේ 
සමහර ළදරුවන් (සහ එකවරම) සමීකරණයෙන් අතුරුදහන් විය හැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, පියා නිවසේ සිටි බව වැදගත් වේ. වඩාත්ම ප්‍රාථමික දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණය මේ වගේ ය:
මගේ ආත්මීය නිරීක්ෂණ වලට අනුව, ප්‍රායෝගික කාර්යයන්හි තුන්වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ බොහෝ සෙයින් අඩු ය. රාජ්ය ඩූමාඔවුන්ට 3-4% ක ඡන්ද ප්‍රතිශතයක් ලැබෙනු ඇත.
තුන්වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයකට අවශ්යයෙන්මතුන්වන ව්යුත්පන්න සහ ඇතුළත් වේ ඇතුළත් නොවේඉහළ ඇණවුම් වල ව්යුත්පන්න:
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සරලම අවකල සමීකරණය මේ වගේ ය: - තාත්තා ගෙදර ඉන්නවා, ළමයි ඔක්කොම ඇවිදින්න යනවා.
ඒ හා සමානව, 4, 5 සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ අර්ථ දැක්විය හැක. ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී, එවැනි DE ලිස්සා යන්නේ ඉතා කලාතුරකිනි, කෙසේ වෙතත්, මම අදාළ උදාහරණ දීමට උත්සාහ කරමි.
ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී යෝජිත ඉහල අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ ප්රධාන කණ්ඩායම් දෙකකට බෙදිය හැක.
1) පළමු කණ්ඩායම - ඊනියා පහළ අනුපිළිවෙල සමීකරණ. පියාසර!
2) දෙවන කණ්ඩායම - රේඛීය සමීකරණනියත සංගුණක සහිත ඉහළ ඇණවුම්. අපි දැන් සලකා බැලීමට පටන් ගනිමු.
දෙවන අනුපිළිවෙල රේඛීය අවකල සමීකරණ
නියත සංගුණක සමඟ
න්‍යාය සහ ප්‍රායෝගිකව, එවැනි සමීකරණ වර්ග දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය - සමජාතීය සමීකරණය හා සමජාතීය සමීකරණය.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය DEඑයට තිබෙනවා ඊළඟ දර්ශනය:
, කොහෙද සහ නියතයන් (සංඛ්යා), සහ දකුණු පැත්තේ - දැඩි ලෙසශුන්ය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, සමජාතීය සමීකරණ සමඟ විශේෂ දුෂ්කරතා නොමැත, ප්රධාන දෙය එයයි නිවැරදිව තීරණය කරන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණය .
සමහර විට සම්මත නොවන සමජාතීය සමීකරණ ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, ස්වරූපයෙන් සමීකරණයක් 
, දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ යම් නියතයක් ඇත , එකමුතුවෙන් වෙනස් (සහ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්‍යයට වඩා වෙනස්). විසඳුම් ඇල්ගොරිතම කිසිසේත් වෙනස් නොවේ, කෙනෙකු සන්සුන්ව ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කර එහි මූලයන් සොයා ගත යුතුය. ලාක්ෂණික සමීකරණය නම් 
විවිධ සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත, උදාහරණයක් ලෙස: 
, එවිට පොදු තීරණයසඳහා ලියාපදිංචි වන්න සුපුරුදු රටාව: 
.
සමහර අවස්ථාවලදී, තත්වයේ ඇති ටයිප් එක නිසා, "නරක" මූලයන් හැරවිය හැක, වැනි දෙයක් 
. කුමක් කළ යුතුද, පිළිතුර මේ ආකාරයෙන් ලිවිය යුතුය:
වැනි "නරක" සංයුක්ත මූලයන් සමඟ 
ගැටලුවක් නැත, පොදු විසඳුම: 
එනම්, ඕනෑම අවස්ථාවක පොදු විසඳුමක් පවතී. ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට මූලයන් දෙකක් ඇති බැවිනි.
අවසාන ඡේදයේ, මා පොරොන්දු වූ පරිදි, අපි කෙටියෙන් සලකා බලමු:
ඉහළ අනුපිළිවෙල රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ
සෑම දෙයක්ම ඉතා සමාන ය.
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයට පහත ස්වරූපය ඇත:
, නියතයන් කොහෙද.
මෙම සමීකරණය සඳහා, ඔබ ද ලාක්ෂණික සමීකරණයක් සකස් කර එහි මූලයන් සොයා ගත යුතුය. බොහෝ අය අනුමාන කර ඇති පරිදි ලාක්ෂණික සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: 
, සහ එය කෙසේ හෝඑයට තිබෙනවා හරියටම තුනක්මූල.
උදාහරණයක් ලෙස, සියලු මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් විය යුතුය: 
, එවිට පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
එක් මූලයක් සැබෑ නම් සහ අනෙක් දෙක සංයුක්ත සංකීර්ණ නම්, අපි පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලියන්නෙමු:
විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ මූල තුනම ගුණාකාර (එකම) වීමයි. හුදකලා පියෙකු සමඟ 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි සරලම සමජාතීය DE සලකා බලමු: . ලාක්ෂණික සමීකරණයට අහඹු ශුන්‍ය මූල තුනක් ඇත. අපි පොදු විසඳුම පහත පරිදි ලියන්නෙමු:
ලාක්ෂණික සමීකරණය නම් 
උදාහරණයක් ලෙස බහු මූල තුනක් ඇත, පසුව සාමාන්ය විසඳුම පිළිවෙලින්:
උදාහරණ 9
තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් විසඳන්න
විසඳුමක්:අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කර විසඳන්නෙමු:
, - එක් සැබෑ මූලයක් සහ සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් දෙකක් ලබා ගනී.
පිළිතුර:පොදු තීරණය
ඒ හා සමානව, අපට නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය සමජාතීය සිව්වන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සලකා බැලිය හැකිය: , නියතයන් කොහෙද.
භෞතික විද්‍යාවේ සමහර ගැටළු වලදී, ක්‍රියාවලිය විස්තර කරන ප්‍රමාණ අතර සෘජු සම්බන්ධයක් ස්ථාපිත කළ නොහැක. නමුත් අධ්‍යයනයට ලක්වන ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් අඩංගු සමානාත්මතාවයක් ලබා ගැනීමේ හැකියාව පවතී. අවකල සමීකරණ පැනනගින ආකාරය සහ නොදන්නා ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීම සඳහා ඒවා විසඳීමේ අවශ්‍යතාවය මෙයයි.
නොදන්නා ශ්‍රිතය එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක් වන අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ ගැටලුවට මුහුණ දෙන අය සඳහා මෙම ලිපිය අදහස් කෙරේ. න්‍යාය ගොඩනඟා ඇත්තේ අවකල සමීකරණ පිළිබඳ ශුන්‍ය අවබෝධයකින්, ඔබට ඔබේ කාර්යය කළ හැකි ආකාරයට ය.
සෑම වර්ගයකම අවකල සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සහ සාමාන්ය උදාහරණ සහ ගැටළු සඳහා විසඳුම් සමඟ විසඳුම් ක්‍රමයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. ඔබට ඇත්තේ ඔබේ ගැටලුවේ අවකල සමීකරණයේ වර්ගය තීරණය කිරීම, සමාන විශ්ලේෂණය කළ උදාහරණයක් සොයා ගැනීම සහ සමාන ක්‍රියා සිදු කිරීම පමණි.
ඔබේ පැත්තෙන් අවකල සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීමට, ඔබට ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න කට්ටල සොයා ගැනීමේ හැකියාවද අවශ්ය වනු ඇත ( අවිනිශ්චිත අනුකලනය) විවිධ කාර්යයන්. අවශ්ය නම්, ඔබ කොටස වෙත යොමු කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.
පළමුව, ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව විසඳිය හැකි පළමු පෙළ සාමාන්ය අවකල සමීකරණ වර්ග සලකා බලන්න, ඉන්පසු අපි දෙවන පෙළ ODE වෙත යමු, පසුව අපි ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සමීකරණ මත වාසය කර අවකල සමීකරණ පද්ධති සමඟ අවසන් කරන්නෙමු.
y යනු තර්කයේ ශ්‍රිතයක් නම් x .
පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
පෝරමයේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සරලම අවකල සමීකරණ .
එවැනි DE සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් අපි ලියන්නෙමු 
.
අවකල සමීකරණ 
සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම f(x) මගින් බෙදීමෙන් ව්‍යුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් විසඳිය හැක. මෙම අවස්ථාවේදී, අපි සමීකරණයට පැමිණෙමු, එය f(x) ≠ 0 සඳහා මුල් එකට සමාන වනු ඇත. එවැනි ODE සඳහා උදාහරණ වේ.
f(x) සහ g(x) යන ශ්‍රිතයන් එකවර අතුරුදහන් වන තර්කයේ x අගයන් තිබේ නම්, අමතර විසඳුම් දිස්වේ. අතිරේක විසඳුම්සමීකරණ 
ලබා දී ඇති x යනු එම තර්ක අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇති ඕනෑම ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල සමීකරණ සඳහා උදාහරණ වේ.
දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
දෙවන අනුපිළිවෙල නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ.
නියත සංගුණක සහිත LODE යනු ඉතා සුලභ ආකාරයේ අවකල සමීකරණ වර්ගයකි. ඔවුන්ගේ විසඳුම විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවේ. මුල් මුලින්ම සොයා ගනී ලක්ෂණ සමීකරණය 
. විවිධ p සහ q සඳහා අවස්ථා තුනක් හැකි ය: ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස්, සැබෑ සහ සමපාත විය හැක. 
හෝ සංකීර්ණ සංයෝජන. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ අගයන් මත පදනම්ව, අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම ලියා ඇත 
, හෝ 
, හෝ පිළිවෙලින්.
උදාහරණයක් ලෙස, නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් සලකා බලන්න. ඔහුගේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් k 1 = -3 සහ k 2 = 0 වේ. මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ, එබැවින්, නියත සංගුණක සහිත LDE සඳහා පොදු විසඳුම වේ
නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය නොවන දෙවන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
y නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ LIDE හි සාමාන්ය විසඳුම අදාළ LODE හි සාමාන්ය විසඳුමේ එකතුව ලෙස සොයයි. 
සහ මුල් පිටපතෙහි විශේෂිත විසඳුමක් සමජාතීය සමීකරණය, එනම්, . පෙර ඡේදය නියත සංගුණක සහිත සමජාතීය අවකල සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් සෙවීම සඳහා කැප කර ඇත. තවද නිශ්චිත විසඳුමක් තීරණය කරනු ලබන්නේ f (x) ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත ආකාරයක් සඳහා අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය මගින් , මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සිටගෙන හෝ අත්තනෝමතික නියත විචලනය කිරීමේ ක්රමය මගිනි.
නියත සංගුණක සහිත දෙවන පෙළ LID වල උදාහරණ ලෙස, අපි ඉදිරිපත් කරමු 
න්‍යාය තේරුම් ගෙන ඔබ ගැන හුරුපුරුදු වන්න සවිස්තරාත්මක තීරණනියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පිටුවෙහි උදාහරණ අපි ඔබට පිරිනමන්නෙමු.
රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LODEs) 
සහ දෙවන පෙළ රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ (LNDEs).
මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණවල විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ නියත සංගුණක සහිත LODE සහ LODE වේ.
යම් කාල පරතරයක් මත LODE හි සාමාන්ය විසඳුම මෙම සමීකරණයේ y 1 සහ y 2 යන රේඛීය ස්වාධීන විශේෂිත විසඳුම් දෙකක රේඛීය සංයෝජනයකින් නිරූපණය කෙරේ, එනම්, 
.
ප්රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ මෙම වර්ගයේ අවකල සමීකරණයේ රේඛීයව ස්වාධීන අර්ධ විසඳුම් සෙවීමයි. සාමාන්‍යයෙන්, විශේෂිත විසඳුම් තෝරාගනු ලබන්නේ පහත සඳහන් රේඛීය ස්වාධීන ශ්‍රිත පද්ධති වලින්: 
කෙසේ වෙතත්, විශේෂිත විසඳුම් සෑම විටම මෙම ආකෘතියෙන් ඉදිරිපත් නොකෙරේ.
LODU සඳහා උදාහරණයක් වේ 
.
LIDE හි සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතියෙන් සොයනු ලැබේ , අනුරූප LODE හි සාමාන්ය විසඳුම වන අතර එය මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමකි. අපි සොයා ගැනීම ගැන කතා කළා, නමුත් අත්තනෝමතික නියතයන් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් එය තීරණය කළ හැකිය.
LNDE සඳහා උදාහරණයක් වේ 
.
ඉහළ අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණ.
අනුපිළිවෙල අඩු කිරීම පිළිගන්නා අවකල සමීකරණ.
අවකල සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල 
, k-1 අනුපිළිවෙල දක්වා අපේක්ෂිත ශ්‍රිතය සහ එහි ව්යුත්පන්න අඩංගු නොවන, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් n-k දක්වා අඩු කළ හැක.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සහ මුල් අවකල සමීකරණය දක්වා අඩු වේ. එහි විසඳුම p(x) සොයා ගැනීමෙන් පසුව, එය ප්‍රතිස්ථාපනය වෙත ආපසු ගොස් නොදන්නා ශ්‍රිතය තීරණය කිරීමට y .
උදාහරණයක් ලෙස, අවකල සමීකරණය 
ආදේශනය වෙන් කළ හැකි සමීකරණයක් බවට පත් වූ පසු, එහි අනුපිළිවෙල තුන්වන සිට පළමු දක්වා අඩු වේ.
නියත සංගුණක (PC) සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි (LNDE-2) රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ විසඳීමේ මූලික කරුණු
නියත සංගුණක $p$ සහ $q$ සහිත දෙවන පෙළ CLDE එකකට $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $f\left( x \right)$ යනු අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි.
PC සමඟ 2nd LNDE සම්බන්ධයෙන් පහත ප්‍රකාශ දෙක සත්ය වේ.
සමහර ශ්‍රිතය $U$ යනු සමජාතීය අවකල සමීකරණයක අත්තනෝමතික විශේෂිත විසඳුමක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. සමහර ශ්‍රිතය $Y$ යනු අනුරූප රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ හි සාමාන්ය විසඳුමක් (OR) යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට OR හි LHDE-2 දක්වා ඇති පුද්ගලික සහ සාමාන්ය විසඳුම්වල එකතුවට සමාන වේ, එනම් $y=U+Y$.
2 වන අනුපිළිවෙල LIDE හි දකුණු පැත්ත ශ්‍රිතවල එකතුව නම්, එනම් $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, සහ ඉන් පසුව ලියන්න LNDE-2 PD ලෙස $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
PC සමඟ 2nd order LNDE විසඳුම
පැහැදිලිවම, ලබා දී ඇති LNDE-2 හි PD $U$ එකක හෝ තවත් PD ආකෘතියක් එහි දකුණු පස $f\වම(x\දකුණ)$ හි නිශ්චිත ආකෘතිය මත රඳා පවතී. LNDE-2 හි PD සෙවීමේ සරලම අවස්ථා පහත සඳහන් නීති හතරක් ලෙස සකස් කර ඇත.
රීති අංක 1.
දකුණු කොටස LNDE-2 සතුව $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, එනම් එය $ උපාධියේ බහුපදයක් ලෙස හැඳින්වේ. n$. එවිට එහි PR $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, මෙහි $Q_(n) \left(x\right)$ යනු තවත් එකක් වේ. $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ බහුපද, සහ $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ශුන්‍ය මූල ගණනයි. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ අවිනිශ්චිත සංගුණක (NC) ක්රමය මගිනි.
රීති අංක 2.
LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ පෝරමය ඇත, එහිදී $P_(n) \left( x\right)$ යනු $n$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(n ) \ left(x\right)$ යනු $P_(n) \left(x\right)$ ට සමාන උපාධියේ තවත් බහුපදයක් වන අතර $r$ යනු අදාල LODE-2 හි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූල ගණන වේ. $\alpha $ ට සමාන වේ. බහුපද $Q_(n) \left(x\right)$ හි සංගුණක NK ක්රමය මගින් සොයා ගැනේ.
රීති අංක 3.
LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x පෝරමය ඇත. \right) $, මෙහි $a$, $b$ සහ $\beta $ දන්නා සංඛ්යා වේ. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right යන පෝරමයෙනි. )\දකුණ )\cdot x^(r) $, මෙහි $A$ සහ $B$ නොදන්නා සංගුණක වන අතර $r$ යනු $i\cdot ට සමාන අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූල ගණනයි. \beta $. $A$ සහ $B$ යන සංගුණක සොයාගනු ලබන්නේ NDT ක්රමය මගිනි.
රීති අංක 4.
LNDE-2 හි දකුණු පැත්තේ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ පෝරමය ඇත, මෙහි $P_(n) \left(x\right)$ වේ $ n$ උපාධියේ බහුපදයක්, සහ $P_(m) \left(x\right)$ යනු $m$ උපාධියේ බහුපදයකි. එවිට එහි PD $U$ සොයන්නේ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ආකාරයෙන්, එහිදී $Q_(s) \left(x\right) $ සහ $ R_(s) \left(x\right)$ යනු $s$ උපාධියේ බහුපද, $s$ යනු $n$ සහ $m$ යන උපරිම සංඛ්යා දෙක වන අතර $r$ යනු සංඛ්‍යාවයි. $\alpha +i\cdot \beta $ ට සමාන, අනුරූප LODE-2 හි ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන්. බහුපද $Q_(s) \left(x\right)$ සහ $R_(s) \left(x\right)$ වල සංගුණක NK ක්රමය මගින් සොයා ගැනේ.
NDT ක්රමය අයදුම් කිරීමේදී සමන්විත වේ ඊළඟ රීතිය. LNDE-2 සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමේ කොටසක් වන බහුපදයේ නොදන්නා සංගුණක සොයා ගැනීම සඳහා, එය අවශ්ය වේ:
- ලියා ඇති PD $U$ ආදේශ කරන්න සාමාන්ය දැක්ම, තුල වම් පැත්ත LNDU-2;
- LNDE-2 හි වම් පැත්තේ, $x$ එකම බලතල සහිත සරල කිරීම් සහ කණ්ඩායම් නියමයන් සිදු කරන්න;
- ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අනන්‍යතාවයේ, වාම සහ දකුණු පැතිවල $x$ සමාන බලතල සහිත නියමවල සංගුණක සමාන කරන්න;
- නොදන්නා සංගුණක සඳහා ලැබෙන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න.
උදාහරණ 1
කාර්යය: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $ සොයා ගන්න. එසේම සොයා ගන්න PR, $x=0$ සඳහා $y=6$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන මූලික කොන්දේසි සපුරාලයි.
අදාළ LODA-2 ලියන්න: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
ලාක්ෂණික සමීකරණය: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. මෙම මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මේ අනුව, අදාළ LODE-2 හි OR හි පෝරමය ඇත: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
මෙම LNDE-2 හි දකුණු කොටසෙහි $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත. $\alpha =3$ හි ඝාතකයේ සංගුණකය සලකා බැලීම අවශ්ය වේ. මෙම සංගුණකය ලාක්ෂණික සමීකරණයේ කිසිදු මූලයක් සමඟ සමපාත නොවේ. එබැවින් මෙම LNDE-2 හි PR හි $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ පෝරමය ඇත.
අපි NK ක්රමය භාවිතයෙන් $A$, $B$ යන සංගුණක සොයන්නෙමු.
අපි CR හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
අපි CR හි දෙවන ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\වම(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
අපි ලබා දී ඇති LNDE-2 $y""-3\cdot y" වෙත $y""$, $y"$ සහ $y$ වෙනුවට $U""$, $U"$ සහ $U$ යන ශ්‍රිත ආදේශ කරමු. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x).$ ඒ සමගම $e^(3\cdot x) $ ඝාතකය ඇතුලත් වන බැවින් සියලුම සංරචකවල සාධකයක් ලෙස, එවිට එය මඟ හැරිය හැක.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \වම(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
ප්රතිඵලය සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තෙන් අපි ක්රියාවන් සිදු කරන්නෙමු:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
අපි NC ක්රමය භාවිතා කරමු. නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අපට ලැබේ:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
මෙම පද්ධතියට විසඳුම වන්නේ: $A=-2$, $B=-1$.
අපගේ ගැටලුව සඳහා CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ මෙසේ දිස්වේ: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
අපගේ ගැටලුව සඳහා OR $y=Y+U$ මෙසේ දිස්වේ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ වම් (-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot e^(3\cdot x) $.
ලබා දී ඇති මූලික කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන PD එකක් සෙවීම සඳහා, අපි $y"$ හෝ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\වම(-2\cdot x-1\දකුණ)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
අපි $x=0$ සඳහා $y=6$ සඳහා $y$ සහ $y"$ සහ $x=0$ සඳහා $y"=1$ යන ආරම්භක කොන්දේසි ආදේශ කරමු:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
අපට සමීකරණ පද්ධතියක් තිබේ:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
අපි ඒක විසඳනවා. අපි ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රය භාවිතයෙන් $C_(1) $ සොයා ගන්නා අතර $C_(2) $ පළමු සමීකරණයෙන් තීරණය වේ:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
මේ අනුව, මෙම අවකල සමීකරණයේ PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
සමීකරණය
අන්තරය තුළ පවතින සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිත සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, ශ්‍රිත සහ එහි සංගුණක වේ. මෙම පරතරය තුළ නම්, සමීකරණය පෝරමය ගනී:
සහ දෙවන අනුපිළිවෙල සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයට (**) සමාන සංගුණක සහ සමීකරණය (*) ලෙස තිබේ නම්, එය සමජාතීය නොවන සමීකරණයකට (*) අනුරූප වන සමජාතීය සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ
රේඛීය සමීකරණයට ඉඩ දෙන්න
සහ නියත තාත්වික සංඛ්යා වේ.
අපි ශ්‍රිතයක ස්වරූපයෙන් සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු, සැබෑ හෝ සංකීර්ණ අංකයතීරණය කළ යුතු ය. ට සාපේක්ෂව වෙනස් කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
එබැවින්, එය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ඇත්තේ:
මෙම සමීකරණය සමජාතීය රේඛීය අවකල සමීකරණයක ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. ලාක්ෂණික සමීකරණය ද එය සොයා ගැනීමට හැකි වේ. මෙය දෙවන උපාධි සමීකරණයකි, එබැවින් එයට මූලයන් දෙකක් ඇත. සහ මගින් ඒවා දක්වමු. අවස්ථා තුනක් හැකි ය:
1) මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණ 1
2) මූලයන් සැබෑ සහ සමාන වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණයක්2
විභාගයකදී හෝ පරීක්ෂණයකදී ගැටලුවක් විසඳීමට උත්සාහ කරන අතරතුර මෙම පිටුවට ගොඩවැදුණේද? ඔබට තවමත් විභාගය සමත් වීමට නොහැකි නම්, ඊළඟ වතාවේ වෙබ් අඩවියේ කලින් එකඟ වන්න උසස් ගණිතය සඳහා මාර්ගගත උදව්.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
3) සංකීර්ණ මූලයන්. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට පොදු විසඳුම වන්නේ:
උදාහරණය 3
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අසමජාතීය දෙවන පෙළ රේඛීය අවකල සමීකරණ
නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමහර වර්ගවල විසඳුම අපි දැන් සලකා බලමු.
එහිදී සහ නියත තාත්වික සංඛ්යා යනු පරතරය තුළ දන්නා අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි. එවැනි අවකල්‍ය සමීකරණයක සාමාන්ය විසඳුම සොයා ගැනීම සඳහා, අදාළ සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම සහ විශේෂිත විසඳුම දැනගැනීම අවශ්ය වේ. සමහර අවස්ථා සලකා බලමු:
අපි වර්ග ත්‍රිපදයක ආකාරයෙන් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් ද සොයමින් සිටිමු:
0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ තනි මූලයක් නම්, එසේ නම්
0 යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ද්විත්ව මූලයක් නම්, එසේ නම්
අත්තනෝමතික උපාධියේ බහුපදයක් නම් තත්වය සමාන වේ
උදාහරණය 4
අපි අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය විසඳන්නෙමු.
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
සමජාතීය සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අපි සමජාතීය විභේදනය සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු:
සොයාගත් ව්‍යුත්පන්නයන් මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:
අපේක්ෂිත විශේෂිත විසඳුම:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
අවිනිශ්චිත සංගුණකයක් ඇති ආකෘතියෙන් අපි විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු.
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණකය සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.
ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලය නම්, අපි මුල් අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්නෙමු , තනි මූලයක් වන විට සහ , ද්විත්ව මූලයක් වන විට.
උදාහරණ 5
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:
අනුරූප අසමජාතීය අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් අපි සොයා ගනිමු:
අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
මෙම අවස්ථාවේදී, අපි ත්‍රිකෝණමිතික ද්විපදයක ස්වරූපයෙන් විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:
කොහෙද සහ අවිනිශ්චිත සංගුණක
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සංගුණක සොයා ගන්නා අනන්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු.
මෙම සමීකරණ සංගුණක තීරණය කරන අතර (හෝ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් වන විට) අවස්ථාව හැර. අවසාන අවස්ථාවෙහිදී, අපි ආකෘතියේ අවකල සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයමු:
උදාහරණයක්6
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
අනුරූප සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම වන්නේ:
අපි සමජාතීය විභේදනය-සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු
මුල් අවකල සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
මුල් අවකල සමීකරණයේ පොදු විසඳුම:
සංඛ්යා ශ්‍රේණි අභිසාරී වීම
ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාව පිළිබඳ නිර්වචනයක් ලබා දී ඇති අතර සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රේණිවල අභිසාරීතාවය අධ්‍යයනය සඳහා වන ගැටළු සවිස්තරාත්මකව සලකා බලනු ලැබේ - සංසන්දනාත්මක නිර්ණායක, d'Alembert අභිසාරී නිර්ණායකය, Cauchy අභිසාරී නිර්ණායකය සහ සමෝධානික Cauchy අභිසාරී නිර්ණායක.
මාලාවක නිරපේක්ෂ සහ කොන්දේසි සහිත අභිසාරීතාව
පිටුව ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි, ඒවායේ කොන්දේසි සහිත සහ නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාවය, ප්‍රත්‍යාවර්ත ශ්‍රේණි සඳහා ලයිබ්නිස් අභිසාරී පරීක්ෂණය - අඩංගු වේ කෙටි න්යායමාතෘකාව සහ ගැටළුව විසඳීම සඳහා උදාහරණයක්.
