ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ක්‍රමය මගින් ස්ලෝ විසඳුම. ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් භාවිතයෙන් රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම

(සමහර විට මෙම ක්රමය ද හැඳින්වේ matrix ක්රමයහෝ ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ක්‍රමය) SLAE ලිවීමේ න්‍යාස ආකෘතිය වැනි සංකල්පයක් සමඟ පූර්ව හුරුපුරුදු වීම අවශ්‍ය වේ. ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ක්‍රමය එම රේඛීය පද්ධති විසඳීම සඳහා නිර්මාණය කර ඇත වීජීය සමීකරණ, ඒ සඳහා පද්ධතියේ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ. ස්වාභාවිකවම, මෙයින් ඇඟවෙන්නේ පද්ධතියේ න්‍යාසය හතරැස් බවයි (නිර්ණය කිරීමේ සංකල්පය පවතින්නේ වර්ග න්‍යාස සඳහා පමණි). ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ක්‍රමයේ සාරය කරුණු තුනකින් ප්‍රකාශ කළ හැක:

1. න්‍යාස තුනක් ලියන්න: පද්ධති න්‍යාසය $A$, නොදන්නා $X$ හි න්‍යාසය, නිදහස් පද $B$ න්‍යාසය.
2. $A^(-1)$ ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයන්න.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ සමානාත්මතාවය භාවිතා කරමින් ලබා දී ඇති SLAE හි විසඳුම ලබා ගන්න.

ඕනෑම SLAE එකක් $A\cdot X=B$ ලෙස න්‍යාස ආකාරයෙන් ලිවිය හැක, $A$ යනු පද්ධතියේ න්‍යාසයයි, $B$ යනු නිදහස් පද වල න්‍යාසයයි, $X$ යනු නොදන්නා න්‍යාසයයි. $A^(-1)$ න්‍යාසය පවතින්නට ඉඩ හරින්න. $A\cdot X=B$ සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම වම් පස ඇති $A^(-1)$ න්‍යාසයෙන් ගුණ කරන්න:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - සිට අනන්යතා අනුකෘතිය), එවිට ඉහත ලියා ඇති සමීකරණය වන්නේ:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ සිට, එවිට:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

උදාහරණ #1

ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය භාවිතයෙන් SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ විසඳන්න.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\ right). $$

පද්ධතියේ න්‍යාසයට ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගනිමු, i.e. $A^(-1)$ ගණනය කරන්න. උදාහරණ අංක 2 හි

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\ right) . $$

දැන් අපි න්‍යාස තුනම ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ සමීකරණයට ආදේශ කරමු. එවිට අපි matrix ගුණ කිරීම සිදු කරන්නෙමු

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left (\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ right). $$

ඉතින් අපිට ලැබුනා $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ දකුණ) $. මෙම සමානාත්මතාවයෙන් අපට ඇත්තේ: $x_1=-3$, $x_2=2$.

පිළිතුර: $x_1=-3$, $x_2=2$.

උදාහරණ #2

SLAE විසඳන්න $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය මගින්.

$A$ පද්ධතියේ න්‍යාසය, නිදහස් පද $B$ සහ නොදන්නා $X$ න්‍යාසය ලියා තබමු.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\ right). $$

පද්ධති අනුකෘතියේ ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය සොයා ගැනීමට දැන් කාලයයි, i.e. $A^(-1)$ සොයා ගන්න. උදාහරණ #3 හි ප්‍රතිලෝම න්‍යාස සෙවීමට කැප වූ පිටුවේ, ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය දැනටමත් සොයාගෙන ඇත. නිමි ප්‍රතිඵලය භාවිතා කර $A^(-1)$ ලියන්න:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 සහ 37\nend(array)\ right). $$

දැන් අපි න්‍යාස තුනම ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ සමානාත්මතාවයට ආදේශ කරමු, ඉන්පසු අපි දකුණේ න්‍යාස ගුණ කිරීම සිදු කරමු. මෙම සමානාත්මතාවයේ පැත්ත.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \ right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\ right) $$

ඉතින් අපිට ලැබුනා $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\දකුණ)$. මෙම සමානාත්මතාවයෙන් අපට ඇත්තේ: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

සාමාන්‍යයෙන් සමීකරණ, රේඛීය වීජීය සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති මෙන්ම ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම, න්‍යායික සහ ව්‍යවහාරික යන දෙකම ගණිතයේ විශේෂ ස්ථානයක් ගනී.

මෙය භෞතික, ආර්ථික, තාක්ෂණික සහ පවා අතිමහත් බහුතරයක් බව යන කරුණ නිසා ය අධ්යාපනික කාර්යයන්විවිධ සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති භාවිතයෙන් විස්තර කර විසඳා ගත හැක. හිදී මෑත කාලයේපර්යේෂකයන්, විද්යාඥයන් සහ වෘත්තිකයන් අතර විශේෂ ජනප්රියත්වයක් ලබා ඇත ගණිත ආකෘති නිර්මාණයවස්තු අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා අනෙකුත් සුප්‍රසිද්ධ සහ ඔප්පු කරන ලද ක්‍රමවලට වඩා එහි පැහැදිලි වාසි මගින් පැහැදිලි කරන සෑම විෂය ක්ෂේත්‍රයකම පාහේ වෙනස් ස්වභාවය, විශේෂයෙන්ම ඊනියා සංකීර්ණ පද්ධති. විශාල විවිධත්වයක් ඇත විවිධ නිර්වචනවිද්‍යාඥයින් විසින් ලබා දෙන ලද ගණිතමය ආකෘතිය විවිධ වේලාවන්, නමුත් අපගේ මතය අනුව, වඩාත්ම සාර්ථක වේ පහත ප්රකාශය. ගණිතමය ආකෘතියක් යනු අදහසකි සමීකරණය මගින් ප්රකාශිත. මේ අනුව, සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති සැකසීමට සහ විසඳීමට ඇති හැකියාව නවීන විශේෂඥයෙකුගේ අනිවාර්ය ලක්ෂණයකි.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා බහුලව භාවිතා වන ක්‍රම වනුයේ: Cramer, Jordan-Gauss සහ matrix ක්‍රමය.

Matrix විසඳුම් ක්‍රමය - ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් භාවිතයෙන් ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකයක් සහිත රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ ක්‍රමයකි.

අපි නොදන්නා අගයන් xi සඳහා සංගුණක A න්‍යාසයට ලියා, නොදන්නා අගයන් X දෛශික තීරුවට සහ නිදහස් නියමයන් B තීරුවේ දෛශිකයට එකතු කළහොත්, රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය ලිවිය හැකිය. පහත දැක්වෙන න්‍යාස සමීකරණයේ ස්වරූපය A X = B, එයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත්තේ A න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවන විට පමණි. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම පහත ආකාරයෙන් සොයාගත හැකිය x = ඒ-එක · බී, කොහෙද ඒ-1 - ප්රතිලෝම න්යාසය.

matrix විසඳුම් ක්රමය පහත පරිදි වේ.

පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න රේඛීය සමීකරණසමඟ nනොදන්නා:

එය matrix ආකාරයෙන් නැවත ලිවිය හැක: AX = බී, කොහෙද ඒ- පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය, බීහා x- නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ තීරු සහ පද්ධතියේ විසඳුම් පිළිවෙලින්:

වම් පස ඇති මෙම න්‍යාස සමීකරණය ගුණ කරන්න ඒ-1 - matrix න්‍යාසයට ප්‍රතිලෝම ඒ: ඒ -1 (AX) = ඒ -1 බී

නිසා ඒ -1 ඒ = ඊ, අපිට ලැබෙනවා x= ඒ -1 බී. දකුණු කොටසමෙම සමීකරණයේ මුල් පද්ධතියට විසඳුම් තීරුවක් ලබා දෙනු ඇත. අදාළ තත්ත්වය මෙම ක්රමය(මෙන්ම පොදුවේ විසඳුමක පැවැත්ම නොවේ සමජාතීය පද්ධතියනොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන සමීකරණ සංඛ්‍යාව සහිත රේඛීය සමීකරණ) යනු න්‍යාසයේ පරිහානිය නොවේ. ඒ. අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයමෙය අනුකෘතියේ නිර්ණායකයේ අසමානතා බිංදුවයි ඒ: det ඒ≠ 0.

රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් සඳහා, එනම්, දෛශිකය විට බී = 0 , ඇත්තටම ප්රතිලෝම රීතිය: පද්ධතියක් AX = 0 හි සුළු නොවන (එනම්, ශුන්‍ය නොවන) විසඳුමක් ඇත්තේ det නම් පමණි ඒ= 0. රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය සහ සමජාතීය පද්ධතිවල විසඳුම් අතර එවැනි සම්බන්ධයක් Fredholm විකල්පය ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක විසඳුම්.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියේ නොදන්නා සංගුණකවලින් සමන්විත න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවන බවට වග බලා ගනිමු.

ඊළඟ පියවර වන්නේ ගණනය කිරීමයි වීජීය එකතු කිරීම්නොදන්නා අයගේ සංගුණක වලින් සමන්විත අනුකෘතියේ මූලද්රව්ය සඳහා. ප්රතිලෝම අනුකෘතිය සොයා ගැනීමට ඒවා අවශ්ය වනු ඇත.

මෙය matrices සමඟ සිදු කළ හැකි සියලුම මෙහෙයුම් සාමාන්‍යකරණය කරන සංකල්පයකි. ගණිතමය අනුකෘතිය - මූලද්රව්ය වගුවකි. කොහෙද මේසයක් ගැන එම්රේඛා සහ nතීරු, ඔවුන් පවසන්නේ මෙම න්‍යාසයට මානය ඇති බවයි එම්මත n.

අනුකෘතියේ සාමාන්‍ය දැක්ම:

සදහා matrix විසඳුම්ඔබ matrix යනු කුමක්දැයි වටහා ගත යුතු අතර එහි ප්රධාන පරාමිතීන් දැනගත යුතුය. අනුකෘතියේ ප්රධාන අංග:

• මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත ප්‍රධාන විකර්ණය a 11, a 22 ..... a mn.
• මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත පැති විකර්ණය а 1n ,а 2n-1 .....а m1.

matrices හි ප්රධාන වර්ග:

• චතුරස්රය - එවැනි අනුකෘතියක්, මෙහි පේළි ගණන = තීරු ගණන ( m=n).
• ශුන්‍ය - න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය = 0.
• Transposed Matrix - Matrix හිදී, එය මුල් අනුකෘතියෙන් ලබා ගන්නා ලදී ඒතීරු සමඟ පේළි වෙනුවට.
• තනි - ප්‍රධාන විකර්ණයේ සියලුම අංග = 1, අනෙක් සියල්ල = 0.
• ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් යනු මුල් න්‍යාසයෙන් ගුණ කළ විට අනන්‍යතා න්‍යාසය ඇති වන න්‍යාසයකි.

ප්‍රධාන සහ ද්විතියික විකර්ණ සම්බන්ධයෙන් අනුකෘතිය සමමිතික විය හැක. එනම්, නම් a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n = a mn-1, එවිට න්‍යාසය ප්‍රධාන විකර්ණයට සාපේක්ෂව සමමිතික වේ. සමමිතික විය හැක්කේ වර්ග න්‍යාස පමණි.

matrices විසඳීම සඳහා ක්රම.

සියල්ලම පාහේ matrix විසඳුම් ක්රමඑහි නිර්ණායකය සොයා ගැනීමයි nඅනුපිළිවෙල සහ ඒවායින් බොහොමයක් තරමක් අපහසුයි. 2 වන සහ 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකය සොයා ගැනීමට, වෙනත්, වඩා තාර්කික ක්රම තිබේ.

2 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක සොයා ගැනීම.

matrix determinant ගණනය කිරීමට නමුත් 2 වන අනුපිළිවෙල, ප්‍රධාන විකර්ණයේ මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදිතයෙන් ද්විතියික විකර්ණයේ මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතය අඩු කිරීම අවශ්‍ය වේ:

3 වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායක සොයා ගැනීමේ ක්රම.

3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණය කිරීම සඳහා වන නීති පහත දැක්වේ.

එකක් ලෙස ත්‍රිකෝණ රීතිය සරල කරන ලදී matrix විසඳුම් ක්රම, පහත පරිදි නිරූපණය කළ හැක:

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, රේඛා මගින් සම්බන්ධ කර ඇති පළමු නිර්ණායකයේ මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතය "+" ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ; එසේම, 2 වන නිර්ණායකය සඳහා - අනුරූප නිෂ්පාදන "-" ලකුණ සමඟ ගනු ලැබේ, එනම් පහත යෝජනා ක්‍රමයට අනුව:

හිදී Sarrus රීතිය මගින් matrices විසඳීම, නිර්ණායකයේ දකුණට, පළමු තීරු 2 එකතු කර ඇති අතර ප්‍රධාන විකර්ණය සහ එයට සමාන්තරව ඇති විකර්ණ මත අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන "+" ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ; සහ ද්විතියික විකර්ණයේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන සහ එයට සමාන්තරව ඇති විකර්ණ "-" ලකුණ සමඟ:

න්‍යාස විසඳන විට නිර්ණායකයේ පේළි හෝ තීරු ප්‍රසාරණය.

නිර්ණය කරන්නා එකතුවට සමාන වේනිර්ණායක පේළියේ මූලද්රව්යවල නිෂ්පාදන සහ ඒවායේ වීජීය අනුපූරක. සාමාන්‍යයෙන් බිංදු ඇති/වන පේළිය/තීරුව තෝරන්න. වියෝජනය සිදු කරනු ලබන පේළිය හෝ තීරුව ඊතලයකින් දක්වනු ලැබේ.

න්‍යාස විසඳන විට නිර්ණායකය ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට අඩු කිරීම.

හිදී matrices විසඳීමනිර්ණායකය ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට අඩු කිරීමෙන්, ඒවා මේ ආකාරයට ක්‍රියා කරයි: පේළි හෝ තීරුවල සරලම පරිවර්තනයන් භාවිතා කරමින්, නිර්ණායකය ත්‍රිකෝණාකාර වන අතර පසුව එහි අගය, නිර්ණායකයේ ගුණාංගවලට අනුකූලව, මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ. ප්රධාන විකර්ණය මත නැගී සිටින බව.

න්‍යාස විසඳීම සඳහා ලැප්ලේස් ප්‍රමේයය.

ලැප්ලේස් ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් න්‍යාස විසඳන විට, ප්‍රමේයය කෙලින්ම දැන ගැනීම අවශ්‍ය වේ. ලැප්ලේස් ප්‍රමේයය: ඉඩ Δ නිර්ණායකයකි n-වන නියෝගය. අපි ඕනෑම එකක් තෝරා ගනිමු කේපේළි (හෝ තීරු), සපයා ඇත කේ≤ n - 1. මෙම අවස්ථාවේදී, සියලුම බාල වයස්කරුවන්ගේ නිෂ්පාදනවල එකතුව කේතෝරාගත් අනුපිළිවෙලෙහි අඩංගු වේ කේපේළි (තීරු), ඒවායේ වීජීය එකතු කිරීම් නිර්ණායකයට සමාන වේ.

ප්රතිලෝම න්යාස විසඳුම.

සඳහා ක්රියා අනුපිළිවෙල ප්රතිලෝම matrix විසඳුම්:

1. එය හතරැස් දැයි සොයා බලන්න ලබා දී ඇති matrix. ඍණාත්මක පිළිතුරක් සම්බන්ධයෙන්, එය සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසයක් තිබිය නොහැකි බව පැහැදිලි වේ.
2. අපි වීජීය එකතු කිරීම් ගණනය කරමු.
3. අපි මිත්‍ර (අන්‍යෝන්‍ය, අමුණා ඇති) අනුකෘතිය සම්පාදනය කරමු සී.
4. අපි වීජීය එකතු කිරීම් වලින් ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් සම්පාදනය කරමු: යාබද න්‍යාසයේ සියලුම අංග සීආරම්භක න්‍යාසයේ නිර්ණායකයෙන් බෙදන්න. ප්රතිඵලය වන matrix අපේක්ෂිත වනු ඇත ප්රතිලෝම න්යාසයදී ඇති එකට සාපේක්ෂව.
5. අපි සිදු කරන ලද කාර්යය පරීක්ෂා කරමු: අපි ආරම්භක සහ ප්රතිඵල න්යාසවල අනුකෘතිය ගුණ කරමු, ප්රතිඵලය අනන්යතා අනුකෘතිය විය යුතුය.

matrix පද්ධතිවල විසඳුම.

සදහා matrix පද්ධතිවල විසඳුම්වඩාත් බහුලව භාවිතා වන්නේ Gauss ක්රමයයි.

Gauss ක්‍රමය යනු රේඛීය වීජීය සමීකරණ (SLAE) පද්ධති විසඳීම සඳහා සම්මත ක්‍රමයක් වන අතර එය සමන්විත වන්නේ විචල්‍යයන් අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීම, එනම් මූලික වෙනස්කම් ආධාරයෙන් සමීකරණ පද්ධතිය සමාන පද්ධතියකට ගෙන ඒමයි. ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපය සහ එයින් අනුක්‍රමිකව, අවසාන (සංඛ්‍යාව අනුව) සිට පද්ධතියේ එක් එක් අංගය සොයා ගන්න.

Gauss ක්රමයවඩාත්ම බහුකාර්ය සහ හොඳම මෙවලම matrices විසඳුම සොයා ගැනීමට. පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ නම් හෝ පද්ධතිය නොගැලපේ නම්, එය Cramer's rule සහ matrix ක්‍රමය භාවිතයෙන් විසඳිය නොහැක.

Gauss ක්‍රමය මඟින් සෘජු (දිගු කරන ලද න්‍යාසය පියවර ආකාරයක් දක්වා අඩු කිරීම, එනම් ප්‍රධාන විකර්ණය යටතේ ශුන්‍ය ලබා ගැනීම) සහ ප්‍රතිලෝම (දිගු න්‍යාසයේ ප්‍රධාන විකර්ණයට ඉහළින් ශුන්‍ය ලබා ගැනීම) චලනයන් ද ගම්‍ය වේ. ඉදිරි ගමන Gauss ක්‍රමයයි, ප්‍රතිලෝමය Gauss-Jordan ක්‍රමයයි. Gauss-Jordan ක්රමය Gauss ක්රමයෙන් වෙනස් වන්නේ විචල්යයන් ඉවත් කිරීමේ අනුපිළිවෙලින් පමණි.

බොහෝ විචල්‍යයන් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් සලකා බලන්න:

එහිදී aij - නොදන්නා хi හි සංගුණක; ද්වි-නිදහස් සාමාජිකයින්;

දර්ශක: i = 1,2,3...m- සමීකරණයේ අංකය සහ j = 1,2,3...n- නොදන්නා අංකය තීරණය කරන්න.

අර්ථ දැක්වීම: සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම (5) යනු n සංඛ්‍යා සමූහයකි (x10, x20, .... xn0), ඒවා පද්ධතියට ආදේශ කරන විට, සියලු සමීකරණ සත්‍ය සංඛ්‍යාත්මක අනන්‍යතා බවට පත්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: සමීකරණ පද්ධතියකට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම් එය ස්ථාවර ලෙස හැඳින්වේ. ඒකාබද්ධ පද්ධතියකට අනන්‍ය විසඳුමක් (x10, x20,….xn0) තිබේ නම් එය නිශ්චිත ලෙසද, එවැනි විසඳුම් කිහිපයක් තිබේ නම් අවිනිශ්චිත ලෙසද හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: පද්ධතියට විසඳුමක් නොමැති නම් එය අසංගත ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: සමීකරණ පද්ධතියේ (5) සංඛ්‍යාත්මක සංගුණක (AIj) සහ නිදහස් නියම (bi) වලින් සෑදූ වගු පද්ධති න්‍යාසය (A) සහ විස්තීරණ න්‍යාසය (A1) ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: අසමාන පේළි සහ තීරු (n?m) සංඛ්‍යාවක් ඇති A පද්ධතියේ න්‍යාසය සෘජුකෝණාස්‍ර ලෙස හැඳින්වේ. පේළි සහ තීරු ගණන සමාන නම් (n=m), එවිට න්‍යාසය වර්ග ලෙස හැඳින්වේ.

පද්ධතියේ ඇති නොදන්නා සංඛ්‍යාව සමීකරණ ගණනට (n=m) සමාන නම්, පද්ධතිය සතුව ඇත හතරැස් අනුකෘතිය n වන නියෝගය.

A න්‍යාසයේ k-අත්තනෝමතික පේළි සහ k-අත්තනෝමතික තීරු (km, kn) තනි කරමු.

නිර්වචනය: තෝරාගත් පේළි සහ තීරුවල ඡේදනයෙහි පිහිටා ඇති න්‍යාස A හි මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත k-පිළිවෙල නිර්ණායකය, න්‍යාස A හි k-order Miner ලෙස හැඳින්වේ.

න්‍යාසයේ සියලුම බාල වයස්කරුවන් සලකා බලන්න. සියලුම (k + 1) අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ අවම වශයෙන් k-පිළිවෙල බාල වයස්කරුවන්ගෙන් එක් අයෙකු බිංදුවට සමාන නොවේ නම්, න්‍යාසයට ශ්‍රේණිගත කිරීමක් ඇතැයි කියනු ලැබේ k ට සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම: න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය A යනු මෙම න්‍යාසයේ ශුන්‍ය නොවන සුළු අගයේ විශාලතම අනුපිළිවෙලයි. න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය r(A) මගින් දැක්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: න්‍යාසයේ තරාතිරමට සමාන අනුපිළිවෙලක් ඇති ඕනෑම ශුන්‍ය නොවන න්‍යාස බාලවය මූලික ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම: A සහ ​​B න්‍යාස දෙකක් සඳහා ඒවායේ ශ්‍රේණි r(A) = r(B) සමපාත වන්නේ නම්, මෙම න්‍යාස සමාන ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර A B ලෙස දැක්වේ.

න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය මූලික, සමාන පරිවර්තනයන්ගෙන් වෙනස් නොවනු ඇත, ඒවාට ඇතුළත් වන්නේ:

• 1. තීරු සමඟ පේළි සහ තීරු අනුරූප පේළි සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කිරීම;
• 2. ස්ථානවල පේළි හෝ තීරු ප්‍රතිවර්තනය කිරීම;
• 3. පේළි හෝ තීරු හරස් කිරීම, ඒවායේ සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්යයට සමාන වේ;
• 4. පේළියක් හෝ තීරුවක් ශුන්‍ය නොවන අංකයකින් ගුණ කිරීම හෝ බෙදීම;
• 5. එක් පේළියක හෝ තීරුවක මූලද්‍රව්‍ය තවත් එකකින් එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම, ඕනෑම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම.

න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය තීරණය කිරීමේදී, සමාන පරිවර්තනයන් භාවිතා කරනු ලබන අතර, එහි ආධාරයෙන් මුල් අනුකෘතිය පියවර (ත්‍රිකෝණාකාර) න්‍යාසයකට අඩු කරනු ලැබේ.

පියවර අනුකෘතියක, ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය ප්‍රධාන විකර්ණය යටතේ පිහිටා ඇති අතර, එහි එක් එක් පේළියේ පළමු ශුන්‍ය නොවන මූලද්‍රව්‍යය, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, පෙර පේළියේ පළමු ශුන්‍ය නොවන මූලද්‍රව්‍යයේ දකුණට පිහිටා ඇත.

න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය පියවර න්‍යාසයේ ශුන්‍ය නොවන පේළි ගණනට සමාන බව සලකන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, A= න්‍යාසය පියවර ආකාරයක් වන අතර එහි ශ්‍රේණිය න්‍යාසය r(A)=3 හි ශුන්‍ය නොවන පේළි ගණනට සමාන වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, 4 වන පේළියේ ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය සහිත සියලුම 4 වන අනුපිළිවෙල බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍යයට සමාන වන අතර 3 වන අනුපිළිවෙලෙහි බාල වයස්කරුවන් ශුන්‍ය නොවේ. පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි පළමු පේළි 3 සහ තීරු 3 න් බාලයාගේ නිර්ණායකය ගණනය කරමු:

ප්‍රධාන විකර්ණය යටතේ ඇති න්‍යාස මූලද්‍රව්‍ය ප්‍රාථමික ක්‍රියාවන් භාවිතයෙන් ශුන්‍ය කිරීමෙන් ඕනෑම න්‍යාසයක් පියවර න්‍යාසයකට අඩු කළ හැක.

අපි රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියේ අධ්‍යයනය සහ විසඳුම වෙත ආපසු යමු (5).

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති අධ්‍යයනය කිරීමේදී වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරනු ලබන්නේ ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය මගිනි. අපි මෙම ප්‍රමේයය සකස් කරමු.

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය: රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකූල වන්නේ පද්ධති න්‍යාසයේ A ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ A1 ශ්‍රේණියට සමාන නම් සහ පමණි, i.e. r(A)=r(A1). ගැළපුම සම්බන්ධයෙන්, පද්ධති අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන නම් පද්ධතිය නිශ්චිත වේ, එනම්. r(A)=r(A1)=n සහ මෙම ශ්‍රේණිය නම් නිර්වචනය නොකෙරේ සංඛ්යාවට වඩා අඩුයනොදන්නා, i.e. r(A)= r(A1)

උදාහරණයක්. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ගවේෂණය කරන්න:

අපි පද්ධති න්‍යාස A සහ ​​විස්තීරණ න්‍යාස A1 හි ශ්‍රේණි නිර්ණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි විස්තීර්ණ matrix A1 සකස් කර එය පියවර ආකෘතියකට අඩු කරන්නෙමු.

අනුකෘතියක් පරිවර්තනය කිරීමේදී, පහත සඳහන් දේ කරන්න:

• 2) 3 සහ 4 පේළි වලින් අඩු කරන්න 1 වන පේළිය 4 න් ගුණ කරන්න;
• 3) 4 වන පේළිය (-1) න් ගුණ කර 2 වන පේළිය සමඟ හුවමාරු කරන්න;
• 4) පිළිවෙලින් 5 සහ 4 න් ගුණ කරන ලද 2 වන පේළිය සමඟ පේළි 3 සහ 4 එකතු කරන්න;
• 5) 4 වන පේළියේ සිට 3 වන පේළිය අඩු කර ශුන්ය මූලද්රව්ය සමඟ 4 වන පේළිය හරස් කරන්න.

සිදු කරන ලද ක්‍රියාවන්හි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අපි පද්ධති අනුකෘතියේ (රේඛාව දක්වා) සහ පුළුල් කළ න්‍යාසයේ ශුන්‍ය නොවන පේළි තුනක් සහිත පියවර අනුකෘතියක් ලබා ගත්තෙමු. පද්ධතියේ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන වන අතර එය 3 ට සමාන වන නමුත් නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු (n=4) බව දැකිය හැක්කේ කොතැනින්ද යන්නයි.

පිළිතුර: මන්ද r(A)=r(A1)=3

න්‍යාසවල ශ්‍රේණිගත කිරීම් පියවරෙන් පියවරට අඩු කිරීමෙන් ඒවා ශ්‍රේණිගත කිරීම පහසු වන බැවින්, අපි Gauss ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ ක්‍රමයක් සලකා බලමු.

Gauss ක්රමය

Gauss ක්‍රමයේ සාරය පවතින්නේ නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමයි. t රේඛාව දක්වා පද්ධති න්‍යාසය A ඇතුළත් වන දිගු න්‍යාසයේ A1 හි පියවර ආකාරයක් දක්වා අඩු කිරීමෙන්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, A, A1 න්‍යාසවල ශ්‍රේණි එකවර තීරණය කරනු ලබන අතර ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි අනුව පද්ධතිය අධ්‍යයනය කෙරේ. ප්රමේයය. අවසාන අදියරේදී, පියවරෙන් පියවර ආකාරයේ සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳනු ලැබේ, නොදන්නා අයගේ සොයාගත් අගයන් පහළ සිට ඉහළට ආදේශ කිරීම සිදු කරයි.

අපි උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් Gauss ක්රමය සහ Kronecker-Capeli ප්රමේයය භාවිතා කිරීම සලකා බලමු.

උදාහරණයක්. Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න:

අපි පද්ධති න්‍යාස A සහ ​​විස්තීරණ න්‍යාස A1 හි ශ්‍රේණි නිර්ණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි විස්තීර්ණ matrix A1 සකස් කර එය පියවර ආකෘතියකට අඩු කරන්නෙමු. වාත්තු කරන විට, පහත සඳහන් දේ කරන්න:

• 1) 2 වන පේළියේ සිට 1 වන පේළිය අඩු කරන්න;
• 2) 3 වන පේළියේ සිට 1 වන පේළිය අඩු කරන්න, 2 න් ගුණ කරන්න;
• 3) 2 වන පේළිය (-2) බෙදන්න, සහ 3 වන පේළිය (-1) න් ගුණ කර ඒවා මාරු කරන්න.

අපි පියවර න්‍යාසයක් ලබාගෙන ඇති අතර, පේළි ගණන 3 ට සමාන වන අතර, පද්ධතියේ න්‍යාසය (රේඛාවට පෙර) ද ශුන්‍ය සින්ක් නොමැත. එබැවින්, පද්ධති න්‍යාසයේ සහ දිගු න්‍යාසයේ ශ්‍රේණි 3 වන අතර නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වේ, i.e. r(A)=r(A1)=n=3.. ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය අනුව, පද්ධතිය ස්ථාවර සහ අර්ථ දක්වා ඇත, අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

න්‍යාසය A1 පරිවර්තනයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක ශුන්‍ය කිරීම, ඒවා අනුක්‍රමයෙන් සමීකරණවලින් බැහැර කරන ලද අතර පියවර (ත්‍රිකෝණාකාර) සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගන්නා ලදී:

පහළ සිට ඉහළට අනුක්‍රමිකව ගමන් කරමින්, විසඳුම (x3=1) තෙවැනි සමීකරණයේ සිට දෙවැන්නට ආදේශ කිරීමෙන් සහ විසඳුම් (x2=1, x3=1) දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවල සිට පළමු එකට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි විසඳුම ලබා ගනිමු. සමීකරණ පද්ධතිය: x1=1,x2=1, x3=1.

පරීක්ෂා කරන්න: -(!) පිළිතුර: (x1=1,x2=1,x3=1).

ජෝර්දාන්-ගවුස් ක්රමය

මෙම පද්ධතිය වැඩිදියුණු කරන ලද ජෝර්ඩන්-ගවුස් ක්‍රමය මගින් විසඳිය හැකි අතර, දිගු කළ න්‍යාසයේ (රේඛාව දක්වා) පද්ධතියේ A හි න්‍යාසය අනන්‍යතා න්‍යාසයට අඩු වීම සමන්විත වේ: E =තනි විකර්ණ සහ ශුන්‍ය විකර්ණ මූලද්‍රව්‍ය සමඟ සහ අතිරේක ආදේශන නොමැතිව පද්ධතියේ විසඳුම වහාම ලබා ගන්න.

ඉහත ක්‍රමය Jordan-Gauss ක්‍රමය මගින් විසඳා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පහත සඳහන් දේ කිරීමෙන් ලැබෙන පියවර අනුකෘතිය තනි එකක් බවට පරිවර්තනය කරමු:

• 1) 1 වන පේළියේ සිට 2 වන පේළිය අඩු කරන්න;
• 2) 1 වන පේළිය සමඟ 3 වන පේළිය එකතු කරන්න, 3 න් ගුණ කරන්න;
• 3) 2 වන පේළියේ සිට 3 වන පේළිය අඩු කරන්න, 4 න් ගුණ කරන්න.

මුල් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳුම තීරණය කරන පද්ධතිය: ලෙස අඩු කරන ලදී.

matrices සමඟ මූලික මෙහෙයුම්

න්‍යාස දෙකක් ලබා දෙන්න: A= B=.

• 1. න්‍යාස A=B ට සමාන වන්නේ ඒවායේ එකම නමේ මූලද්‍රව්‍ය සමාන නම්: aij=bij
• 2. න්‍යාසවල එකතුව (වෙනස) (A ± B) සමානාත්මතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇති න්‍යාසය වේ:

න්‍යාස සාරාංශ කරන විට (අඩු කිරීම), එකම නමේ ඒවායේ මූලද්‍රව්‍ය එකතු කරනු ලැබේ (අඩු කිරීම).

3. A න්‍යාසය මගින් k සංඛ්‍යාවේ ගුණිතය සමානාත්මතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇති න්‍යාසයයි:

න්‍යාසයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට, න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ.

4. න්‍යාසවල ගුණිතය AB සමානාත්මතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇති න්‍යාසයයි:

න්‍යාස ගුණ කිරීමේදී, පළමු න්‍යාසයේ පේළිවල මූලද්‍රව්‍ය දෙවන න්‍යාසයේ තීරුවල මූලද්‍රව්‍යවලින් ගුණ කර සාරාංශ කරන අතර i-th පේළියේ සහ j-th තීරුවේ ඇති නිෂ්පාදන න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍යය සමාන වේ. පළමු න්‍යාසයේ i-th පේළියේ සහ j-th තීරුවේ දෙවන න්‍යාසයේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන එකතුව.

න්‍යාස ගුණ කිරීමේදී, සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, සංක්‍රමණ නීතිය අදාළ නොවේ, i.e. AB? VA.

5. න්‍යාසය A මාරු කිරීම යනු පේළි තීරු මගින් සහ තීරු අනුරූප පේළි මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට තුඩු දෙන ක්‍රියාවකි.

AT= න්‍යාසය A= න්‍යාසය සඳහා transposed matrix ලෙස හැඳින්වේ.

A න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට (D?0) සමාන නොවේ නම්, එවැනි න්‍යාසයක් ඒකීය නොවන ලෙස හැඳින්වේ. ඕනෑම ඒකීය නොවන න්‍යාසයක් A සඳහා, A-1 ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයක් ඇත, ඒ සඳහා සමානාත්මතාවය පවතී: A-1 A= A A-1=E, E=- අනන්‍යතා න්‍යාසය.

6. A න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමය යනු A-1 ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය ලබා ගන්නා ක්‍රියා වේ.

න්‍යාස A ප්‍රතිලෝම කරන විට පහත ක්‍රියා සිදු කරනු ලැබේ.