අඩුවන අංක ගණිතමය ප්රගතියක එකතුව. අංක ගණිත ප්‍රගමනයක වෙනස සොයා ගන්නේ කෙසේද?
යමෙක් "ප්රගතිය" යන වචනය ප්‍රවේශමෙන් සලකයි, උසස් ගණිතයේ කොටස් වලින් ඉතා සංකීර්ණ යෙදුමක් ලෙස. මේ අතර, සරලම අංක ගණිතමය ප්රගතිය වන්නේ කුලී රථ කවුන්ටරයේ කාර්යයයි (ඒවා තවමත් පවතින තැන). මූලික සංකල්ප කිහිපයක් විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් ගණිත අනුපිළිවෙලක සාරය (සහ ගණිතයේ “සාරය තේරුම් ගැනීමට” වඩා වැදගත් දෙයක් නොමැත) තේරුම් ගැනීම එතරම් අපහසු නොවේ.
ගණිතමය සංඛ්යා අනුපිළිවෙල
සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් අංක මාලාවක් ලෙස හැඳින්වීම සිරිතකි, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම අංකයක් ඇත.
සහ 1 අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා වේ;
සහ 2 අනුපිළිවෙලෙහි දෙවන සාමාජිකයා වේ;
සහ 7 අනුපිළිවෙලෙහි හත්වන සාමාජිකයා වේ;
සහ n යනු අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා වේ;
කෙසේ වෙතත්, අත්තනෝමතික සංඛ්යා සහ සංඛ්යා සමූහයක් අපට උනන්දුවක් නොදක්වයි. ගණිතමය වශයෙන් පැහැදිලිව සූත්‍රගත කළ හැකි යැපීමකින් n-th සාමාජිකයාගේ අගය එහි සාමාන්‍ය අංකයට සම්බන්ධ වන සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් කෙරෙහි අපි අපගේ අවධානය යොමු කරමු. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: n වන අංකයේ සංඛ්යාත්මක අගය n හි යම් ශ්‍රිතයකි.
a - සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි සාමාජිකයෙකුගේ අගය;
n - ඔහුගේ අන්රක්රමික අංකය;
f(n) යනු සංඛ්යාත්මක අනුක්‍රමයේ n අනුපිළිවෙල තර්කය වන ශ්‍රිතයකි.
අර්ථ දැක්වීම
ගණිතමය ප්රගතියක් සාමාන්යයෙන් සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් එක් ඊළඟ පදය එකම සංඛ්‍යාවෙන් පෙර එකට වඩා විශාල (අඩු) වේ. ගණිතමය අනුපිළිවෙලක n වන සාමාජිකයා සඳහා වන සූත්රය පහත පරිදි වේ:
a n - අංක ගණිත ප්රගතියේ වත්මන් සාමාජිකයාගේ අගය;
a n+1 - ඊළඟ අංකයේ සූත්රය;
d - වෙනස (නිශ්චිත සංඛ්යාවක්).
වෙනස ධන (d>0) නම්, සලකා බලනු ලබන ශ්‍රේණියේ එක් එක් ඊළඟ සාමාජිකයා පෙර එකට වඩා වැඩි වනු ඇති බව තීරණය කිරීම පහසු වන අතර එවැනි අංක ගණිතමය ප්රගතියක් වැඩි වේ.
පහත ප්‍රස්ථාරයේ, ඒ මන්දැයි බැලීම පහසුය සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙල"වැඩිවීම" ලෙස හැඳින්වේ.
වෙනස සෘණ වන අවස්ථා වලදී (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
නිශ්චිත සාමාජිකයාගේ වටිනාකම
සමහර විට ගණිතමය ප්රගතියක යම් අත්තනෝමතික පදයක් a n අගය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. අංක ගණිත ප්රගතියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගේ අගයන් පළමු සිට අපේක්ෂිත එක දක්වා අනුක්‍රමිකව ගණනය කිරීමෙන් ඔබට මෙය කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, නිදසුනක් වශයෙන්, පන්දහසේ හෝ අටවන වාරයේ වටිනාකම සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, මෙම මාර්ගය සැමවිටම පිළිගත නොහැකිය. සාම්ප්රදායික ගණනය කිරීම බොහෝ කාලයක් ගතවනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, නිශ්චිත ගණිතමය ප්රගතියක් ඇතැම් සූත්ර භාවිතයෙන් විමර්ශනය කළ හැක. n වන වාරය සඳහා සූත්රයක් ද ඇත: අංක ගණිත ප්රගතියක ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ අගය ප්රගතියේ වෙනස සමඟ ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයාගේ එකතුව ලෙස තීරණය කළ හැකිය, අපේක්ෂිත සාමාජිකයාගේ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ විට, එක අඩු වේ. .
ප්රගතිය වැඩි කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා සූත්රය විශ්වීය වේ.
ලබා දී ඇති සාමාජිකයෙකුගේ වටිනාකම ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක්
අංක ගණිත ප්‍රගමනයක n-th සාමාජිකයාගේ අගය සෙවීමේ පහත ගැටලුව විසඳා ගනිමු.
කොන්දේසිය: පරාමිතීන් සහිත අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ඇත:
අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා 3;
සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ වෙනස 1.2 කි.
කාර්යය: නියමයන් 214 ක අගය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ
විසඳුම: දී ඇති සාමාජිකයෙකුගේ වටිනාකම තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:
a(n) = a1 + d(n-1)
ගැටළු ප්‍රකාශයේ දත්ත ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීම, අපට ඇත්තේ:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
පිළිතුර: අනුපිළිවෙලෙහි 214 වන සාමාජිකයා 258.6 ට සමාන වේ.
මෙම ගණනය කිරීමේ ක්රමයේ වාසි පැහැදිලිය - සම්පූර්ණ විසඳුම පේළි 2 කට වඩා ගත නොවේ.
දී ඇති පද ගණනක එකතුව
බොහෝ විට, දී ඇති අංක ගණිත ශ්‍රේණියක, එහි සමහර කොටස්වල අගයන්හි එකතුව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. එයට එක් එක් පදයේ අගයන් ගණනය කර ඒවා සාරාංශ කිරීම අවශ්ය නොවේ. එකතුව සොයාගත යුතු පද ගණන කුඩා නම් මෙම ක්රමය අදාළ වේ. වෙනත් අවස්ථාවල දී, පහත සූත්රය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ.
1 සිට n දක්වා වූ අංක ගණිතමය ප්රගතියක සාමාජිකයන්ගේ එකතුව පළමු සහ n වැනි සාමාජිකයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ, එය සාමාජික අංකය n මගින් ගුණ කර දෙකකින් බෙදනු ලැබේ. සූත්‍රයේ n-th සාමාජිකයාගේ අගය ලිපියේ පෙර ඡේදයේ ප්‍රකාශනය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:
ගණනය කිරීමේ උදාහරණය
උදාහරණයක් ලෙස, පහත කොන්දේසි සමඟ ගැටළුවක් විසඳා ගනිමු:
අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය ශුන්ය වේ;
වෙනස 0.5 කි.
ගැටලුවේදී, 56 සිට 101 දක්වා ශ්‍රේණියේ නියමවල එකතුව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්. ප්රගතියේ එකතුව තීරණය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
පළමුව, අපගේ ගැටලුවේ දී ඇති කොන්දේසි සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන් ප්රගතියේ සාමාජිකයින් 101 දෙනෙකුගේ අගයන්ගේ එකතුව අපි තීරණය කරමු:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
නිසැකවම, 56 සිට 101 දක්වා ප්රගතියේ නියමයන්ගේ එකතුව සොයා ගැනීම සඳහා, S 101 වෙතින් S 55 අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
එබැවින් මෙම උදාහරණය සඳහා අංක ගණිතමය ප්රගතියේ එකතුව වන්නේ:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
අංක ගණිත ප්රගතියේ ප්‍රායෝගික යෙදුමේ උදාහරණය
ලිපිය අවසානයේ, පළමු ඡේදයේ දක්වා ඇති අංක ගණිතමය අනුපිළිවෙලෙහි උදාහරණය වෙත ආපසු යමු - ටැක්සිමීටරයක් (ටැක්සි කාර් මීටරයක්). අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.
කුලී රථයකට ඇතුළු වීමට (කිලෝමීටර් 3 ක් ඇතුළත්) රුබල් 50 ක් වැය වේ. සෑම පසු කිලෝමීටරයකටම රූබල් 22 / km බැගින් ගෙවනු ලැබේ. ගමන් දුර කිලෝමීටර 30 කි. සංචාරයේ පිරිවැය ගණනය කරන්න.
1. පළමු කිලෝමීටර් 3 ඉවත දමමු, එහි මිල ගොඩබෑමේ පිරිවැයට ඇතුළත් වේ.
30 - 3 = 27 කි.මී.
2. වැඩිදුර ගණනය කිරීම අංක ගණිත අංක ශ්‍රේණියක් විග්‍රහ කිරීමට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
සාමාජික අංකය යනු ගමන් කළ කිලෝමීටර් ගණනයි (පළමු තුන අඩු).
සාමාජිකයාගේ වටිනාකම එකතුව වේ.
මෙම ගැටලුවේ පළමු වාරය 1 = 50 rubles ට සමාන වනු ඇත.
ප්රගති වෙනස d = 22 p.
අපට උනන්දුවක් දක්වන සංඛ්යාව - අංක ගණිත ප්රගතියේ (27 + 1) සාමාජිකයාගේ වටිනාකම - 27 වන කිලෝමීටරය අවසානයේ මීටර් කියවීම - 27.999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
අත්තනෝමතික ලෙස දිගු කාලයක් සඳහා දින දර්ශන දත්ත ගණනය කිරීම් පදනම් වන්නේ යම් සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් විස්තර කරන සූත්ර මතය. තාරකා විද්‍යාවේදී, කක්ෂයේ දිග ජ්‍යාමිතිකව ආකාශ වස්තුවේ දීප්තියට ඇති දුර මත රඳා පවතී. මීට අමතරව, විවිධ සංඛ්යාත්මක ශ්‍රේණි සංඛ්‍යාලේඛන සහ ගණිතයේ අනෙකුත් ව්‍යවහාරික ශාඛාවල සාර්ථකව භාවිතා වේ.
තවත් ආකාරයක සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් ජ්යාමිතික වේ
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් අංක ගණිතයක් හා සසඳන විට විශාල වෙනස්වීම් අනුපාතයකින් සංලක්ෂිත වේ. දේශපාලනයේ, සමාජ විද්‍යාවේ, වෛද්‍ය විද්‍යාවේ, බොහෝ විට, යම් ප්‍රපංචයක් පැතිරීමේ අධික වේගය පෙන්වීම සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස, වසංගතයක් තුළ රෝගයක්, ක්‍රියාවලිය ඝාතීය ලෙස වර්ධනය වන බව ඔවුන් පවසන්නේ අහම්බයක් නොවේ.
ජ්යාමිතික සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ N-th සාමාජිකය පෙර එකට වඩා වෙනස් වන්නේ එය යම් නියත සංඛ්යාවකින් ගුණ කිරීමෙනි - හරය, උදාහරණයක් ලෙස, පළමු සාමාජිකයා 1, හරය 2, පිළිවෙලින්, එවිට:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ජ්යාමිතික ප්රගතියේ වත්මන් සාමාජිකයාගේ අගය;
b n+1 - ජ්යාමිතික ප්රගතියේ ඊළඟ සාමාජිකයාගේ සූත්රය;
q යනු ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරයයි (ස්ථාවර සංඛ්යාව).
අංක ගණිත ප්රගතියක ප්‍රස්ථාරය සරල රේඛාවක් නම්, ජ්යාමිතික එක තරමක් වෙනස් චිත්‍රයක් අඳියි:
අංක ගණිතයේ දී මෙන්, ජ්යාමිතික ප්රගතියඅත්තනෝමතික සාමාජිකයෙකුගේ වටිනාකම සඳහා සූත්රයක් ඇත. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ඕනෑම n-th පදයක් පළමු පදයේ ගුණිතයට සමාන වන අතර n හි බලයට ප්‍රගමනයේ හරය එකකින් අඩු වේ:
උදාහරණයක්. අපට පළමු පදය 3 ට සමාන වන අතර ප්රගතියේ හරය 1.5 ට සමාන ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඇත. ප්රගතියේ 5 වැනි වාරය සොයන්න
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
ලබා දී ඇති සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාවක එකතුව විශේෂ සූත්රයක් භාවිතයෙන් ද ගණනය කෙරේ. ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ප්රගතියේ n වන සාමාජිකයාගේ ගුණිතය සහ එහි හරය සහ ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයා අතර වෙනසට සමාන වේ, එකකින් අඩු කරන ලද හරයෙන් බෙදනු ලැබේ:
ඉහත සාකච්ඡා කළ සූත්රය භාවිතයෙන් b n ප්‍රතිස්ථාපනය කළහොත්, සලකා බලන සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ පළමු n සාමාජිකයන්ගේ එකතුවේ අගය පෝරමය ගනී:
උදාහරණයක්. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනය ආරම්භ වන්නේ පළමු පදය 1 ට සමාන වේ. හරය 3 ට සමාන ලෙස සකසා ඇත. අපි පළමු පද අටේ එකතුව සොයා ගනිමු.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
සෑම ස්වභාවික අංකයක්ම නම් n තාත්වික අංකයක් ගළපන්න a n , එතකොට දෙනවා කියලා කියනවා සංඛ්යා අනුපිළිවෙල :
ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . , a n , . . . .
එබැවින් සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් යනු ස්වභාවික තර්කයක ශ්‍රිතයකි.
අංකය ඒ 1 කියලා අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා , අංකය ඒ 2 — අනුපිළිවෙලෙහි දෙවන සාමාජිකයා , අංකය ඒ 3 — තෙවන සහ යනාදි. අංකය a n කියලා අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා , සහ ස්වභාවික අංකය n — ඔහුගේ අංකය .
අසල්වැසි සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුගෙන් a n හා a n +1 සාමාජික අනුපිළිවෙල a n +1 කියලා පසුව (දෙසට a n ), ඒ a n — කලින් (දෙසට a n +1 ).
අනුපිළිවෙලක් නියම කිරීම සඳහා, ඔබට ඕනෑම අංකයක් සමඟ අනුක්‍රමික සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසන ක්රමයක් සඳහන් කළ යුතුය.
බොහෝ විට අනුපිළිවෙල ලබා දී ඇත n වන වාර සූත්ර , එනම්, අනුක්‍රමික සාමාජිකයෙකු එහි අංකය අනුව තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූත්‍රයකි.
උදාහරණ වශයෙන්,
ධන ඔත්තේ සංඛ්යා අනුපිළිවෙල සූත්‍රයෙන් ලබා දිය හැක
a n= 2n- 1,
සහ ප්රත්යාවර්ත කිරීමේ අනුපිළිවෙල 1 හා -1 - සූත්රය
බී n = (-1)n +1 . ◄
අනුපිළිවෙල තීරණය කළ හැකිය පුනරාවර්තන සූත්රය, එනම්, පෙර (එකක් හෝ වැඩි) සාමාජිකයින් හරහා, සමහරෙකුගෙන් ආරම්භ වන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සාමාජිකයෙකු ප්‍රකාශ කරන සූත්‍රයකි.
උදාහරණ වශයෙන්,
නම් ඒ 1 = 1 , ඒ a n +1 = a n + 5
ඒ 1 = 1,
ඒ 2 = ඒ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ඒ 3 = ඒ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ඒ 4 = ඒ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ඒ 5 = ඒ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
අ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , ඉන්පසු සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයින් හත්දෙනා පහත පරිදි සකසා ඇත:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
ඒ 6 = ඒ 4 + ඒ 5 = 3 + 5 = 8,
ඒ 7 = ඒ 5 + ඒ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
අනුපිළිවෙලවල් විය හැකිය අවසාන හා නිමක් නැති .
අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ අවසාන එහි සීමිත සාමාජිකයින් සංඛ්යාවක් සිටී නම්. අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ නිමක් නැති එහි අනන්තවත් සාමාජිකයන් සිටී නම්.
උදාහරණ වශයෙන්,
ඉලක්කම් දෙකක ස්වභාවික සංඛ්යා අනුපිළිවෙල:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
අවසාන.
ප්‍රමුඛ සංඛ්යා අනුපිළිවෙල:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
නිමක් නැති. ◄
අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ වැඩි වෙනවා , එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් පටන් ගෙන, පෙර එකට වඩා වැඩි නම්.
අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ හීන වෙමින් පවතී , එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් පටන් ගෙන, පෙර එකට වඩා අඩු නම්.
උදාහරණ වශයෙන්,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ආරෝහණ අනුපිළිවෙලකි;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . අවරෝහණ අනුපිළිවෙලකි. ◄
වැඩිවන සංඛ්යාව සමඟ මූලද්රව්ය අඩු නොවන හෝ අනෙක් අතට වැඩි නොවන අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ ඒකාකාරී අනුපිළිවෙල .
ඒකාකාරී අනුපිළිවෙල, විශේෂයෙන්, අනුපිළිවෙල වැඩි කිරීම සහ අනුපිළිවෙල අඩු වේ.
අංක ගණිතමය ප්රගතිය
අංක ගණිතමය ප්රගතිය අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, එම අංකයම එකතු කරන ලද පෙර එකට සමාන වේ.
ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . , a n, . . .
කිසියම් දෙයක් සඳහා නම් අංක ගණිතමය ප්රගතියක් වේ ස්වභාවික අංකය n කොන්දේසිය සපුරා ඇත:
a n +1 = a n + ඈ,
කොහෙද ඈ - යම් අංකයක්.
මේ අනුව, දී ඇති අංක ගණිත ප්රගතියක ඊළඟ සහ පෙර සාමාජිකයන් අතර වෙනස සැමවිටම නියත වේ:
a 2 - ඒ 1 = a 3 - ඒ 2 = . . . = a n +1 - a n = ඈ.
අංකය ඈ කියලා අංක ගණිතමය ප්රගතියක වෙනස.
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු පදය සහ වෙනස සඳහන් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
උදාහරණ වශයෙන්,
නම් ඒ 1 = 3, ඈ = 4 , එවිට අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද පහ පහත පරිදි දක්නට ලැබේ:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + ඈ = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + ඈ= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + ඈ= 11 + 4 = 15,
ඒ 5 = ඒ 4 + ඈ= 15 + 4 = 19. ◄
පළමු වාරය සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සඳහා ඒ 1 සහ වෙනස ඈ ඇය n
a n = a 1 + (n- 1)ඈ
උදාහරණ වශයෙන්,
අංක ගණිත ප්රගතියක තිස්වන පදය සොයා ගන්න
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, ඈ = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = ඒ 1 + nd,
එවිට පැහැදිලිවම
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
දෙවන සිට ආරම්භ වන අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ එක් එක් සාමාජිකයා පෙර සහ පසු සාමාජිකයන්ගේ අංක ගණිත මධ්යන්යයට සමාන වේ.
අංක a, b සහ c සමහර අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක අනුගාමී සාමාජිකයන් වන්නේ ඒවායින් එකක් අනෙක් දෙකේ ගණිත මධ්යන්යයට සමාන නම් සහ පමණි.
උදාහරණ වශයෙන්,
a n = 2n- 7 , අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකි.
ඉහත ප්රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
එය සටහන් කර ගන්න n - අංක ගණිත ප්රගතියක සාමාජිකයා සොයා ගත හැක්කේ හරහා පමණක් නොවේ ඒ 1 , නමුත් ඕනෑම පෙර කේ
a n = කේ + (n- කේ)ඈ.
උදාහරණ වශයෙන්,
සදහා ඒ 5 ලිවිය හැක
a 5 = a 1 + 4ඈ,
a 5 = a 2 + 3ඈ,
a 5 = a 3 + 2ඈ,
a 5 = a 4 + ඈ. ◄
a n = n-k + kd,
a n = n+k - kd,
එවිට පැහැදිලිවම
| a n=
| ඒ n-k
+අ n+k
|
| 2
|
අංක ගණිත ප්රගතියක ඕනෑම සාමාජිකයෙකු, දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර, මෙම අංක ගණිත ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ එකතුවෙන් අඩකට සමාන වේ.
ඊට අමතරව, ඕනෑම ගණිතමය ප්රගතියක් සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
උදාහරණ වශයෙන්,
අංක ගණිතමය ප්රගතිය තුළ
1) ඒ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ඒ 9 + ඒ 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7ඈ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, නිසා
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
එස් එන්= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
පළමුවන n අංක ගණිතමය ප්රගතියක සාමාජිකයන් පද ගණනින් ආන්තික නියමවල එකතුවෙන් අඩක ගුණිතයට සමාන වේ:
මෙයින්, විශේෂයෙන්, එය නියමයන් සාරාංශ කිරීමට අවශ්ය නම් එය අනුගමනය කරයි
කේ, කේ +1 , . . . , a n,
එවිට පෙර සූත්රය එහි ව්‍යුහය රඳවා ගනී:
උදාහරණ වශයෙන්,
අංක ගණිතමය ප්රගතිය තුළ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
එස් 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = එස් 10 - එස් 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ලබා දෙන්නේ නම්, ප්‍රමාණ ඒ 1 , a n, ඈ, nහාඑස් n සූත්ර දෙකකින් සම්බන්ධ කර ඇත:
එමනිසා, මෙම ප්‍රමාණවලින් තුනක අගයන් ලබා දෙන්නේ නම්, අනෙක් ප්‍රමාණ දෙකේ අනුරූප අගයන් මෙම සූත්ර වලින් තීරණය වන්නේ නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියකට ඒකාබද්ධ කරමිනි.
අංක ගණිතමය ප්රගතියඒකාකාරී අනුපිළිවෙලකි. එහි:
- නම් ඈ > 0 , එවිට එය වැඩි වෙමින් පවතී;
- නම් ඈ < 0 , එවිට එය අඩු වේ;
- නම් ඈ = 0 , එවිට අනුපිළිවෙල ස්ථාවර වනු ඇත.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය
ජ්යාමිතික ප්රගතිය අනුක්‍රමයක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි සෑම පදයක්ම, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, පෙර එකට සමාන වන අතර, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ.
බී 1 , බී 2 , බී 3 , . . . , b n, . . .
කිසියම් ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා නම් ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි n කොන්දේසිය සපුරා ඇත:
b n +1 = b n · q,
කොහෙද q ≠ 0 - යම් අංකයක්.
මේ අනුව, මෙම ජ්යාමිතික ප්රගතියේ මීළඟ වාරයේ අනුපාතය පෙර එකට නියත අංකයකි:
බී 2 / බී 1 = බී 3 / බී 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
අංකය q කියලා ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සැකසීමට, එහි පළමු වාරය සහ හරය සඳහන් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
උදාහරණ වශයෙන්,
නම් බී 1 = 1, q = -3 , එවිට අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පද පහ පහත පරිදි දක්නට ලැබේ:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
බී 5 = බී 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
බී 1 සහ හරය q ඇය n -වන පදය සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැක:
b n = බී 1 · q n -1 .
උදාහරණ වශයෙන්,
ජ්යාමිතික ප්රගතියක හත්වන පදය සොයා ගන්න 1, 2, 4, . . .
බී 1 = 1, q = 2,
බී 7 = බී 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = බී 1 · q n,
එවිට පැහැදිලිවම
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, පෙර සහ පසු සාමාජිකයන්ගේ ජ්යාමිතික මධ්යන්ය (සමානුපාතික) ට සමාන වේ.
ප්‍රතිවර්තනය ද සත්ය බැවින්, පහත ප්රකාශය දරයි:
සංඛ්යා a, b සහ c යම් ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක අනුගාමී සාමාජිකයන් වන්නේ ඒවායින් එකක වර්ගය අනෙක් දෙකේ ගුණිතයට සමාන නම් පමණි, එනම් සංඛ්යා වලින් එකක් අනෙක් දෙකේ ජ්යාමිතික මධ්යන්යය වේ.
උදාහරණ වශයෙන්,
සූත්‍රයෙන් දෙන අනුපිළිවෙල බව ඔප්පු කරමු b n= -3 2 n , ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි. ඉහත ප්රකාශය භාවිතා කරමු. අපිට තියනවා:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
අවශ්ය ප්රකාශය සනාථ කරයි. ◄
එය සටහන් කර ගන්න n ජ්යාමිතික ප්රගතියක පදය සොයා ගත හැක්කේ හරහා පමණක් නොවේ බී 1 , නමුත් ඕනෑම පෙර වාරයක් ද ආ කේ , ඒ සඳහා සූත්රය භාවිතා කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ
b n = ආ කේ · q n - කේ.
උදාහරණ වශයෙන්,
සදහා බී 5 ලිවිය හැක
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = ආ කේ · q n - කේ,
b n = b n - කේ · q k,
එවිට පැහැදිලිවම
b n 2 = b n - කේ· b n + කේ
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ වර්ග, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, මෙම ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ.
ඊට අමතරව, ඕනෑම ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහා, සමානාත්මතාවය සත්ය වේ:
b m· b n= ආ කේ· b l,
එම්+ n= කේ+ එල්.
උදාහරණ වශයෙන්,
ඝාතීය ලෙස
1) බී 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = බී 5 · බී 7 ;
2) 1024 = බී 11 = බී 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) බී 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = බී 4 · බී 8 ;
4) බී 2 · බී 7 = බී 4 · බී 5 , නිසා
බී 2 · බී 7 = 2 · 64 = 128,
බී 4 · බී 5 = 8 · 16 = 128. ◄
එස් එන්= බී 1 + බී 2 + බී 3 + . . . + b n
පළමුවන n හරයක් සහිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයන් q ≠ 0 සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
සහ කවදාද q = 1 - සූත්රය අනුව
එස් එන්= n.b 1
අපට නියමයන් සාරාංශ කිරීමට අවශ්ය නම් බව සලකන්න
ආ කේ, ආ කේ +1 , . . . , b n,
එවිට සූත්රය භාවිතා වේ:
| එස් එන්- Sk -1 = ආ කේ + ආ කේ +1 + . . . + b n = ආ කේ · | 1 - q n -
කේ +1
| . |
| 1 - q
|
උදාහරණ වශයෙන්,
ඝාතීය ලෙස 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
එස් 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = එස් 10 - එස් 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දෙන්නේ නම්, ප්‍රමාණ බී 1 , b n, q, nහා එස් එන් සූත්ර දෙකකින් සම්බන්ධ කර ඇත:
එමනිසා, මෙම ප්‍රමාණවලින් ඕනෑම තුනක අගයන් ලබා දෙන්නේ නම්, අනෙක් ප්‍රමාණ දෙකේ අනුරූප අගයන් මෙම සූත්‍රවලින් තීරණය වන්නේ නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියකට ඒකාබද්ධ කරමිනි.
පළමු වාරය සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහා බී 1 සහ හරය q පහත සඳහන් දේ සිදු වේ monotonicity ගුණ :
- පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් ප්රගතිය වැඩි වේ:
බී 1 > 0 හා q> 1;
බී 1 < 0 හා 0 < q< 1;
- පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් ප්රගතිය අඩු වේ:
බී 1 > 0 හා 0 < q< 1;
බී 1 < 0 හා q> 1.
අ q< 0 , එවිට ජ්යාමිතික ප්රගතිය සංඥා-ප්රත්යාවර්ත වේ: එහි ඔත්තේ-සංඛ්යා නියමවලට එහි පළමු පදයට සමාන ලකුණක් ඇති අතර ඉරට්ටේ-සංඛ්යා නියමයන්ට ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ඇත. ප්රත්යාවර්ත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඒකාකාරී නොවන බව පැහැදිලිය.
පළමු නිෂ්පාදනය n ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමයන් සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැක:
පී එන්= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
උදාහරණ වශයෙන්,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
ජ්යාමිතික ප්රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම
ජ්යාමිතික ප්රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම ට වඩා අඩු හරය මාපාංකය අසීමිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් ලෙස හැඳින්වේ 1 , එනම්
|q| < 1 .
අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක් අඩුවන අනුපිළිවෙලක් නොවිය හැකි බව සලකන්න. මෙය නඩුවට ගැලපේ
1 < q< 0 .
එවැනි හරයක් සමඟ, අනුපිළිවෙල සංඥා-ප්රත්යාවර්ත වේ. උදාහරණ වශයෙන්,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක එකතුව පළමු එකතුව ඇති අංකය නම් කරන්න n සංඛ්යාවෙහි අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ ප්රගතියේ නියමයන් n . මෙම අංකය සෑම විටම සීමිත වන අතර එය සූත්රය මගින් ප්‍රකාශ වේ
| එස්= බී 1 + බී 2 + බී 3 + . . . = | බී 1
| . |
| 1 - q
|
උදාහරණ වශයෙන්,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
අංක ගණිත හා ජ්යාමිතික ප්රගතිය අතර සම්බන්ධතාවය
අංක ගණිතය සහ ජ්යාමිතික ප්රගතිය සමීපව සම්බන්ධ වේ. අපි උදාහරණ දෙකක් පමණක් සලකා බලමු.
ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , . . . ඈ , එවිට
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
උදාහරණ වශයෙන්,
1, 3, 5, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය 2 හා
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . හරයක් සහිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි 7 2 . ◄
බී 1 , බී 2 , බී 3 , . . . හරයක් සහිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි q , එවිට
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය ලඝු-සටහන aq .
උදාහරණ වශයෙන්,
2, 12, 72, . . . හරයක් සහිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි 6 හා
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය lg 6 . ◄
උදාහරණයක් ලෙස, අනුපිළිවෙල \(2\); \(5\); \(අට\); \(එකොළොස්\); \(14\)... යනු අංක ගණිතමය ප්රගතියකි, මන්ද සෑම ඊලඟ මූලද්‍රව්‍යයක්ම පෙර තිබූ එකට වඩා තුනෙන් වෙනස් වේ (තුනක් එකතු කිරීමෙන් පෙර එකෙන් ලබාගත හැක):
මෙම ප්‍රගමනයේ දී, වෙනස \(d\) ධනාත්මක වේ (\(3\) ට සමාන), එබැවින් සෑම ඊළඟ වාරයක්ම පෙර එකට වඩා වැඩි වේ. එවැනි ප්රගතිය හැඳින්වේ වැඩි වෙනවා.
කෙසේ වෙතත්, \(d\) ද සෘණ අංකයක් විය හැක. උදාහරණ වශයෙන්, අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ \(16\); \(දස\); \(හතර\); \(-2\); \(-8\)... ප්රගති වෙනස \(d\) සෘණ හයට සමාන වේ.
තවද මෙම අවස්ථාවේදී, එක් එක් ඊළඟ මූලද්රව්යය පෙර එකට වඩා අඩු වනු ඇත. මෙම ප්රගතිය හැඳින්වේ අඩු වෙනවා.
අංක ගණිතමය ප්රගති අංකනය
ප්රගතිය කුඩා ලතින් අකුරකින් දැක්වේ.
ප්රගතියක් ඇති කරන සංඛ්යා එය ලෙස හැඳින්වේ සාමාජිකයින්(හෝ මූලද්රව්ය).
ඒවා අංක ගණිතමය ප්රගතිය ලෙස එකම අකුරකින් දක්වා ඇත, නමුත් අනුපිළිවෙලින් මූලද්රව්ය අංකයට සමාන සංඛ්යාත්මක දර්ශකයක් ඇත.
උදාහරණයක් ලෙස, අංක ගණිත ප්‍රගමනය \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) මූලද්රව්ය \(a_1=2\) සමන්විත වේ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) සහ යනාදිය.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ප්රගතිය සඳහා \(a_n = \වම\(2; 5; 8; 11; 14...\දකුණ\)\)
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් මත ගැටලු විසඳීම
ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඉහත තොරතුරු දැනටමත් ගණිතමය ප්රගතියක (OGE හි ඉදිරිපත් කරන ලද ඒවා ඇතුළුව) ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමට ප්‍රමාණවත් වේ.
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිත ප්රගතිය \(b_1=7; d=4\) කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත. සොයන්න \(b_5\).
විසඳුමක්:
පිළිතුර: \(b_5=23\)
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිතමය ප්රගතියක පළමු පද තුන ලබා දී ඇත: \(62; 49; 36...\) මෙම ප්රගතියේ පළමු සෘණ පදයේ අගය සොයන්න.
විසඳුමක්:
|
අපට අනුපිළිවෙලෙහි පළමු අංග ලබා දී ඇති අතර එය අංක ගණිතමය ප්රගතියක් බව දනිමු. එනම්, සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම අසල්වැසියාට වඩා එකම සංඛ්‍යාවෙන් වෙනස් වේ. ඊළඟ මූලද්‍රව්‍යයෙන් පෙර එක අඩු කිරීමෙන් කුමන එකක්දැයි සොයා බලන්න: \(d=49-62=-13\). |
|
|
දැන් අපට අපගේ ප්රගතිය අවශ්ය (පළමු සෘණ) මූලද්‍රව්‍යයට ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය. |
|
|
සූදානම්. ඔබට පිළිතුරක් ලිවිය හැකිය. |
පිළිතුර: \(-3\)
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක අනුප්‍රාප්තික මූලද්රව්ය කිහිපයක් ලබා දී ඇත: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) අක්ෂරයෙන් දැක්වෙන මූලද්රව්යයේ අගය සොයන්න.
විසඳුමක්:
|
|
\(x\) සොයා ගැනීමට, ඊළඟ මූලද්රව්යය පෙර තිබූ එකට වඩා, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, ප්රගති වෙනසට වඩා කොපමණ වෙනස් වේද යන්න අප දැනගත යුතුය. දන්නා අසල්වැසි මූලද්රව්ය දෙකකින් එය සොයා ගනිමු: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
දැන් අපි සොයන දේ කිසිදු ගැටළුවක් නොමැතිව අපට සොයාගත හැකිය: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
සූදානම්. ඔබට පිළිතුරක් ලිවිය හැකිය. |
පිළිතුර: \(7,5\).
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිත ප්රගතිය පහත කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) මෙම ප්රගතියේ පළමු පද හයෙහි එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:
|
ප්රගතියේ පළමු පද හයෙහි එකතුව අපට සෙවිය යුතුය. නමුත් අපි ඒවායේ තේරුම නොදනිමු, අපට ලබා දී ඇත්තේ පළමු අංගය පමණි. එමනිසා, අපි මුලින්ම අපට ලබා දී ඇති අගයන් භාවිතා කරමින් අගයන් ගණනය කරමු: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
ඉල්ලූ මුදල සොයාගෙන ඇත. |
පිළිතුර: \(S_6=9\).
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ දී \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). මෙම ප්රගතියේ වෙනස සොයන්න.
විසඳුමක්:
පිළිතුර: \(d=7\).
වැදගත් අංක ගණිත ප්රගති සූත්ර
ඔබට පෙනෙන පරිදි, බොහෝ ගණිතමය ප්රගති ගැටළු ප්‍රධාන දෙය තේරුම් ගැනීමෙන් සරලව විසඳිය හැකිය - අංක ගණිත ප්රගතියක් යනු සංඛ්යා දාමයක් වන අතර, මෙම දාමයේ සෑම ඊළඟ මූලද්‍රව්‍යයක්ම ලබා ගන්නේ පෙර එකට එකම අංකය එකතු කිරීමෙන් (වෙනස ප්රගතිය පිළිබඳ).
කෙසේ වෙතත්, සමහර විට "නළලේ" විසඳීමට ඉතා අපහසු වන අවස්ථා තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු උදාහරණයේදීම, අප සොයා ගත යුත්තේ \(b_5\) පස්වන මූලද්රව්යය නොව තුන්සිය අසූ හයවන \(b_(386)\) බව සිතන්න. එය කුමක්ද, අපි හතරක් එකතු කිරීමට \ (385 \) වරක්? නැතහොත් අවසාන උදාහරණයේදී, ඔබ පළමු මූලද්රව්ය හැත්තෑ තුනේ එකතුව සොයා ගත යුතු යැයි සිතන්න. ගණන් කිරීම අවුල් සහගතයි ...
එමනිසා, එවැනි අවස්ථාවලදී, ඔවුන් "නළලේ" විසඳන්නේ නැත, නමුත් අංක ගණිත ප්රගතිය සඳහා ව්යුත්පන්න විශේෂ සූත්ර භාවිතා කරයි. තවද ප්‍රධාන ඒවා වන්නේ ප්රගතියේ n වැනි වාරය සඳහා වන සූත්රය සහ පළමු පදවල එකතුව \(n\) සඳහා වන සූත්‍රයයි.
\(n\)th සාමාජිකයා සඳහා සූත්රය: \(a_n=a_1+(n-1)d\), මෙහි \(a_1\) ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයා වේ;
\(n\) - අවශ්ය මූලද්රව්ය සංඛ්යාව;
\(a_n\) යනු \(n\) අංකය සහිත ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකි.
මෙම සූත්රය මඟින් අපට පළමු සහ ප්රගති වෙනස පමණක් දැනගෙන අවම වශයෙන් තුන්සිය වන, මිලියන වැනි මූලද්රව්යය පවා ඉක්මනින් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
උදාහරණයක්.
අංක ගණිත ප්රගතිය කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). සොයන්න \(b_(246)\).
විසඳුමක්:
පිළිතුර: \(b_(246)=1850\).
පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්රය වන්නේ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\),
\(a_n\) යනු අවසාන සාරාංශ පදයයි;
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිතමය ප්රගතිය \(a_n=3.4n-0.6\) කොන්දේසි මගින් දෙනු ලැබේ. මෙම ප්රගතියේ පළමු \(25\) නියමවල එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
පළමු මූලද්රව්ය විසිපහෙහි එකතුව ගණනය කිරීම සඳහා, අපි පළමු සහ විසිපස්වන පදයේ අගය දැනගත යුතුය. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
දැන් අපි \(n\) වෙනුවට විසිපහක් ආදේශ කර විසිපස්වන වාරය සොයා ගනිමු. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
හොඳයි, දැන් අපි කිසිදු ගැටළුවක් නොමැතිව අවශ්ය ප්රමාණය ගණනය කරමු. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
පිළිතුර සූදානම්. |
පිළිතුර: \(S_(25)=1090\).
පළමු නියමවල එකතුව \(n\) සඳහා, ඔබට වෙනත් සූත්රයක් ලබා ගත හැක: ඔබට අවශ්ය වන්නේ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) වෙනුවට ඒ සඳහා සූත්රය ආදේශ කරන්න \(a_n=a_1+(n-1)d\). අපට ලැබෙන්නේ:
පළමු n නියමවල එකතුව සඳහා සූත්රය වන්නේ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\),
\(S_n\) – පළමු මූලද්‍රව්‍යවල අවශ්ය එකතුව \(n\);
\(a_1\) යනු සාරාංශ කළ යුතු පළමු පදයයි;
\(d\) - ප්රගති වෙනස;
\(n\) - එකතුවේ ඇති මූලද්රව්ය ගණන.
උදාහරණයක්.
අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු \(33\)-ex නියමවල එකතුව සොයන්න: \(17\); \(15,5\); \(දාහතර\)…
විසඳුමක්:
පිළිතුර: \(S_(33)=-231\).
වඩාත් සංකීර්ණ අංක ගණිතමය ප්රගති ගැටළු
දැන් ඔබට ඕනෑම ගණිතමය ප්රගති ගැටලුවක් විසඳීමට අවශ්ය සියලුම තොරතුරු තිබේ. ඔබට සූත්ර යෙදීමට පමණක් නොව, මඳක් සිතීමට ද අවශ්ය ගැටළු සලකා බලා මාතෘකාව අවසන් කරමු (ගණිතයේදී, මෙය ප්රයෝජනවත් විය හැකිය ☺)
උදාහරණය (OGE).
ප්රගතියේ සියලුම සෘණ පදවල එකතුව සොයන්න: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
විසඳුමක්:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
කාර්යය පෙර එකට බෙහෙවින් සමාන ය. අපි එකම ආකාරයකින් විසඳීමට පටන් ගනිමු: පළමුව අපි \(d\) සොයා ගනිමු. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
දැන් එකතුව සඳහා සූත්‍රයේ \ (d \) ආදේශ කිරීමට ... සහ මෙන්න එය උත්පතන වේ කුඩා nuance– අපි දන්නේ නැහැ \(n\). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, කොපමණ පද එකතු කළ යුතුදැයි අපි නොදනිමු. සොයා ගන්නේ කෙසේද? අපි හිතමු. අපි පළමු ධනාත්මක මූලද්‍රව්‍යයට පැමිණි විට මූලද්රව්ය එකතු කිරීම නවත්වන්නෙමු. එනම්, ඔබ මෙම මූලද්රව්යයේ අංකය සොයා ගත යුතුය. කෙසේද? අංක ගණිත ප්රගතියක ඕනෑම මූලද්‍රව්‍යයක් ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය ලියා ගනිමු: අපගේ නඩුව සඳහා \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
අපට \(a_n\) ශුන්‍යයට වඩා වැඩි වීමට අවශ්‍යයි. මේ \(n\) කුමක් සිදුවේදැයි සොයා බලමු. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
අපි අසමානතාවයේ දෙපැත්තම \(0,3\) මගින් බෙදන්නෙමු. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
අපි ලකුණු වෙනස් කිරීමට අමතක නොකර, අඩු එකක් මාරු කරමු |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
ගණනය කිරීම... |
|
|
\(n>65,333...\) |
…සහ පළමු ධන මූලද්රව්යයේ \(66\) අංකය ඇති බව පෙනේ. ඒ අනුව, අවසාන සෘණ අගය \(n=65\) ඇත. යම් අවස්ථාවක, අපි එය පරීක්ෂා කර බලමු. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
මේ අනුව, අපි පළමු \(65\) මූලද්රව්ය එකතු කළ යුතුය. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
පිළිතුර සූදානම්. |
පිළිතුර: \(S_(65)=-630.5\).
උදාහරණය (OGE).
අංක ගණිත ප්රගතිය කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). මූලද්රව්ය ඇතුළුව \(26\)th සිට \(42\) දක්වා එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
මෙම ගැටලුවේදී, ඔබ මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව සොයා ගැනීමටද අවශ්ය වේ, නමුත් පළමුවැන්නෙන් නොව \(26\)වන සිට ආරම්භ වේ. මේ සඳහා අපට සූත්රයක් නැත. තීරණය කරන්නේ කෙසේද? |
|
|
අපගේ ප්රගතිය සඳහා \(a_1=-33\), සහ වෙනස \(d=4\) (සියල්ලට පසු, අපි ඊළඟ එක සොයා ගැනීමට පෙර මූලද්‍රව්‍යයට හතරක් එකතු කරමු). මෙය දැන ගැනීමෙන්, අපි පළමු \(42\)-uh මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව සොයා ගනිමු. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
දැන් පළමු \(25\)-වැනි මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
අවසාන වශයෙන්, අපි පිළිතුර ගණනය කරමු. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
පිළිතුර: \(S=1683\).
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් සඳහා, ඒවායේ අඩු ප්‍රායෝගික ප්‍රයෝජනය නිසා මෙම ලිපියෙන් අප සලකා බැලූ තවත් සූත්ර කිහිපයක් තිබේ. කෙසේ වෙතත්, ඔබට ඒවා පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය.
ඔව්, ඔව්: අංක ගණිත ප්රගතිය ඔබට සෙල්ලම් බඩුවක් නොවේ :) හොඳයි, මිත්‍රවරුනි, ඔබ මෙම පෙළ කියවන්නේ නම්, අභ්‍යන්තර තොප්පිය සාක්ෂි මට පවසන්නේ ඔබ තවමත් අංක ගණිත ප්රගතිය යනු කුමක්දැයි නොදන්නා නමුත් ඔබට ඇත්ත වශයෙන්ම (නැත, මේ වගේ: SOOOOO!) දැන ගැනීමට අවශ්ය බවයි. එමනිසා, මම දිගු හැඳින්වීම් වලින් ඔබට වධ හිංසා නොකරන අතර වහාම ව්‍යාපාරයට බසිමි.
ආරම්භ කිරීමට, උදාහරණ කිහිපයක්. සංඛ්යා කට්ටල කිහිපයක් සලකා බලන්න:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
මෙම සියලු කට්ටලවලට පොදු වන්නේ කුමක්ද? මුලින්ම බැලූ බැල්මට කිසිවක් නැත. නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම යමක් තිබේ. එනම්: සෑම ඊලඟ මූලද්‍රව්‍යයක්ම පෙර එකට වඩා එකම සංඛ්‍යාවෙන් වෙනස් වේ.
ඔබම විනිශ්චය කරන්න. පළමු කට්ටලය අනුක්‍රමික සංඛ්යා පමණි, ඒ සෑම එකක්ම පෙර එකට වඩා වැඩිය. දෙවන නඩුවේදී, යාබද සංඛ්යා අතර වෙනස දැනටමත් පහකට සමාන වේ, නමුත් මෙම වෙනස තවමත් නියත වේ. තෙවන නඩුවේදී, සාමාන්යයෙන් මූලයන් ඇත. කෙසේ වෙතත්, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. එක් එක් ඊලඟ මූලද්රව්ය $\sqrt(2)$ කින් වැඩි වේ (මෙම සංඛ්යාව අතාර්කික යැයි බිය නොවන්න).
ඉතින්: එවැනි සියලුම අනුපිළිවෙලවල් අංක ගණිතමය ප්රගති ලෙස හැඳින්වේ. අපි දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙමු:
අර්ථ දැක්වීම. එක් එක් ඊලඟ සංඛ්යා පෙර එකට වඩා හරියටම සමාන ප්‍රමාණයකින් වෙනස් වන සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් අංක ගණිත ප්රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ. සංඛ්යා වෙනස් වන ප්රමාණය ප්රගති වෙනස ලෙස හැඳින්වෙන අතර බොහෝ විට $d$ අකුරින් දැක්වේ.
අංකනය: $\left(((a)_(n)) \right)$ යනු ප්‍රගතියම වේ, $d$ යනු එහි වෙනසයි.
සහ වැදගත් අදහස් කිහිපයක් පමණි. පළමුව, ප්රගතිය පමණක් සලකනු ලැබේ පිළිවෙළකටඅංක අනුපිළිවෙල: ඒවා ලියා ඇති අනුපිළිවෙලට දැඩි ලෙස කියවීමට අවසර ඇත - වෙන කිසිවක් නැත. ඔබට අංක නැවත සකස් කිරීමට හෝ හුවමාරු කිරීමට නොහැක.
දෙවනුව, අනුපිළිවෙලම පරිමිත හෝ අසීමිත විය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, කට්ටලය (1; 2; 3) පැහැදිලිවම සීමිත අංක ගණිතමය ප්රගතියකි. නමුත් ඔබ (1; 2; 3; 4; ...) වැනි දෙයක් ලියන්නේ නම් - මෙය දැනටමත් අසීමිත ප්රගතියකි. හතරෙන් පසු ඇති ඉලිප්සාව, එය මෙන්, බොහෝ සංඛ්යා තවත් ඉදිරියට යන බවට ඉඟි කරයි. අනන්ත බොහෝ, උදාහරණයක් ලෙස. :)
ප්රගතිය වැඩි වෙමින් අඩුවෙමින් පවතින බව ද සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි. අපි දැනටමත් වැඩිවන ඒවා දැක ඇත්තෙමු - එකම කට්ටලය (1; 2; 3; 4; ...). පහත දැක්වෙන ප්රගතිය පිළිබඳ උදාහරණ මෙන්න:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
හරි හරි: අවසාන උදාහරණයඕනෑවට වඩා සංකීර්ණ බවක් පෙනෙන්නට පුළුවන. නමුත් ඉතිරිය, මම හිතන්නේ, ඔබට තේරෙනවා. එබැවින්, අපි නව අර්ථ දැක්වීම් හඳුන්වා දෙන්නෙමු:
අර්ථ දැක්වීම. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක් ලෙස හැඳින්වේ:
- එක් එක් ඊළඟ මූලද්රව්යය පෙර එකට වඩා වැඩි නම් වැඩි වීම;
- අඩු වීම, ඊට පටහැනිව, එක් එක් ඊළඟ මූලද්රව්යය පෙර එකට වඩා අඩු නම්.
ඊට අමතරව, ඊනියා "ස්ථාවර" අනුපිළිවෙලවල් ඇත - ඒවා එකම පුනරාවර්තන සංඛ්යාවකින් සමන්විත වේ. උදාහරණයක් ලෙස, (3; 3; 3; ...).
ඉතිරිව ඇත්තේ එක් ප්‍රශ්නයක් පමණි: වැඩිවන ප්රගතියක් අඩුවන එකකින් වෙන්කර හඳුනා ගන්නේ කෙසේද? වාසනාවකට මෙන්, මෙහි සෑම දෙයක්ම $d$ අංකයේ ලකුණ මත පමණක් රඳා පවතී, i.e. ප්රගතියේ වෙනස්කම්:
- $d \gt 0$ නම්, ප්රගතිය වැඩි වෙමින් පවතී;
- $d \lt 0$ නම්, ප්රගතිය පැහැදිලිවම අඩුවෙමින් පවතී;
- අවසාන වශයෙන්, $d=0$ නඩුව ඇත - මෙම අවස්ථාවේදී සම්පූර්ණ ප්රගතිය සමාන සංඛ්‍යාවල ස්ථාවර අනුක්‍රමයකට අඩු වේ: (1; 1; 1; 1; ...), ආදිය.
ඉහත අඩුවන ප්රගති තුන සඳහා $d$ වෙනස ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, යාබද මූලද්රව්ය දෙකක් (උදාහරණයක් ලෙස, පළමු සහ දෙවන) ගෙන දකුණු පස ඇති අංකයෙන්, වමේ අංකයෙන් අඩු කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. එය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අවස්ථා තුනෙහිම වෙනස ඇත්ත වශයෙන්ම ඍණාත්මක විය. දැන් අපි අර්ථ දැක්වීම් අඩු හෝ වැඩි වශයෙන් සොයාගෙන ඇති බැවින්, ප්රගතිය විස්තර කරන්නේ කෙසේද සහ ඒවායේ ඇති ගුණාංග මොනවාදැයි සොයා ගැනීමට කාලයයි.
ප්රගතිය සහ පුනරාවර්තන සූත්‍රයේ සාමාජිකයන්
අපගේ අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්ය එකිනෙකට හුවමාරු කළ නොහැකි බැවින්, ඒවා අංකනය කළ හැකිය:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\වම\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]
මෙම කට්ටලයේ තනි අංගයන් ප්රගතියේ සාමාජිකයන් ලෙස හැඳින්වේ. අංකයක් ආධාරයෙන් ඒවා මේ ආකාරයෙන් දක්වා ඇත: පළමු සාමාජිකයා, දෙවන සාමාජිකයා සහ යනාදිය.
ඊට අමතරව, අප දැනටමත් දන්නා පරිදි, ප්රගතියේ අසල්වැසි සාමාජිකයින් සූත්‍රයෙන් සම්බන්ධ වේ:
\[((අ)_(n))-((අ)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
කෙටියෙන් කිවහොත්, ප්රගතියේ $n$වන වාරය සොයා ගැනීමට, ඔබ $n-1$th පදය සහ $d$ වෙනස දැන සිටිය යුතුය. එවැනි සූත්රයක් පුනරාවර්තන ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද එහි ආධාරයෙන් ඔබට ඕනෑම අංකයක් සොයාගත හැකිය, පෙර එක දැන සිටීම පමණි (සහ ඇත්ත වශයෙන්ම, පෙර ඒවා සියල්ලම). මෙය ඉතා අපහසුයි, එබැවින් ඕනෑම ගණනය කිරීමක් පළමු වාරයට සහ වෙනසට අඩු කරන වඩාත් උපක්‍රමශීලී සූත්රයක් තිබේ:
\[((අ)_(n))=((අ)_(1))+\වම(n-1 \දකුණ)d\]
ඔබ බොහෝ විට මෙම සූත්රය මීට පෙර හමු වී ඇත. ඔවුන් එය සියලු වර්ගවල යොමු පොත් සහ reshebniks ලබා දීමට කැමතියි. තවද ගණිතය පිළිබඳ ඕනෑම සංවේදී පෙළපොතක එය පළමු එකකි.
කෙසේ වෙතත්, මම ඔබට ටිකක් පුහුණු කිරීමට යෝජනා කරනවා.
කාර්ය අංක 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු පද තුන ලියන්න.
විසඳුමක්. ඉතින්, අපි පළමු පදය $((a)_(1))=8$ සහ ප්රගති වෙනස $d=-5$ දනිමු. අපි දැන් ලබා දී ඇති සූත්රය භාවිතා කර $n=1$, $n=2$ සහ $n=3$ ආදේශ කරමු:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((අ)_(3))=((අ)_(1))+\වම(3-1 \දකුණ)d=((අ)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
පිළිතුර: (8; 3; -2)
එච්චරයි! අපගේ ප්රගතිය අඩුවෙමින් පවතින බව සලකන්න.
ඇත්ත වශයෙන්ම, $n=1$ ආදේශ කළ නොහැකි විය - අපි දැනටමත් පළමු වාරය දනිමු. කෙසේ වෙතත්, ඒකකය ආදේශ කිරීමෙන්, පළමු වාරය සඳහා පවා අපගේ සූත්රය ක්‍රියාත්මක වන බවට අපි වග බලා ගත්තෙමු. වෙනත් අවස්ථාවල දී, සෑම දෙයක්ම සරල අංක ගණිතයට පැමිණියේය.
කාර්ය අංක 2. එහි හත්වන වාරය −40 සහ දහහත්වන වාරය −50 නම් අංක ගණිත ප්රගතියක පළමු පද තුන ලියන්න.
විසඳුමක්. අපි ගැටලුවේ තත්වය සාමාන්‍ය වචන වලින් ලියන්නෙමු:
\[((අ)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \දකුණ.\]
මෙම අවශ්‍යතා එකවර සපුරාලිය යුතු නිසා මම පද්ධතියේ සලකුණ තැබුවෙමි. දැන් අපි පළමු සමීකරණය දෙවන සමීකරණයෙන් අඩු කළහොත් (මෙය කිරීමට අපට අයිතියක් ඇත, අපට පද්ධතියක් ඇති බැවින්) අපට මෙය ලැබේ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((අ)_(1))+16d-((අ)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
ඒ හා සමානව, අපි ප්රගති වෙනස සොයා ගත්තෙමු! පද්ධතියේ ඕනෑම සමීකරණයක සොයාගත් අංකය ආදේශ කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((අ)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]
දැන්, පළමු පදය සහ වෙනස දැන ගැනීමෙන්, දෙවන සහ තෙවන පද සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((අ)_(3))=((අ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
සූදානම්! ගැටලුව විසඳා ඇත.
පිළිතුර: (-34; -35; -36)
අප විසින් සොයාගත් ප්රගතියේ කුතුහලය දනවන ගුණාංගයක් සැලකිල්ලට ගන්න: අපි $n$th සහ $m$th නියමයන් ගෙන ඒවා එකිනෙකින් අඩු කළහොත්, ප්රගතියේ වෙනස $n-m$ අංකයෙන් ගුණ කළහොත් අපට ලැබේ:
\[((අ)_(n))-((අ)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
සරල නමුත් ඉතා ප්රයෝජනවත් දේපල, ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම දැනගත යුතු - එහි උපකාරයෙන් ඔබට ප්රගතියේ බොහෝ ගැටළු විසඳීම සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් කළ හැකිය. මෙන්න මේ සඳහා හොඳම උදාහරණයක්:
කාර්ය අංක 3. අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පස්වන වාරය 8.4 වන අතර එහි දසවන වාරය 14.4 වේ. මෙම ප්රගතියේ පහළොස්වන වාරය සොයන්න.
විසඳුමක්. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, සහ අපට $((a)_(15))$ සොයා ගැනීමට අවශ්ය බැවින්, අපි පහත සඳහන් දේ සටහන් කරමු:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((අ)_(10))-((අ)_(5))=5d. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
නමුත් කොන්දේසිය අනුව $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, එසේනම් $5d=6$, අපට ඇත්තේ කොතැනින්ද:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((අ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
පිළිතුර: 20.4
එච්චරයි! අපට කිසිදු සමීකරණ පද්ධතියක් රචනා කිරීමට සහ පළමු වාරය සහ වෙනස ගණනය කිරීමට අවශ්ය නොවීය - සියල්ල තීරණය වූයේ පේළි කිහිපයකින් පමණි.
දැන් අපි තවත් ආකාරයක ගැටලුවක් සලකා බලමු - ප්රගතියේ ඍණාත්මක සහ ධනාත්මක සාමාජිකයන් සෙවීම. ප්රගතිය වැඩි වුවහොත්, එහි පළමු වාරය සෘණාත්මක වන අතර, ඉක්මනින් හෝ පසුව ධනාත්මක පද එහි දිස්වන බව රහසක් නොවේ. සහ අනෙක් අතට: අඩුවන ප්රගතියක නියමයන් ඉක්මනින් හෝ පසුව ඍණාත්මක වනු ඇත.
ඒ අතරම, මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙලින් වර්ග කරමින් මෙම මොහොත “නළලේ” සොයා ගැනීම සැමවිටම කළ නොහැක්කකි. බොහෝ විට, ගැටළු නිර්මාණය කර ඇත්තේ සූත්ර නොදැන, ගණනය කිරීම් සඳහා පත්‍ර කිහිපයක් ගත වන ආකාරයටය - අපි පිළිතුර සොයා ගන්නා තෙක් අපි නිදා ගනිමු. එමනිසා, අපි මෙම ගැටළු ඉක්මනින් විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරමු.
කාර්ය අංක 4. අංක ගණිත ප්‍රගමනයක සෘණ පද කීයක් -38.5; -35.8; ...?
විසඳුමක්. ඉතින්, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, එයින් අපි වහාම වෙනස සොයා ගනිමු:
වෙනස ධනාත්මක බව සලකන්න, එබැවින් ප්රගතිය වැඩි වේ. පළමු පදය ඍණ වේ, එබැවින් ඇත්ත වශයෙන්ම යම් අවස්ථාවක දී අපි ධනාත්මක සංඛ්යා මත පැකිළෙනු ඇත. එකම ප්‍රශ්නය මෙය සිදුවන්නේ කවදාද යන්නයි.
අපි සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු: කොපමණ කාලයක් (එනම්, කුමන ස්වාභාවික අංකය $n$ දක්වා) නියමවල සෘණාත්මක බව සංරක්ෂණය කර තිබේද:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \දකුණ. \\ & -385+27\cdot \වම (n-1 \දකුණ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
අවසාන පේළිය පැහැදිලි කිරීම අවශ්ය වේ. ඉතින් අපි දන්නවා $n \lt 15\frac(7)(27)$ කියලා. අනෙක් අතට, සංඛ්‍යාවේ පූර්ණ සංඛ්යා අගයන් පමණක් අපට ගැලපේ (එපමනක් නොව: $n\in \mathbb(N)$), එබැවින් අවසර ලත් විශාලතම සංඛ්යාව හරියටම $n=15$ වන අතර කිසිම අවස්ථාවක 16 නොවේ.
කාර්ය අංක 5. අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ දී $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. මෙම ප්රගතියේ පළමු ධනාත්මක පදයේ අංකය සොයන්න.
මෙය හරියටම පෙර ගැටලුවට සමාන ගැටලුවක් වනු ඇත, නමුත් අපි $((a)_(1))$ නොදනිමු. නමුත් අසල්වැසි නියමයන් දනී: $((a)_(5))$ සහ $((a)_(6))$, එබැවින් අපට ප්රගති වෙනස පහසුවෙන් සොයාගත හැක:
ඊට අමතරව, සම්මත සූත්රය භාවිතයෙන් පළමු සහ වෙනස අනුව පස්වන පදය ප්‍රකාශ කිරීමට උත්සාහ කරමු:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((අ)_(5))=((අ)_(1))+4d; \\ & -150=((අ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((අ)_(1))=-150-12=-162. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
දැන් අපි පෙර ගැටලුව සමඟ සැසඳීමෙන් ඉදිරියට යන්නෙමු. අපගේ අනුක්‍රමයේ ධනාත්මක සංඛ්යා දිස්වන්නේ කුමන අවස්ථාවේදීදැයි අපි සොයා ගනිමු:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
මෙම අසමානතාවයේ අවම නිඛිල විසඳුම අංක 56 වේ.
අවසාන කාර්යයේදී සෑම දෙයක්ම දැඩි අසමානතාවයකට අඩු කර ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න, එබැවින් $n=55$ විකල්පය අපට නොගැලපේ.
දැන් අපි සරල ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගෙන ඇති අතර, අපි වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු වෙත යමු. නමුත් පළමුව, ගණිතමය ප්රගතියේ තවත් ඉතා ප්රයෝජනවත් ගුණාංගයක් ඉගෙන ගනිමු, එමඟින් අනාගතයේදී අපට බොහෝ කාලයක් සහ අසමාන සෛල ඉතිරි වේ. :)
අංක ගණිත මධ්යන්ය සහ සමාන ඉන්ඩෙන්ට්
$\left (((a)_(n)) \right)$ වැඩිවන අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ අඛණ්ඩ නියමයන් කිහිපයක් සලකා බලන්න. අපි ඒවා අංක රේඛාවක සලකුණු කිරීමට උත්සාහ කරමු:
අංක රේඛාවේ අංක ගණිත ප්රගති සාමාජිකයන්මම විශේෂයෙන් සඳහන් කළේ අත්තනෝමතික සාමාජිකයින් $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, සහ කිසිදු $((a)_(1)) , \ ((අ)_(2)),\ ((අ)_(3))$ ආදිය. මක්නිසාද යත්, මම දැන් ඔබට පවසන රීතිය ඕනෑම "කොටස්" සඳහාම ක්‍රියා කරන බැවිනි.
සහ රීතිය ඉතා සරල ය. අපි ප්‍රත්‍යාවර්තී සූත්රය මතක තබාගෙන එය සලකුණු කළ සියලුම සාමාජිකයන් සඳහා ලියා තබමු:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
කෙසේ වෙතත්, මෙම සමානතා වෙනස් ලෙස නැවත ලිවිය හැකිය:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((අ)_(n-2))=((අ)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
හොඳයි, ඉතින් මොකක්ද? නමුත් $((a)_(n-1))$ සහ $((a)_(n+1))$ යන නියමයන් $((a)_(n)) $ වෙතින් එකම දුරකින් පිහිටා තිබීමයි. . තවද මෙම දුර $d$ ට සමාන වේ. $((a)_(n-2))$ සහ $((a)_(n+2))$ යන නියමයන් ගැනද එයම කිව හැක - ඒවා $((a)_(n) වෙතින්ද ඉවත් කර ඇත. )$ $2d$ ට සමාන දුරකින්. ඔබට දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යා හැක, නමුත් පින්තූරයේ අර්ථය හොඳින් විදහා දක්වයි
ප්රගතියේ සාමාජිකයන් මධ්යයේ සිට එකම දුරින් පිහිටා ඇත මෙයින් අපට අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? මෙයින් අදහස් කරන්නේ අසල්වැසි අංක දන්නේ නම් ඔබට $((a)_(n))$ සොයාගත හැකි බවයි:
\[((අ)_(n))=\frac(((අ)_(n-1))+((අ)_(n+1)))(2)\]
අපි විශිෂ්ට ප්‍රකාශයක් නිගමනය කර ඇත්තෙමු: අංක ගණිත ප්රගතියක සෑම සාමාජිකයෙක්ම අසල්වැසි සාමාජිකයින්ගේ අංක ගණිත මධ්යන්යයට සමාන වේ! එපමණක් නොව, අපට අපගේ $((a)_(n))$ සිට වමට සහ දකුණට එක් පියවරකින් නොව $k$ පියවරකින් අපගමනය විය හැක - තවමත් සූත්රය නිවැරදි වනු ඇත:
\[((අ)_(n))=\frac(((අ)_(n-k))+((අ)_(n+k)))(2)\]
එම. අපි $((a)_(100))$ සහ $((a)_(200))$ දන්නේ නම් අපට පහසුවෙන් $((a)_(150))$ කිහිපයක් සොයා ගත හැක, මන්ද $((a)_ (150))=\frac(((අ)_(100))+((අ)_(200)))(2)$. මුලින්ම බැලූ බැල්මට, මෙම කාරණය අපට ප්රයෝජනවත් කිසිවක් ලබා නොදෙන බව පෙනේ. කෙසේ වෙතත්, ප්රායෝගිකව, බොහෝ කාර්යයන් අංක ගණිත මධ්යන්ය භාවිතය සඳහා විශේෂයෙන් "මුවහත්" කර ඇත. බලන්න:
කාර්ය අංක 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ සහ $14+4((x)^(2))$ අනුගාමී සාමාජිකයන් වන පරිදි $x$ හි සියලුම අගයන් සොයන්න අංක ගණිතමය ප්රගතියක් (නිශ්චිත අනුපිළිවෙලින්).
විසඳුමක්. මෙම සංඛ්යා ප්රගතියක සාමාජිකයන් වන බැවින්, අංක ගණිත මධ්යන්ය තත්ත්වය ඔවුන් සඳහා තෘප්තිමත් වේ: $x+1$ කේන්ද්‍රීය මූලද්රව්යය අසල්වැසි මූලද්රව්ය අනුව ප්‍රකාශ කළ හැක:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
එය සම්භාව්ය බවට පත් විය චතුරස්රාකාර සමීකරණය. එහි මූලයන්: $x=2$ සහ $x=-3$ පිළිතුරු වේ.
පිළිතුර: -3; 2.
කාර්ය අංක 7. $$ හි අගයන් සොයන්න, එනම් $-1;4-3;(()^(2))+1$ අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සාදනු ලබයි (එම අනුපිළිවෙලෙහි).
විසඳුමක්. නැවතත්, අපි මධ්‍යම පදය ප්‍රකාශ කරන්නේ අසල්වැසි පදවල අංක ගණිත මධ්යන්යය අනුව ය:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\දකුණ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
තවත් හතරැස් සමීකරණයක්. නැවතත් මූල දෙක: $x=6$ සහ $x=1$.
පිළිතුර: 1; 6.
ගැටලුවක් විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී ඔබට ම්ලේච්ඡ සංඛ්යා කිහිපයක් ලැබෙන්නේ නම් හෝ සොයාගත් පිළිතුරුවල නිවැරදි බව ඔබට සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාස නැත්නම්, ඔබට පරීක්ෂා කිරීමට ඉඩ සලසන අපූරු උපක්‍රමයක් තිබේ: අපි ගැටලුව නිවැරදිව විසඳා ගත්තාද?
අපි හිතමු 6 ගැටලුවේදී අපට පිළිතුරු ලැබුනා -3 සහ 2. මෙම පිළිතුරු නිවැරදි දැයි පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද? අපි ඒවා මුල් තත්ත්‍වයට ප්ලග් කර බලමු මොකද වෙන්නේ කියලා. අපට අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සෑදිය යුතු සංඛ්යා තුනක් ($-6(()^(2))$, $+1$ සහ $14+4(()^(2))$) ඇති බව මම ඔබට මතක් කරමි. ආදේශක $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
අපි අංක -54; -2; 52 න් වෙනස් වන 50 නිසැකවම අංක ගණිතමය ප්රගතියක් වේ. $x=2$ සඳහා එකම දේ සිදු වේ:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
නැවතත් ප්රගතියක්, නමුත් 27 ක වෙනසක් සහිතව, මේ අනුව, ගැටළුව නිවැරදිව විසඳා ඇත. කැමති අයට දෙවන කාර්යය තනිවම පරීක්ෂා කළ හැකිය, නමුත් මම වහාම කියමි: එහි ද සියල්ල නිවැරදි ය.
පොදුවේ ගත් කල, අවසාන කාර්යයන් විසඳන අතරතුර, අපි තවත් එකකට පැකිළුණා සිත්ගන්නා කරුණක්, එය ද මතක තබා ගත යුතුය:
සංඛ්යා තුනක් නම්, දෙවැන්න පළමු සහ අවසාන සාමාන්‍යය වන අතර, මෙම සංඛ්යා ගණිතමය ප්රගතියක් සාදයි.
අනාගතයේ දී, මෙම ප්රකාශය අවබෝධ කර ගැනීමෙන් ගැටලුවේ තත්ත්වය මත පදනම්ව අවශ්ය ප්රගතිය වචනාර්ථයෙන් "ගොඩනැගීමට" අපට ඉඩ සලසයි. නමුත් අපි එවැනි "ඉදිකිරීම්" වල නිරත වීමට පෙර, අපි දැනටමත් සලකා බලා ඇති දෙයින් සෘජුවම අනුගමනය කරන තවත් එක් කරුණක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය.
මූලද්රව්ය සමූහය සහ එකතුව
අපි නැවතත් අංක රේඛාවට යමු. ප්රගතියේ සාමාජිකයින් කිහිප දෙනෙකු අපි සටහන් කරමු, ඒ අතර, සමහර විට. තවත් සාමාජිකයින් ගොඩක් වටිනවා:
අංක රේඛාවේ සලකුණු කර ඇති මූලද්රව්ය 6කිඅපි "වම් වලිගය" $((a)_(n))$ සහ $d$ අනුවත්, "දකුණු වලිගය" $((a)_(k))$ සහ $ අනුවත් ප්‍රකාශ කිරීමට උත්සාහ කරමු. d$. එය ඉතා සරල ය:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
දැන් පහත එකතු කිරීම් සමාන බව සලකන්න:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= එස්; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= එස්. \end(align)\]
සරලව කිවහොත්, අපි ප්රගතියේ මූලද්රව්ය දෙකක් ආරම්භයක් ලෙස සලකන්නේ නම්, එය සමස්තයක් වශයෙන් යම් සංඛ්යාවක් $S$ ට සමාන වේ, එවිට අපි මෙම මූලද්රව්ය වලින් ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවලට පියවර තැබීමට පටන් ගනිමු (එකිනෙකා දෙසට හෝ අනෙක් අතට ඉවතට යාමට) එවිට අප පැකිළෙන මූලද්‍රව්‍යවල එකතුව ද සමාන වනු ඇත$S$. මෙය වඩාත් හොඳින් චිත්‍රක ලෙස නිරූපණය කළ හැක:
එකම ඉන්ඩෙන්ට් සමාන මුදලක් ලබා දෙයි මෙම කාරණය අවබෝධ කර ගැනීමෙන් මූලික වශයෙන් ගැටලු විසඳීමට අපට ඉඩ සලසයි ඉහළ මට්ටමේඉහත සාකච්ඡා කළ ඒවාට වඩා සංකීර්ණත්වය. උදාහරණයක් ලෙස, මේවා:
කාර්ය අංක 8. පළමු පදය 66 වන අතර, දෙවන සහ දොළොස්වන පදවල ගුණිතය හැකි කුඩාම වන අංක ගණිතමය ප්රගතියක වෙනස නිර්ණය කරන්න.
විසඳුමක්. අපි දන්නා සියල්ල ලියා තබමු:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((අ)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
එබැවින්, $d$ ප්රගතියේ වෙනස අපි නොදනිමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ නිෂ්පාදනය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකි බැවින් සම්පූර්ණ විසඳුමම වෙනස වටා ගොඩනැගේ.
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((අ)_(12))=((අ)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
ටැංකියේ සිටින අය සඳහා: මම දෙවන වරහනෙන් පොදු සාධකය 11 ගෙන ඇත. මේ අනුව, අපේක්ෂිත නිෂ්පාදනය $d$ විචල්‍යයට සාපේක්ෂව චතුර් ශ්‍රිතයකි. එබැවින්, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ශ්රිතය සලකා බලන්න - එහි ප්‍රස්ථාරය අතු සහිත පරාලයක් වනු ඇත, මන්ද අපි වරහන් විවෘත කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඉහළම පදයේ සංගුණකය 11 වේ - මෙයයි ධනාත්මක අංකය, ඒ නිසා අපි ඇත්තටම ගනුදෙනු කරන්නේ අතු සහිත පැරබෝලා සමඟ:
කාලසටහන චතුරස්රාකාර ශ්රිතය- පැරබෝලා
කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙම පරාවලය එහි අවම අගය abscissa $((d)_(0))$ සමඟ එහි මුදුනේ ගනී. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට මෙම abscissa භාවිතා කර ගණනය කළ හැකිය සම්මත යෝජනා ක්රමය($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ සූත්රයක් ඇත, නමුත් අපේක්ෂිත ශීර්ෂය සමමිතියේ අක්ෂය මත පිහිටා ඇති බව සටහන් කිරීම වඩාත් සාධාරණ වනු ඇත. parabola, එබැවින් $((d) _(0))$ යන ලක්ෂ්‍යය $f\left(d \right)=0$ සමීකරණයේ මූලයන්ගෙන් සමාන වේ.
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
වරහන් විවෘත කිරීමට මම ඉක්මන් නොවූයේ එබැවිනි: මුල් ස්වරූපයෙන්, මූලයන් සොයා ගැනීම ඉතා පහසු විය. එබැවින්, abscissa මධ්යන්යයට සමාන වේ අංක ගණිත සංඛ්යා-66 සහ -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
සොයාගත් අංකය අපට ලබා දෙන්නේ කුමක් ද? එය සමඟ, අවශ්ය භාණ්ඩය ගනී කුඩාම අගය(මාර්ගය වන විට, අපි $((y)_(\min ))$ ගණනය නොකළෙමු - අපට මෙය කිරීමට අවශ්ය නොවේ). ඒ අතරම, මෙම සංඛ්යාව ආරම්භක ප්රගතියේ වෙනස, i.e. අපි පිළිතුර සොයාගත්තා. :)
පිළිතුර: -36
කාර්ය අංක 9. සංඛ්යා $-\frac(1)(2)$ සහ $-\frac(1)(6)$ අතර සංඛ්යා තුනක් ඇතුළු කරන්න එවිට ලබා දී ඇති සංඛ්යා සමඟ එක්ව ඒවා අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සාදයි.
විසඳුමක්. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි අංක පහක අනුපිළිවෙලක් සෑදිය යුතුය, පළමු සහ අවසාන අංකයදැනටමත් දන්නා. $x$, $y$ සහ $z$ යන විචල්‍යයන් මගින් අතුරුදහන් වූ සංඛ්යා දක්වන්න:
\[\වම(((අ)_(n)) \right)=\වම\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
$y$ යනු අපගේ අනුක්‍රමයේ "මැද" බව සලකන්න - එය $x$ සහ $z$ යන සංඛ්‍යාවලින් සහ $-\frac(1)(2)$ සහ $-\frac යන සංඛ්‍යාවලින් සමාන දුරස්ථ වේ. (1)( 6)$. මේ මොහොතේ අපට $x$ සහ $z$ යන අංක වලින් $y$ ලබා ගත නොහැකි නම්, ප්රගතියේ අවසානයත් සමඟ තත්වය වෙනස් වේ. අංක ගණිත මධ්යන්යය මතක තබා ගන්න:
දැන්, $y$ දැනගෙන, අපි ඉතිරි ඉලක්කම් සොයා ගනිමු. $x$ පවතින්නේ $-\frac(1)(2)$ සහ $y=-\frac(1)(3)$ අතර බව සලකන්න. ඒක තමයි
ඒ හා සමානව තර්ක කරමින්, ඉතිරි අංකය අපට හමු වේ:
සූදානම්! අපි අංක තුනම හොයාගත්තා. ඒවා මුල් ඉලක්කම් අතරට ඇතුළත් කළ යුතු අනුපිළිවෙලට පිළිතුරෙහි ලියා තබමු.
පිළිතුර: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
කාර්ය අංක 10. අංක 2 සහ 42 අතර, අංක කිහිපයක් ඇතුළත් කරන්න, ලබා දී ඇති සංඛ්යා සමඟ එක්ව, අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සාදනු ලැබේ, එය ඇතුළත් කළ සංඛ්‍යාවල පළමු, දෙවන සහ අවසාන එකතුව 56 බව දන්නේ නම්.
විසඳුමක්. ඊටත් වඩා දුෂ්කර කාර්යයක්, කෙසේ වෙතත්, එය පෙර පැවති ආකාරයටම විසඳනු ලැබේ - අංක ගණිත මධ්යන්යය හරහා. ප්‍රශ්නේ තියෙන්නේ අපි හරියටම ඉලක්කම් කීයක් දාන්නද දන්නේ නැති එක. එබැවින්, නිශ්චිතභාවය සඳහා, ඇතුළත් කිරීමෙන් පසු හරියටම $n$ සංඛ්යා ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, ඒවායින් පළමුවැන්න 2 වන අතර අවසාන එක 42 වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, අපේක්ෂිත අංක ගණිත ප්රගතිය මෙසේ නිරූපණය කළ හැක:
\[\left (((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \දකුණ\)\]
\[((අ)_(2))+((අ)_(3))+((අ)_(n-1))=56\]
කෙසේ වෙතත්, $((a)_(2))$ සහ $((a)_(n-1))$ අංක 2 සහ 42 ඉලක්කම් වලින් ලබාගෙන ඇත්තේ එක් පියවරකින් එකිනෙක දෙසට බව සලකන්න. , i.e. අනුපිළිවෙලෙහි මැදට. සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ එයයි
\[((අ)_(2))+((අ)_(n-1))=2+42=44\]
නමුත් ඉහත ප්‍රකාශනය මෙසේ නැවත ලිවිය හැක.
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((අ)_(3))=56; \\ & ((අ)_(3))=56-44=12. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
$((a)_(3))$ සහ $((a)_(1))$ දැන ගැනීමෙන්, අපට ප්රගති වෙනස පහසුවෙන් සොයාගත හැක:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((අ)_(3))-((අ)_(1))=\වම(3-1 \දකුණ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
එය ඉතිරිව ඇත්තේ ඉතිරි සාමාජිකයින් සොයා ගැනීමට පමණි:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((අ)_(2))=2+5=7; \\ & ((අ)_(3))=12; \\ & ((අ)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((අ)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((අ)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((අ)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((අ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((අ)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
මේ අනුව, දැනටමත් 9 වන පියවරේදී අපි අනුපිළිවෙලෙහි වම් කෙළවරට පැමිණෙනු ඇත - අංක 42. සමස්තයක් වශයෙන්, අංක 7 ක් පමණක් ඇතුළත් කිරීමට සිදු විය: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
පිළිතුර: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
ප්රගතිය සහිත කාර්යයන් පෙළ යවන්න
අවසාන වශයෙන්, මම කිහිපයක් සලකා බැලීමට කැමතියි සරල කාර්යයන්. හොඳයි, සරල ඒවා ලෙස: පාසැලේ ගණිතය ඉගෙන ගන්නා සහ ඉහත ලියා ඇති දේ කියවා නැති බොහෝ සිසුන් සඳහා, මෙම කාර්යයන් අභිනය ලෙස පෙනෙන්නට පුළුවන. එසේ වුවද, ගණිතයේ OGE සහ USE හි හරියටම එවැනි කාර්යයන් දක්නට ලැබේ, එබැවින් ඔබ ඒවා සමඟ හුරුපුරුදු වන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.
කාර්ය අංක 11. කණ්ඩායම ජනවාරි මාසයේදී කොටස් 62 ක් නිෂ්පාදනය කරන ලද අතර එක් එක් කොටසෙහි ලබන මාසයේකලින් එකට වඩා කොටස් 14ක් නිෂ්පාදනය කළා. නොවැම්බර් මාසයේදී බළකාය කොටස් කීයක් නිෂ්පාදනය කළාද?
විසඳුමක්. පැහැදිලිවම, මාසයෙන් පින්තාරු කරන ලද කොටස් ගණන වැඩි වන අංක ගණිතමය ප්රගතියක් වනු ඇත. හා:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((අ)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
නොවැම්බර් යනු වසරේ 11 වන මාසයයි, එබැවින් අපට $((a)_(11))$ සොයා ගැනීමට අවශ්‍යයි:
\[((අ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
එබැවින් නොවැම්බර් මාසයේදී කොටස් 202 ක් නිෂ්පාදනය කෙරේ.
කාර්ය අංක 12. පොත් බන්ධන වැඩමුළුව ජනවාරි මාසයේදී පොත් 216 ක් බැඳ ඇති අතර සෑම මසකම එය පෙර මාසයට වඩා පොත් 4 ක් බැඳ ඇත. දෙසැම්බරයේ වැඩමුළුව පොත් කීයක් බැඳ තිබේද?
විසඳුමක්. සියල්ල එකම:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((අ)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
දෙසැම්බර් යනු වසරේ අවසාන, 12 වන මාසයයි, එබැවින් අපි සොයන්නේ $((a)_(12))$:
\[((අ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
පිළිතුර මෙයයි - දෙසැම්බර් මාසයේදී පොත් 260 ක් බැඳේ.
හොඳයි, ඔබ මෙතෙක් කියවා ඇත්නම්, මම ඔබට සුබ පැතීමට ඉක්මන් වෙමි: ඔබ අංක ගණිත ප්‍රගතියෙහි “තරුණ සටන් පාඨමාලාව” සාර්ථකව සම්පූර්ණ කර ඇත. අපට ආරක්ෂිතව ඊළඟ පාඩම වෙත යා හැකිය, එහිදී අපි ප්රගති එකතු කිරීමේ සූත්රය මෙන්ම එයින් ලැබෙන වැදගත් හා ඉතා ප්රයෝජනවත් ප්‍රතිවිපාක අධ්‍යයනය කරන්නෙමු.
අංක ගණිතමය ප්රගතියසංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලක් නම් කරන්න (ප්රගතියක සාමාජිකයන්)
එක් එක් ඊළඟ පදය පෙර පදයෙන් වානේ පදයකින් වෙනස් වන අතර එය ද හැඳින්වේ පියවර හෝ ප්රගති වෙනස.
මේ අනුව, ප්රගතියේ පියවර සහ එහි පළමු පදය සැකසීමෙන්, ඔබට සූත්රය භාවිතයෙන් එහි ඕනෑම අංගයක් සොයාගත හැකිය
අංක ගණිතමය ප්රගතියක ගුණ
1) දෙවන අංකයෙන් ආරම්භ වන අංක ගණිත ප්රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙකුම ප්රගතියේ පෙර සහ ඊළඟ සාමාජිකයාගේ අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ.
විපක්‍ෂයත් ඇත්ත. ප්‍රගමනයේ අසල්වැසි ඔත්තේ (ඉරට්ටේ) සාමාජිකයින්ගේ අංක ගණිත මධ්යන්යය ඔවුන් අතර සිටින සාමාජිකයාට සමාන නම්, මෙම සංඛ්යා අනුපිළිවෙල අංක ගණිත ප්රගතියකි. මෙම ප්රකාශය මගින් ඕනෑම අනුපිළිවෙලක් පරීක්ෂා කිරීම ඉතා පහසු වේ.
එසේම අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ ගුණය අනුව ඉහත සූත්රය පහත පරිදි සාමාන්‍යකරණය කළ හැක
සමාන ලකුණේ දකුණට අපි නියමයන් ලිව්වොත් මෙය සත්‍යාපනය කිරීම පහසුය
ගැටළු වලදී ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා එය බොහෝ විට ප්රායෝගිකව භාවිතා වේ.
2) අංක ගණිත ප්රගතියක පළමු n නියමවල එකතුව සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ
ගණිතමය ප්රගතියක එකතුව සඳහා සූත්රය හොඳින් මතක තබා ගන්න, එය ගණනය කිරීම් වලදී අත්‍යවශ්‍ය වන අතර සරල ජීවන තත්වයන් තුළ බහුලව දක්නට ලැබේ.
3) ඔබට සම්පූර්ණ එකතුව නොව, එහි k -th සාමාජිකයාගෙන් ආරම්භ වන අනුපිළිවෙලෙහි කොටසක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, පහත එකතුව සූත්රය ඔබට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
4) kth අංකයෙන් ආරම්භ වන අංක ගණිත ප්රගතියක n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සොයා ගැනීම ප්‍රායෝගික උනන්දුවක් දක්වයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සූත්රය භාවිතා කරන්න
මේ පිළිබඳව න්යායික ද්රව්යඅවසන් වන අතර අපි පොදු ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීමට ඉදිරියට යමු.
උදාහරණය 1. අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ හතළිස්වන පදය සොයන්න 4;7;...
විසඳුමක්:
කොන්දේසිය අනුව, අපට තිබේ
ප්රගතිය පියවර නිර්වචනය කරන්න
විසින් සුප්රසිද්ධ සූත්රයප්‍රගතියේ හතළිස්වන වාරය සොයා ගන්න
උදාහරණ 2. එහි තුන්වන සහ හත්වන සාමාජිකයන් විසින් අංක ගණිතමය ප්රගතිය ලබා දෙයි. ප්රගතියේ පළමු පදය සහ දහයේ එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:
අපි සූත්‍රවලට අනුව ප්රගතියේ දී ඇති අංග ලියන්නෙමු
අපි දෙවන සමීකරණයෙන් පළමු සමීකරණය අඩු කරමු, ප්රතිඵලයක් ලෙස අපි ප්රගති පියවර සොයා ගනිමු
අංක ගණිත ප්රගතියේ පළමු පදය සෙවීම සඳහා සොයාගත් අගය ඕනෑම සමීකරණයකට ආදේශ කරනු ලැබේ.
ප්රගතියේ පළමු පද දහයේ එකතුව ගණනය කරන්න
සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් යෙදීමෙන් තොරව, අපි අවශ්ය සියලු අගයන් සොයා ගත්තා.
උදාහරණ 3. අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ලබා දෙන්නේ හරය සහ එහි එක් සාමාජිකයෙකු විසිනි. ප්රගතියේ පළමු පදය, 50 සිට ආරම්භ වන එහි පද 50 හි එකතුව සහ පළමු 100 හි එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:
ප්රගතියේ සියවැනි අංගය සඳහා සූත්රය ලියමු
සහ පළමු එක සොයා ගන්න
පළමුවැන්න මත පදනම්ව, අපි ප්රගතියේ 50 වන වාරය සොයා ගනිමු
ප්රගතියේ කොටසෙහි එකතුව සොයා ගැනීම
සහ පළමු 100 හි එකතුව
ප්රගතියේ එකතුව 250 කි.
උදාහරණය 4
අංක ගණිත ප්රගතියක සාමාජිකයන් සංඛ්යාව සොයන්න නම්:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
විසඳුමක්:
අපි පළමු පදය සහ ප්රගතියේ පියවර අනුව සමීකරණ ලියා ඒවා නිර්වචනය කරමු
එකතුවේ ඇති පද ගණන තීරණය කිරීම සඳහා අපි ලබාගත් අගයන් එකතුව සූත්‍රයට ආදේශ කරමු
සරල කිරීම් සිදු කිරීම
සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න
සොයාගත් අගයන් දෙකෙන්, ගැටලුවේ තත්වය සඳහා සුදුසු වන්නේ අංක 8 පමණි. මේ අනුව ප්රගතියේ පළමු පද අටේ එකතුව 111 වේ.
උදාහරණ 5
සමීකරණය විසඳන්න
1+3+5+...+x=307.
විසඳුම: මෙම සමීකරණය අංක ගණිතමය ප්රගතියක එකතුවකි. අපි එහි පළමු වාරය ලියා ප්රගතියේ වෙනස සොයා ගනිමු
