Перша чудова межа теорія. Друга чудова межа: приклади знаходження, завдання та докладні рішення

Знайти чудові межіважко не лише багатьом студентам першого, другого курсу навчання, які вивчають теорію меж, а й деяким викладачам.

Формула першої чудової межі

Наслідки першої чудової межі запишемо формулами
1. 2. 3. 4. Але власними силами загальні формулиЧудові межі нікому на іспиті або тесті не допомагають. Суть у тому, що реальні завдання побудовані так що до вищезаписаних формул потрібно ще прийти. І більшість студентів, які пропускають пари, заочно вивчають цей курс або мають викладачів, які самі не завжди розуміють, про що пояснюють, не можуть вирахувати самих елементарних прикладівна чудові межі. З формул першої чудової межі бачимо, що з їхньою допомогою можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль для виразів із тригонометричними функціями. Розглянемо спочатку ряд прикладів на першу чудову межу, а потім вивчимо другу чудову межу.

Приклад 1. Знайти межу функції sin(7*x)/(5*x)
Рішення: Як бачите функція під межею близька до першої чудової межі, але сама межа функції точно не дорівнює одиниці. У таких завданнях на межі слід у знаменнику виділити змінну з таким самим коефіцієнтом, який міститься при змінній під синусом. У даному випадкуслід розділити та помножити на 7

Деяким така деталізація здасться зайвою, але більшості студентів, яким важко даються межі, допоможе краще зрозуміти правила і засвоїти. теоретичний матеріал.
Також, якщо є зворотний виглядфункції - це також перша чудова межа. А все тому, що чудова межа дорівнює одиниці

Це правило стосується і наслідків 1 чудової межі. Тому якщо Вас запитають "Чому дорівнює перша чудова межа?" Ви без вагань повинні відповісти, що це одиниця.

Приклад 2. Знайти межу функції sin(6x)/tan(11x)
Рішення: Для розуміння кінцевого результату розпишемо функцію у вигляді

Щоб застосувати правила чудової межі помножимо та розділимо на множники

Далі межу добутку функцій розпишемо через добуток меж

Без складних формулми знайшли межу частки тригонометричних функцій. Для засвоєння простих формул спробуйте придумати та знайти межу на 2 та 4 формулу слідства 1 чудової межі. Ми розглянемо складніші завдання.

Приклад 3. Обчислити межу (1-cos(x))/x^2
Рішення: Під час перевірки підстановкою отримаємо невизначеність 0/0 . Багатьом невідомо, як звести такий приклад до 1 чудової межі. Тут слід використовувати тригонометричну формулу

При цьому межа перетвориться на зрозумілий вигляд

Нам удалося звести функцію до квадрата чудової межі.

Приклад 4. Знайти межу
Рішення: При підстановці отримаємо знайому особливість 0/0. Однак змінна прагне Pi, а не нуля. Тому для застосування першої чудової межі виконаємо таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля. Для цього знаменник позначимо за нову змінну Pi-x=y

Таким чином, використавши тригонометричну формулу, яка наведена в попередньому завданні, приклад зведений до 1 чудової межі.

Приклад 5. Обчислити межу
Рішення: Спочатку неясно, як спростити межі. Але якщо є приклад, то має бути і відповідь. Те, що змінна прямує до одиниці, дає при підстановці особливість виду нуль помножити на нескінченність, тому тангенс потрібно замінити за формулою.

Після цього отримаємо необхідну невизначеність 0/0. Далі виконуємо заміну змінних у межі, і використовуємо періодичність котангенсу

Останні заміни дозволяють використовувати наслідок 1 чудової межі.

Друга чудова межа дорівнює експоненту

Це класика до якої реальних завданнях межі який завжди легко прийти.
У обчисленнях Вам знадобляться межі - наслідки другої чудової межі:
1. 2. 3. 4.
Завдяки другій чудовій межі та її наслідків можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль, одиниця в ступеня нескінченність, і нескінченність розділити на нескінченність, та ще й у такому ж ступені

Почнемо для ознайомлення із простих прикладів.

Приклад 6. Знайти межу функції
Рішення: Безпосередньо застосувати 2 чудові межі не вийде. Спочатку слід перетворити показник, щоб він мав вигляд зворотний до доданку в дужках

Це і є техніка зведення до 2 чудової межі та по суті - виведення 2 формули слідства межі.

Приклад 7. Знайти межу функції
Рішення: Маємо завдання на 3 формулу слідства 2 чудової межі. Підстановка нуля дає особливість 0/0. Для зведення межі під правило перетворимо знаменник, щоб при змінній був той самий коефіцієнт як і в логарифм

Це також легко зрозуміти та виконати на іспиті. Труднощі у студентів при обчисленні меж починаються з наступних завдань.

Приклад 8. Обчислити межу функції[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Рішення: Маємо особливість типу 1 ступенем нескінченність. Якщо не вірите, можете скрізь замість "ікс" підставити нескінченність та переконатися у цьому. Для зведення під правило поділимо у дужках чисельник на знаменник, для цього попередньо виконаємо маніпуляції

Підставимо вираз у межу і перетворимо до 2 чудової межі

Межа дорівнює експоненті 10 ступеня. Константи, які є доданками при змінній як у дужках так і ступеня ніякої "погоди" не вносять - слід пам'ятати. А якщо Вас спитають викладачі - "Чому не перетворюєте показник?" (Для цього прикладу в x-3), то скажіть що "Коли змінна прагне до нескінченності то до неї хоч додай 100 хоч забирай 1000, а межа залишиться такою як і був!".
Існує і другий спосіб обчислювати межі такого типу. Про нього розповімо у наступному завданні.

Приклад 9. Знайти межу
Рішення: Тепер винесемо змінну в чисельнику і знаменнику і перетворимо особливість на іншу. Для отримання кінцевого значення використовуємо формулу слідства 2 чудової межі

Приклад 10 Знайти межу функції
Рішення: За ця межазнайти під силу не кожному. Для зведення під 2 межу уявімо, що sin (3x) це змінна, а потрібно перетворити показник

Далі показник запишемо як ступінь ступеня


У дужках описані проміжні міркування. В результаті використання першої та другої чудової межі отримали експоненту в кубі.

Приклад 11. Обчислити межу функції sin(2*x)/ln(3*x+1)
Рішення: Маємо невизначеність 0/0. Крім цього бачимо, що функцію слід перетворювати на використання обох чудових меж. Виконаємо попередні математичні перетворення

Далі легко межа прийме значення

Ось так вільно Ви почуватиметеся на контрольних роботах, тестах, модулях якщо навчитеся швидко розписувати функції та зводити під першу чи другу чудову межу. Якщо завчити наведені методики знаходження меж Вам важко, завжди можете замовити контрольну роботуна межі у нас.
Для цього заповніть форму, вкажіть дані та вкладіть файл із прикладами. Ми допомогли багатьом студентам – зможемо допомогти і Вам!

З вищевказаної статті Ви зможете дізнатися, що ж таке межа, і з чим її їдять – це дуже важливо. Чому? Можна не розуміти, що таке визначники та успішно їх вирішувати, можна зовсім не розуміти, що таке похідна та знаходити їх на «п'ятірку». Але якщо Ви не розумієте, що таке межа, то з вирішенням практичних завдань доведеться туго. Також не зайвим буде ознайомитись із зразками оформлення рішень та моїми рекомендаціями щодо оформлення. Вся інформація викладена у простій та доступній формі.

А для цілей цього уроку нам знадобляться такі методичні матеріали: Чудові межі і Тригонометричні формули. Їх можна знайти на сторінці. Найкраще методички роздрукувати - це значно зручніше, до того ж до них часто доведеться звертатися в офлайні.

Чим чудові чудові межі? Чудовість цих меж полягає в тому, що вони доведені найбільшими розумами знаменитих математиків, і вдячним нащадкам не доводиться страждати страшними межами з нагромадженням тригонометричних функцій, логарифмів, ступенів. Тобто при знаходженні меж ми користуватимемося готовими результатами, які доведені теоретично.

Чудових меж існує кілька, але на практиці у студентів-заочників у 95% випадків фігурують дві чудові межі: Перша чудова межа, Друга чудова межа. Слід зазначити, що це назви, що історично склалися, і, коли, наприклад, говорять про «першу чудову межу», то мають на увазі під цим цілком певну річ, а не якусь випадкову, взяту зі стелі межу.

Перша чудова межа

Розглянемо наступна межа: (замість рідної літери «хе» я використовуватиму грецьку літеру «альфа», це зручніше з погляду подачі матеріалу).

Відповідно до нашого правила знаходження меж (див. статтю Межі. Приклади рішень) Пробуємо підставити нуль у функцію: в чисельнику у нас виходить нуль (синус нуля дорівнює нулю), у знаменнику, очевидно, теж нуль. Таким чином, ми стикаємося з невизначеністю виду, яку, на щастя, не треба розкривати. В курсі математичного аналізу, доводиться, що:

Цей математичний факт має назву Першої чудової межі. Аналітичний доказ межі наводити не буду, а ось його геометричний зміст розглянемо на уроці про нескінченно малих функціях.

Нерідко в практичних завданнях функції можуть бути по-іншому, це нічого не змінює:

– та сама перша чудова межа.

Але самостійно переставляти чисельник та знаменник не можна! Якщо дана межа у вигляді , то і вирішувати його потрібно в такому вигляді, нічого не переставляючи.

На практиці як параметр може виступати не тільки змінна , але і елементарна функція, складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нуля.

Приклади:
, , ,

Тут , , , , і все гуд – перша чудова межа застосовується.

А ось наступний запис – єресь:

Чому? Тому що багаточлен не прагне нуля, він прагне п'ятірки.

До речі, питання на засипку, а чому дорівнює межа ? Відповідь можна знайти наприкінці уроку.

На практиці не все так гладко, майже ніколи студенту не запропонують вирішити халявну межу та отримати легкий залік. Хммм… Пишу ці рядки, і спала на думку дуже важлива думка – все-таки «халявні» математичні визначення та формули начебто краще пам'ятати напам'ять, це може надати неоціненну допомогу на заліку, коли питання вирішуватиметься між «двійкою» та «трійкою», і викладач вирішить поставити студенту якесь просте питання або запропонувати вирішити найпростіший приклад(«А може він (а) все-таки знає чого?!»).

Переходимо до розгляду практичних прикладів:

Приклад 1

Знайти межу

Якщо ми помічаємо в межі синус, то це нас відразу має наштовхувати на думку про можливість застосування першої чудової межі.

Спочатку пробуємо підставити 0 у вираз під знак межі (робимо це подумки або на чернетці):

Отже, у нас є невизначеність виду, її обов'язково вказуємов оформленні рішення. Вираз під знаком межі у нас схоже на першу чудову межу, але це не зовсім він, під синусом знаходиться, а в знаменнику.

У таких випадках першу чудову межу нам потрібно організувати самостійно, використовуючи штучний прийом. Хід міркувань може бути таким: "під синусом у нас, значить, у знаменнику нам теж потрібно отримати".
А робиться це дуже просто:

Тобто знаменник штучно множиться в даному випадку на 7 і ділиться на ту ж сімку. Тепер запис у нас набув знайомих обрисів.
Коли завдання оформляється від руки, то перша чудова межа бажано помітити простим олівцем:

Що сталося? По суті, обведений вираз у нас перетворився на одиницю і зник у творі:

Тепер тільки залишилося позбутися триповерховості дробу:

Хто забув спрощення багатоповерхових дробів, будь ласка, освіжіть матеріал у довіднику Гарячі формули шкільного курсу математики .

Готово. Остаточна відповідь:

Якщо не хочеться використовувати позначки олівцем, то рішення можна оформити так:

“

Використовуємо першу чудову межу

“

Приклад 2

Знайти межу

Знову ми бачимо межі дріб і синус. Пробуємо підставити в чисельник та знаменник нуль:

Справді, у нас невизначеність і, отже, треба спробувати організувати першу чудову межу. На уроці Межі. Приклади рішеньми розглядали правило, що коли у нас є невизначеність, то потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники. Тут – те саме, ступеня ми представимо як твори (множників):

Аналогічно попередньому прикладу, обводимо олівцем чудові межі (тут їх дві), і вказуємо, що вони прагнуть одиниці:

Власне, відповідь готова:

У наступних прикладах, я не займатимуся мистецтвами в Пейнті, думаю, як правильно оформляти рішення у зошиті – Вам вже зрозуміло.

Приклад 3

Знайти межу

Підставляємо нуль у вираз під знаком межі:

Отримано невизначеність, яку потрібно розкривати. Якщо в межі є тангенс, то майже завжди його перетворюють на синус і косинус за відомою тригонометричною формулою (до речі, з котангенсом роблять приблизно те саме, див. методичний матеріал Гарячі тригонометричні формулина сторінці Математичні формули, таблиці та довідкові матеріали).

В даному випадку:

Косинус нуля дорівнює одиниці, і його легко позбутися (не забуваємо помітити, що він прагне одиниці):

Отже, якщо межі косинус є МНОЖИТЕЛЕМ, його, грубо кажучи, треба перетворити на одиницю, що зникає у творі.

Тут все вийшло простіше, без жодних множин і поділів. Перша чудова межа теж перетворюється на одиницю і зникає у творі:

У результаті отримано нескінченність, буває таке.

Приклад 4

Знайти межу

Пробуємо підставити нуль у чисельник та знаменник:

Отримана невизначеність (косинус нуля, як ми пам'ятаємо, дорівнює одиниці)

Використовуємо тригонометричну формулу. Візьміть на замітку! Межі із застосуванням цієї формули чомусь зустрічаються дуже часто.

Постійні множники винесемо за значок межі:

Організуємо першу чудову межу:

Тут у нас тільки одна чудова межа, яка перетворюється на одиницю і зникає у творі:

Позбавимося триповерховості:

Межа фактично вирішена, вказуємо, що синус, що залишився, прагне до нуля:

Приклад 5

Знайти межу

Цей приклад складніший, спробуйте розібратися самостійно:

Деякі межі можна звести до 1-й чудовій межі шляхом заміни змінної, про це можна прочитати трохи пізніше в статті Методи розв'язання меж.

Друга чудова межа

Теоретично математичного аналізу доведено, що:

Цей факт має назву другої чудової межі.

Довідка: - Це ірраціональне число.

Як параметр може бути як змінна , а й складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нескінченності.

Приклад 6

Знайти межу

Коли вираз під знаком межі перебуває у ступені – це перша ознака того, що потрібно спробувати застосувати другу чудову межу.

Але спочатку, як завжди, пробуємо підставити нескінченно велика кількістьу вираз , за яким принципом це робиться, розібрано на уроці Межі. Приклади рішень.

Неважко помітити, що за основа ступеня , а показник – , тобто є, невизначеність виду:

Ця невизначеність якраз і розкривається за допомогою другої чудової межі. Але, як часто буває, друга чудова межа не лежить на блюдечку з блакитною облямівкою, і його потрібно штучно організувати. Розмірковувати можна так: даному прикладіПараметр, отже, у показнику нам теж потрібно організувати. Для цього зводимо основу в ступінь , і щоб вираз не змінилося - зводимо в ступінь :

Коли завдання оформляється від руки, позначаємо олівцем:

Практично все готово, страшний ступінь перетворився на симпатичну букву:

При цьому сам значок межі переміщуємо до показника:

Приклад 7

Знайти межу

Увага! Межа подібного типу зустрічається дуже часто, будь ласка, дуже уважно вивчіть цей приклад.

Пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, що стоїть під знаком межі:

В результаті отримано невизначеність. Але друга чудова межа застосовується до невизначеності виду. Що робити? Потрібно перетворити основу ступеня. Розмірковуємо так: у знаменнику у нас, значить, у чисельнику теж потрібно організувати.

Тепер зі спокійною душею переходимо до розгляду чудових меж.
має вигляд.

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до 0.

Необхідно обчислити межу

Як видно, ця межа дуже схожа на першу чудову, але це не зовсім так. Взагалі, якщо Ви помічаєте в межі sin, то треба відразу подумати про те, чи можливе застосування першої чудової межі.

Згідно з нашим правилом №1 підставимо замість хнуль:

Отримуємо невизначеність.

Тепер спробуємо самостійно організувати першу чудову межу. Для цього проведемо нехитру комбінацію:

Таким чином ми організовуємо чисельник та знаменник так, щоб виділити 7х. Ось уже і виявилася знайома чудова межа. Бажано при рішенні виділяти його:

Підставимо рішення першого чудового прикладуі отримуємо:

Спрощуємо дріб:

Відповідь: 7/3.

Як бачите, все дуже просто.

Має вигляд , де e = 2,718281828 ... - Це ірраціональне число.

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до .

Необхідно обчислити межу

Тут ми бачимо наявність ступеня під знаком межі, отже можливе застосування другої чудової межі.

Як завжди скористаємося правилом №1 – підставимо замість х:

Видно, що з х основу ступеня , а показник – 4x > , тобто. отримуємо невизначеність виду:

Скористаємося другою чудовою межею для розкриття нашої невизначеності, але спочатку треба її організувати. Як видно - треба домогтися присутності в показнику, для чого зведемо основу в ступінь 3х, і одночасно в ступінь 1/3x, щоб вираз не змінювався:

Не забуваємо виділяти нашу чудову межу:

Ось такі справді чудові межі!
Якщо у вас залишилися якісь питання щодо першому та другому чудовим межам, то сміливо задавайте їх у коментарях.
Всім наскільки можна відповімо.

Також ви можете порозумітися з педагогом з цієї теми.
Ми раді запропонувати Вам послуги підбору кваліфікованого репетитора у Вашому місті. Наші партнери оперативно підберуть для вас хорошого викладача на вигідних для вас умовах.

Мало інформації? - Ви можете!

Можна писати математичні обчислення у блокнотах. У блокноти з логотипом (http://www.blocnot.ru) індивідуальним писати набагато приємніше.

Доказ:

Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності

За формулою бінома Ньютона:

Вважаючи отримаємо

З цієї рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків у правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число зменшується, тому величини зростають. Тому послідовність зростаюча, при цьому (2)*Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку у правій частині рівності на одиницю, права частиназбільшиться, отримаємо нерівність

Посилимо отриману нерівність, замінимо 3,4,5, …, що стоять у знаменниках дробів, числом 2: Суму в дужці знайдемо за формулою суми членів геометричній прогресії: Тому (3)*

Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому виконуються нерівності (2) та (3): Отже, виходячи з теореми Вейерштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність монотонно зростає і обмежена, отже має межу, що позначається буквою e. Тобто.

Знаючи, що друга чудова межа вірна для натуральних значень x, доведемо другу чудову межу для речовинних x, тобто доведемо, що . Розглянемо два випадки:

1. Нехай Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами: де - це ціла частина x. => =>

Якщо , то Тому, відповідно до межі Маємо

За ознакою (про межу проміжної функції) існування меж

2. Нехай. Зробимо підстановку − x = t, тоді

Із двох цих випадків випливає, що для речового x.

Наслідки:

9 .) Порівняння нескінченно малих. Теорема про заміну нескінченно малих на еквівалентні в межі та теорема про головну частину нескінченно малих.

Нехай функції a ( x) та b( x) - Б.М. при x ® x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ.

1) a( x) називається нескінченно малої більше високого порядкучим b (x) якщо

Записують: a ( x) = o(b( x)) .

2) a( x) і b( x)називаються нескінченно малими одного порядку, якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

Записують: a ( x) = O(b( x)) .

3) a( x) і b( x) називаються еквівалентними , якщо

Записують: a ( x) ~ b ( x).

4) a( x) називається нескінченно малою порядку k відноси-
дуже нескінченно малої b( x), якщо нескінченно малі a( x)і(b( x)) k мають одне порядок, тобто. якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (про заміну нескінченно малих на еквівалентні).

Нехай a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- Б.М. при x ® x 0 . Якщо a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

то

Доказ: Нехай a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x)тоді

ТЕОРЕМА 7 (про головну частину нескінченно малої).

Нехай a( x)і b( x)- Б.М. при x ® x 0 , причому b( x)- Б.М. вищого порядку ніж a( x).

= , a оскільки b( x) - вищого порядку ніж a ( x), то, тобто. з ясно, що a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Безперервність функції у точці (мовою меж эпсилон-дельта, геометричне) Одностороння безперервність. Безперервність на інтервалі, відрізку. Властивості безперервних функцій.

1. Основні визначення

Нехай f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо справедлива рівність

Зауваження.

1) У силу теореми 5 §3 рівність (1) можна записати у вигляді

Умова (2) – визначення безперервності функції у точці мовою односторонніх меж.

2) Рівність (1) можна також записати у вигляді:

Кажуть: «якщо функція безперервна у точці x 0 то знак межі і функцію можна поміняти місцями ».

ВИЗНАЧЕННЯ 2 (мовою e-d).

Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо"e>0 $d>0 таке, що

якщо xÎU( x 0, d) (тобто. | x – x 0 | < d),

то f(x)ÎU( f(x 0), e) (тобто | | f(x) – f(x 0) | < e).

Нехай x, x 0 Î D(f) (x 0 – фіксована, x –довільна)

Позначимо: D x= x – x 0 – приріст аргументу

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – збільшення функції в точціx 0

ВИЗНАЧЕННЯ 3 (геометричне).

Функція f(x) на зується безперервний у точці x 0 якщо в цій точці нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, тобто.

Нехай функція f(x) визначено на проміжку [ x 0 ; x 0 + d) (на проміжку ( x 0 – d; x 0 ]).

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 справа (зліва ), якщо справедлива рівність

Очевидно, що f(x) безперервна в точці x 0 Û f(x) безперервна в точці x 0 праворуч та ліворуч.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний на інтервал е ( a; b) якщо вона безперервна в кожній точці цього інтервалу.

Функція f(x) називається безперервною на відрізку [a; b] якщо вона безперервна на інтервалі (a; b) і має односторонню безперервність у граничних точках(Тобто безперервна в точці aправоруч, у точці b- Зліва).

11) Точки розриву, їхня класифікація

ВИЗНАЧЕННЯ. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 , але не є безперервною в цій точці, то f(x) називають розривною в точці x 0 , а саму точку x 0 називають точкою розриву функції f(x) .

Зауваження.

1) f(x) може бути визначена в неповній околиці точки x 0 .

Тоді розглядають відповідну односторонню безперервність функції.

2) З визначення Þ точка x 0 є точкою розриву функції f(x) у двох випадках:

а) U( x 0 , d)Î D(f) , але для f(x) не виконується рівність

б) U * ( x 0 , d)Î D(f) .

Для елементарних функційможливий лише випадок б).

Нехай x 0 – точка розриву функції f(x) .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву I роду якщо функція f(x)має в цій точці кінцеві межі зліва та справа.

Якщо при цьому ці межі дорівнюють, то точка x 0 називається точкою усуненого розриву , в іншому випадку – точкою стрибка .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву II роду якщо хоча б одна з односторонніх меж функції f(x)у цій точці дорівнює¥ чи не існує.

12) Властивості функцій, безперервних на відрізку (теореми Вейєрштрасса (без док-ва) та Коші

Теорема Вейєрштраса

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку тоді

1)f(x)обмежена на

2)f(x) приймає на проміжку своє найменше і найбільше значення

Визначення: Значення функції m=f називається найменшим, якщо m≤f(x) для будь-якого x€ D(f).

Значення функції m=f називається найбільшим, якщо m≥f(x) для будь-якого x€ D(f).

Найменше\найбільше значення функція може приймати у кількох точках відрізка.

f(x 3)=f(x 4)=max

Теорема Коші.

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку і х – число, укладене між f(a) та f(b), тоді існує хоча б одна точка х 0 € така, що f(x 0) = g

Формула другої чудової межі має вигляд lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Інша форма запису має такий вигляд: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Коли говоримо про другий чудовому межі, нам доводиться мати справу з невизначеністю виду 1 ∞ , тобто. одиницею нескінченно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Розглянемо завдання, у яких нам знадобиться вміння обчислювати другу чудову межу.

Приклад 1

Знайдіть межу lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Рішення

Підставимо потрібну формулу і виконаємо обчислення.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

У нас у відповіді вийшла одиниця в міру нескінченність. Щоб визначитися з методом розв'язання, використовуємо таблицю невизначеностей. Виберемо другу чудову межу і зробимо заміну змінних.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Якщо x → ∞ , то t → - ∞ .

Подивимося, що в нас вийшло після заміни:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Відповідь: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Приклад 2

Обчисліть межу lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.

Рішення

Підставимо нескінченність і отримаємо таке.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

У відповіді у нас знову вийшло те саме, що й у попередньому завданні, отже, ми можемо знову скористатися другою чудовою межею. Далі нам потрібно виділити на підставі статечної функціїцілу частину:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Після цього межа набуває наступного вигляду:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Замінюємо змінні. Припустимо, що t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; якщо x → ∞, то t → ∞.

Після цього записуємо, що в нас вийшло у вихідній межі:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Щоб виконати це перетворення, ми використовували основні властивості меж і ступенів.

Відповідь: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e-2.

Приклад 3

Обчисліть межу lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Рішення

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Після цього нам потрібно виконати перетворення функції для застосування другої чудової межі. У нас вийшло таке:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Оскільки зараз у нас є однакові показники ступеня в чисельнику і знаменнику дробу (рівні шести), то межа дробу на нескінченності дорівнюватиме відношенню даних коефіцієнтів при старших ступенях.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

При заміні t = x 2 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 у нас вийде друга чудова межа. Значить, що:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Відповідь: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e-3.

Висновки

Невизначеність 1 ∞, тобто. одиниця в нескінченній мірі, є статечною невизначеністю, отже, її можна розкрити, використовуючи правила знаходження меж показово статечних функцій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter