Formule de valeur statistique moyenne. Méthode de moyennes, théorie

En mathématiques et statistiques moyenne arithmétique (ou facile moyenne) d'un ensemble de nombres est la somme de tous les nombres de cet ensemble divisée par leur nombre. La moyenne arithmétique est une représentation particulièrement universelle et la plus courante d'une moyenne.

Tu auras besoin de

Connaissance des mathématiques.

Instructions

1. Soit un ensemble de quatre nombres. A découvrir moyenne signification cette trousse. Pour ce faire, on trouve d’abord la somme de tous ces nombres. Les nombres possibles sont 1, 3, 8, 7. Leur somme est S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. L'ensemble de nombres doit être constitué de nombres du même signe, sinon le sens du calcul de la valeur moyenne est perdu.

2. Moyenne signification l'ensemble des nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. Autrement dit, il s'avère que moyenne signification est égal à : 19/4 = 4,75.

3. Pour un ensemble de nombres, il est également possible de détecter non seulement moyenne l'arithmétique, mais aussi moyenne géométrique. La moyenne géométrique de plusieurs nombres réels réguliers est un nombre qui peut remplacer n'importe lequel de ces nombres afin que leur produit ne change pas. La moyenne géométrique G est recherchée à l'aide de la formule : la Nième racine du produit d'un ensemble de nombres, où N est le nombre de l'ensemble. Regardons le même ensemble de nombres : 1, 3, 8, 7. Trouvons-les moyenne géométrique. Pour ce faire, calculons le produit : 1*3*8*7 = 168. Maintenant, à partir du nombre 168, vous devez extraire la 4ème racine : G = (168)^1/4 = 3,61. Ainsi moyenne l'ensemble géométrique des nombres est 3,61.

Moyenne La moyenne géométrique est généralement moins utilisée que la moyenne arithmétique, cependant, elle peut être utile pour calculer la valeur moyenne d'indicateurs évoluant dans le temps (le salaire d'un employé individuel, la dynamique des indicateurs de performance académique, etc.).

Tu auras besoin de

Calculatrice d'ingénierie

Instructions

1. Afin de trouver la moyenne géométrique d’une série de nombres, il faut d’abord multiplier tous ces nombres. Disons que l'on vous donne un ensemble de cinq indicateurs : 12, 3, 6, 9 et 4. Multiplions tous ces nombres : 12x3x6x9x4=7776.

2. Maintenant, à partir du nombre obtenu, vous devez extraire la racine d'une puissance égale au nombre d'éléments de la série. Dans notre cas, à partir du nombre 7776 il faudra extraire la racine cinquième à l'aide d'une calculatrice d'ingénierie. Le numéro obtenu après cette opération est en dans ce cas numéro 6 – sera la moyenne géométrique de groupe principal Nombres.

3. Si vous n'avez pas de calculatrice technique à portée de main, vous pouvez calculer la moyenne géométrique d'une série de nombres à l'aide de la fonction SRGEOM dans Programme Excel ou en utilisant l'une des calculatrices en ligne spécialement conçues pour calculer des moyennes géométriques.

Note!
Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de chacun pour 2 nombres, alors vous n'avez pas besoin d'une calculatrice technique : extrayez la 2ème racine ( Racine carrée) à partir de n'importe quel nombre est autorisé à l'aide de la calculatrice la plus ordinaire.

Conseil utile
Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas si puissamment affectée par d'énormes écarts et fluctuations entre les valeurs individuelles de l'ensemble d'indicateurs étudiés.

Moyenne la valeur est l'un des classements d'un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas sortir de la plage définie par les valeurs les plus grandes et les plus petites de cet ensemble de nombres. Moyenne valeur arithmétique- un type de support particulièrement fréquemment utilisé.

Instructions

1. Additionnez tous les nombres de l’ensemble et divisez-les par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon certaines conditions de calcul, il est parfois plus simple de diviser chacun des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et d'additionner le total.

2. Utilisez, par exemple, la calculatrice incluse avec le système d'exploitation Windows si le calcul de la moyenne arithmétique dans votre tête n'est pas possible. Vous pouvez l'ouvrir avec l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour ce faire, appuyez sur les « touches de raccourci » WIN + R ou cliquez sur le bouton « Démarrer » et sélectionnez la commande « Exécuter » dans le menu principal. Après cela, tapez calc dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée sur votre clavier ou cliquez sur le bouton « OK ». La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, accédez à la section « Tous les programmes » et aux segments « Typique » et sélectionnez la ligne « Calculatrice ».

3. Entrez tous les nombres de l'ensemble étape par étape en appuyant sur la touche Plus du clavier après chacun d'eux (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. Vous pouvez également saisir des chiffres soit à partir du clavier, soit en cliquant sur les boutons de l'interface correspondants.

4. Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez sur cette icône dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur de l'ensemble et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Après cela, appuyez sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.

5. Il est permis d'utiliser un éditeur de tableaux dans le même but. Microsoft Excel. Dans ce cas, lancez l'éditeur et saisissez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir saisi le numéro entier, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus de saisie vers la cellule adjacente.

6. Sélectionnez toutes les valeurs saisies et dans le coin inférieur gauche de la fenêtre de l'éditeur (dans la barre d'état), vous verrez la valeur moyenne arithmétique des cellules sélectionnées.

7. Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre saisi si vous souhaitez simplement voir la moyenne. Développez la liste déroulante avec l'image de la lettre grecque sigma (Σ) dans le groupe de commandes Édition de l'onglet Principal. Sélectionnez la ligne " Moyenne" et l'éditeur insérera la formule nécessaire pour calculer la moyenne arithmétique dans la cellule sélectionnée. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.

La moyenne arithmétique est l'une des mesures de propension centrale, largement utilisée en mathématiques et en calculs statistiques. Trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs est très simple, mais chaque tâche a ses propres nuances, que vous devez connaître pour accomplir calculs corrects primitivement nécessaire.

Qu'est-ce qu'une moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique définit la valeur moyenne de chaque tableau initial de nombres. En d'autres termes, à partir d'un certain ensemble de nombres, une valeur universelle pour tous les éléments est sélectionnée, dont la comparaison mathématique avec tous les éléments est approximativement égale. La moyenne arithmétique est utilisée de préférence dans l'élaboration de rapports financiers et statistiques ou pour calculer les résultats quantitatifs de compétences similaires.

Comment trouver la moyenne arithmétique

Trouver la moyenne arithmétique d'un tableau de nombres doit commencer par déterminer la somme algébrique de ces valeurs. Par exemple, si le tableau contient les nombres 23, 43, 10, 74 et 34, alors leur somme algébrique sera égale à 184. Lors de l'écriture, la moyenne arithmétique est désignée par la lettre ? (mu) ou x (x avec une ligne). Ensuite, la somme algébrique doit être divisée par le nombre de nombres dans le tableau. Dans l'exemple considéré, il y avait cinq nombres, donc la moyenne arithmétique sera égale à 184/5 et sera de 36,8.

Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs

Si le tableau contient des nombres négatifs, la moyenne arithmétique est trouvée à l'aide d'un algorithme similaire. La différence n'existe que lors du calcul dans l'environnement de programmation ou si le problème contient des données supplémentaires. Dans ces cas, trouver la moyenne arithmétique des nombres avec divers signes se résume à trois étapes : 1. Trouver la moyenne arithmétique universelle à l'aide de la méthode standard ;2. Trouver la moyenne arithmétique des nombres négatifs.3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs. Les résultats de chaque action sont écrits séparés par des virgules.

Fractions naturelles et décimales

Si un tableau de nombres est présenté décimales, la solution est effectuée selon la méthode de calcul de la moyenne arithmétique des nombres entiers, mais la réduction du total est effectuée en fonction des exigences du problème pour l'exactitude du résultat. Lorsque vous travaillez avec des fractions naturelles, elles doivent être réduit à un dénominateur commun, celui qui est multiplié par le nombre de nombres du tableau. Le numérateur du résultat sera la somme des numérateurs donnés des éléments fractionnaires initiaux.

La moyenne géométrique des nombres dépend non seulement de la valeur absolue des nombres eux-mêmes, mais aussi de leur nombre. Il est impossible de confondre moyenne géométrique et moyenne nombres arithmétiques, du fait qu’ils reposent sur des méthodologies différentes. Dans ce cas, la moyenne géométrique est invariablement inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.

Tu auras besoin de

Calculatrice d'ingénierie.

Instructions

1. Considérons que dans le cas général la moyenne géométrique des nombres se trouve en multipliant ces nombres et en en retirant la racine de la puissance qui correspond au nombre de nombres. Par exemple, si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, vous devrez alors extraire la cinquième racine du produit.

2. Pour trouver la moyenne géométrique de 2 nombres, utilisez la règle de base. Trouvez leur produit, puis prenez la racine carrée du nombre deux, qui correspond au degré de la racine. Disons que pour trouver la moyenne géométrique des nombres 16 et 4, trouvons leur produit 16 4 = 64. À partir du nombre obtenu, prenez la racine carrée ?64=8. Ce sera la valeur souhaitée. Attention, la moyenne arithmétique de ces 2 nombres est supérieure et égale à 10. Si la racine n'est pas extraite dans son intégralité, arrondissez le total à l'ordre souhaité.

3. Pour trouver la moyenne géométrique de plus de 2 nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous devez trouver la moyenne géométrique. Du produit obtenu, extrayez la racine de la puissance égale au nombre de nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64=512. Parce qu'il faut trouver le résultat de la moyenne géométrique de 3 nombres, extraire la troisième racine du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Il dispose pour cela d'un bouton « x^y ». Composez le numéro 512, appuyez sur le bouton « x^y », puis composez le numéro 3 et appuyez sur le bouton « 1/x » pour trouver la valeur 1/3, appuyez sur le bouton « = ». On obtient le résultat en élevant 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la troisième racine. Obtenez 512 ^ 1/3 = 8. C'est la moyenne géométrique des nombres 2,4 et 64.

4. Avec l’aide d’une calculatrice technique, vous pouvez trouver la moyenne géométrique en utilisant une autre méthode. Trouvez le bouton de journalisation sur votre clavier. Après cela, prenez le logarithme de tous les nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. Prenez l'antilogarithme du nombre obtenu. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Disons que, afin de trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuons un ensemble d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton « + », composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et « + », composez le 64, appuyez sur log et « = ». Le résultat sera le nombre égal à la somme logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre obtenu par 3, puisque c'est le nombre de nombres par lequel la moyenne géométrique est recherchée. Du total, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton d'enregistrement et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le chiffre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.

Note!
La valeur moyenne ne peut pas être supérieure au plus grand nombre de l'ensemble ni inférieure au plus petit.

Conseil utile
En statistique mathématique, la valeur moyenne d’une quantité est appelée espérance mathématique.

La valeur moyenne est un indicateur général caractérisant le niveau typique d'un phénomène. Il exprime la valeur d'une caractéristique par unité de population.

La valeur moyenne est :

1) la valeur la plus typique de l'attribut pour la population ;

2) le volume de l'attribut population, réparti également entre les unités de la population.

La caractéristique pour laquelle la valeur moyenne est calculée est appelée « moyennée » en statistique.

La moyenne généralise toujours la variation quantitative d'un trait, c'est-à-dire dans les valeurs moyennes, les différences individuelles entre les unités de la population dues à des circonstances aléatoires sont éliminées. Contrairement à la moyenne valeur absolue, qui caractérise le niveau d'une caractéristique d'une unité individuelle d'une population, ne permet pas de comparer les valeurs d'une caractéristique entre des unités appartenant à des populations différentes. Ainsi, si vous devez comparer les niveaux de rémunération des travailleurs de deux entreprises, vous ne pouvez pas comparer sur cette base deux salariés d'entreprises différentes. La rémunération des travailleurs sélectionnés pour comparaison peut ne pas être typique de ces entreprises. Si l'on compare le montant des fonds salariaux dans les entreprises considérées, le nombre d'employés n'est pas pris en compte et, par conséquent, il est impossible de déterminer où le niveau des salaires est plus élevé. En fin de compte, seuls les indicateurs moyens peuvent être comparés, c'est-à-dire Combien gagne en moyenne un employé dans chaque entreprise ? Il est donc nécessaire de calculer la valeur moyenne en tant que caractéristique généralisée de la population.

Il est important de noter que pendant le processus de calcul de la moyenne, la valeur totale des niveaux d'attribut ou sa valeur finale (dans le cas du calcul des niveaux moyens dans une série dynamique) doit rester inchangée. En d'autres termes, lors du calcul de la valeur moyenne, le volume de la caractéristique étudiée ne doit pas être déformé et les expressions compilées lors du calcul de la moyenne doivent nécessairement avoir un sens.

Le calcul de la moyenne est l’une des techniques de généralisation courantes ; l'indicateur moyen nie ce qui est commun (typique) à toutes les unités de la population étudiée, tout en ignorant les différences entre les unités individuelles. Dans chaque phénomène et dans son développement, il y a une combinaison de hasard et de nécessité. Lors du calcul des moyennes, sous l'action de la loi des grands nombres, le hasard s'annule et s'équilibre, il est donc possible de faire abstraction des caractéristiques sans importance du phénomène, des valeurs quantitatives de la caractéristique dans chaque cas spécifique. . La capacité de faire abstraction du caractère aléatoire des valeurs individuelles et des fluctuations réside dans la valeur scientifique des moyennes en tant que caractéristiques généralisantes des agrégats.

Pour que la moyenne soit véritablement représentative, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Arrêtons-nous sur quelques principes généraux d'utilisation des moyennes.

1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.

2. La moyenne doit être calculée pour une population composée d'un nombre d'unités suffisamment important.

3. La moyenne doit être calculée pour une population dont les unités sont dans un état normal et naturel.

4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur étudié.

5.2. Types de moyennes et méthodes de calcul

Considérons maintenant les types de valeurs moyennes, les caractéristiques de leur calcul et les domaines d'application. Les valeurs moyennes sont divisées en deux grandes classes : les moyennes de puissance, les moyennes structurelles.

Les moyennes de puissance comprennent les types les plus connus et les plus fréquemment utilisés, tels que la moyenne géométrique, la moyenne arithmétique et la moyenne carrée.

Le mode et la médiane sont considérés comme des moyennes structurelles.

Concentrons-nous sur les moyennes de puissance. Les moyennes de puissance, selon la présentation des données sources, peuvent être simples ou pondérées. Moyenne simple Il est calculé sur la base de données non regroupées et a la forme générale suivante :

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;

n – option numérique.

Moyenne pondérée est calculé sur la base de données groupées et a une apparence générale

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ou la valeur médiane de l'intervalle dans lequel la variante est mesurée ;

m – indice de diplôme moyen ;

f i – fréquence indiquant combien de fois cela se produit c'est-à-dire la valeur caractéristique de moyenne.

Si vous calculez tous les types de moyennes pour les mêmes données initiales, leurs valeurs s'avéreront différentes. La règle de la majorité des moyennes s'applique ici : à mesure que l'exposant m augmente, la valeur moyenne correspondante augmente également :

Dans la pratique statistique, les moyennes arithmétiques et les moyennes pondérées harmoniques sont utilisées plus souvent que les autres types de moyennes pondérées.

Types de moyens de puissance

Forme de pouvoir moyenne	Indice diplôme (m)	Formule de calcul
Forme de pouvoir moyenne	Indice diplôme (m)	Simple	Pondéré
Harmonique
Géométrique
Arithmétique
Quadratique
Cubique

La moyenne harmonique a plus conception complexe que la moyenne arithmétique. La moyenne harmonique est utilisée pour les calculs lorsque ce ne sont pas les unités de la population - les porteurs de la caractéristique - qui sont utilisées comme poids, mais le produit de ces unités par les valeurs de la caractéristique (c'est-à-dire m = Xf). L'harmonique simple moyenne doit être utilisée pour déterminer, par exemple, le coût moyen de la main-d'œuvre, du temps, des matériaux par unité de production, par pièce pour deux (trois, quatre, etc.) entreprises, travailleurs engagés dans la fabrication du même type de produit, de la même pièce, du même produit.

La principale exigence de la formule de calcul de la valeur moyenne est que toutes les étapes du calcul aient une justification réelle et significative ; la valeur moyenne résultante doit remplacer les valeurs individuelles de l'attribut pour chaque objet sans perturber le lien entre les indicateurs individuels et récapitulatifs. En d'autres termes, la valeur moyenne doit être calculée de telle sorte que lorsque chaque valeur individuelle de l'indicateur moyenné est remplacée par sa valeur moyenne, un indicateur récapitulatif final, lié d'une manière ou d'une autre à l'indicateur moyenné, reste inchangé. Ce total est appelé définition puisque la nature de sa relation avec les valeurs individuelles détermine la formule spécifique de calcul de la valeur moyenne. Démontrons cette règle en utilisant l'exemple de la moyenne géométrique.

Formule de moyenne géométrique

utilisé le plus souvent lors du calcul de la valeur moyenne basée sur la dynamique relative individuelle.

La moyenne géométrique est utilisée si une séquence de dynamiques relatives en chaîne est donnée, indiquant, par exemple, une augmentation du volume de production par rapport au niveau de l'année précédente : i 1, i 2, i 3,…, i n. Il est évident que le volume de production en l'année dernière est déterminé par son niveau initial (q 0) et son augmentation ultérieure au fil des années :

q n = q 0 × je 1 × je 2 ×… × je n .

En prenant q n comme indicateur déterminant et en remplaçant les valeurs individuelles des indicateurs de dynamique par des valeurs moyennes, on arrive à la relation

D'ici

Un type particulier de moyennes - les moyennes structurelles - est utilisé pour étudier structure interne série de distribution de valeurs d'attribut, ainsi que pour estimer la valeur moyenne (type de puissance), si son calcul ne peut être effectué en fonction des données statistiques disponibles (par exemple, si dans l'exemple considéré il n'y avait pas de données à la fois sur le volume de production et le montant des coûts pour les groupes d'entreprises) .

Les indicateurs sont le plus souvent utilisés comme moyennes structurelles mode - la valeur la plus fréquemment répétée de l’attribut – et médianes – la valeur d'une caractéristique qui divise la séquence ordonnée de ses valeurs en deux parties égales. En conséquence, pour la moitié des unités de la population, la valeur de l'attribut ne dépasse pas le niveau médian et pour l'autre moitié, elle n'y est pas inférieure.

Si la caractéristique étudiée a des valeurs discrètes, le calcul du mode et de la médiane ne pose pas de difficultés particulières. Si les données sur les valeurs de l'attribut X sont présentées sous la forme d'intervalles ordonnés de son changement (série d'intervalles), le calcul du mode et de la médiane devient un peu plus compliqué. Puisque la valeur médiane divise l'ensemble de la population en deux parties égales, elle aboutit dans l'un des intervalles de caractéristique X. Par interpolation, la valeur de la médiane se retrouve dans cet intervalle médian :

où X Me est la limite inférieure de l'intervalle médian ;

h Moi – sa valeur ;

(Somme m)/2 – la moitié de nombre total observations ou la moitié du volume de l'indicateur qui sert de pondération dans les formules de calcul de la valeur moyenne (en termes absolus ou relatifs) ;

S Me-1 – la somme des observations (ou le volume de l'attribut de pondération) accumulées avant le début de l'intervalle médian ;

m Me – le nombre d'observations ou le volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle médian (également en termes absolus ou relatifs).

Lors du calcul de la valeur modale d'une caractéristique à l'aide des données d'une série d'intervalles, il faut faire attention au fait que les intervalles sont identiques, car l'indicateur de répétabilité des valeurs de la caractéristique X en dépend. série avec à intervalles égaux l'ampleur du mode est définie comme

où X Mo est la valeur inférieure de l'intervalle modal ;

m Mo – nombre d'observations ou volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle modal (en termes absolus ou relatifs) ;

m Mo-1 – le même pour l'intervalle précédant l'intervalle modal ;

m Mo+1 – de même pour l'intervalle suivant celui modal ;

h – la valeur de l'intervalle de changement de la caractéristique en groupes.

TACHE 1

Les données de groupe suivantes sont disponibles entreprises industrielles pour l'année de référence

№ entreprises	Volume du produit, millions de roubles.		Nombre moyen d'employés, de personnes.	Bénéfice, mille roubles
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Il est nécessaire de regrouper les entreprises pour l'échange de produits, selon les intervalles suivants :

jusqu'à 200 millions de roubles

de 200 à 400 millions de roubles.

de 400 à 600 millions de roubles.

Pour chaque groupe et pour tous ensemble, déterminez le nombre d'entreprises, le volume de production, le nombre moyen d'employés, la production moyenne par employé. Présentez les résultats du regroupement sous la forme d’un tableau statistique. Formulez une conclusion.

SOLUTION

Nous regrouperons les entreprises par échange de produits, calculerons le nombre d'entreprises, le volume de production et le nombre moyen d'employés en utilisant la formule de la moyenne simple. Les résultats du regroupement et des calculs sont résumés dans un tableau.

Groupes par volume de produit	№ entreprises	Volume du produit, millions de roubles.	Coût annuel moyen des immobilisations, millions de roubles.	Sommeil moyen nombre juteux d'employés, de personnes.	Bénéfice, mille roubles	Production moyenne par employé
1 groupe jusqu'à 200 millions de roubles	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Niveau moyen		198,3			24,9
2ème groupe de 200 à 400 millions de roubles.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Niveau moyen		282,3	37,6	1530	64,0
3 groupe de 400 à 600 millions	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Niveau moyen		512,9	34,4	1421	120,9
Total au total		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
En moyenne		379,6	59,9	1223,6	79,5

Conclusion. Ainsi, dans la population considérée, le plus grand nombre d'entreprises en termes de volume de production tombait dans le troisième groupe - sept, soit la moitié des entreprises. Le coût annuel moyen des immobilisations appartient également à ce groupe, ainsi que le nombre moyen élevé d'employés - 9 974 personnes ; les entreprises du premier groupe sont les moins rentables.

TÂCHE 2

Les données suivantes sont disponibles sur les entreprises de l'entreprise

Numéro de l'entreprise incluse dans la société	je quarte	IIème trimestre
	Production de produits, mille roubles.	Jours-homme travaillés par les travailleurs	Production moyenne par travailleur et par jour, frotter.
	59390,13

Les caractéristiques des unités d'agrégats statistiques ont une signification différente, par exemple, les salaires des travailleurs d'une même profession d'une entreprise ne sont pas les mêmes pour la même période de temps, les prix du marché pour les mêmes produits, les rendements des cultures dans le district fermes, etc Par conséquent, afin de déterminer la valeur d'une caractéristique caractéristique de l'ensemble de la population d'unités étudiées, des valeurs moyennes sont calculées.
valeur moyenne – il s'agit d'une caractéristique généralisatrice d'un ensemble de valeurs individuelles d'une certaine caractéristique quantitative.

La population étudiée sur une base quantitative est constituée de valeurs individuelles ; ils sont influencés à la fois par des causes générales et conditions individuelles. En valeur moyenne, les écarts caractéristiques des valeurs individuelles sont annulés. La moyenne, étant fonction d'un ensemble de valeurs individuelles, représente l'ensemble de l'ensemble avec une seule valeur et reflète ce qui est commun à toutes ses unités.

La moyenne calculée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes est appelée moyenne typique. Par exemple, vous pouvez calculer le salaire mensuel moyen d'un salarié d'un groupe professionnel particulier (mineur, médecin, bibliothécaire). Bien sûr, les niveaux mensuels salaires les mineurs, en raison des différences dans leurs qualifications, leur ancienneté, leur durée mensuelle de travail et de nombreux autres facteurs, diffèrent les uns des autres et du niveau des salaires moyens. Toutefois, le niveau moyen reflète les principaux facteurs qui influencent le niveau des salaires et annule les différences dues à caractéristiques individuelles employé. Le salaire moyen reflète le niveau de rémunération typique pour un type de travailleur donné. L'obtention d'une moyenne typique doit être précédée d'une analyse de l'homogénéité qualitative de la population donnée. Si l'ensemble en est composé pièces détachées, il doit être divisé en groupes typiques (température moyenne à l'hôpital).

Les valeurs moyennes utilisées comme caractéristiques pour des populations hétérogènes sont appelées moyennes du système. Par exemple, la valeur moyenne du produit intérieur brut (PIB) par habitant, la valeur moyenne de la consommation de divers groupes de biens par personne et d'autres valeurs similaires qui représentent les caractéristiques générales de l'État en tant que système économique unifié.

La moyenne doit être calculée pour des populations constituées d'un nombre d'unités suffisamment important. Le respect de cette condition est nécessaire pour que la loi des grands nombres entre en vigueur, à la suite de laquelle des écarts aléatoires de quantités individuelles par rapport à tendance générale s'annulent.

Types de moyennes et méthodes de calcul

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données sources. Cependant, toute valeur moyenne doit être calculée de manière à ce que lorsqu'elle remplace chaque variante de la caractéristique moyennée, la valeur finale, généralisatrice ou, comme on l'appelle communément, ne change pas. indicateur de définition, qui est associé à l'indicateur moyenné. Par exemple, lorsque vous remplacez les vitesses réelles sur des sections individuelles du chemin par leur vitesse moyenne, la distance totale parcourue ne doit pas changer. véhicule en même temps; lors du remplacement du salaire réel travailleurs individuels entreprises de taille moyenne salaires Le fonds salarial ne devrait pas changer. Par conséquent, dans chaque cas particulier, selon la nature des données disponibles, il n'existe qu'une seule vraie valeur moyenne de l'indicateur, adéquate aux propriétés et à l'essence du phénomène socio-économique étudié.
Les plus couramment utilisées sont la moyenne arithmétique, la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, la moyenne quadratique et la moyenne cubique.
Les moyennes indiquées appartiennent à la classe calme moyennes et sont combinés par la formule générale :
,
où est la valeur moyenne de la caractéristique étudiée ;
m – indice de diplôme moyen ;
– valeur actuelle (variante) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;
n – nombre de fonctionnalités.
En fonction de la valeur de l'exposant m, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
lorsque m = -1 – moyenne harmonique ;
à m = 0 – moyenne géométrique ;
pour m = 1 – moyenne arithmétique ;
pour m = 2 – moyenne quadratique ;
à m = 3 – cube moyen.
Lorsque vous utilisez les mêmes données initiales, plus l'exposant m dans la formule ci-dessus est grand, plus la valeur moyenne est grande :
.
Cette propriété de la puissance moyenne d'augmenter avec l'exposant croissant de la fonction de définition est appelée la règle de la majorité des moyennes.
Chacune des moyennes marquées peut prendre deux formes : simple Et pondéré.
Forme moyenne simple utilisé lorsque la moyenne est calculée à partir de données primaires (non regroupées). Forme pondérée– lors du calcul de la moyenne sur la base de données secondaires (regroupées).

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est utilisée lorsque le volume de la population est la somme de toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique variable. Il convient de noter que si le type de moyenne n’est pas précisé, la moyenne arithmétique est utilisée. Sa formule logique ressemble à :

Moyenne arithmétique simple calculé basé sur des données non regroupées selon la formule :
ou ,
où sont les valeurs individuelles de la caractéristique ;
j est le numéro de série de l'unité d'observation, qui est caractérisé par la valeur ;
N – nombre d'unités d'observation (volume de la population).
Exemple. La conférence «Résumé et regroupement des données statistiques» a examiné les résultats de l'observation de l'expérience de travail d'une équipe de 10 personnes. Calculons l'expérience de travail moyenne des travailleurs de l'équipe. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

D'après la formule moyenne arithmétique simples sont également calculés moyennes en séries chronologiques, si les intervalles de temps pour lesquels les valeurs caractéristiques sont présentées sont égaux.
Exemple. Le volume des produits vendus au premier trimestre s'élève à 47 deniers. unités, pour le deuxième 54, pour le troisième 65 et pour le quatrième 58 den. unités Le chiffre d'affaires trimestriel moyen est de (47+54+65+58)/4 = 56 den. unités
Si les indicateurs momentanés sont donnés dans une série chronologique, alors lors du calcul de la moyenne, ils sont remplacés par des demi-sommes des valeurs de début et de fin de période.
S'il y a plus de deux moments et que les intervalles entre eux sont égaux, alors la moyenne est calculée à l'aide de la formule de la moyenne chronologique

,
où n est le nombre de points dans le temps
Dans le cas où les données sont regroupées par valeurs caractéristiques (c'est-à-dire qu'une série de distribution variationnelle discrète a été construite) avec moyenne arithmétique pondérée calculé à partir soit de fréquences, soit de fréquences d'observation de valeurs spécifiques d'une caractéristique dont le nombre (k) est significatif moins de nombre observations (N) .
,
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations,
je – numéro de groupe de la série de variations.
Puisque , a , on obtient les formules utilisées pour les calculs pratiques :
Et
Exemple. Calculons l'ancienneté moyenne des équipes de travail sur une ligne regroupée.
a) en utilisant des fréquences :

b) en utilisant des fréquences :

Dans le cas où les données sont regroupées par intervalles , c'est à dire. sont présentés sous forme de séries de distribution d'intervalles ; lors du calcul de la moyenne arithmétique, le milieu de l'intervalle est pris comme valeur de l'attribut, sur la base de l'hypothèse d'une distribution uniforme des unités de population sur un intervalle donné. Le calcul est effectué à l'aide des formules :
Et
où est le milieu de l'intervalle : ,
où et sont les limites inférieure et supérieure des intervalles (à condition que la limite supérieure d'un intervalle donné coïncide avec la limite inférieure de l'intervalle suivant).

Exemple. Calculons la moyenne arithmétique de la série de variations d'intervalles construite à partir des résultats d'une étude des salaires annuels de 30 travailleurs (voir cours « Résumé et regroupement des données statistiques »).
Tableau 1 – Distribution des séries de variations d’intervalle.

Intervalles, UAH	Fréquence, personnes	Fréquence,	Le milieu de l'intervalle
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH ou UAH
Les moyennes arithmétiques calculées sur la base des données sources et des séries de variations d'intervalles peuvent ne pas coïncider en raison de la répartition inégale des valeurs d'attributs dans les intervalles. Dans ce cas, pour un calcul plus précis de la moyenne arithmétique pondérée, il ne faut pas utiliser les milieux des intervalles, mais les moyennes arithmétiques simples calculées pour chaque groupe ( moyennes de groupe). La moyenne calculée à partir des moyennes de groupe à l'aide d'une formule de calcul pondérée est appelée moyenne générale.
La moyenne arithmétique possède un certain nombre de propriétés.
1. La somme des écarts par rapport à l'option moyenne est nulle :
.
2. Si toutes les valeurs de l'option augmentent ou diminuent du montant A, alors la valeur moyenne augmente ou diminue du même montant A :

3. Si chaque option est augmentée ou diminuée de B fois, alors la valeur moyenne augmentera ou diminuera également du même nombre de fois :
ou
4. La somme des produits de l'option par les fréquences est égale au produit de la valeur moyenne par la somme des fréquences :

5. Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre quelconque, alors la moyenne arithmétique ne changera pas :

6) si dans tous les intervalles les fréquences sont égales les unes aux autres, alors la moyenne arithmétique pondérée est égale à la moyenne arithmétique simple :
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations.

Utiliser les propriétés de la moyenne permet de simplifier son calcul.
Supposons que toutes les options (x) soient d'abord réduites du même nombre A, puis réduites d'un facteur B. La plus grande simplification est obtenue lorsque la valeur du milieu de l'intervalle avec la fréquence la plus élevée est choisie comme A et que la valeur de l'intervalle (pour les séries avec des intervalles identiques) est sélectionnée comme B. La quantité A est appelée l'origine, donc cette méthode de calcul de la moyenne est appelée chemin b référence ohm à partir du zéro conditionnel ou façon de moments.
Après une telle transformation, on obtient une nouvelle série de distribution variationnelle dont les variantes sont égales à . Leur moyenne arithmétique, appelée moment du premier ordre, est exprimé par la formule et, selon les deuxième et troisième propriétés, la moyenne arithmétique est égale à la moyenne de la version originale, réduite d'abord de A, puis de B fois, c'est-à-dire
Pour obtenir moyenne réelle(moyenne de la série originale) vous devez multiplier le moment du premier ordre par B et ajouter A :

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 2.
Tableau 2 – Répartition des ouvriers des ateliers d'usine selon l'ancienneté

Ancienneté des salariés, années	Nombre de travailleurs	Milieu de l'intervalle
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Trouver le moment de la première commande . Puis, sachant que A = 17,5 et B = 5, on calcule l'ancienneté moyenne des ouvriers de l'atelier :
années

Moyenne harmonique
Comme indiqué ci-dessus, la moyenne arithmétique est utilisée pour calculer la valeur moyenne d'une caractéristique dans les cas où ses variantes x et leurs fréquences f sont connues.
Si les informations statistiques ne contiennent pas de fréquences f pour les options individuelles x de la population, mais sont présentées comme leur produit, la formule est appliquée moyenne harmonique pondérée. Pour calculer la moyenne, notons où . En substituant ces expressions dans la formule de la moyenne arithmétique pondérée, on obtient la formule de la moyenne pondérée harmonique :
,
où est le volume (poids) des valeurs d'attribut de l'indicateur dans l'intervalle numéroté i (i=1,2, …, k).

Ainsi, la moyenne harmonique est utilisée dans les cas où ce ne sont pas les options elles-mêmes qui font l'objet d'une sommation, mais leurs réciproques : .
Dans les cas où le poids de chaque option est égal à un, c'est-à-dire les valeurs individuelles de la caractéristique inverse se produisent une fois, appliquées moyenne harmonique simple:
,
où se trouvent les variantes individuelles de la caractéristique inverse, apparaissant une fois ;
N – option numérique.
S'il existe des moyennes harmoniques pour deux parties d'une population, alors la moyenne globale pour l'ensemble de la population est calculée à l'aide de la formule :

et s'appelle moyenne harmonique pondérée des moyennes de groupe.

Exemple. Lors des échanges sur le marché des changes, trois transactions ont été conclues au cours de la première heure de fonctionnement. Les données sur le montant des ventes de hryvnia et le taux de change de la hryvnia par rapport au dollar américain sont présentées dans le tableau. 3 (colonnes 2 et 3). Déterminez le taux de change moyen de la hryvnia par rapport au dollar américain pour la première heure de négociation.
Tableau 3 – Données sur l'évolution des échanges sur les marchés des changes

Le taux de change moyen du dollar est déterminé par le rapport entre le montant de la hryvnia vendu lors de toutes les transactions et le montant des dollars acquis à la suite des mêmes transactions. Le montant final de la vente de la hryvnia est connu à partir de la colonne 2 du tableau, et le nombre de dollars achetés dans chaque transaction est déterminé en divisant le montant de la vente de la hryvnia par son taux de change (colonne 4). Au total, 22 millions de dollars ont été achetés au cours de trois transactions. Cela signifie que le taux de change moyen de la hryvnia pour un dollar était
.
La valeur résultante est réelle, car le remplacer par les taux de change réels de la hryvnia dans les transactions ne modifiera pas le montant final des ventes de hryvnia, qui sert de indicateur de définition: millions d'UAH
Si la moyenne arithmétique était utilisée pour le calcul, c'est-à-dire hryvnia, puis au taux de change pour l'achat de 22 millions de dollars. il faudrait dépenser 110,66 millions d'UAH, ce qui n'est pas vrai.

Moyenne géométrique
La moyenne géométrique est utilisée pour analyser la dynamique des phénomènes et permet de déterminer coefficient moyen croissance. Lors du calcul de la moyenne géométrique, les valeurs individuelles de la caractéristique sont indicateurs relatifs dynamique construite sous forme de quantités en chaîne, comme le rapport de chaque niveau au précédent.
La moyenne géométrique simple est calculée à l'aide de la formule :
,
où est le signe du produit,
N – nombre de valeurs moyennes.
Exemple. Le nombre de délits enregistrés sur 4 ans a augmenté de 1,57 fois, dont pour la 1ère – 1,08 fois, pour la 2ème – 1,1 fois, pour la 3ème – 1,18 et pour la 4ème – 1,12 fois. Alors le taux de croissance annuel moyen du nombre de délits est : , c'est-à-dire le nombre de délits enregistrés a augmenté chaque année de 12 % en moyenne.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Pour calculer le carré moyen pondéré, nous déterminons et entrons dans le tableau et . Alors l'écart moyen de la longueur des produits par rapport à la norme donnée est égal à :

La moyenne arithmétique ne conviendrait pas dans ce cas, car en conséquence, nous obtiendrions un écart nul.
L’utilisation du carré moyen sera discutée plus en détail en termes de variation.

5.1. La notion de moyenne

Valeur moyenne - Il s'agit d'un indicateur général caractérisant le niveau typique du phénomène. Il exprime la valeur d'une caractéristique par unité de population.

La moyenne généralise toujours la variation quantitative d'un trait, c'est-à-dire dans les valeurs moyennes, les différences individuelles entre les unités de la population dues à des circonstances aléatoires sont éliminées. Contrairement à la moyenne, la valeur absolue caractérisant le niveau d'une caractéristique d'une unité individuelle d'une population ne permet pas de comparer les valeurs d'une caractéristique entre des unités appartenant à des populations différentes. Ainsi, si vous devez comparer les niveaux de rémunération des travailleurs de deux entreprises, vous ne pouvez pas comparer sur cette base deux salariés d'entreprises différentes. La rémunération des travailleurs sélectionnés pour comparaison peut ne pas être typique de ces entreprises. Si l'on compare le montant des fonds salariaux dans les entreprises considérées, le nombre d'employés n'est pas pris en compte et, par conséquent, il est impossible de déterminer où le niveau des salaires est plus élevé. En fin de compte, seuls les indicateurs moyens peuvent être comparés, c'est-à-dire Combien gagne en moyenne un employé dans chaque entreprise ? Il est donc nécessaire de calculer la valeur moyenne en tant que caractéristique généralisée de la population.

Pour que la moyenne soit véritablement représentative, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Arrêtons-nous sur quelques principes généraux d'utilisation des moyennes.
1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.
2. La moyenne doit être calculée pour une population composée d'un nombre d'unités suffisamment important.
3. La moyenne doit être calculée pour une population dont les unités sont dans un état normal et naturel.
4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur étudié.

5.2. Types de moyennes et méthodes de calcul

À puissance moyenne Ceux-ci incluent les types les plus connus et les plus fréquemment utilisés, tels que la moyenne géométrique, la moyenne arithmétique et la moyenne quadratique.

Comme moyennes structurelles le mode et la médiane sont pris en compte.

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;

n – option numérique.

Moyenne pondérée est calculé sur la base de données groupées et a une apparence générale

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ou la valeur médiane de l'intervalle dans lequel la variante est mesurée ;
m – indice de diplôme moyen ;
f i – fréquence indiquant combien de fois la valeur i-e de la caractéristique moyennée se produit.

Donnons à titre d'exemple le calcul de l'âge moyen des étudiants dans un groupe de 20 personnes :

Nous calculons l'âge moyen à l'aide de la formule de moyenne simple :

Regroupons les données sources. On obtient la série de distribution suivante :

Grâce au regroupement, nous obtenons un nouvel indicateur - la fréquence, indiquant le nombre d'élèves âgés de X ans. Ainsi, âge moyen les étudiants du groupe seront calculés à l'aide de la formule de moyenne pondérée :

Les formules générales de calcul des moyennes de puissance ont un exposant (m). En fonction de la valeur prise, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
moyenne harmonique si m = -1 ;
moyenne géométrique, si m -> 0 ;
moyenne arithmétique si m = 1 ;
moyenne quadratique si m = 2 ;
cube moyen si m = 3.

Les formules pour les moyennes de puissance sont données dans le tableau. 4.4.

Dans la pratique statistique, les moyennes arithmétiques et les moyennes pondérées harmoniques sont utilisées plus souvent que les autres types de moyennes pondérées.

Tableau 5.1

Types de moyens de puissance

Forme de pouvoir moyenne	Indice diplôme (m)	Formule de calcul
Forme de pouvoir moyenne	Indice diplôme (m)	Simple	Pondéré
Harmonique	-1
Géométrique	0
Arithmétique	1
Quadratique	2
Cubique	3

La moyenne harmonique a une structure plus complexe que la moyenne arithmétique. La moyenne harmonique est utilisée pour les calculs lorsque ce ne sont pas les unités de la population - les porteurs de la caractéristique - qui sont utilisées comme poids, mais le produit de ces unités par les valeurs de la caractéristique (c'est-à-dire m = Xf). L'harmonique simple moyenne doit être utilisée pour déterminer, par exemple, le coût moyen de la main-d'œuvre, du temps, des matériaux par unité de production, par pièce pour deux (trois, quatre, etc.) entreprises, travailleurs engagés dans la fabrication du même type de produit, de la même pièce, du même produit.

La principale exigence de la formule de calcul de la valeur moyenne est que toutes les étapes du calcul aient une justification réelle et significative ; la valeur moyenne résultante doit remplacer les valeurs individuelles de l'attribut pour chaque objet sans perturber le lien entre les indicateurs individuels et récapitulatifs. En d'autres termes, la valeur moyenne doit être calculée de telle sorte que lorsque chaque valeur individuelle de l'indicateur moyenné est remplacée par sa valeur moyenne, un indicateur récapitulatif final, lié d'une manière ou d'une autre à la valeur moyenne, reste inchangé. Ce total est appelé définition puisque la nature de sa relation avec les valeurs individuelles détermine la formule spécifique de calcul de la valeur moyenne. Démontrons cette règle en utilisant l'exemple de la moyenne géométrique.

Formule de moyenne géométrique

utilisé le plus souvent lors du calcul de la valeur moyenne basée sur la dynamique relative individuelle.

La moyenne géométrique est utilisée si une séquence de dynamiques relatives en chaîne est donnée, indiquant, par exemple, une augmentation de la production par rapport au niveau de l'année précédente : i 1, i 2, i 3,..., i n. Évidemment, le volume de production de l'année dernière est déterminé par son niveau initial (q 0) et son augmentation ultérieure au fil des années :

q n = q 0 × je 1 × je 2 ×... × je n .

En prenant q n comme indicateur déterminant et en remplaçant les valeurs individuelles des indicateurs de dynamique par des valeurs moyennes, on arrive à la relation

D'ici

5.3. Moyennes structurelles

Un type spécial de valeurs moyennes - les moyennes structurelles - est utilisé pour étudier la structure interne de la série de distribution des valeurs d'attribut, ainsi que pour estimer la valeur moyenne (type de puissance), si, selon les données statistiques disponibles, son le calcul ne peut pas être effectué (par exemple, si dans l'exemple considéré il n'y avait pas de données à la fois sur le volume de production et le montant des coûts par groupe d'entreprises).

où X Me est la limite inférieure de l'intervalle médian ;
h Moi – sa valeur ;
(Somme m)/2 – la moitié du nombre total d'observations ou la moitié du volume de l'indicateur utilisé comme pondération dans les formules de calcul de la valeur moyenne (en termes absolus ou relatifs) ;
S Me-1 – la somme des observations (ou le volume de l'attribut de pondération) accumulées avant le début de l'intervalle médian ;
m Me – le nombre d'observations ou le volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle médian (également en termes absolus ou relatifs).

Dans notre exemple, même trois valeurs médianes peuvent être obtenues - basées sur le nombre d'entreprises, le volume de production et les coûts de production totaux :

Ainsi, dans la moitié des entreprises, le coût par unité de production dépasse 125,19 mille roubles, la moitié du volume total des produits est produite avec un coût par produit supérieur à 124,79 mille roubles. et 50 % des coûts totaux sont constitués lorsque le coût d'un produit est supérieur à 125,07 mille roubles. Notez également qu'il existe une certaine tendance à l'augmentation des coûts, puisque Me 2 = 124,79 mille roubles et que le niveau moyen est de 123,15 mille roubles.

Lors du calcul de la valeur modale d'une caractéristique sur la base des données d'une série d'intervalles, il faut faire attention au fait que les intervalles sont identiques, car l'indicateur de répétabilité des valeurs de la caractéristique X en dépend. une série d'intervalles avec des intervalles égaux, l'amplitude du mode est déterminée comme

où X Mo est la valeur inférieure de l'intervalle modal ;
m Mo – nombre d'observations ou volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle modal (en termes absolus ou relatifs) ;
m Mo -1 – le même pour l'intervalle précédant l'intervalle modal ;
m Mo+1 – de même pour l'intervalle suivant celui modal ;
h – la valeur de l'intervalle de changement de la caractéristique en groupes.

Pour notre exemple, nous pouvons calculer trois significations modales en fonction du nombre d'entreprises, du volume de production et du montant des coûts. Dans les trois cas, l'intervalle modal est le même, puisque pour le même intervalle le nombre d'entreprises, le volume de production et le montant total des coûts de production sont les plus élevés :

Ainsi, il existe le plus souvent des entreprises avec un niveau de coût de 126,75 mille roubles, le plus souvent des produits sont fabriqués avec un niveau de coût de 126,69 mille roubles et le plus souvent les coûts de production s'expliquent par un niveau de coût de 123,73 mille roubles.

5.4. Indicateurs de variations

Les conditions particulières dans lesquelles se trouve chacun des objets étudiés, ainsi que leurs caractéristiques propre développement(social, économique, etc.) sont exprimés par les niveaux numériques correspondants indicateurs statistiques. Ainsi, variation, ceux. l'écart entre les niveaux d'un même indicateur dans différents objets est de nature objective et permet de comprendre l'essence du phénomène étudié.

Il existe plusieurs méthodes utilisées pour mesurer la variation des statistiques.

Le plus simple est de calculer l'indicateur plage de variation H comme différence entre les valeurs maximales (X max) et minimales (X min) observées de la caractéristique :

H=X max - X min .

Cependant, la plage de variation ne montre que les valeurs extrêmes du trait. La répétabilité des valeurs intermédiaires n'est pas prise en compte ici.

Des caractéristiques plus strictes sont des indicateurs de variabilité par rapport au niveau moyen de l'attribut. L'indicateur le plus simple d'un tel type - moyenne déviation linéaire L comme moyenne arithmétique des écarts absolus d'une caractéristique par rapport à son niveau moyen :

Lorsque les valeurs X individuelles sont reproductibles, utilisez la formule de moyenne arithmétique pondérée :

(Rappelons que la somme algébrique des écarts par rapport au niveau moyen est nulle.)

L'écart linéaire moyen a été trouvé large application sur la pratique. Avec son aide, par exemple, la composition des travailleurs, le rythme de production, l'uniformité des approvisionnements en matériaux sont analysés et des systèmes d'incitations matérielles sont développés. Mais malheureusement, cet indicateur complique les calculs probabilistes et rend difficile l'application des méthodes statistiques mathématiques. Par conséquent, en statistique recherche scientifique l’indicateur le plus souvent utilisé pour mesurer la variation est écarts.

La variance de la caractéristique (s 2) est déterminée sur la base de la moyenne quadratique de la puissance :

L'indicateur s égal à est appelé écart-type.

DANS théorie générale En statistique, l'indicateur de dispersion est une estimation de l'indicateur de théorie des probabilités du même nom et (comme somme des écarts carrés) une estimation de la dispersion en statistique mathématique, qui permet d'utiliser les dispositions de ces disciplines théoriques pour le analyse des processus socio-économiques.

Si la variation est estimée à partir d'un petit nombre d'observations provenant d'une population illimitée, alors la valeur moyenne de la caractéristique est déterminée avec une certaine erreur. La valeur calculée de la dispersion s'avère décalée vers une diminution. Pour obtenir une estimation impartiale, la variance de l'échantillon obtenue à l'aide des formules données précédemment doit être multipliée par la valeur n / (n - 1). En conséquence, avec un petit nombre d'observations (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Habituellement, déjà pour n > (15÷20), l'écart entre les estimations biaisées et non biaisées devient insignifiant. Pour la même raison, le biais n’est généralement pas pris en compte dans la formule d’addition des variances.

Si de population Si vous faites plusieurs échantillons et déterminez à chaque fois la valeur moyenne de l'attribut, alors le problème se pose de l'évaluation de la variabilité des moyennes. Écart d’estimation valeur moyenne c'est possible sur la base d'un seul échantillon d'observation en utilisant la formule

où n est la taille de l’échantillon ; s 2 – variance de la caractéristique calculée à partir des données d'échantillonnage.

Ordre de grandeur est appelé erreur d'échantillonnage moyenne et est une caractéristique de l'écart de la valeur moyenne de l'échantillon de l'attribut X par rapport à sa véritable valeur moyenne. L'indicateur d'erreur moyenne est utilisé pour évaluer la fiabilité des résultats de l'observation de l'échantillon.

Indicateurs de dispersion relative. Pour caractériser la mesure de variabilité de la caractéristique étudiée, des indicateurs de variabilité sont calculés en valeurs relatives. Ils permettent de comparer la nature de la dispersion dans différentes distributions (différentes unités d'observation de même caractéristique dans deux populations, avec différentes significations moyennes, en comparant différentes populations). Le calcul des indicateurs de la mesure de dispersion relative est effectué sous forme de ratio indicateur absolu dispersion à la moyenne arithmétique, multipliée par 100 %.

1. Coefficient d'oscillation reflète la fluctuation relative des valeurs extrêmes de la caractéristique autour de la moyenne

2. L'arrêt linéaire relatif caractérise la proportion de la valeur moyenne du signe des écarts absolus par rapport à la valeur moyenne

3. Coefficient de variation :

est la mesure de variabilité la plus couramment utilisée pour évaluer la typicité des valeurs moyennes.

En statistiques, les populations avec un coefficient de variation supérieur à 30-35 % sont considérées comme hétérogènes.

Cette méthode d'évaluation de la variation présente également un inconvénient important. En effet, supposons, par exemple, que la population initiale de travailleurs ayant une expérience moyenne de 15 ans, avec un écart type de s = 10 ans, « vieillisse » de 15 ans supplémentaires. Maintenant = 30 ans, et en moyenne écart-type est toujours égal à 10. La population auparavant hétérogène (10/15 × 100 = 66,7%), se révélant ainsi assez homogène dans le temps (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Recherche théorique selon les statistiques : sam. Scientifique Troudov. – M. : Statistiques, 1974. p. 19-57.

Les valeurs moyennes font référence à des indicateurs statistiques généraux qui donnent une caractéristique récapitulative (finale) des phénomènes sociaux de masse, puisqu'ils sont construits sur la base grande quantité valeurs individuelles de la caractéristique variable. Pour clarifier l'essence de la valeur moyenne, il est nécessaire de considérer les particularités de la formation des valeurs des signes de ces phénomènes, selon les données desquelles la valeur moyenne est calculée.

On sait que les unités de chaque phénomène de masse ont de nombreuses caractéristiques. Quelle que soit la caractéristique que nous prenons, ses valeurs seront différentes pour les unités individuelles ; elles changent ou, comme on dit dans les statistiques, varient d'une unité à l'autre. Par exemple, le salaire d’un employé est déterminé par ses qualifications, la nature de son travail, son ancienneté et un certain nombre d’autres facteurs, et varie donc dans des limites très larges. L'influence combinée de tous les facteurs détermine le montant des gains de chaque employé, cependant, on peut parler du salaire mensuel moyen des travailleurs de différents secteurs de l'économie. Ici, nous opérons avec une valeur caractéristique typique d'une caractéristique variable, attribuée à une unité d'une grande population.

La valeur moyenne reflète que général, ce qui est typique de toutes les unités de la population étudiée. En même temps, il équilibre l'influence de tous les facteurs agissant sur la valeur des caractéristiques des unités individuelles de la population, comme s'ils s'éteignaient mutuellement. Le niveau (ou la taille) de tout phénomène social est déterminé par l'action de deux groupes de facteurs. Certains d'entre eux sont généraux et principaux, en fonctionnement constant, étroitement liés à la nature du phénomène ou du processus étudié, et forment le typique pour toutes les unités de la population étudiée, ce qui se reflète dans la valeur moyenne. D'autres sont individuel, leur effet est moins prononcé et est épisodique, aléatoire. Ils agissent dans la direction opposée, provoquant des différences entre les caractéristiques quantitatives des unités individuelles de la population, en essayant de modifier la valeur constante des caractéristiques étudiées. Action caractéristiques individuelles remboursé à un taux moyen. Dans l'influence combinée de facteurs typiques et individuels, qui s'équilibrent et s'annulent mutuellement dans les caractéristiques générales, elle se manifeste dans vue générale fondamental connu de la statistique mathématique loi des grands nombres.

Dans l'ensemble, les valeurs individuelles des caractéristiques fusionnent en une masse commune et, pour ainsi dire, se dissolvent. Ainsi valeur moyenne agit comme « impersonnel », qui peut s'écarter des valeurs individuelles des caractéristiques sans coïncider quantitativement avec aucune d'entre elles. La valeur moyenne reflète la valeur générale, caractéristique et typique de l'ensemble de la population en raison de l'annulation mutuelle des différences aléatoires et atypiques entre les caractéristiques de ses unités individuelles, puisque sa valeur est déterminée comme par la résultante commune de toutes les causes.

Cependant, pour que la valeur moyenne reflète la valeur la plus typique d'une caractéristique, elle ne doit pas être déterminée pour une population quelconque, mais uniquement pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes. Cette exigence est la condition principale de l'utilisation scientifiquement fondée des moyennes et implique un lien étroit entre la méthode des moyennes et la méthode des regroupements dans l'analyse des phénomènes socio-économiques. Par conséquent, la valeur moyenne est un indicateur général caractérisant le niveau typique d'une caractéristique variable par unité d'une population homogène dans des conditions spécifiques de lieu et de temps.

En définissant ainsi l'essence des valeurs moyennes, il est nécessaire de souligner que le calcul correct de toute valeur moyenne présuppose le respect des exigences suivantes :

l'homogénéité qualitative de la population à partir de laquelle la valeur moyenne est calculée. Cela signifie que le calcul des valeurs moyennes doit être basé sur la méthode de regroupement, qui garantit l'identification de phénomènes homogènes et similaires ;
à l'exclusion de l'influence de causes et de facteurs aléatoires et purement individuels sur le calcul de la valeur moyenne. Ceci est réalisé dans le cas où le calcul de la moyenne est basé sur un matériau suffisamment massif dans lequel l'action de la loi des grands nombres se manifeste, et tout hasard s'annule ;
Lors du calcul de la valeur moyenne, il est important d'établir le but de son calcul et ce qu'on appelle indicateur de définition(propriété) vers laquelle il doit être orienté.

L'indicateur déterminant peut agir comme la somme des valeurs de la caractéristique en cours de moyenne, la somme de ses valeurs réciproques, le produit de ses valeurs, etc. Le lien entre l'indicateur de définition et la valeur moyenne s'exprime comme suit : si toutes les valeurs de la caractéristique moyennées sont remplacées par la valeur moyenne, alors leur somme ou produit dans ce cas ne modifiera pas l’indicateur déterminant. Sur la base de ce lien entre l'indicateur de définition et la valeur moyenne, une première relation quantitative est construite pour le calcul direct de la valeur moyenne. La capacité des valeurs moyennes à préserver les propriétés des populations statistiques est appelée définition de la propriété.

La valeur moyenne calculée pour l'ensemble de la population est appelée moyenne générale; valeurs moyennes calculées pour chaque groupe - moyennes de groupe. La moyenne globale reflète caractéristiques communes le phénomène étudié, la moyenne du groupe donne une caractéristique du phénomène qui se développe dans les conditions spécifiques d'un groupe donné.

Les méthodes de calcul peuvent être différentes, c'est pourquoi en statistique il existe plusieurs types de moyennes, les principales étant la moyenne arithmétique, la moyenne harmonique et la moyenne géométrique.

En analyse économique, l'utilisation de moyennes est le principal outil d'évaluation des résultats progrès scientifique et technologique, événements sociaux, recherche de réserves pour le développement économique. Dans le même temps, il ne faut pas oublier qu'une confiance excessive dans les indicateurs moyens peut conduire à des conclusions biaisées lors de la réalisation d'analyses économiques et statistiques. Cela est dû au fait que les valeurs moyennes, étant des indicateurs généraux, éteignent et ignorent les différences dans les caractéristiques quantitatives des unités individuelles de la population qui existent réellement et peuvent présenter un intérêt indépendant.

Types de moyennes

En statistiques, différents types de moyennes sont utilisés, qui sont divisés en deux grandes classes :

moyennes de puissance (moyenne harmonique, moyenne géométrique, moyenne arithmétique, moyenne quadratique, moyenne cubique) ;
moyens structurels (mode, médiane).

Calculer moyennes de puissance il est nécessaire d'utiliser toutes les valeurs caractéristiques disponibles. Mode Et médian sont déterminés uniquement par la structure de la distribution, c'est pourquoi ils sont appelés moyennes structurelles et positionnelles. La médiane et le mode sont souvent utilisés comme caractéristique moyenne dans les populations où le calcul de la moyenne de puissance est impossible ou peu pratique.

Le type de moyenne le plus courant est la moyenne arithmétique. Sous moyenne arithmétique s'entend comme la valeur d'une caractéristique qu'aurait chaque unité de la population si la somme totale de toutes les valeurs de la caractéristique était répartie uniformément entre toutes les unités de la population. Le calcul de cette valeur revient à additionner toutes les valeurs de la caractéristique variable et à diviser le montant obtenu par total unités de la population. Par exemple, cinq ouvriers ont exécuté une commande pour la production de pièces, tandis que le premier a produit 5 pièces, le deuxième - 7, le troisième - 4, le quatrième - 10, le cinquième - 12. Puisque dans les données sources, la valeur de chacun L'option ne s'est produite qu'une seule fois, pour déterminer la production moyenne d'un travailleur, il convient d'appliquer la formule de moyenne arithmétique simple :

c'est-à-dire que dans notre exemple, le rendement moyen d'un travailleur est égal à

Parallèlement à la simple moyenne arithmétique, ils étudient moyenne arithmétique pondérée. Par exemple, calculons l'âge moyen des étudiants d'un groupe de 20 personnes, dont l'âge varie de 18 à 22 ans, où xi- les variantes de la caractéristique étant moyennées, Fi- la fréquence, qui montre combien de fois cela se produit je-ième valeur globale (tableau 5.1).

Tableau 5.1

Âge moyen des étudiants

En appliquant la formule de la moyenne arithmétique pondérée, on obtient :

Il existe une certaine règle pour choisir une moyenne arithmétique pondérée : s'il existe une série de données sur deux indicateurs, pour l'un desquels il faut calculer

valeur moyenne, et en même temps les valeurs numériques du dénominateur de sa formule logique sont connues, et les valeurs du numérateur sont inconnues, mais peuvent être trouvées comme le produit de ces indicateurs, alors la valeur moyenne devrait être calculé à l’aide de la formule de la moyenne arithmétique pondérée.

Dans certains cas, la nature des données statistiques initiales est telle que le calcul de la moyenne arithmétique perd son sens et le seul indicateur généralisateur ne peut être qu'un autre type de moyenne - moyenne harmonique. Actuellement, les propriétés informatiques de la moyenne arithmétique ont perdu de leur pertinence dans le calcul d'indicateurs statistiques généraux en raison de l'introduction généralisée de la technologie informatique électronique. Grand importance pratique acquis une valeur harmonique moyenne, qui peut également être simple et pondérée. Si les valeurs numériques du numérateur d'une formule logique sont connues et que les valeurs du dénominateur sont inconnues, mais peuvent être trouvées comme une division partielle d'un indicateur par un autre, alors la valeur moyenne est calculée à l'aide de l'harmonique formule moyenne pondérée.

Par exemple, sachez que la voiture a parcouru les 210 premiers kilomètres à une vitesse de 70 km/h et les 150 kilomètres restants à une vitesse de 75 km/h. Il est impossible de déterminer la vitesse moyenne d'une voiture sur l'ensemble du trajet de 360 km à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique. Puisque les options sont des vitesses dans des sections individuelles xj= 70 km/h et X2= 75 km/h, et les poids (fi) sont considérés comme les tronçons correspondants du trajet, alors les produits des options et des poids n'auront ni signification physique ni économique. Dans ce cas, les quotients acquièrent un sens en divisant les sections du chemin en vitesses correspondantes (options xi), c'est-à-dire le temps passé à parcourir les sections individuelles du chemin (fi / xi). Si les sections du chemin sont désignées par fi, alors le chemin entier est exprimé par Σfi, et le temps passé sur l'ensemble du chemin est exprimé par Σ fi / xi , Ensuite, la vitesse moyenne peut être trouvée comme le quotient de l'ensemble du trajet divisé par le temps total passé :

Dans notre exemple nous obtenons :

Si, lors de l'utilisation de la moyenne harmonique, les poids de toutes les options (f) sont égaux, alors au lieu de la moyenne pondérée, vous pouvez utiliser moyenne harmonique simple (non pondérée) :

où xi sont des options individuelles ; n- nombre de variantes de la caractéristique moyennée. Dans l’exemple de vitesse, une moyenne harmonique simple pourrait être appliquée si les segments de trajet parcourus à différentes vitesses étaient égaux.

Toute valeur moyenne doit être calculée de manière à ce que lorsqu'elle remplace chaque variante de la caractéristique moyennée, la valeur d'un indicateur général final associé à l'indicateur moyenné ne change pas. Ainsi, lors du remplacement des vitesses réelles sur des sections individuelles de l'itinéraire par leur valeur moyenne (vitesse moyenne), la distance totale ne doit pas changer.

La forme (formule) de la valeur moyenne est déterminée par la nature (mécanisme) de la relation de cet indicateur final avec celui moyenné, donc l'indicateur final, dont la valeur ne doit pas changer lors du remplacement des options par leur valeur moyenne, est appelé indicateur déterminant. Pour dériver la formule de la moyenne, vous devez créer et résoudre une équation en utilisant la relation entre l'indicateur moyenné et l'indicateur déterminant. Cette équation est construite en remplaçant les variantes de la caractéristique (indicateur) moyennées par leur valeur moyenne.

En plus de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique, d'autres types (formes) de moyenne sont utilisés dans les statistiques. Ce sont tous des cas particuliers moyenne de puissance. Si nous calculons tous les types de moyennes de puissance pour les mêmes données, alors les valeurs

ils s'avéreront être les mêmes, la règle s'applique ici taux majoré moyenne. À mesure que l’exposant de la moyenne augmente, la valeur moyenne elle-même augmente. Les formules de calcul les plus fréquemment utilisées dans la recherche pratique divers types les valeurs moyennes de puissance sont présentées dans le tableau. 5.2.

Tableau 5.2

La moyenne géométrique est utilisée lorsqu'il y a n coefficients de croissance, tandis que les valeurs individuelles de la caractéristique sont, en règle générale, valeurs relatives dynamique construite sous forme de valeurs en chaîne, en tant que rapport au niveau précédent de chaque niveau dans une série de dynamiques. La moyenne caractérise ainsi le taux de croissance moyen. Moyenne géométrique simple calculé par la formule

Formule moyenne géométrique pondérée a la forme suivante :

Les formules ci-dessus sont identiques, mais l'une est appliquée aux coefficients ou taux de croissance actuels, et la seconde - aux valeurs absolues des niveaux de série.

Carré moyen utilisé dans les calculs avec les valeurs des fonctions quadratiques, utilisé pour mesurer le degré de fluctuation des valeurs individuelles d'une caractéristique autour de la moyenne arithmétique dans la série de distribution et est calculé par la formule

Carré moyen pondéré calculé à l'aide d'une autre formule :

Cube moyen est utilisé lors du calcul avec des valeurs de fonctions cubiques et est calculé par la formule

pondération cubique moyenne :

Toutes les valeurs moyennes évoquées ci-dessus peuvent être présentées sous la forme d'une formule générale :

où est la valeur moyenne ; - le sens individuel ; n- nombre d'unités de la population étudiée ; k- exposant qui détermine le type de moyenne.

Lorsque vous utilisez les mêmes données sources, plus k V formule générale puissance moyenne, plus la valeur moyenne est élevée. Il s'ensuit qu'il existe une relation naturelle entre les valeurs des moyennes de puissance :

Les valeurs moyennes décrites ci-dessus donnent une idée généralisée de la population étudiée, et de ce point de vue, leur importance théorique, appliquée et pédagogique est incontestable. Mais il arrive que la valeur moyenne ne coïncide avec aucune des valeurs réelles. options existantes Par conséquent, en plus des moyennes considérées, dans l'analyse statistique, il est conseillé d'utiliser les valeurs d'options spécifiques qui occupent une position bien définie dans la série ordonnée (classée) de valeurs d'attribut. Parmi ces grandeurs, les plus couramment utilisées sont de construction, ou descriptif, moyen- mode (Mo) et médiane (Me).

Mode- la valeur d'une caractéristique que l'on retrouve le plus souvent dans une population donnée. Par rapport à une série variationnelle, le mode est la valeur la plus fréquente de la série classée, c'est-à-dire l'option avec la fréquence la plus élevée. La mode peut être utilisée pour déterminer les magasins les plus visités, le prix le plus courant pour un produit. Il montre la taille d'un trait caractéristique d'une partie importante de la population et est déterminé par la formule

où x0 est la limite inférieure de l'intervalle ; h- la taille de l'intervalle ; fm- fréquence d'intervalle ; fm_ 1 - fréquence de l'intervalle précédent ; FM+ 1 - fréquence du prochain intervalle.

Médian l'option située au centre de la ligne classée est appelée. La médiane divise la série en deux parties égales de telle sorte qu'il y ait le même nombre d'unités de population de part et d'autre de celle-ci. Dans ce cas, la moitié des unités de la population a une valeur de la caractéristique variable inférieure à la médiane, et l'autre moitié a une valeur supérieure à celle-ci. La médiane est utilisée lors de l'étude d'un élément dont la valeur est supérieure ou égale, ou en même temps inférieure ou égale à la moitié des éléments d'une série de distribution. La médiane donne une idée générale de l'endroit où se concentrent les valeurs d'attribut, c'est-à-dire où se trouve leur centre.

Le caractère descriptif de la médiane se manifeste dans le fait qu'elle caractérise la limite quantitative des valeurs d'une caractéristique variable que possèdent la moitié des unités de la population. Le problème de trouver la médiane pour une série de variations discrètes est facilement résolu. Si toutes les unités de la série sont données Numéros de série, alors le nombre ordinal de l'option médiane est défini comme (n +1) / 2 avec un nombre impair de termes n. Si le nombre de membres de la série est un nombre pair, alors la médiane sera la valeur moyenne de deux options qui ont des nombres ordinaux n/ 2 et n / 2 + 1.

Lors de la détermination de la médiane dans une série de variations d'intervalles, déterminez d'abord l'intervalle dans lequel elle se situe (intervalle médian). Cet intervalle se caractérise par le fait que sa somme cumulée de fréquences est égale ou supérieure à la moitié de la somme de toutes les fréquences de la série. La médiane d'une série de variations d'intervalles est calculée à l'aide de la formule

Où X0- limite inférieure de l'intervalle ; h- la taille de l'intervalle ; fm- fréquence d'intervalle ; F- nombre de membres de la série ;

∫m-1 est la somme des termes accumulés de la série précédant celle donnée.

Avec la médiane pour plus caractéristiques complètes les structures de la population étudiée utilisent également d'autres valeurs d'options qui occupent une position bien particulière dans la série classée. Ceux-ci inclus quartiles Et déciles. Les quartiles divisent la série selon la somme des fréquences en 4 parties égales, et les déciles - en 10 parties égales. Il y a trois quartiles et neuf déciles.

La médiane et le mode, contrairement à la moyenne arithmétique, n'annulent pas les différences individuelles dans les valeurs d'une caractéristique variable et sont donc supplémentaires et très caractéristiques importantes population statistique. Dans la pratique, ils sont souvent utilisés à la place de la moyenne ou en complément de celle-ci. Il est particulièrement conseillé de calculer la médiane et le mode dans les cas où la population étudiée contient un certain nombre d'unités avec une valeur très grande ou très petite de la caractéristique variable. Ces valeurs des options, peu caractéristiques de la population, tout en influençant la valeur de la moyenne arithmétique, n'affectent pas les valeurs de la médiane et du mode, ce qui rend ces derniers indicateurs très précieux pour l'économie et statistique analyse.

Indicateurs de variations

Le but de la recherche statistique est d'identifier les propriétés et les modèles fondamentaux de la population statistique étudiée. Dans le processus de traitement sommaire des données d'observation statistique, ils construisent série de distribution. Il existe deux types de séries de distribution - attributives et variationnelles, selon que la caractéristique prise comme base du regroupement est qualitative ou quantitative.

Variationnel sont appelées séries de distribution construites sur une base quantitative. Les valeurs des caractéristiques quantitatives dans les unités individuelles de la population ne sont pas constantes, elles diffèrent plus ou moins les unes des autres. Cette différence de valeur d'une caractéristique est appelée variantes. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées variantes de valeurs. La présence de variations dans les unités individuelles de la population est due à l'influence d'un grand nombre de facteurs sur la formation du niveau du trait. L'étude de la nature et du degré de variation des caractéristiques dans des unités individuelles de la population est la question la plus importante de toute recherche statistique. Les indices de variation sont utilisés pour décrire la mesure de la variabilité des traits.

Un autre tâche importante la recherche statistique consiste à déterminer le rôle de facteurs individuels ou de leurs groupes dans la variation de certaines caractéristiques de la population. Pour résoudre ce problème, les statistiques utilisent des méthodes spéciales d'étude de la variation, basées sur l'utilisation d'un système d'indicateurs avec lequel la variation est mesurée. En pratique, un chercheur est confronté à un nombre assez important de variantes de valeurs d'attribut, ce qui ne donne pas une idée de la répartition des unités par valeur d'attribut dans l'ensemble. Pour ce faire, classez toutes les variantes de valeurs caractéristiques par ordre croissant ou décroissant. Ce processus est appelé classement de la série. La série classée donne immédiatement une idée générale des valeurs que prend la fonctionnalité dans l'ensemble.

L'insuffisance de la valeur moyenne pour une description exhaustive de la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. L'utilisation de ces indicateurs de variation permet de rendre l'analyse statistique plus complète et significative et ainsi d'acquérir une compréhension plus approfondie de l'essence des phénomènes sociaux étudiés.

Les signes de variation les plus simples sont le minimum Et maximale - c'est le plus petit et valeur la plus élevée signes dans l’ensemble. Le nombre de répétitions de variantes individuelles de valeurs caractéristiques est appelé fréquence de répétition. Notons la fréquence de répétition de la valeur de l'attribut Fi, la somme des fréquences égale au volume de la population étudiée sera :

Où k- nombre d'options pour les valeurs d'attribut. Il est pratique de remplacer les fréquences par des fréquences - Wi. Fréquence- indicateur de fréquence relative - peut être exprimé en fractions d'unité ou en pourcentage et vous permet de comparer des séries de variations avec numéro différent observations. Formellement nous avons :

Pour mesurer la variation d'une caractéristique, divers indicateurs absolus et relatifs sont utilisés. Les indicateurs absolus de variation comprennent l’écart linéaire moyen, la plage de variation, la dispersion et l’écart type.

Plage de variation(R) représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'attribut dans la population étudiée : R.= Xmax - Xmin. Cet indicateur ne donne que l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, puisqu'il montre la différence uniquement entre les valeurs maximales des options. Cela n'a absolument aucun rapport avec les fréquences dans série de variations, c'est-à-dire avec la nature de la distribution, et sa dépendance ne peut lui conférer un caractère instable et aléatoire que sur les valeurs extrêmes de l'attribut. L'étendue de variation ne fournit aucune information sur les caractéristiques des populations étudiées et ne permet pas d'évaluer le degré de typicité des valeurs moyennes obtenues. Le champ d'application de cet indicateur est limité à des populations assez homogènes ; plus précisément, il caractérise la variation d'une caractéristique, indicateur basé sur la prise en compte de la variabilité de toutes les valeurs de la caractéristique.

Pour caractériser la variation d'une caractéristique, il est nécessaire de généraliser les écarts de toutes les valeurs par rapport à toute valeur typique de la population étudiée. De tels indicateurs

les variations, telles que l'écart linéaire moyen, la dispersion et l'écart type, sont basées sur la prise en compte des écarts des valeurs caractéristiques des unités individuelles de la population par rapport à la moyenne arithmétique.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts des options individuelles par rapport à leur moyenne arithmétique :

La valeur absolue (module) de l'écart de la variante par rapport à la moyenne arithmétique ; F- fréquence.

La première formule est appliquée si chacune des options n'apparaît globalement qu'une seule fois, et la seconde - en série avec des fréquences inégales.

Il existe une autre façon de faire la moyenne des écarts des options par rapport à la moyenne arithmétique. Cette méthode très courante en statistique revient à calculer les écarts carrés des options par rapport à la valeur moyenne avec leur moyenne ultérieure. Dans ce cas, nous obtenons un nouvel indicateur de variation : la dispersion.

Dispersion(σ 2) - la moyenne des écarts carrés des options de valeur d'attribut par rapport à leur valeur moyenne :

La deuxième formule est appliquée si les options ont leurs propres poids (ou fréquences de séries de variations).

En analyse économique et statistique, il est d'usage d'évaluer la variation d'une caractéristique le plus souvent à l'aide de l'écart type. Écart-type(σ) est la racine carrée de la variance :

Les écarts linéaires et types moyens montrent dans quelle mesure la valeur d'une caractéristique fluctue en moyenne entre les unités de la population étudiée et sont exprimés dans les mêmes unités de mesure que les options.

Dans la pratique statistique, il est souvent nécessaire de comparer les variations divers signes. Par exemple, il est d'un grand intérêt de comparer les variations de l'âge du personnel et de ses qualifications, de l'ancienneté et des salaires, etc. Pour de telles comparaisons, les indicateurs de variabilité absolue des caractéristiques - moyenne linéaire et écart type - ne conviennent pas. Il est en effet impossible de comparer la fluctuation de l'ancienneté, exprimée en années, avec la fluctuation des salaires, exprimée en roubles et en kopecks.

Lorsque l’on compare la variabilité de diverses caractéristiques, il est pratique d’utiliser des mesures de variation relatives. Ces indicateurs sont calculés comme le rapport des indicateurs absolus à la moyenne arithmétique (ou médiane). En utilisant la plage de variation, l'écart linéaire moyen et l'écart type comme indicateur absolu de variation, des indicateurs relatifs de variabilité sont obtenus :

L'indicateur de variabilité relative le plus couramment utilisé, caractérisant l'homogénéité de la population. La population est considérée comme homogène si le coefficient de variation ne dépasse pas 33 % pour des distributions proches de la normale.