මොඩියුලර් අසමානතාවය විසඳන්න. ඔන්ලයින් කැල්කියුලේටරය.මොඩියුල සමග සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීම

අද, මිත්‍රවරුනි, තුණ්ඩයක් සහ හැඟීම් ඇති නොවනු ඇත. ඒ වෙනුවට, මම ඔබව වැඩිදුර ප්‍රශ්නවලින් තොරව 8-9 ශ්‍රේණියේ වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ සිටින ප්‍රබල විරුද්ධවාදියෙකු සමඟ සටනට යවන්නෙමි.

ඔව්, ඔබ සියල්ල නිවැරදිව තේරුම් ගත්තා: අපි කතා කරන්නේ මාපාංකය සමඟ අසමානතාවයන් ගැන ය. මෙම ගැටළු වලින් 90% ක් පමණ විසඳීමට ඔබ ඉගෙන ගන්නා මූලික ශිල්පීය ක්‍රම හතරක් අපි බලමු. අනෙක් 10% ගැන කුමක් කිව හැකිද? හොඳයි, අපි ඔවුන් ගැන වෙනම පාඩමකින් කතා කරමු. :)

කෙසේ වෙතත්, එහි ඇති උපක්‍රම විශ්ලේෂණය කිරීමට පෙර, ඔබ දැනටමත් දැනගත යුතු කරුණු දෙකක් සිහිපත් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි. එසේ නොමැතිනම්, අද පාඩමේ කරුණු කිසිසේත් තේරුම් නොගැනීමේ අවදානමක් ඇත.

ඔබ දැනටමත් දැනගත යුතු දේ

කැප්ටන් එවිඩන්ස්, මාපාංකය සමඟ අසමානතා විසඳීම සඳහා, ඔබ කරුණු දෙකක් දැන සිටිය යුතු බව ඉඟි කරයි:

1. අසමානතා විසඳන්නේ කෙසේද?
2. මොඩියුලයක් යනු කුමක්ද?

අපි දෙවන කරුණෙන් පටන් ගනිමු.

මොඩියුල අර්ථ දැක්වීම

මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. අර්ථ දැක්වීම් දෙකක් තිබේ: වීජීය සහ ග්රැෆික්. වීජ ගණිතයෙන් පටන් ගනිමු:

අර්ථ දැක්වීම. $x$ අංකයේ මොඩියුලය එක්කෝ එම අංකයම වේ, එය සෘණ නොවන නම් හෝ ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ අංකය, මුල් $x$ තවමත් සෘණ නම්.

එය මෙසේ ලියා ඇත.

\[\වම| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

කතා කරනවා සරල භාෂාව, මාපාංකය "උණක් නොමැති අංකයක්" වේ. එය මෙම ද්විත්ව භාවයේ ඇත (කොහේ හරි ඔබට මුල් අංකය සමඟ කිසිවක් කිරීමට අවශ්‍ය නැත, නමුත් කොතැනක හෝ ඔබට එහි යම් අඩුවක් ඉවත් කළ යුතුය) සහ නවක සිසුන්ට ඇති සියලු දුෂ්කරතා පවතී.

ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීමක් ද තිබේ. එය දැන ගැනීම ද ප්‍රයෝජනවත් වේ, නමුත් අපි එය සංකීර්ණ සහ සමහර විශේෂ අවස්ථා වලදී පමණක් යොමු කරන්නෙමු, වීජීය ප්‍රවේශයට වඩා ජ්‍යාමිතික ප්‍රවේශය වඩාත් පහසු වේ (ස්පොයිලර්: අද නොවේ).

අර්ථ දැක්වීම. $a$ ලක්ෂ්‍යය සැබෑ රේඛාවේ සලකුණු කිරීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට මොඩියුලය $\left| x-a \right|$ යනු මෙම රේඛාවේ $x$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට $a$ දක්වා ඇති දුරයි.

ඔබ පින්තූරයක් අඳින්නේ නම්, ඔබට මෙවැනි දෙයක් ලැබේ:

චිත්රක මොඩියුල අර්ථ දැක්වීම

එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින්, එහි ප්රධාන දේපල වහාම මොඩියුලයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ: අංකයක මාපාංකය සැමවිටම සෘණ නොවන අගයකි. මේ කාරණය අද අපේ මුළු කතාව පුරාම රතු නූලක් වනු ඇත.

අසමානතා විසඳීම. පරතරය ක්රමය

දැන් අපි අසමානතාවයන් සමඟ කටයුතු කරමු. ඒවායින් විශාල ප්‍රමාණයක් ඇත, නමුත් දැන් අපගේ කාර්යය වන්නේ අවම වශයෙන් ඒවායින් සරලම දේ විසඳීමට හැකි වීමයි. දක්වා එන ඒවා රේඛීය අසමානතා, මෙන්ම විරාම ක්රමයට.

මට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ විශාල නිබන්ධන දෙකක් තිබේ (මාර්ගයෙන්, ඉතා, ඉතා ප්‍රයෝජනවත් - මම අධ්‍යයනය කිරීමට නිර්දේශ කරමි):

1. අසමානතා සඳහා විරාම ක්රමය (විශේෂයෙන් වීඩියෝව බලන්න);
2. භාගික තාර්කික අසමානතා ඉතා විශාල පාඩමකි, නමුත් ඉන් පසුව ඔබට ප්‍රශ්න කිසිවක් ඉතිරි නොවනු ඇත.

ඔබ මේ සියල්ල දන්නේ නම්, "අපි අසමානතාවයෙන් සමීකරණයට යමු" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය බිත්තියට එරෙහිව නොපැහැදිලි ලෙස මරා දැමීමට ඔබට අවශ්‍ය නොවන්නේ නම්, ඔබ සූදානම්: පාඩමේ ප්‍රධාන මාතෘකාවට අපායට සාදරයෙන් පිළිගනිමු. :)

1. "මොඩියුලය ශ්‍රිතයට වඩා අඩු" පෝරමයේ අසමානතා

මෙය මොඩියුල සමඟ නිතර මුහුණ දෙන කාර්යයන්ගෙන් එකකි. පෝරමයේ අසමානතාවයක් විසඳීම සඳහා එය අවශ්ය වේ:

\[\වම| f\right| \ltg\]

ඕනෑම දෙයක් $f$ සහ $g$ ශ්‍රිත ලෙස ක්‍රියා කළ හැකි නමුත් සාමාන්‍යයෙන් ඒවා බහුපද වේ. එවැනි අසමානතා සඳහා උදාහරණ:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\දකුණ| \ltx+7; \\ & \වම| ((x)^(2))+2x-3 \දකුණ|+3\වම(x+1 \දකුණ) \lt 0; \\ & \වම| ((x)^(2))-2\වම| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\ end(align)\]

යෝජනා ක්‍රමයට අනුව ඒවා සියල්ලම වචනාර්ථයෙන් එක පේළියකින් විසඳනු ලැබේ:

\[\වම| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ end(align) \දකුණ.\දකුණ)\]

අපි මොඩියුලය ඉවත් කරන බව දැකීම පහසුය, නමුත් ඒ වෙනුවට අපට ද්විත්ව අසමානතාවයක් ලැබේ (හෝ, එය එකම දෙය, අසමානතා දෙකක පද්ධතියකි). නමුත් මෙම සංක්‍රාන්තිය සම්පූර්ණයෙන්ම සෑම දෙයක්ම සැලකිල්ලට ගනී විය හැකි ගැටළු: මාපාංකය යටතේ ඇති අංකය ධනාත්මක නම්, ක්රමය ක්රියා කරයි; ඍණාත්මක නම්, එය තවමත් ක්රියා කරයි; $f$ හෝ $g$ වෙනුවට වඩාත්ම ප්‍රමාණවත් නොවන ශ්‍රිතයක් සමඟ වුවද, ක්‍රමය තවමත් ක්‍රියා කරයි.

ස්වාභාවිකවම, ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: එය පහසු නොවේ ද? අවාසනාවට, ඔබට බැහැ. මොඩියුලයේ සම්පූර්ණ කරුණ මෙයයි.

නමුත් ප්රමාණවත් තරම් දාර්ශනිකයි. ගැටළු කිහිපයක් විසඳා ගනිමු:

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| 2x+3\දකුණ| \ltx+7\]

විසඳුමක්. එබැවින්, "මොඩියුලය වඩා අඩු" ආකෘතියේ සම්භාව්ය අසමානතාවයක් අපට ඇත - පරිවර්තනය කිරීමට කිසිවක් නැත. අපි ඇල්ගොරිතමයට අනුව වැඩ කරන්නෙමු:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \වම| 2x+3\දකුණ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

“අඩුම” ට පෙර ඇති වරහන් විවෘත කිරීමට ඉක්මන් නොවන්න: කඩිමුඩියේ නිසා ඔබ ආක්‍රමණශීලී වැරැද්දක් කිරීමට ඉඩ ඇත.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ගැටලුව මූලික අසමානතා දෙකකට අඩු කර ඇත. සමාන්තර සැබෑ රේඛාවල ඔවුන්ගේ විසඳුම් අපි සටහන් කරමු:

බොහෝ ඡේදනය

මෙම කට්ටලවල ඡේදනය පිළිතුර වනු ඇත.

පිළිතුර: $x\in \වම(-\frac(10)(3);4 \දකුණ)$

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| ((x)^(2))+2x-3 \දකුණ|+3\වම(x+1 \දකුණ) \lt 0\]

විසඳුමක්. මෙම කාර්යය ටිකක් අපහසුයි. ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි දෙවන පදය දකුණට ගෙන යාමෙන් මොඩියුලය හුදකලා කරමු:

\[\වම| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\වම(x+1 \දකුණ)\]

නිසැකවම, අපට නැවතත් “මොඩියුලය අඩු” පෝරමයේ අසමානතාවයක් ඇත, එබැවින් අපි දැනටමත් දන්නා ඇල්ගොරිතමයට අනුව මොඩියුලය ඉවත් කරමු:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

දැන් අවධානය යොමු කරන්න: මේ සියලු වරහන් සමඟ මම ටිකක් විකෘති පුද්ගලයෙක් යැයි යමෙකු කියනු ඇත. නමුත් අපගේ ප්‍රධාන ඉලක්කය බව නැවත වරක් මම ඔබට මතක් කරමි අසමානතාවය නිවැරදිව විසඳා පිළිතුර ලබා ගන්න. පසුව, ඔබ මෙම පාඩමේ විස්තර කර ඇති සෑම දෙයක්ම හොඳින් ප්‍රගුණ කළ විට, ඔබට කැමති පරිදි විකෘති කළ හැකිය: වරහන් විවෘත කිරීම, අවාසි එකතු කිරීම යනාදිය.

ආරම්භකයින් සඳහා, අපි ඉවත් කරන්නෙමු ද්විත්ව අඩුඉතිරි:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\වම(x+1\දකුණ)\]

දැන් අපි ද්විත්ව අසමානතාවයේ සියලුම වරහන් විවෘත කරමු:

අපි ද්විත්ව අසමානතාවයට යමු. මෙවර ගණනය කිරීම් වඩාත් බරපතල වනු ඇත:

\[\වම\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \අවසන් (පෙළගැසෙන්න) \දකුණට.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( පෙළගස්වන්න)\දකුණට.\]

අසමානතා දෙකම හතරැස් වන අතර ඉන්ටර්වල් ක්‍රමය මගින් විසඳනු ලැබේ (ඒකයි මම කියන්නේ: ඔබ එය කුමක්දැයි නොදන්නේ නම්, තවමත් මොඩියුල නොගැනීම හොඳය). අපි පළමු අසමානතාවයේ සමීකරණයට යමු:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\වම (x+5 \දකුණ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්රතිදානය අසම්පූර්ණ විය. චතුරස්රාකාර සමීකරණය, එය මූලික වශයෙන් විසඳනු ලැබේ. දැන් අපි පද්ධතියේ දෙවන අසමානතාවය සමඟ කටයුතු කරමු. එහිදී ඔබට වියේටා ප්‍රමේයය යෙදිය යුතුය:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

අපි ලබාගත් සංඛ්‍යා සමාන්තර රේඛා දෙකකින් සලකුණු කරමු (පළමු අසමානතාවය සඳහා වෙන වෙනම සහ දෙවැන්න සඳහා වෙන වෙනම):

නැවතත්, අපි අසමානතා පද්ධතියක් විසඳන බැවින්, අපි සෙවන ලද කට්ටලවල ඡේදනය ගැන උනන්දු වෙමු: $x\in \left(-5;-2 \right)$. පිළිතුර මෙයයි.

පිළිතුර: $x\in \වම(-5;-2 \දකුණ)$

මම හිතන්නේ මෙම උදාහරණ වලින් පසුව විසඳුම් යෝජනා ක්රමය ඉතා පැහැදිලිය:

1. අනෙක් සියලුම පද අසමානතාවයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්තට ගෙන යාමෙන් මොඩියුලය හුදකලා කරන්න. මේ අනුව අපට $\left| පෝරමයේ අසමානතාවයක් ලැබේ f\right| \ltg$.
2. ඉහත විස්තර කර ඇති පරිදි මොඩියුලය ඉවත් කිරීමෙන් මෙම අසමානතාවය විසඳන්න. යම් අවස්ථාවක දී, ද්විත්ව අසමානතාවයේ සිට ස්වාධීන ප්රකාශන දෙකක පද්ධතියකට ගමන් කිරීම අවශ්ය වනු ඇත, ඒ සෑම එකක්ම දැනටමත් වෙන වෙනම විසඳා ගත හැකිය.
3. අවසාන වශයෙන්, එය ඉතිරිව ඇත්තේ මෙම ස්වාධීන ප්‍රකාශන දෙකේ විසඳුම් හරස් කිරීම පමණි - එපමණයි, අපට අවසාන පිළිතුර ලැබෙනු ඇත.

පහත දැක්වෙන ආකාරයේ අසමානතා සඳහා ද සමාන ඇල්ගොරිතමයක් පවතී, මොඩියුලය වැඩි කාර්යයක්. කෙසේ වෙතත්, බරපතල "නමුත්" කිහිපයක් තිබේ. අපි දැන් මෙම "නමුත්" ගැන කතා කරමු.

2. "මොඩියුලය ශ්‍රිතයට වඩා වැඩි" පෝරමයේ අසමානතා

ඔවුන් මේ ආකාරයට පෙනේ:

\[\වම| f\right| \gt g\]

කලින් එකට සමානද? පේන්නේ. එසේ වුවද, එවැනි කාර්යයන් සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ආකාරයකින් විසඳනු ලැබේ. විධිමත් ලෙස, යෝජනා ක්රමය පහත පරිදි වේ:

\[\වම| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ end(align) \right.\]

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි අවස්ථා දෙකක් සලකා බලමු:

1. පළමුව, අපි සරලවම මොඩියුලය නොසලකා හරිමු - අපි සුපුරුදු අසමානතාවය විසඳන්නෙමු;
2. එවිට, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ඍණ ලකුණ සමඟ මොඩියුලය විවෘත කරමු, පසුව අපි අසමානතාවයේ කොටස් දෙකම -1 න්, ලකුණක් සමඟ ගුණ කරමු.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විකල්ප හතරැස් වරහනක් සමඟ ඒකාබද්ධ වේ, i.e. අපට අවශ්‍යතා දෙකක එකතුවක් ඇත.

නැවතත් අවධානය යොමු කරන්න: අපට පෙර පද්ධතියක් නොව, සමස්තයක්, එබැවින් පිළිතුරෙහි, කට්ටල ඒකාබද්ධ කර ඇත, ඡේදනය නොවේ. එය මූලික වෙනසපෙර කරුණෙන්!

පොදුවේ ගත් කල, බොහෝ සිසුන්ට වෘත්තීය සමිති සහ මංසන්ධි සමඟ බොහෝ ව්‍යාකූලත්වයක් ඇත, එබැවින් අපි මෙම ගැටළුව එක් වරක් සොයා බලමු:

• "∪" යනු සංයුක්ත ලකුණකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය අප වෙත පැමිණි "U" යන ශෛලීගත අකුරකි ඉංග්රීසි භාෂාවෙන්සහ "යුනියන්" සඳහා කෙටි යෙදුමකි, i.e. "සංගම්".
• "∩" යනු ඡේදනය වීමේ ලකුණයි. මේ ජරාව කොහෙන්වත් ආපු එකක් නෙවෙයි, "∪" එකට විරුද්ධ වීමක් විදියට තමයි පෙනී ගියේ.

මතක තබා ගැනීම වඩාත් පහසු කිරීම සඳහා, වීදුරු සෑදීමට මෙම සලකුණු වලට කකුල් එකතු කරන්න (මත්ද්‍රව්‍යවලට ඇබ්බැහි වීම සහ මත්පැන් පානය කිරීම ප්‍රවර්ධනය කිරීම ගැන මට දැන් චෝදනා නොකරන්න: ඔබ මෙම පාඩම බැරෑරුම් ලෙස අධ්‍යයනය කරන්නේ නම්, ඔබ දැනටමත් මත්ද්‍රව්‍යවලට ඇබ්බැහි වූවෙකි):

කට්ටලවල ඡේදනය සහ එකමුතු අතර වෙනස

රුසියානු භාෂාවට පරිවර්තනය කර ඇති අතර, මෙයින් අදහස් කරන්නේ පහත සඳහන් දෑ ය: සමිතිය (එකතු කිරීම) කට්ටල දෙකෙහිම මූලද්රව්ය ඇතුළත් වේ, එබැවින්, එක් එක් ඒවාට වඩා අඩු නොවේ; නමුත් ඡේදනය (පද්ධතිය) ඇතුළත් වන්නේ පළමු කට්ටලයේ සහ දෙවන කොටසෙහි ඇති මූලද්රව්ය පමණි. එමනිසා, කට්ටලවල ඡේදනය කිසි විටෙකත් ප්‍රභව කට්ටලවලට වඩා වැඩි නොවේ.

ඉතින් එය වඩාත් පැහැදිලි විය? ඒක නම් නියමයි. අපි පුහුණුවීම් වලට යමු.

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| 3x+1 \දකුණ| \gt 5-4x\]

විසඳුමක්. අපි යෝජනා ක්රමය අනුව ක්රියා කරමු:

\[\වම| 3x+1 \දකුණ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\ end(align) \ හරි.\]

අපි එක් එක් ජනගහන අසමානතාවය විසඳන්නෙමු:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

අපි සෑම ප්‍රති result ලයක්ම අංක රේඛාවේ සලකුණු කර ඒවා ඒකාබද්ධ කරන්න:

කට්ටල එකමුතුව

පැහැදිලිවම පිළිතුර $x\in \වමේ (\frac(4)(7);+\infty \right)$

පිළිතුර: $x\in \වම (\frac(4)(7);+\infty \right)$

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

විසඳුමක්. හොඳින්? නෑ, ඔක්කොම එකයි. අපි මාපාංකයක් සහිත අසමානතාවයේ සිට අසමානතා දෙකක කට්ටලයකට ගමන් කරමු:

\[\වම| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\අවසන්(පෙළග) \දකුණට.\]

අපි එක් එක් අසමානතාවය විසඳන්නෙමු. අවාසනාවකට, එහි මුල් එතරම් හොඳ නොවනු ඇත:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

දෙවන අසමානතාවයේ, ක්‍රීඩාවක් ද ඇත:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

දැන් අපි මෙම සංඛ්යා අක්ෂ දෙකක සලකුණු කළ යුතුය - එක් එක් අසමානතාවය සඳහා එක් අක්ෂය. කෙසේ වෙතත්, ලකුණු සටහන් කළ යුතුය නිවැරදි පිළිවෙල: සංඛ්‍යාව විශාල වන තරමට, දකුණට ලක්ෂ්‍යය මාරු කිරීමට දුරයි.

මෙන්න අපි සෙටප් එකක් එනකම් බලාගෙන ඉන්නවා. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (පළමු අංකයේ නියමයන් සමඟ සියල්ල පැහැදිලි නම් භාගය දෙවැන්නෙහි සංඛ්‍යාංකයේ නියමයන්ට වඩා අඩුය, එබැවින් එකතුව ද කුඩා වේ), අංක $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ද කිසිදු දුෂ්කරතාවයක් ඇති නොවනු ඇත (ධනාත්මක අංකයක් පැහැදිලිවම වඩා සෘණාත්මකව), නමුත් අවසාන යුවළ සමඟ, සියල්ල එතරම් සරල නැත. වඩා විශාල වන්නේ: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ හෝ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? සංඛ්‍යා රේඛා මත ලකුණු සැකසීම සහ ඇත්ත වශයෙන්ම පිළිතුර මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුර මත රඳා පවතී.

එබැවින් අපි සංසන්දනය කරමු:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end(matrix)\]

අපි මූලය හුදකලා කර, අසමානතාවයේ දෙපැත්තෙන්ම සෘණ නොවන සංඛ්‍යා ලබා ගත්තෙමු, එබැවින් දෙපැත්තටම වර්ග කිරීමට අපට අයිතියක් ඇත:

\[\ආරම්භක(න්‍යාසය) ((\වම(2+\sqrt(13) \දකුණ))^(2))\vee ((\වම(\sqrt(21) \දකුණ))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]

මම හිතන්නේ $4\sqrt(13) \gt 3$, ඒ නිසා $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, අවසානයේ අක්ෂවල ඇති ලක්ෂ්‍ය මෙලෙස සකසා ඇත:

අවලස්සන මුල් නඩුව

අපි කට්ටලයක් විසඳන බව මම ඔබට මතක් කරමි, එබැවින් පිළිතුර සමිතිය මිස සෙවන ලද කට්ටලවල ඡේදනය නොවේ.

පිළිතුර: $x\in \වමේ );+\infty\දකුණ)$

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපගේ යෝජනා ක්රමය දෙකම සඳහා විශිෂ්ට ලෙස ක්රියා කරයි සරල කාර්යයන්, සහ ඉතා දැඩි අය සඳහා. එකම දෙය " දුර්වලකම"මෙම ප්‍රවේශයේදී, ඔබ අතාර්කික සංඛ්‍යා නිවැරදිව සංසන්දනය කළ යුතුය (මාව විශ්වාස කරන්න: මේවා මූලයන් පමණක් නොවේ). නමුත් වෙනම (හා ඉතා බැරෑරුම් පාඩමක්) සැසඳීමේ ප්රශ්න සඳහා කැප කරනු ඇත. ඒ වගේම අපි ඉදිරියට යනවා.

3. සෘණ නොවන "වලිග" සමග අසමානතා

එබැවින් අපි වඩාත් සිත්ගන්නාසුලු දේ වෙත පැමිණියෙමු. මේවා පෝරමයේ අසමානතා වේ:

\[\වම| f\right| \gt\වම| g\දකුණ|\]

සාමාන්‍යයෙන් කිව්වොත් අපි දැන් කතා කරන්න යන algorithm එක මොඩියුලයට විතරයි ඇත්ත. එය වම සහ දකුණෙහි සෘණ නොවන ප්‍රකාශන සහතික කර ඇති සියලුම අසමානතාවයන්හිදී ක්‍රියා කරයි:

මෙම කාර්යයන් සමඟ කුමක් කළ යුතුද? මතක තබා ගන්න:

සෘණ නොවන වලිග සහිත අසමානතාවයන්හිදී, දෙපැත්තටම ඕනෑම දෙයකට නැංවිය හැකිය ස්වභාවික උපාධිය. අමතර සීමාවන් නොමැත.

පළමුවෙන්ම, අපි වර්ග කිරීම ගැන උනන්දු වනු ඇත - එය මොඩියුල සහ මුල් පුළුස්සා දමයි:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

චතුරස්රයේ මුල ගැනීම සමඟ මෙය පටලවා නොගන්න:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\වම| f \right|\ne f\]

සිසුවෙකුට මොඩියුලයක් ස්ථාපනය කිරීමට අමතක වූ විට ගණන් කළ නොහැකි වැරදි සිදු විය! නමුත් මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් කතාවකි (මේවා අතාර්කික සමීකරණ වේ), එබැවින් අපි දැන් එයට නොයන්නෙමු. ගැටළු කිහිපයක් වඩාත් හොඳින් විසඳා ගනිමු:

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| x+2 \right|\ge \වම| 1-2x \දකුණ|\]

විසඳුමක්. අපි වහාම කරුණු දෙකක් දකිමු:

1. මෙය දැඩි නොවන අසමානතාවයකි. අංක රේඛාවේ ලකුණු සිදුරු කරනු ලැබේ.
2. අසමානතාවයේ දෙපැත්තම පැහැදිලිවම සෘණාත්මක නොවේ (මෙය මොඩියුලයේ ගුණයකි: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

එබැවින්, මාපාංකයෙන් මිදීමට සහ සුපුරුදු විරාම ක්‍රමය භාවිතා කර ගැටළුව විසඳීමට අසමානතාවයේ දෙපැත්තටම වර්ග කළ හැකිය:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\වම(x+2 \දකුණ))^(2))\ge ((\වම(2x-1 \දකුණ))^(2)). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

මත අවසාන පියවරමම ටිකක් වංචා කළා: මම මාපාංකයේ සමානාත්මතාවය භාවිතා කරමින් පද අනුපිළිවෙල වෙනස් කළෙමි (ඇත්ත වශයෙන්ම, මම ප්‍රකාශනය $1-2x$ −1 න් ගුණ කළෙමි).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ දකුණ)\දකුණ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

අපි විරාම ක්රමය මගින් විසඳන්නෙමු. අපි අසමානතාවයෙන් සමීකරණයට යමු:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

අපි අංක රේඛාවේ සොයාගත් මූලයන් සලකුණු කරමු. නැවත වරක්: මුල් අසමානතාවය දැඩි නොවන නිසා සියලු ලකුණු සෙවන ඇත!

මොඩියුල ලකුණ ඉවත් කිරීම

විශේෂයෙන් මුරණ්ඩු අය සඳහා මම ඔබට මතක් කරමි: අපි සමීකරණයට යාමට පෙර ලියා ඇති අවසාන අසමානතාවයෙන් සලකුණු ගනිමු. තවද අපි එකම අසමානතාවයෙන් අවශ්ය ප්රදේශ මත තීන්ත ආලේප කරමු. අපගේ නඩුවේදී, මෙය $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ වේ.

හරි දැන් ඔක්කොම ඉවරයි. ගැටලුව විසඳා ඇත.

පිළිතුර: $x\in \වම[ -\frac(1)(3);3 \දකුණ]$.

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \දකුණ|\]

විසඳුමක්. අපි හැම දෙයක්ම එකම විදිහට කරනවා. මම අදහස් දක්වන්නේ නැහැ - ක්රියාවන් අනුපිළිවෙල දෙස බලන්න.

අපි එය වර්ග කරමු:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\වම(((x)^(2))+x+1 \දකුණ))^(2))\le (\left(((x)^(2))+3x+4 \දකුණ))^(2)); \\ & ((\වම(((x)^(2))+x+1 \දකුණ))^(2))-(\වම(((x)^(2))+3x+4 \ දකුණ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \දකුණ)\time \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \දකුණ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

පරතරය ක්රමය:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

අංක රේඛාවේ ඇත්තේ එක් මූලයක් පමණි:

පිළිතුර සම්පූර්ණ පරාසයකි

පිළිතුර: $x\in \වම[ -1.5;+\infty \right)$.

අවසාන කාර්යය ගැන කුඩා සටහනක්. මගේ ශිෂ්‍යයෙක් නිවැරදිව සඳහන් කළ පරිදි, මෙම අසමානතාවයේ උප මොඩියුල ප්‍රකාශන දෙකම පැහැදිලිවම ධනාත්මක වන බැවින් සෞඛ්‍යයට හානියක් නොවන පරිදි මාපාංක ලකුණ ඉවත් කළ හැකිය.

නමුත් මෙය දැනටමත් සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් මට්ටමේ චින්තනයක් සහ වෙනස් ප්රවේශයක් - එය කොන්දේසි සහිතව ප්රතිවිපාක ක්රමය ලෙස හැඳින්විය හැක. ඔහු ගැන - වෙනම පාඩමකින්. දැන් අපි අද පාඩමේ අවසාන කොටස වෙත ගොස් සෑම විටම ක්‍රියාත්මක වන විශ්වීය ඇල්ගොරිතමයක් සලකා බලමු. පෙර සියලු ප්රවේශයන් බල රහිත වූ විට පවා. :)

4. විකල්ප ගණනය කිරීමේ ක්රමය

මේ සියලු උපක්‍රම ක්‍රියාත්මක නොවන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද? අසමානතාවය සෘණ නොවන වලිගය දක්වා අඩු නොවන්නේ නම්, මොඩියුලය හුදකලා කිරීමට නොහැකි නම්, වේදනාව-ශෝකය-ආශාව තිබේ නම්?

එවිට සියලුම ගණිතයේ “බර කාලතුවක්කු” දර්ශනයට ඇතුළු වේ - ගණන් කිරීමේ ක්‍රමය. මාපාංකය සමඟ අසමානතා සම්බන්ධයෙන්, එය මෙසේ පෙනේ:

1. සියලුම උප මොඩියුල ප්‍රකාශන ලියා ඒවා ශුන්‍යයට සම කරන්න;
2. ලැබෙන සමීකරණ විසඳා එක් ඉලක්කම් රේඛාවක සොයාගත් මූලයන් සලකුණු කරන්න;
3. සරල රේඛාව කොටස් කිහිපයකට බෙදා ඇත, එහි ඇතුළත එක් එක් මොඩියුලය ඇත ස්ථාවර ලකුණඑබැවින් අවිවාදයෙන් හෙළිදරව් විය;
4. එවැනි එක් එක් කොටසෙහි අසමානතාවය විසඳන්න (ඔබට 2 වන ඡේදයේ ලබාගත් මායිම් මූලයන් වෙන වෙනම සලකා බැලිය හැකිය - විශ්වසනීයත්වය සඳහා). ප්රතිඵල ඒකාබද්ධ කරන්න - මෙය පිළිතුර වනු ඇත. :)

හොඳයි, කොහොමද? දුර්වල? පහසුවෙන්! දිගු කාලයක් සඳහා පමණි. අපි ප්රායෝගිකව බලමු:

කාර්යයක්. අසමානතාවය විසඳන්න:

\[\වම| x+2 \right| \lt\වම| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

විසඳුමක්. මෙම ජරාව $\left| වැනි අසමානතා දක්වා උනු නොවේ f\right| \lt g$, $\වම| f\right| \gt g$ හෝ $\left| f\right| \lt\වම| g \right|$, ඉතින් අපි ඉදිරියට යමු.

අපි උප මොඩියුල ප්‍රකාශන ලියා ඒවා ශුන්‍යයට සමාන කර මූලයන් සොයා ගනිමු:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

සමස්තයක් වශයෙන්, අපට අංක රේඛාව කොටස් තුනකට බෙදන මූලයන් දෙකක් ඇත, ඇතුළත එක් එක් මොඩියුලය අද්විතීය ලෙස අනාවරණය වේ:

උපමොඩියුලර් ශ්‍රිතවල ශුන්‍ය වලින් සංඛ්‍යා රේඛාව බෙදීම

එක් එක් කොටස වෙන වෙනම සලකා බලමු.

1. $x \lt -2$ ඉඩ දෙන්න. එවිට උප මොඩියුල ප්‍රකාශන දෙකම ඍණාත්මක වන අතර මුල් අසමානතාවය පහත පරිදි නැවත ලියා ඇත:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align)\]

අපට තරමක් සරල සීමාවක් තිබේ. අපි එය $x \lt -2$ යන මුල් උපකල්පනය සමඟ ඡේදනය කරමු:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\rightarrow x\in \varnoth \]

පැහැදිලිවම, $x$ විචල්‍යය එකවර −2 ට වඩා අඩු විය නොහැකි නමුත් 1.5 ට වඩා වැඩි වේ. මෙම ප්රදේශයේ විසඳුම් නොමැත.

1.1 මායිම් නඩුව වෙන වෙනම සලකා බලමු: $x=-2$. අපි මෙම අංකය මුල් අසමානතාවයට ආදේශ කර පරීක්ෂා කරමු: එය පවතිනවාද?

\[\begin(align) & ((\වම. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \ right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

පැහැදිලිවම, ගණනය කිරීම් දාමය වැරදි අසමානතාවයකට අපව ගෙන ගොස් ඇත. එබැවින් මුල් අසමානතාවය ද අසත්‍ය වන අතර $x=-2$ පිළිතුරෙහි ඇතුළත් නොවේ.

2. දැන් $-2 \lt x \lt 1$ දෙන්න. වම් මොඩියුලය දැනටමත් "ප්ලස්" සමඟ විවෘත වනු ඇත, නමුත් දකුණු එක තවමත් "අඩු" සමඟ ඇත. අපිට තියනවා:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ end(align)\]

නැවතත් අපි මුල් අවශ්යතාව සමඟ ඡේදනය කරමු:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ end(align) \ right.\rightarrow x\in \varnoth \]

නැවතත්, හිස් විසඳුම් කට්ටලය, −2.5 ට අඩු සහ −2 ට වැඩි සංඛ්‍යා නොමැති බැවින්.

2.1 නැවතත් විශේෂ අවස්ථාවක්: $x=1$. අපි මුල් අසමානතාවයට ආදේශ කරමු:

\[\begin(align) & ((\වම. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \වම| 3\දකුණ| \lt\වම| 0 \ right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

පෙර "විශේෂ අවස්ථාව" මෙන්ම, අංකය $x=1$ පැහැදිලිව පිළිතුරෙහි ඇතුළත් නොවේ.

3. පේළියේ අවසාන කොටස: $x \gt 1$. මෙහි සියලුම මොඩියුල ප්ලස් ලකුණක් සමඟ පුළුල් කර ඇත:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

නැවතත් අපි සොයාගත් කට්ටලය මුල් සීමාව සමඟ ඡේදනය කරමු:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\ end(align) \ right.\rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \දකුණ)\]

අවසාන! අපි විරාමය සොයාගෙන ඇත, එය පිළිතුර වනු ඇත.

පිළිතුර: $x\in \වම(4,5;+\infty \right)$

අවසාන වශයෙන්, සැබෑ ගැටළු විසඳීමේදී මෝඩ වැරදි වලින් ඔබව ගලවා ගත හැකි එක් සටහනක්:

මොඩියුල සමඟ අසමානතා විසඳුම් සාමාන්යයෙන් සංඛ්යා රේඛාව මත අඛණ්ඩ කට්ටල වේ - අන්තරයන් සහ කොටස්. හුදකලා ස්ථාන වඩාත් දුර්ලභ ය. ඊටත් වඩා කලාතුරකින්, විසඳුමේ මායිම් (කොටසේ අවසානය) සලකා බලනු ලබන පරාසයේ මායිම සමඟ සමපාත වේ.

එබැවින්, මායිම් (එම "විශේෂ අවස්ථා") පිළිතුරෙහි ඇතුළත් කර නොමැති නම්, මෙම මායිම්වල වම්-දකුණට ඇති ප්‍රදේශ නිසැකවම පිළිතුරට ඇතුළත් නොවනු ඇත. සහ අනෙක් අතට: ප්‍රතිචාර වශයෙන් මායිම ඇතුළු විය, එයින් අදහස් වන්නේ එය අවට සමහර ප්‍රදේශ ද ප්‍රතිචාර වනු ඇති බවයි.

ඔබ ඔබේ විසඳුම් පරීක්ෂා කරන විට මෙය මතක තබා ගන්න.

මොඩියුල සමඟ අසමානතා හෙළිදරව් කිරීම සඳහා ක්‍රම (නීති) මොඩියුල අනුක්‍රමික හෙළිදරව් කිරීමකින් සමන්විත වන අතර, උප මොඩියුල ශ්‍රිතවල නියත සලකුණක කාල පරතරයන් භාවිතා කරයි. අවසාන අනුවාදයේ, ගැටලුවේ තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරන කාල පරතරයන් හෝ හිඩැස් සොයා ගන්නා අසමානතා කිහිපයක් ලබා ගනී.

ප්රායෝගිකව පොදු උදාහරණ විසඳීමට අපි යමු.

මොඩියුල සමග රේඛීය අසමානතා

රේඛීය යන්නෙන් අපි අදහස් කරන්නේ විචල්‍යය රේඛීයව සමීකරණයට ඇතුළු වන සමීකරණ ය.

උදාහරණ 1. අසමානතාවයකට විසඳුමක් සොයන්න

විසඳුමක්:
x=-1 සහ x=-2 හිදී මොඩියුල ශුන්‍ය බවට පත්වන බව ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව එය අනුගමනය කරයි. මෙම ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂය විරාම වලට බෙදයි

මෙම එක් එක් කාල පරතරය තුළ, අපි ලබා දී ඇති අසමානතාවය විසඳන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුව, අපි උප මොඩියුලර් ශ්‍රිතවල නිරන්තර සලකුණු ඇති ප්‍රදේශවල ග්‍රැෆික් චිත්‍ර අඳින්නෙමු. ඒවා එක් එක් කාර්යයේ සලකුණු සහිත ප්‍රදේශ ලෙස නිරූපණය කෙරේ.

හෝ සියලු කාර්යයන් වල සංඥා සහිත විරාමයන්.

පළමු පරතරය මත, මොඩියුල විවෘත කරන්න

අපි කොටස් දෙකම සෘණ එකකින් ගුණ කරමු, අසමානතාවයේ ලකුණ ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙයට වෙනස් වේ. ඔබට මෙම රීතියට හුරුවීම දුෂ්කර නම්, ඔබට එක් එක් කොටස ලකුණෙන් ඔබ්බට ගෙන ගොස් අවාසි ඉවත් කළ හැකිය. අවසානයේදී, ඔබට ලැබෙනු ඇත

සමීකරණ විසඳන ලද ප්‍රදේශය සමඟ x>-3 කට්ටලයේ ඡේදනය අන්තරය වනු ඇත (-3;-2) . චිත්රක ලෙස විසඳුම් සෙවීමට පහසු අය සඳහා, ඔබට මෙම ප්රදේශ වල ඡේදනය ඇඳිය ​​හැකිය

ප්රදේශ වල පොදු මංසන්ධිය විසඳුම වනු ඇත. දැඩි අසමානතාවයකින්, දාර ඇතුළත් නොවේ. ආදේශකයක් මගින් දැඩි නොවන බව පරීක්ෂා කර ඇත්නම්.

දෙවන පරතරය මත, අපි ලබා ගනිමු

කොටස පරතරය (-2; -5/3) වනු ඇත. රූපමය වශයෙන්, විසඳුම පෙනෙනු ඇත

තුන්වන පරතරය මත, අපි ලබා ගනිමු

මෙම තත්ත්වයඅවශ්ය වසම මත විසඳුම් ලබා නොදේ.

සොයාගත් විසඳුම් දෙක (-3;-2) සහ (-2;-5/3) x=-2 ලක්ෂ්‍යයට මායිම් වන බැවින්, අපි එය ද පරීක්ෂා කරමු.

මේ අනුව x=-2 ලක්ෂ්‍යය විසඳුම වේ. පොදු තීරණයමෙය මනසේ තබාගෙන, එය (-3; 5/3) ලෙස පෙනෙනු ඇත.

උදාහරණ 2. අසමානතාවයට විසඳුමක් සොයන්න
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

විසඳුමක්:
උප මොඩියුල ශ්‍රිතවල ශුන්‍ය වනුයේ x=2, x=3, x=4 යන ලක්ෂ්‍ය වේ. තර්කවල අගයන් මෙම ලක්ෂ්‍යවලට වඩා අඩු වූ විට, උප මොඩියුලයේ ක්‍රියාකාරීත්වය සෘණ වන අතර අගයන් විශාල වන විට ඒවා ධනාත්මක වේ.

ලක්ෂ්‍ය සැබෑ අක්ෂය විරාම හතරකට බෙදයි. අපි ලකුණේ ස්ථාවරත්වයේ කාල අන්තරයන් අනුව මොඩියුල විවෘත කර අසමානතා විසඳන්නෙමු.

1) පළමු අන්තරයේ, සියලුම උපමොඩියුලර් කාර්යයන් ඍණාත්මක වේ, එබැවින්, මොඩියුල පුළුල් කරන විට, අපි ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කරමු.

සලකා බලන කාල පරතරය සමඟ සොයාගත් x අගයන් ඡේදනය වීම ලකුණු සමූහයක් වනු ඇත

2) x=2 සහ x=3 යන ලක්ෂ්‍ය අතර පරතරය තුළ පළමු උප මොඩියුල ශ්‍රිතය ධන වේ, දෙවන සහ තෙවන ඍණ වේ. මොඩියුල පුළුල් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

අසමානතාවයක්, අප විසඳන අන්තරය සමඟ ඡේදනය වන විට, එක් විසඳුමක් ලබා දෙයි - x=3.

3) x=3 සහ x=4 යන ලක්ෂ්‍ය අතර පරතරය තුළ පළමු සහ දෙවන උපමොඩියුල ශ්‍රිත ධනාත්මක වන අතර තෙවන එක සෘණ වේ. මේ මත පදනම්ව, අපට ලැබේ

මෙම කොන්දේසිය පෙන්නුම් කරන්නේ සම්පූර්ණ විරාමය මොඩියුල සමඟ අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන බවයි.

4) x>4 අගයන් සඳහා, සියලු ශ්‍රිතයන් සංඥා-ධනාත්මක වේ. මොඩියුල පුළුල් කරන විට, අපි ඒවායේ ලකුණ වෙනස් නොකරමු.

අන්තරය සමඟ මංසන්ධියේදී සොයාගත් තත්ත්වය පහත විසඳුම් මාලාවක් ලබා දෙයි

අසමානතාවය සියලු කාල අන්තරයන් මත විසඳා ඇති බැවින්, සියලු සොයාගත් x අගයන්හි පොදු අගය සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. විසඳුම පරතරයන් දෙකකි

මෙම උදාහරණය විසඳා ඇත.

උදාහරණ 3. අසමානතාවයට විසඳුමක් සොයන්න
||x-1|-5|>3-2x

විසඳුමක්:
අපි මොඩියුලයකින් මොඩියුලයක් සමඟ අසමානතාවයක් ඇත. එවැනි අසමානතාවයන් ගැඹුරින් තැන්පත් කර ඇති අයගෙන් ආරම්භ වන මොඩියුල කැදලි ලෙස අනාවරණය වේ.

උප මොඩියුල ශ්‍රිතය x-1 x=1 ලක්ෂ්‍යයේදී ශුන්‍ය බවට පරිවර්තනය වේ. 1 න් ඔබ්බට කුඩා අගයන් සඳහා එය සෘණ සහ x>1 සඳහා ධන වේ. මේ මත පදනම්ව, අපි අභ්යන්තර මොඩියුලය විවෘත කර එක් එක් කාල පරතරයන් මත අසමානතාවය සලකා බලමු.

මුලින්ම සෘණ අනන්තයේ සිට එක දක්වා පරතරය සලකා බලන්න

උප මොඩියුල ශ්‍රිතය x=-4 ලක්ෂ්‍යයේ ශුන්‍ය වේ. කුඩා අගයන් සඳහා එය ධන වේ, විශාල අගයන් සඳහා එය සෘණ වේ. x සඳහා මොඩියුලය පුළුල් කරන්න<-4:

අප සලකා බලන ප්රදේශය සමඟ මංසන්ධියේදී, අපි විසඳුම් කට්ටලයක් ලබා ගනිමු

මීලඟ පියවර වන්නේ කාල පරතරය මත මොඩියුලය පුළුල් කිරීමයි (-4; 1)

මොඩියුලයේ විස්තාරණ ප්රදේශය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි විසඳුම් අතර පරතරය ලබා ගනිමු

මතක තබා ගන්න: පොදු ලක්ෂ්‍යයකට මායිම් වන මොඩියුල සමඟ එවැනි අක්‍රමිකතා වලදී ඔබට කාල පරතරයන් දෙකක් ලැබෙන්නේ නම්, රීතියක් ලෙස, මෙයද විසඳුමකි.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පමණක් පරීක්ෂා කළ යුතුය.

මෙම අවස්ථාවේදී, අපි x=-4 ලක්ෂ්යය ආදේශ කරමු.

එබැවින් x=-4 යනු විසඳුමයි.
x>1 සඳහා අභ්‍යන්තර මොඩියුලය පුළුල් කරන්න

උපමොඩියුල ශ්‍රිතය x සඳහා ඍණ වේ<6.
මොඩියුලය පුළුල් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

අන්තරය (1;6) සහිත කොටසෙහි මෙම කොන්දේසිය හිස් විසඳුම් කට්ටලයක් ලබා දෙයි.

x>6 සඳහා අපට අසමානතාවය ලැබේ

එසේම විසඳමින් අපට හිස් කට්ටලයක් ලැබුණි.
ඉහත සියල්ලම ලබා දී ඇති අතර, මොඩියුල සමඟ අසමානතාවයට ඇති එකම විසඳුම වනුයේ පහත දැක්වෙන විරාමයයි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණ අඩංගු මොඩියුල සමඟ අසමානතා

උදාහරණ 4. අසමානතාවයට විසඳුමක් සොයන්න
|x^2+3x|>=2-x^2

විසඳුමක්:
උප මොඩියුල ශ්‍රිතය x=0, x=-3 යන ලක්ෂ්‍යවලදී අතුරුදහන් වේ. සරල ආදේශනයකින් එකක් අඩු කරන්න

අපි එය පරතරය (-3; 0) මත ශුන්‍යයට වඩා අඩු බවත් ඉන් ඔබ්බට ධනාත්මක බවත් සකසමු.
උප මොඩියුලයේ ක්‍රියාකාරිත්වය ධනාත්මක වන ප්‍රදේශවල මොඩියුලය පුළුල් කරන්න

චතුරස්රාකාර ශ්රිතය ධනාත්මක වන ප්රදේශ තීරණය කිරීම සඳහා එය පවතී. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් තීරණය කරමු

පහසුව සඳහා, අපි අන්තරයට (-2;1/2) අයත් වන ලක්ෂ්‍යය x=0 ආදේශ කරමු. මෙම කාල පරතරය තුළ ශ්‍රිතය ඍණ වේ, එබැවින් විසඳුම පහත දැක්වෙන කට්ටල x වනු ඇත

මෙන්න, වරහන් මඟින් විසඳුම් සහිත ප්‍රදේශවල දාර දක්වයි; මෙය හිතාමතාම සිදු කරන ලද්දේ පහත රීතිය සැලකිල්ලට ගනිමිනි.

මතක තබා ගන්න: මොඩියුල සමඟ අසමානතාවය හෝ සරල අසමානතාවය දැඩි නම්, සොයාගත් ප්‍රදේශ වල දාර විසඳුම් නොවේ, නමුත් අසමානතාවයන් දැඩි නොවේ නම් (), එවිට දාර විසඳුම් වේ (වර්ග වරහන් මගින් දැක්වේ).

මෙම රීතිය බොහෝ ගුරුවරුන් විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ: දැඩි අසමානතාවයක් ලබා දී ඇති අතර, ඔබ ගණනය කිරීම් අතරතුර විසඳුමෙහි වර්ග වරහනක් ([,]) ලියන්නේ නම්, ඔවුන් ස්වයංක්‍රීයව මෙය වැරදි පිළිතුරක් ලෙස සලකනු ඇත. එසේම, පරීක්ෂා කිරීමේදී, මොඩියුල සමඟ දැඩි නොවන අසමානතාවයක් නියම කර ඇත්නම්, විසඳුම් අතර, හතරැස් වරහන් සහිත ප්රදේශ සොයා බලන්න.

විරාමයේදී (-3; 0), මොඩියුලය පුළුල් කරමින්, අපි ශ්‍රිතයේ ලකුණ ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කරමු.

අසමානතා හෙළිදරව් කිරීමේ විෂය පථය සැලකිල්ලට ගනිමින්, විසඳුමට පෝරමය ඇත

පෙර ප්රදේශය සමඟ එක්ව, මෙය අර්ධ විරාම දෙකක් ලබා දෙනු ඇත

උදාහරණ 5. අසමානතාවයට විසඳුමක් සොයන්න
9x^2-|x-3|>=9x-2

විසඳුමක්:
දැඩි නොවන අසමානතාවයක් ලබා දී ඇත, උපමොඩියුල ශ්‍රිතය x=3 ලක්ෂ්‍යයේ ශුන්‍යයට සමාන වේ. කුඩා අගයන්හිදී එය සෘණාත්මක වන අතර විශාල අගයන්හිදී එය ධනාත්මක වේ. අපි විරාමය x මත මොඩියුලය පුළුල් කරමු<3.

සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම සොයා ගැනීම

සහ මුල්

ශුන්‍ය ලක්ෂ්‍යය ආදේශ කිරීමෙන්, [-1/9; 1] අන්තරයේ චතුරස්‍ර ශ්‍රිතය සෘණ වන බව අපි සොයා ගනිමු, එබැවින් විරාමය විසඳුමක් වේ. ඊළඟට, x>3 සඳහා මොඩියුලය විවෘත කරන්න

මොඩියුල අංකයමෙම අංකය සෘණ නොවන නම්, හෝ සෘණ නම් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත එම අංකයම ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, 6 හි මාපාංකය 6 වන අතර -6 හි මාපාංකය ද 6 වේ.

එනම්, අංකයක මාපාංකය නිරපේක්ෂ අගයක් ලෙස වටහාගෙන ඇත, එහි ලකුණ සැලකිල්ලට නොගෙන මෙම අංකයේ නිරපේක්ෂ අගය.

පහත පරිදි දක්වා ඇත: |6|, | x|, |ඒ| ආදිය

(වැඩි විස්තර සඳහා, "අංකයේ මොඩියුලය" කොටස බලන්න).

මොඩියුල සමීකරණ.

උදාහරණ 1 . සමීකරණය විසඳන්න|10 x - 5| = 15.

විසඳුමක්.

රීතියට අනුකූලව, සමීකරණය සමීකරණ දෙකක එකතුවට සමාන වේ:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

අපි තීරණය කරන්නේ:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

පිළිතුර: x 1 = 2, x 2 = -1.

උදාහරණ 2 . සමීකරණය විසඳන්න|2 x + 1| = x + 2.

විසඳුමක්.

මාපාංකය සෘණ නොවන අංකයක් බැවින්, එසේ නම් x+ 2 ≥ 0. ඒ අනුව:

x ≥ -2.

අපි සමීකරණ දෙකක් සාදන්නෙමු:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

අපි තීරණය කරන්නේ:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

අංක දෙකම -2ට වඩා වැඩිය. එබැවින් දෙකම සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

පිළිතුර: x 1 = -1, x 2 = 1.

උදාහරණය 3 . සමීකරණය විසඳන්න

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

විසඳුමක්.

හරය බිංදුවට සමාන නොවේ නම් සමීකරණය අර්ථවත් කරයි - එසේ නම් x≠ 1. අපි මෙම කොන්දේසිය සැලකිල්ලට ගනිමු. අපගේ පළමු ක්‍රියාව සරලයි - අපි කොටස ඉවත් නොකරමු, නමුත් අපි එය මොඩියුලය එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන් ලබා ගන්නා ආකාරයට පරිවර්තනය කරමු:

|x+ 3| - 1 = 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

දැන් අපට ඇත්තේ සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ඇති මාපාංකය යටතේ ඇති ප්‍රකාශනය පමණි. ඉදිරියට යන්න.
සංඛ්‍යාවක මාපාංකය සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවකි - එනම් එය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි හෝ සමාන විය යුතුය. ඒ අනුව, අපි අසමානතාවය විසඳන්නෙමු:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

මේ අනුව, අපට දෙවන කොන්දේසියක් ඇත: සමීකරණයේ මූලය අවම වශයෙන් 3/4 විය යුතුය.

රීතියට අනුකූලව, අපි සමීකරණ දෙකක කට්ටලයක් සාදා ඒවා විසඳන්නෙමු:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

අපිට ප්‍රතිචාර දෙකක් ලැබුණා. ඒවා මුල් සමීකරණයේ මූලයන් දැයි පරීක්ෂා කර බලමු.

අපට කොන්දේසි දෙකක් තිබුණි: සමීකරණයේ මූලය 1 ට සමාන විය නොහැකි අතර එය අවම වශයෙන් 3/4 විය යුතුය. එනම් x ≠ 1, x≥ 3/4. මෙම කොන්දේසි දෙකම අනුරූප වන්නේ ලැබුණු පිළිතුරු දෙකෙන් එකකට පමණි - අංක 2. එබැවින් එය මුල් සමීකරණයේ මූලය පමණි.

පිළිතුර: x = 2.

මාපාංකය සමඟ අසමානතා.

උදාහරණ 1 . අසමානතාවය විසඳන්න| x - 3| < 4

විසඳුමක්.

මොඩියුල රීතිය මෙසේ කියයි:

|ඒ| = ඒ, නම් ඒ ≥ 0.

|ඒ| = -ඒ, නම් ඒ < 0.

මාපාංකයට සෘණ නොවන සහ සෘණ අංකයක් තිබිය හැක. එබැවින් අපි අවස්ථා දෙකම සලකා බැලිය යුතුය: x- 3 ≥ 0 සහ x - 3 < 0.

1) කවදාද x- 3 ≥ 0 අපගේ මුල් අසමානතාවය එලෙසම පවතී, මොඩියුල ලකුණ නොමැතිව පමණි:
x - 3 < 4.

2) කවදාද x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

වරහන් විවෘත කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

-x + 3 < 4.

මේ අනුව, මෙම කොන්දේසි දෙකෙන්, අපි අසමානතා පද්ධති දෙකක එකමුතුවකට පැමිණ ඇත:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

අපි ඒවා විසඳමු:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

එබැවින්, අපගේ පිළිතුරෙහි අපට කට්ටල දෙකක එකතුවක් ඇත:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

අපි කුඩාම සහ තීරණය කරමු විශාලතම වටිනාකම. මේවා -1 සහ 7. ඒ සමගම x-1 ට වැඩි නමුත් 7 ට වඩා අඩුය.
ඊට අමතරව, x≥ 3. එබැවින්, අසමානතාවයට විසඳුම වන්නේ මෙම ආන්තික සංඛ්‍යා හැර -1 සිට 7 දක්වා වූ සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා සමූහයයි.

පිළිතුර: -1 < x < 7.

හෝ: x ∈ (-1; 7).

ඇඩෝන.

1) අපගේ අසමානතාවය විසඳීමට සරල හා කෙටි මාර්ගයක් ඇත - චිත්රක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, තිරස් අක්ෂයක් අඳින්න (රූපය 1).

ප්රකාශනය | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки xඒකක හතරකට වඩා අඩු ලක්ෂ්ය 3 දක්වා. අපි අක්ෂයේ අංක 3 සලකුණු කර එහි වමට සහ දකුණට බෙදීම් 4 ක් ගණන් කරන්නෙමු. වම් පසින් අපි ලක්ෂ්යය -1 වෙත පැමිණෙනු ඇත, දකුණේ - ලක්ෂ්යය 7. මේ අනුව, ලකුණු xඅපි ඒවා ගණන් නොගෙන දැක්කා.

එපමණක් නොව, අසමානතා තත්ත්වය අනුව, -1 සහ 7 විසඳුම් කට්ටලයට ඇතුළත් නොවේ. මේ අනුව, අපට පිළිතුර ලැබේ:

1 < x < 7.

2) නමුත් චිත්රක ක්රමයට වඩා සරල තවත් විසඳුමක් තිබේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපගේ අසමානතාවය පහත ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කළ යුතුය:

4 < x - 3 < 4.

සියල්ලට පසු, මොඩියුලයේ රීතිය අනුව එය එසේ වේ. ඍණ නොවන අංක 4 සහ සමාන සෘණ අංකය -4 අසමානතාවයට විසඳුමේ මායිම් වේ.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

උදාහරණ 2 . අසමානතාවය විසඳන්න| x - 2| ≥ 5

විසඳුමක්.

මෙම උදාහරණය පෙර එකට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ. වම් පැත්ත 5 ට වැඩි හෝ 5 ට සමාන. සී ජ්යාමිතික ලක්ෂ්යයබලන්න, අසමානතාවයට විසඳුම 2 ලක්ෂයේ සිට ඒකක 5 ක් හෝ ඊට වැඩි දුරකින් ඇති සියලුම සංඛ්‍යා වේ (රූපය 2). ප්‍රස්ථාරයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ මේ සියල්ල -3 ට අඩු හෝ සමාන වන සහ 7 ට වඩා වැඩි හෝ සමාන වන සංඛ්‍යා බවයි. ඉතින්, අපට දැනටමත් පිළිතුර ලැබී ඇත.

පිළිතුර: -3 ≥ x ≥ 7.

අතරමගදී, ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ නිදහස් පදය වමට සහ දකුණට නැවත සකස් කිරීමෙන් අපි එකම අසමානතාවය විසඳන්නෙමු:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

පිළිතුර සමාන වේ: -3 ≥ x ≥ 7.

හෝ: x ∈ [-3; 7]

උදාහරණය විසඳා ඇත.

උදාහරණය 3 . අසමානතාවය විසඳන්න 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

විසඳුමක්.

අංකය xසමහර විට ධනාත්මක අංකය, සහ සෘණ, සහ ශුන්ය. ඒ නිසා අපි මේ අවස්ථා තුනම සැලකිල්ලට ගත යුතුයි. ඔබ දන්නා පරිදි, ඒවා අසමානතා දෙකකින් සැලකිල්ලට ගනී: x≥ 0 සහ x < 0. При x≥ 0, අපි සරලව අපගේ මුල් අසමානතාවය නැවත ලියන්නෙමු, මොඩියුල ලකුණ නොමැතිව පමණි:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

දැන් දෙවන නඩුව සඳහා: නම් x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

වරහන් පුළුල් කිරීම:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

මේ අනුව, අපට සමීකරණ පද්ධති දෙකක් ලැබී ඇත:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

අපි පද්ධතිවල අසමානතා විසඳිය යුතුයි - එයින් අදහස් කරන්නේ අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණ දෙකක මූලයන් සොයා ගත යුතු බවයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි අසමානතාවයේ වම් පස ශුන්යයට සමාන කරමු.

අපි පළමු එක සමඟ ආරම්භ කරමු:

6x 2 - x - 2 = 0.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද - "චතුරස්රාකාර සමීකරණය" කොටස බලන්න. අපි වහාම පිළිතුර නම් කරන්නෙමු:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

පළමු අසමානතා පද්ධතියෙන්, මුල් අසමානතාවයට විසඳුම -1/2 සිට 2/3 දක්වා වූ සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා සමූහය බව අපට ලැබේ. සඳහා විසඳුම් එකමුතුව අපි ලියන්නෙමු x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

දැන් අපි දෙවන චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳමු:

6x 2 + x - 2 = 0.

එහි මූලයන්:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

නිගමනය: කවදාද x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

අපි පිළිතුරු දෙක ඒකාබද්ධ කර අවසාන පිළිතුර ලබා ගනිමු: විසඳුම මෙම ආන්තික සංඛ්‍යා ඇතුළුව -2/3 සිට 2/3 දක්වා වූ සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා සමූහයයි.

පිළිතුර: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

හෝ: x ∈ [-2/3; 2/3].

අසමානතා විසඳුමමාදිලියේ සමඟ අමුත්තන් විසඳුමක්ඕනෑම අසමානතාවයක් පාහේ සමඟ අමුත්තන්. ගණිතමය අන්තර්ජාලයේ අසමානතාගණිතය විසඳීමට. ඉක්මනින් සොයා ගන්න අසමානතා විසඳුමමාදිලියේ සමඟ අමුත්තන්. වෙබ් අඩවිය www.site ඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි විසඳුමක්ඕනෑම දෙයක් පාහේ වීජීය, ත්රිකෝණමිතිකහෝ මාර්ගගත අසමානතාවය. මත ගණිතයේ ඕනෑම අංශයක් පාහේ අධ්යයනය කරන විට විවිධ අදියරයන්න තීරණය කළ යුතුය අන්තර්ජාලයේ අසමානතා. වහාම පිළිතුරක් ලබා ගැනීමට සහ වඩාත්ම වැදගත් නිවැරදි පිළිතුරක් සඳහා, ඔබට මෙය කිරීමට ඉඩ සලසන සම්පතක් අවශ්ය වේ. www.site එකට ස්තුතියි අන්තර්ජාලය හරහා අසමානතාවය විසඳන්නමිනිත්තු කිහිපයක් ගතවනු ඇත. ගණිතය විසඳන විට www.site හි ප්රධාන වාසිය අන්තර්ජාලයේ අසමානතා- නිකුත් කරන ලද ප්රතිචාරයේ වේගය සහ නිරවද්යතාව වේ. ඕනෑම දෙයක් විසඳීමට වෙබ් අඩවියට හැකි වේ මාර්ගගත වීජීය අසමානතා, සබැඳි ත්‍රිකෝණමිතික අසමානතා, මාර්ගගත අසමානතා, මෙන්ම අසමානතාමාදිලියේ නොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ සමඟ අමුත්තන්. අසමානතාබලවත් ගණිත උපකරණයක් ලෙස සේවය කරයි විසඳුම්ප්රායෝගික කාර්යයන්. උදව් ඇතිව ගණිතමය අසමානතාබැලූ බැල්මට ව්‍යාකූල හා සංකීර්ණ ලෙස පෙනෙන කරුණු සහ සම්බන්ධතා ප්‍රකාශ කළ හැකිය. නොදන්නා ප්රමාණ අසමානතාහි ගැටලුව සැකසීමෙන් සොයාගත හැකිය ගණිතමයස්වරූපයෙන් භාෂාව අසමානතාහා තීරණය කරන්නමාදිලියේ ලැබුණු කාර්යය සමඟ අමුත්තන් www.site වෙබ් අඩවියේ. කිසියම් වීජීය අසමානතාවය, ත්රිකෝණමිතික අසමානතාවයහෝ අසමානතාඅඩංගු ලෝකෝත්තරඔබට පහසුවෙන් විශේෂාංග තීරණය කරන්නසබැඳිව සහ නිවැරදි පිළිතුර ලබා ගන්න. ඉගෙන ගන්නවා ස්වභාවික විද්යාවඅනිවාර්යයෙන් අවශ්‍යතාවයට මුහුන දෙයි අසමානතා විසඳුම. මෙම අවස්ථාවේදී, පිළිතුර නිවැරදි විය යුතු අතර එය ප්රකාරයේදී වහාම ලැබිය යුතුය සමඟ අමුත්තන්. එබැවින්, සඳහා අන්තර්ජාලයේ ගණිතමය අසමානතා විසඳන්නඅපි www.site වෙබ් අඩවිය නිර්දේශ කරමු, එය ඔබගේ අත්‍යවශ්‍ය කැල්කියුලේටරය බවට පත්වේ වීජීය අසමානතා අන්තර්ජාලය හරහා විසඳන්න, සබැඳි ත්‍රිකෝණමිතික අසමානතා, මෙන්ම මාර්ගගත අසමානතාහෝ අසමානතානොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ. විවිධාකාරයේ අභ්‍යන්තර විසඳුම් සෙවීමේ ප්‍රායෝගික ගැටළු සඳහා ගණිතමය අසමානතාසම්පත් www.. විසදීම අන්තර්ජාලයේ අසමානතාඔබම, භාවිතා කර ලැබුණු පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ මාර්ගගත විසඳුමඅසමානතා www.site වෙබ් අඩවියේ. අසමානතාවය නිවැරදිව ලිවීමට හා ක්ෂණිකව ලබා ගැනීමට අවශ්ය වේ මාර්ගගත විසඳුම, ඉන් පසුව ඉතිරිව ඇත්තේ අසමානතාවයට ඔබේ විසඳුම සමඟ පිළිතුර සංසන්දනය කිරීම පමණි. පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීමට විනාඩියකට වඩා ගත නොවනු ඇත, ප්රමාණවත්ය අන්තර්ජාලය හරහා අසමානතාවය විසඳන්නසහ පිළිතුරු සසඳන්න. මෙය ඔබට වැරදි වළක්වා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත තීරණයසහ නියමිත වේලාවට පිළිතුර නිවැරදි කරන්න අන්තර්ජාලය ඔස්සේ අසමානතා විසඳීමයන්න වීජීය, ත්රිකෝණමිතික, ඉක්මවා ගියහෝ අසමානතාවයනොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ.

මෙම මාර්ගගත ගණිත ගණක යන්ත්‍රය ඔබට උපකාරී වනු ඇත මොඩියුල සමඟ සමීකරණයක් හෝ අසමානතාවයක් විසඳන්න. සඳහා වැඩසටහන මොඩියුල සමඟ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, එය මඟ පෙන්වයි පැහැදිලි කිරීම් සමඟ සවිස්තරාත්මක විසඳුම, i.e. ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමේ ක්රියාවලිය පෙන්වයි.

මෙම වැඩසටහන උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ප්රයෝජනවත් විය හැක සාමාන්ය අධ්යාපන පාසල්සඳහා සූදානම් වෙමින් පාලන වැඩසහ විභාග, විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කරන විට, ගණිතය සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීම පාලනය කිරීමට දෙමාපියන්. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? නැත්නම් ඔබට එය හැකි ඉක්මනින් කර ගැනීමට අවශ්‍යද? ගෙදර වැඩගණිතය හෝ වීජ ගණිතය? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.

මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්‍යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.

|x| හෝ abs(x) - මොඩියුලය x

මාපාංක සමඟ සමීකරණය හෝ අසමානතාවය ඇතුළත් කරන්න

සමීකරණයක් හෝ අසමානතාවයක් විසඳන්න

මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්‍ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය කර නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.

ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ JavaScript අක්‍රිය කර ඇත.
විසඳුම දිස්වීමට JavaScript සක්රිය කළ යුතුය.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ JavaScript සක්‍රීය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ උපදෙස් මෙන්න.

නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...

ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.

අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:

න්‍යාය ටිකක්.

මොඩියුල සමග සමීකරණ සහ අසමානතා

මූලික පාසල් වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී, ඔබට මොඩියුල සමඟ සරලම සමීකරණ සහ අසමානතා සපුරාලිය හැකිය. ඒවා විසඳීම සඳහා, ඔබට \(|x-a| \) යනු x සහ a ලක්ෂ්‍ය අතර සංඛ්‍යා රේඛාවේ ඇති දුර බව මත පදනම්ව ජ්‍යාමිතික ක්‍රමයක් යෙදිය හැක: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). උදාහරණයක් ලෙස, \(|x-3|=2 \) සමීකරණය විසඳීමට, ඔබ 3 ලක්ෂයේ සිට 2ක් දුරින් ඇති සංඛ්‍යා රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය සොයා ගත යුතුය. එවැනි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් තිබේ: \(x_1=1 \) සහ \(x_2=5 \) .

අසමානතාවය විසඳීම \(|2x+7|

නමුත් මොඩියුල සමඟ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමේ ප්‍රධාන ක්‍රමය ඊනියා "අර්ථ දැක්වීම අනුව මොඩියුල ප්‍රසාරණය" හා සම්බන්ධ වේ:
\(a \geq 0 \) නම් \(|a|=a \);
\(a රීතියක් ලෙස, මොඩියුල සහිත සමීකරණයක් (අසමානතාවය) මොඩියුලයේ ලකුණ අඩංගු නොවන සමීකරණ (අසමානතා) සමූහයකට අඩු කරයි.

ඉහත නිර්වචනයට අමතරව, පහත සඳහන් ප්රකාශයන් භාවිතා කරනු ලැබේ:
1) \(c > 0 \), එසේ නම් \(|f(x)|=c \) සමීකරණ කට්ටලයට සමාන වේ: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) \(c > 0 \), එවිට අසමානතාවය \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) නම්, අසමානතාවය \(|f(x)| > c \) වේ අසමානතා සමූහයට සමාන: \(\වම[\ආරම්භක(අරාව)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) අසමානතාවයේ කොටස් දෙකම \(f(x) නම් උදාහරණය 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) සමීකරණය විසඳන්න.

\(x-1 \geq 0 \) නම් \(|x-1| = x-1 \) සහ ලබා දී ඇති සමීකරණයස්වරූපය ගනී
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) නම්.
මේ අනුව, දක්වා ඇති එක් එක් අවස්ථා දෙකෙහි දී ලබා දී ඇති සමීකරණය වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතුය.
1) ඉඩ දෙන්න \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x \geq 1 \). \(x^2 +2x -8 = 0 \) සමීකරණයෙන් අපි \(x_1=2, \; x_2=-4\) සොයා ගනිමු. \(x \geq 1 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වන්නේ \(x_1=2\) අගයෙන් පමණි.
2) ඉඩ දෙන්න \(x-1 පිළිතුර: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

උදාහරණය 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) සමීකරණය විසඳන්න.

පළමු මාර්ගය(නිර්වචනය අනුව මොඩියුලය පුළුල් කිරීම).
උදාහරණ 1 හි මෙන් තර්ක කරමින්, දී ඇති සමීකරණය කොන්දේසි දෙකක් යටතේ වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතු බව අපි නිගමනය කරමු: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) හෝ \(x^2-6x+7

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), එවිට \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) සහ ලබා දී ඇති සමීකරණය \(x^2 බවට පත් වේ. -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6 \) අගය \(x^2-6x+7 \geq 0 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි සොයා බලමු. මේ සඳහා අපි ආදේශ කරමු නිශ්චිත අගයචතුරස්රාකාර අසමානතාවයකට. අපට ලැබෙන්නේ: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) යනු නිවැරදි අසමානතාවයයි. එබැවින්, \(x_1=6 \) යනු ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මුල වේ.
\(x_2=\frac(5)(3) \) අගය \(x^2-6x+7 \geq 0 \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි සොයා බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දක්වා ඇති අගය චතුරස්රාකාර අසමානතාවයට ආදේශ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) යනු වලංගු නොවන අසමානතාවයකි. එබැවින් \(x_2=\frac(5)(3) \) ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මූලයක් නොවේ.

2) \(x^2-6x+7 \(x_3=3\) අගය \(x^2-6x+7 අගය \(x_4=\frac(4)(3) \) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි නම් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොවේ \ (x^2-6x+7 එබැවින්, දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: \(x=6, \; x=3 \).

දෙවන මාර්ගය.\(|f(x)| = h(x) \) සමීකරණයක් ලබා දී පසුව \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac සඳහා (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\දකුණ. \)
මෙම සමීකරණ දෙකම ඉහත විසඳා ඇත (දී ඇති සමීකරණය විසඳීමේ පළමු ක්‍රමය සමඟ), ඒවායේ මූලයන් පහත පරිදි වේ: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). මේවායේ \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) තත්ත්වය අගයන් හතරක්දෙකක් පමණක් තෘප්තිමත් කරන්න: 6 සහ 3. එබැවින්, දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: \(x=6, \; x=3 \).

තුන්වන මාර්ගය(ග්‍රැෆික්).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) ශ්‍රිතය සැලසුම් කරමු. මුලින්ම අපි \(y = x^2-6x+7\) පරාවලයක් ගොඩනඟමු. අප සතුව \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය \(y = (x-3)^2-2 \) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් \(y = x^2 \) එය පරිමාණ ඒකක 3ක් දකුණට මාරු කිරීමෙන් ලබා ගත හැක. x-අක්ෂය) සහ පරිමාණ ඒකක 2 ක් පහළට (y-අක්ෂය දිගේ). සරල රේඛාව x=3 යනු අප උනන්දු වන පරාවලයේ අක්ෂයයි. වඩාත් නිවැරදිව සැලසුම් කිරීම සඳහා පාලන ලක්ෂ්‍ය ලෙස, ලක්ෂ්‍යය (3; -2) - පැරබෝලාවේ මුදුන, ලක්ෂ්‍යය (0; 7) සහ ලක්ෂ්‍යය (6; 7) අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතික ලෙස ගැනීම පහසුය. පැරබෝලා වල.
ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය දැන් ගොඩනැගීමට \(y = |x^2-6x+7| \), ඔබ විසින් x-අක්ෂයට පහළින් නොවන සකසන ලද පරාවලයේ එම කොටස් නොවෙනස්ව තැබිය යුතු අතර, එහි කොටස පිළිබිඹු කරයි. x-අක්ෂයට පහළින් x-අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇති parabola.
2) අපි ප්රස්ථාරයක් ගොඩනඟමු රේඛීය ශ්රිතය\(y = \frac(5x-9)(3) \). ලකුණු (0; –3) සහ (3; 2) පාලන ලක්ෂ්‍ය ලෙස ගැනීම පහසුය.

abscissa අක්ෂය සමඟ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය x \u003d 1.8 abscissa අක්ෂය සමඟ පරාවලයේ වම් ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ දකුණට පිහිටා තිබීම අත්‍යවශ්‍ය වේ - මෙය ලක්ෂ්‍යය \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) චිත්‍රයෙන් විනිශ්චය කිරීමෙන්, ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් ඡේදනය වේ - A (3; 2) සහ B (6; 7). මේවායේ අබ්සිස්සා ආදේශ කිරීම ලබා දී ඇති සමීකරණයේ ලක්ෂ්‍ය x \u003d 3 සහ x \u003d 6, අපි තවත් අගය දෙකම නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලබා දෙන බවට වග බලා ගන්නෙමු. එබැවින්, අපගේ උපකල්පනය සනාථ විය - සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත: x \u003d 3 සහ x \u003d 6 පිළිතුර: 3; 6.

අදහස් දක්වන්න. චිත්රක මාර්ගයඑහි සියලු අලංකාරය සඳහා, එය ඉතා විශ්වසනීය නොවේ. සලකා බැලූ උදාහරණයේ, එය ක්‍රියාත්මක වූයේ සමීකරණයේ මූලයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා නිසා පමණි.

උදාහරණය 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8 \) සමීකරණය විසඳන්න

පළමු මාර්ගය
2x–4 ප්‍රකාශනය x = 2 ලක්ෂ්‍යයේ දී 0 බවට පත් වන අතර x = –3 ලක්ෂ්‍යයේ දී x + 3 ප්‍රකාශනය වෙයි. මෙම ලක්ෂ්‍ය දෙක සංඛ්‍යා රේඛාව අන්තරයන් තුනකට බෙදයි: \(x

පළමු අන්තරය සලකා බලන්න: \((-\infty; \; -3) \).
x නම් දෙවන විරාමය සලකා බලන්න: \([-3; \; 2) \).
\(-3 \leq x නම් තුන්වන අන්තරය සලකා බලන්න: \()