ශ්‍රිත සීමාවන් න්‍යාය ගණනය කිරීම. අනුපිළිවෙල සහ කාර්යයේ සීමාව. ප්‍රමේය සීමා කරන්න

ප්රධාන මූලික කාර්යයන්එය තේරුම් ගත්තා.

තවත් කාර්යයන් වෙත ගමන් කරන විට සංකීර්ණ වර්ගයඅර්ථය අර්ථ දක්වා නොමැති ප්‍රකාශනවල පෙනුම අපට නිසැකවම හමුවනු ඇත. එවැනි ප්රකාශනයන් ලෙස හැඳින්වේ අවිනිශ්චිතතා.

අපි සියල්ල ලැයිස්තුගත කරමු ප්රධාන අවිනිශ්චිත වර්ග: ශුන්‍ය ශුන්‍යයෙන් බෙදීම (0 න් 0), අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීම, ශුන්‍යය අනන්තයෙන් ගුණ කිරීම, අනන්තය සෘණ අනන්තය, එක අනන්තයේ බලයට, ශුන්‍යයේ බලයට ශුන්‍ය, ශුන්‍යයේ බලයට අනන්තය.

අවිනිශ්චිතතාවයේ අනෙකුත් සියලුම ප්‍රකාශන නොවන අතර සම්පුර්ණයෙන්ම නිශ්චිත පරිමිත හෝ අනන්ත අගයක් ගනී.

අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කරන්නඉඩ දෙයි:

• ශ්‍රිතයේ වර්ගය සරල කිරීම (සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම, සංයුජ ප්‍රකාශන මගින් ගුණ කිරීම සහ අඩු කිරීම යනාදිය);
• කැපී පෙනෙන සීමාවන් භාවිතා කිරීම;
• L'Hopital's රීතිය යෙදීම;
• අපරිමිත ප්‍රකාශනයක් එහි සමාන සමග ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම (සමාන අනන්ත ප්‍රකාශන වගුවක් භාවිතා කිරීම).

අවිනිශ්චිතතාවයන් කාණ්ඩගත කරමු අවිනිශ්චිත වගුව. එක් එක් වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සඳහා අපි එය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා ක්‍රමයක් (සීමාව සොයා ගැනීමේ ක්‍රමය) සම්බන්ධ කරමු.

මෙම වගුව, මූලික ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල සීමාවන් වගුව සමඟ එක්ව, ඕනෑම සීමාවක් සෙවීමේදී ඔබේ ප්‍රධාන මෙවලම් වනු ඇත.

අගය ආදේශ කිරීමෙන් පසු සෑම දෙයක්ම ක්‍රියාත්මක වන විට සහ අවිනිශ්චිතතාවය මතු නොවන විට අපි උදාහරණ කිහිපයක් ලබා දෙමු.

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

විසඳුමක්.

අගය ආදේශ කරන්න:

ඒ වගේම අපිට වහාම පිළිතුරක් ලැබුණා.

පිළිතුර:

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

විසඳුමක්.

අපි x=0 අගය අපගේ ඝාතීය බල ශ්‍රිතයේ පාදයට ආදේශ කරමු:

එනම්, සීමාව ලෙස නැවත ලිවිය හැකිය

දැන් අපි දර්ශකය දෙස බලමු. මෙය බල කාර්යයකි. සඳහා සීමාවන් වගුව වෙත යොමු කරමු බල කාර්යයන්සෘණ දර්ශකයක් සමඟ. එතනින් අපිට තියෙනවා සහ , එබැවින්, අපට ලිවිය හැකිය .

මේ මත පදනම්ව, අපගේ සීමාව මෙසේ ලියා ඇත:

අපි නැවතත් සීමාවන් වගුව වෙත හැරෙමු, නමුත් සඳහා ඝාතීය ශ්‍රිතඑකකට වඩා වැඩි පදනමක් සමඟ, අපට ඇත්තේ:

පිළිතුර:

සමඟ උදාහරණ බලමු සවිස්තරාත්මක විසඳුම් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමෙන් අවිනිශ්චිතතාවයන් අනාවරණය කිරීම.

බොහෝ විට අවිනිශ්චිතතාවයෙන් මිදීමට සීමා ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය තරමක් පරිවර්තනය කළ යුතුය.

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

විසඳුමක්.

අගය ආදේශ කරන්න:

අපි අවිනිශ්චිතතාවයට පැමිණ ඇත. විසඳුම් ක්රමයක් තෝරාගැනීම සඳහා අපි අවිනිශ්චිත වගුව දෙස බලමු. ප්රකාශනය සරල කිරීමට උත්සාහ කරමු.

පිළිතුර:

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

විසඳුමක්.

අගය ආදේශ කරන්න:

අපි අවිනිශ්චිතතාවයට පැමිණියෙමු (0 සිට 0 දක්වා). විසඳුම් ක්රමයක් තෝරා ගැනීමට සහ ප්රකාශනය සරල කිරීමට අපි අවිනිශ්චිත වගුව දෙස බලමු. හරයට සංයෝජන ප්‍රකාශනයෙන් සංඛ්‍යාව සහ හරය යන දෙකම ගුණ කරමු.

හරය සඳහා සංයුජ ප්‍රකාශනය වනු ඇත

අපි සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍රය යෙදිය හැකි වන පරිදි හරය ගුණ කළෙමු - කොටු වෙනස හා පසුව ලැබෙන ප්‍රකාශනය අඩු කරන්න.

පරිවර්තන මාලාවකින් පසු, අවිනිශ්චිතතාවය අතුරුදහන් විය.

පිළිතුර:

අදහස:මෙම වර්ගයේ සීමාවන් සඳහා, සංයුජ ප්‍රකාශන මගින් ගුණ කිරීමේ ක්‍රමය සාමාන්‍ය වේ, එබැවින් එය භාවිතා කිරීමට නිදහස් වන්න.

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

විසඳුමක්.

අගය ආදේශ කරන්න:

අපි අවිනිශ්චිතතාවයට පැමිණ ඇත. විසඳුම් ක්රමයක් තෝරා ගැනීමට සහ ප්රකාශනය සරල කිරීමට අපි අවිනිශ්චිත වගුව දෙස බලමු. x = 1 හිදී numerator සහ denominator යන දෙකම අතුරුදහන් වන බැවින්, මෙම ප්‍රකාශන අඩු කළ හැකි නම් (x-1) සහ අවිනිශ්චිතතාවය පහව යනු ඇත.

අපි සංඛ්‍යාංකය සාධකකරණය කරමු:

අපි හරය සාධකකරණය කරමු:

අපගේ සීමාව පෝරමය ගනු ඇත:

පරිවර්තනයෙන් පසුව, අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි විය.

පිළිතුර:

බල ප්‍රකාශන වලින් අනන්තයේ සීමාවන් සලකා බලමු. බල ප්‍රකාශනයේ ඝාතකයන් ධන නම්, අනන්තයේ සීමාව අනන්ත වේ. එපමණක් නොව, ශ්රේෂ්ඨතම උපාධිය ප්රාථමික වැදගත්කමක් දරයි;

උදාහරණයක්.

උදාහරණයක්.

සීමා ලකුණ යටතේ ඇති ප්‍රකාශනය භාගයක් නම් සහ සංඛ්‍යාංකය සහ හරය යන දෙකම බල ප්‍රකාශන නම් (m යනු සංඛ්‍යාංකයේ බලය වන අතර n යනු හරයේ බලයයි), එවිට අනන්තයේ සිට අනන්තය දක්වා ස්වරූපයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති විට මෙම නඩුවේදී පැන නගී අවිනිශ්චිත බව හෙළි වේඉලක්කම් සහ හරය යන දෙකම බෙදීම

උදාහරණයක්.

සීමාව ගණනය කරන්න

කාර්ය සීමාව- අංකය ඒඑහි වෙනස් වීමේ ක්‍රියාවලියේදී, මෙම විචල්‍ය ප්‍රමාණය දින නියමයක් නොමැතිව ළඟා වුවහොත්, යම් විචල්‍ය ප්‍රමාණයක සීමාව වනු ඇත ඒ.

නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංකය ඒශ්රිතයේ සීමාව වේ y = f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0, ශ්‍රිතයේ නිර්වචන වසමෙන් කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම්, සමාන නොවේ x 0, සහ කාරණයට අභිසාරී වේ x 0 (lim x n = x0), අනුරූප ශ්‍රිත අගයන්හි අනුපිළිවෙල සංඛ්‍යාවට අභිසාරී වේ ඒ.

අනන්තයට නැඹුරු වන තර්කයක් ලබා දී ඇති සීමාව සමාන වන ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය එල්:

අර්ථය ඒවේ ශ්‍රිතයේ සීමාව (සීමා අගය). f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් , වෙත අභිසාරී වේ x 0, නමුත් අඩංගු නොවේ x 0එහි එක් අංගයක් ලෙස (එනම් සිදුරු වූ ආසන්නයේ x 0), ශ්රිත අගයන් අනුපිළිවෙල වෙත අභිසාරී වේ ඒ.

Cauchy ශ්‍රිතයක සීමාව.

අර්ථය ඒවනු ඇත කාර්යයේ සීමාව f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0කිසියම් සෘණ නොවන අංකයක් සඳහා කල්තියා ගනු ලැබුවහොත් ε අනුරූප සෘණ නොවන අංකය සොයා ගනු ඇත δ = δ(ε) එක් එක් තර්ක සඳහා එවැනි x, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම 0 < | x - x0 | < δ , අසමානතාවය තෘප්තිමත් වනු ඇත | f(x)A |< ε .

ඔබ සීමාවෙහි සාරය සහ එය සොයා ගැනීම සඳහා මූලික නීති තේරුම් ගන්නේ නම් එය ඉතා සරල වනු ඇත. කාර්යයේ සීමාව කුමක්ද f (x)හිදී xසඳහා වෙහෙසෙමින් ඒසමාන ඒ, මෙසේ ලියා ඇත:

එපමණක් නොව, විචල්‍යය නැඹුරු වන අගය x, සංඛ්‍යාවක් පමණක් නොව, අනන්තය (∞), සමහර විට +∞ හෝ -∞ ද විය හැකිය, නැතහොත් සීමාවක් නොතිබිය හැකිය.

කෙසේද යන්න තේරුම් ගැනීමට ශ්‍රිතයක සීමාවන් සොයන්න, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ දෙස බැලීම වඩාත් සුදුසුය.

කාර්යයේ සීමාවන් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ f (x) = 1/xහිදී:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

පළමු සීමාවට විසඳුමක් සොයමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට සරලව ආදේශ කළ හැකිය xඑය නැඹුරු වන අංකය, i.e. 2, අපට ලැබෙන්නේ:

කාර්යයේ දෙවන සීමාව සොයා ගනිමු. මෙහි ආදේශ කරන්න පිරිසිදු ස්වරූපය 0 වෙනුවට xඑය කළ නොහැක්කකි, මන්ද ඔබට 0 න් බෙදිය නොහැක. නමුත් අපට ශුන්‍යයට ආසන්න අගයන් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 සහ යනාදිය සහ ශ්‍රිතයේ අගය f (x)වැඩි වනු ඇත: 100; 1000; 10000; 100,000 සහ එසේ ය. මේ අනුව, එය කවදාදැයි තේරුම් ගත හැකිය x→ 0 සීමාව ලකුණ යටතේ ඇති ශ්රිතයේ අගය සීමාවකින් තොරව වැඩි වනු ඇත, i.e. අනන්තය කරා උත්සාහ කරන්න. ඒ කියන්නේ:

තුන්වන සීමාව සම්බන්ධයෙන්. පෙර අවස්ථාවේ දී මෙන් ම තත්ත්වය, එය ආදේශ කිරීමට නොහැකි ය ∞ එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්. අසීමිත වැඩිවීමේ සිද්ධිය අපි සලකා බැලිය යුතුයි x. අපි 1000 එකින් එක ආදේශ කරමු; 10000; 100000 යනාදී වශයෙන්, අපි එම ශ්රිතයේ අගය ඇත f (x) = 1/xඅඩු වනු ඇත: 0.001; 0.0001; 0.00001; යනාදී වශයෙන් ශුන්‍යයට නැඹුරු වීම. ඒක තමයි:

කාර්යයේ සීමාව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ

දෙවන උදාහරණය විසඳීමට පටන් ගත් විට, අපි අවිනිශ්චිතතාවයක් දකිමු. මෙතැන් සිට අපට අංකනයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටම සොයාගත හැකිය - මෙයයි x 3, අපි එය numerator සහ denominator හි වරහන් වලින් ඉවත් කර එය අඩු කරන්නෙමු:

පිළිතුර

පළමු පියවර මෙම සීමාව සොයා ගැනීම, ඒ වෙනුවට 1 අගය ආදේශ කරන්න x, අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති කරයි. එය විසඳීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාව සාධකකරණය කර චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සෙවීමේ ක්‍රමය භාවිතා කර මෙය කරමු. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

එබැවින් සංඛ්යාංකය වනු ඇත:

පිළිතුර

මෙය එහි නිශ්චිත අගය හෝ ශ්‍රිතය වැටෙන යම් ප්‍රදේශයක නිර්වචනය වන අතර එය සීමාවෙන් සීමා වේ.

සීමාවන් විසඳීම සඳහා, නීති අනුගමනය කරන්න:

සාරය සහ ප්රධාන දේ අවබෝධ කර ගැනීමෙන් සීමාව විසඳීම සඳහා නීති, ඔබට ලැබෙනු ඇත මූලික සංකල්පයඒවා විසඳන ආකාරය ගැන.

සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය එක් අංශයකි ගණිතමය විශ්ලේෂණය. සීමාවන් විසඳීම සඳහා ක්‍රම දුසිම් ගණනක් ඇති බැවින් සීමාවන් විසඳීමේ ප්‍රශ්නය තරමක් පුළුල් ය විවිධ වර්ග. මෙම හෝ එම සීමාව විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූක්ෂ්මතා සහ උපක්‍රම දුසිම් ගණනක් ඇත. එසේ වුවද, ප්‍රායෝගිකව බොහෝ විට හමු වන ප්‍රධාන සීමාවන් තේරුම් ගැනීමට අපි තවමත් උත්සාහ කරමු.

සීමාවක් යන සංකල්පයෙන්ම පටන් ගනිමු. නමුත් පළමුව, කෙටි ඓතිහාසික පසුබිමක්. 19 වන ශතවර්ෂයේ ප්‍රංශ ජාතික ඔගස්ටින් ලුවී කෞචි ජීවත් වූ අතර, ඔහු ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ අඩිතාලම දැමූ අතර දැඩි අර්ථ දැක්වීම්, සීමාවක් පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දුන්නේය. ඔහු ගණිතමය විශ්ලේෂණ ප්‍රමේයයන් අතිවිශාල ප්‍රමාණයක් ඔප්පු කළ නිසාත්, සෑම ප්‍රමේයයක්ම අනෙකට වඩා පිළිකුල් සහගත නිසාත්, භෞතික විද්‍යාව හා ගණිතය හදාරන සියලුම සිසුන්ගේ බියකරු සිහින තුළ මෙම කෞචිම සිටි බවත්, පවතින බවත්, සිටින බවත් පැවසිය යුතුය. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි සීමාව පිළිබඳ දැඩි අර්ථ දැක්වීමක් සලකා බලන්නේ නැත, නමුත් කරුණු දෙකක් කිරීමට උත්සාහ කරමු:

1. සීමාවක් යනු කුමක්දැයි තේරුම් ගන්න.
2. ප්රධාන වර්ගවල සීමාවන් විසඳීමට ඉගෙන ගන්න.

සමහර විද්‍යාත්මක නොවන පැහැදිලි කිරීම් සඳහා මම සමාව අයදිමි, තේ පෝච්චියකට පවා ද්‍රව්‍ය තේරුම් ගත හැකි වීම වැදගත් වේ, ඇත්ත වශයෙන්ම එය ව්‍යාපෘතියේ කාර්යය වේ.

එසේනම් සීමාව කුමක්ද?

ඒ වගේම ආච්චිව රවට්ටන්නේ ඇයි කියන එකට උදාහරණයක් විතරයි....

ඕනෑම සීමාවක් කොටස් තුනකින් සමන්විත වේ:

1) සුප්‍රසිද්ධ සීමා නිරූපකය.
2) සීමා නිරූපකය යටතේ ඇතුළත් කිරීම්, in මේ අවස්ථාවේ දී. ප්‍රවේශයේ කියවෙන්නේ “X එකකට නැඹුරු වේ” යන්නයි. බොහෝ විට - හරියටම, "X" වෙනුවට ප්රායෝගිකව වෙනත් විචල්යයන් ඇත. ප්‍රායෝගික කර්තව්‍ය වලදී, එකෙකුගේ ස්ථානය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්ම අනන්තය () විය හැකිය.
3) සීමාව ලකුණ යටතේ කාර්යයන්, මෙම නඩුවේ .

පටිගත කිරීමම මෙසේ කියවයි: "x ලෙස ශ්‍රිතයක සීමාව එක්සත් වීමට නැඹුරු වේ."

අපි ඊළඟ එක බලමු වැදගත් ප්රශ්නය- "x" යන යෙදුමෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? වෑයම් කරයිඑකකට"? සහ "උත්සාහය" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සංකල්පයකි, කතා කිරීමට, ගතික. අපි අනුපිළිවෙලක් ගොඩනඟමු: පළමුව, පසුව , ..., , ….
එනම් “x වෑයම් කරයිඑකකට" පහත පරිදි තේරුම් ගත යුතුය: "x" අඛණ්ඩව අගයන් ගනී එකමුතුකම අසීමිත ලෙස සමීප වන අතර ප්‍රායෝගිකව එය සමග සමපාත වේ.

ඉහත උදාහරණය විසඳන්නේ කෙසේද? ඉහත මත පදනම්ව, ඔබට සීමා ලකුණ යටතේ ශ්‍රිතයට එකක් ආදේශ කිරීමට අවශ්‍ය වේ:

ඉතින්, පළමු රීතිය: කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ කිරීමට උත්සාහ කරමු.

අපි සරලම සීමාව සලකා බැලුවෙමු, නමුත් මේවා ප්‍රායෝගිකව සිදු වන අතර එතරම් කලාතුරකින් නොවේ!

අනන්තය සමඟ උදාහරණය:

එය කුමක්දැයි සොයා බලමු? සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට මෙය සිදු වේ, එනම්: පළමුව, පසුව, පසුව, පසුව, සහ වෙනත් දැන්වීම් අනන්තය.

මෙම අවස්ථාවේදී කාර්යයට කුමක් සිදුවේද?
, , , …

ඉතින්: නම්, ශ්‍රිතය අනන්තය අඩු කිරීමට නැඹුරු වේ:

දළ වශයෙන් කිවහොත්, අපගේ පළමු රීතියට අනුව, “X” වෙනුවට අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කර පිළිතුර ලබා ගනිමු.

අනන්තය සමඟ තවත් උදාහරණයක්:

නැවතත් අපි අනන්තය දක්වා වැඩි වීමට පටන් ගනිමු, සහ ශ්රිතයේ හැසිරීම දෙස බලන්න:

නිගමනය: ශ්‍රිතය සීමාවකින් තොරව වැඩි වන විට:

සහ තවත් උදාහරණ මාලාවක්:

කරුණාකර පහත සඳහන් දේ ඔබම මානසිකව විශ්ලේෂණය කිරීමට උත්සාහ කර සරලම ආකාරයේ සීමාවන් මතක තබා ගන්න:

, , , , , , , , ,
ඔබට ඕනෑම තැනක සැකයක් ඇත්නම්, ඔබට කැල්කියුලේටරය රැගෙන ටිකක් පුහුණු විය හැකිය.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අනුපිළිවෙල ගොඩනැගීමට උත්සාහ කරන්න, , . එසේ නම් , , .

සටහන: දැඩි ලෙස කථා කිරීම, සංඛ්යා කිහිපයක අනුපිළිවෙලක් තැනීම සඳහා මෙම ප්රවේශය වැරදියි, නමුත් සරලම උදාහරණ තේරුම් ගැනීම සඳහා එය බෙහෙවින් සුදුසු ය.

පහත කරුණ කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න. ඉහළින් විශාල සංඛ්‍යාවක් සමඟ සීමාවක් ලබා දුන්නද, නැතහොත් මිලියනයක් සමඟ වුවද: , එවිට සියල්ල සමාන වේ , ඉක්මනින් හෝ පසුව "X" එවැනි යෝධ අගයන් ගන්නා බැවින් ඒවාට සාපේක්ෂව මිලියනයක් සැබෑ ක්ෂුද්‍ර ජීවියෙකු වනු ඇත.

ඉහත කරුණු වලින් ඔබ මතක තබා ගත යුතු සහ තේරුම් ගත යුත්තේ කුමක්ද?

1) කිසියම් සීමාවක් ලබා දුන් විට, පළමුව අපි එම අංකය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු.

2) ඔබ සරලම සීමාවන් තේරුම් ගෙන වහාම විසඳිය යුතුය ,, ආදිය.

දැන් අපි සීමාවන් සමූහය සලකා බලමු විට , සහ ශ්‍රිතය යනු සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වන කොටසකි.

උදාහරණයක්:

සීමාව ගණනය කරන්න

අපගේ රීතියට අනුව, අපි අනන්තය ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු. අපට ඉහළින් ලැබෙන්නේ කුමක්ද? අනන්තය. සහ පහත කුමක් සිදුවේද? එසේම අනන්තය. මේ අනුව අපට විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය ලෙස හැඳින්වේ. යමෙක් එසේ සිතනු ඇත , සහ පිළිතුර සූදානම්, නමුත් සාමාන්ය නඩුවමෙය කිසිසේත්ම නොවේ, ඔබ යම් විසඳුමක් යෙදිය යුතුය, එය අපි දැන් සලකා බලමු.

මෙම වර්ගයේ සීමාවන් විසඳන්නේ කෙසේද?

පළමුව අපි අංකනය දෙස බලා ඉහළම බලය සොයා ගනිමු:

සංඛ්‍යාංකයේ ප්‍රමුඛ බලය දෙකකි.

දැන් අපි හරය දෙස බලා එය ඉහළම බලයට සොයා ගනිමු:

හරයේ ඉහළම උපාධිය දෙකකි.

ඉන්පසුව අපි අංකනයේ සහ හරයේ ඉහළම බලය තෝරා ගනිමු: in මෙම උදාහරණයේඒවා සමපාත වන අතර දෙකකට සමාන වේ.

එබැවින්, විසඳුම් ක්රමය පහත පරිදි වේ: අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, ඉහළම බලයෙන් අංකනය සහ හරය බෙදීම අවශ්ය වේ.

මෙන්න එය, පිළිතුර මිස අනන්තය නොවේ.

තීරණයක් සැලසුම් කිරීමේදී මූලික වශයෙන් වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?

පළමුව, අපි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත්නම්, එය පෙන්නුම් කරමු.

දෙවනුව, අතරමැදි පැහැදිලි කිරීම් සඳහා විසඳුම බාධා කිරීම යෝග්ය වේ. මම සාමාන්‍යයෙන් ලකුණ භාවිතා කරමි, එයට කිසිදු ගණිතමය අර්ථයක් නැත, නමුත් එයින් අදහස් වන්නේ අතරමැදි පැහැදිලි කිරීමක් සඳහා විසඳුම බාධා ඇති බවයි.

තෙවනුව, සීමාව තුළ යන්නේ කොතැනටද යන්න සලකුණු කිරීම සුදුසුය. කාර්යය අතින් අඳින විට, එය මේ ආකාරයෙන් කිරීම වඩාත් පහසු වේ:

සටහන් සඳහා සරල පැන්සලක් භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මේ කිසිවක් කළ යුතු නැත, නමුත් පසුව, සමහර විට, ගුරුවරයා විසඳුමේ අඩුපාඩු පෙන්වා දෙනු ඇත හෝ පැවරුම ගැන අමතර ප්රශ්න ඇසීමට පටන් ගනී. ඔබට එය අවශ්යද?

උදාහරණය 2

සීමාව සොයන්න
නැවතත් සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටමින් අපට හමු වේ:

සංඛ්යාංකයේ උපරිම උපාධිය: 3
හරයේ උපරිම උපාධිය: 4
තෝරා ශ්රේෂ්ඨතමඅගය, මෙම නඩුවේ හතර.
අපගේ ඇල්ගොරිතමයට අනුව, අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට, අපි අංකනය සහ හරය බෙදන්නෙමු.
සම්පූර්ණ ලියාපදිංචියකාර්යයන් මේ වගේ විය හැකිය:

ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න

උදාහරණය 3

සීමාව සොයන්න
සංඛ්යාංකයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 2
හරයේ "X" හි උපරිම උපාධිය: 1 (ලෙස ලිවිය හැක)
අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, සංඛ්යාංකය සහ හරය මගින් බෙදීම අවශ්ය වේ. අවසාන විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:

ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න

අංකනය යන්නෙන් අදහස් වන්නේ බිංදුවෙන් බෙදීම නොවේ (ඔබට ශුන්‍යයෙන් බෙදිය නොහැක), නමුත් අපරිමිත සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම.

මේ අනුව, විශේෂ අවිනිශ්චිතභාවය අනාවරණය කර ගැනීමෙන්, අපට හැකි විය හැක අවසාන අංකය, ශුන්‍ය හෝ අනන්තය.

ඒවා විසඳීම සඳහා වර්ගය සහ ක්‍රමයේ අවිනිශ්චිතභාවය සහිත සීමාවන්

මීළඟ සීමාවන් සමූහය දැන් සලකා බැලූ සීමාවන්ට තරමක් සමාන ය: සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු වේ, නමුත් “x” තවදුරටත් අනන්තයට නැඹුරු නොවේ, නමුත් සීමිත අංකය.

උදාහරණය 4

සීමාව විසඳන්න
පළමුව, අපි -1 කොටසට ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු:

මෙම අවස්ථාවේ දී, ඊනියා අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනී.

සාමාන්ය රීතිය : සංඛ්‍යා සහ හරයෙහි බහුපද අඩංගු නම් සහ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබේ නම්, එය හෙළි කිරීමට ඔබ සංඛ්‍යාව සහ හරය ගණනය කළ යුතුය.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, බොහෝ විට ඔබ තීරණය කළ යුතුය චතුරස්රාකාර සමීකරණයසහ/හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කරන්න. මේ දේවල් අමතක වෙලා නම් පේජ් එකට ගිහින් බලන්න ගණිතමය සූත්ර සහ වගුසහ පරීක්ෂා කරන්න ක්රමවේදය ද්රව්ය පාසල් ගණිත පාඨමාලාව සඳහා උණුසුම් සූත්ර. මාර්ගය වන විට, එය මුද්රණය කිරීම වඩාත් සුදුසුය, එය බොහෝ විට අවශ්ය වන අතර, කඩදාසි වලින් තොරතුරු වඩා හොඳින් අවශෝෂණය වේ.

ඉතින්, අපි අපේ සීමාව විසඳා ගනිමු

අංකනය සහ හරය සාධක කරන්න

සංඛ්යාංකය සාධක කිරීම සඳහා, ඔබ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳිය යුතුය:

මුලින්ම අපි වෙනස්කම් කරන්නන් සොයා ගනිමු:

සහ එහි වර්ගමූලය: .

වෙනස් කොට සැලකීම විශාල නම්, උදාහරණයක් ලෙස 361, අපි කැල්කියුලේටරයක් ​​භාවිතා කරමු, නිස්සාරණය ශ්‍රිතය වර්ගමුලයසරලම ගණක යන්ත්‍රයෙන් ලබා ගත හැක.

! මූල සම්පූර්ණයෙන්ම නිස්සාරණය නොකළහොත් (එය හැරෙනවා භාගික අංකයක්කොමාවකින්), වෙනස් කොට සැලකීම වැරදි ලෙස ගණනය කර තිබීම හෝ කාර්යයේ යතුරු ලියන දෝෂයක් තිබීම බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත.

ඊළඟට අපි මූලයන් සොයා ගනිමු:

මේ අනුව:

සෑම. සංඛ්යාංකය සාධකකරණය කර ඇත.

හරය. හරය දැනටමත් සරලම සාධකය වන අතර, එය සරල කිරීමට ක්රමයක් නොමැත.

පැහැදිලිවම, එය කෙටි කළ හැක:

දැන් අපි සීමා ලකුණ යටතේ පවතින ප්‍රකාශනයට -1 ආදේශ කරමු:

ස්වභාවිකවම, තුළ පරීක්ෂණ වැඩ, පරීක්ෂණයක් හෝ විභාගයක් අතරතුර, විසඳුම කිසි විටෙකත් එතරම් විස්තරාත්මකව ලියා නොමැත. අවසාන අනුවාදයේ, සැලසුම මේ වගේ දෙයක් විය යුතුය:

සංඛ්‍යාංකය සාධකකරණය කරමු.

උදාහරණ 5

සීමාව ගණනය කරන්න

පළමුව, විසඳුමේ "අවසන්" අනුවාදය

අංකනය සහ හරය සාධක කරමු.

අංකනය:
හරය:



,

මෙම උදාහරණයේ වැදගත් වන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, අංකනය හෙළි වන ආකාරය පිළිබඳව ඔබට හොඳ අවබෝධයක් තිබිය යුතුය, පළමුව අපි වරහන් වලින් 2 ක් ගෙන, පසුව වර්ග වෙනස සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කළෙමු. මේ සූත්‍රය තමයි ඔබ දැනගත යුතුම බලන්න ඕනේ.

සීමාවන් විසඳීම සඳහා ක්රම. අවිනිශ්චිතතා.
කාර්යයේ වර්ධනයේ අනුපිළිවෙල. ප්රතිස්ථාපන ක්රමය

උදාහරණය 4

සීමාව සොයන්න

සඳහා මෙය වඩාත් සරල උදාහරණයකි ස්වාධීන තීරණය. යෝජිත උදාහරණයේ, නැවතත් අවිනිශ්චිතතාවය (තවත් ඉහළ නියෝගයක්මූලයට වඩා උස).

"x" "අනන්තය අඩු කිරීමට" නැඹුරු නම්

"අනන්තය" යන අවතාරය දිගු කලක් තිස්සේ මෙම ලිපියේ සැරිසරයි. අපි බහුපද සමග සීමාවන් සලකා බලමු. සූක්ෂ්මතා ගණනාවක් හැර, විසඳුමේ මූලධර්ම සහ ක්‍රම පාඩමේ පළමු කොටසේ මෙන් හරියටම සමාන වේ.

ප්‍රායෝගික කාර්යයන් විසඳීමට අවශ්‍ය උපක්‍රම 4 ක් දෙස බලමු:

1) සීමාව ගණනය කරන්න

ඉහළම වර්ධනයක් ඇති බැවින් සීමාවෙහි අගය රඳා පවතින්නේ පදය මත පමණි. නම්, එසේ නම් මාපාංකයේ අසීමිත විශාලයි සෘණ අංකයක් EVEN උපාධිය දක්වා, මෙම අවස්ථාවේ දී - හතරවන, "plus infinity" ට සමාන වේ: . නියත ("දෙක") ධනාත්මක, ඒක තමයි:

2) සීමාව ගණනය කරන්න

මෙන්න ආයෙත් ජ්‍යෙෂ්ඨ උපාධිය පවා, ඒක තමයි: . නමුත් එය ඉදිරිපිට "අඩු" (අඩුපාඩු) ඇත. සෘණනියත -1), එබැවින්:

3) සීමාව ගණනය කරන්න

සීමාව අගය පමණක් රඳා පවතී. පාසැලේ සිට ඔබට මතක ඇති පරිදි, "අඩු" ඔත්තේ උපාධිය යටතේ සිට "පිටතට පනිනවා", එසේ මාපාංකයේ අසීමිත විශාලයිසෘණ අංකය ODD බලයකටමෙම අවස්ථාවෙහිදී "අනන්තය අඩු කිරීම" සමාන වේ: .
නියත ("හතර") ධනාත්මක, අදහස්:

4) සීමාව ගණනය කරන්න

ගමේ මුල්ම මිනිහා ආයෙත් තියෙනවා අමුතුඋපාධිය, ඊට අමතරව, පපුවේ සෘණනියත, එනම්: මෙලෙස:
.

උදාහරණ 5

සීමාව සොයන්න

ඉහත කරුණු උපයෝගී කරගනිමින්, මෙහි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බව අපි නිගමනය කරමු. ඉලක්කම් සහ හරය එකම වර්ධන අනුපිළිවෙලකින් යුක්ත වන අතර එයින් අදහස් වන්නේ සීමාව තුළ ප්‍රතිඵලය සීමිත සංඛ්‍යාවක් වනු ඇති බවයි. සියලුම ෆ්රයි ඉවත දැමීමෙන් පිළිතුර සොයා ගනිමු:

විසඳුම සුළු වේ:

උදාහරණය 6

සීමාව සොයන්න

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

දැන්, සමහර විට, වඩාත්ම සියුම් අවස්ථා:

උදාහරණ 7

සීමාව සොයන්න

ප්‍රමුඛ කොන්දේසි සලකා බැලීමේදී, මෙහි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බව අපි නිගමනය කරමු. සංඛ්‍යාංකය හරයට වඩා වැඩි වර්ධන අනුපිළිවෙලකින් යුක්ත වේ, එබැවින් සීමාව අනන්තයට සමාන බව අපට වහාම පැවසිය හැකිය. නමුත් කුමන ආකාරයේ අනන්තය, "ප්ලස්" හෝ "අඩු"? තාක්ෂණය එක හා සමානයි - ඉලක්කම් සහ හරයේ ඇති කුඩා දේවල් ඉවත් කරමු:

අපි තීරණය කරන්නේ:

ඉලක්කම් සහ හරය බෙදන්න

උදාහරණ 15

සීමාව සොයන්න

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. ආසන්න නියැදිය වැඩ නිම කිරීමපාඩම අවසානයේ.

විචල්‍ය ප්‍රතිස්ථාපන මාතෘකාව පිළිබඳ තවත් රසවත් උදාහරණ කිහිපයක්:

උදාහරණ 16

සීමාව සොයන්න

එකමුතුකම සීමාවට ආදේශ කරන විට, අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනී. විචල්‍යය වෙනස් කිරීම දැනටමත් යෝජනා කරයි, නමුත් පළමුව අපි සූත්‍රය භාවිතයෙන් ස්පර්ශකය පරිවර්තනය කරමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට ස්පර්ශකයක් අවශ්ය වන්නේ ඇයි?

ඒ නිසා . එය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැතිනම්, සයින් අගයන් බලන්න ත්රිකෝණමිතික වගුව. මේ අනුව, අපි වහාම ගුණකය ඉවත් කරමු, ඊට අමතරව, අපි 0: 0 හි වඩාත් හුරුපුරුදු අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනිමු. අපේ සීමාව බිංදුවට නැඹුරු වෙනවා නම් හොඳයි.

අපි ප්රතිස්ථාපනය කරමු:

නම්, එසේ නම්

කොසයින් යටතේ අපට "x" ඇත, එය "te" හරහා ද ප්‍රකාශ කළ යුතුය.
ආදේශනයෙන් අපි ප්රකාශ කරමු: .

අපි විසඳුම සම්පූර්ණ කරමු:

(1) අපි ආදේශනය සිදු කරන්නෙමු

(2) කොසයින් යටතේ වරහන් විවෘත කරන්න.

(4) සංවිධානය කිරීමට පළමු පුදුම සීමාව, කෘත්‍රිමව සංඛ්‍යාව සහ අන්‍යෝන්‍ය අංකයෙන් ගුණ කරන්න.

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යය:

උදාහරණ 17

සීමාව සොයන්න

සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

මේවා ඔවුන්ගේ පන්තියේ සරල කාර්යයන් විය, ප්රායෝගිකව සෑම දෙයක්ම වඩාත් නරක විය හැකි අතර, ඊට අමතරව අඩු කිරීමේ සූත්ර, ඔබ විවිධ භාවිතා කළ යුතුය ත්රිකෝණමිතික සූත්ර, මෙන්ම වෙනත් උපක්රම. සංකීර්ණ සීමාවන් ලිපියේ මම සැබෑ උදාහරණ කිහිපයක් බැලුවෙමි =)

නිවාඩුව ආසන්නයේ, අපි අවසානයේ තවත් පොදු අවිනිශ්චිතතාවයකින් තත්වය පැහැදිලි කරන්නෙමු:

අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම "එකක් අනන්තයේ බලයට"

මෙම අවිනිශ්චිතතාවය "සේවා" ඇත දෙවන පුදුම සීමාව, සහ එම පාඩමේ දෙවන කොටසේදී අපි ඉතා විස්තරාත්මකව බැලුවෙමු සම්මත උදාහරණබොහෝ අවස්ථාවලදී ප්රායෝගිකව සොයාගත හැකි විසඳුම්. දැන් ඝාතකයන් සහිත පින්තූරය සම්පූර්ණ වනු ඇත, ඊට අමතරව, පාඩමේ අවසාන කාර්යයන් “ව්‍යාජ” සීමාවන් සඳහා කැප කරනු ඇත, එය 2 වන අපූරු සීමාව යෙදිය යුතු බව පෙනේ, මෙය කිසිසේත්ම නොවේ. නඩුව.

2 වැනි කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා ක්‍රියාකාරී සූත්‍ර දෙකෙහි අවාසිය නම් තර්කය “ප්ලස් අනන්තය” හෝ ශුන්‍යයට නැඹුරු විය යුතුය. නමුත් තර්කය වෙනස් අංකයකට නැඹුරු වුවහොත් කුමක් කළ යුතුද?

විශ්වීය සූත්‍රයක් ගලවා ගැනීමට පැමිණේ (ඇත්ත වශයෙන්ම එය දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්‍රතිඵලයකි):

සූත්රය භාවිතයෙන් අවිනිශ්චිතතාවය ඉවත් කළ හැකිය:

කොහේ හරි මම හිතන්නේ මම දැනටමත් වර්ග වරහන් වලින් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද යන්න පැහැදිලි කර ඇත. විශේෂ කිසිවක් නැත, වරහන් යනු වරහන් පමණි. ඒවා සාමාන්‍යයෙන් ගණිතමය අංකනය වඩාත් පැහැදිලිව ඉස්මතු කිරීමට භාවිතා කරයි.

අපි සූත්‍රයේ අත්‍යවශ්‍ය කරුණු ඉස්මතු කරමු:

1) එය ගැන අවිනිශ්චිතතාවය ගැන පමණක් මිස වෙන කිසිවක් නැත.

2) "x" තර්කය නැඹුරු විය හැක අත්තනෝමතික අගය(සහ ශුන්‍යයට පමණක් නොව), විශේෂයෙන්ම, "අනන්තය" හෝ වෙත ඕනෑම කෙනෙක්සීමිත අංකය.

මෙම සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට පාඩමේ ඇති සියලුම උදාහරණ විසඳා ගත හැකිය. පුදුම සීමාවන්, 2 ට අයත් වේ පුදුම සීමාව. උදාහරණයක් ලෙස, අපි සීමාව ගණනය කරමු:

මේ අවස්ථාවේ දී , සහ සූත්රය අනුව :

ඇත්ත, මම මෙය කිරීමට නිර්දේශ නොකරමි, එය තවමත් යෙදිය හැකි නම්, විසඳුමේ "සාමාන්ය" මෝස්තරය භාවිතා කිරීමයි. කෙසේ වුවද සූත්රය භාවිතා කිරීම පරීක්ෂා කිරීම ඉතා පහසු වේ 2 වැනි කැපී පෙනෙන සීමාවට "සම්භාව්‍ය" උදාහරණ.

සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය- සමහරුන්ට ප්‍රගුණ කළ හැකි ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ එක් අංශයක් වන අතර අනෙක් අයට සීමාවන් ගණනය කිරීමට අපහසු වේ. තාක්‍ෂණ දුසිම් ගණනක් ඇති බැවින් සීමාවන් සෙවීමේ ප්‍රශ්නය බෙහෙවින් පොදු ය විසඳුම් සීමාවන්විවිධ වර්ග. L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් සහ එය නොමැතිව එකම සීමාවන් සොයාගත හැකිය. අපරිමිත ශ්‍රිත මාලාවක් උපලේඛනගත කිරීම මඟින් අපේක්ෂිත ප්‍රති result ලය ඉක්මනින් ලබා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක ශ්රිතයක සීමාව සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසන තාක්ෂණික ක්රම සහ උපක්රම මාලාවක් තිබේ. මෙම ලිපියෙන් අපි ප්රායෝගිකව බොහෝ විට මුහුණ දෙන ප්රධාන සීමාවන් තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කරමු. අපි මෙහි සීමාව පිළිබඳ න්‍යාය සහ නිර්වචනය ලබා නොදෙමු, මෙය සාකච්ඡා කෙරෙන බොහෝ සම්පත් අන්තර්ජාලයේ ඇත. එමනිසා, අපි ප්‍රායෝගික ගණනය කිරීම් වලට යමු, මෙන්න ඔබේ "මම දන්නේ නැහැ!"

ආදේශන ක්රමය භාවිතා කරමින් සීමාවන් ගණනය කිරීම

උදාහරණ 1. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
විසඳුම: මේ ආකාරයේ උදාහරණ සාමාන්‍ය ආදේශනය භාවිතයෙන් න්‍යායාත්මකව ගණනය කළ හැක

සීමාව 18/11 වේ.
එවැනි සීමාවන් ගැන සංකීර්ණ හෝ ඥානවන්ත කිසිවක් නැත - අපි අගය ආදේශ කර, එය ගණනය කර, පිළිතුරක් ලෙස සීමාව ලියා ඇත. කෙසේ වෙතත්, එවැනි සීමාවන් මත පදනම්ව, සෑම කෙනෙකුටම උගන්වනු ලබන්නේ පළමුවෙන්ම අගය ශ්‍රිතයට ආදේශ කළ යුතු බවයි. තවද, සීමාවන් වඩාත් සංකීර්ණ වන අතර, අනන්තය, අවිනිශ්චිතතාවය සහ ඒ හා සමාන සංකල්පය හඳුන්වා දෙයි.

අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීම වැනි අවිනිශ්චිතතාවයක් සහිත සීමාවක්. අවිනිශ්චිතතා හෙළිදරව් කිරීමේ තාක්ෂණික ක්රම

උදාහරණ 2. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=අනන්තය).
විසඳුම: බහුපද පෝරමයේ සීමාවක් බහුපදයකින් බෙදනු ලබන අතර, විචල්‍යය අනන්තයට නැඹුරු වේ

සීමාවන් සොයා ගැනීමට විචල්‍යය සොයාගත යුතු අගය සරලව ආදේශ කිරීම උපකාරී නොවේ, අපට අනන්තයෙන් බෙදූ ආකාරයේ අනන්තයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලැබේ.
සීමාවන් පිළිබඳ න්‍යායට අනුව, සීමාව ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම වන්නේ "x" හි විශාලතම බලය සංඛ්‍යාවේ හෝ හරයේ සොයා ගැනීමයි. ඊළඟට, අංකනය සහ හරය එයට සරල කර ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයා ගනී.

විචල්‍යය අනන්තයට ළඟා වන විට අගය බිංදුවට නැඹුරු වන බැවින්, ඒවා නොසලකා හරිනු ලැබේ, නැතහොත් ශුන්‍ය ස්වරූපයෙන් අවසාන ප්‍රකාශනයට ලියා ඇත.

ප්රායෝගිකව වහාම, ඔබට ගණනය කිරීම් වල ඉඟියක් වන නිගමන දෙකක් ලබා ගත හැකිය. විචල්‍යයක් අනන්තයට නැඹුරු නම් සහ සංඛ්‍යාංකයේ උපාධිය හරයේ අංශකයට වඩා වැඩි නම්, සීමාව අනන්තයට සමාන වේ. එසේ නොමැති නම්, හරයේ ඇති බහුපද අගය සංඛ්‍යාවට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලක් නම්, සීමාව ශුන්‍ය වේ.
සීමාව මේ වගේ සූත්‍ර වලින් ලිවිය හැක:

අපට භාග රහිත සාමාන්‍ය ක්ෂේත්‍රයක ශ්‍රිතයක් තිබේ නම්, එහි සීමාව අනන්තයට සමාන වේ

මීළඟ ආකාරයේ සීමාවන් ශුන්‍යයට ආසන්න ශ්‍රිතවල හැසිරීම සම්බන්ධ වේ.

උදාහරණය 3. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
විසඳුම: මෙහි බහුපදයේ ප්‍රමුඛ සාධකය ඉවත් කිරීමට අවශ්‍ය නොවේ. හරියටම ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය නම්, ඔබ සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ කුඩාම බලය සොයාගෙන සීමාව ගණනය කළ යුතුය.

අගය x^2; x විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන විට, ඒවා නොසලකා හරිනු ලැබේ, එබැවින් අපට ලැබේ

සීමාව 2.5 ක් බව.

ඔබ දැන් දන්නවා ශ්‍රිතයක සීමාව සොයා ගන්නේ කෙසේදපෝරමයේ, විචල්‍යය අනන්තයට හෝ 0ට නැඹුරු නම් බහුපදයක් බහුපදයකින් බෙදන්න. නමුත් මෙය උදාහරණ වලින් කුඩා සහ පහසු කොටසක් පමණි. සිට ඊළඟ ද්රව්යයඔබ ඉගෙන ගනු ඇත ශ්‍රිතයක සීමාවන් තුළ ඇති අවිනිශ්චිතතා අනාවරණය කරගන්නා ආකාරය.

0/0 වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවය සහ එය ගණනය කිරීම සඳහා ක්‍රම සමඟ සීමා කරන්න

ඔබට ශුන්‍යයෙන් බෙදිය නොහැක යන රීතිය සෑම කෙනෙකුටම වහාම සිහිපත් වේ. කෙසේ වෙතත්, මෙම සන්දර්භය තුළ සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය අසීමිත ශ්රිතයන් ඇඟවුම් කරයි.
පැහැදිලිකම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණය 4. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
විසඳුම: අපි x = -1 විචල්‍යයේ අගය හරයට ආදේශ කළ විට, අපට ශුන්‍යය ලැබෙන අතර, අපට එම දෙයම සංඛ්‍යාංකයෙන් ලැබේ. ඉතින් අපිට තියෙනවා 0/0 පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවය.
එවැනි අවිනිශ්චිතතාවයන් සමඟ කටයුතු කිරීම සරල ය: ඔබට බහුපද සාධකකරණය කළ යුතුය, නැතහොත් ඒ වෙනුවට, ශ්‍රිතය ශුන්‍ය බවට පත් කරන සාධකය තෝරන්න.

ප්‍රසාරණයෙන් පසු ශ්‍රිතයේ සීමාව මෙසේ ලිවිය හැක

ශ්‍රිතයක සීමාව ගණනය කිරීමේ සම්පූර්ණ ක්‍රමය එයයි. බහුපදයේ පෝරමයේ සීමාවක් බහුපදයකින් බෙදුවහොත් අපි එයම කරමු.

උදාහරණ 5. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
විසඳුම: සෘජු ආදේශන පෙන්වයි
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
අපිට මොනවද තියෙන්නේ 0/0 අවිනිශ්චිතතාව වර්ගය.
ඒකීයත්වය හඳුන්වා දෙන සාධකයෙන් බහුපද බෙදමු


2 වන අනුපිළිවෙලෙහි බහුපද, එනම් “චතුරස්‍ර සමීකරණ” වර්ගය වෙනස් කොට සැලකීම හරහා විසඳිය යුතු බව උගන්වන ගුරුවරු සිටිති. නමුත් සැබෑ ප්රායෝගිකව පෙන්නුම් කරන්නේ මෙය දිගු හා වඩා ව්යාකූල වන බවයි, එබැවින් නිශ්චිත ඇල්ගොරිතමයට අනුව සීමාවන් තුළ ඇති ලක්ෂණ ඉවත් කරන්න. මේ අනුව, අපි සරල සාධක ආකාරයෙන් ශ්‍රිතය ලියා එය සීමාවෙන් ගණනය කරමු

ඔබට පෙනෙන පරිදි, එවැනි සීමාවන් ගණනය කිරීමේදී සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. ඔබ සීමාවන් අධ්‍යයනය කරන විට, බහුපද බෙදන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දන්නවා, අවම වශයෙන් ඔබ දැනටමත් සම්මත කර තිබිය යුතු වැඩසටහනට අනුව.
මත කාර්යයන් අතර 0/0 අවිනිශ්චිතතාව වර්ගයඔබට සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය සමහරක් ඇත. නමුත් ඔබ ඒවා නොදන්නේ නම්, බහුපදයක් ඒකාධිකාරයකින් බෙදීමෙන් ඔබට අපේක්ෂිත සූත්‍රය ලබා ගත හැකිය.

උදාහරණය 6. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
ලිම්((x^2-9)/(x-3), x=3).
විසඳුම: අපට 0/0 වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. සංඛ්යාංකයේ දී අපි සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්රය භාවිතා කරමු

සහ අවශ්ය සීමාව ගණනය කරන්න

එහි සංයුජයෙන් ගුණ කිරීමෙන් අවිනිශ්චිත බව හෙළිදරව් කිරීමේ ක්‍රමය

අතාර්කික ශ්‍රිත මගින් අවිනිශ්චිතතාවය ජනනය වන සීමාවන්ට ක්‍රමය යොදනු ලැබේ. ගණන් කිරීමේ ලක්ෂ්‍යයේ දී සංඛ්‍යාව හෝ හරය බිංදුවට හැරෙන අතර මායිම සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි නොදනී.

උදාහරණ 7. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
විසඳුමක්:සීමා සූත්‍රයේ ඇති විචල්‍යය නිරූපණය කරමු

ආදේශ කරන විට, අපි 0/0 වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබා ගනිමු.
සීමාවන් පිළිබඳ න්‍යායට අනුව, මෙම අංගය මඟ හැරීමේ ක්‍රමය වන්නේ අතාර්කික ප්‍රකාශනය එහි සංයුජයෙන් ගුණ කිරීමයි. ප්රකාශනය වෙනස් නොවන බව සහතික කිරීම සඳහා, හරය එකම අගයකින් බෙදිය යුතුය

වර්ග රීතියේ වෙනස භාවිතා කරමින්, අපි සංඛ්යාංකය සරල කර ශ්රිතයේ සීමාව ගණනය කරමු

අපි සීමාව තුළ ඒකීයත්වය නිර්මාණය කරන නියමයන් සරල කර ආදේශනය සිදු කරන්නෙමු

උදාහරණ 8. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
විසඳුම: සෘජු ආදේශනය පෙන්නුම් කරන්නේ සීමාවට 0/0 ආකෘතියේ ඒකීයත්වයක් ඇති බවයි.

ප්‍රසාරණය කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාංකයේ සංයුජයෙන් ගුණ කර බෙදන්නෙමු

අපි වර්ගවල වෙනස ලියන්නෙමු

අපි ඒකීයත්වය හඳුන්වා දෙන නියමයන් සරල කර ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයා ගනිමු

උදාහරණ 9. ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
විසඳුම: සූත්‍රයට දෙකක් ආදේශ කරන්න

අපිට ලැබෙනවා අවිනිශ්චිතතාවය 0/0.
හරය සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, ඒකීයත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින් සංඛ්‍යාවේ චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳිය යුතු හෝ සාධක කළ යුතුය. 2 යනු මූලයක් බව දන්නා බැවින්, අපි වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් දෙවන මූලය සොයා ගනිමු

මේ අනුව, අපි පෝරමයේ අංකනය ලියන්නෙමු

සහ එය සීමාව තුළට ආදේශ කරන්න

වර්ගවල වෙනස අඩු කිරීමෙන්, අපි සංඛ්‍යා සහ හරයේ ඒකීයත්වය ඉවත් කරමු.

මේ ආකාරයෙන්, ඔබට බොහෝ උදාහරණවල ඒකීයත්වය ඉවත් කළ හැකි අතර, ආදේශනය කිරීමේදී දී ඇති මූලයන් වෙනසක් ශුන්‍යයට හැරෙන සෑම තැනකම යෙදුම සටහන් කළ යුතුය. වෙනත් ආකාරයේ සීමාවන් ඝාතීය ශ්‍රිත, අපරිමිත ශ්‍රිත, ලඝුගණක, විශේෂ සීමාවන් සහ වෙනත් ශිල්පීය ක්‍රම සම්බන්ධ වේ. නමුත් සීමාවන් ගැන පහත ලැයිස්තුගත කර ඇති ලිපි වලින් ඔබට මේ ගැන කියවිය හැකිය.