Як перетворити дріб на натуральне число. Переведення звичайного дробу в десятковий дріб і назад, правила, приклади

У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, а також розглянемо зворотний процес- Переведення десяткових дробів у звичайні дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів і наведемо докладні рішенняхарактерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.

Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … уявити як десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактною формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .

Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. За такого обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.

Тепер про все по порядку.

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби

Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.

"Попередня підготовка" правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні зліва в чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількістьцифр дорівнювало кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .

Після підготовки правильної звичайного дробуможна приступати до її обігу в десятковий дріб.

Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:

• записуємо 0;
• після нього ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).

Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

приклад.

Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.

Рішення.

У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його записі дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.

Тепер записуємо 0 , ставимо десятковий ком, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37 .

Відповідь:

0,37 .

Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3, а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7, тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.

Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.

Відповідь:

0,0000107 .

Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки під час переведення в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:

• записуємо число із чисельника;
• відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.

приклад.

Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.

Рішення.

По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, так як у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.

Відповідь:

568 880,38009 .

Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, … , можна виконати переклад змішаного числав неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути в десятковий дріб. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1000, … у десяткові дроби:

• за необхідності виконуємо « попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідна кількістьнулів зліва в чисельнику;
• записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
• ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.

Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.

приклад.

Переведіть змішане число в десятковий дріб.

Рішення.

У знаменнику дробової частини 4 нуля, у чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому, нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .

Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто, число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто, 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .

Запишемо все рішення коротко: .

Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .

Відповідь:

23,0017 .

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перевести як звичайні дроби зі знаменниками 10, 100, … , але звичайні дроби коїться з іншими знаменниками. Нині ми розберемося, як це робиться.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко приводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не складає труднощі отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .

В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.

Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 621/4 у десятковий дріб.

Рішення.

Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.

Тепер виконаємо поділ стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від поділу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:

Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:

На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.

Відповідь:

155,25 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.

Рішення.

Для переведення цього звичайного дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:

Нарешті ми отримали залишок 0, на цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми прийшли до десяткового дробу 0,02625.

Відповідь:

0,02625 .

Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках поділ можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.

приклад.

Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ стовпчиком:

Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36 при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8 . Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .

Відповідь:

0,43(18) .

На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які - тільки в періодичні.

Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротний, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.

Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:

• якщо в розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5, то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
• якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб перекладається до нескінченного десяткового періодичного дробу.

приклад.

Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які - тільки в періодичний.

Рішення.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3 , відмінний від 2 і 5 , то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.

Дріб 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2 , отже, звичайна дріб 3/8 , а отже і рівна їй дріб 21/56 може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.

Відповідь:

47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.

Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?

Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.

З теореми про ділимість із залишком ясно, що залишок завжди менше дільника, Тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення поділу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:

• або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
• або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.

Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.

З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менше, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби

Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:

• по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
• по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
• по-третє, за необхідності виконати скорочення отриманого дробу.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.

Рішення.

Якщо вихідного десяткового дробу прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник дробу, що шукається, записуємо 3 025 .

До знаменника записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.

Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000 . Цей дріб можна скоротити на 25 .

Відповідь:

.

приклад.

Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.

Рішення.

Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017 , відкинувши нулі зліва отримуємо число 17 , яке і є чисельником потрібного звичайного дробу.

У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.

Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу до звичайного закінчено.

Відповідь:

.

Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:

• число до десяткової коми треба записати як цілу частину змішаного числа, що шукається;
• у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання в ньому всіх нулів зліва;
• у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1 , до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
• при необхідності виконати скорочення дробової частини одержаного змішаного числа.

Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.

приклад.

Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа

Велика кількість учнів, і не тільки, запитують, як перевести дріб у число. Щоб це зробити, є кілька досить простих та зрозумілих способів. Вибір конкретного способу залежить від переваг вирішального.

Насамперед потрібно знати, як дроби записуються. А записуються вони так:

1. Звичайна. Пишеться з чисельником і знаменником через похилий або стовпчик (1/2).
2. Десяткова. Пишеться через кому (1,0, 2,5 тощо).

Перед тим, як приступити до рішення, потрібно знати, що таке неправильний дріб, адже він зустрічається досить часто. Вона має чисельник більше за знаменник, наприклад, 15/6. Неправильний дріб також можна вирішувати такими способами, без зусиль і витрат часу.

Змішане число - це коли в результаті виходить ціле число і дрібна частина, наприклад 52/3.

Будь-яке натуральне числоможна записати дробом з абсолютно різними натуральними знаменниками, наприклад: 1 = 2/2 = 3/3 = і т.д.

Перекласти можна ще й за допомогою калькулятора, але не всі вони мають таку функцію. Існує спеціальний інженерний калькулятор, де є така функція, але не завжди є можливість використовувати його, особливо в школі. Тому краще розібратися у цій темі.

Насамперед варто звернути увагу на те, який дріб. Якщо її можна легко множити до 10 на однакові з чисельником значення, то можна скористатися першим способом. Наприклад: звичайна ?

Це правило полягає в тому, що десяткова завжди має у знаменнику кругле значення, таке як 10,100,1000 тощо.

З цього виходить, що якщо множити чисельник і знаменник, потрібно домагатися отримання в знаменнику саме такого значення в результаті множення, незалежно від того, що виходить в чисельнику.

Варто пам'ятати, що деякі дроби не можна перекласти, для цього необхідно перед початком рішення перевірити його.

Наприклад: 1,3333 де цифра 3 повторюється до нескінченності, причому калькулятор теж не позбавить від неї. Вирішенням такої проблеми може бути тільки округлення таким чином, щоб вийшло ціле число, якщо це можливо. Якщо такої можливості немає, слід повернутися на початок прикладу і перевірити правильність розв'язання задачі, можливо, була допущена помилка.

Малюнок 1-3. Переведення дробів шляхом множення.

Розглянемо для закріплення описаної інформації наступний приклад перекладу:

1. Наприклад, необхідно перевести 6/20 у десяткову. Насамперед її слід перевірити, як показано на малюнку 1.
2. Тільки після того, як переконалися, що можна розкласти, як у даному випадкуна 2 та 5, потрібно приступати до самого перекладу.
3. Найбільш простим варіантомбуде помножити знаменник, отримавши результат 100, 5, так як 20х5 = 100.
4. Наслідуючи приклад на малюнку 2, у результаті вийде 0,3.

Можна закріпити результат і ще раз все переглянути на малюнку 3. Для того щоб повністю розібратися в темі і більше не вдаватися до вивчення цього матеріалу. Ці знання допоможуть не тільки дитині, а й дорослій людині.

Переклад шляхом розподілу

Другий варіант перекладу дробів є трохи складнішим, але популярнішим. Таким методом переважно користуються в школах вчителі для пояснення. Загалом він набагато простіше пояснюється і швидше розуміється.

Варто пам'ятати, що для правильного перетворення простого дробу необхідно його чисельник поділити на знаменник. Адже якщо замислитись, то рішення це і є процесом поділу.

Щоб зрозуміти це просте правило, потрібно розглянути наступний приклад рішення:

1. Візьмемо 78/200, яку потрібно перевести до десяткової. Для цього слід розділити 78 на 200, тобто чисельник на знаменник.
2. Але перед тим, як почати, варто провести перевірку, як показано на малюнку 4.
3. Після того, як переконалися, що її можна вирішити, слід приступати до процесу. Для цього варто розділити чисельник на знаменник у стовпчик або куточком, як показано на малюнку 5. початкових класахшкіл вчать такому поділу, і труднощів із цим не повинно виникнути.

На малюнку 6 показані приклади найбільш поширених прикладів, їх можна запам'ятати, щоб за необхідності не витрачати час на вирішення. Адже в школі на кожну контрольну чи самостійну роботудається мало часу для вирішення, тому не варто витрачати його на те, що можна вивчити і пам'ятати.

Переказ відсотків

Перекладати відсотки в десяткове числотеж досить легко. Цьому починають навчати у 5 класі, а в деяких школах ще раніше. Але якщо ваша дитина на уроці математики не зрозуміла цієї теми, можна наочно їй ще раз пояснити. Спочатку слід вивчити визначення поняття, що таке відсоток.

Відсоток - це одна сота частина від будь-якого числа, тобто абсолютна довільна. Наприклад, від 100 це буде 1 і таке інше.

На малюнку 7 показано наочний прикладпереказу відсотків.

Щоб перекласти відсоток, треба лише прибрати значок %, а потім розділити його на 100.

Ще 1 приклад показаний малюнку 8.

Якщо треба провести зворотну конвертацію, необхідно все зробити з точністю до навпаки. Іншими словами, число необхідно помножити на сто і після того, як приписати значок відсотків.

А для того, щоб звичайну перевести у відсотки, також можна використати цей приклад. Тільки спочатку слід перевести дріб у число і потім у відсотки.

З описаного вище, можна легко зрозуміти принцип перекладу. За допомогою цих способів можна дитині пояснювати тему, якщо вона її не зрозуміла або не була присутня на уроці в момент її проходження.

І ніколи не буде потреби наймати репетитора, щоб він пояснив дитині, як перевести дріб у число чи відсоток.

Дроб може бути перетворена на ціле число або в десятковий дріб. Неправильний дріб, чисельник якого більший за знаменник і ділиться на нього без залишку, переводиться в ціле число, наприклад: 20/5. Ділимо 20 на 5 і отримуємо число 4. Якщо дріб правильний, тобто чисельник менше знаменника, то тоді перетворити її на число (десятковий дріб). Більше інформації про дроби ви зможете отримати з нашого розділу - .

Способи перетворення дробу на число

• Перший спосіб, як перевести дріб у число годиться для дробу, яку можна перетворити на число, що є десятковим дробом. Спочатку з'ясуємо, чи можна перевести заданий дріб у дріб десятковий. Для цього звернемо увагу на знаменник (цифра, яка під межею або праворуч від похилої). Якщо знаменник можна розкласти на множники (у нашому прикладі - 2 і 5), які можуть повторюватися, то цей дріб реально перетворити на кінцевий десятковий дріб. Наприклад: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Цей звичайний дріб переведеться в число (десятковий дріб) з кінцевою кількістю знаків після коми. А ось дріб 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) переведеться до числа з нескінченною кількістю знаків після коми. Тобто при точному обчисленні числового значення досить важко визначити кінцевий знак після коми, оскільки таких знаків безліч. Тому для вирішення завдань зазвичай потрібно округлити значення до сотих чи тисячних. Далі - необхідно помножити і чисельник, і знаменник на таке число, щоб у знаменнику вийшли цифри 10, 100, 1000 і т. д. Наприклад: 11/40 = (11 25) / (40 25) 0,275
• Другий спосіб, як перевести дріб у число - простіший: необхідно чисельник поділити на знаменник. Для застосування цього способу просто зробимо розподіл, а отримане число і буде тим шуканим десятковим дробом. Наприклад, треба перевести дріб 2/15 до числа. Ділимо 2 на 15. Отримуємо 0, 1333 - нескінченний дріб. Записуємо так: 0,13 (3). Якщо дріб неправильний, тобто чисельник більший за знаменник (наприклад, 345/100), то в результаті перетворення його в число вийде ціле числове значення або десятковий дріб з цілою дробовою частиною. У прикладі це буде 3,45. Щоб перетворити змішаний дріб такого виду, як 3 2 / 7 , у число, потрібно спочатку перетворити його на неправильний дріб: (3∙7+2)/7 =23/7. Далі ділимо 23 на 7 і отримуємо число 32857143 яке скорочуємо до 329.

Найпростіший спосіб переведення дробу в число - це використання калькулятора або іншого обчислювального приладу. Вкажемо спочатку чисельник дробу, потім натиснемо кнопку зі значком "розділити" і набираємо знаменник. Після натискання кнопки "=" ми отримуємо шукане число.

Ось, здавалося б, переведення десяткового дробу у звичайний — елементарна тема, але багато учнів її не розуміють! Тому сьогодні ми докладно розглянемо одразу кілька алгоритмів, за допомогою яких ви розберетеся з будь-якими дробами буквально за секунду.

Нагадаю, що існує як мінімум дві форми запису одного і того ж дробу: звичайний і десятковий. Десяткові дроби - це всілякі конструкції виду 0,75; 1,33; і навіть –7,41. А ось приклади звичайних дробів, які виражають ті самі числа:

Зараз розберемося: як від десяткового записуперейти до звичайної? І найголовніше: як зробити це максимально швидко?

Основний алгоритм

Насправді існує як мінімум два алгоритми. І ми зараз розглянемо обидва. Почнемо з першого — найпростішого та найзрозумілішого.

Щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно виконати три кроки:

Важливе зауваження щодо негативних чисел. Якщо у вихідному прикладі перед десятковим дробом стоїть знак мінус, то і на виході перед звичайним дробом теж повинен стояти мінус. Ось ще кілька прикладів:

Приклади переходу від десяткового запису дробів до звичайного

Особливу увагу хотілося б звернути на останній приклад. Як бачимо, у дробі 0,0025 є багато нулів після коми. Через це доводиться аж чотири рази множити чисельник і знаменник на 10. Чи можна якось спростити алгоритм у цьому випадку?

Звісно, ​​можна. І зараз ми розглянемо альтернативний алгоритм — він трохи складніший для сприйняття, але після невеликої практики працює набагато швидше за стандартний.

Швидший спосіб

У цьому алгоритмі також 3 кроки. Щоб отримати звичайний дрібз десяткової, потрібно виконати таке:

1. Порахувати, скільки цифр коштує після коми. Наприклад, у дробу 1,75 таких цифр дві, а 0,0025 — чотири. Позначимо цю кількість буквою $n$.
2. Переписати вихідне число у вигляді дробу виду $\frac(a)(((10)^(n)))$, де $a$ це всі цифри вихідного дробу (без «стартових» нулів зліва, якщо вони є), а $n$ - та сама кількість цифр після коми, яку ми порахували на першому кроці. Інакше кажучи, необхідно розділити цифри вихідного дробу на одиницю з $n$ нулями.
3. По можливості скоротити отриманий дріб.

Ось і все! На перший погляд, ця схема складніша за попередню. Але насправді він і простіший, і швидший. Судіть самі:

Як бачимо, у дробі 0,64 після коми стоїть дві цифри - 6 і 4. Тому $ n = 2 $. Якщо прибрати кому і нулі зліва (в даному випадку - всього один нуль), то отримаємо число 64. Переходимо до другого кроку: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, тому у знаменнику стоїть саме сто. Ну а потім залишається лише скоротити чисельник і знаменник.

Ще один приклад:

Тут все трохи складніше. По-перше, цифр після коми вже три штуки, тобто. $n=3$, тому ділити доведеться $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. По-друге, якщо прибрати з десяткового запису кому, то ми отримаємо ось це: 0,004 → 0004. Згадаємо, що нулі зліва треба прибрати, тому за фактом у нас число 4. Далі все просто: ділимо, скорочуємо і отримуємо відповідь.

Зрештою, останній приклад:

Особливість цього дробу – наявність цілої частини. Тому на виході у нас виходить неправильний дріб 47/25. Можна, звичайно, спробувати розділити 47 на 25 із залишком і таким чином знову виділити цілу частину. Але для чого ускладнювати собі життя, якщо це можна зробити ще на етапі перетворень? Що ж, розберемося.

Що робити з цілою частиною

Насправді все дуже просто: якщо ми хочемо отримати правильний дріб, то необхідно прибрати з нього цілу частину на час перетворень, а потім, коли отримаємо результат, знову дописати праворуч перед дробовою рисою.

Наприклад, розглянемо те саме число: 1,88. Заб'ємо на одиницю (цілу частину) і подивимося на дріб 0,88. Вона легко перетворюється:

Потім згадуємо про втрачену одиницю і дописуємо її спереду:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Ось і все! Відповідь вийшла тим самим, що й після виділення цілої частини минулого разу. Ще кілька прикладів:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \&& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

В цьому і полягає принадність математики: яким би шляхом ви не пішли, якщо всі обчислення виконані правильно, відповідь завжди буде одним і тим же.

Насамкінець хотів би розглянути ще один прийом, який багатьом допомагає.

Перетворення «на слух»

Давайте подумаємо про те, що взагалі таке десятковий дріб. Точніше, як ми читаємо її. Наприклад, число 0,64 - ми читаємо його як "нуль цілих, 64 сотих", правильно? Ну, або просто «64 соті». Ключове слово тут - "сотих", тобто. Число 100.

А що щодо 0,004? Це ж «нуль цілих, 4 тисячні» або просто «чотири тисячні». Так чи інакше, ключове слово- «тисячних», тобто. 1000.

Ну, і що в цьому такого? А те, що саме ці числа зрештою «спливають» у знаменниках на другому етапі алгоритму. Тобто. 0,004 — це «чотири тисячні» або «4 розділити на 1000»:

Спробуйте потренуватися самі це дуже просто. Головне - правильно прочитати вихідний дріб. Наприклад, 2,5 - це «2 цілих, 5 десятих», тому

А якесь 1,125 — це «1 ціла, 125 тисячних», тому

У останньому прикладі, звичайно, хтось заперечить, мовляв, не кожному учневі очевидно, що 1000 ділиться на 125. Але тут треба пам'ятати, що 1000 = 103, а 10 = 2∙5, тому

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (align) \]

Таким чином, будь-який ступінь десятки розкладається лише на множники 2 і 5 — саме ці множники потрібно шукати і в чисельнику, щоб у результаті все скоротилося.

На цьому урок закінчено. Переходимо до більш складної зворотної операції - див.

Перетворення звичайного дробу на десятковий

Припустимо, ми хочемо перетворити звичайний дріб 11/4 на десятковий. Найпростіше зробити це так:

						2∙2∙5∙5

Це вдалося тому, що у разі розкладання знаменника на прості множники складається лише з двійок. Ми доповнили це розкладання ще двома п'ятірками, скористалися тим, що 10 = 2∙5 і отримали десятковий дріб. Подібна процедура можлива, очевидно, тоді і тільки тоді, коли розкладання знаменника на прості множники не містить нічого, крім двійок та п'ятірок. Якщо в розкладанні знаменника є будь-яке інше просте число, то такий дріб у десятковий перетворити не можна. Тим не менш, ми спробуємо це зробити, але тільки іншим способом, з яким ми познайомимося на прикладі того ж дробу 11/4. Давайте поділимо 11 на 4 «куточком»:

У рядку відповіді ми отримали цілу частину ( 2 ), і ще ми маємо залишок ( 3 ). Раніше ми поділ на цьому закінчували, але тепер ми знаємо, що до поділеного ( 11 ) можна приписати праворуч кому і кілька нулів, що ми тепер подумки і зробимо. Слідом після коми йде розряд десятих. Нуль, який стоїть у поділеного в цьому розряді, припишемо до отриманого залишку ( 3 ):

Тепер поділ можна продовжувати як ні в чому не бувало. Треба тільки не забути поставити в рядку відповіді кому після цілої частини:

Тепер приписуємо до залишку ( 2 ) нуль, який стоїть у діленого в розряді сотих і доводимо поділ до кінця:

В результаті отримуємо, як і раніше,

Спробуємо тепер точно таким же способом обчислити, чому дорівнює дріб 27/11:

Ми отримали у рядку відповіді число 2,45, а у рядку залишку – число 5 . Але такий залишок нам раніше зустрічався. Тому ми вже одразу можемо сказати, що, якщо ми продовжимо наш поділ «куточком», то наступною цифрою у рядку відповіді буде 4, потім піде цифра 5, потім – знову 4 і знову 5, і так далі до нескінченності:

27 / 11 = 2,454545454545...

Ми отримали так звану періодичнудесятковий дріб з періодом 45. Для таких дробів застосовується компактніший запис, в якому період виписується тільки один раз, але при цьому він полягає в круглі дужки:

2,454545454545... = 2,(45).

Взагалі кажучи, якщо ділити «куточком» одне натуральне число на інше, записуючи відповідь у вигляді десяткового дробу, то можливо тільки два результати: (1) або рано чи пізно в рядку залишку ми отримаємо нуль, (2) або там виявиться такий залишок, який вже нам раніше зустрічався (набір можливих залишків обмежений, оскільки всі вони свідомо менші від дільника). У першому випадку результатом поділу є кінцевий десятковий дріб, у другому випадку – періодичний.

Перетворення періодичного десяткового дробу на звичайний

Нехай нам дано позитивний періодичний десятковий дріб з нульовою цілою частиною, наприклад:

a = 0,2(45).

Як перетворити цей дріб назад у звичайний?

Помножимо її на число 10 k, де k- це число цифр, що стоять між комою і круглою дужкою, що відкриває, що позначає початок періоду. В даному випадку k= 1 та 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Отриманий результат помножимо на 10 n, де n- «Довжина» періоду, тобто число цифр, укладених між круглими дужками. В даному випадку n= 2 та 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Тепер обчислимо різницю

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Оскільки дробові частини у зменшуваного і віднімається однакові, то у різниці дробова частина дорівнює нулю, і ми приходимо до простому рівняннющодо a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Вирішується це рівняння за допомогою таких перетворень:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Ми спеціально поки не доводимо обчислення до кінця, щоб було видно, як можна відразу виписати цей результат, опускаючи проміжні міркування. Зменшуване в чисельнику ( 245 ) - це дробова частина числа

a = 0,2(45)

якщо в її записі стерти дужки. Віднімається в чисельнику ( 2 ) - це неперіодична частина числа а, що розташовується між комою і дужкою, що відкриває. Перший співмножник у знаменнику ( 10 ) - це одиниця, до якої приписано стільки нулів, скільки цифр у неперіодичній частині ( k). Другий співмножник у знаменнику ( 99 ) - це стільки дев'яток, скільки цифр містить період ( n).

Тепер наші обчислення можна довести до кінця:

Тут у чисельнику стоїть період, а у знаменнику – стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. Після скорочення на 9 отриманий дріб виявляється рівним

Подібним чином,