Знайти власні значення матриці. Матриці та вектори

СИСТЕМА ОДНОРОДНИХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Системою однорідних лінійних рівняньназивається система виду

Зрозуміло, що в цьому випадку , т.к. всі елементи одного зі стовпців у цих визначниках дорівнюють нулю.

Оскільки невідомі перебувають за формулами , то у разі, коли Δ ≠ 0, система має єдине нульове рішення x = y = z= 0. Проте, у багатьох завданнях цікаве питання, чи має однорідна система рішення відмінні від нульового.

Теорема. Для того, щоб система лінійних однорідних рівняньмала ненульове рішення, необхідно та достатньо, щоб Δ ≠ 0.

Отже, якщо визначник ≠ 0, то система має єдине рішення. Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.

приклади.

ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ

Нехай задана квадратна матриця , X- Деяка матриця-стовпець, висота якої збігається з порядком матриці A. .

У багатьох завданнях доводиться розглядати рівняння щодо X

де λ – деяке число. Зрозуміло, що з будь-яким λ це рівняння має нульове рішення .

Число λ, за якого це рівняння має ненульові рішення, називається власним значеннямматриці A, а Xпри такому λ називається власним векторомматриці A.

Знайдемо власний вектор матриці A. Оскільки E∙X = X, то матричне рівняння можна переписати у вигляді або . У розгорнутому вигляді це рівняння можна переписати як системи лінійних рівнянь. Дійсно .

І, отже,

Отже, отримали систему однорідних лінійних рівнянь визначення координат x 1, x 2, x 3вектора X. Щоб система мала ненульові рішення необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю, тобто.

Це рівняння 3-го ступеня щодо λ. Воно називається характеристичним рівняннямматриці Aі служить визначення власних значень λ.

Кожному власному значенню відповідає власний вектор Xкоординати якого визначаються із системи при відповідному значенні λ.

приклади.

Векторні Алгебри. ПОНЯТТЯ ВЕКТРОРА

При вивченні різних розділів фізики зустрічаються величини, що повністю визначаються завданням їх чисельних значень, наприклад, довжина, площа, маса, температура тощо. Такі величини називаються скалярними. Однак, крім них зустрічаються і величини, для визначення яких, крім чисельного значення, необхідно знати також їх напрямок у просторі, наприклад, сила, що діє на тіло, швидкість та прискорення тіла при його русі у просторі, напруженість магнітного поляу цій точці простору тощо. Такі величини називають векторними.

Введемо суворе визначення.

Спрямованим відрізкомназвемо відрізок, щодо кінців якого відомо, який із них перший, а який другий.

Векторназивається спрямований відрізок, має певну довжину, тобто. це відрізок певної довжини, у якого одна з точок, що обмежують його, приймається за початок, а друга - за кінець. Якщо A- Початок вектора, B– його кінець, вектор позначається символом, крім того, вектор часто позначається однією літерою . На малюнку вектор позначається відрізком, яке напрямок стрілкою.

Модулемабо довжиноювектора називають довжину визначального його спрямованого відрізка. позначається | чи ||.

До векторів відноситимемо і так званий нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються. Він позначається. Нульовий вектор немає певного напрями і модуль його дорівнює нулю ||=0.

Вектори і називаються колінеарнимиякщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. При цьому якщо вектори і однаково спрямовані, писатимемо, протилежно.

Вектори, розташовані на прямих, паралельних одній площині, називаються компланарними.

Два вектори і називаються рівнимиякщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині. У цьому випадку пишуть.

З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, поміщаючи його початок будь-яку точку простору.

Наприклад.

ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ

Умноження вектора на число.

Добутком вектора на число λ називається новий вектортакий, що:

Добуток вектора на число λ позначається.

Наприклад, є вектор, спрямований у той самий бік, як і вектор , і має довжину, удвічі меншу, ніж вектор .

Введена операція має наступні властивості :

Складання векторів.

Нехай і – два довільні вектори. Візьмемо довільну точку Oі побудуємо вектор. Після цього з точки Aвідкладемо вектор. Вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумоюцих векторів і позначається .

Сформульоване визначення складання векторів називають правилом паралелограма, так як ту саму суму векторів можна отримати в такий спосіб. Відкладемо від крапки Oвектори та . Збудуємо на цих векторах паралелограм ОАВС. Оскільки вектори , то вектор , що є діагоналлю паралелограма, проведеної з вершини O, буде очевидно сумою векторів.

Легко перевірити такі властивостіскладання векторів.

Різниця векторів.

Вектор, колінеарний даному вектору, рівний йому за довжиною і протилежно спрямований, називається протилежнимвектор для вектора і позначається . Протилежний вектор можна як результат множення вектора на число λ = –1: .

Власний вектор квадратної матриці- це такий вектор, який при множенні на задану матрицю дає колінеарний вектор. Простими словами, При множенні матриці на власний вектор останній залишається тим самим, але помноженим на деяке число.

Визначення

Власний вектор - це ненульовий вектор V, який при множенні на квадратну матрицю Mперетворюється на себе, збільшеного на деяке число λ. В записі алгебри це виглядає як:

M × V = ? × V,

де - власне число матриці M.

Розглянемо числовий приклад. Для зручності запису числа в матриці відокремлюватиме крапкою з комою. Нехай у нас є матриця:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Помножимо її на вектор-стовпець:

• V = -2;

При множенні матриці на вектор-стовпець ми отримуємо також вектор-стовпець. Суворою математичною мовою формула множення матриці 2 × 2 на вектор-стовпець буде виглядати так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означає елемент матриці M, що стоїть у першому рядку та першому стовпці, а M22 - елемент, розташовані у другому рядку та другому стовпці. Для нашої матриці ці елементи дорівнюють M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-стовпця ці значення дорівнюють V11 = –2, V21 = 1. Відповідно до цієї формули ми отримаємо наступний результат добутку квадратної матриці на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6×(-2) + 10×(1)=-2.

Для зручності запишемо вектор стовпець у рядок. Отже, ми помножили квадратну матрицю на вектор (-2; 1), у результаті отримали вектор (4; -2). Очевидно, що це той самий вектор, помножений на = -2. Лямбда в даному випадкупозначає власне число матриці.

Власний вектор матриці - колінеарний вектор, тобто об'єкт, який не змінює свого положення в просторі при множенні його на матрицю. Поняття колінеарності у векторній алгебрі подібне до терміну паралельності в геометрії. У геометричній інтерпретації колінеарні вектори - це паралельні спрямовані відрізки різної довжини. Ще з часів Евкліда ми знаємо, що в одній прямій існує нескінченна кількість паралельних їй прямих, тому логічно припустити, що кожна матриця має нескінченну кількість власних векторів.

З попереднього прикладу видно, що власними векторами може бути і (-8; 4), і (16; -8), і (32, -16). Все це колінеарні вектори, що відповідають власному числу = -2. При множенні вихідної матриці на ці вектори ми так само буде отримувати в результаті вектор, який відрізняється від вихідного в 2 рази. Саме тому під час вирішення завдань на пошук власного вектора потрібно знайти лише лінійно незалежні векторні об'єкти. Найчастіше для матриці розміром n × n існує n кількість власних векторів. Наш калькулятор заточений під аналіз квадратних матриць другого порядку, тому практично завжди в результаті буде знайдено два власні вектори, за винятком випадків, коли вони збігаються.

У прикладі вище ми наперед знали свій вектор вихідної матриці і наочно визначили число лямбда. Однак на практиці все відбувається навпаки: спочатку знаходиться власні числа і тільки потім власні вектори.

Алгоритм рішення

Давайте знову розглянемо вихідну матрицю M і спробуємо знайти обидва її власні вектори. Отже, матриця виглядає як:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для початку нам необхідно визначити власне число, для чого потрібно обчислити детермінант наступної матриці:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Дана матрицяотримана шляхом віднімання невідомої з елементів на головній діагоналі. Детермінант визначається за стандартною формулою:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так як наш вектор має бути не нульовим, отримане рівняння приймаємо як лінійно залежне та прирівнюємо наш детермінант detA до нуля.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Розкриємо дужки та отримаємо характеристичне рівняння матриці:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через дискримінант

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корінь із дискримінанта дорівнює sqrt(D) = 14, отже, λ1 = -2, λ2 = 12. Тепер для кожного значення лямбда потрібно знайти власний вектор. Виразимо коефіцієнти системи для = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

У цій формулі E - це одинична матриця. На підставі отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь:

2x + 4y = 6x + 12y,

де x та y - елементи власного вектора.

Зберемо всі ікси зліва, а всі ігреки праворуч. Вочевидь, що - 4x = 8y. Розділимо вираз на - 4 і отримаємо x = -2y. Тепер ми можемо визначити перший власний вектор матриці, прийнявши будь-які значення невідомих (згадуємо нескінченність лінійно залежних власних векторів). Приймемо y = 1, тоді x = -2. Отже, перший власний вектор має вигляд V1 = (–2; 1). Поверніться до початку статті. Саме цей векторний об'єкт ми множили матрицю для демонстрації поняття власного вектора.

Тепер знайдемо власний вектор для λ = 12.

• М - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Складемо таку саму систему лінійних рівнянь;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Тепер приймемо x = 1, отже, y = 3. Таким чином, другий власний вектор виглядає як V2 = (1; 3). При множенні вихідної матриці на даний вектор, у результаті завжди буде такий самий вектор, помножений на 12. На цьому алгоритм рішення закінчується. Тепер ви знаєте як вручну визначити власний вектор матриці.

• визначник;
• слід, тобто суму елементів головної діагоналі;
• ранг, тобто максимальна кількістьлінійно незалежних рядків/стовпців.

Програма діє за наведеним вище алгоритмом, максимально скорочуючи процес рішення. Важливо зазначити, що у програмі лямбда позначена літерою "c". Давайте розглянемо чисельний приклад.

Приклад роботи програми

Спробуємо визначити власні вектори для наступної матриці:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введемо ці значення в комірки калькулятора і отримаємо відповідь у такому вигляді:

• Ранг матриці: 2;
• Детермінант матриці: 18;
• Слід матриці: 19;
• Розрахунок власного вектора: c 2 - 19,00 c + 18,00 (характеристичне рівняння);
• Розрахунок власного вектора: 18 (перше значення лямбда);
• Розрахунок власного вектора: 1 (друге значення лямбда);
• Система рівнянь вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• Система рівнянь вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Власний вектор 1: (1; 1);
• Власний вектор 2: (-3,25; 1).

Таким чином, ми отримали два лінійно незалежні власні вектори.

Висновок

Лінійна алгебра та аналітична геометрія – стандартні предмети для будь-якого першокурсника технічної спеціальності. Велика кількістьвекторів і матриць жахає, а в настільки громіздких обчисленнях легко зробити помилку. Наша програма дозволить студентам перевірити свої викладки або автоматично розв'яже завдання на пошук власного вектора. У нашому каталозі є інші калькулятори з лінійної алгебри, використовуйте їх у своєму навчанні або роботі.

Власні значення(числа) та власні вектори.
Приклади рішень

Будь собою

З обох рівнянь випливає, що .

Припустимо, тоді: .

В результаті: - Другий власний вектор.

Повторимо важливі моментирішення:

- Отримана система неодмінно має загальне рішення(Рівняння лінійно залежні);

- «Ігрек» підбираємо таким чином, щоб він був цілим і перша «іксова» координата - цілою, позитивною і якнайменше.

– перевіряємо, що окреме рішення задовольняє кожному рівнянню системи.

Відповідь .

Проміжних «контрольних точок» було цілком достатньо, тому перевірка рівностей у принципі справа зайва.

У різних джерелахінформації координати власних векторів часто записують над стовпці, а рядки, наприклад: (і, якщо чесно, я сам звик записувати їх рядками). Такий варіант прийнятний, але у світлі теми лінійних перетворень технічно зручніше використовувати вектори-стовпці.

Можливо, рішення здалося вам дуже довгим, але це тільки тому, що я докладно прокоментував перший приклад.

Приклад 2

Матриці

Тренуємося самостійно! Зразковий зразок чистового оформленнязавдання наприкінці уроку.

Іноді потрібно виконати додаткове завдання, а саме:

записати канонічне розкладання матриці

Що таке?

Якщо власні вектори матриці утворюють базис, то вона уявна у вигляді:

Де – матриця складена з координат власних векторів, – діагональнаматриця з відповідними власними числами.

Таке розкладання матриці називають канонічнимабо діагональним.

Розглянемо матрицю першого прикладу. Її власні вектори лінійно незалежні(Неколлінеарні) і утворюють базис. Складемо матрицю з їх координат:

на головної діагоналіматриці у відповідному порядкурозташовуються власні числа, інші елементи дорівнюють нулю:
– ще раз наголошую на важливості порядку: «двійка» відповідає 1-му вектору і тому розташовується в 1-му стовпці, «трійка» – 2-му вектору.

За звичайним алгоритмом знаходження зворотної матриці або методом Гаусса-Жордана знаходимо . Ні, це не друкарська помилка! - Перед вами рідкісне, як сонячне затемненняподія, коли зворотна збіглася з вихідною матрицею.

Залишилося записати канонічне розкладання матриці:

Систему можна вирішити за допомогою елементарних перетворень і в наступних прикладах ми вдамося до даним методом. Але тут набагато швидше спрацьовує «шкільний» спосіб. З 3-го рівняння виразимо: - Підставимо в друге рівняння:

Оскільки перша координата нульова, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає, що .

І знову зверніть увагу на обов'язкова наявністьлінійної залежності. Якщо виходить лише тривіальне рішення , або неправильно знайдено власне число, або з помилкою складена / вирішена система.

Компактні координати дає значення

Власний вектор:

І ще раз – перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи. У наступних пунктах та в наступних завданнях рекомендую прийняти це побажання за обов'язкове правило.

2) Для власного значення за таким же принципом отримуємо таку систему:

З 2-го рівняння системи виразимо: - Підставимо в третє рівняння:

Оскільки «зітова» координата дорівнює нулю, то отримуємо систему, з кожного рівняння якої випливає лінійна залежність.

Нехай

Перевіряємо, що рішення задовольняє кожному рівняння системи.

Отже, власний вектор: .

3) І, нарешті, власному значенню відповідає система:

Друге рівняння виглядає найпростішим, тому з нього висловимо і підставимо в 1-е та 3-е рівняння:

Все добре - виявилася лінійна залежність, яку підставляємо у вираз:

Через війну «ікс» і «игрек» виявилися виражені через «зет»: . На практиці не обов'язково домагатися саме таких взаємозв'язків, у деяких випадках зручніше висловити і через або через. Або навіть «паровозиком» – наприклад, «ікс» через «гравець», а «гравець» через «зет»

Припустимо, тоді:

Перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи та записуємо третій власний вектор

Відповідь: власні вектори:

Геометрично ці вектори задають три різні просторові напрямки. («туди-назад»), якими лінійне перетворення переводить ненульові вектори (власні вектори) в колінеарні їм вектори.

Якби за умовою потрібно було знайти канонічне розкладання , то це можливо, т.к. різним своїм числам відповідають різні лінійно незалежні власні вектори. Складаємо матрицю з їх координат, діагональну матрицю з відповіднихвласних значень і знаходимо зворотну матрицю.

Якщо ж за умовою потрібно записати матрицю лінійного перетворенняу базисі із власних векторів, То відповідь даємо у вигляді . Різниця є, і різниця суттєва! Бо ця матриця – є матриця «де».

Завдання з більш простими обчисленнями для самостійного рішення:

Приклад 5

Знайти власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею

При знаходженні власних чиселПостарайтеся не доводити справу до многочлена 3-го ступеня. Крім того, ваші рішення систем можуть відрізнятись від моїх рішень – тут немає однозначності; та вектори, які ви знайдете, можуть відрізнятись від векторів зразка з точністю до пропорційності їх відповідних координат. Наприклад, і . Естетичніше уявити відповідь у вигляді , але нічого страшного, якщо зупиніться і на другому варіанті. Однак усьому є розумні межі, версія виглядає вже не дуже добре.

Зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Як вирішувати завдання у разі кратних власних чисел?

Загальний алгоритм залишається незмінним, але тут є свої особливості, і деякі ділянки рішення доцільно витримати в суворішому академічному стилі:

Приклад 6

Знайти власні числа та власні вектори

Рішення

Звичайно ж, оприбуткуємо казковий перший стовпець:

І, після розкладання квадратного тричлена на множники:

В результаті отримані власні числа, два з яких є кратними.

Знайдемо власні вектори:

1) З самотнім солдатом розробимося за «спрощеною» схемою:

З останніх двох рівнянь чітко проглядається рівність, яку, очевидно, слід підставити в 1-е рівняння системи:

Найкращої комбінаціїне знайти:
Власний вектор:

2-3) Тепер знімаємо пару вартових. В даному випадку може вийти або два або один власний вектор. Незважаючи на кратність коренів, підставимо значення в визначник , який приносить нам наступну однорідну систему лінійних рівнянь:

Власні вектори – це точно вектори
фундаментальної системи рішень

Власне, протягом усього уроку ми тільки й займалися тим, що знаходили вектори фундаментальної системи. Просто до певного часу даний термінособливо не був потрібний. До речі, ті спритні студенти, які в маскхалатах проскочили тему однорідних рівнянь, будуть змушені курити її зараз.

Єдина дія полягала у видаленні зайвих рядків. В результаті отримана матриця "один на три" з формальною "сходинкою" посередині.
- Базова змінна, - вільні змінні. Вільних змінних дві, отже, векторів фундаментальної системи теж два.

Висловимо базову змінну через вільні змінні: . Нульовий множник перед «іксом» дозволяє приймати йому будь-які значення (що добре видно і з системи рівнянь).

У контексті цього завдання загальне рішення зручніше записати не в рядок, а в стовпець:

Парі відповідає власний вектор:
Парі відповідає власний вектор:

Примітка : досвідчені читачі можуть підібрати дані вектори та усно – просто аналізуючи систему Але тут потрібні деякі знання: змінних – три, ранг матриці системи – одиниця, отже, фундаментальна система рішень складається з 3 – 1 = 2 векторів. Втім, знайдені вектори чудово проглядаються і без цих знань на інтуїтивному рівні. У цьому навіть «красивее» запишеться третій вектор: . Однак застерігаю, в іншому прикладі простого підбору може і не виявитися, саме тому застереження призначене для досвідчених людей. Крім того, а чому б не взяти як третій вектор, скажімо, ? Адже його координати теж задовольняють кожному рівняння системи і вектори. лінійно незалежні. Такий варіант, в принципі, придатний, але «кривуватий», оскільки «інший» вектор є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи.

Відповідь: власні числа: , власні вектори:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти власні числа та власні вектори

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що й у 6-му та 7-му прикладі виходить трійка лінійно незалежних власних векторів, і тому вихідна матриця представима в канонічному розкладанні . Але така малина буває далеко не у всіх випадках:

Приклад 8

Рішення: складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння:

Визначник розкриємо по першому стовпцю:

Подальші спрощення проводимо згідно з розглянутою методикою, уникаючи багаточлена 3-го ступеня:

- Власні значення.

Знайдемо власні вектори:

1) З коренем труднощів немає:

Не дивуйтесь, крім комплекту в ході також змінні - різниці тут ніякої.

З 3-го рівняння виразимо - підставимо в 1-е та 2-е рівняння:

З обох рівнянь випливає:

Нехай тоді:

2-3) Для кратних значень отримуємо систему .

Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Як вставити математичні формулина сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). Ось і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується по певному правилу, Яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

www.сайт дозволяє знайти. Сайт здійснює обчислення. За кілька секунд сервер видасть правильне рішення. Характеристичним рівняння для матриці буде алгебраїчне вираз, знайдений за правилом обчислення визначника матриці матриці, при цьому по головній діагоналі стоятимуть різниці значень діагональних елементів та змінної. При обчисленні характеристичного рівняннядля матриці онлайн, кожен елемент матриці буде перемножуватись з відповідними іншими елементами матриці. Знайти в режимі онлайн можна лише для квадратної матриці. Операція знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн зводиться до обчислення алгебраїчної суми добутку елементів матриці як результат від знаходження визначника матриці, тільки з метою визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн. Дана операція займає особливе місце в теорії матриць, дозволяє знайти власні числа та вектори, використовуючи коріння. Завдання знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн полягає у перемноженні елементів матриці з наступним підсумовуванням цих творів за певним правилом. www.сайт знаходить характеристичне рівняння для матриці заданої розмірності в режимі онлайн. Обчислення характеристичного рівняння для матриці онлайн при заданій її розмірності - це знаходження многочлена з числовими чи символьними коефіцієнтами, знайденого за правилом обчислення визначника матриці - як сума творів відповідних елементів матриці, лише з визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн . Знаходження полінома щодо змінної для квадратної матриці, як визначення характеристичного рівняння для матриці, поширене теоретично матриць. Значення коренів багаточлена характеристичного рівняння для матриці онлайн використовується визначення власних векторів і власних чисел для матриці . При цьому, якщо визначник матриці дорівнюватиме нулю, то характеристичне рівняння матриці все одно буде існувати, на відміну від зворотної матриці. Для того, щоб обчислити характеристичне рівняння для матриці або знайти відразу для декількох матриць характеристичні рівняння, необхідно витратити чимало часу та зусиль, у той час як наш сервер за лічені секунди знайде характеристичне рівняння для матриці онлайн. При цьому відповідь щодо знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн буде правильною і з достатньою точністю, навіть якщо числа при знаходженні характеристичного рівняння для матриці онлайн будуть ірраціональними. На сайті www.сайт допускаються символьні записи в елементах матриць, тобто характеристичне рівняння для матриці онлайн може бути представлене у загальному символьному вигляді при обчисленні характеристичного рівняння матриці онлайн. Корисно перевірити відповідь, отриману при вирішенні задачі знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн, використовуючи сайт www.сайт. При здійсненні операції обчислення полінома - характеристичного рівняння матриці необхідно бути уважним і гранично зосередженим при вирішенні даного завдання. У свою чергу наш сайт допоможе Вам перевірити своє рішення на тему характеристичного рівняння матриці онлайн. Якщо у Вас немає часу на довгі перевірки вирішених завдань, то www.сайт безумовно буде зручним інструментомдля перевірки при знаходженні та обчисленні характеристичного рівняння для матриці онлайн.