Шийдэл: I. Вариацын цуваа хийцгээе - Шийдэл. V. Вариацын цуваа, дундаж утгууд, шинж чанарын хэлбэлзэл

Хүснэгт 1. Дискрет вариацын давтамжийн цувааны ерөнхий дүр зураг

Хүснэгт 2. Давтамжийн интервалын вариацын цувааны ерөнхий дүр зураг

Хүснэгт 3. Вариацын цувралын график зургууд

Мөр	Полигон буюу гистограм		Эмпирик тархалтын функц
Дискрет
Интервал

Хүснэгтэнд 2.3 (1994 оны 4-р сард Оросын хүн амыг нэг хүнд ногдох дундаж орлогоор бүлэглэх) танилцуулав. интервалын өөрчлөлтийн цуврал.
График дүрс ашиглан түгээлтийн цувралд дүн шинжилгээ хийх нь тохиромжтой бөгөөд энэ нь тархалтын хэлбэрийг шүүх боломжийг олгодог. Вариацын цувааны давтамжийн өөрчлөлтийн мөн чанарыг харуулсан дүрслэлийг дараах байдлаар үзүүлэв олон өнцөгт ба гистограм.
Дискрет вариацын цувааг дүрслэхдээ олон өнцөгтийг ашигладаг.
Жишээлбэл, орон сууцны төрлөөр орон сууцны хуваарилалтыг графикаар дүрсэлцгээе (Хүснэгт 2.10).
Хүснэгт 2.10 - Хот суурин газрын орон сууцны нөөцийг орон сууцны төрлөөр нь хуваарилах (нөхцөлт тоо).

Цагаан будаа. Орон сууцны хуваарилалтын талбай

Цагаан будаа. 2.2. Нэг хүнд ногдох амьдрах талбайн хэмжээгээр гэр бүлийн хуваарилалтын гистограмм

Цагаан будаа. 2.3. Нэг хүнд ногдох амьдрах талбайн хэмжээгээр гэр бүлийн хуримтлагдсан хуваарилалт

Вариацын цувааг графикаар илэрхийлэхэд мөн ашиглаж болно хуримтлагдсан муруй. Хуримтлуулах (нийлбэрийн муруй) ашиглан хэд хэдэн хуримтлагдсан давтамжийг дүрсэлсэн болно. Хуримтлагдсан давтамжийг бүлгүүдийн давтамжийг дараалан нэгтгэх замаар тодорхойлж, популяцийн хэдэн нэгж нь авч үзэж буй утгаас ихгүй шинж чанартай болохыг харуулдаг.

Цагаан будаа. 2.4. Нэг хүнд ногдох орон сууцны талбайн хэмжээгээр гэр бүлийг хуваарилах тухай ойлголт

Интервалын вариацын цувааны хуримтлалыг бүтээхдээ абсцисса тэнхлэгийн дагуу цувааны хувилбаруудыг, ордны тэнхлэгийн дагуу хуримтлагдсан давтамжийг зурна.

Вариацын цуврал - харьцуулсан цуврал (өсөлт, бууралтын зэргээр) сонголтуудболон харгалзах давтамжууд

Сонголтууд нь шинж чанарын бие даасан тоон илэрхийлэл юм. Латин үсгээр тэмдэглэсэн В . "Хувилбар" гэсэн нэр томъёоны сонгодог ойлголт нь давталтын тоог харгалзахгүйгээр шинж чанарын өвөрмөц утга бүрийг хувилбар гэж нэрлэдэг гэж үздэг.

Жишээлбэл, арван өвчтөнд хэмжсэн систолын цусны даралтын үзүүлэлтүүдийн цувралд:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

Зөвхөн 6 утгыг авах боломжтой:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Давтамж гэдэг нь сонголт хэдэн удаа давтагдаж байгааг харуулсан тоо юм. Латин үсгээр тэмдэглэсэн П . Бүх давтамжийн нийлбэрийг (энэ нь мэдээжийн хэрэг, судлагдсан бүх хүмүүсийн тоотой тэнцүү) гэж тэмдэглэнэ. n.

Бидний жишээн дээр давтамж нь дараах утгыг авна.
• сонголт 110 давтамжийн хувьд P = 1 (утга 110 нэг өвчтөнд тохиолддог),
• 120 давтамжийн сонголтын хувьд P = 2 (120-ийн утга нь хоёр өвчтөнд тохиолддог),
• сонголт 130 давтамжийн хувьд P = 3 (утга 130 гурван өвчтөнд тохиолддог),
• сонголт 140 давтамж P = 2 (утга 140 хоёр өвчтөнд тохиолддог),
• сонголт 160 давтамжийн хувьд P = 1 (утга 160 нэг өвчтөнд тохиолддог),
• сонголт 170 давтамж P = 1 (утга 170 нэг өвчтөнд тохиолддог),

Вариацын цувралын төрлүүд:

1. энгийн- энэ нь сонголт бүр зөвхөн нэг удаа тохиолддог цуврал юм (бүх давтамж нь 1-тэй тэнцүү);
2. түдгэлзүүлсэн- нэг буюу хэд хэдэн сонголт нэгээс олон удаа гарч ирдэг цуврал.

Вариацын цуваа нь том массив тоог тодорхойлоход хэрэглэгддэг бөгөөд ихэнх анагаах ухааны судалгааны цуглуулсан өгөгдлийг анх ийм хэлбэрээр танилцуулдаг. Вариацын цувааг тодорхойлохын тулд дундаж утгууд, хувьсах байдлын үзүүлэлтүүд (тархалт гэж нэрлэгддэг), түүврийн мэдээллийн төлөөллийн үзүүлэлтүүдийг багтаасан тусгай үзүүлэлтүүдийг тооцдог.

Вариацын цуврал үзүүлэлтүүд

1) Арифметик дундаж нь судалж буй шинж чанарын хэмжээг тодорхойлдог ерөнхий үзүүлэлт юм. Арифметик дундажийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ М , дундажийн хамгийн түгээмэл төрөл юм. Арифметик дундажийг бүх ажиглалтын нэгжийн үзүүлэлтүүдийн нийлбэрийг судалж буй бүх сэдвүүдийн тоонд харьцуулсан харьцаагаар тооцдог. Арифметик дундажийг тооцоолох арга нь энгийн ба жинлэсэн вариацын цувралын хувьд ялгаатай.

Тооцоолох томъёо энгийн арифметик дундаж:

Тооцоолох томъёо жигнэсэн арифметик дундаж:

M = Σ(V * P)/ n

​ 2) Горим нь хамгийн олон удаа давтагдах хувилбарт тохирох вариацын цувралын өөр дундаж утга юм. Эсвэл өөрөөр хэлбэл, энэ нь хамгийн өндөр давтамжтай тохирох сонголт юм. гэж тэмдэглэсэн Мо . Энгийн цувралд сонголтуудын аль нь ч давтагдахгүй бөгөөд бүх давтамж нь нэгтэй тэнцүү байдаг тул горимыг зөвхөн жинлэсэн цувралд тооцдог.

Жишээлбэл, зүрхний цохилтын утгын хэлбэлзлийн цувралд:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

горимын утга нь 86, учир нь энэ сонголт 3 удаа тохиолддог тул түүний давтамж хамгийн өндөр байна.

3) Медиан - вариацын цувралыг хагасаар хуваах сонголтын утга: түүний хоёр талд тэнцүү тооны сонголтууд байна. Медиан нь арифметик дундаж ба горимын нэгэн адил дундаж утгыг илэрхийлдэг. гэж тэмдэглэсэн Би

4) Стандарт хазайлт (синонимууд: стандарт хэлбэлзэл, сигма хазайлт, сигма) - вариацын цувааны хувьсагчийн хэмжүүр. Энэ нь дунджаас хазайсан бүх тохиолдлыг нэгтгэсэн салшгүй үзүүлэлт юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь арифметик дунджаас хувилбарууд хэр хол, хэр олон удаа тархдаг вэ гэсэн асуултад хариулдаг. Грек үсгээр тэмдэглэсэн σ ("сигма").

Хэрэв хүн амын тоо 30 нэгжээс их байвал стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Жижиг популяцийн хувьд - 30 ажиглалтын нэгж ба түүнээс бага - стандарт хазайлтыг өөр томъёогоор тооцоолно.

Статистикийн шинжилгээнд онцгой байр суурь нь судалж буй шинж чанар эсвэл үзэгдлийн дундаж түвшинг тодорхойлох явдал юм. Тухайн шинж чанарын дундаж түвшинг дундаж утгуудаар хэмждэг.

Дундаж утга нь судалж буй шинж чанарын ерөнхий тоон түвшинг тодорхойлдог бөгөөд статистикийн хүн амын бүлгийн шинж чанар юм. Энэ нь нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд бие даасан ажиглалтын санамсаргүй хазайлтыг тэгшитгэж, сулруулж, судалж буй шинж чанарын үндсэн, ердийн шинж чанарыг тодотгож өгдөг.

Дундажуудыг өргөн ашигладаг:

1. Хүн амын эрүүл мэндийн байдлыг үнэлэхийн тулд: бие бялдрын хөгжлийн онцлог (өндөр, жин, цээжний тойрог гэх мэт), янз бүрийн өвчний тархалт, үргэлжлэх хугацааг тодорхойлох, хүн ам зүйн үзүүлэлтүүдэд дүн шинжилгээ хийх (хүн амын амин чухал хөдөлгөөн, дундаж наслалт, хүн амын нөхөн үржихүй, дундаж хүн ам гэх мэт).

2. Эмнэлгийн байгууллага, эмнэлгийн ажилтны үйл ажиллагааг судалж, ажлын чанарт нь үнэлэлт дүгнэлт өгөх, хүн амын төрөл бүрийн эмнэлгийн тусламж үйлчилгээний хэрэгцээг төлөвлөх, тодорхойлох (жилд нэг оршин суугчд ногдох хүсэлт, хандалтын дундаж тоо, оршин суух дундаж хугацаа. Эмнэлэгт байгаа өвчтөн, өвчтөний үзлэгт хамрагдах дундаж хугацаа, эмч, ортой дундаж хүрэлцээ гэх мэт).

3. Ариун цэврийн болон эпидемиологийн төлөв байдлыг тодорхойлох (цех дэх агаарын тоосны дундаж хэмжээ, нэг хүнд ногдох талбайн дундаж хэмжээ, уураг, өөх тос, нүүрс усны дундаж хэрэглээ гэх мэт).

4. Лабораторийн мэдээллийг боловсруулахдаа хэвийн болон эмгэгийн нөхцөлд эмнэлгийн болон физиологийн үзүүлэлтүүдийг тодорхойлох, түүвэр судалгааны үр дүнгийн найдвартай байдлыг нийгэм, эрүүл ахуй, эмнэлзүйн болон туршилтын судалгаанд тогтоох.

Дундаж утгын тооцоог вариацын цувааны үндсэн дээр гүйцэтгэдэг. Вариацын цувралнь чанарын хувьд нэгэн төрлийн статистик популяци бөгөөд тус тусын нэгжүүд нь судалж буй шинж чанар эсвэл үзэгдлийн тоон ялгааг тодорхойлдог.

Тоон хэлбэлзэл нь тасалдалгүй (дискрет) ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй байж болно.

Тасралтгүй (дискрет) шинж чанар нь зөвхөн бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэг бөгөөд ямар ч завсрын утгатай байж болохгүй (жишээлбэл, зочилсон тоо, сайтын хүн ам, гэр бүлийн хүүхдийн тоо, өвчний хүндийн зэрэг) , гэх мэт).

Тасралтгүй тэмдэг нь тодорхой хязгаарт ямар ч утгыг, түүний дотор бутархай утгыг авч болох бөгөөд зөвхөн ойролцоогоор илэрхийлэгддэг (жишээлбэл, жин нь насанд хүрэгчдэд килограммаар, нярай хүүхдэд граммаар хязгаарлагдаж болно; өндөр, цусны даралт, цаг хугацаа өвчтөнтэй уулзах гэх мэт).

Вариацын цувралд багтсан бие даасан шинж чанар, үзэгдэл бүрийн тоон утгыг хувилбар гэж нэрлэдэг бөгөөд үсгээр тэмдэглэнэ. В . Жишээлбэл, бусад тэмдэглэгээг математикийн ном зохиолоос олж болно x эсвэл y.

Сонголт бүрийг нэг удаа зааж өгсөн хувилбарын цувралыг энгийн гэж нэрлэдэг.Ийм цувралыг компьютерийн өгөгдөл боловсруулах тохиолдолд статистикийн ихэнх асуудалд ашигладаг.

Ажиглалтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр давтагдах хувилбарын утгууд гарах хандлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд үүнийг бүтээдэг бүлэглэсэн вариацын цуврал, давталтын тоог зааж өгсөн (давтамж, "үсгээр тэмдэглэгдсэн" Р »).

Эрэмбэлэгдсэн вариацын цувралөсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулсан сонголтуудаас бүрдэнэ. Энгийн болон бүлэглэсэн цувралуудыг зэрэглэлээр эмхэтгэж болно.

Интервалын өөрчлөлтийн цувралмаш олон тооны ажиглалтын нэгжтэй (1000 гаруй) компьютер ашиглахгүйгээр хийсэн дараагийн тооцооллыг хялбарчлах зорилгоор эмхэтгэсэн.

Тасралтгүй вариацын цувралямар ч утга байж болох сонголтын утгыг агуулдаг.

Хэрэв вариацын цувралд шинж чанарын утгууд (хувилбарууд) нь бие даасан тодорхой тоон хэлбэрээр өгөгдсөн бол ийм цувралыг нэрлэдэг. салангид.

Вариацын цувралд тусгагдсан шинж чанарын утгуудын ерөнхий шинж чанарууд нь дундаж утгууд юм. Тэдний дунд хамгийн их ашиглагддаг: дунд арифметик хэмжигдэхүүн М,загвар Моба дундаж Би.Эдгээр шинж чанарууд тус бүр нь өвөрмөц юм. Тэд бие биенээ орлож чадахгүй бөгөөд зөвхөн хамтдаа вариацын цувралын шинж чанарыг бүрэн, хураангуй хэлбэрээр илэрхийлдэг.

Загвар (Сар) хамгийн их тохиолддог сонголтуудын утгыг нэрлэнэ үү.

Медиан (Би) – энэ нь эрэмбэлсэн вариацын цувралыг хагасаар хуваах сонголтын утга юм (дундаж тал бүр дээр сонголтын тал нь байна). Ховор тохиолдолд, тэгш хэмтэй вариацын цуваа байх үед горим ба медиан нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд арифметик дундажийн утгатай давхцдаг.

Опционы утгуудын хамгийн нийтлэг шинж чанар нь Арифметик дундажүнэ цэнэ( М ). Математикийн уран зохиолд үүнийг тэмдэглэсэн байдаг .

Арифметик дундаж (М, ) нь чанарын хувьд нэгэн төрлийн статистикийн популяцийг бүрдүүлдэг судалж буй үзэгдлийн тодорхой шинж чанарын ерөнхий тоон шинж чанар юм. Энгийн бөгөөд жигнэсэн арифметик дундажууд байдаг. Энгийн арифметик дундажийг энгийн вариацын цувралын хувьд бүх хувилбаруудыг нэгтгэж, энэ нийлбэрийг энэ вариацын цувралд багтсан сонголтуудын нийт тоонд хуваах замаар тооцдог. Тооцооллыг дараахь томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

,

Хаана: М - энгийн арифметик дундаж;

Σ В - үнийн сонголт;

n- ажиглалтын тоо.

Бүлэглэсэн вариацын цувралд жигнэсэн арифметик дундажийг тодорхойлно. Үүнийг тооцоолох томъёо:

,

Хаана: М - арифметик жигнэсэн дундаж;

Σ Vp - хувилбарын бүтээгдэхүүний нийлбэр давтамжаар;

n- ажиглалтын тоо.

Олон тооны ажиглалтаар гараар тооцоолсон тохиолдолд моментийн аргыг ашиглаж болно.

Арифметик дундаж нь дараахь шинж чанартай байдаг.

· дунджаас хазайлтын нийлбэр ( Σ г ) тэгтэй тэнцүү (Хүснэгт 15-ыг үзнэ үү);

· бүх сонголтыг ижил хүчин зүйлээр (хуваагч) үржүүлэх (хуваах) үед арифметик дундажийг ижил хүчин зүйлээр (хуваагч) үржүүлнэ (хуваах);

· хэрэв та бүх хувилбарт ижил тоог нэмэх (хасах) тохиолдолд арифметик дундаж нь ижил тоогоор өсөх (багарах) болно.

Тооцоолсон цувааны хувьсах чанарыг харгалзахгүйгээр өөрсдөө авсан арифметик дундаж нь вариацын цувралын шинж чанарыг бүрэн тусгадаггүй, ялангуяа бусад дундаж үзүүлэлттэй харьцуулах шаардлагатай үед. Ойролцоох дундаж утгыг тархалтын янз бүрийн зэрэгтэй цувралаас авч болно. Хувь хүний ​​сонголтууд нь тоон шинж чанараараа бие биентэйгээ ойр байх тусам бага байна тархалт (хэлбэлзэл, хэлбэлзэл)цуврал байх тусам түүний дундаж нь илүү нийтлэг байдаг.

Зан чанарын хувьсах чадварыг үнэлэх гол үзүүлэлтүүд нь:

· Хамрах хүрээ;

· Далайц;

· Стандарт хэлбэлзэл;

· Өөрчлөлтийн коэффициент.

Тухайн шинж чанарын хувьсах чанарыг вариацын цувралын далайц ба далайцаар ойролцоогоор дүгнэж болно. Энэ муж нь цувралын хамгийн их (V max) ба хамгийн бага (V мин) сонголтуудыг заана. Далайн далайц (А м) нь эдгээр сонголтуудын хоорондох ялгаа юм: A m = V max - V мин.

Вариацын цувралын хувьсах чанарыг тодорхойлох гол, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэмжүүр нь тархалт (Д ). Гэхдээ хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг зүйл бол тархалтын үндсэн дээр тооцсон илүү тохиромжтой параметр юм - стандарт хазайлт ( σ ). Энэ нь хазайлтын хэмжээг харгалзан үздэг ( г ) вариацын цуваа бүрийн арифметик дундажаас ( d=V - М ).

Дунджаас хазайх нь эерэг ба сөрөг байж болох тул нийлбэр дүнгээр "0" гэсэн утгыг өгдөг (С d=0). Үүнээс зайлсхийхийн тулд хазайлтын утгууд ( г) хоёр дахь зэрэгт дээшлүүлж, дунджаар тооцно. Тиймээс вариацын цувралын тархалт нь хувилбарын арифметик дунджаас хазайсан дундаж квадрат бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

.

Энэ нь хувьсах чадварын хамгийн чухал шинж чанар бөгөөд олон тооны тооцоолоход хэрэглэгддэг статистикийн шалгуур.

Тархалтыг хазайлтын квадратаар илэрхийлдэг тул түүний утгыг арифметик дундажтай харьцуулахад ашиглах боломжгүй. Эдгээр зорилгоор үүнийг ашигладаг стандарт хэлбэлзэл, үүнийг "Сигма" тэмдгээр тэмдэглэсэн ( σ ). Энэ нь вариацын цувралын бүх хувилбаруудын арифметик дундаж утгаас дундаж хазайлтыг дундаж утгатай ижил нэгжээр тодорхойлдог тул тэдгээрийг хамтад нь ашиглах боломжтой.

Стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тодорхойлсон томъёог ажиглалтын тоо ( n ) 30-аас дээш. Бага тоогоор n стандарт хазайлтын утга нь математикийн зөрүүтэй холбоотой алдаатай байх болно ( n - 1). Үүнтэй холбогдуулан стандарт хазайлтыг тооцоолох томъёонд ийм хазайлтыг харгалзан илүү нарийвчлалтай үр дүнг авч болно.

стандарт хэлбэлзэл (с ) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтын тооцоо юм Xтүүний дисперсийн бодитой тооцоололд үндэслэсэн математикийн хүлээлттэй харьцангуй.

Үнэт зүйлстэй n > 30 стандарт хазайлт ( σ ) ба стандарт хазайлт ( с ) ижил байх болно ( σ =s ). Тиймээс ихэнх тохиолдолд практик тусламжЭдгээр шалгуурыг өөр өөр утгатай гэж үздэг. IN Excel програмстандарт хазайлтыг =STDEV(муж) функцээр тооцоолж болно. Стандарт хазайлтыг тооцоолохын тулд та тохирох томьёог үүсгэх хэрэгтэй.

Дундаж квадрат буюу стандарт хазайлт нь шинж чанарын утга нь дундаж утгаас хэр их ялгаатай болохыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Өдөр тутмын дундаж температур ижил хоёр хот байна гэж бодъё зуны улирал. Эдгээр хотуудын нэг нь далайн эрэг дээр, нөгөө нь тивд байрладаг. Далайн эрэг дээр байрладаг хотуудад өдрийн температурын ялгаа нь дотоодод байрладаг хотуудаас бага байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс далайн эргийн хотын өдрийн температурын стандарт хазайлт нь хоёр дахь хотынхоос бага байх болно. Практикт энэ нь тивд байрладаг хотын тодорхой өдөр бүрийн агаарын дундаж температур далайн эрэг дээрх хотынхоос илүү их ялгаатай байна гэсэн үг юм. Нэмж дурдахад стандарт хазайлт нь температурын боломжит хазайлтыг дунджаас шаардлагатай магадлалын түвшингээр үнэлэх боломжийг олгодог.

Магадлалын онолын дагуу ердийн тархалтын хуульд захирагддаг үзэгдлүүдэд арифметик дундаж, стандарт хазайлт ба сонголтуудын хооронд хатуу хамаарал байдаг ( гурван сигма дүрэм). Жишээлбэл, янз бүрийн шинж чанарын утгын 68.3% нь M ± 1 дотор байна σ , 95.5% - M ± 2 дотор σ ба 99.7% - M ± 3 дотор σ .

Стандарт хазайлтын утга нь вариацын цуврал болон судалгааны бүлгийн нэгэн төрлийн шинж чанарыг дүгнэх боломжийг олгодог. Хэрэв стандарт хазайлтын утга бага байвал энэ нь судалж буй үзэгдлийн нэлээд өндөр нэгэн төрлийн байгааг илтгэнэ. Энэ тохиолдолд арифметик дундажийг өгөгдсөн вариацын цувралын хувьд нэлээд онцлог шинж чанартай гэж үзэх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч хэт бага сигма утга нь ажиглалтыг зохиомлоор сонгох талаар бодоход хүргэдэг. Маш том сигматай бол арифметик дундаж нь вариацын цувааг бага хэмжээгээр тодорхойлдог бөгөөд энэ нь судалж буй шинж чанар, үзэгдлийн мэдэгдэхүйц хэлбэлзэл эсвэл судалж буй бүлгийн нэг төрлийн бус байдлыг илэрхийлдэг. Гэсэн хэдий ч стандарт хазайлтын утгыг харьцуулах нь зөвхөн ижил хэмжээсийн шинж чанаруудын хувьд боломжтой юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид шинэ төрсөн хүүхэд болон насанд хүрэгчдийн жингийн олон янз байдлыг харьцуулж үзвэл бид насанд хүрэгсдэд үргэлж өндөр сигма утгыг авах болно.

Төрөл бүрийн хэмжээсийн шинж чанаруудын хувьсах чадварыг харьцуулах аргыг ашиглан хийж болно хэлбэлзлийн коэффициент. Энэ нь олон янз байдлыг хувиар илэрхийлдэг дундаж хэмжээ, энэ нь харьцуулах боломжийг олгодог янз бүрийн шинж тэмдэг. Эмнэлгийн ном зохиол дахь өөрчлөлтийн коэффициентийг " тэмдгээр тэмдэглэсэн байдаг. ХАМТ ", мөн математикийн хувьд" v"болон томъёогоор тооцоолно:

.

10% -иас бага хэлбэлзлийн коэффициентийн утгууд нь жижиг сарнилыг, 10-20% - дундаж, 20% -иас дээш - арифметик дундажийн эргэн тойронд хүчтэй тархалтыг илэрхийлдэг.

Арифметик дундажийг ихэвчлэн түүвэр популяциас авсан мэдээлэлд үндэслэн тооцдог. Давтан судалгаа хийснээр санамсаргүй үзэгдлийн нөлөөн дор арифметик дундаж нь өөрчлөгдөж болно. Энэ нь дүрмээр бол ажиглалтын боломжит нэгжийн зөвхөн нэг хэсгийг буюу түүвэр популяцийг судалж байгаатай холбоотой юм. Судалж буй үзэгдлийг илэрхийлэх бүх боломжит нэгжийн талаарх мэдээллийг нийт хүн амыг судлах замаар олж авах боломжтой бөгөөд энэ нь үргэлж боломжгүй байдаг. Үүний зэрэгцээ, туршилтын өгөгдлийг нэгтгэх зорилгоор нийт хүн амын дунджийн утгыг сонирхож байна. Тиймээс судалж буй үзэгдлийн талаар ерөнхий дүгнэлт гаргахын тулд түүврийн популяцийн үндсэн дээр олж авсан үр дүнг статистикийн аргыг ашиглан нийт хүн амд шилжүүлэх ёстой.

Түүврийн судалгаа болон нийт хүн амын хоорондын тохирлын түвшинг тодорхойлохын тулд түүврийн ажиглалтын явцад зайлшгүй гарах алдааны хэмжээг тооцоолох шаардлагатай. Энэ алдааг " Төлөөлөгчийн алдаа"эсвэл "Арифметик дундажийн дундаж алдаа." Энэ нь үнэндээ сонгомол статистик ажиглалтаас олж авсан дундаж үзүүлэлтүүд ба ижил объектыг тасралтгүй судлах явцад олж авах ижил төстэй утгуудын хоорондох ялгаа юм. нийт хүн амыг судлах үед. Түүврийн дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн тул ийм таамаглалыг судлаачийн хүлээн зөвшөөрөх магадлалын түвшинд гүйцэтгэдэг. Анагаах ухааны судалгаанд энэ нь дор хаяж 95% байдаг.

Төлөөлөгчийн алдааг бүртгэлийн алдаа эсвэл анхаарал болгоомжийн алдаатай (хулсалт, буруу тооцоолол, үсгийн алдаа гэх мэт) андуурч болохгүй, үүнийг туршилтын явцад ашигласан зохих арга, хэрэгслээр багасгах хэрэгтэй.

Төлөөлөгчийн алдааны хэмжээ нь түүврийн хэмжээ болон шинж чанарын хувьсах чадвараас хамаарна. Ажиглалтын тоо их байх тусам түүвэр нийт хүн амд ойртож, төдий чинээ их байна алдаа бага. Тэмдэг нь илүү их хувьсах тусам статистикийн алдаа их болно.

Практикт вариацын цувааны төлөөллийн алдааг тодорхойлохын тулд дараахь томъёог ашигладаг.

,

Хаана: м - төлөөллийн алдаа;

σ - стандарт хэлбэлзэл;

n– түүвэр дэх ажиглалтын тоо.

Томъёоноос харахад хэмжээ нь тодорхой байна дундаж алдаадундажтай шууд пропорциональ байна квадрат хазайлт, өөрөөр хэлбэл, судалж буй шинж чанарын хувьсах чанар, ажиглалтын тооны квадрат язгууртай урвуу пропорциональ байна.

Хийх замаар Статистикийн дүн шинжилгээтооцоонд үндэслэсэн харьцангуй үнэ цэнэвариацын цуврал байгуулах нь заавал байх албагүй. Энэ тохиолдолд харьцангуй үзүүлэлтүүдийн дундаж алдааг тодорхойлохдоо хялбаршуулсан томъёог ашиглан хийж болно.

,

Хаана: Р- үнэ цэнэ харьцангуй үзүүлэлт, хувь, ppm гэх мэтээр илэрхийлсэн;

q– P-ийн харилцан хамаарал ба үзүүлэлтийг тооцоолох үндэслэлээс хамааран (1-P), (100-P), (1000-P) гэх мэтээр илэрхийлэгдэнэ;

n– түүвэр популяци дахь ажиглалтын тоо.

Гэсэн хэдий ч харьцангуй утгын төлөөллийн алдааг тооцоолох томъёог зөвхөн индикаторын утга нь суурь хэмжээнээс бага байх үед л хэрэглэж болно. Эрчимтэй үзүүлэлтүүдийг тооцоолох хэд хэдэн тохиолдолд энэ нөхцөл хангагдаагүй бөгөөд үзүүлэлтийг 100% эсвэл 1000% -ийн тоогоор илэрхийлж болно. Ийм нөхцөлд вариацын цуваа байгуулж, төлөөллийн алдааг стандарт хазайлт дээр үндэслэн дундаж утгын томъёог ашиглан тооцоолно.

Популяци дахь арифметик дундаж утгыг урьдчилан таамаглахдаа хамгийн бага ба хамгийн их гэсэн хоёр утгыг зааж өгнө. Хүн амын хүссэн дундаж утга хэлбэлзэж болох боломжит хазайлтын эдгээр хэт утгыг "гэж" гэж нэрлэдэг. Итгэлийн хил хязгаар».

Магадлалын онолын постулатууд нь 99.7% магадлалтай шинж чанарын хэвийн тархалтаар дундажийн хазайлтын туйлын утга нь төлөөллийн алдааны гурвалсан утгаас ихгүй байх болно гэдгийг нотолсон. М ± 3 м ); 95.5% - дундаж утгын дундаж алдаанаас хоёр дахин ихгүй байна ( М ± 2 м ); 68.3% - нэгээс илүү дундаж алдаа ( М ± 1 м ) (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Магадлалын нягт хэвийн тархалт.

Дээрх мэдэгдэл нь зөвхөн Гауссын ердийн тархалтын хуульд захирагддаг шинж чанарын хувьд үнэн болохыг анхаарна уу.

Олонхи туршилтын судалгаа, тэр дундаа анагаах ухааны салбарт хэмжилттэй холбоотой бөгөөд үр дүн нь өгөгдсөн интервалд бараг ямар ч утгыг авч чаддаг тул дүрмээр бол тэдгээрийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний загвараар дүрсэлсэн байдаг. Үүнтэй холбоотойгоор ихэнх статистик аргууд нь тасралтгүй тархалтыг авч үздэг. Эдгээр хуваарилалтын нэг нь үндсэн үүрэг гүйцэтгэдэг математик статистик, байна хэвийн буюу Гауссын тархалт.

Энэ нь хэд хэдэн шалтгаантай холбоотой юм.

1. Юуны өмнө олон туршилтын ажиглалтуудыг хэвийн тархалтыг ашиглан амжилттай дүрсэлж болно. Эмпирик өгөгдлийн хувьд яг хэвийн тархалт байхгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. санамсаргүй утга-ээс хүртэлх мужид байгаа бөгөөд энэ нь практикт хэзээ ч тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч ердийн тархалт нь ихэвчлэн ойролцоо утгатай байдаг.

Хүний биеийн жин, өндөр болон бусад физиологийн үзүүлэлтүүдийг хэмжиж байгаа эсэхээс үл хамааран үр дүнд нь ихээхэн нөлөөлдөг. том тоо санамсаргүй хүчин зүйлүүд (байгалийн шалтгаануудхэмжилтийн алдаа). Түүнээс гадна, дүрмээр бол эдгээр хүчин зүйлүүд тус бүрийн нөлөө нь ач холбогдолгүй юм. Туршлагаас харахад ийм тохиолдлын үр дүн нь ойролцоогоор хэвийн тархсан байх болно.

2. Санамсаргүй түүвэрлэлттэй холбоотой олон тархалт сүүлийнх нь эзлэхүүн ихсэх тусам хэвийн болдог.

3. Хэвийн тархалт нь бусад хүмүүсийн хувьд сайн ойролцоо байна тасралтгүй хуваарилалт(жишээлбэл, тэгш бус).

4. Хэвийн тархалт нь хэд хэдэн таатай талуудтай математик шинж чанарууд, энэ нь үүнийг ихээхэн хангасан өргөн хэрэглээстатистикт.

Үүний зэрэгцээ эмнэлгийн өгөгдөлд ердийн тархалтын загвараар тайлбарлах боломжгүй олон туршилтын тархалт байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний тулд статистик нь "параметрийн бус" гэж нэрлэгддэг аргуудыг боловсруулсан.

Сонголт статистикийн арга, тодорхой туршилтын өгөгдлийг боловсруулахад тохиромжтой, олж авсан өгөгдөл нь хэвийн тархалтын хуульд хамаарах эсэхээс хамаарч хийгдэх ёстой. Тэмдгийг ердийн тархалтын хуульд захируулах таамаглалыг давтамжийн тархалтын гистограм (график), түүнчлэн статистикийн хэд хэдэн шалгуурыг ашиглан хийдэг. Тэдний дунд:

Тэгш хэмийн шалгуур ( б );

Куртозыг илрүүлэх шалгуур ( g );

Шапиро-Вилкс тест ( В ) .

Өгөгдлийн тархалтын шинж чанарын шинжилгээг (мөн тархалтын хэвийн байдлын тест гэж нэрлэдэг) параметр тус бүрээр хийдэг. Параметрийн тархалт нь ердийн хуульд нийцэж байгаа эсэхийг итгэлтэйгээр дүгнэхийн тулд хангалттай олон тооны ажиглалтын нэгж (дор хаяж 30 утга) шаардлагатай.

Хэвийн тархалтын хувьд хазайлт ба муруйлт шалгуур нь 0 утгыг авна. Хэрэв тархалтыг баруун тийш шилжүүлсэн бол б > 0 (эерэг тэгш бус), хамт б < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. At g > 0 бол тархалтын муруй илүү хурц байна g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Шапиро-Вилксийн шалгуурыг ашиглан хэвийн эсэхийг шалгахын тулд шаардлагатай ач холбогдлын түвшинд, ажиглалтын нэгжийн тооноос (чөлөөний зэрэг) хамааран статистикийн хүснэгтүүдийг ашиглан энэ шалгуурын утгыг олох шаардлагатай. Хавсралт 1. Дүрмээр бол энэ шалгуурын бага утгуудад хэвийн байдлын таамаглалыг үгүйсгэдэг. w <0,8.

Вариацын цувралын тухай ойлголт.Статистикийн ажиглалтын материалыг системчлэх эхний алхам бол тодорхой шинж чанартай нэгжийн тоог тоолох явдал юм. Нэгжийг тоон шинж чанараараа өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулж, тухайн шинж чанарын тодорхой утгатай нэгжийн тоог тоолох замаар бид вариацын цувралыг олж авдаг. Вариацын цуваа нь зарим тоон шинж чанарын дагуу тодорхой статистикийн популяцийн нэгжийн тархалтыг тодорхойлдог.

Хувилбарын цуваа нь хоёр баганаас бүрдэх ба зүүн багана нь хувилбарууд гэж нэрлэгддэг, (x) гэж тэмдэглэсэн хувьсах шинж чанарын утгуудыг агуулна, баруун баганад хувилбар бүр хэдэн удаа тохиолдож байгааг харуулсан үнэмлэхүй тоонуудыг агуулна. Энэ баганад байгаа үзүүлэлтүүдийг давтамж гэж нэрлэдэг ба (f) гэж тэмдэглэнэ.

Вариацын цувааг схемийн дагуу Хүснэгт 5.1 хэлбэрээр үзүүлж болно.

Хүснэгт 5.1

Вариацын цувралын төрөл

Баруун талын баганад нийт давтамжийн нийлбэрт хувь хүний ​​сонголтуудын давтамжийн эзлэх хувийг тодорхойлдог харьцангуй үзүүлэлтүүдийг ашиглаж болно. Эдгээр харьцангуй үзүүлэлтүүдийг давтамж гэж нэрлэдэг бөгөөд уламжлалт байдлаар , i.e. . Бүх давтамжийн нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Давтамжийг мөн хувиар илэрхийлж болох бөгөөд дараа нь тэдгээрийн нийлбэр нь 100% болно.

Өөр өөр шинж тэмдгүүд нь өөр өөр шинж чанартай байж болно. Зарим шинж чанаруудын хувилбаруудыг бүхэл тоогоор илэрхийлдэг, жишээлбэл, орон сууцны өрөөний тоо, хэвлэгдсэн номын тоо гэх мэт. Эдгээр тэмдгүүдийг тасалдсан эсвэл салангид гэж нэрлэдэг. Бусад шинж чанаруудын хувилбарууд нь төлөвлөсөн даалгаврыг биелүүлэх, цалин хөлс гэх мэт тодорхой хязгаар дотор ямар ч утгыг авч болно. Эдгээр шинж чанаруудыг тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Дискрет вариацын цуврал.Хэрэв вариацын цувралын хувилбаруудыг салангид хэмжигдэхүүн хэлбэрээр илэрхийлсэн бол ийм өөрчлөлтийн цувааг дискрет гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний гадаад төрхийг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.2:

Хүснэгт 5.2

Шалгалтын дүнгээр оюутнуудын хуваарилалт

Дискрет цуваа дахь тархалтын шинж чанарыг графикаар тархалтын полигон хэлбэрээр дүрсэлсэн, Зураг 5.1.

Цагаан будаа. 5.1. Шалгалтанд авсан дүнгээр оюутнуудын хуваарилалт.

Интервалын өөрчлөлтийн цуврал.Тасралтгүй шинж чанаруудын хувьд вариацын цувааг интервалаар бүтээдэг, өөрөөр хэлбэл. Тэдгээрийн шинж чанарын утгыг "эхээс ба хүртэл" интервал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ тохиолдолд ийм интервал дахь шинж чанарын хамгийн бага утгыг интервалын доод хязгаар, дээд хязгаарыг интервалын дээд хязгаар гэж нэрлэдэг.

Интервалын хэлбэлзлийн цуваа нь тасархай шинж чанарууд (дискрет) болон том мужид хэлбэлздэг шинж чанаруудын хувьд хоёуланд нь бүтээгддэг. Интервалын мөрүүд нь тэнцүү эсвэл тэгш бус интервалтай байж болно. Эдийн засгийн практикт ихэнх тэгш бус интервалуудыг аажмаар нэмэгдүүлж, бууруулж ашигладаг. Энэ хэрэгцээ нь ялангуяа шинж чанарын хэлбэлзэл жигд бус, том хязгаарт тохиолддог тохиолдолд үүсдэг.

Тэнцүү интервалтай интервалын цувааны төрлийг авч үзье, хүснэгт. 5.3:

Хүснэгт 5.3

Ажилчдыг үйлдвэрлэлээр нь хуваарилах

Интервалын тархалтын цувааг графикаар гистограмм хэлбэрээр дүрсэлсэн, Зураг 5.2.

Зураг 5.2. Ажилчдыг үйлдвэрлэлээр нь хуваарилах

Хуримтлагдсан (хуримтлагдсан) давтамж.Практикт түгээлтийн цуваа болгон хувиргах шаардлагатай байна хуримтлагдсан цуврал,хуримтлагдсан давтамжийн дагуу баригдсан. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та түгээлтийн цуврал өгөгдлийн шинжилгээг хөнгөвчлөх бүтцийн дундаж утгыг тодорхойлж болно.

Хуримтлагдсан давтамжийг эхний бүлгийн давтамж (эсвэл давтамж) дээр түгээлтийн цувралын дараагийн бүлгүүдийн эдгээр үзүүлэлтүүдийг дараалан нэмэх замаар тодорхойлно. Түгээлтийн цувааг харуулахын тулд хуримтлал ба огивуудыг ашигладаг. Тэдгээрийг бий болгохын тулд салангид шинж чанарын утгыг (эсвэл интервалын төгсгөлийг) абсцисса тэнхлэг дээр, давтамжийн нийлбэр дүнг (хуримтлал) ординатын тэнхлэг дээр тэмдэглэв, Зураг 5.3.

Цагаан будаа. 5.3. Үйлдвэрлэлээр ажилчдын хуримтлагдсан хуваарилалт

Хэрэв давтамж ба сонголтуудын хуваарь эсрэгээр байвал, i.e. абсцисса тэнхлэг нь хуримтлагдсан давтамжийг тусгаж, ордны тэнхлэг нь хувилбаруудын утгыг харуулдаг бол бүлгээс бүлэгт давтамжийн өөрчлөлтийг тодорхойлсон муруйг тархалтын огив гэж нэрлэнэ, Зураг 5.4.

Цагаан будаа. 5.4. Ажилчдыг үйлдвэрлэлээр хуваарилах Ogiva

Тэнцүү интервалтай вариацын цуваа нь статистикийн тархалтын цувралд тавигдах хамгийн чухал шаардлагуудын нэг бөгөөд цаг хугацаа, орон зайн харьцуулалтыг баталгаажуулдаг.

Түгээлтийн нягтрал.Гэсэн хэдий ч нэрлэсэн цувралын бие даасан тэгш бус интервалуудын давтамжийг шууд харьцуулах боломжгүй юм. Ийм тохиолдолд шаардлагатай харьцуулалтыг хангахын тулд тархалтын нягтыг тооцоолно, i.e. интервалын утгын нэгжид бүлэг тус бүрт хэдэн нэгж байгааг тодорхойлох.

Тэгш бус интервалтай вариацын цувралын тархалтын графикийг байгуулахдаа тэгш өнцөгтүүдийн өндрийг давтамжтай биш, харин харгалзах хэсэгт судалж буй шинж чанарын утгуудын тархалтын нягтын үзүүлэлтүүдтэй пропорциональ байдлаар тодорхойлно. интервалууд.

Вариацын цуваа, түүний график дүрслэлийг гаргах нь анхдагч өгөгдлийг боловсруулах эхний алхам бөгөөд судалж буй популяцид дүн шинжилгээ хийх эхний шат юм. Вариацын цувааны шинжилгээний дараагийн алхам бол цувралын шинж чанар гэж нэрлэгддэг үндсэн ерөнхий үзүүлэлтүүдийг тодорхойлох явдал юм. Эдгээр шинж чанарууд нь популяцийн нэгжүүдийн дундах шинж чанарын дундаж утгын талаархи ойлголтыг өгөх ёстой.

дундаж утга. Дундаж утга нь тухайн газар, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд хүн амын нэгжид ногдох ердийн түвшинг тусгаж, судалж буй популяцид судалж буй шинж чанарын ерөнхий шинж чанар юм.

Дундаж утгыг үргэлж нэрлэсэн бөгөөд хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанартай ижил хэмжээтэй байна.

Дундаж утгыг тооцоолохын өмнө чанарын хувьд нэгэн төрлийн бүлгүүдийг тодорхойлж, судалж буй популяцийн нэгжийг бүлэглэх шаардлагатай.

Нийт хүн амд тооцсон дундажийг нийт дундаж, бүлэг тус бүрийн хувьд бүлгийн дундаж гэж нэрлэдэг.

Дундаж хоёр төрөл байдаг: хүч (арифметик дундаж, гармоник дундаж, геометрийн дундаж, квадрат дундаж); бүтцийн (горим, медиан, квартил, дециль).

Тооцооллын дундажийг сонгох нь зорилгоос хамаарна.

Дундаж чадлын төрөл, тэдгээрийг тооцоолох арга.Цуглуулсан материалыг статистик боловсруулах практикт янз бүрийн асуудлууд гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэхэд янз бүрийн дундаж үзүүлэлтүүд шаардлагатай байдаг.

Математик статистик нь чадлын дундаж томъёоноос янз бүрийн дундажийг гаргаж авдаг.

дундаж утга хаана байна; x – бие даасан сонголтууд (онцлогын утгууд); z – илтгэгч (z = 1 – арифметик дундаж, z = 0 геометрийн дундаж, z = - 1 – гармоник дундаж, z = 2 – квадрат дундаж).

Гэхдээ тухайн тохиолдол бүрт ямар төрлийн дундажийг хэрэглэх вэ гэдэг асуудлыг судалж буй хүн амын тодорхой дүн шинжилгээгээр шийддэг.

Статистикийн дунджийн хамгийн түгээмэл төрөл бол Арифметик дундаж. Дундаж үзүүлэлтийн эзэлхүүнийг судалж буй статистикийн популяцийн бие даасан нэгжийн утгын нийлбэрээр тооцдог.

Эх өгөгдлийн шинж чанараас хамааран арифметик дундажийг янз бүрийн аргаар тодорхойлно.

Хэрэв өгөгдлийг бүлэглээгүй бол тооцооллыг энгийн дундаж томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ

Дискрет цуваа дахь арифметик дундажийг тооцоолох 3.4 томъёоны дагуу явагдана.

Интервалын цуваа дахь арифметик дундажийг тооцоолох.Бүлэг бүрийн шинж чанарын утгыг интервалын дунд гэж үздэг интервалын хэлбэлзлийн цувралд арифметик дундаж нь бүлэггүй өгөгдлөөр тооцоолсон дунджаас ялгаатай байж болно. Түүнчлэн, бүлгүүдийн интервал их байх тусам бүлэглээгүй өгөгдлөөс тооцоолсон дунджаас бүлэглэсэн өгөгдлөөр тооцсон дундажийн хазайлт их байх болно.

Интервалын хэлбэлзлийн цувралын дундажийг тооцоолохдоо шаардлагатай тооцоог хийхийн тулд интервалаас тэдгээрийн дунд цэг рүү шилжинэ. Дараа нь жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан дундажийг тооцоолно.

Арифметик дундажийн шинж чанарууд.Арифметик дундаж нь тооцооллыг хялбарчлах боломжийг олгодог зарим шинж чанартай байдаг тул тэдгээрийг авч үзье.

1. Тогтмол тоонуудын арифметик дундаж нь энэ тогтмол тоотой тэнцүү байна.

Хэрэв x = a. Дараа нь .

2. Хэрэв бүх сонголтуудын жинг пропорциональ байдлаар өөрчилвөл, i.e. ижил тоогоор ихсэх эсвэл буурах тохиолдолд шинэ цувралын арифметик дундаж өөрчлөгдөхгүй.

Хэрэв бүх f жинг k дахин бууруулсан бол .

3. Дунджаас хувь хүний ​​сонголтуудын эерэг ба сөрөг хазайлтын нийлбэрийг жингээр үржүүлснээр тэгтэй тэнцүү байна, i.e.

Хэрэв тийм бол. Эндээс.

Хэрэв бүх сонголтуудыг аль нэг тоогоор багасгаж эсвэл өсгөвөл шинэ цувралын арифметик дундаж нь ижил хэмжээгээр буурах эсвэл нэмэгдэх болно.

Бүх сонголтыг багасгацгаая xдээр а, өөрөөр хэлбэл x´ = x– а.

Дараа нь

Сонголтуудаас өмнө нь хассан тоог бууруулсан дундаж дээр нэмэх замаар анхны цувралын арифметик дундажийг гаргаж болно. а, өөрөөр хэлбэл .

5. Хэрэв бүх сонголтууд багассан эсвэл нэмэгдсэн бол кудаа, дараа нь шинэ цувралын арифметик дундаж нь ижил хэмжээгээр буурах эсвэл нэмэгдэх болно, i.e. В кнэг удаа.

Тэгээд байг .

Тиймээс, өөрөөр хэлбэл. анхны цувралын дундажийг олж авахын тулд шинэ цувралын арифметик дундажийг (багасгасан сонголттой) -аар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кнэг удаа.

Гармоник дундаж.Гармоник дундаж нь арифметик дундажийн эсрэг утга юм. Энэ нь статистик мэдээлэлд хүн амын хувийн хувилбаруудын давтамжийг агуулаагүй, харин тэдгээрийн бүтээгдэхүүн (M = xf) хэлбэрээр танилцуулагдсан тохиолдолд ашиглагддаг. Гармоник дундажийг 3.5 томъёог ашиглан тооцоолно

Гармоник дундажийн практик хэрэглээ нь зарим индексийг, ялангуяа үнийн индексийг тооцоолох явдал юм.

Геометрийн дундаж.Геометрийн дундаж утгыг ашиглахдаа шинж чанарын бие даасан утгууд нь дүрмээр бол динамикийн харьцангуй утгуудыг гинжин утгын хэлбэрээр, динамикийн цувралын түвшин бүрийн өмнөх түвшинтэй харьцуулсан харьцаагаар бүтээдэг. Дундаж нь дундаж өсөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

Геометрийн дундаж утгыг мөн шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудаас ижил зайтай утгыг тодорхойлоход ашигладаг. Жишээлбэл, даатгалын компани нь автомашины даатгалын үйлчилгээ үзүүлэх гэрээ байгуулдаг. Даатгалын тодорхой тохиолдлоос хамааран даатгалын төлбөр нь жилд 10,000-аас 100,000 доллар хүртэл байж болно. Даатгалын төлбөрийн дундаж хэмжээ ам.доллар байх юм.

Геометрийн дундаж нь z = 0 үед геометрийн прогресс хэлбэрээр харуулсан харьцааны дундаж буюу тархалтын цувралд хэрэглэгддэг хэмжигдэхүүн юм. Энэ дундаж нь туйлын ялгааг биш харин хоёрын харьцаанд анхаарлаа хандуулах үед ашиглахад тохиромжтой. тоо.

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна

шинж чанарын хувилбаруудыг дундажлаж хаана байна; - сонголтын бүтээгдэхүүн; е- сонголтуудын давтамж.

Жилийн дундаж өсөлтийн хурдыг тооцоолоход геометрийн дундажийг ашигладаг.

Дундаж дөрвөлжин.Дундаж квадрат томьёог тархалтын цуваа дахь арифметик дундажийн эргэн тойронд шинж чанарын бие даасан утгуудын хэлбэлзлийн түвшинг хэмжихэд ашигладаг. Тиймээс вариацын үзүүлэлтүүдийг тооцоолохдоо дундажийг арифметик дунджаас шинж чанарын бие даасан утгуудын квадрат хазайлтаас тооцдог.

Үндсэн дундаж квадрат утгыг томъёогоор тооцоолно

Эдийн засгийн судалгаанд өөрчлөгдсөн дундаж квадратыг тархалт, стандарт хазайлт зэрэг шинж чанарын өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүдийг тооцоолоход өргөн ашигладаг.

Олонхийн засаглал.Дундаж чадлын хооронд дараахь хамаарал байна - экспонент том байх тусам дундаж утга их байх болно, Хүснэгт 5.4.

Хүснэгт 5.4

Дундаж хоорондын хамаарал

Энэ харилцааг мажоритын дүрэм гэж нэрлэдэг.

Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд.Хүн амын бүтцийг тодорхойлохын тулд бүтцийн дундаж гэж нэрлэж болох тусгай үзүүлэлтүүдийг ашигладаг. Эдгээр үзүүлэлтүүдэд горим, медиан, квартил, дециль орно.

Загвар.Горим (Mo) нь популяцийн нэгжийн дунд хамгийн их тохиолддог шинж чанарын утга юм. Горим нь онолын тархалтын муруйн хамгийн дээд цэгт тохирох шинж чанарын утга юм.

Загварыг хэрэглэгчийн эрэлт хэрэгцээг судлах (өргөн эрэлттэй байгаа хувцас, гутлын хэмжээг тодорхойлох), үнийг бүртгэх үед арилжааны практикт өргөн ашигладаг. Нийтдээ хэд хэдэн мод байж болно.

Дискрет цуваа дахь горимын тооцоо.Дискрет цувралд горим нь хамгийн өндөр давтамжтай хувилбар юм. Дискрет цуваа дахь горимыг олох талаар авч үзье.

Интервалын цуваа дахь горимын тооцоо.Интервалын вариацын цувралд горимыг ойролцоогоор модаль интервалын төв хувилбар гэж үздэг, i.e. хамгийн их давтамжтай (давтамж) интервал. Интервал дотор та горим болох шинж чанарын утгыг олох хэрэгтэй. Интервалын цувралын хувьд горимыг томъёогоор тодорхойлно

модаль интервалын доод хязгаар хаана байна; - модаль интервалын утга; – модаль интервалд тохирох давтамж; – модаль интервалаас өмнөх давтамж; – модалын дараах интервалын давтамж.

Медиан.Медиан () нь эрэмбэлсэн цувралын дунд нэгжийн шинж чанарын утга юм. Эрэмбэлэгдсэн цуврал нь шинж чанарын утгуудыг өсөх эсвэл буурах дарааллаар бичсэн цуврал юм. Эсвэл медиан нь эрэмбэлэгдсэн вариацын цувралын тоог хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах утга юм: нэг хэсэг нь дундаж хувилбараас бага хувьсах шинж чанарын утгатай, нөгөө хэсэг нь илүү их утгатай байна.

Медианыг олохын тулд эхлээд түүний дарааллын тоог тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд нэгжийн тоо сондгой байвал бүх давтамжийн нийлбэр дээр нэгийг нэмж, бүх зүйлийг хоёр хуваана. Тэгш тооны нэгжтэй бол медианыг нэгжийн шинж чанарын утгыг олдог бөгөөд серийн дугаар нь давтамжийн нийт нийлбэрийг хоёрт хуваасанаар тодорхойлогддог. Медианы серийн дугаарыг мэдсэнээр хуримтлагдсан давтамжийг ашиглан түүний утгыг олоход хялбар байдаг.

Дискрет цуваа дахь медианыг тооцоолох.Түүвэр судалгаагаар гэр бүлийг хүүхдийн тоогоор хуваарилах мэдээллийг хүснэгтээр авсан болно. 5.5. Медианыг тодорхойлохын тулд эхлээд түүний дарааллын тоог тодорхойлно

Эдгээр гэр бүлд хүүхдийн тоо 2-той тэнцүү тул = 2. Тиймээс гэр бүлийн 50% -д хүүхдийн тоо 2-оос хэтрэхгүй байна.

– медиан интервалаас өмнөх хуримтлагдсан давтамж;

Нэг талаас, энэ нь маш эерэг шинж чанартай, учир нь энэ тохиолдолд судалж буй хүн амын бүх нэгжид нөлөөлж буй бүх шалтгааны үр нөлөөг харгалзан үзнэ. Нөгөөтэйгүүр, санамсаргүй байдлаар эх сурвалж мэдээлэлд оруулсан нэг ажиглалт нь судалж буй популяцид (ялангуяа богино цуврал) судалж буй шинж чанарын хөгжлийн түвшний талаархи санааг ихээхэн гажуудуулж болзошгүй юм.

Квартил ба дециль.Вариацын цуваа дахь медианыг олохтой адилтгаж эрэмбэлсэн цувралын аль ч нэгжийн шинж чанарын утгыг олох боломжтой. Тиймээс, ялангуяа цувралыг 4 тэнцүү хэсэг, 10 гэх мэт хуваах нэгжийн шинж чанарын утгыг олох боломжтой.

Квартил.Эрэмбэлэгдсэн цувралыг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хуваах хувилбаруудыг квартил гэж нэрлэдэг.

Энэ тохиолдолд тэд дараахь зүйлийг ялгадаг: доод (эсвэл эхний) квартиль (Q1) - эрэмбэлсэн цувралын нэгжийн шинж чанарын утга, хүн амыг ¼-ээс ¾ ба дээд (эсвэл гуравны) квартиль ( Q3) - эрэмбэлсэн цувралын нэгжийн шинж чанарын утга, хүн амыг ¾-аас ¼ харьцаагаар хуваана.

Q1 ба Q3-ыг агуулсан интервалууд нь хуримтлагдсан давтамж (эсвэл давтамж) -аар тодорхойлогддог.

Дециль.Квартилуудаас гадна децилийг тооцдог - эрэмбэлсэн цувралыг 10 тэнцүү хэсэгт хуваах сонголтууд.

Тэдгээрийг D тэмдэглэсэн бөгөөд эхний аравтын D1 нь цувралыг 1/10 ба 9/10 харьцаагаар хуваадаг, хоёр дахь D2 - 2/10 ба 8/10 гэх мэт. Тэдгээрийг медиан ба квартилуудтай ижил схемийн дагуу тооцоолно.

Медиан, квартил, дециль хоёулаа эрэмбэлэгдсэн цувралд тодорхой дарааллын байр эзэлдэг хувилбар гэж ойлгогддог ординаль статистик гэж нэрлэгддэг статистикт хамаарна.

Вариацын цуврал - энэ нь аливаа тоон шинж чанарын утгын дагуу судалж буй үзэгдлийн тархалтыг харуулсан статистикийн цуврал юм. Жишээлбэл, өвчтөнүүд нас, эмчилгээний үргэлжлэх хугацаа, нярайн жин гэх мэт.

Сонголт - Бүлэглэлтийг хийж буй шинж чанарын хувь хүний ​​утгууд (тэдгээр В ) .

Давтамж - тодорхой сонголт хэр олон удаа тохиолддогийг харуулсан тоо (тэмдэглэсэн П ) . Бүх давтамжийн нийлбэрийг харуулна нийт тоо ажиглалт болон томилогдсон n . Вариацын цувралын хамгийн том ба хамгийн жижиг хувилбарын ялгааг нэрлэнэ далайц эсвэл далайц .

Вариацын цувралууд байдаг:

1. Тасралтгүй (дискрет) ба тасралтгүй.

Бүлэглэх шинж чанарыг бутархай утгуудаар (жин, өндөр гэх мэт) илэрхийлэх боломжтой бол цувралыг тасралтгүй, бүлэглэх шинж чанарыг зөвхөн бүхэл тоогоор (тахир дутуу болсон өдөр, импульсийн цохилтын тоо гэх мэт) илэрхийлсэн бол тасалдсан гэж үзнэ. .

2. Энгийн бөгөөд тэнцвэртэй.

Энгийн вариацын цуваа нь хувьсах шинж чанарын тоон утга нэг удаа тохиолддог цуврал юм. Жинжсэн вариацын цувралд янз бүрийн шинж чанарын тоон утгыг тодорхой давтамжтайгаар давтдаг.

3. Бүлэглэсэн (интервал) ба бүлэггүй.

Бүлэглэсэн цуврал нь тодорхой интервал дотор хэмжээгээр нь нэгтгэсэн бүлгүүдэд нэгтгэсэн сонголтуудтай. Бүлэглэгдээгүй цувралд сонголт бүр нь тодорхой давтамжтай тохирдог.

4. Тэгш ба сондгой.

Тэгш хэлбэлзлийн цувралд давтамжийн нийлбэр буюу ажиглалтын нийт тоог тэгш тоогоор, сондгойгоор - сондгой тоогоор илэрхийлнэ.

5. Симметрик ба тэгш бус.

Тэгш хэмтэй вариацын цувралд бүх төрлийн дундаж утгууд давхцдаг эсвэл маш ойрхон байдаг (горим, медиан, арифметик дундаж).

Судалж буй үзэгдлийн шинж чанар, статистикийн судалгааны тодорхой даалгавар, зорилго, түүнчлэн эх материалын агуулга, ариун цэврийн статистик зэргээс хамааран Дараах төрлийн дундаж үзүүлэлтүүдийг ашигладаг.

бүтцийн хэрэгсэл (горим, медиан);

Арифметик дундаж;

гармоник дундаж;

геометрийн дундаж;

дундаж дэвшилттэй.

Загвар (М О ) - судалж буй популяцид илүү олон удаа илэрдэг өөр өөр шинж чанарын үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл. хамгийн өндөр давтамжтай тохирох сонголт. Тэд үүнийг ямар ч тооцоололгүйгээр вариацын цувралын бүтцээс шууд олдог. Энэ нь ихэвчлэн арифметик дундажтай маш ойрхон утга бөгөөд практикт маш тохиромжтой байдаг.

Медиан (М д ) - вариацын цувралыг (эргүүлсэн, өөрөөр хэлбэл сонголтын утгыг өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулсан) хоёр тэнцүү хагас болгон хуваах. Дундаж утгыг давтамжийн дараалсан нийлбэрээр олж авсан сондгой цувралыг ашиглан тооцдог. Хэрэв давтамжийн нийлбэр нь тэгш тоотой тохирч байвал хоёр дундаж утгын арифметик дундажийг уламжлалт байдлаар медианаар авна.

Нээлттэй популяцийн хувьд горим ба медианыг ашигладаг, i.e. хамгийн том эсвэл хамгийн жижиг сонголтууд нь тодорхой тоон шинж чанартай байдаггүй (жишээлбэл, 15 нас хүртэл, 50 ба түүнээс дээш настай гэх мэт). Энэ тохиолдолд арифметик дундажийг (параметрийн шинж чанар) тооцоолох боломжгүй.

Дундаж Би арифметик - хамгийн нийтлэг үнэ цэнэ. Арифметик дундажийг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг М.

Энгийн бөгөөд жигнэсэн арифметик дундажууд байдаг.

Энгийн арифметик дундаж тооцоолсон:

- хүн амыг нэгж бүрийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийн энгийн жагсаалтаар төлөөлүүлсэн тохиолдолд;

- сонголт бүрийн давталтын тоог тодорхойлох боломжгүй бол;

- сонголт бүрийн давталтын тоо хоорондоо ойрхон байвал.

Энгийн арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энд V - шинж чанарын бие даасан утгууд; n - хувь хүний ​​утгын тоо;
- нийлбэрийн тэмдэг.

Тиймээс энгийн дундаж нь хувилбаруудын нийлбэрийг ажиглалтын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Жишээ: уушгины хатгалгаатай 10 өвчтөний орондоо хэвтэх дундаж хугацааг тодорхойлох:

16 хоног - 1 өвчтөн; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

унтах өдөр

Арифметик дундаж жигнэсэн шинж чанарын бие даасан утгууд давтагдах тохиолдолд тооцоолно. Үүнийг хоёр аргаар тооцоолж болно:

1. Томъёоны дагуу шууд (арифметик дундаж буюу шууд арга):

,

Энд P нь сонголт бүрийн ажиглалтын давтамж (тохиолдлын тоо) юм.

Тиймээс жигнэсэн арифметик дундаж нь хувилбар ба давтамжийн үржвэрийн нийлбэрийг ажиглалтын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

2. Нөхцөлт дунджаас хазайлтыг тооцоолох замаар (моментийн аргыг ашиглан).

Жигнэсэн арифметик дундажийг тооцоолох үндэс нь:

- тоон үзүүлэлтийн хувилбаруудын дагуу материалыг бүлэглэх;

— бүх сонголтуудыг атрибутын утгын өсөх эсвэл буурах дарааллаар (зэрэглэсэн цуврал) байрлуулна.

Моментийн аргыг ашиглан тооцоолохын тулд урьдчилсан нөхцөл нь бүх интервалын ижил хэмжээтэй байх ёстой.

Моментийн аргыг ашиглан арифметик дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

,

Энд M o бол нөхцөлт дундаж бөгөөд үүнийг ихэвчлэн хамгийн өндөр давтамжтай харгалзах шинж чанарын утга гэж авдаг, i.e. илүү олон удаа давтагддаг (Загвар).

i нь интервалын утга юм.

a нь дунджийн нөхцлөөс нөхцөлт хазайлт бөгөөд энэ нь том нөхцөлт дундажийн хувилбаруудын хувьд + тэмдэгтэй, тэмдэгтэй (–1, –2 гэх мэт) тоонуудын дараалсан цуваа (1, 2 гэх мэт) юм. .) уламжлалт дунджаас доогуур байгаа хувилбаруудын хувьд. Нөхцөлт дундаж гэж авсан хувилбараас нөхцөлт хазайлт 0 байна.

P - давтамж.

- ажиглалтын нийт тоо буюу n.

Жишээ: 8 настай хөвгүүдийн дундаж өндрийг шууд тодорхойлно (Хүснэгт 1).

Хүснэгт 1

Төв сонголт - интервалын дунд хэсэг нь хоёр хөршийн бүлгийн анхны утгуудын хагас нийлбэрээр тодорхойлогддог.

;
гэх мэт.

Бүтээгдэхүүний VP нь төв хувилбаруудыг давтамжаар үржүүлснээр олддог
;
гэх мэт. Дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмж, олж авна
, үүнийг ажиглалтын тоонд (100) хувааж, жигнэсэн арифметик дундажийг гаргана.

см.

Дараах 2-р хүснэгтийг эмхэтгэсэн моментийн аргыг ашиглан бид ижил асуудлыг шийдэх болно.

Хүснэгт 2

n=100

Бид 122-ыг M o гэж авдаг, учир нь 100 ажиглалтаас 33 хүн 122 см өндөртэй байжээ. Дээрх дагуу нөхцөлт дунджаас нөхцөлт хазайлтыг (a) олно. Дараа нь бид нөхцөлт хазайлтын үржвэрийг давтамжаар (aP) олж авч, олж авсан утгыг нэгтгэн дүгнэнэ (
). Үр дүн нь 17. Эцэст нь бид өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Өөр өөр шинж чанарыг судлахдаа зөвхөн дундаж утгыг тооцоолоход өөрийгөө хязгаарлаж болохгүй. Мөн судалж буй шинж чанаруудын олон янз байдлын түвшинг тодорхойлсон үзүүлэлтүүдийг тооцоолох шаардлагатай. Нэг буюу өөр тоон шинж чанарын утга нь статистикийн хүн амын бүх нэгжийн хувьд ижил биш юм.

Вариацын цувралын шинж чанар нь стандарт хазайлт ( ), энэ нь арифметик дундажтай харьцуулахад судлагдсан шинж чанаруудын тархалтыг (тархалтыг) харуулдаг, i.e. вариацын цувааны хувьсах чанарыг тодорхойлдог. Үүнийг дараах томъёогоор шууд тодорхойлж болно.

Стандарт хазайлт нь арифметик дундаж (V–M) 2-аас сонголт бүрийн хазайлтын квадратуудын үржвэрийн нийлбэрийг давтамжийн нийлбэрт хуваасан квадрат язгууртай тэнцүү байна.
).

Тооцооллын жишээ: эмнэлэгт өдөрт олгосон өвчний хуудасны дундаж тоог тодорхойлно (Хүснэгт 3).

Хүснэгт 3

;

Хуваарьт ажиглалтын тоо 30-аас бага бол энэ нь шаардлагатай
нэгийг хасах.

Хэрэв цувралыг тэнцүү интервалтайгаар бүлэглэсэн бол моментийн аргыг ашиглан стандарт хазайлтыг тодорхойлж болно.

,

энд i нь интервалын утга;

- нөхцөлт дунджаас нөхцөлт хазайлт;

P - харгалзах интервалуудын давтамжийн хувилбар;

- ажиглалтын нийт тоо.

Тооцооллын жишээ : Өвчтөнүүдийн эмчилгээний орон дээр байх дундаж хугацааг тодорхойл (хүснэгтийн аргыг ашиглан) (Хүснэгт 4):

Хүснэгт 4

;

Бельгийн статистикч А.Кветлет масс үзэгдлийн хэлбэлзэл нь К.Гаусс, П.Лаплас нарын нэгэн зэрэг бараг нэгэн зэрэг нээсэн алдааны тархалтын хуульд захирагддаг болохыг олж мэдэв. Энэ тархалтыг илэрхийлэх муруй нь хонх хэлбэртэй байна. Хэвийн тархалтын хуулийн дагуу шинж чанарын бие даасан утгуудын хэлбэлзэл нь хязгаарт багтдаг
, энэ нь хүн амын нийт нэгжийн 99.73%-ийг хамардаг.

Арифметик дундаж дээр 2-ыг нэмээд хасах юм бол гэж тооцоолсон , дараа нь вариацын цувралын бүх гишүүдийн 95.45% нь олж авсан утгуудын дотор байгаа бөгөөд эцэст нь арифметик дундаж дээр 1-ийг нэмж, хасвал , дараа нь энэ вариацын цувралын бүх гишүүдийн 68.27% нь олж авсан утгын хүрээнд байх болно. Анагаах ухаанд цар хүрээтэй
1хэм хэмжээний тухай ойлголттой холбоотой. Арифметик дунджаас хазайсан нь 1-ээс их байна , гэхдээ 2-оос бага хэвийн бус, хазайлт нь 2-оос их байна хэвийн бус (хэвийн хэмжээнээс дээш эсвэл доогуур).

Эрүүл мэндийн статистикт гурван сигма дүрмийг бие бялдрын хөгжлийг судлах, эрүүл мэндийн байгууллагуудын үйл ажиллагааг үнэлэх, хүн амын эрүүл мэндийг үнэлэхэд ашигладаг. Стандартыг тодорхойлохдоо үндэсний эдийн засагт ижил дүрмийг өргөн ашигладаг.

Тиймээс стандарт хазайлт нь дараахь зүйлийг агуулна.

- вариацын цувралын тархалтын хэмжилт;

- өөрчлөлтийн коэффициентээр тодорхойлогддог шинж чанаруудын олон янз байдлын зэрэглэлийн шинж чанарууд:

Хэрэв хэлбэлзлийн коэффициент 20% -иас их байвал - хүчтэй олон янз байдал, 20-10% - дундаж, 10% -иас бага - шинж чанарын сул олон янз байдал. Вариацын коэффициент нь тодорхой хэмжээгээр арифметик дундажийн найдвартай байдлын шалгуур болдог.