Дундаж статистик утгын томъёо. Дундаж арга, онол

Математик, статистикийн чиглэлээр дундажарифметик (эсвэл амархан дундаж) тоонуудын багц нь тухайн олонлогийн бүх тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваасан юм. Арифметик дундаж нь дунджийн ялангуяа ерөнхий бөгөөд хамгийн түгээмэл дүрслэл юм.

Танд хэрэгтэй болно

  • Математикийн мэдлэг.

Заавар

1. Дөрвөн тооны багцыг өгье. Нээх хэрэгтэй дундаж утга учирэнэ иж бүрдэл. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд эдгээр бүх тоонуудын нийлбэрийг олно. Эдгээр тоонууд нь 1, 3, 8, 7 байж болно. Тэдний нийлбэр нь S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19-тэй тэнцүү байна. Тоонуудын багц нь ижил тэмдгийн тооноос бүрдэх ёстой, эс тэгвээс дундаж утгыг тооцоолоход утга учир нь алдсан байна.

2. Дундаж утга учиртооны багц нь S тоонуудын нийлбэрийг эдгээр тоонуудын тоонд хуваасантай тэнцүү байна. Энэ нь ийм болж байна дундаж утга учиртэнцүү: 19/4 = 4.75.

3. Тооны багцын хувьд зөвхөн төдийгүй илрүүлэх боломжтой дундажарифметик, гэхдээ дундажгеометрийн. Хэд хэдэн ердийн бодит тоонуудын геометрийн дундаж нь эдгээр тоонуудын аль нэгийг нь орлуулах боломжтой тоо бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн үржвэр өөрчлөгдөхгүй. Геометрийн дундаж G-ийг дараах томъёогоор хайна: тооны олонлогийн үржвэрийн N-р зэргийн үндэс, энд N нь олонлог дахь тооны тоо юм. Ижил тооны багцыг харцгаая: 1, 3, 8, 7. Тэднийг олцгооё. дундажгеометрийн. Үүнийг хийхийн тулд бид бүтээгдэхүүнийг тооцоолно: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Одоо 168 тооноос та 4-р зэргийн үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Энэ замаар дундажтооны геометрийн багц нь 3.61 байна.

Дундажгеометрийн дундаж нь арифметик дунджаас бага ашиглагддаг боловч цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг үзүүлэлтүүдийн дундаж утгыг (хувь хүний ​​цалин, сурлагын гүйцэтгэлийн динамик гэх мэт) тооцоолоход тустай байж болно.

Танд хэрэгтэй болно

  • Инженерийн тооцоолуур

Заавар

1. Цуврал тоонуудын геометрийн дундажийг олохын тулд эхлээд эдгээр бүх тоог үржүүлэх хэрэгтэй. 12, 3, 6, 9, 4 гэсэн таван үзүүлэлтийн багцыг өгсөн гэж бодъё. Эдгээр бүх тоог үржүүлье: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Одоо гарсан тооноос цувралын элементийн тоотой тэнцүү зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах шаардлагатай. Манай тохиолдолд 7776 тооноос инженерийн тооцоолуур ашиглан тав дахь үндсийг гаргаж авах шаардлагатай болно. Энэ үйлдлийн дараа олж авсан дугаар байна Энэ тохиолдолд 6 дугаар нь геометрийн дундаж болно анхны бүлэгтоо.

3. Хэрэв танд инженерийн тооцоолуур байхгүй бол CPGEOM функцын тусламжтайгаар цуврал тоонуудын геометрийн дундажийг тооцоолж болно. Excel програмэсвэл геометрийн дундаж утгыг тооцоолоход зориудаар бэлтгэсэн онлайн тооны машинуудын аль нэгний тусламжтайгаар.

Анхаар!
Хэрэв та 2 тоо тус бүрийн геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бол инженерийн тооцоолуур хэрэггүй: 2-р зэргийн үндсийг гарга ( Квадрат язгуур) аль ч тооноос хамгийн энгийн тооны машин ашиглан зөвшөөрнө.

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Арифметик дунджаас ялгаатай нь геометрийн дундаж нь судлагдсан үзүүлэлтүүдийн бие даасан утгуудын хоорондох асар их хазайлт, хэлбэлзэлд тийм ч хүчтэй нөлөөлдөггүй.

Дундажутга нь тоонуудын багцын нэг юм. Энэ тоонуудын хамгийн том ба хамгийн бага утгуудаар тодорхойлсон мужаас гадуур байж болохгүй тоог илэрхийлнэ. Дундаж арифметик утга- ялангуяа түгээмэл хэрэглэгддэг дундаж үзүүлэлтүүд.

Заавар

1. Багц дахь бүх тоог нэмээд гишүүний тоонд хувааж арифметик дундажийг гарга. Тооцооллын тодорхой нөхцлөөс хамааран аль ч тоог багцын утгын тоонд хувааж, нийт дүнг нэгтгэх нь заримдаа хялбар байдаг.

2. Хэрэв толгой дээрээ арифметик дундажийг тооцоолох боломжгүй бол Windows үйлдлийн системд багтсан тооцоолуур ашиглана уу. Үүнийг програмыг эхлүүлэх харилцах цонхны тусламжтайгаар нээж болно. Үүнийг хийхийн тулд "шатаах товчлуурууд" WIN + R товчийг дарж эсвэл "Эхлүүлэх" товчийг дараад үндсэн цэснээс "Ажиллуулах" командыг сонгоно уу. Үүний дараа calc оруулах талбарт бичээд гар дээрх Enter товчийг дарах эсвэл "OK" товчийг дарна уу. Үүнтэй ижил зүйлийг үндсэн цэсээр хийж болно - үүнийг нээгээд "Бүх програмууд" хэсэг болон "Ердийн" сегментүүд рүү очоод "Тооцоолуур" мөрийг сонгоно уу.

3. Багц дахь бүх тоонуудыг дараа нь гар дээрх Plus товчийг дарж (сүүлийнхээс гадна) эсвэл тооцоолуурын интерфейс дээрх харгалзах товчийг дарж алхам алхмаар оруулна уу. Гараас болон холбогдох интерфейсийн товчлуур дээр дарж тоо оруулахыг зөвшөөрдөг.

4. Сүүлийн тохируулсан утгыг оруулсны дараа ташуу зураас товчийг дар эсвэл тооны машины интерфейс дээрх энэ дүрс дээр товшоод дараалсан тооны тоог бичнэ үү. Дараа нь тэнцүү тэмдгийг дарахад тооны машин нь арифметик дундажийг тооцоолж харуулах болно.

5. Үүнтэй ижил зорилгоор хүснэгт засварлагчийг ашиглахыг зөвшөөрнө Microsoft Excel. Энэ тохиолдолд засварлагчийг эхлүүлж, тоонуудын дарааллын бүх утгыг зэргэлдээх нүднүүдэд оруулна уу. Хэрэв та бүхэл тоог оруулсны дараа Enter товч эсвэл доош эсвэл баруун сумыг дарвал засварлагч өөрөө оролтын фокусыг зэргэлдээх нүд рүү шилжүүлнэ.

6. Оруулсан бүх утгыг сонгоод засварлагчийн цонхны зүүн доод буланд (статус мөрөнд) сонгосон нүднүүдийн арифметик дундажийг харах болно.

7. Хэрэв та арифметик дундажийг харахыг хүсвэл хамгийн сүүлд оруулсан тооны хажууд байгаа нүдэн дээр дарна уу. "Үндсэн" таб дээрх "Засварлах" бүлгийн командын Грек үсгийн сигма (Σ) дүрс бүхий унадаг жагсаалтыг өргөжүүлнэ үү. мөрийг сонгоно уу " Дундаж' гэж бичээд редактор буулгана шаардлагатай томъёосонгосон нүдэнд арифметик дундаж утгыг тооцоолох. Enter товчийг дарснаар утгыг тооцоолох болно.

Арифметик дундаж нь математик, статистикийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг төвлөрсөн хандлагын хэмжүүрүүдийн нэг юм. Хэд хэдэн утгын арифметик дундажийг олох нь маш хялбар боловч ажил бүр өөрийн гэсэн нюанстай байдаг бөгөөд үүнийг дуусгахын тулд мэдэх хэрэгтэй. зөв тооцоололанхдагч шаардлагатай.

Арифметик дундаж нь юу вэ

Арифметик дундаж нь тоонуудын эхний массив бүрийн дундаж утгыг тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой тооны багцаас бүх элементийн хувьд түгээмэл утгатай утгыг сонгосон бөгөөд математикийн харьцуулалт нь бүх элементүүдтэй ойролцоогоор тэнцүү байна. Санхүү, статистикийн тайланг бүрдүүлэх эсвэл ижил төстэй ур чадварын тоон үр дүнг тооцоолохдоо арифметик дундажийг ашиглах нь дээр.

Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ

Тоонуудын массивын арифметик дундажийг хайх нь эдгээр утгуудын алгебрийн нийлбэрийг тодорхойлохоос эхлэх ёстой. Жишээлбэл, массив нь 23, 43, 10, 74, 34 тоонуудыг агуулж байвал тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь 184 байх болно. Бичих үед арифметик дундажийг үсгээр тэмдэглэдэг үү? (mu) эсвэл x (зураастай x). Дараа нь алгебрийн нийлбэрийг массив дахь тоонуудын тоонд хуваах хэрэгтэй. Энэ жишээнд таван тоо байсан тул арифметик дундаж нь 184/5, 36.8 болно.

Сөрөг тоотой ажиллах онцлог

Хэрэв массив нь сөрөг тоонуудыг агуулж байвал арифметик дундажийг ижил төстэй алгоритм ашиглан олно. Зөвхөн програмчлалын орчинд тооцоолох эсвэл даалгаварт нэмэлт өгөгдөл байгаа тохиолдолд л ялгаа бий. Эдгээр тохиолдолд тоонуудын арифметик дундажийг олох янз бүрийн шинж тэмдэггурван үе шат хүртэл буцалгана: 1. Ерөнхий арифметик дундажийг стандарт аргаар олох; 2. Сөрөг тооны арифметик дундажийг олох.3. Эерэг тооны арифметик дундажийг тооцоолох.Аливаа үйлдлийн үр дүнг таслалаар тусгаарлан бичнэ.

Натурал ба аравтын бутархай

Хэрэв тоонуудын массив гарч ирвэл аравтын бутархай, шийдэл нь бүхэл тооны арифметик дундажийг тооцоолох аргын дагуу гардаг боловч үр дүнгийн нарийвчлалын талаархи бодлогын шаардлагын дагуу нийлбэрийг багасгадаг.Натурал бутархайтай ажиллахдаа тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах, массив дахь тооны тоогоор үржүүлсэн нэг. Үр дүнгийн тоологч нь анхны бутархай элементүүдийн бууруулсан тоонуудын нийлбэр байх болно.

Тоонуудын геометрийн дундаж нь зөвхөн тоонуудын үнэмлэхүй утгаас гадна тэдгээрийн тооноос хамаарна. Геометрийн дундаж ба дундажийг хооронд нь андуурч болохгүй арифметик тоо, тэд өөр өөр арга зүй дээр байгаа нь. Геометрийн дундаж нь арифметик дунджаас бага буюу тэнцүү байна.

Танд хэрэгтэй болно

  • Инженерийн тооцоолуур.

Заавар

1. Ерөнхий тохиолдолд тоонуудын геометрийн дундажийг эдгээр тоонуудыг үржүүлж, тэдгээрээс тоонуудын тоонд тохирох зэрэглэлийн язгуурыг гарган авах замаар олдгийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та таван тооны геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бол бүтээгдэхүүнээс тав дахь зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах шаардлагатай болно гэж хэлээрэй.

2. 2 тооны геометрийн дундажийг олохын тулд үндсэн дүрмийг ашиглана уу. Тэдний бүтээгдэхүүнийг олж, дараа нь язгуурын зэрэгтэй тохирч байгаа тоо нь хоёр байхаас квадрат язгуурыг гаргаж ав. 16 ба 4 тоонуудын геометрийн дундажийг олохын тулд тэдгээрийн үржвэр 16 4=64-ийг олно гэж бодъё. Гарсан тооноос квадрат язгуурыг гаргана уу? 64 = 8. Энэ нь хүссэн үнэ цэнэ байх болно. Эдгээр 2 тооны арифметик дундаж нь илүү том бөгөөд 10-тай тэнцэнэ гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв үндсийг бүрэн аваагүй бол нийлбэрийг хүссэн дарааллаар нь дугуйлна уу.

3. 2-оос дээш тооны геометрийн дундажийг олохын тулд үндсэн дүрмийг ашиглана уу. Үүнийг хийхийн тулд геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бүх тооны үржвэрийг ол. Үүссэн бүтээгдэхүүнээс тооны тоотой тэнцүү зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авна. 2, 4, 64 тоонуудын геометрийн дундажийг олохын тулд тэдгээрийн үржвэрийг олоорой гэж бодъё. 2 4 64=512. Бүтээгдэхүүнээс гуравдугаар зэргийн үндсийг гаргаж авсан 3 тооны геометрийн дундажийн нийлбэрийг олох шаардлагатай байна. Үүнийг амаар хийхэд хэцүү байдаг тул инженерийн тооцоолуур ашиглана уу. Үүнийг хийхийн тулд "x^y" товчлуур байна. 512 дугаарыг залгаад “x^y” товчийг дараад 3 дугаарыг залгаад “1/x” товчийг дарж 1/3 утгыг олохын тулд “=” товчийг дарна уу. Бид 512-ыг 1/3-ийн түвшинд өсгөсний үр дүнг авдаг бөгөөд энэ нь гуравдугаар зэргийн үндэстэй тохирч байна. 512^1/3=8 авна. Энэ нь 2.4 ба 64 тоонуудын геометрийн дундаж юм.

4. Инженерийн тооцоолуурын тусламжтайгаар геометрийн дундажийг өөр аргаар тодорхойлох боломжтой. Гар дээрх бүртгэлийн товчийг олоорой. Үүний дараа бүх тоонуудын логарифмыг авч, нийлбэрийг нь олоод тооны тоонд хуваана. Үүссэн тооноос антилогарифмийг авна. Энэ нь тоонуудын геометрийн дундаж болно. Ижил тооны 2, 4, 64-ийн геометрийн дундажийг олохын тулд тооцоолуур дээр хэд хэдэн үйлдлийг хий гэж үзье. 2 дугаарыг залгаад бүртгэлийн товчийг дарж, "+" товчийг дарж, 4 дугаарыг залгаад лог болон "+" товчийг дахин дарж, 64 руу залгаад log болон "=" товчийг дарна уу. Үр дүн нь тоо байх болно нийлбэртэй тэнцүү байна 2, 4, 64 тоонуудын аравтын бутархай логарифмууд. Энэ нь геометрийн дунджийг хайж буй тоонуудын тоо учраас гарсан тоог 3-т хуваа. Нийт дүнгээс бүртгэлийн товчийг сэлгэн антилогарифмийг аваад ижил бүртгэлийн товчлуурыг ашиглана. Үр дүн нь 8 тоо байх болно, энэ нь хүссэн геометрийн дундаж юм.

Анхаар!
Дундаж утга нь багц дахь хамгийн том тооноос их, хамгийн бага тооноос бага байж болохгүй.

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Математик статистикт хэмжигдэхүүний дундаж утгыг математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.


Дундаж утга нь тухайн үзэгдлийн ердийн түвшинг тодорхойлдог ерөнхий үзүүлэлт юм. Энэ нь хүн амын нэгжтэй холбоотой шинж чанарын утгыг илэрхийлдэг.

Дундаж утга нь:

1) хүн амын хувьд шинж чанарын хамгийн ердийн утга;

2) хүн амын нэгжид тэнцүү хуваарилагдсан популяцийн тэмдгийн эзэлхүүн.

Дундаж утгыг тооцдог шинж чанарыг статистикт "дундаж" гэж нэрлэдэг.

Дундаж нь шинж чанарын тоон өөрчлөлтийг үргэлж ерөнхийд нь илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. дундаж утгуудад санамсаргүй нөхцөл байдлын улмаас хүн амын нэгж дэх хувь хүний ​​ялгааг арилгана. Дунджаас ялгаатай үнэмлэхүй үнэ цэнэХүн амын тусдаа нэгжийн шинж чанарын түвшинг тодорхойлдог , өөр өөр популяцид хамаарах нэгжийн шинж чанарын утгыг харьцуулахыг зөвшөөрдөггүй. Тиймээс, хэрэв та хоёр аж ахуйн нэгжийн ажилчдын цалин хөлсний түвшинг харьцуулах шаардлагатай бол өөр өөр аж ахуйн нэгжийн хоёр ажилтныг энэ үндэслэлээр харьцуулж болохгүй. Харьцуулахаар сонгосон ажилчдын цалин эдгээр аж ахуйн нэгжийн хувьд ердийн зүйл биш байж магадгүй юм. Хэрэв бид хэлэлцэж буй аж ахуйн нэгжүүдийн цалингийн сангийн хэмжээг харьцуулж үзвэл ажилчдын тоог харгалзан үздэггүй тул цалингийн түвшин хаана өндөр байгааг тодорхойлох боломжгүй юм. Эцсийн эцэст зөвхөн дундаж утгыг харьцуулж болно, i.e. Нэг компанид дунджаар хэдэн төгрөгийн цалин авдаг вэ? Тиймээс дундаж утгыг хүн амын ерөнхий шинж чанар болгон тооцоолох шаардлагатай байна.

Дундаж хийх явцад шинж чанарын түвшний нийт утга эсвэл түүний эцсийн утга (цаг хугацааны цувралын дундаж түвшинг тооцоолох тохиолдолд) өөрчлөгдөхгүй байх ёстой гэдгийг анхаарах нь чухал юм. Өөрөөр хэлбэл, дундаж утгыг тооцоолохдоо судалж буй шинж чанарын эзлэхүүнийг гажуудуулж болохгүй, дундажийг тооцоолохдоо хийсэн илэрхийлэл нь заавал утга учиртай байх ёстой.

Дундажийг тооцоолох нь нийтлэг нэг ерөнхий арга юм; дундаж үзүүлэлт нь судалж буй хүн амын бүх нэгжийн хувьд ердийн (ердийн) ерөнхий үзүүлэлтийг үгүйсгэдэг бөгөөд үүний зэрэгцээ тус тусдаа нэгжийн хоорондын ялгааг үл тоомсорлодог. Аливаа үзэгдэл, түүний хөгжилд боломж, хэрэгцээ хосолсон байдаг. Дундаж тооцоог хийхдээ олон тооны хуулийн үйл ажиллагааны улмаас санамсаргүй байдал нь бие биенээ үгүйсгэж, тэнцвэржүүлдэг тул тухайн үзэгдлийн ач холбогдолгүй шинж чанаруудаас, тодорхой тохиолдол бүрийн шинж чанарын тоон утгуудаас хийсвэрлэх боломжтой. Хувь хүний ​​үнэ цэнэ, хэлбэлзлийн санамсаргүй байдлаас хийсвэрлэх чадварт дундаж үзүүлэлтүүдийн шинжлэх ухааны үнэ цэнэ нь агрегатуудын ерөнхий шинж чанар юм.

Дундаж нь жинхэнэ утгыг илэрхийлэхийн тулд тодорхой зарчмуудыг харгалзан тооцоолох ёстой.

Дундаж хэмжигдэхүүнийг хэрэглэх ерөнхий зарчмуудыг авч үзье.

1. Чанарын хувьд нэг төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцийн хувьд дундажийг тогтооно.

2. Хангалттай олон тооны нэгжээс бүрдсэн хүн амын дунджийг тооцох хэрэгтэй.

3. Нэгж нь хэвийн, байгалийн байдалд байгаа хүн амын дунджийг тооцох ёстой.

4. Судалж буй үзүүлэлтийн эдийн засгийн агуулгыг харгалзан дундажийг тооцно.

5.2. Дундажуудын төрөл, тэдгээрийг тооцоолох арга

Одоо дундаж үзүүлэлтүүдийн төрлүүд, тэдгээрийн тооцооллын онцлог, хэрэглээний талбарыг авч үзье. Дундаж утгыг хоёр том ангилалд хуваадаг: эрчим хүчний дундаж, бүтцийн дундаж.

Эрчим хүчний хуулийн дундаж нь геометрийн дундаж, арифметик дундаж, дундаж квадрат зэрэг хамгийн алдартай бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг төрлүүдийг агуулдаг.

Мод ба медианыг бүтцийн дундаж гэж үзнэ.

Эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Эхний өгөгдлийн танилцуулгаас хамааран эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд нь энгийн бөгөөд жинтэй байж болно. энгийн дундажбүлэггүй өгөгдлөөр тооцоолсон бөгөөд дараах ерөнхий хэлбэртэй байна.

,

Энд X i нь дундаж үзүүлэлтийн хувилбар (утга) юм;

n нь сонголтуудын тоо юм.

Жинлэсэн дундажбүлэглэсэн өгөгдлөөр тооцогдох ба ерөнхий хэлбэртэй байна

,

Энд X i нь дундаж үзүүлэлтийн хувилбар (утга) эсвэл хувилбарыг хэмжих интервалын дундаж утга;

m нь дундаж утгын илтгэгч;

f i - энэ нь хэдэн удаа тохиолддогийг харуулсан давтамж i-р утгадундаж тэмдэг.

Хэрэв бид ижил анхны өгөгдлийн бүх төрлийн дундаж утгыг тооцоолох юм бол тэдгээрийн утга ижил биш байх болно. Энд дунджийн голчлолын дүрэм үйлчилнэ: экспонент m нэмэгдэх тусам харгалзах дундаж утга нэмэгдэнэ:

Статистикийн практикт бусад төрлийн жигнэсэн дундажийг бодвол арифметик ба гармоник жигнэсэн дундажийг ихэвчлэн ашигладаг.

Эрчим хүчний хэрэгслийн төрлүүд

Эрчим хүчний төрөл
дунд

Индекс
градус (м)

Тооцооллын томъёо

Энгийн

жинтэй

гармоник

Геометр

Арифметик

квадрат

куб

Гармоник дундаж нь илүү их байна нарийн төвөгтэй бүтэцарифметик дундажаас илүү. Гармоник дундажийг жин нь популяцийн нэгж биш, харин эдгээр нэгжийн бүтээгдэхүүн ба шинж чанарын утгууд (жишээ нь m = Xf) байх үед тооцоолоход ашигладаг. Гармоникийн дундаж зогсолтыг жишээлбэл, хоёр (гурав, дөрөв гэх мэт) аж ахуйн нэгж, ажилчдын нэг нэгж бүтээгдэхүүнд ногдох хөдөлмөр, цаг, материалын дундаж зардлыг тодорхойлох тохиолдолд ашиглах ёстой. ижил төрлийн бүтээгдэхүүн, ижил хэсэг, бүтээгдэхүүн.

Дундаж утгыг тооцоолох томъёонд тавигдах гол шаардлага нь тооцооллын бүх үе шат нь бодит үндэслэлтэй үндэслэлтэй байх явдал юм; Үүссэн дундаж утга нь бие даасан болон хураангуй үзүүлэлтүүдийн хоорондын холбоог таслахгүйгээр объект бүрийн шинж чанарын утгыг орлуулах ёстой. Өөрөөр хэлбэл дундаж утгыг дундаж үзүүлэлтийн бие даасан утга тус бүрийг дундаж утгаараа солих үед дундаж үзүүлэлттэй ямар нэгэн байдлаар холбогдсон эцсийн хураангуй үзүүлэлт өөрчлөгдөхгүй байхаар тооцох ёстой. Энэ үр дүнг гэж нэрлэдэг тодорхойлохУчир нь түүний хувь хүний ​​үнэ цэнэтэй харилцах шинж чанар нь дундаж утгыг тооцоолох тодорхой томъёог тодорхойлдог. Энэ дүрмийг геометрийн дундажийн жишээн дээр харуулъя.

Геометрийн дундаж томъёо

динамикийн бие даасан харьцангуй утгын дундаж утгыг тооцоолохдоо ихэвчлэн ашигладаг.

Динамикийн харьцангуй гинжин утгуудын дарааллыг өгсөн тохиолдолд геометрийн дундаж утгыг ашиглана, жишээлбэл, өмнөх оны түвшинтэй харьцуулахад үйлдвэрлэлийн өсөлт: i 1, i 2, i 3,..., i n. Үйлдвэрлэлийн хэмжээ нь тодорхой байна өнгөрсөн жилнь түүний анхны түвшин (q 0) болон жилийн дараа дараагийн өсөлтөөр тодорхойлогддог.

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

q n-ийг тодорхойлох үзүүлэлт болгон авч, динамик үзүүлэлтүүдийн бие даасан утгыг дундаж утгуудаар сольж, бид харьцаанд хүрнэ.

Эндээс



Дундажуудын тусгай төрөл болох бүтцийн дундажийг судлахад ашигладаг дотоод бүтэцшинж чанарын утгын тархалтын цуврал, түүнчлэн дундаж утгыг (эрх мэдлийн хуулийн төрөл) тооцоолоход, хэрэв байгаа статистик мэдээллийн дагуу тооцооллыг хийх боломжгүй бол (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд хоёуланд нь өгөгдөл байхгүй байсан бол). үйлдвэрлэлийн хэмжээ ба зардлын хэмжээ аж ахуйн нэгжүүдийн бүлгээр) .

Шалгуур үзүүлэлтийг ихэвчлэн бүтцийн дундаж болгон ашигладаг. загвар -хамгийн их давтагддаг онцлогийн утга - ба дундаж -түүний утгуудын эрэмбэлэгдсэн дарааллыг тооны хувьд тэнцүү хоёр хэсэгт хуваах шинж чанарын утга. Үүний үр дүнд популяцийн нэгжийн хагаст шинж чанарын утга нь дундаж түвшнээс хэтрэхгүй, нөгөө хагаст нь түүнээс багагүй байна.

Хэрэв судалж буй шинж чанар нь салангид утгатай бол горим ба медианыг тооцоолоход онцгой бэрхшээл гарахгүй. Хэрэв X шинж чанарын утгын талаархи өгөгдлийг түүний өөрчлөлтийн дараалсан интервал (интервалын цуваа) хэлбэрээр үзүүлбэл горим ба медианыг тооцоолох нь арай илүү төвөгтэй болно. Дундаж утга нь нийт популяцийг тэнцүү тооны хоёр хэсэгт хуваадаг тул энэ нь X онцлогийн интервалуудын аль нэгэнд төгсдөг. Интерполяцийг ашиглан медиан утгыг энэ медиан интервалаас олно:

,

Энд X Me нь дундаж интервалын доод хязгаар;

h Би бол түүний үнэ цэнэ;

(нийлбэр м) / 2 - хагас нийт тоодундаж утгыг (үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй утгаараа) тооцоолох томъёонд жинлэхэд ашигладаг ажиглалт эсвэл индикаторын эзлэхүүний тал хувь;

S Me-1 нь дундаж интервал эхлэхээс өмнө хуримтлагдсан ажиглалтын нийлбэр (эсвэл жинлэх шинж чанарын эзэлхүүн);

m Me нь ажиглалтын тоо буюу дундаж интервал дахь жинлэх шинж чанарын эзэлхүүн юм (мөн үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй утгаараа).

Интервалын цувралын өгөгдлийн дагуу шинж чанарын модаль утгыг тооцоолохдоо X шинж чанарын утгын давтамжийн үзүүлэлт нь дараахаас хамаардаг тул интервалууд ижил байх ёстойг анхаарах хэрэгтэй. Энэ нь интервалтай цувралын хувьд тэнцүү интервалтайгааргоримын утгыг дараах байдлаар тодорхойлно

,

Энд X Mo нь модаль интервалын доод утга;

m Mo нь ажиглалтын тоо буюу модаль интервал дахь жингийн шинж чанарын эзэлхүүн (үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй үзүүлэлтээр);

m Mo-1 - модалын өмнөх интервалын хувьд ижил;

m Mo+1 - модалын дараах интервалын хувьд ижил;

h - бүлгүүдийн шинж чанарын өөрчлөлтийн интервалын утга.

ДААЛГАВАР 1

Бүлэгт дараах мэдээлэл байна аж үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжүүдтайлант жилийн хувьд


аж ахуйн нэгжүүд

Үйлдвэрлэлийн хэмжээ, сая рубль

Ажилчдын дундаж тоо, хүн амын .

Ашиг, мянган рубль

197,7

10,0

13,5

22,8

1500

136,2

465,5

18,4

1412

97,6

296,2

12,6

1200

44,4

584,1

22,0

1485

146,0

480,0

119,0

1420

110,4

57805

21,6

1390

138,7

204,7

30,6

466,8

19,4

1375

111,8

292,2

113,6

1200

49,6

423,1

17,6

1365

105,8

192,6

30,7

360,5

14,0

1290

64,8

280,3

10,2

33,3

Дараах интервалтайгаар бүтээгдэхүүн солилцох аж ахуйн нэгжүүдийг бүлэглэх шаардлагатай.

    200 сая рубль хүртэл

    200-аас 400 сая рубль хүртэл

  1. 400-аас 600 сая рубль хүртэл

    Бүлэг тус бүрийн хувьд, нийт аж ахуйн нэгжийн тоо, үйлдвэрлэлийн хэмжээ, ажилчдын дундаж тоо, нэг ажилтанд ногдох дундаж гарцыг тодорхойлно. Бүлэглэлийн үр дүнг статистикийн хүснэгт хэлбэрээр үзүүлнэ. Дүгнэлт гаргах.

    ШИЙДЭЛ

    Бүтээгдэхүүн солилцох аж ахуйн нэгжүүдийн бүлэглэл, аж ахуйн нэгжийн тоо, үйлдвэрлэлийн хэмжээ, ажилчдын дундаж тоог энгийн дундажийн томъёогоор тооцоолъё. Бүлэглэл, тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав.

    Үйлдвэрлэлийн хэмжээгээр бүлэг


    аж ахуйн нэгжүүд

    Үйлдвэрлэлийн хэмжээ, сая рубль

    Үндсэн хөрөнгийн жилийн дундаж өртөг, сая рубль

    дундаж унтах

    ажилчдын шүүслэг тоо, хүн .

    Ашиг, мянган рубль

    Нэг ажилчинд ногдох дундаж гарц

    1 бүлэг

    200 сая рубль хүртэл

    1,8,12

    197,7

    204,7

    192,6

    10,0

    9,4

    8,8

    900

    817

    13,5

    30,6

    30,7

    28,2

    2567

    74,8

    0,23

    Дундаж түвшин

    198,3

    24,9

    2 бүлэг

    200-аас 400 сая рубль хүртэл

    4,10,13,14

    196,2

    292,2

    360,5

    280,3

    12,6

    113,6

    14,0

    10,2

    1200

    1200

    1290

    44,4

    49,6

    64,8

    33,3

    1129,2

    150,4

    4590

    192,1

    0,25

    Дундаж түвшин

    282,3

    37,6

    1530

    64,0

    3 бүлэг

    400-аас

    600 сая

    2,3,5,6,7,9,11

    592

    465,5

    584,1

    480,0

    578,5

    466,8

    423,1

    22,8

    18,4

    22,0

    119,0

    21,6

    19,4

    17,6

    1500

    1412

    1485

    1420

    1390

    1375

    1365

    136,2

    97,6

    146,0

    110,4

    138,7

    111,8

    105,8

    3590

    240,8

    9974

    846,5

    0,36

    Дундаж түвшин

    512,9

    34,4

    1421

    120,9

    Нийт дүнгээр

    5314,2

    419,4

    17131

    1113,4

    0,31

    Дундаж нийлбэр

    379,6

    59,9

    1223,6

    79,5

    Дүгнэлт. Ийнхүү авч үзэж буй нийлбэр дүнгээр үйлдвэрлэлийн хэмжээгээрээ хамгийн олон аж ахуйн нэгж гурав дахь бүлэгт буюу долоон буюу аж ахуйн нэгжийн тал хувь нь багтжээ. Үндсэн хөрөнгийн жилийн дундаж үнэ цэнийн үнэ цэнэ нь энэ бүлэгт, түүнчлэн ажиллагсдын дундаж тооны том үнэ цэнэ - 9974 хүн, нэгдүгээр бүлгийн аж ахуйн нэгжүүд хамгийн бага ашиг орлоготой байдаг.

    ДААЛГАВАР 2

    Тус компанийн аж ахуйн нэгжүүдийн талаар бидэнд дараах мэдээлэл байна

    Тус компанид харьяалагдах аж ахуйн нэгжийн дугаар

    би улирал

    II улирал

    Гаралт, мянган рубль

    Өдөр хоногоор ажилласан

    Өдөрт нэг ажилчинд ногдох дундаж гарц, руб.

    59390,13

Статистикийн нэгжийн шинж тэмдгүүд нь утгаараа өөр өөр байдаг, жишээлбэл, аж ахуйн нэгжийн нэг мэргэжлийн ажилчдын цалин ижил хугацаанд ижил биш, ижил бүтээгдэхүүний зах зээлийн үнэ өөр, тариалангийн талбайн ургацын хэмжээ. бүс нутгийн гэх мэт. Тиймээс судалж буй нэгжийн нийт популяцийн шинж чанарын утгыг тодорхойлохын тулд дундаж утгыг тооцоолно.
дундаж утгаЭнэ нь зарим тоон шинж чанарын хувь хүний ​​утгын багцын ерөнхий шинж чанар юм.

Тоон шинж чанараар судлагдсан хүн ам нь хувь хүний ​​утгуудаас бүрддэг; Тэд нийтлэг шалтгаануудын аль алиных нь нөлөөнд автдаг ба хувь хүний ​​нөхцөл. Дундаж утгын хувьд хувь хүний ​​утгын хазайлтыг арилгана. Дундаж нь бие даасан утгуудын багцын функц болох нь бүхэл бүтэн багцыг нэг утгаар илэрхийлж, түүний бүх нэгжид байдаг нийтлэг зүйлийг тусгадаг.

Чанарын хувьд нэгэн төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцид тооцсон дундажийг гэнэ ердийн дундаж. Жишээлбэл, та нэг эсвэл өөр мэргэжлийн бүлгийн (уурхайчин, эмч, номын санч) ажилтны сарын дундаж цалинг тооцоолж болно. Мэдээжийн хэрэг, сарын түвшин цалинУурхайчид мэргэшлийн ялгаа, ажилласан хугацаа, сард ажилласан цаг болон бусад олон хүчин зүйлээс шалтгаалан бие биенээсээ болон дундаж цалингийн түвшингээс ялгаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч дундаж түвшин нь цалингийн түвшинд нөлөөлж буй үндсэн хүчин зүйлсийг тусгаж, үүнээс үүдэн гарч буй зөрүүг харилцан нөхдөг. хувь хүний ​​онцлогажилчин. Дундаж цалин нь энэ төрлийн ажилчдын цалингийн ердийн түвшинг илэрхийлдэг. Ердийн дундажийг авахын өмнө энэ популяци хэрхэн чанарын хувьд нэгэн төрлийн байна вэ гэсэн дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Хэрэв иж бүрдэл нь салангид хэсгүүд, энэ нь ердийн бүлгүүдэд хуваагдах ёстой (эмнэлэг дэх дундаж температур).

Нэг төрлийн бус популяцийн шинж чанар болгон ашигладаг дундаж утгыг нэрлэдэг системийн дундаж. Тухайлбал, нэг хүнд ногдох дотоодын нийт бүтээгдэхүүний (ДНБ) дундаж үнэ цэнэ, нэг хүнд ногдох төрөл бүрийн бүлгийн барааны дундаж хэрэглээ болон бусад ижил төстэй утгууд нь улсын ерөнхий шинж чанарыг нэг эдийн засгийн тогтолцоо болгон илэрхийлдэг.

Хангалттай олон тооны нэгжээс бүрдсэн популяцийн хувьд дундажийг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нөхцлийг дагаж мөрдөх нь олон тооны хууль хүчин төгөлдөр болохын тулд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд үүний үр дүнд хувь хүний ​​утгуудын санамсаргүй хазайлт үүсдэг. ерөнхий чиг хандлагабие биенээ төлнө.

Дундажуудын төрөл, тэдгээрийг тооцоолох арга

Дундажийн төрлийг сонгохдоо тодорхой үзүүлэлтийн эдийн засгийн агуулга, анхны мэдээллээр тодорхойлогддог. Гэхдээ аливаа дундаж утгыг дундаж үзүүлэлтийн хувилбар бүрийг орлуулахдаа эцсийн, ерөнхийлсөн буюу түгээмэл гэж нэрлэдэг утга нь өөрчлөгдөхгүй байхаар тооцоолох ёстой. тодорхойлох үзүүлэлт, энэ нь дундажтай холбоотой. Жишээлбэл, замын бие даасан хэсгүүдийн бодит хурдыг солих үед тэдгээрийн дундаж хурд нь нийт явсан замыг өөрчлөх ёсгүй. тээврийн хэрэгсэлнэгэн зэрэг; бодит цалин хөлсийг солих үед бие даасан ажилчиддунд аж ахуйн нэгжүүд цалинцалингийн жагсаалт өөрчлөгдөх ёсгүй. Иймээс тодорхой тохиолдол бүрт байгаа өгөгдлийн шинж чанараас хамааран судалж буй нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийн шинж чанар, мөн чанарт тохирсон үзүүлэлтийн зөвхөн нэг бодит дундаж утга байдаг.
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг нь арифметик дундаж, гармоник дундаж, геометрийн дундаж, дундаж квадрат, дундаж куб юм.
Жагсаалтад орсон дундаж үзүүлэлтүүд нь ангилалд хамаарна хүчдундаж ба ерөнхий томъёогоор нэгтгэгдэнэ:
,
судлагдсан шинж чанарын дундаж утга хаана байна;
m нь дундаж утгын илтгэгч;
– дундаж үзүүлэлтийн одоогийн үнэ цэнэ (хувилбар);
n нь шинж чанаруудын тоо юм.
Экспонент m-ийн утгаас хамааран дараахь төрлийн дундаж хүчийг ялгадаг.
at m = -1 – дундаж гармоник ;
m = 0 - геометрийн дундаж;
m = 1 - арифметик дундаж;
at m = 2 – язгуур дундаж квадрат ;
м = 3 үед - дундаж куб.
Ижил анхны өгөгдлийг ашиглах үед дээрх томьёоны экспонент m их байх тусам дундаж утгын утга их байна:
.
Тодорхойлох функцийн илтгэгчийн өсөлт нэмэгдэхийн хэрээр ихэсдэг хүчний хуулийн энэ шинж чанарыг гэнэ хөрөнгийн олонхийн дүрэм.
Тэмдэглэгдсэн дундаж үзүүлэлт бүр нь хоёр хэлбэртэй байж болно: энгийнболон жинтэй.
Дунд зэргийн энгийн хэлбэрдундажийг анхдагч (бүлэглэлгүй) өгөгдөл дээр тооцох үед хамаарна. жинтэй хэлбэр– хоёрдогч (бүлэглэсэн) өгөгдлийн дундажийг тооцоолохдоо.

Арифметик дундаж

Арифметик дундажийг популяцийн эзэлхүүн нь янз бүрийн шинж чанарын бүх бие даасан утгуудын нийлбэр үед ашиглагддаг. Хэрэв дундажийн төрлийг заагаагүй бол арифметик дундажийг авна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Түүний логик томъёо нь:

энгийн арифметик дундажтооцоолсон бүлэггүй өгөгдлөөр томъёоны дагуу:
эсвэл ,
шинж чанарын бие даасан утгууд хаана байна;
j - утгаар тодорхойлогддог ажиглалтын нэгжийн серийн дугаар;
N нь ажиглалтын нэгжийн тоо (тогтоосон хэмжээ).
Жишээ.“Статистикийн мэдээллийг нэгтгэн дүгнэх, бүлэглэх нь” лекцэнд 10 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багийн ажлын туршлагыг ажигласны үр дүнг авч үзсэн. Бригадын ажилчдын дундаж ажлын туршлагыг тооцоол. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Томъёоны дагуу Арифметик дундажэнгийн тооцоолсон он цагийн дундаж, хэрэв шинж чанарын утгыг харуулсан хугацааны интервалууд тэнцүү бол.
Жишээ.Эхний улиралд борлуулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ 47 дэн. нэгж, хоёр дахь нь 54, гурав дахь нь 65, дөрөв дэх нь 58 den. нэгж Улирлын дундаж эргэлт (47+54+65+58)/4 = 56 ден. нэгж
Хэрэв агшин зуурын үзүүлэлтүүдийг он цагийн дарааллаар өгсөн бол дундажийг тооцоолохдоо тэдгээрийг хугацааны эхэн ба төгсгөлийн утгын хагасын нийлбэрээр солино.
Хэрэв хоёроос илүү мөч байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоорондын зай тэнцүү бол дундажийг он цагийн дундаж томъёог ашиглан тооцоолно.

,
Энд n нь цаг хугацааны цэгүүдийн тоо юм
Өгөгдлийг атрибутын утгуудаар бүлэглэх үед (өөрөөр хэлбэл, салангид вариацын тархалтын цуваа бүтээгдсэн) -тэй жигнэсэн арифметик дундажОнцлог шинж чанарын тодорхой утгуудын ажиглалтын давтамж эсвэл давтамжийг ашиглан тооцдог бөгөөд тэдгээрийн тоо (k) нь мэдэгдэхүйц юм. тооноос багаажиглалт (N) .
,
,
Энд k нь вариацын цувралын бүлгийн тоо,
i нь вариацын цувралын бүлгийн дугаар юм.
, ба -аас хойш бид практик тооцоололд ашигласан томъёог олж авна.
болон
Жишээ.Бүлэглэсэн цувралын ажлын багуудын ажилласан дундаж хугацааг тооцоолъё.
a) давтамж ашиглах:

б) давтамж ашиглан:

Өгөгдлийг интервалаар бүлэглэх үед , өөрөөр хэлбэл интервалын тархалтын цуваа хэлбэрээр үзүүлэв; арифметик дундажийг тооцоолохдоо энэ интервал дахь популяцийн нэгжийн жигд тархалтын таамаглалд үндэслэн интервалын дунд хэсгийг шинж чанарын утга болгон авна. Тооцооллыг дараахь томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
болон
интервалын дунд хаана байна: ,
хаана ба интервалуудын доод ба дээд хил (энэ интервалын дээд хил нь дараагийн интервалын доод хилтэй давхцаж байгаа тохиолдолд).

Жишээ. 30 ажилчдын жилийн цалинг судалсны үр дүнд бий болсон интервалын хэлбэлзлийн арифметик дундажийг тооцоолъё ("Статистикийн мэдээллийн хураангуй ба бүлэглэл" лекцийг үзнэ үү).
Хүснэгт 1 - Тархалтын интервал вариацын цуврал.

Интервал, UAH

Давтамж, хувь.

давтамж,

Интервалын дунд хэсэг

600-700
700-800
800-900
900-1000
1000-1100
1100-1200

3
6
8
9
3
1

0,10
0,20
0,267
0,30
0,10
0,033

(600+700):2=650
(700+800):2=750
850
950
1050
1150

1950
4500
6800
8550
3150
1150

65
150
226,95
285
105
37,95

UAH эсвэл UAH
Анхны өгөгдөл болон интервалын хэлбэлзлийн цувралд үндэслэн тооцсон арифметик дундажууд нь интервал доторх шинж чанарын утгуудын жигд бус тархалтаас болж давхцахгүй байж болно. Энэ тохиолдолд арифметик жигнэсэн дундажийг илүү нарийвчлалтай тооцоолохын тулд интервалын дундыг бус харин бүлэг тус бүрээр тооцсон энгийн арифметик дундажийг ашиглах хэрэгтэй. бүлгийн дундаж). Жигнэсэн тооцооллын томъёог ашиглан бүлгийн дунджаас тооцсон дундажийг гэнэ ерөнхий дундаж.
Арифметик дундаж нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.
1. Хувилбарын дундажаас хазайлтын нийлбэр тэг байна:
.
2. Хэрэв сонголтын бүх утгууд А утгаар нэмэгдэж эсвэл буурч байвал дундаж утга нь ижил А утгаар нэмэгдэж эсвэл буурна:

3. Хэрэв сонголт бүрийг B дахин ихэсгэж эсвэл багасгавал дундаж утга мөн адил хэдэн удаа нэмэгдэж, буурах болно:
эсвэл
4. Хувилбарын үржвэрүүдийн давтамжийн нийлбэр нь дундаж утгыг давтамжийн нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

5. Хэрэв бүх давтамжийг аль нэг тоонд хувааж эсвэл үржүүлбэл арифметик дундаж өөрчлөгдөхгүй.

6) хэрэв бүх интервалд давтамжууд хоорондоо тэнцүү бол арифметик жигнэсэн дундаж нь энгийн арифметик дундажтай тэнцүү байна:
,
Энд k нь вариацын цувралын бүлгийн тоо.

Дундаж үзүүлэлтийг ашиглах нь түүний тооцоог хялбарчлах боломжийг танд олгоно.
Бүх сонголтууд (x) эхлээд ижил А тоогоор буурч, дараа нь B дахин багассан гэж бодъё. Хамгийн их давтамжтай интервалын дундын утгыг A, интервалын утгыг B (ижил интервалтай мөрүүдийн хувьд) сонгоход хамгийн их хялбаршуулсан болно. А хэмжигдэхүүнийг гарал үүсэл гэж нэрлэдэг тул дундажийг тооцоолох ийм аргыг нэрлэдэг аргаб нөхцөлт тэгээс омын лавлагааэсвэл мөчүүдийн арга зам.
Ийм хувиргалт хийсний дараа бид хувилбарууд нь -тэй тэнцүү шинэ вариацын тархалтын цувралыг олж авдаг. Тэдний арифметик дундаж, гэж нэрлэдэг Эхний захиалгын мөч,томъёогоор илэрхийлэгдэх ба хоёр дахь болон гурав дахь шинж чанарын дагуу арифметик дундаж нь анхны хувилбарын дундажтай тэнцүү, эхлээд А, дараа нь B дахин бууруулсан, өөрөөр хэлбэл.
Авахын тулд бодит дундаж(эх эгнээний дунд) та эхний эрэмбийн моментийг B-ээр үржүүлж, A нэмэх хэрэгтэй:

Моментийн аргаар арифметик дундажийг тооцоолохыг Хүснэгтийн өгөгдлөөр харуулав. 2.
Хүснэгт 2 - Аж ахуйн нэгжийн цехийн ажилчдыг ажилласан хугацаагаар нь хуваарилах


Ажлын туршлага, жил

Ажилчдын тоо

Интервалын дунд цэг

0 – 5
5 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 25
25 – 30

12
16
23
28
17
14

2,5
7,5
12,7
17,5
22,5
27,5

15
-10
-5
0
5
10

3
-2
-1
0
1
2

36
-32
-23
0
17
28

Эхний захиалгын мөчийг олох . Дараа нь A = 17.5, B = 5 гэдгийг мэдэж, бид цехийн ажилчдын дундаж ажлын туршлагыг тооцоолно.
жил

Дундаж гармоник
Дээр дурдсанчлан, арифметик дундаж нь шинж чанарын дундаж утгыг түүний x хувилбарууд болон f давтамжууд нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд тооцоолоход ашигладаг.
Хэрэв статистик мэдээлэл нь хүн амын х сонголтуудын f давтамжийг агуулаагүй боловч тэдгээрийн бүтээгдэхүүнээр танилцуулсан бол томъёог хэрэглэнэ. дундаж гармоник жинтэй. Дундажийг тооцоолохын тулд хаанаас гэж тэмдэглэнэ үү. Эдгээр илэрхийлэлийг жигнэсэн арифметик дундаж томъёонд орлуулснаар бид жигнэсэн гармоник дундаж томъёог олж авна.
,
i (i=1,2, …, k) тоо бүхий интервал дахь үзүүлэлтийн шинж чанарын утгуудын эзлэхүүн (жин) хаана байна.

Тиймээс гармоник дундажийг сонголтууд өөрсдөө биш, харин тэдгээрийн харилцан уялдаатай байх тохиолдолд ашигладаг. .
Сонголт бүрийн жин нэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд, i.e. урвуу шинж чанарын бие даасан утгууд нэг удаа тохиолддог, хэрэглэнэ энгийн гармоник дундаж:
,
нэг удаа тохиолддог урвуу шинж чанарын бие даасан хувилбарууд хаана байна;
N нь сонголтуудын тоо юм.
Хэрэв хүн амын хоёр хэсэгт болон хэд хэдэн гармоник дундаж байгаа бол нийт хүн амын нийт дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

мөн дуудсан бүлгийн утгын жигнэсэн гармоник дундаж.

Жишээ.Валютын биржийн арилжааны эхний цагийн дотор гурван хэлцэл хийгдлээ. Гривнигийн борлуулалтын хэмжээ, америк доллартай харьцах ханшийн талаарх мэдээллийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 3 (2 ба 3-р багана). Арилжааны эхний цагийн хувьд гривенийн ам.доллартай харьцах дундаж ханшийг тодорхойл.
Хүснэгт 3 - Валютын биржийн арилжааны явцын талаарх мэдээлэл

Долларын дундаж ханшийг бүх гүйлгээний явцад борлуулсан гривенийн дүнг ижил гүйлгээний үр дүнд олж авсан долларын дүнтэй харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлно. Grivnia-ийн борлуулалтын нийт дүнг хүснэгтийн 2-р баганаас мэдэж байгаа бөгөөд гүйлгээ тус бүрээр худалдаж авсан долларын хэмжээг гривенийн борлуулалтын дүнг түүний ханшаар (4-р багана) хуваах замаар тодорхойлно. Гурван удаагийн гүйлгээний явцад нийт 22 сая ам.доллар худалдан авсан байна. Энэ нь нэг долларын дундаж гривенийн ханш байсан гэсэн үг юм
.
Үүссэн үнэ цэнэ нь бодит, учир нь Түүний гүйлгээнд гривенийн бодит ханшийг орлуулах нь гривенийн борлуулалтын нийт дүнг өөрчлөхгүй. тодорхойлох үзүүлэлт: сая грн
Хэрэв тооцоололд арифметик дундажийг ашигласан бол, i.e. hryvnia, дараа нь 22 сая доллар худалдан авах ханшаар. 110.66 сая грн зарцуулах шаардлагатай байсан нь худлаа.

Геометрийн дундаж
Геометрийн дундаж нь үзэгдлийн динамикийг шинжлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд тодорхойлох боломжийг олгодог дундаж коэффициентөсөлт. Геометрийн дундажийг тооцоолохдоо тухайн шинж чанарын бие даасан утгууд нь байдаг харьцангуй гүйцэтгэлтүвшин бүрийн өмнөхтэй харьцуулсан гинжин утгын хэлбэрээр бүтээгдсэн динамик.
Геометрийн энгийн дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.
,
бүтээгдэхүүний тэмдэг хаана байна,
N нь дундаж утгуудын тоо юм.
Жишээ.Бүртгэгдсэн гэмт хэргийн тоо 4 жилийн хугацаанд 1.57 дахин, үүний дотор 1-д 1.08 дахин, 2-т 1.1 дахин, 3-т 1.18, 4-т 1.12 дахин өссөн байна. Тэгвэл гэмт хэргийн тоо жилийн дундаж өсөлтийн хурд нь: , i.e. Бүртгэгдсэн гэмт хэргийн тоо жилд дунджаар 12 хувиар өссөн байна.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Дундаж жигнэсэн квадратыг тооцоолохын тулд бид тодорхойлж, хүснэгтэд оруулна. Дараа нь өгөгдсөн нормоос бүтээгдэхүүний уртын хазайлтын дундаж утга нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд арифметик дундаж нь тохиромжгүй байх болно, учир нь үр дүнд нь бид тэг хазайлт авах болно.
Дундаж язгуур квадратыг ашиглах талаар дараа нь вариацын илтгэгчид авч үзэх болно.

5.1. Дундаж гэсэн ойлголт

Дундаж утга -Энэ нь үзэгдлийн ердийн түвшинг тодорхойлдог ерөнхий үзүүлэлт юм. Энэ нь хүн амын нэгжтэй холбоотой шинж чанарын утгыг илэрхийлдэг.

Дундаж нь шинж чанарын тоон өөрчлөлтийг үргэлж ерөнхийд нь илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл. дундаж утгуудад санамсаргүй нөхцөл байдлын улмаас хүн амын нэгж дэх хувь хүний ​​ялгааг арилгана. Дунджаас ялгаатай нь хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын түвшинг тодорхойлдог үнэмлэхүй утга нь өөр өөр популяцид хамаарах нэгжийн шинж чанарын утгыг харьцуулах боломжийг олгодоггүй. Тиймээс, хэрэв та хоёр аж ахуйн нэгжийн ажилчдын цалин хөлсний түвшинг харьцуулах шаардлагатай бол өөр өөр аж ахуйн нэгжийн хоёр ажилтныг энэ үндэслэлээр харьцуулж болохгүй. Харьцуулахаар сонгосон ажилчдын цалин эдгээр аж ахуйн нэгжийн хувьд ердийн зүйл биш байж магадгүй юм. Хэрэв бид хэлэлцэж буй аж ахуйн нэгжүүдийн цалингийн сангийн хэмжээг харьцуулж үзвэл ажилчдын тоог харгалзан үздэггүй тул цалингийн түвшин хаана өндөр байгааг тодорхойлох боломжгүй юм. Эцсийн эцэст зөвхөн дундаж утгыг харьцуулж болно, i.e. Нэг компанид дунджаар хэдэн төгрөгийн цалин авдаг вэ? Тиймээс дундаж утгыг хүн амын ерөнхий шинж чанар болгон тооцоолох шаардлагатай байна.

Дундажийг тооцоолох нь нийтлэг нэг ерөнхий арга юм; дундаж үзүүлэлт нь судалж буй хүн амын бүх нэгжийн хувьд ердийн (ердийн) ерөнхий үзүүлэлтийг үгүйсгэдэг бөгөөд үүний зэрэгцээ тус тусдаа нэгжийн хоорондын ялгааг үл тоомсорлодог. Аливаа үзэгдэл, түүний хөгжилд боломж, хэрэгцээ хосолсон байдаг. Дундаж тооцоог хийхдээ олон тооны хуулийн үйл ажиллагааны улмаас санамсаргүй байдал нь бие биенээ үгүйсгэж, тэнцвэржүүлдэг тул тухайн үзэгдлийн ач холбогдолгүй шинж чанаруудаас, тодорхой тохиолдол бүрийн шинж чанарын тоон утгуудаас хийсвэрлэх боломжтой. Хувь хүний ​​үнэ цэнэ, хэлбэлзлийн санамсаргүй байдлаас хийсвэрлэх чадварт дундаж үзүүлэлтүүдийн шинжлэх ухааны үнэ цэнэ нь агрегатуудын ерөнхий шинж чанар юм.

Дундаж нь жинхэнэ утгыг илэрхийлэхийн тулд тодорхой зарчмуудыг харгалзан тооцоолох ёстой.

Дундаж хэмжигдэхүүнийг хэрэглэх ерөнхий зарчмуудыг авч үзье.
1. Чанарын хувьд нэг төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцийн хувьд дундажийг тогтооно.
2. Хангалттай олон тооны нэгжээс бүрдсэн хүн амын дунджийг тооцох хэрэгтэй.
3. Нэгж нь хэвийн, байгалийн байдалд байгаа хүн амын дунджийг тооцох ёстой.
4. Судалж буй үзүүлэлтийн эдийн засгийн агуулгыг харгалзан дундажийг тооцно.

5.2. Дундажуудын төрөл, тэдгээрийг тооцоолох арга

Одоо дундаж үзүүлэлтүүдийн төрлүүд, тэдгээрийн тооцооллын онцлог, хэрэглээний талбарыг авч үзье. Дундаж утгыг хоёр том ангилалд хуваадаг: эрчим хүчний дундаж, бүтцийн дундаж.

руу хүч гэсэн үггеометрийн дундаж, арифметик дундаж, дундаж квадрат зэрэг хамгийн алдартай бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг төрлүүдийг багтаасан болно.

гэх мэт бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүдгорим ба медианыг авч үзнэ.

Эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Эхний өгөгдлийн танилцуулгаас хамааран эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд нь энгийн бөгөөд жинтэй байж болно. энгийн дундажбүлэггүй өгөгдлөөр тооцоолсон бөгөөд дараах ерөнхий хэлбэртэй байна.

Энд X i нь дундаж үзүүлэлтийн хувилбар (утга) юм;

n нь сонголтуудын тоо юм.

Жинлэсэн дундажбүлэглэсэн өгөгдлөөр тооцогдох ба ерөнхий хэлбэртэй байна

,

Энд X i нь дундаж үзүүлэлтийн хувилбар (утга) эсвэл хувилбарыг хэмжих интервалын дундаж утга;
m нь дундаж утгын илтгэгч;
f i - дундаж үзүүлэлтийн i-e утга хэдэн удаа тохиолдохыг харуулсан давтамж.

20 хүнтэй бүлгийн оюутнуудын дундаж насны тооцоог жишээ болгон өгье.


Бид дундаж насыг энгийн дундаж томъёог ашиглан тооцоолно.

Эх сурвалж мэдээллийг бүлэглэе. Бид дараах түгээлтийн цувралыг авна.

Бүлэглэсний үр дүнд бид X насны сурагчдын тоог харуулсан шинэ үзүүлэлт болох давтамжийг олж авдаг. Үүний үр дүнд, дундаж насжигнэсэн дундаж томъёог ашиглан бүлгийн оюутнуудыг тооцоолно.

Экспоненциал дундажийг тооцоолох ерөнхий томьёо нь экспонент (m)-тэй байдаг. Энэ нь ямар үнэ цэнийг авахаас хамааран дараахь төрлийн дундаж хүчийг ялгадаг.
гармоник дундаж хэрэв m = -1;
m –> 0 бол геометрийн дундаж;
m = 1 бол арифметик дундаж;
m = 2 бол язгуур дундаж квадрат;
m = 3 бол дундаж куб.

Хүч чадлын дундаж томъёог Хүснэгтэнд өгөв. 4.4.

Хэрэв бид ижил анхны өгөгдлийн бүх төрлийн дундаж утгыг тооцоолох юм бол тэдгээрийн утга ижил биш байх болно. Энд дунджийн голчлолын дүрэм үйлчилнэ: экспонент m нэмэгдэх тусам харгалзах дундаж утга нэмэгдэнэ:

Статистикийн практикт бусад төрлийн жигнэсэн дундажийг бодвол арифметик ба гармоник жигнэсэн дундажийг ихэвчлэн ашигладаг.

Хүснэгт 5.1

Эрчим хүчний хэрэгслийн төрлүүд

Эрчим хүчний төрөл
дунд
Индекс
градус (м)
Тооцооллын томъёо
Энгийн жинтэй
гармоник -1
Геометр 0
Арифметик 1
квадрат 2
куб 3

Гармоник дундаж нь арифметик дунджаас илүү төвөгтэй бүтэцтэй байдаг. Гармоник дундажийг жин нь популяцийн нэгж биш, харин эдгээр нэгжийн бүтээгдэхүүн ба шинж чанарын утгууд (жишээ нь m = Xf) байх үед тооцоолоход ашигладаг. Гармоникийн дундаж зогсолтыг жишээлбэл, хоёр (гурав, дөрөв гэх мэт) аж ахуйн нэгж, ажилчдын нэг нэгж бүтээгдэхүүнд ногдох хөдөлмөр, цаг, материалын дундаж зардлыг тодорхойлох тохиолдолд ашиглах ёстой. ижил төрлийн бүтээгдэхүүн, ижил хэсэг, бүтээгдэхүүн.

Дундаж утгыг тооцоолох томъёонд тавигдах гол шаардлага нь тооцооллын бүх үе шат нь бодит үндэслэлтэй үндэслэлтэй байх явдал юм; Үүссэн дундаж утга нь бие даасан болон хураангуй үзүүлэлтүүдийн хоорондын холбоог таслахгүйгээр объект бүрийн шинж чанарын утгыг орлуулах ёстой. Өөрөөр хэлбэл дундаж утгыг дундаж үзүүлэлтийн бие даасан утга тус бүрийг дундаж утгаараа солих үед дундаж үзүүлэлттэй ямар нэгэн байдлаар холбогдсон эцсийн хураангуй үзүүлэлт өөрчлөгдөхгүй байхаар тооцох ёстой. Энэ үр дүнг гэж нэрлэдэг тодорхойлохУчир нь түүний хувь хүний ​​үнэ цэнэтэй харилцах шинж чанар нь дундаж утгыг тооцоолох тодорхой томъёог тодорхойлдог. Энэ дүрмийг геометрийн дундажийн жишээн дээр харуулъя.

Геометрийн дундаж томъёо

динамикийн бие даасан харьцангуй утгын дундаж утгыг тооцоолохдоо ихэвчлэн ашигладаг.

Динамикийн гинжин хэлхээний харьцангуй утгуудын дарааллыг өгсөн тохиолдолд геометрийн дундаж утгыг ашиглана, жишээлбэл, өмнөх оны түвшинтэй харьцуулахад үйлдвэрлэлийн хэмжээ нэмэгдсэнийг илтгэнэ: i ​​1, i 2, i 3, ..., би н . Мэдээжийн хэрэг, сүүлийн жилийн үйлдвэрлэлийн хэмжээ нь түүний анхны түвшин (q 0) болон жилийн дараа дараагийн өсөлтөөр тодорхойлогддог.

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

q n-ийг тодорхойлох үзүүлэлт болгон авч, динамик үзүүлэлтүүдийн бие даасан утгыг дундаж утгуудаар сольж, бид харьцаанд хүрнэ.

Эндээс

5.3. Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд

Дундаж утгын тусгай төрөл - бүтцийн дундаж нь атрибутын утгын тархалтын цувралын дотоод бүтцийг судлах, түүнчлэн байгаа статистик мэдээллийн дагуу дундаж утгыг (чадлын төрлийг) тооцоолоход ашигладаг. түүний тооцоог хийх боломжгүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд өгөгдөл байхгүй байсан бол) болон үйлдвэрлэлийн хэмжээ, аж ахуйн нэгжүүдийн бүлгүүдийн зардлын хэмжээ).

Шалгуур үзүүлэлтийг ихэвчлэн бүтцийн дундаж болгон ашигладаг. загвар -хамгийн их давтагддаг онцлогийн утга - ба дундаж -түүний утгуудын эрэмбэлэгдсэн дарааллыг тооны хувьд тэнцүү хоёр хэсэгт хуваах шинж чанарын утга. Үүний үр дүнд популяцийн нэгжийн хагаст шинж чанарын утга нь дундаж түвшнээс хэтрэхгүй, нөгөө хагаст нь түүнээс багагүй байна.

Хэрэв судалж буй шинж чанар нь салангид утгатай бол горим ба медианыг тооцоолоход онцгой бэрхшээл гарахгүй. Хэрэв X шинж чанарын утгын талаархи өгөгдлийг түүний өөрчлөлтийн дараалсан интервал (интервалын цуваа) хэлбэрээр үзүүлбэл горим ба медианыг тооцоолох нь арай илүү төвөгтэй болно. Дундаж утга нь нийт популяцийг тэнцүү тооны хоёр хэсэгт хуваадаг тул энэ нь X онцлогийн интервалуудын аль нэгэнд төгсдөг. Интерполяцийг ашиглан медиан утгыг энэ медиан интервалаас олно:

,

Энд X Me нь дундаж интервалын доод хязгаар;
h Би бол түүний үнэ цэнэ;
(Нийт m) / 2 - дундаж утгыг (үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй утгаараа) тооцоолох томъёонд жинлэхэд ашигладаг нийт ажиглалтын тооны тал буюу үзүүлэлтийн эзлэхүүний тал хувь;
S Me-1 нь дундаж интервал эхлэхээс өмнө хуримтлагдсан ажиглалтын нийлбэр (эсвэл жинлэх шинж чанарын эзэлхүүн);
m Me нь ажиглалтын тоо буюу дундаж интервал дахь жинлэх шинж чанарын эзэлхүүн юм (мөн үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй утгаараа).

Бидний жишээн дээр аж ахуйн нэгжийн тоо, үйлдвэрлэлийн хэмжээ, үйлдвэрлэлийн зардлын нийт дүнгийн шинж тэмдгүүдэд үндэслэн гурван дундаж утгыг авч болно.

Ийнхүү аж ахуйн нэгжүүдийн тэн хагас нь нэгж бүтээгдэхүүний өртөг 125.19 мянган рублиас давж, нийт бүтээгдэхүүний тал хувь нь 124.79 мянган рубльээс дээш өртөгтэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. нийт зардлын 50% нь 125.07 мянган рублиас дээш нэг бүтээгдэхүүний өртгийн түвшинд үүсдэг. Би 2 = 124.79 мянган рубль, дундаж түвшин 123.15 мянган рубль тул зардлын тодорхой өсөлтийн хандлага байгааг бид бас тэмдэглэж байна.

Интервалын цувралын өгөгдлийн дагуу шинж чанарын модаль утгыг тооцоолохдоо X шинж чанарын утгын давтамжийн үзүүлэлт үүнээс хамаардаг тул интервалууд ижил байх ёстойг анхаарах хэрэгтэй. тэнцүү интервалтай интервалын цуваа, горимын утгыг дараах байдлаар тодорхойлно

Энд X Mo нь модаль интервалын доод утга;
m Mo нь ажиглалтын тоо буюу модаль интервал дахь жингийн шинж чанарын эзэлхүүн (үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй үзүүлэлтээр);
m Mo -1 - модалын өмнөх интервалын хувьд ижил;
m Mo+1 - модалын дараах интервалын хувьд ижил;
h - бүлгүүдийн шинж чанарын өөрчлөлтийн интервалын утга.

Бидний жишээн дээр бид гурвыг тооцоолж болно модаль утгуудаж ахуйн нэгжийн тоо, үйлдвэрлэлийн хэмжээ, зардлын хэмжээ зэрэг шинж чанарт үндэслэн . Гурван тохиолдлын хувьд модаль интервал ижил байна, учир нь ижил интервалд аж ахуйн нэгжийн тоо, үйлдвэрлэлийн хэмжээ, үйлдвэрлэлийн зардлын нийт хэмжээ хоёулаа хамгийн их байна.

Тиймээс 126.75 мянган рублийн өртөгтэй аж ахуйн нэгжүүд ихэвчлэн тулгардаг, 126.69 мянган рублийн өртөгтэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд ихэнхдээ үйлдвэрлэлийн зардлыг 123.73 мянган рублийн өртөгөөр тайлбарладаг.

5.4. Өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд

Судалгаанд хамрагдсан объект тус бүрийг байрлуулах тодорхой нөхцөл байдал, тэдгээрийн онцлог шинж чанарууд өөрийн хөгжил(нийгмийн, эдийн засгийн гэх мэт) харгалзах тоон түвшингээр илэрхийлэгдэнэ статистик үзүүлэлтүүд. Энэ замаар, өөрчлөлт,тэдгээр. өөр өөр объект дахь ижил үзүүлэлтийн түвшний хоорондын зөрүү нь объектив бөгөөд судалж буй үзэгдлийн мөн чанарыг ойлгоход тусалдаг.

Статистикийн хэлбэлзлийг хэмжих хэд хэдэн арга байдаг.

Хамгийн энгийн нь индикаторын тооцоо юм хүрээний өөрчлөлт H нь шинж чанарын ажиглагдсан хамгийн их (X max) ба хамгийн бага (X мин) утгуудын хоорондох зөрүү юм.

H=X max - X min .

Гэсэн хэдий ч өөрчлөлтийн хүрээ нь зөвхөн шинж чанарын туйлын утгыг харуулдаг. Завсрын утгуудын давтагдах чадварыг энд тооцохгүй.

Илүү хатуу шинж чанарууд нь шинж чанарын дундаж түвшинтэй харьцуулахад хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүд юм. Хамгийн энгийн үзүүлэлтэнэ төрлийн - дундаж шугаман хазайлт L нь шинж чанарын дундаж түвшнээс үнэмлэхүй хазайлтын арифметик дундаж:

X-ийн бие даасан утгуудыг давтах үед жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглана.

(Дундаж түвшнээс хазайсан алгебрийн нийлбэр тэг гэдгийг санаарай.)

Олдсон дундаж шугаман хазайлтын үзүүлэлт өргөн хэрэглээдадлага дээр. Үүний тусламжтайгаар, жишээлбэл, ажилчдын бүтэц, үйлдвэрлэлийн хэмнэл, материалын нийлүүлэлтийн жигд байдалд дүн шинжилгээ хийж, материаллаг урамшууллын тогтолцоог боловсруулдаг. Гэвч харамсалтай нь энэ үзүүлэлт нь магадлалын төрлийн тооцооллыг хүндрүүлж, аргыг хэрэглэхэд хүндрэл учруулдаг. математик статистик. Тиймээс статистикийн хувьд Шинжлэх ухааны судалгааХувьсах хэмжүүр нь хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тархалт.

Онцлогийн хэлбэлзэл (s 2) нь квадрат чадлын дундаж дээр үндэслэн тодорхойлогддог.

.

s-тэй тэнцүү илтгэгчийг дуудна стандарт хэлбэлзэл.

AT ерөнхий онолСтатистикийн хувьд дисперсийн индикатор нь ижил нэртэй магадлалын онолын үзүүлэлт ба (квадрат хазайлтын нийлбэрээр) математик статистикийн дисперсийн тооцоолол бөгөөд эдгээр онолын хичээлүүдийн заалтыг ашиглах боломжийг олгодог. нийгэм-эдийн засгийн үйл явцын шинжилгээ.

Хязгааргүй ерөнхий популяциас авсан цөөн тооны ажиглалтын дагуу хэлбэлзлийг тооцоолсон бол шинж чанарын дундаж утгыг тодорхой алдаатай тодорхойлно. Тархалтын тооцоолсон утга нь доошоо шилжсэн бололтой. Шударга бус үнэлгээ авахын тулд дээрх томьёогоор олж авсан түүврийн зөрүүг n / (n - 1) -ээр үржүүлэх шаардлагатай. Үүний үр дүнд цөөн тооны ажиглалтаар (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Ихэвчлэн аль хэдийн n > (15÷20) үед нэг талыг барьсан ба шударга бус үнэлгээний зөрүү нь ач холбогдолгүй болдог. Үүнтэй ижил шалтгаанаар хэлбэлзлийг нэмэх томъёонд хазайлтыг ихэвчлэн тооцдоггүй.

Хэрэв -аас хүн амхэд хэдэн түүвэр хийж тухайн шинж чанарын дундаж утгыг тодорхойлох бүрт дундаж үзүүлэлтүүдийн хэлбэлзлийг тооцох асуудал гарч ирнэ. Тооцооллын зөрүү дундаж утгатомъёоны дагуу зөвхөн нэг түүвэр ажиглалт дээр үндэслэж болно

,

энд n нь түүврийн хэмжээ; s 2 нь түүврийн өгөгдлөөр тооцоолсон шинж чанарын хэлбэлзэл юм.

Үнэ цэнэ гэж нэрлэдэг дундаж түүвэрлэлтийн алдааба X онцлогийн түүврийн дундаж утгын бодит дундаж утгаас хазайх шинж чанар юм. Түүврийн ажиглалтын үр дүнгийн найдвартай байдлыг үнэлэхэд алдааны дундаж үзүүлэлтийг ашигладаг.

Харьцангуй тархалтын үзүүлэлтүүд.Судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийн хэмжүүрийг тодорхойлохын тулд хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүдийг харьцангуйгаар тооцдог. Эдгээр нь янз бүрийн тархалт дахь тархалтын шинж чанарыг харьцуулах боломжийг олгодог (хоёр популяцид ижил шинж чанарын ажиглалтын өөр өөр нэгжүүд. өөр өөр үнэ цэнэдундаж, нэг төрлийн бус популяцийг харьцуулах үед). Харьцангуй тархалтын хэмжүүрийн үзүүлэлтүүдийн тооцоог харьцаагаар гүйцэтгэдэг үнэмлэхүй үзүүлэлтарифметик дундаж хүртэлх тархалтыг 100% үржүүлнэ.

1. Хэлбэлзлийн коэффициентшинж чанарын хэт утгуудын дундаж орчимд харьцангуй хэлбэлзлийг тусгадаг

.

2. Харьцангуй шугаман унтрах нь дундаж утгаас үнэмлэхүй хазайлтын тэмдгийн дундаж утгын эзлэх хувийг тодорхойлдог.

.

3. Хувьсах коэффициент:

дундаж үзүүлэлтүүдийн ердийн байдлыг үнэлэхэд ашигладаг хамгийн түгээмэл дисперсийн хэмжүүр юм.

Статистикийн хувьд 30-35% -иас дээш хэлбэлзлийн коэффициенттэй популяцийг нэг төрлийн бус гэж үздэг.

Өөрчлөлтийг тооцох энэ арга нь бас мэдэгдэхүйц сул талтай. Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, 15 жилийн дундаж ажилласан, стандарт хазайлттай s = 10 жил, өөр 15 жилээр "нассан" ажилчдын анхны хүн амыг авч үзье. Одоо = 30 жил, дундаж стандарт хэлбэлзэл 10-тай тэнцүү хэвээр байна. Өмнө нь нэг төрлийн бус байсан хүн ам (10/15 × 100 = 66.7%), ингэснээр цаг хугацааны явцад нэлээд нэгэн төрлийн болж хувирдаг (10/30 × 100 = 33.3%).

Боярский А.Я. Онолын судалгаастатистикийн дагуу: Бямба. Шинжлэх ухааны Процесс. - М .: Статистик, 1974. хуудас 19–57.

Өмнөх

Дундаж утгууд нь нийгмийн олон нийтийн үзэгдлийн хураангуй (эцсийн) шинж чанарыг өгдөг ерөнхий статистик үзүүлэлтүүдийг хэлдэг, учир нь тэдгээр нь үндсэн дээр бүтээгдсэн байдаг. их тоохувьсах шинж чанарын бие даасан үнэ цэнэ. Дундаж утгын мөн чанарыг тодруулахын тулд дундаж утгыг тооцдог эдгээр үзэгдлийн шинж тэмдгүүдийн утгыг бүрдүүлэх онцлогийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Энэ нь тус бүрийн нэгж гэдгийг мэддэг массын үзэгдэлолон тооны онцлогтой. Эдгээр тэмдгүүдийн алийг нь ч бид авахаас үл хамааран түүний бие даасан нэгжийн утга өөр байх болно, тэдгээр нь өөрчлөгддөг, эсвэл статистикийн хэлснээр нэг нэгжээс нөгөөд өөр өөр байдаг. Жишээлбэл, ажилтны цалин нь түүний мэргэшил, ажлын шинж чанар, ажилласан хугацаа болон бусад олон хүчин зүйлээр тодорхойлогддог тул маш өргөн хүрээнд өөр өөр байдаг. Бүх хүчин зүйлийн хуримтлагдсан нөлөөлөл нь ажилтан бүрийн орлогын хэмжээг тодорхойлдог боловч эдийн засгийн янз бүрийн салбарын ажилчдын сарын дундаж цалингийн талаар ярьж болно. Энд бид том популяцийн нэгжид хамаарах хувьсагчийн шинж чанарын ердийн, онцлог утгыг ашиглан ажилладаг.

Дундаж нь үүнийг харуулж байна ерөнхий,Энэ нь судлагдсан популяцийн бүх нэгжийн хувьд ердийн зүйл юм. Үүний зэрэгцээ энэ нь хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын хэмжээнд нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлийн нөлөөг тэнцвэржүүлж, тэдгээрийг харилцан хүчингүй болгодог. Аливаа нийгмийн үзэгдлийн түвшин (эсвэл хэмжээ) нь хоёр бүлгийн хүчин зүйлийн үйлчлэлээр тодорхойлогддог. Тэдгээрийн зарим нь ерөнхий ба үндсэн, байнгын ажиллагаатай, судалж буй үзэгдэл, үйл явцын шинж чанартай нягт холбоотой, үүнийг бүрдүүлдэг. ердийндундаж утгад тусгагдсан судалгаанд хамрагдсан хүн амын бүх нэгжийн хувьд. Бусад нь хувь хүн,Тэдний үйлдэл нь бага зэрэг тод, үечилсэн, санамсаргүй байдаг. Эдгээр нь эсрэг чиглэлд үйлчилж, хүн амын бие даасан нэгжийн тоон шинж чанарын ялгааг үүсгэж, судалж буй шинж чанаруудын тогтмол утгыг өөрчлөхийг эрэлхийлдэг. Үйлдэл бие даасан шинж тэмдэгдундажаар эргүүлэн авсан. Ердийн болон бие даасан хүчин зүйлсийн хуримтлагдсан нөлөөлөл нь тэнцвэртэй бөгөөд ерөнхий шинж чанараараа харилцан хүчингүй болдог бөгөөд энэ нь дараахь байдлаар илэрдэг. ерөнхий үзэлМатематикийн статистикийн суурь их тооны хууль.

Нийтдээ тэмдгүүдийн бие даасан утгууд нь нийтлэг масс болж нийлж, уусдаг. Тиймээс ба дундаж утга"хувийн бус" үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь тэдгээрийн аль нэгтэй нь тоон хувьд давхцахгүй, бие даасан шинж чанаруудаас гаждаг. Дундаж утга нь түүний бие даасан нэгжийн шинж тэмдгүүдийн санамсаргүй, хэвийн бус ялгааг харилцан хүчингүй болгосны улмаас нийт популяцийн ерөнхий, шинж чанар, ердийн байдлыг илэрхийлдэг, учир нь түүний үнэ цэнэ нь бүх зүйлийн нийтлэг үр дүнгээр тодорхойлогддог. шалтгаан болдог.

Гэсэн хэдий ч дундаж утгыг шинж чанарын хамгийн ердийн утгыг тусгахын тулд үүнийг аль ч популяцид биш, зөвхөн чанарын хувьд нэг төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцид тодорхойлох хэрэгтэй. Энэхүү шаардлага нь дундаж хэмжигдэхүүнийг шинжлэх ухааны үндэслэлтэй ашиглах үндсэн нөхцөл бөгөөд нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийн шинжилгээнд дундаж хэмжигдэхүүн, бүлэглэх арга хоёрын хооронд нягт уялдаа холбоог илэрхийлдэг. Тиймээс дундаж утга нь тухайн газар, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд нэгэн төрлийн популяцийн нэгжид ногдох хувьсах шинж чанарын ердийн түвшинг тодорхойлдог ерөнхий үзүүлэлт юм.

Дундаж утгын мөн чанарыг тодорхойлохдоо аливаа дундаж утгыг зөв тооцоолох нь дараахь шаардлагыг хангасан байх ёстой гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

  • дундаж утгыг тооцох хүн амын чанарын нэгэн төрлийн байдал. Энэ нь дундаж утгыг тооцоолохдоо нэг төрлийн, ижил төрлийн үзэгдлийг сонгох боломжийг олгодог бүлэглэх аргад үндэслэсэн байх ёстой гэсэн үг юм;
  • санамсаргүй, цэвэр хувь хүний ​​шалтгаан, хүчин зүйлийн дундаж утгыг тооцоолоход үзүүлэх нөлөөллийг хасах. Энэ нь дундажийг тооцоолохдоо олон тооны хуулийн үйл ажиллагаа илэрч, бүх осол бие биенээ үгүйсгэдэг хангалттай их хэмжээний материал дээр үндэслэсэн тохиолдолд хүрдэг;
  • дундаж утгыг тооцоолохдоо түүний тооцооллын зорилго, гэж нэрлэгддэг зүйлийг тогтоох нь чухал юм. тодорхойлох үзүүлэлт-утас(хөрөнгө) чиглүүлэх ёстой.

Тодорхойлогч үзүүлэлт нь дундаж үзүүлэлтийн утгуудын нийлбэр, түүний нийлбэр байж болно харилцан үнэ цэнэ, түүний утгуудын бүтээгдэхүүн гэх мэт. Тодорхойлогч үзүүлэлт ба дундаж утгын хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: хэрэв дундаж үзүүлэлтийн бүх утгыг дундаж утгаар сольсон бол энэ тохиолдолд тэдгээрийн нийлбэр эсвэл үржвэр нь байхгүй болно. тодорхойлох үзүүлэлтийг өөрчлөх. Тодорхойлогч үзүүлэлтийг дундаж утгатай холбох үндсэн дээр дундаж утгыг шууд тооцоолох анхны тоон харьцааг бий болгодог. Статистикийн популяцийн шинж чанарыг хадгалах дундаж үзүүлэлтүүдийн чадварыг нэрлэдэг өмчийг тодорхойлох.

Нийт хүн амд тооцсон дундаж утгыг нэрлэнэ ерөнхий дундаж;бүлэг тус бүрээр тооцсон дундаж утгууд - бүлгийн дундаж.Нийт дундаж нь тусгагдсан нийтлэг шинж чанаруудсудалж буй үзэгдлийн хувьд бүлгийн дундаж нь тухайн бүлгийн тодорхой нөхцөлд хөгжиж буй үзэгдлийг тодорхойлдог.

Тооцооллын аргууд нь өөр байж болох тул статистикийн хувьд хэд хэдэн төрлийн дундажийг ялгадаг бөгөөд тэдгээрийн гол нь арифметик дундаж, гармоник дундаж, геометрийн дундаж юм.

Эдийн засгийн шинжилгээнд дундаж үзүүлэлтийг ашиглах нь үр дүнг үнэлэх гол хэрэгсэл болдог. шинжлэх ухаан, технологийн дэвшил, нийгмийн үйл явдал, эдийн засгийн хөгжлийн нөөцийг хайх. Үүний зэрэгцээ дундаж үзүүлэлтүүдэд хэт их анхаарал хандуулах нь эдийн засаг, статистикийн дүн шинжилгээ хийхдээ өрөөсгөл дүгнэлтэд хүргэдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ нь ерөнхий үзүүлэлт болох дундаж утгууд нь хүн амын бие даасан нэгжийн тоон шинж чанарын ялгааг үгүйсгэж, үл тоомсорлож байгаатай холбоотой юм.

Дундажуудын төрлүүд

Статистикийн хувьд янз бүрийн төрлийн дундажийг ашигладаг бөгөөд эдгээр нь хоёр том ангилалд хуваагддаг.

  • чадлын дундаж (гармоник дундаж, геометрийн дундаж, арифметик дундаж, дундаж квадрат, дундаж куб);
  • бүтцийн дундаж (горим, медиан).

Тооцоолохын тулд хүч гэсэн үгболомжтой бүх шинж чанарын утгыг ашиглах ёстой. Загварболон дундажнь зөвхөн тархалтын бүтцээр тодорхойлогддог тул тэдгээрийг бүтцийн, байрлалын дундаж гэж нэрлэдэг. Дундаж экспоненциалыг тооцоолох боломжгүй эсвэл практик бус популяциудад дундаж үзүүлэлт болон горимыг ихэвчлэн дундаж үзүүлэлт болгон ашигладаг.

Дундажийн хамгийн түгээмэл төрөл бол арифметик дундаж юм. Доод Арифметик дундажЭнэ нь тухайн шинж чанарын бүх утгыг нийт хүн амын бүх нэгжид жигд хуваарилсан тохиолдолд хүн амын нэгж бүрт байх шинж чанарын утга гэж ойлгогддог. Энэ утгын тооцоог хувьсагчийн шинж чанарын бүх утгуудын нийлбэр болгон бууруулж, үр дүнг нь хуваана. нийтнэгтгэсэн нэгжүүд. Жишээлбэл, таван ажилчин эд анги үйлдвэрлэх захиалгыг гүйцэтгэсэн бол эхнийх нь 5 эд анги, хоёр дахь нь 7, гурав дахь нь 4, дөрөв дэх нь 10, тав дахь нь 12 ширхэг үйлдвэрлэсэн. Сонголт бүрийн үнэ цэнэ нэг л удаа гарсан тул Эхний өгөгдөлд нэг ажилтны дундаж гаралтыг тодорхойлохын тулд энгийн арифметик дундаж томъёог хэрэглэнэ.

өөрөөр хэлбэл, бидний жишээн дээр нэг ажилтны дундаж гарц тэнцүү байна

Энгийн арифметик дундажтай зэрэгцэн суралцдаг жигнэсэн арифметик дундаж.Жишээлбэл, 18-22 насны 20 хүний ​​бүлгийн оюутнуудын дундаж насыг тооцоод үзье. xi- дундаж үзүүлэлтийн хувилбарууд, fi- давтамж, энэ нь хэдэн удаа тохиолддогийг харуулдаг i-рнийлбэр дэх утга (Хүснэгт 5.1).

Хүснэгт 5.1

Оюутнуудын дундаж нас

Жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.


Жигнэсэн арифметик дундажийг сонгох тодорхой дүрэм байдаг: хэрэв хоёр үзүүлэлтийн цуврал өгөгдөл байгаа бол аль нэгийг нь тооцоолох шаардлагатай.

дундаж утга, үүнтэй зэрэгцэн түүний логик томъёоны хуваагчийн тоон утгууд мэдэгдэж, тоологчийн утгууд тодорхойгүй боловч үржвэр хэлбэрээр олж болно. Эдгээр үзүүлэлтүүд, дараа нь дундаж утгыг арифметик жигнэсэн дундаж томъёог ашиглан тооцоолох хэрэгтэй.

Зарим тохиолдолд статистикийн анхны өгөгдлийн мөн чанар нь арифметик дундажийг тооцоолох нь утгаа алддаг бөгөөд цорын ганц ерөнхий үзүүлэлт нь зөвхөн өөр төрлийн дундаж утга байж болно. дундаж гармоник.Одоогийн байдлаар электрон компьютер өргөн тархсантай холбоотойгоор арифметик дундажийн тооцооллын шинж чанарууд нь статистикийн ерөнхий үзүүлэлтүүдийг тооцоолоход ач холбогдолгүй болсон. том практик үнэ цэнэГармоник дундаж утгыг олж авсан бөгөөд энэ нь бас энгийн бөгөөд жинтэй. Хэрэв логик томьёоны тоологчийн тоон утгууд мэдэгдэж байгаа бөгөөд хуваагчийн утгууд нь тодорхойгүй боловч нэг үзүүлэлтийг нөгөө үзүүлэлтээр олох боломжтой бол дундаж утгыг жигнэсэн гармоникоор тооцоолно. дундаж томъёо.

Жишээлбэл, машин эхний 210 ​​км-ийг 70 км/цагийн хурдтай, үлдсэн 150 км-ийг 75 км/цагийн хурдтайгаар туулсан гэдгийг мэдэгдье. Арифметик дундаж томъёог ашиглан 360 км замыг туулахдаа машины дундаж хурдыг тодорхойлох боломжгүй юм. Сонголтууд нь бие даасан хэсгүүдийн хурд юм xj= 70 км/цаг ба X2= 75 км / цаг, жин (fi) нь замын харгалзах сегментүүд бөгөөд жингийн сонголтуудын бүтээгдэхүүнүүд нь физик болон эдийн засгийн утгагүй болно. Энэ тохиолдолд замын сегментүүдийг харгалзах хурд (xi сонголт) болгон хуваах нь утга учиртай болно, өөрөөр хэлбэл замын тусдаа хэсгүүдийг туулахад зарцуулсан цаг хугацаа (fi) / xi). Хэрэв замын сегментүүдийг fi гэж тэмдэглэсэн бол бүх замыг Σfi, бүх замд зарцуулсан хугацааг Σ fi гэж илэрхийлнэ. / xi , Дараа нь дундаж хурдыг нийт зайны коэффициентийг зарцуулсан нийт хугацаанд хувааж болно.

Бидний жишээн дээр бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв бүх сонголтуудын дундаж гармоник жин (f) тэнцүү байвал жигнэсэн нэгийн оронд та ашиглаж болно. энгийн (жингүй) гармоник дундаж:

хаана xi - бие даасан сонголтууд; n- дундаж үзүүлэлтийн хувилбаруудын тоо. Хурдтай жишээн дээр өөр өөр хурдтай явсан замын сегментүүд тэнцүү байвал энгийн гармоник дундажийг хэрэглэж болно.

Дундаж үзүүлэлтийн хувилбар бүрийг орлуулах үед дундаж үзүүлэлттэй холбоотой зарим эцсийн, ерөнхий үзүүлэлтийн утга өөрчлөгдөхгүй байхаар аливаа дундаж утгыг тооцоолох хэрэгтэй. Тиймээс замын бие даасан хэсгүүдийн бодит хурдыг дундаж утгаараа (дундаж хурд) солих үед нийт зай өөрчлөгдөх ёсгүй.

Дундаж утгын хэлбэр (томъёо) нь энэхүү эцсийн үзүүлэлтийн дундаж үзүүлэлттэй харьцах шинж чанар (механизм) -аар тодорхойлогддог тул эцсийн үзүүлэлт нь сонголтуудыг дундаж утгаараа солих үед утга нь өөрчлөгдөх ёсгүй. , гэж нэрлэдэг тодорхойлох үзүүлэлт.Дундаж томьёог гаргахын тулд дундаж үзүүлэлтийг тодорхойлох үзүүлэлтийн хамаарлыг ашиглан тэгшитгэл зохиож, шийдвэрлэх шаардлагатай. Дундаж үзүүлэлтийн (заагч) хувилбаруудыг дундаж утгаараа сольж энэ тэгшитгэлийг байгуулна.

Статистикт арифметик дундаж ба гармоник дундажаас гадна дундажийн бусад төрлийг (хэлбэрүүдийг) ашигладаг. Эдгээр нь бүгд онцгой тохиолдол юм. зэргийн дундаж.Хэрэв бид бүх төрлийн эрчим хүчний хуулийн дундаж утгыг ижил өгөгдөлд тооцвол утгууд

Тэд адилхан байх болно, дүрэм энд үйлчилнэ гол мэргэжилдунд. Дундажийн илтгэгч нэмэгдэхийн хэрээр дундаж нь өөрөө өснө. Практик судалгаанд хамгийн өргөн хэрэглэгддэг тооцооны томьёо төрөл бүрийнЭрчим хүчний дундаж утгыг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 5.2.

Хүснэгт 5.2


Боломжтой үед геометрийн дундажийг хэрэглэнэ. nөсөлтийн хүчин зүйлүүд байдаг бол зан чанарын хувь хүний ​​үнэ цэнэ нь дүрмээр бол харьцангуй үнэ цэнэдинамикийг цуврал динамик дахь түвшин бүрийн өмнөх түвшинтэй харьцуулсан гинжин утгын хэлбэрээр бүтээдэг. Дундаж нь дундаж өсөлтийн хурдыг тодорхойлдог. геометрийн дундаж энгийнтомъёогоор тооцоолно

Томъёо геометрийн дундаж жинтэйдараах хэлбэртэй байна:

Дээрх томъёонууд нь ижил боловч нэг нь одоогийн коэффициент эсвэл өсөлтийн хурдаар, хоёр дахь нь цувралын түвшний үнэмлэхүй утгуудад хэрэглэгддэг.

язгуур дундаж квадратЭнэ нь квадрат функцын утгуудыг тооцоолоход хэрэглэгддэг бөгөөд тархалтын цуврал дахь арифметик дундажийн эргэн тойронд шинж чанарын бие даасан утгуудын хэлбэлзлийн түвшинг хэмжихэд хэрэглэгддэг бөгөөд томъёогоор тооцоолно.

Дундаж квадрат жинтэйөөр томъёогоор тооцоолно:

Дундаж кубкуб функцийн утгуудыг тооцоолоход ашигладаг бөгөөд томъёогоор тооцоолно

жигнэсэн дундаж куб:

Дээрх бүх дундаж утгыг ерөнхий томъёогоор илэрхийлж болно.

дундаж утга хаана байна; - хувь хүний ​​үнэ цэнэ; n- судлагдсан хүн амын нэгжийн тоо; к- дундажийн төрлийг тодорхойлдог экспонент.

Нэг эх сурвалжийн өгөгдлийг ашиглах үед илүү их к in ерөнхий томъёодундаж хүч байх тусам дундаж нь их байх болно. Үүнээс үзэхэд эрх мэдлийн үнэт зүйлсийн хооронд тогтмол хамаарал байдаг:

Дээр дурдсан дундаж утгууд нь судалж буй хүн амын ерөнхий ойлголтыг өгдөг бөгөөд энэ үүднээс авч үзвэл тэдгээрийн онолын, хэрэглээний болон танин мэдэхүйн ач холбогдол нь маргаангүй юм. Гэхдээ энэ нь дундаж утга нь бодит ямар ч давхцахгүй байх нь тохиолддог одоо байгаа сонголтуудТиймээс статистикийн шинжилгээнд авч үзсэн дунджаас гадна дараалсан (эргэлсэн) цуврал шинж чанарын утгуудад тодорхой байр суурь эзэлдэг тодорхой сонголтуудын утгыг ашиглахыг зөвлөж байна. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн дунд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг бүтцийн,эсвэл дүрсэлсэн, дундаж- горим (Mo) ба медиан (Me).

Загвар- энэ популяцид ихэвчлэн олддог шинж чанарын үнэ цэнэ. Вариацын цувралын хувьд горим нь эрэмблэгдсэн цувралын хамгийн их тохиолддог утга, өөрөөр хэлбэл хамгийн өндөр давтамжтай хувилбар юм. Загварыг ашиглан хамгийн их зочилдог дэлгүүр, аливаа бүтээгдэхүүний хамгийн түгээмэл үнийг тодорхойлж болно. Энэ нь хүн амын нэлээд хэсэг нь онцлог шинж чанарын хэмжээг харуулж, томъёогоор тодорхойлогддог

энд x0 нь интервалын доод хязгаар; h- интервалын утга; fm- интервалын давтамж; fm_ 1 - өмнөх интервалын давтамж; fm+ 1 - дараагийн интервалын давтамж.

дундажэрэмбэлсэн эгнээний төвд байрлах хувилбарыг нэрлэнэ. Медиан нь цувааг хоёр тэнцүү хэсэгт хувааснаар түүний хоёр талд ижил тооны хүн амын нэгж байх болно. Үүний зэрэгцээ, хүн амын нэг хагаст хувьсагчийн шинж чанарын утга нь медианаас бага, нөгөө хагаст нь түүнээс их байна. Утга нь тархалтын цувааны элементүүдийн хагасаас их буюу тэнцүү буюу нэг зэрэг бага буюу тэнцүү элементийг шалгах үед медианыг ашиглана. Медиан нь тухайн шинж чанарын утгууд хаана төвлөрч, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн төв хаана байрладаг талаар ерөнхий ойлголтыг өгдөг.

Медианы дүрслэх шинж чанар нь хүн амын тал хувь нь эзэмшдэг өөр өөр шинж чанарын утгуудын тоон хил хязгаарыг тодорхойлдогт илэрдэг. Дискрет вариацын цувралын медианыг олох асуудлыг энгийнээр шийддэг. Хэрэв цувралын бүх нэгжийг өгсөн бол дарааллын дугаарууд, тэгвэл дундаж хувилбарын серийн дугаарыг (n + 1) / 2 сондгой тооны гишүүн n гэж тодорхойлно.Хэрэв цувралын гишүүний тоо тэгш тоо байвал медиан нь хоёрын дундаж утга болно. серийн дугаартай хувилбарууд n/ 2 ба n / 2 + 1.

Интервалын вариацын цувааны медианыг тодорхойлохдоо эхлээд түүний байрлах интервалыг (медиан интервал) тодорхойлно. Энэ интервал нь түүний хуримтлагдсан давтамжийн нийлбэр нь цувралын бүх давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү буюу хагасаас их байгаагаар тодорхойлогддог. Интервалын хэлбэлзлийн цувралын медианыг тооцоолохдоо томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ

хаана X0- интервалын доод хязгаар; h- интервалын утга; fm- интервалын давтамж; е- цувралын гишүүдийн тоо;

∫m-1 - үүнээс өмнөх цувралын хуримтлагдсан нөхцлийн нийлбэр.

Дэлгэрэнгүйг харуулах медиантай хамт бүрэн шинж чанаруудсудлагдсан популяцийн бүтэц нь эрэмбэлсэн цувралд нэлээд тодорхой байр суурь эзэлдэг сонголтуудын бусад утгыг ашигладаг. Үүнд: квартилболон децили.Квартилууд нь цувааг давтамжийн нийлбэрээр 4 тэнцүү хэсэгт, дециль нь 10 тэнцүү хэсэгт хуваадаг. Гурван квартил, есөн дециль байна.

Медиан ба горим нь арифметик дундажаас ялгаатай нь хувьсагчийн шинж чанарын утгуудын бие даасан ялгааг арилгадаггүй тул нэмэлт бөгөөд маш их байдаг. чухал шинж чанаруудстатистикийн нэгтгэл. Практикт тэдгээрийг ихэвчлэн дундажийн оронд эсвэл түүнтэй хамт ашигладаг. Судалгаанд хамрагдсан хүн ам нь хувьсагчийн шинж чанарын маш том эсвэл маш бага утгатай тодорхой тооны нэгжийг агуулж байгаа тохиолдолд медиан ба горимыг тооцоолох нь ялангуяа зүйтэй юм. Хүн амын хувьд тийм ч онцлог биш, арифметик дундажийн утгад нөлөөлөхийн зэрэгцээ медиан ба горимын утгад нөлөөлөхгүй байгаа сонголтуудын эдгээр утгууд нь эдийн засаг, статистикийн шинжилгээнд маш үнэ цэнэтэй үзүүлэлт болдог. .

Өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд

Статистикийн судалгааны зорилго нь судлагдсан статистикийн популяцийн үндсэн шинж чанар, зүй тогтлыг тодорхойлох явдал юм. Статистикийн ажиглалтын өгөгдлийг нэгтгэн боловсруулах явцад бид бүтээдэг түгээлтийн шугамууд.Бүлэглэлийн үндэс болгон авсан шинж чанар нь чанарын эсвэл тоон шинж чанартай эсэхээс хамааран атрибутив ба вариацын гэсэн хоёр төрлийн тархалтын цуврал байдаг.

хувьсахтоон үндсэн дээр баригдсан түгээлтийн цуврал гэж нэрлэдэг. Хүн амын бие даасан нэгжийн тоон шинж чанарын утгууд нь тогтмол биш, бие биенээсээ их эсвэл бага ялгаатай байдаг. Энэ шинж чанарын үнэ цэнийн ялгааг нэрлэдэг өөрчлөлтүүд.Судалгаанд хамрагдсан популяцид тохиолддог шинж чанарын тусдаа тоон утгыг нэрлэдэг үнэ цэнийн сонголтууд.Хүн амын бие даасан нэгжид хэлбэлзэл байгаа нь шинж чанарын түвшинг бүрдүүлэхэд олон тооны хүчин зүйлсийн нөлөөлөлтэй холбоотой юм. Хүн амын бие даасан нэгж дэх шинж тэмдгүүдийн өөрчлөлтийн шинж чанар, түвшинг судлах нь аливаа статистикийн судалгааны хамгийн чухал асуудал юм. Хувьсах үзүүлэлтүүдийг шинж чанарын хэлбэлзлийн хэмжүүрийг тодорхойлоход ашигладаг.

Өөр чухал ажилСтатистикийн судалгаа нь хүн амын тодорхой шинж тэмдгүүдийн өөрчлөлтөд хувь хүний ​​хүчин зүйл эсвэл тэдгээрийн бүлгүүдийн үүргийг тодорхойлох явдал юм. Статистикийн ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хэлбэлзлийг хэмждэг шалгуур үзүүлэлтийн системийг ашиглахад үндэслэн хэлбэлзлийг судлах тусгай аргыг ашигладаг. Практикт судлаач шинж чанарын утгын хувьд хангалттай олон тооны сонголтуудтай тулгардаг бөгөөд энэ нь нийлбэр дэх шинж чанарын утгын дагуу нэгжийн хуваарилалтын талаархи ойлголтыг өгдөггүй. Үүнийг хийхийн тулд шинж чанарын утгуудын бүх хувилбаруудыг өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулна. Энэ процессыг нэрлэдэг эгнээний зэрэглэл.Эрэмбэлэгдсэн цуврал нь тухайн шинж чанарыг нэгтгэсэн утгын талаархи ерөнхий санааг шууд өгдөг.

Хүн амын бүрэн шинж чанарыг тодорхойлох дундаж утга хангалтгүй байгаа нь судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийг (хувилбар) хэмжих замаар эдгээр дундаж үзүүлэлтүүдийн ердийн байдлыг үнэлэх боломжийг олгодог үзүүлэлтээр дундаж утгыг нөхөх шаардлагатай болдог. Эдгээр өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүдийг ашиглах нь статистик дүн шинжилгээг илүү бүрэн гүйцэд, утга учиртай болгох, улмаар судалж буй нийгмийн үзэгдлийн мөн чанарыг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог.

Өөрчлөлтийн хамгийн энгийн шинж тэмдгүүд нь хамгийн багаболон дээд тал нь -хамгийн жижиг ба хамгийн өндөр үнэ цэнэнийлбэр дэх шинж чанар. Онцлог утгын бие даасан хувилбаруудын давталтын тоог нэрлэдэг давталтын түвшин.Онцлогын утгыг давтах давтамжийг тэмдэглэе fi,Судалгаанд хамрагдсан популяцийн эзлэхүүнтэй тэнцүү давтамжийн нийлбэр нь:

хаана к- шинж чанарын утгын хувилбаруудын тоо. Давтамжийг давтамжаар солиход тохиромжтой - w.i. Давтамж- харьцангуй давтамжийн индикатор - нэгжийн бутархай эсвэл хувиар илэрхийлж болох ба вариацын цувралыг харьцуулах боломжийг олгодог. өөр тооажиглалт. Бид албан ёсоор:

Тухайн шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмжихийн тулд төрөл бүрийн үнэмлэхүй ба харьцангуй үзүүлэлтүүдийг ашигладаг. Хувьсах үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдэд дундаж шугаман хазайлт, хэлбэлзлийн хүрээ, дисперс, стандарт хазайлт орно.

Хүрээний өөрчлөлт(R) нь судлагдсан популяцийн шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгын зөрүү юм. Р= Xmax - Xmin. Энэ үзүүлэлт нь зөвхөн хувилбаруудын хязгаарлагдмал утгуудын хоорондын ялгааг харуулдаг тул судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийн талаархи хамгийн ерөнхий ойлголтыг өгдөг. Энэ нь давтамжтай огт холбоогүй юм вариацын цуврал, өөрөөр хэлбэл, тархалтын шинж чанар, түүний хамаарал нь зөвхөн шинж чанарын хэт утгуудаас тогтворгүй, санамсаргүй шинж чанарыг өгч чадна. Өөрчлөлтийн хүрээ нь судлагдсан популяцийн онцлог шинж чанарын талаар ямар ч мэдээлэл өгөхгүй бөгөөд олж авсан дундаж утгуудын ердийн байдлын зэргийг үнэлэх боломжийг бидэнд олгодоггүй. Энэ үзүүлэлтийн хамрах хүрээ нь нэлээд нэгэн төрлийн популяциар хязгаарлагддаг, илүү нарийвчлалтай, энэ нь шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь шинж чанарын бүх утгын хэлбэлзлийг харгалзан үзсэн үзүүлэлт юм.

Шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлохын тулд судалж буй популяцид хамаарах аливаа утгын бүх утгын хазайлтыг нэгтгэх шаардлагатай. Ийм үзүүлэлтүүд

дундаж шугаман хазайлт, дисперс ба стандарт хазайлт зэрэг өөрчлөлтүүд нь популяцийн бие даасан нэгжийн шинж чанарын утгын арифметик дунджаас хазайлтыг харгалзан үзэхэд суурилдаг.

Дундаж шугаман хазайлтХувь хүний ​​сонголтуудын арифметик дунджаас хазайсан үнэмлэхүй утгын арифметик дундаж нь:


Арифметик дунджаас хувилбарын хазайлтын үнэмлэхүй утга (модуль); f-давтамж.

Эхний томъёог хэрэв сонголт тус бүр нь нэгдэлд зөвхөн нэг удаа, хоёр дахь нь тэгш бус давтамжтай цувралаар тохиолдвол хэрэглэнэ.

Арифметик дунджаас сонголтуудын хазайлтыг дундажлах өөр нэг арга бий. Статистикийн хувьд маш түгээмэл байдаг энэ аргыг дундаж утгаас сонголтуудын квадрат хазайлтыг дараагийн дундажаар тооцоолоход багасгасан. Энэ тохиолдолд бид өөрчлөлтийн шинэ үзүүлэлт болох дисперсийг авдаг.

Тархалт(σ 2) - шинж чанарын утгын хувилбаруудын дундаж утгаас квадрат хазайлтын дундаж:

Хувилбарууд нь өөрийн жинтэй (эсвэл вариацын цувралын давтамжтай) бол хоёр дахь томъёог ашиглана.

Эдийн засаг, статистикийн шинжилгээнд ихэвчлэн стандарт хазайлтыг ашиглан шинж чанарын өөрчлөлтийг үнэлэх нь заншилтай байдаг. Стандарт хэлбэлзэл(σ) нь дисперсийн квадрат язгуур юм:

Дундаж шугаман ба дундаж квадрат хазайлт нь шинж чанарын утга нь судалж буй хүн амын нэгжийн хувьд дунджаар хэр их хэлбэлзэж байгааг харуулдаг бөгөөд хувилбаруудтай ижил нэгжээр илэрхийлэгдэнэ.

Статистикийн практикт өөрчлөлтийг харьцуулах шаардлагатай болдог янз бүрийн шинж тэмдэг. Жишээлбэл, боловсон хүчний нас, тэдний мэргэшил, ажилласан хугацаа, цалин хөлс гэх мэт өөрчлөлтүүдийг харьцуулах нь ихээхэн сонирхол татаж байна. Ийм харьцуулалт хийхэд тэмдгүүдийн үнэмлэхүй хэлбэлзлийн үзүүлэлтүүд - дундаж шугаман болон стандарт хазайлт тохиромжгүй байдаг. . Жилээр илэрхийлсэн ажлын туршлагын хэлбэлзлийг рубль, копейкээр илэрхийлсэн цалингийн хэлбэлзэлтэй харьцуулах нь үнэндээ боломжгүй юм.

Нийтлэг дэх янз бүрийн шинж чанаруудын хувьсах чадварыг харьцуулахдаа харьцангуй өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүдийг ашиглах нь тохиромжтой. Эдгээр үзүүлэлтүүдийг үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдийн арифметик дундаж (эсвэл медиан)-д харьцуулсан харьцаагаар тооцдог. Хувьсах хүрээ, дундаж шугаман хазайлт, стандарт хазайлтыг вариацын үнэмлэхүй үзүүлэлт болгон ашиглан хэлбэлзлийн харьцангуй үзүүлэлтүүдийг олж авна.


Хүн амын нэг төрлийн байдлыг тодорхойлдог харьцангуй хэлбэлзлийн хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм. Хэвийн ойролцоо тархалтын хувьд вариацын коэффициент 33%-иас хэтрэхгүй бол багцыг нэгэн төрлийн гэж үзнэ.

Үүнтэй төстэй нийтлэлүүд

2022 parki48.ru. Бид хүрээ байшин барьж байна. Тохижилт. Барилга. Суурь.