Стандарт хазайлт нь хэтрэхгүй байна. Дундаж шугаман ба стандарт хазайлт

Стандарт хазайлт нь тэдгээрийн нэг юм статистикийн нэр томъёоКорпорацийн ертөнцөд энэ нь харилцан яриа, илтгэлийн үеэр үүнийг амжилттай хийж чадсан хүмүүсийн эрх мэдлийг дээшлүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь юу болохыг мэдэхгүй, гэхдээ асуухаас эргэлздэг хүмүүст тодорхойгүй үл ойлголцлыг үлдээдэг. Үнэн хэрэгтээ ихэнх менежерүүд стандарт хазайлт гэдэг ойлголтыг ойлгодоггүй бөгөөд хэрэв та тэдний нэг бол та худлаа амьдрахаа болих цаг болжээ. Өнөөдрийн нийтлэлд би энэхүү дутуу үнэлэгдсэн статистик нь таны ажиллаж буй өгөгдлийг илүү сайн ойлгоход хэрхэн тусалж болохыг харуулах болно.

Стандарт хазайлтыг юу хэмждэг вэ?

Та хоёр дэлгүүрийн эзэн байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Мөн алдагдлаас зайлсхийхийн тулд хувьцааны үлдэгдэлд тодорхой хяналт тавих нь чухал юм. Хамгийн сайн хувьцааны менежер хэн болохыг олж мэдэхийн тулд та сүүлийн зургаан долоо хоногийн хувьцаанд дүн шинжилгээ хийхээр шийдсэн. Хоёр дэлгүүрийн долоо хоногийн дундаж үнэ ойролцоогоор ижил бөгөөд ердийн 32 нэгж байна. Өнгөц харахад хувьцааны дундаж үнэ цэнэ нь хоёр менежер хоёулаа адилхан ажилладаг болохыг харуулж байна.

Харин хоёр дахь дэлгүүрийн үйл ажиллагааг сайтар ажиглавал дундаж үнэ нь зөв ч хувьцааны хэлбэлзэл маш өндөр (10-58 ам.доллар) байгааг харж болно. Тиймээс дундаж нь өгөгдлийг үргэлж зөв үнэлдэггүй гэж дүгнэж болно. Эндээс л хэрэг болно стандарт хэлбэлзэл.

Стандарт хазайлт нь утгууд нь бидний дундажтай харьцуулахад хэрхэн тархаж байгааг харуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, долоо хоногоос долоо хоногт урсац ямар их байгааг ойлгож болно.

Бидний жишээн дээр бид ашигласан Excel функцСтандарт хазайлтын оноог дундажийн хамт тооцоолохын тулд STDEV.

Эхний менежерийн хувьд стандарт хазайлт 2 байсан. Энэ нь түүврийн утга тус бүр дунджаас дунджаар 2-оор хазайж байгааг харуулж байна. Сайн байна уу? Асуултыг өөр өнцгөөс харцгаая - 0-ийн стандарт хазайлт нь түүврийн утга тус бүр нь түүний дундаж утгатай тэнцүү болохыг хэлдэг (манай тохиолдолд 32.2). Жишээлбэл, стандарт хазайлт 2 нь 0-ээс тийм ч их ялгаатай биш бөгөөд ихэнх утгууд дундажтай ойролцоо байгааг харуулж байна. Стандарт хазайлт 0-д ойртох тусам дундаж нь илүү найдвартай байдаг. Түүнчлэн 0-тэй ойролцоо стандарт хазайлт нь өгөгдлийн бага зэрэг өөрчлөгддөг болохыг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, 2 стандарт хазайлттай угаалтуурын утга нь эхний менежерийн гайхалтай тууштай байдлыг илтгэнэ.

Хоёр дахь дэлгүүрийн хувьд стандарт хазайлт 18.9 байв. Өөрөөр хэлбэл, урсацын зардал долоо хоногоос долоо хоног хүртэл дундаж утгаасаа дунджаар 18.9-оор хазайдаг. Галзуу тархалт! Стандарт хазайлт 0-ээс хол байх тусам дундаж нарийвчлал бага байна. Манай тохиолдолд 18.9 гэсэн тоо нь дундаж утгыг (долоо хоногт 32.8 доллар) зүгээр л итгэж болохгүйг харуулж байна. Энэ нь долоо хоног бүрийн урсац маш их хувьсах шинж чанартай байдаг гэдгийг бидэнд хэлдэг.

Товчхондоо энэ бол стандарт хазайлт гэсэн ойлголт юм. Хэдийгээр энэ нь бусад чухал статистик хэмжилтийн талаар ойлголт өгдөггүй (Годог, Медиан ...), үнэндээ стандарт хазайлт нь ихэнх статистикийн тооцоололд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Стандарт хазайлтын зарчмуудыг ойлгох нь таны үйл ажиллагааны олон үйл явцын мөн чанарыг тодруулах болно.

Стандарт хазайлтыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Тиймээс одоо бид стандарт хазайлтын тоо юу болохыг мэдэж байна. Үүнийг хэрхэн тооцож байгааг харцгаая.

10-аас 70 хүртэлх өгөгдлийн багцыг 10-ын өсөлтөөр авч үзье. Таны харж байгаагаар би H2 (улбар шар) нүдэнд STDEV функцийг ашиглан тэдгээрийн стандарт хазайлтыг аль хэдийн тооцоолсон болно.

Excel-ийн 21.6-д хүрэхийн тулд хийх алхамуудыг доор харуулав.

Илүү сайн ойлгохын тулд бүх тооцооллыг нүдээр харуулсныг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ Excel-д тооцоолол нь агшин зуур хийгддэг бөгөөд бүх алхмуудыг хөшигний ард үлдээдэг.

Excel эхлээд түүврийн дундаж утгыг олдог. Манай тохиолдолд дундаж нь 40 болж, дараагийн алхамд түүврийн утга тус бүрээс хасагдана. Үр дүнгийн зөрүү бүрийг квадрат болгож, нэгтгэн дүгнэнэ. Бид 2800-тай тэнцэх нийлбэрийг авсан бөгөөд үүнийг түүврийн элементүүдийн тооноос хасах 1-д хуваах ёстой. Бид 7 элементтэй тул 2800-г 6-д хуваах шаардлагатай болж байна. Үр дүнд нь бид квадрат язгуурыг олно. стандарт хазайлт байх болно.

Дүрслэл ашиглан стандарт хазайлтыг тооцоолох зарчмын талаар бүрэн ойлгомжгүй хүмүүст би энэ утгыг олох математик тайлбарыг өгдөг.

Excel-ийн стандарт хазайлтыг тооцоолох функцууд

Excel-д хэд хэдэн төрлийн стандарт хазайлтын томъёо байдаг. Та зүгээр л =STDEV гэж бичвэл та өөрөө харах болно.

STDEV.V ба STDEV.G (жагсаалтын эхний ба хоёр дахь функц) нь өмнөхтэй нь нийцүүлэхийн тулд хадгалагдаж байсан STDEV ба STDEV (жагсаалтын тав, зургаа дахь функц) функцүүдийг давхарддаг болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Excel-ийн хувилбарууд.

Ерөнхийдөө .V ба .G функцүүдийн төгсгөлийн зөрүү нь түүврийн стандарт хазайлтыг тооцоолох зарчмыг харуулж байна. хүн ам. Энэ хоёр массивын ялгааг би өмнөх хэсэгт аль хэдийн тайлбарласан.

STDEV ба STDEVPA функцүүдийн нэг онцлог (жагсаалтын гурав ба дөрөв дэх функц) нь массивын стандарт хазайлтыг тооцоолохдоо логик болон текст утгыг харгалзан үздэг. Текст болон үнэн логик утга нь 1, худал логик утга нь 0 байна. Энэ хоёр функц хэрэгтэй байгаа нөхцөл байдлыг төсөөлөхөд надад хэцүү байдаг тул тэдгээрийг үл тоомсорлож болно гэж би бодож байна.

Заавар

Тодорхойлсон хэд хэдэн тоо байна - эсвэл нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүн. Жишээлбэл, хэмжилт, жинлэлт, статистикийн ажиглалтын үр дүн гэх мэт. Үзүүлсэн бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хэмжүүрээр хэмжих ёстой. Олох стандарт хэлбэлзэл, дараах зүйлийг хийнэ үү.

Бүх тооны арифметик дундажийг тодорхойл: бүх тоог нэмээд нийлбэрийг хуваа нийттоо.

Тоонуудын тархалтыг (тараа) тодорхойлно: өмнө нь олдсон хазайлтын квадратуудыг нэмж, гарсан нийлбэрийг тооны тоонд хуваа.

Тус тасагт 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 хэмийн халуунтай долоон өвчтөн хэвтэн эмчлүүлж байна.

Дунджаас дундаж хазайлтыг тодорхойлох шаардлагатай.
Шийдэл:
"Тойрогт": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Дунджаас температурын хазайлт (ин Энэ тохиолдолдхэвийн утга): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, энэ нь гарч байна: -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3 (ºС);

Өмнө нь олж авсан тоонуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваа. Тооцооллын нарийвчлалын хувьд тооцоолуур ашиглах нь дээр. Хуваалтын үр дүн нь нийлбэр дүнгийн арифметик дундаж юм.

Тооцооллын хамгийн багадаа нэг алдаа нь эцсийн үзүүлэлтийг буруу гаргахад хүргэдэг тул тооцооллын бүх үе шатанд анхаарлаа хандуулаарай. Хүлээн авсан тооцоог үе шат бүрт шалгана. Арифметик дундаж нь тоонуудын нийлбэртэй ижил хэмжигдэхүүнтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл ирцийн дундажийг тодорхойлох юм бол бүх үзүүлэлтүүд нь "хүн" байх болно.

Энэ аргатооцооллыг зөвхөн математик болон статистикийн тооцоонд ашигладаг. Жишээлбэл, компьютерийн шинжлэх ухааны арифметик дундаж нь өөр тооцооллын алгоритмтай байдаг. Арифметик дундаж нь маш нөхцөлт үзүүлэлт юм. Энэ нь зөвхөн нэг хүчин зүйл эсвэл үзүүлэлттэй байх тохиолдолд үйл явдлын магадлалыг харуулдаг. Хамгийн гүнзгий дүн шинжилгээ хийхийн тулд олон хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Үүний тулд илүү ерөнхий хэмжигдэхүүнүүдийн тооцоог ашигладаг.

Арифметик дундаж нь математик, статистикийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг төв хандлагын хэмжүүрүүдийн нэг юм. Хэд хэдэн утгын арифметик дундажийг олох нь маш энгийн боловч даалгавар бүр өөрийн гэсэн нюансуудтай байдаг бөгөөд үүнийг зөв тооцоолол хийхийн тулд мэдэх шаардлагатай.

Ийм туршилтуудын тоон үр дүн.

Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ

Дундаж олох арифметик тоотооны массивын хувьд та эдгээр утгуудын алгебрийн нийлбэрийг тодорхойлох замаар эхлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, массив нь 23, 43, 10, 74, 34 тоонуудыг агуулж байвал тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь 184 болно. Бичих үед арифметик дундажийг μ (mu) эсвэл x (х баартай) үсгээр тэмдэглэнэ. . Дараа нь алгебрийн нийлбэрийг массив дахь тоонуудын тоонд хуваах хэрэгтэй. Энэ жишээнд таван тоо байсан тул арифметик дундаж нь 184/5, 36.8 болно.

Сөрөг тоотой ажиллах онцлог

Хэрэв массив агуулсан бол сөрөг тоонууд, дараа нь арифметик дундажийг олох нь ижил төстэй алгоритмын дагуу явагдана. Програмчлалын орчинд тооцоолохдоо эсвэл даалгавар байгаа тохиолдолд л ялгаа бий нэмэлт нөхцөл. Эдгээр тохиолдолд тоонуудын арифметик дундажийг олох өөр өөр шинж тэмдэггурван алхам хүртэл буцалгана:

1. Стандарт аргаар нийтлэг арифметик дундажийг олох;
2. Сөрөг тооны арифметик дундажийг олох.
3. Эерэг тооны арифметик дундажийг тооцоолох.

Үйлдэл бүрийн хариултыг таслалаар тусгаарлан бичнэ.

Натурал ба аравтын бутархай

Хэрэв тоонуудын массив гарч ирвэл аравтын бутархай, шийдэл нь бүхэл тоонуудын арифметик дундажийг тооцоолох аргын дагуу гардаг боловч хариултын үнэн зөв байхын тулд асуудлын шаардлагын дагуу үр дүн нь буурдаг.

Хамт ажиллаж байхдаа байгалийн фракцуудтэднийг авчрах ёстой Ерөнхий хуваарь, энэ нь массив дахь тооны тоогоор үржигддэг. Хариултын тоологч нь анхны бутархай элементүүдийн өгөгдсөн тооны нийлбэр байх болно.

Энэ нийтлэлд би энэ тухай ярих болно дундажийг хэрхэн олох вэ стандарт хэлбэлзэл . Энэ материал нь математикийн талаар бүрэн ойлголттой болоход маш чухал тул математикийн багш үүнийг судлахад тусдаа хичээл эсвэл бүр хэд хэдэн хичээл зориулах ёстой. Энэ нийтлэлд та стандарт хазайлт гэж юу болох, түүнийг хэрхэн олохыг тайлбарласан дэлгэрэнгүй, ойлгомжтой видео хичээлийн холбоосыг олох болно.

стандарт хэлбэлзэлтодорхой параметрийг хэмжсэний үр дүнд олж авсан утгын тархалтыг тооцоолох боломжтой болгодог. Энэ нь тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг (Грек үсэг "сигма").

Тооцооллын томъёо нь маш энгийн. Стандарт хазайлтыг олохын тулд та дисперсийн квадрат язгуурыг авах хэрэгтэй. Тэгэхээр одоо та "Дэлбэрэл гэж юу вэ?" гэж асуух хэрэгтэй.

Тархалт гэж юу вэ

Вариацын тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна. Тархалт гэдэг нь утгуудын дунджаас хазайсан квадратын арифметик дундаж юм.

Зөрчлийг олохын тулд дараах тооцоог дарааллаар гүйцэтгэнэ.

• Дундаж утгыг тодорхойлох (цуврал утгын энгийн арифметик дундаж).
• Дараа нь утгууд тус бүрээс дундажийг хасч, үүссэн зөрүүг квадрат болгоно (бид авсан ялгаа квадрат).
• Дараагийн алхам бол олж авсан ялгаануудын квадратуудын арифметик дундажийг тооцоолох явдал юм (Яагаад яг квадратууд байгааг та доороос олж мэдэх боломжтой).

Нэг жишээ авч үзье. Та болон таны найзууд нохойнхоо өндрийг (миллиметрээр) хэмжихээр шийдсэн гэж бодъё. Хэмжилтийн үр дүнд та 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм, 300 мм-ийн өндрийн хэмжилтийг авсан.

Дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолъё.

Эхлээд дундажийг олъё. Та аль хэдийн мэдэж байгаа тул үүний тулд та бүх хэмжсэн утгыг нэмж, хэмжилтийн тоонд хуваах хэрэгтэй. Тооцооллын явц:

Дундаж мм.

Тэгэхээр дундаж (арифметик дундаж) нь 394 мм байна.

Одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй нохой бүрийн өндрийн дунджаас хазайлт:

Эцэст нь, зөрүүг тооцоолох, олж авсан ялгаа бүрийг квадрат болгож, дараа нь олж авсан үр дүнгийн арифметик дундажийг олно.

Тархалт мм 2 .

Тиймээс тархалт нь 21704 мм 2 байна.

Стандарт хазайлтыг хэрхэн олох вэ

Тэгэхээр одоо дисперсийг мэдэж байгаа стандарт хазайлтыг хэрхэн тооцоолох вэ? Бидний санаж байгаагаар үүний квадрат язгуурыг авна. Өөрөөр хэлбэл, стандарт хазайлт нь:

мм (мм-ийн хамгийн ойрын бүхэл тоо хүртэл дугуйрсан).

Энэ аргыг ашиглан бид зарим нохой (жишээ нь, Rottweilers) маш их болохыг олж мэдсэн том нохойнууд. Гэхдээ маш жижиг ноход бас байдаг (жишээлбэл, дахшунд, гэхдээ та тэдэнд үүнийг хэлэх ёсгүй).

Хамгийн сонирхолтой зүйл бол стандарт хазайлтыг дагуулдаг хэрэгтэй мэдээлэл. Одоо бид өсөлтийг хэмжсэн үр дүнгийн аль нь дундажаас (хоёр талдаа) стандарт хазайлтаас салгавал авах интервал дотор байгааг харуулж чадна.

Өөрөөр хэлбэл, стандарт хазайлтыг ашиглан бид "стандарт" аргыг олж авдаг бөгөөд энэ нь утгуудын аль нь хэвийн (статистикийн дундаж), аль нь ер бусын том, эсвэл эсрэгээрээ бага болохыг олж мэдэх боломжийг олгодог.

Стандарт хазайлт гэж юу вэ

Гэхдээ ... дүн шинжилгээ хийвэл бүх зүйл арай өөр болно дээж авахөгөгдөл. Бидний жишээн дээр бид авч үзсэн нийт хүн ам.Энэ бол дэлхий дээрх цорын ганц нохой бол бидний 5 нохой байсан.

Гэхдээ хэрэв өгөгдөл нь түүвэр бол (том хүн амын дундаас сонгосон утгууд) тооцооллыг өөрөөр хийх хэрэгтэй.

Хэрэв утгууд байгаа бол:

Бусад бүх тооцооллыг дундажийг тодорхойлох зэрэг ижил аргаар хийдэг.

Жишээлбэл, хэрэв манай таван нохой бол нохойн популяцийн жишээ юм бол (дэлхийн бүх нохой) бид үүнийг хуваах ёстой. 5-ын оронд 4тухайлбал:

Түүврийн дисперс = мм 2.

Энэ тохиолдолд дээжийн стандарт хазайлт нь тэнцүү байна мм (хамгийн ойрын бүхэл тоо хүртэл дугуйрсан).

Бидний үнэт зүйл бол зүгээр л жижиг дээж байгаа тохиолдолд бид зарим "засвар" хийсэн гэж хэлж болно.

Анхаарна уу. Яагаад яг ялгааны квадратууд байдаг вэ?

Гэхдээ бид дисперсийг тооцоолохдоо яагаад ялгааны квадратыг авдаг вэ? Зарим параметрийг хэмжихдээ та дараах утгуудыг хүлээн авсныг хүлээн зөвшөөрье: 4; дөрөв; - дөрөв; - дөрөв. Хэрэв бид бие биенийхээ дунджаас (ялгаа) үнэмлэхүй хазайлтыг нэмбэл... сөрөг утгуудэерэг талуудтай бие биенээ цуцлах:

.

Энэ сонголт нь ашиггүй болох нь харагдаж байна. Дараа нь хазайлтын үнэмлэхүй утгыг (өөрөөр хэлбэл эдгээр утгуудын модулиудыг) туршиж үзэх нь зүйтэй болов уу?

Эхлээд харахад энэ нь тийм ч муу биш юм (үр дүнгийн утгыг дундаж үнэмлэхүй хазайлт гэж нэрлэдэг), гэхдээ бүх тохиолдолд тийм биш юм. Өөр жишээ татъя. Хэмжилтийн үр дүнд дараах багц утгыг гаргая: 7; нэг; -6; -2. Дараа нь дундаж үнэмлэхүй хазайлт нь:

Блимэй! Бид дахин 4-ийн үр дүнг авсан ч ялгаа нь илүү их тархсан байна.

Хэрэв бид ялгааг квадратад (дараа нь тэдгээрийн нийлбэрийн квадрат язгуурыг авбал) юу болохыг харцгаая.

Эхний жишээнд та дараахь зүйлийг авна.

.

Хоёр дахь жишээний хувьд та дараахь зүйлийг авна.

Одоо бол огт өөр хэрэг! Дундаж квадратын язгуур хазайлт нь их байх тусам ялгааны тархалт их байх болно ... энэ нь бидний зорьж байсан зүйл юм.

Үнэн хэрэгтээ, онд энэ аргаЦэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолохтой ижил санааг зөвхөн өөр аргаар ашигладаг.

Мөн математикийн үүднээс квадрат ашиглах ба квадрат үндэсЭнэ нь хазайлтын үнэмлэхүй утгуудаас илүү их утгыг өгдөг тул стандарт хазайлт нь бусад математикийн асуудлуудад хамааралтай байдаг.

Сергей Валерьевич танд стандарт хазайлтыг хэрхэн олохыг хэлсэн

$X$. Эхлээд дараах тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Хүн ам-- өгөгдсөн төрлийн нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа өөрчлөгдөөгүй нөхцөлд хийгдсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой утгыг олж авахын тулд ажиглалт хийдэг тухайн төрлийн санамсаргүй байдлаар сонгосон объектуудын багц.

Тодорхойлолт 2

Ерөнхий ялгаа-- ерөнхий популяцийн хувилбарын утгуудын дундаж утгаас квадрат хазайлтын арифметик дундаж.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ хувилбарын утгуудад $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ давтамжууд тус тус байг. Дараа нь ерөнхий дисперсийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Санаж үз онцгой тохиолдол. $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ бүх хувилбаруудыг ялгаж үзье. Энэ тохиолдолд $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$ байна. Энэ тохиолдолд ерөнхий хэлбэлзлийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Мөн энэ ойлголттой холбоотой ерөнхий стандарт хазайлтын тухай ойлголт юм.

Тодорхойлолт 3

Ерөнхий стандарт хазайлт

\[(\sigma )_r=\sqrt(D_r)\]

Түүврийн зөрүү

$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой түүвэр багцыг бидэнд өгье. Эхлээд дараах тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 4

Түүвэр популяци-- нийт хүн амын дундаас сонгосон объектуудын нэг хэсэг.

Тодорхойлолт 5

Түүврийн зөрүү-- дундаж арифметик утгууддээж авах сонголт.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ хувилбарын утгуудад $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ давтамжууд тус тус байг. Дараа нь түүврийн зөрүүг дараах томъёогоор тооцоолно.

Онцгой тохиолдлыг авч үзье. $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ бүх хувилбаруудыг ялгаж үзье. Энэ тохиолдолд $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$ байна. Энэ тохиолдолд түүврийн зөрүүг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Энэ ойлголттой холбоотой түүврийн стандарт хазайлтын тухай ойлголт мөн.

Тодорхойлолт 6

Стандарт хазайлтын жишээ-- ерөнхий дисперсийн квадрат язгуур:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\]

Залруулсан зөрүү

Залруулсан дисперсийг $S^2$ олохын тулд түүврийн дисперсийг $\frac(n)(n-1)$ бутархайгаар үржүүлэх шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл.

Энэхүү ойлголт нь залруулсан стандарт хазайлтын тухай ойлголттой холбоотой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олдог.

Хувилбарын утга нь салангид биш, харин интервал байх тохиолдолд ерөнхий буюу түүврийн хэлбэлзлийг тооцоолох томъёонд $x_i$-ийн утгыг $ байх интервалын дундын утга гэж авна. x_i.$-д хамаарна

Дисперс ба стандарт хазайлтыг олох асуудлын жишээ

Жишээ 1

Түүврийн популяцийг дараахь хуваарилалтын хүснэгтээр үзүүлэв.

Зураг 1.

Үүний тулд түүврийн дисперс, түүврийн стандарт хазайлт, зассан дисперс, залруулсан стандарт хазайлтыг олоорой.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд бид тооцооллын хүснэгтийг гаргана.

Зураг 2.

Хүснэгт дэх $\overline(x_v)$ (түүврийн дундаж) утгыг дараах томъёогоор олно.

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15.25\]

Томъёог ашиглан түүврийн зөрүүг ол:

Жишээ стандарт хазайлт:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\ойролцоогоор 5,12\]

Залруулсан зөрүү:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_v=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\ойролцоогоор 27.57\]

Стандарт хазайлтыг зассан.

Өөрчлөлтийн хамгийн төгс шинж чанар нь стандарт хазайлт бөгөөд үүнийг стандарт (эсвэл стандарт хазайлт) гэж нэрлэдэг. Стандарт хэлбэлзэл() нь арифметик дунджаас бие даасан шинж чанарын утгын хазайлтын дундаж квадратын квадрат язгууртай тэнцүү байна:

Стандарт хазайлт нь энгийн:

Бүлэглэсэн өгөгдөлд жигнэсэн стандарт хазайлтыг хэрэглэнэ.

Үндэс дундаж квадрат ба дундаж хооронд шугаман хазайлтнөхцөлд хэвийн тархалтдараах харьцаа явагдана: ~ 1.25.

Өөрчлөлтийн үндсэн үнэмлэхүй хэмжигдэхүүн болох стандарт хазайлт нь хэвийн тархалтын муруйн ординатын утгыг тодорхойлох, түүврийн ажиглалтын зохион байгуулалттай холбоотой тооцоолол, түүврийн шинж чанарын нарийвчлалыг тогтооход ашиглагддаг. нэгэн төрлийн популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийн хил хязгаарыг үнэлэх.

Тархалт, түүний төрөл, стандарт хазайлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл- өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл түүний хазайлт математикийн хүлээлт. Статистикийн хувьд тэмдэглэгээ эсвэл ихэвчлэн ашиглагддаг. Квадрат язгуурдисперсийг стандарт хазайлт, стандарт хазайлт эсвэл стандарт тархалт гэж нэрлэдэг.

Нийт зөрүү (σ2) энэ өөрчлөлтийг үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор бүх популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг. Үүний зэрэгцээ бүлэглэх аргын ачаар бүлэглэх онцлогоос шалтгаалсан хэлбэлзэл, үл тоомсорлож буй хүчин зүйлийн нөлөөн дор гарч буй өөрчлөлтийг тусгаарлах, хэмжих боломжтой.

Бүлэг хоорондын зөрүү (σ 2 м.гр) системчилсэн өөрчлөлтийг, өөрөөр хэлбэл шинж чанарын нөлөөн дор үүссэн судлагдсан шинж чанарын ялгааг тодорхойлдог - бүлэглэлд хамаарах хүчин зүйл.

стандарт хэлбэлзэл(синонимууд: стандарт хазайлт, стандарт хэлбэлзэл, квадрат хазайлт; холбогдох нэр томъёо: стандарт хазайлт, стандарт тархалт) - магадлалын онол ба статистикийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын математик хүлээлттэй харьцуулахад хамгийн түгээмэл үзүүлэлт юм. Утгын түүврийн хязгаарлагдмал массивтай бол математикийн хүлээлтийн оронд түүврийн арифметик дундажийг ашигладаг.

Стандарт хазайлтыг хамгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэгжээр хэмждэг бөгөөд тооцоололд ашигладаг стандарт алдаабарих үед арифметик дундаж итгэлцлийн интервалууд, таамаглалыг статистикийн хувьд шалгахдаа, хоорондын шугаман хамаарлыг хэмжихэд санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн квадрат язгуур гэж тодорхойлогддог.

Стандарт хэлбэлзэл:

Стандарт хэлбэлзэл(санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтын тооцоо xтүүний хэлбэлзлийн бодитой тооцоололд үндэслэсэн математикийн хүлээлттэй харьцуулахад):

тархалт хаана байна; - би- дээжийн элемент; - дээжийн хэмжээ; - түүврийн арифметик дундаж:

Хоёр талын тооцоолол нь өрөөсгөл гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. AT ерөнхий тохиолдолшударга бус тооцоо хийх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч шударга бус хэлбэлзлийн тооцоонд үндэслэсэн тооцоо нь нийцтэй байна.

Горим ба медианыг тодорхойлох мөн чанар, хамрах хүрээ, журам.

Хувьсагчийн шинж чанарын харьцангуй шинж чанарын хувьд статистикт эрх мэдлийн хуулийн дундаж үзүүлэлтээс гадна дотоод бүтэцтүгээлтийн цувралууд нь бүтцийн дундажийг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг голчлон төлөөлдөг горим ба медиан.

Загвар- Энэ бол цувралын хамгийн түгээмэл хувилбар юм. Хувцасны загвар нь жишээлбэл, худалдан авагчдын дунд хамгийн их эрэлт хэрэгцээтэй байгаа хувцас, гутлын хэмжээг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Дискрет цувралын горим нь хамгийн өндөр давтамжтай хувилбар юм. Интервалын горимыг тооцоолохдоо вариацын цувралэхлээд модаль интервалыг (хамгийн их давтамжийн дагуу), дараа нь томъёоны дагуу шинж чанарын модаль утгын утгыг тодорхойлох шаардлагатай.

- - загварын үнэ цэнэ

- - модаль интервалын доод хязгаар

- - интервалын утга

- - модаль интервалын давтамж

- - модальаас өмнөх интервалын давтамж

- - модалын дараах интервалын давтамж

Медиан -Энэ нь эрэмбэлсэн цувралын үндэс болох шинж чанарын утга бөгөөд энэ цувралыг тооны хувьд тэнцүү хоёр хэсэгт хуваадаг.

Дундаж утгыг тодорхойлох салангид цувралдавтамж байгаа тохиолдолд давтамжийн хагас нийлбэрийг эхлээд тооцоолж, дараа нь түүн дээр ямар хувилбарын утга тохирохыг тодорхойлно. (Хэрэв эрэмбэлэгдсэн эгнээ сондгой тооны шинж чанарыг агуулсан бол дундаж тоог дараах томъёогоор тооцоолно.

M e \u003d (n (нийтлэг шинж чанаруудын тоо) + 1) / 2,

тэгш тооны онцлогтой тохиолдолд медиан нь эгнээний дундах хоёр шинж чанарын дундажтай тэнцүү байна).

Тооцоолох үед медиануудинтервалын хэлбэлзлийн цувралын хувьд эхлээд медиан байрлах дундаж интервалыг, дараа нь дараах томъёоны дагуу медиан утгыг тодорхойлно.

- хүссэн медиан нь

- медианыг агуулсан интервалын доод хязгаар юм

- - интервалын утга

- - давтамжийн нийлбэр буюу цувралын гишүүдийн тоо

Дундажаас өмнөх интервалуудын хуримтлагдсан давтамжийн нийлбэр

- дундаж интервалын давтамж юм

Жишээ. Мод ба медианыг ол.

Шийдэл:
AT энэ жишээмодаль интервал нь 25-30 насны бүлэгт багтдаг тул энэ интервал нь хамгийн өндөр давтамжийг (1054) эзэлдэг.

Горимын утгыг тооцоолъё:

Энэ нь оюутнуудын модаль нас 27 гэсэн үг юм.

Медианыг тооцоол. Дундаж интервал нь 25-30 насны бүлэг бөгөөд энэ интервал дотор хүн амыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах хувилбар байдаг (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Дараа нь бид шаардлагатай тоон өгөгдлийг томъёонд орлуулж, дундаж утгыг авна.

Энэ нь оюутнуудын нэг тал нь 27.4 нас хүрээгүй, нөгөө тал нь 27.4-өөс дээш насныхан байна гэсэн үг.

Мод ба медианаас гадна эрэмбэлсэн цувралыг 4 тэнцүү хэсэгт хуваах квартил зэрэг үзүүлэлтүүдийг ашиглаж болно. децили- 10 хэсэг ба хувь хэмжээ - 100 хэсэг тутамд.

Сонгомол ажиглалтын тухай ойлголт, түүний хамрах хүрээ.

Сонгомол ажиглалттасралтгүй ажиглалт хийх үед хамаарна бие махбодийн хувьд боломжгүйих хэмжээний өгөгдлийн улмаас эсвэл эдийн засгийн хувьд үр ашиггүй. Жишээлбэл, зорчигчдын урсгалыг судлах үед бие махбодийн боломжгүй байдал үүсдэг. зах зээлийн үнэ, гэр бүлийн төсөв. Эдийн засгийн тохиромжгүй байдал нь тэдгээрийг устгахтай холбоотой барааны чанарыг үнэлэх, жишээлбэл, амтлах, тоосгоны бат бөх чанарыг шалгах гэх мэт үед үүсдэг.

Ажиглалтаар сонгосон статистикийн нэгжүүд нь дээж эсвэл дээжийг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн бүх массив - ерөнхий популяци (GS). Энэ тохиолдолд түүвэр дэх нэгжийн тоог илэрхийлнэ n, мөн бүхэл бүтэн HS-д - Н. Хандлага н/Нтүүврийн харьцангуй хэмжээ буюу эзлэх хувь гэж нэрлэдэг.

Түүврийн үр дүнгийн чанар нь түүврийн төлөөллийн чанар, өөрөөр хэлбэл HS-д хэр төлөөлсөн байхаас хамаарна. Түүврийн төлөөллийг хангахын тулд үүнийг ажиглах шаардлагатай нэгжийг санамсаргүй сонгох зарчим, энэ нь түүвэрт HS-ийн нэгжийг оруулахад тохиолдлоос өөр хүчин зүйл нөлөөлж чадахгүй гэж үздэг.

Байгаа Санамсаргүй сонгох 4 аргадээж авах:

1. Үнэндээ санамсаргүйстатистикийг хуваарилах үед сонголт эсвэл "сугалааны арга" дарааллын дугаарууд, тодорхой объект (жишээлбэл, торхон) дээр авчирч, дараа нь тодорхой саванд (жишээлбэл, уутанд) хольж, санамсаргүй байдлаар сонгосон. Практикт энэ аргыг санамсаргүй тоо үүсгэгч эсвэл санамсаргүй тоонуудын математик хүснэгт ашиглан гүйцэтгэдэг.
2. Механиксонголт, үүний дагуу тус бүр ( Н/н)-хүн амын нийт тоон утга. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь 100,000 утгыг агуулж байгаа бөгөөд та 1,000-ыг сонгохыг хүсвэл 100,000 / 1000 = 100 дахь утга тус бүрдээ түүвэрт орох болно. Түүнээс гадна, хэрэв тэд эрэмблэгдээгүй бол эхний зуугаас эхнийх нь санамсаргүй байдлаар сонгогдох бөгөөд бусад хүмүүсийн тоо зуугаар нэмэгдэх болно. Жишээлбэл, хэрэв нэгжийн дугаар 19 эхнийх байсан бол дараагийнх нь 119, дараа нь 219, дараа нь 319 гэх мэт. Хүн амын нэгжүүдийг эрэмбэлсэн бол эхлээд #50, дараа нь #150, дараа нь #250 гэх мэтийг сонгоно.
3. Нэг төрлийн бус өгөгдлийн массиваас утгыг сонгох ажлыг гүйцэтгэдэг давхрагатай(давхаргасан) арга, ерөнхий популяцийг урьд нь нэгэн төрлийн бүлэгт хувааж, санамсаргүй эсвэл механик сонголт хийдэг.
4. Дээж авах тусгай арга нь цувралСонголт бөгөөд энэ нь бие даасан хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй эсвэл механик аргаар биш, харин тэдгээрийн цуваа (зарим тооноос хэд хэдэн дараалсан дараалал) бөгөөд тасралтгүй ажиглалт хийдэг.

Түүврийн ажиглалтын чанар нь үүнээс хамаарна дээж авах төрөл: давтагдсанэсвэл давтагдахгүй.

At дахин сонгохтүүвэрт орсон статистикийн утгууд эсвэл тэдгээрийн цувааг ашигласны дараа шинэ түүвэрт орох боломжтой болсны дараа нийт хүн амд буцааж өгдөг. Үүний зэрэгцээ нийт хүн амын бүх утгыг түүвэрт оруулах магадлал ижил байна.

Давтагдахгүй сонголтЭнэ нь түүвэрт багтсан статистикийн утгууд эсвэл тэдгээрийн цувааг ашигласны дараа ерөнхий популяцид буцаагдахгүй тул дараагийн түүвэрт орох магадлал сүүлийн үеийн үлдсэн утгуудын хувьд нэмэгддэг гэсэн үг юм.

Дахин давтагдахгүй сонголт нь илүү ихийг өгдөг үнэн зөв үр дүнтиймээс илүү их ашиглагддаг. Гэхдээ үүнийг ашиглах боломжгүй (зорчигч урсгал, хэрэглэгчдийн эрэлт хэрэгцээ гэх мэт) нөхцөл байдал байдаг бөгөөд дараа нь дахин сонгон шалгаруулалт явуулдаг.

Ажиглалтын түүврийн ахиу алдаа, түүврийн дундаж алдаа, тэдгээрийг тооцоолох дараалал.

Түүврийн популяци бүрдүүлэх дээрх аргууд болон энэ тохиолдолд гарсан алдаануудыг нарийвчлан авч үзье. төлөөлөх байдал .
Үнэндээ - санамсаргүйтүүвэр нь нийтлэг популяциас санамсаргүй байдлаар ямар нэгэн тууштай байдлын элементгүйгээр нэгжийг сонгоход үндэслэсэн болно. Техникийн хувьд зөв санамсаргүй сонголтыг сугалаа (жишээлбэл, сугалаа) эсвэл санамсаргүй тоон хүснэгтээр гүйцэтгэдэг.

Зөв санамсаргүй сонголт цэвэр хэлбэр» нь сонгомол ажиглалтын практикт ховор хэрэглэгддэг боловч бусад төрлийн сонгон шалгаруулалтын дунд анхдагч нь бөгөөд сонгомол ажиглалтын үндсэн зарчмуудыг хэрэгжүүлдэг. Энгийн санамсаргүй түүврийн түүвэрлэлтийн аргын онол ба алдааны томъёоны зарим асуултыг авч үзье.

Түүвэрлэлтийн алдаа- энэ нь ерөнхий популяци дахь параметрийн утга ба түүврийн ажиглалтын үр дүнгээс тооцсон утгын хоорондох зөрүү юм. Дундаж тоон шинж чанарын хувьд түүврийн алдааг тодорхойлно

Заагчийг ахиу түүвэрлэлтийн алдаа гэж нэрлэдэг.
Түүврийн дундаж нь авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм янз бүрийн утгатайямар нэгжийг түүвэрт оруулсанаас хамаарна. Тиймээс түүврийн алдаа нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд өөр өөр утгыг авч болно. Тиймээс дундажийг тогтоодог болзошгүй алдаанууд - дундаж түүвэрлэлтийн алдаа, үүнээс хамаарна:

Түүврийн хэмжээ: тоо том байх тусам дундаж алдаа бага байх болно;

Судлагдсан шинж чанарын өөрчлөлтийн зэрэг: шинж чанарын өөрчлөлт бага байх тусам хэлбэлзэл бага байх болно. алдаа гэсэн үгдээж.

At санамсаргүй дахин сонгохдундаж алдааг тооцоолно:
.
Практикт ерөнхий хэлбэлзэл нь яг тодорхой мэдэгддэггүй, гэхдээ магадлалын онолгэдгийг нотолсон
.
Хангалттай том n-ийн утга 1-тэй ойролцоо байгаа тул бид . Дараа нь түүврийн дундаж алдааг тооцоолж болно:
.
Гэхдээ жижиг түүврийн тохиолдолд (n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

At санамсаргүй түүвэрөгөгдсөн томьёог утгаар нь засна. Дараа нь түүвэрлэлтийн бус дундаж алдаа нь:
болон .
Учир нь -аас үргэлж бага бол коэффициент () нь үргэлж 1-ээс бага байна. Энэ нь давтагдахгүй сонголтын дундаж алдаа нь давтан сонголтоос үргэлж бага байна гэсэн үг юм.
Механик дээж авахНийт хүн амыг ямар нэгэн байдлаар (жишээ нь, цагаан толгойн үсгийн дарааллаар сонгогчдын нэрсийн жагсаалт, утасны дугаар, байшингийн дугаар, орон сууц) эрэмбэлсэн тохиолдолд ашигладаг. Нэгжийг сонгохдоо тодорхой интервалаар явагддаг бөгөөд энэ нь дээжийн хувийн харьцаатай тэнцүү байна. Тиймээс 2% түүврээр 50 нэгж = 1 / 0.02, 5%, нийт хүн амын 1 / 0.05 = 20 нэгж тус бүрийг сонгоно.

Гарал үүсэл нь янз бүрийн аргаар сонгогддог: санамсаргүй байдлаар, интервалын дундаас, гарал үүслийн өөрчлөлттэй. Хамгийн гол нь системчилсэн алдаанаас зайлсхийх явдал юм. Жишээлбэл, 5% -ийн дээжээр 13-ыг эхний нэгжээр сонгосон бол дараагийн 33, 53, 73 гэх мэт.

Нарийвчлалын хувьд механик сонголт нь зөв санамсаргүй түүвэрлэлтэд ойрхон байдаг. Тиймээс механик түүврийн дундаж алдааг тодорхойлохын тулд зөв санамсаргүй сонголтын томъёог ашигладаг.

At ердийн сонголт судалгаанд хамрагдсан хүн амыг нэг төрлийн, нэг төрлийн бүлэгт урьдчилан хуваасан. Жишээлбэл, аж ахуйн нэгжүүдийг судлахдаа эдгээр нь салбар, дэд салбарууд, хүн амыг судлахдаа газар нутаг, нийгэм, насны бүлгүүд байж болно. Дараа нь механик эсвэл зохих санамсаргүй аргаар бүлэг бүрээс бие даасан сонголт хийдэг.

Ердийн дээж авах нь бусад аргуудаас илүү нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг. Нийтлэг популяцийг төрөлжүүлэх нь түүвэр дэх типологийн бүлэг бүрийг төлөөлөх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь түүврийн дундаж алдаанд бүлэг хоорондын дисперсийн нөлөөллийг үгүйсгэх боломжийг олгодог. Тиймээс дисперсийн нэмэх дүрмийн дагуу ердийн түүврийн алдааг олохдоо зөвхөн бүлгийн дисперсийн дундажийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Дараа нь түүвэрлэлтийн дундаж алдаа нь:
дахин сонгон шалгаруулалтад
,
давтагдахгүй сонголттой
,
хаана нь түүвэр дэх бүлгийн дотоод хэлбэлзлийн дундаж юм.

Цуваа (эсвэл үүрлэсэн) сонголт түүвэр судалгаа эхлэхээс өмнө популяцийг цуврал эсвэл бүлэгт хуваах үед хэрэглэнэ. Эдгээр цувралууд нь бэлэн бүтээгдэхүүний багц, оюутны бүлэг, баг байж болно. Шалгалтын цувралуудыг механик эсвэл санамсаргүй байдлаар сонгож, цувралын хүрээнд нэгжийн бүрэн судалгааг хийдэг. Тиймээс түүврийн дундаж алдаа нь зөвхөн бүлэг хоорондын (цуврал хоорондын) дисперсээс хамаарах бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

энд r нь сонгосон цувралын тоо;
- i-р цувралын дундаж.

Цуваа түүврийн дундаж алдааг тооцоолно:

дахин сонгогдсон үед:
,
давтагдахгүй сонголттой:
,
Энд R нь нийт цувралын тоо юм.

Нэгтгэсэнсонголтсонгон шалгаруулах гэж үзсэн аргуудын нэгдэл юм.

Сонгох аливаа аргын түүврийн дундаж алдаа нь түүврийн үнэмлэхүй хэмжээнээс, бага хэмжээгээр түүврийн хувиас хамаардаг. Эхний тохиолдолд 4500 хүн амаас 225, хоёр дахь тохиолдолд 225,000 нэгжээс 225 ажиглалт хийсэн гэж бодъё. Хоёр тохиолдолд ялгаа нь 25-тай тэнцүү байна. Дараа нь эхний тохиолдолд 5%-ийн сонголтоор түүврийн алдаа дараах байдалтай байна.

Хоёр дахь тохиолдолд, 0.1% сонголттой бол энэ нь дараахтай тэнцүү байна.

Энэ замаар, түүврийн хувь 50 дахин буурч, түүврийн хэмжээ өөрчлөгдөөгүй тул түүврийн алдаа бага зэрэг нэмэгдсэн.
Түүврийн хэмжээг 625 ажиглалт хүртэл нэмэгдүүлсэн гэж үзье. Энэ тохиолдолд түүвэрлэлтийн алдаа нь:

Нийт хүн амын ижил хэмжээтэй түүврийн хэмжээг 2.8 дахин нэмэгдүүлэх нь түүврийн алдааны хэмжээг 1.6 дахин бууруулж байна.

Түүвэр популяци бүрдүүлэх арга, хэрэгсэл.

Статистикийн хувьд түүврийн багц бүрдүүлэх янз бүрийн аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь судалгааны зорилгоос тодорхойлогддог бөгөөд судалгааны объектын онцлогоос хамаардаг.

Түүвэр судалгаа явуулах гол нөхцөл нь нийт хүн амын нэгж тус бүр түүвэрт орох тэгш боломжийн зарчмыг зөрчсөнөөс системчилсэн алдаа гарахаас урьдчилан сэргийлэх явдал юм. Системчилсэн алдаанаас урьдчилан сэргийлэх нь түүвэр популяцийг бүрдүүлэх шинжлэх ухааны үндэслэлтэй аргуудыг ашигласны үр дүнд бий болдог.

Нийт хүн амын дундаас нэгжийг сонгох дараах аргууд байдаг.

1) бие даасан сонголт - түүвэрт бие даасан нэгжийг сонгосон;

2) бүлгийн сонголт - чанарын хувьд нэгэн төрлийн бүлгүүд эсвэл судалж буй нэгжийн цувралууд түүвэрт багтдаг;

3) хосолсон сонголт нь хувь хүний ​​болон бүлгийн сонголтын хослол юм.
Сонгох аргыг түүврийн популяцийг бүрдүүлэх дүрмээр тодорхойлно.

Дээж нь дараахь байж болно.

• зохих санамсаргүйтүүвэр нь нийт хүн амын дундаас бие даасан нэгжийг санамсаргүй (санамсаргүй) сонгосны үр дүнд бий болсон явдал юм. Энэ тохиолдолд түүврийн багцад сонгосон нэгжийн тоог ихэвчлэн түүврийн хүлээн зөвшөөрөгдсөн хувь хэмжээгээр тодорхойлдог. Түүврийн эзлэх хувь нь түүврийн популяци дахь нэгжийн тоо n-ийг ерөнхий хүн амын тоо N-д харьцуулсан харьцаа, i.e.

• механикЭнэ нь түүвэр дэх нэгжийн сонголтыг ижил интервалд (бүлэг) хуваасан нийт хүн амын дундаас хийдэгт оршино. Энэ тохиолдолд ерөнхий популяци дахь интервалын хэмжээ нь түүврийн эзлэх хувьтай тэнцүү байна. Тиймээс 2% -ийн дээжээр 50 дахь нэгж бүрийг (1: 0.02), 5% -ийн дээжийг, 20 дахь нэгжийг (1: 0.05) гэх мэтээр сонгоно. Тиймээс сонгон шалгаруулалтын хүлээн зөвшөөрөгдсөн хувь хэмжээний дагуу ерөнхий популяцийг механик байдлаар тэнцүү бүлэгт хуваадаг. Түүврийн бүлэг бүрээс зөвхөн нэг нэгжийг сонгоно.
• ердийн -Нийт хүн амыг эхлээд нэгэн төрлийн ердийн бүлгүүдэд хуваадаг. Дараа нь ердийн бүлэг бүрээс санамсаргүй эсвэл механик түүврийн тусламжтайгаар түүвэр дэх нэгжийг тус тусад нь сонгоно. Ердийн түүврийн чухал шинж чанар нь түүвэр дэх нэгжийг сонгох бусад аргуудтай харьцуулахад илүү нарийвчлалтай үр дүнг өгдөг;
• цуврал- нийт хүн амыг ижил хэмжээтэй бүлэгт хуваадаг - цуврал. Цувралыг дээжийн багцад сонгосон. Цувралын хүрээнд цувралд орсон нэгжүүдийн тасралтгүй ажиглалтыг явуулдаг;
• нэгтгэсэн- дээж авах хоёр үе шаттай байж болно. Энэ тохиолдолд нийт хүн амыг эхлээд бүлэгт хуваадаг. Дараа нь бүлгүүдийг сонгож, сүүлчийнх нь дотроос тусдаа нэгжүүдийг сонгоно.

Статистикийн хувьд түүвэр дэх нэгжийг сонгох дараахь аргуудыг ялгадаг.:

• нэг үе шатдээж - сонгосон нэгж бүрийг өгөгдсөн үндсэн дээр нэн даруй судлах болно (үнэндээ санамсаргүй болон цуваа дээж);
• олон үе шаттайтүүвэрлэлт - сонгон шалгаруулалтыг бие даасан бүлгүүдийн ерөнхий популяциас хийж, тус тусын нэгжийг бүлгүүдээс сонгоно (түүврийн популяцид нэгжийг сонгох механик арга бүхий ердийн түүвэр).

Үүнээс гадна:

• дахин сонгох- буцаж ирсэн бөмбөгний схемийн дагуу. Энэ тохиолдолд түүвэрт орсон нэгж эсвэл цуврал бүрийг нийт хүн амд буцааж өгөх тул дахин түүвэрт оруулах боломжтой болно;
• давтагдахгүй сонголт- буцаж ирээгүй бөмбөгний схемийн дагуу. Энэ нь ижил хэмжээний түүврийн хувьд илүү нарийвчлалтай үр дүнтэй байдаг.

Шаардлагатай түүврийн хэмжээг тодорхойлох (Оюутны хүснэгтийг ашиглан).

Түүвэрлэлтийн онолын шинжлэх ухааны зарчмуудын нэг бол хангалттай тооны нэгжийг сонгох явдал юм. Онолын хувьд энэ зарчмыг дагаж мөрдөх хэрэгцээг магадлалын онолын хязгаарын теоремуудын нотолгоонд тусгасан бөгөөд энэ нь нийт хүн амын дунд хэдэн нэгжийг сонгох нь хангалттай бөгөөд түүврийн төлөөллийг баталгаажуулах боломжийг олгодог.

Түүврийн стандарт алдаа буурч, улмаар тооцооллын нарийвчлал нэмэгдэх нь түүврийн хэмжээ ихсэхтэй үргэлж холбоотой байдаг тул түүврийн ажиглалтыг зохион байгуулах үе шатанд аль хэдийн шийдэх шаардлагатай байна. ажиглалтын үр дүнгийн шаардлагатай нарийвчлалыг хангахын тулд түүврийн хэмжээ ямар байх ёстой. Шаардлагатай түүврийн хэмжээг тооцоолохдоо нэг буюу өөр төрөл, сонголтын аргад тохирсон ахиу түүврийн алдааны (A) томъёоноос гаргаж авсан томъёог ашиглан бүтээдэг. Тиймээс, санамсаргүй давтагдсан түүврийн хэмжээ (n)-ийн хувьд бид:

Энэ томъёоны мөн чанар нь шаардлагатай тоог санамсаргүй дахин сонгоход түүврийн хэмжээ нь итгэлцлийн коэффициентийн квадраттай шууд пропорциональ байна. (t2)ба вариацын шинж чанарын дисперс (?2) ба ахиу түүврийн алдааны квадраттай урвуу пропорциональ (?2). Ялангуяа ахиу алдааг хоёр дахин нэмэгдүүлснээр шаардлагатай түүврийн хэмжээг дөрөв дахин багасгаж болно. Гурван параметрийн хоёрыг (t ба?) судлаач тогтоодог.

Үүний зэрэгцээ судлаачТүүвэр судалгааны зорилгын үүднээс асуултыг шийдэх хэрэгтэй: оновчтой хувилбарыг өгөхийн тулд эдгээр параметрүүдийг ямар тоон хослолд оруулах нь дээр вэ? Нэг тохиолдолд тэрээр олж авсан үр дүнгийн найдвартай байдалд (t) нарийвчлалын хэмжүүрээс илүү сэтгэл хангалуун байж болно (?), нөгөө тохиолдолд эсрэгээр. Түүвэрлэлтийн ахиу алдааны утгын талаархи асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү төвөгтэй байдаг, учир нь түүврийн ажиглалтын загвар зохион бүтээх шатанд судлаачид ийм үзүүлэлт байдаггүй тул практикт ахиу түүврийн алдааг тохируулах нь заншилтай байдаг. зан чанарын хүлээгдэж буй дундаж түвшний 10% дотор байх дүрэм. Тооцоолсон дундаж түвшинг тогтоохдоо өмнөх ижил төстэй судалгааны өгөгдлийг ашиглах эсвэл түүврийн хүрээний өгөгдлийг ашиглах, жижиг туршилтын түүвэр авах зэрэг янз бүрийн аргаар хандаж болно.

Түүврийн ажиглалтыг төлөвлөхдөө тогтооход хамгийн хэцүү зүйл бол (5.2) томъёоны гурав дахь параметр буюу түүврийн олонлогийн дисперс юм. Энэ тохиолдолд өмнөх ижил төстэй болон туршилтын судалгаанаас олж авсан мөрдөн байцаагчид байгаа бүх мэдээллийг ашиглах шаардлагатай.

Тодорхойлолтын асуултТүүврийн судалгаанд түүврийн нэгжийн хэд хэдэн шинж чанарыг судлахад шаардлагатай түүврийн хэмжээ илүү төвөгтэй болно. Энэ тохиолдолд шинж чанар тус бүрийн дундаж түвшин, тэдгээрийн хэлбэлзэл нь дүрмээр бол өөр өөр байдаг тул зөвхөн зорилго, зорилгыг харгалзан аль шинж чанарын тархалтыг илүүд үзэхийг шийдэх боломжтой. судалгаа.

Түүврийн ажиглалтыг төлөвлөхдөө тодорхой судалгааны зорилго, ажиглалтын үр дүнд үндэслэн дүгнэлт гаргах магадлалын дагуу түүврийн зөвшөөрөгдөх алдааны урьдчилан тодорхойлсон утгыг авна.

Ерөнхийдөө түүврийн дундаж утгын ахиу алдааны томъёо нь дараахь зүйлийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Нийт хүн амын үзүүлэлтүүдийн түүврийн популяцийн үзүүлэлтүүдээс хазайх боломжит хэмжээ;

Боломжит алдааны хязгаар нь тодорхой заасан хэмжээнээс хэтрэхгүй байх шаардлагатай нарийвчлалыг хангасан шаардлагатай түүврийн хэмжээ;

Түүвэр дэх алдаа нь өгөгдсөн хязгаартай байх магадлал.

Оюутны хуваарилалтмагадлалын онолын хувьд энэ нь туйлын тасралтгүй тархалтын нэг параметрийн гэр бүл юм.

Динамикийн цуваа (интервал, момент), динамикийн цувааны хаалт.

Динамикийн цуврал- эдгээр нь тодорхой он цагийн дарааллаар харуулсан статистик үзүүлэлтүүдийн утгууд юм.

Цагийн цуваа бүр хоёр бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдэнэ:

1) хугацааны үзүүлэлтүүд (жил, улирал, сар, өдөр, огноо);

2) цувралын түвшин гэж нэрлэгддэг тухайн объектыг тодорхой хугацаанд эсвэл холбогдох огноогоор тодорхойлсон үзүүлэлтүүд.

Цувралын түвшинг илэрхийлсэнүнэмлэхүй ба дундаж эсвэл харьцангуй утгууд. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн шинж чанараас хамааран үнэмлэхүй, харьцангуй ба дундаж утгуудын динамик цувралыг бий болгодог. Харьцангуй ба дундаж утгуудын динамик цуваа нь үнэмлэхүй утгын дериватив цуврал дээр суурилдаг. Динамикийн интервал ба моментийн цуваа байдаг.

Динамик интервалын цувралтодорхой хугацааны үзүүлэлтүүдийн утгыг агуулдаг. Интервалын цувралд түвшинг нэгтгэн дүгнэж, үзэгдлийн эзэлхүүнийг илүү урт хугацаанд эсвэл хуримтлагдсан нийт гэж нэрлэж болно.

Динамик моментийн цувралтодорхой цаг хугацааны (цаг хугацааны огноо) үзүүлэлтүүдийн утгыг тусгасан болно. Момент цувралд судлаач зөвхөн үзэгдлийн ялгааг сонирхож болох бөгөөд энэ нь тодорхой огнооны хоорондох цувралын түвшний өөрчлөлтийг тусгасан байдаг, учир нь энд байгаа түвшний нийлбэр нь бодит агуулгагүй байдаг. Энд хуримтлагдсан дүнг тооцохгүй.

Динамик цувааг зөв бүтээх хамгийн чухал нөхцөл бол өөр өөр үеүдэд хамаарах цувралын түвшинг харьцуулах явдал юм. Түвшинг нэгэн төрлийн хэмжээгээр харуулах ёстой, үзэгдлийн янз бүрийн хэсгүүдийн хамрах хүрээ ижил байх ёстой.

рууБодит динамикийг гажуудуулахгүйн тулд цаг хугацааны цувралын статистик дүн шинжилгээ хийхээс өмнө статистикийн судалгаанд (цаг хугацааны цувааг хаах) урьдчилсан тооцооллыг хийдэг. Хугацааны цувааг хаах гэдэг нь хоёр ба түүнээс дээш цувралыг нэг цуврал болгон нэгтгэх, тэдгээрийн түвшинг өөр аргачлалын дагуу тооцдог эсвэл нутаг дэвсгэрийн хил хязгаартай нийцэхгүй гэх мэтийг ойлгодог. Динамикийн цувралыг хаах нь динамикийн цувралын үнэмлэхүй түвшинг нийтлэг үндэслэл болгон бууруулж болзошгүй бөгөөд энэ нь динамикийн цувралын түвшний үл нийцэх байдлыг арилгана.

Хугацааны цуваа, коэффициент, өсөлт, өсөлтийн хурдыг харьцуулах тухай ойлголт.

Динамикийн цуврал- эдгээр нь байгалийн болон нийгмийн үзэгдлийн цаг хугацааны хөгжлийг тодорхойлдог статистик үзүүлэлтүүдийн цуврал юм. ОХУ-ын Улсын статистикийн хорооноос гаргасан статистикийн цуглуулгад олон тооны цаг хугацааны цувааг хүснэгт хэлбэрээр оруулсан болно. Цуврал динамик нь судалж буй үзэгдлийн хөгжлийн хэв маягийг илрүүлэх боломжийг олгодог.

Хугацааны цуваа нь хоёр төрлийн үзүүлэлтийг агуулдаг. Цагийн үзүүлэлтүүд(жил, улирал, сар гэх мэт) эсвэл цаг хугацааны цэгүүд (жилийн эхэнд, сар бүрийн эхэнд гэх мэт). Мөр түвшний үзүүлэлтүүд. Хугацааны цувааны түвшингийн үзүүлэлтүүдийг үнэмлэхүй утга (бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэл тонн эсвэл рубль), харьцангуй үнэ цэнэ (хотын хүн амын эзлэх хувь%) болон дундаж утгууд (салбарын ажилчдын дундаж цалин) -аар илэрхийлж болно. жилээр гэх мэт). Хүснэгт хэлбэрээр цаг хугацааны цуваа нь хоёр багана эсвэл хоёр мөрийг агуулна.

Хугацааны цувааг зөв барих нь хэд хэдэн шаардлагыг биелүүлэхийг шаарддаг.

1. цуврал динамикийн бүх үзүүлэлтүүд нь шинжлэх ухааны үндэслэлтэй, найдвартай байх ёстой;
2. цуврал динамикийн үзүүлэлтүүдийг цаг хугацааны хувьд харьцуулж болохуйц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. ижил хугацаанд эсвэл ижил огноогоор тооцох ёстой;
3. олон тооны динамик үзүүлэлтүүдийг нутаг дэвсгэрийн хэмжээнд харьцуулах боломжтой байх ёстой;
4. цуврал динамикийн үзүүлэлтүүдийг агуулгын хувьд харьцуулж болохуйц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. нэг аргачлалын дагуу, ижил аргаар тооцоолсон;
5. хэд хэдэн динамикийн үзүүлэлтүүдийг авч үзсэн фермүүдийн хүрээнд харьцуулж болохуйц байх ёстой. Цуврал динамикийн бүх үзүүлэлтийг ижил хэмжлийн нэгжээр өгөх ёстой.

Статистик үзүүлэлтүүдТодорхой хугацааны туршид судалж буй үйл явцын үр дүнг, эсвэл тодорхой цаг хугацааны туршид судалж буй үзэгдлийн төлөв байдлыг тодорхойлж болно. үзүүлэлтүүд нь интервал (үе үе) болон агшин зуурын байж болно. Үүний дагуу эхлээд динамикийн цуврал нь интервал эсвэл момент байж болно. Динамикийн моментийн цуваа нь эргээд тэнцүү ба тэгш бус хугацааны интервалтай байж болно.

Динамикийн эхний цувралыг дундаж утгууд ба харьцангуй утгуудын цуваа (гинж ба суурь) болгон хувиргаж болно. Ийм хугацааны цувааг үүсмэл хугацааны цуваа гэж нэрлэдэг.

Динамикийн цувралын дундаж түвшинг тооцоолох арга нь динамикийн цувралын төрлөөс шалтгаалан өөр өөр байдаг. Жишээнүүдийг ашиглан цагийн цувааны төрлүүд болон дундаж түвшинг тооцоолох томъёог авч үзье.

Үнэмлэхүй олз (Δy) цувралын дараагийн түвшин өмнөхтэй харьцуулахад хэдэн нэгжээр өөрчлөгдсөнийг (3-р багана. - гинжин үнэмлэхүй нэмэгдлүүд) эсвэл эхний түвшинтэй харьцуулахад (4-р багана. - үндсэн үнэмлэхүй өсөлт) харуулна. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Цувралын үнэмлэхүй утгууд буурах тусам "бууралт", "бууралт" тус тус гарна.

Үнэмлэхүй өсөлтийн үзүүлэлтүүдээс харахад жишээлбэл, 1998 онд "А" бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэл 1997 онтой харьцуулахад 4000 тонноор, 1994 онтой харьцуулахад 34000 тонноор; бусад жил, хүснэгтийг үзнэ үү. 11.5 гр. 3 ба 4.

Өсөлтийн хүчин зүйлцувралын түвшин өмнөхтэй харьцуулахад (5-р багана - гинжин хэлхээний өсөлт эсвэл бууралтын хүчин зүйлүүд) эсвэл эхний түвшинтэй харьцуулахад (6-р багана - үндсэн өсөлт, бууралтын хүчин зүйлүүд) хэдэн удаа өөрчлөгдсөнийг харуулдаг. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Өсөлтийн хурдцувралын дараагийн түвшинг өмнөхтэй (7-р багана - гинжин хэлхээний өсөлтийн хувь) хэдэн хувьтай харьцуулж байгааг эсвэл эхний түвшинтэй (8-р багана - үндсэн өсөлтийн хурд) харьцуулж харуулна. Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээлбэл, 1997 онд "А" бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн хэмжээ 1996 онтой харьцуулахад 105.5% байна (

Өсөлтийн хувь хэмжээтайлант үеийн түвшин өмнөхтэй харьцуулахад хэдэн хувиар өссөнийг харуулна (9-р багана - гинжин хэлхээний өсөлтийн хувь хэмжээ) эсвэл эхний түвшинтэй харьцуулахад (10-р багана - үндсэн өсөлтийн хувь хэмжээ). Тооцооллын томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

T pr \u003d T p - 100% эсвэл T pr \u003d үнэмлэхүй өсөлт / өмнөх үеийн түвшин * 100%

Тиймээс, жишээлбэл, 1996 онд 1995 онтой харьцуулахад "А" бүтээгдэхүүн 3.8% (103.8% - 100%) буюу (8:210) х 100%, 1994 онтой харьцуулахад илүү үйлдвэрлэсэн - 9% ( 109% - 100%).

Хэрэв цувралын үнэмлэхүй түвшин буурч байвал хувь хэмжээ 100% -иас бага байх бөгөөд үүний дагуу буурах хурд (хасах тэмдэг бүхий өсөлтийн хурд) байх болно.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэ 1% -иар нэмэгдэнэ(11-р багана) өмнөх үеийн түвшин 1% -иар өсөхийн тулд тухайн хугацаанд хэдэн нэгж үйлдвэрлэх ёстойг харуулна. Бидний жишээн дээр 1995 онд 2.0 мянган тонн, 1998 онд 2.3 мянган тонн үйлдвэрлэх шаардлагатай байсан, өөрөөр хэлбэл. хамаагүй том.

1% өсөлтийн үнэмлэхүй утгын хэмжээг тодорхойлох хоёр арга бий.

Өмнөх үеийн түвшинг 100-д ​​хуваах;

Үнэмлэхүй гинжин өсөлтийн хурдыг харгалзах гинжин өсөлтийн хурдаар хуваана.

Үнэмлэхүй утга 1%-ийн өсөлт =

Динамикийн хувьд, ялангуяа урт хугацааны туршид өсөлтийн хурдыг өсөлт, бууралтын хувь бүрийн агуулгатай хамтад нь шинжлэх нь чухал юм.

Хугацааны цувралд дүн шинжилгээ хийх аргачлал нь түвшинг үнэмлэхүй утгаар (t, мянган рубль, ажилчдын тоо гэх мэт) илэрхийлсэн хугацааны цувралд, мөн хугацааны цувралын хувьд хоёуланд нь хамааралтай болохыг анхаарна уу. харьцангуй үзүүлэлтээр (хаягдал%, нүүрсний үнслэг% гэх мэт) эсвэл дундаж утгуудаар (ц/га дахь дундаж ургац, дундаж цалин гэх мэт) илэрхийлэгддэг.

Хугацааны цувралд дүн шинжилгээ хийхдээ өмнөх эсвэл эхний түвшинтэй харьцуулахад жил бүр тооцсон аналитик үзүүлэлтүүдийн зэрэгцээ тухайн үеийн аналитик үзүүлэлтүүдийн дундаж үзүүлэлтийг тооцоолох шаардлагатай: цувралын дундаж түвшин, жилийн дундаж үнэмлэхүй өсөлт. (буурах) болон жилийн дундаж өсөлтийн хурд, өсөлтийн хурд.

Цуврал динамикийн дундаж түвшинг тооцоолох аргуудыг дээр авч үзсэн. Бидний авч үзэж буй динамикийн интервалын цувралд цувралын дундаж түвшинг энгийн арифметик дундажийн томъёогоор тооцоолно.

1994-1998 оны бүтээгдэхүүний жилийн дундаж хэмжээ. 218.4 мянган тонн болсон байна.

Жилийн дундаж үнэмлэхүй өсөлтийг энгийн арифметик дундажийн томъёогоор тооцоолно.

Жилийн үнэмлэхүй өсөлт нь 4-12 мянган тонн (3-ыг үзнэ үү) болон 1995 - 1998 онуудад үйлдвэрлэлийн жилийн дундаж өсөлтийн хооронд хэлбэлзэж байв. 8.5 мянган тонн болсон байна.

Дундаж өсөлтийн хурд ба дундаж өсөлтийн хурдыг тооцоолох аргууд нь илүү нарийвчлан авч үзэхийг шаарддаг. Хүснэгтэд өгөгдсөн цуврал түвшний жилийн үзүүлэлтүүдийн жишээн дээр тэдгээрийг авч үзье.

Динамикийн хүрээний дунд түвшин.

Динамикийн цуврал (эсвэл цаг хугацааны цуврал)- эдгээр нь тодорхой статистик үзүүлэлтийн дараалсан мөч эсвэл цаг хугацааны тоон утгууд юм (жишээ нь он цагийн дарааллаар байрлуулсан).

Хэд хэдэн динамикийг бүрдүүлдэг тодорхой статистик үзүүлэлтийн тоон утгыг нэрлэдэг тооны түвшинихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг y. Цувралын анхны гишүүн y 1анхны буюу гэж нэрлэдэг суурь, мөн сүүлчийнх у н - эцсийн. Түвшин хамаарах цаг мөч эсвэл үеийг тэмдэглэнэ т.

Дүрмээр бол динамик цувралуудыг хүснэгт эсвэл график хэлбэрээр харуулсан бөгөөд x тэнхлэгийн дагуу цагийн хуваарийг бүтээдэг. т, ба ордны дагуу - цувралын түвшний масштаб y.

Цуврал динамикийн дундаж үзүүлэлтүүд

Динамикийн цуврал бүрийг тодорхой багц гэж үзэж болно nдундажаар нэгтгэн дүгнэж болох цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг үзүүлэлтүүд. Ийм ерөнхий (дундаж) үзүүлэлтүүд нь янз бүрийн хугацаанд, өөр өөр улс орнуудад нэг буюу өөр үзүүлэлтийн өөрчлөлтийг харьцуулахдаа онцгой шаардлагатай байдаг.

Цуврал динамикийн ерөнхий шинж чанар нь юуны өмнө байж болно. дундаж эгнээний түвшин. Дундаж түвшинг тооцоолох арга нь моментийн цуваа эсвэл интервал (үе) цуваа эсэхээс хамаарна.

Хэзээ интервалцуврал, түүний дундаж түвшинг цувралын түвшний энгийн арифметик дундажийн томъёогоор тодорхойлно, i.e.

=
Хэрэв боломжтой бол мөчагуулсан эгнээ nтүвшин ( y1, y2, …, yn) огноо (цаг хугацааны цэг) хооронд тэнцүү интервалтай байвал ийм цувралыг дундаж утгын цуврал болгон хялбархан хөрвүүлж болно. Үүний зэрэгцээ үе бүрийн эхэнд байгаа үзүүлэлт (түвшин) нь өмнөх үеийн төгсгөлийн үзүүлэлт юм. Дараа нь үе тус бүрийн үзүүлэлтийн дундаж утгыг (огноо хоорондын интервал) утгуудын хагасын нийлбэрээр тооцоолж болно. цагтхугацааны эхэн ба төгсгөлд, i.e. Хэрхэн . Ийм дундаж тоо нь . Өмнө дурьдсанчлан дунджуудын цувралын хувьд дундаж түвшинг арифметик дунджаас тооцдог.

Тиймээс бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
.
Тоолуурыг хөрвүүлсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.
,

хаана Y1болон Yn- цувралын эхний ба сүүлчийн түвшин; И- дунд түвшин.

Энэ дундажийг статистикт гэж нэрлэдэг дундаж он дараалалагшин зуурын цувралын хувьд. Тэрээр энэ нэрийг "cronos" (цаг хугацаа, лат.) гэсэн үгнээс авсан бөгөөд үүнийг цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг үзүүлэлтүүдээс тооцдог.

Тэгш бус тохиолдолдогнооны хоорондох интервал, моментийн цувралын он цагийн дундажийг огнооны хоорондох зайгаар (цаг хугацааны интервал) жинлэсэн хос мөч бүрийн дундаж утгын арифметик дундажаар тооцоолж болно.
.
Энэ тохиолдолдогнооны хоорондох интервалд түвшин өөр өөр утгыг авсан гэж үздэг бөгөөд бид хоёр мэдэгдэж байгаа ( yiболон yi+1) бид дундаж утгыг тодорхойлж, дүн шинжилгээ хийсэн бүх хугацааны дундажийг тооцоолно.
Хэрэв энэ нь тус бүрийг үнэ цэнэ гэж үзвэл yiдараагийнх хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна (i+ 1)- th мөч, өөрөөр хэлбэл. Түвшин өөрчлөгдсөн он сар өдөр тодорхой бол жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан тооцооллыг хийж болно.
,

түвшин өөрчлөгдөөгүй байх хугацаа хаана байна.

Динамикийн цувралын дундаж түвшингээс гадна бусад дундаж үзүүлэлтүүдийг тооцдог - цувралын түвшний дундаж өөрчлөлт (үндсэн ба гинжин аргууд), өөрчлөлтийн дундаж хурд.

Суурь үзүүлэлт нь үнэмлэхүй өөрчлөлтийг илэрхийлнэнь сүүлчийн үндсэн үнэмлэхүй өөрчлөлтийг өөрчлөлтийн тоонд хуваасан коэффициент юм. Тэр бол

Гинж гэдэг нь туйлын өөрчлөлт гэсэн үг цувралын түвшин нь бүх гинжин абсолют өөрчлөлтийн нийлбэрийг өөрчлөлтийн тоонд хуваах коэффициент юм, өөрөөр хэлбэл.

Дундаж үнэмлэхүй өөрчлөлтийн шинж тэмдгээр үзэгдлийн өөрчлөлтийн мөн чанарыг дундажаар үнэлдэг: өсөлт, бууралт эсвэл тогтвортой байдал.

Үндсэн болон гинжин үнэмлэхүй өөрчлөлтийг хянах дүрмээс үзэхэд үндсэн болон гинжин дундаж өөрчлөлтүүд тэнцүү байх ёстой.

Дундаж үнэмлэхүй өөрчлөлтийн зэрэгцээ дундаж харьцангуйг үндсэн болон гинжин аргуудыг ашиглан тооцдог.

Суурь дундаж харьцангуй өөрчлөлттомъёогоор тодорхойлно:

Гинж гэдэг нь харьцангуй өөрчлөлт гэсэн үгтомъёогоор тодорхойлно:

Мэдээжийн хэрэг, үндсэн болон гинжин дундаж харьцангуй өөрчлөлтүүд ижил байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг 1-ийн шалгуур үзүүлэлттэй харьцуулж, тухайн үзэгдлийн өөрчлөлтийн шинж чанарын талаар дунджаар дүгнэлт гаргадаг: өсөлт, бууралт эсвэл тогтвортой байдал.
Үндсэн буюу гинжин хэлхээний дундаж харьцангуй өөрчлөлтөөс 1-ийг хасснаар харгалзах болно өөрчлөлтийн дундаж хурд, шинж тэмдгээр нь судалж буй үзэгдлийн өөрчлөлтийн мөн чанарыг дүгнэж болох бөгөөд энэ цуврал динамикаар тусгагдсан болно.

Улирлын хэлбэлзэл ба улирлын индексүүд.

Улирлын хэлбэлзэл нь жилийн доторх тогтвортой хэлбэлзэл юм.

Хамгийн их үр дүнд хүрэх менежментийн үндсэн зарчим бол орлогыг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах явдал юм. Улирлын хэлбэлзлийг судалснаар жилийн түвшин бүрийн хамгийн их тэгшитгэлийн асуудлыг шийддэг.

Улирлын хэлбэлзлийг судлахдаа хоорондоо холбоотой хоёр асуудлыг шийддэг.

1. Жилийн дотоод динамик дахь үзэгдлийн хөгжлийн онцлогийг тодорхойлох;

2. Улирлын долгионы загварыг барих замаар улирлын хэлбэлзлийг хэмжих;

Улирлын шинж чанарыг хэмжихийн тулд улирлын чанартай цацагт хяруулыг ихэвчлэн тоолдог. Ерөнхийдөө тэдгээрийг динамикийн цувралын анхны тэгшитгэлийг харьцуулах үндэслэл болох онолын тэгшитгэлийн харьцаагаар тодорхойлно.

Улирлын хэлбэлзэл дээр санамсаргүй хазайлтыг давхардуулдаг тул тэдгээрийг арилгахын тулд улирлын индексүүдийг дундажлана.

Энэ тохиолдолд жилийн мөчлөгийн үе бүрт ерөнхий үзүүлэлтүүдийг улирлын дундаж индекс хэлбэрээр тодорхойлно.

Улирлын хэлбэлзлийн дундаж индексүүд нь хөгжлийн үндсэн чиг хандлагын санамсаргүй хазайлтын нөлөөллөөс ангид байдаг.

Трендийн шинж чанараас хамааран улирлын дундаж индексийн томъёо нь дараахь хэлбэртэй байж болно.

1.Хөгжлийн тодорхой чиг хандлага бүхий жилийн доторх динамикийн цувралын хувьд:

2. Өсөх, буурах хандлага байхгүй, эсвэл ач холбогдол багатай жилийн доторх динамикийн цувралын хувьд:

Ерөнхий дундаж хаана байна;

Үндсэн чиг хандлагыг шинжлэх арга.

Цаг хугацаа өнгөрөх тусам үзэгдлийн хөгжилд янз бүрийн шинж чанар, нөлөөллийн хүчин зүйл нөлөөлдөг. Тэдгээрийн зарим нь санамсаргүй шинж чанартай, бусад нь бараг тогтмол нөлөө үзүүлдэг бөгөөд динамикийн цувралд хөгжлийн тодорхой чиг хандлагыг бүрдүүлдэг.

Статистикийн чухал ажил бол янз бүрийн санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс ангид динамикийн цуврал чиг хандлагыг тодорхойлох явдал юм. Үүний тулд цаг хугацааны цувааг интервал томруулах, хөдөлж буй дундаж, аналитик зэрэгцүүлэх аргуудаар боловсруулдаг.

Интервалаар томруулах аргань динамикийн цувралын түвшинг багтаасан цаг хугацааны томрол дээр суурилдаг, i.e. жижиг хугацаатай холбоотой өгөгдлийг илүү том хугацааны мэдээллээр солих явдал юм. Цувралын эхний түвшин нь богино хугацаанд байх үед ялангуяа үр дүнтэй байдаг. Жишээлбэл, өдөр тутмын үйл явдлуудтай холбоотой цуврал үзүүлэлтүүдийг долоо хоног, сар гэх мэт цувралаар сольсон. Энэ нь илүү тодорхой харуулах болно "Үзэгдлийн хөгжлийн тэнхлэг". Томорсон интервал дээр үндэслэн тооцсон дундаж нь хөгжлийн үндсэн чиг хандлагын чиглэл, шинж чанарыг (өсөлтийн хурдатгал эсвэл удаашрал) тодорхойлох боломжийг олгодог.

хөдөлгөөнт дундаж аргаөмнөхтэй төстэй боловч энэ тохиолдолд бодит түвшинг дараалан шилжих (гулсах) томруулсан интервалд тооцсон дундаж түвшингээр солино. мэгнээний түвшин.

Жишээлбэлхүлээн зөвшөөрсөн бол м=3,дараа нь эхлээд цувралын эхний гурван түвшний дундажийг тооцож, дараа нь ижил тооны түвшингээс, харин дараалан хоёр дахь шатнаас эхлэн, дараа нь гурав дахь шатнаас эхлэн тооцно. Тиймээс дундаж нь динамикийн цувралын дагуу "гулсдаг" бөгөөд нэг хугацаанд хөдөлдөг. -аас тооцоолсон мхөдөлгөөнт дундажийн гишүүд интервал бүрийн дунд (төв) хэсгийг заана.

Энэ арга нь зөвхөн санамсаргүй хэлбэлзлийг арилгадаг. Хэрэв цуврал нь улирлын давалгаатай бол хөдөлж буй дундаж аргаар тэгшитгэсний дараа үлдэх болно.

Аналитик тохируулга. Санамсаргүй хэлбэлзлийг арилгах, чиг хандлагыг тодорхойлохын тулд цувралын түвшинг аналитик томъёоны дагуу (эсвэл аналитик тохируулга) тохируулна. Үүний мөн чанар нь онолын түвшинг цаг хугацааны функц гэж үздэг чиг хандлагын математик загвар болгон авсан тодорхой тэгшитгэлийн дагуу тооцоолсон онолын (бодит) түвшингүүдээр солих явдал юм. Энэ тохиолдолд бодит түвшин бүрийг хоёр бүрэлдэхүүн хэсгийн нийлбэр гэж үзнэ: , энд системчилсэн бүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд тодорхой тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх ба трендийн эргэн тойронд хэлбэлзэл үүсгэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Аналитик тохируулгын даалгавар нь дараах байдалтай байна.

1. Судалгаанд хамрагдаж буй үзүүлэлтийн хөгжлийн чиг хандлагыг хамгийн зөв тусгаж чадах таамаглалын функцийн төрлийг бодит мэдээлэлд үндэслэн тодорхойлох.

2. Эмпирик өгөгдлөөс заасан функцийн (тэгшитгэл) параметрүүдийг олох

3. Онолын (түвшин) түвшний олсон тэгшитгэлийн дагуу тооцоо хийх.

Тодорхой функцийг сонгохдоо дүрмээр бол эмпирик өгөгдлийн график дүрслэлийн үндсэн дээр хийгддэг.

Загварууд нь регрессийн тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээрийн параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцдог

Хугацааны цувааг тэгшитгэхэд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг регрессийн тэгшитгэлүүд нь аль хөгжлийн чиг хандлагыг тусгахад хамгийн тохиромжтой болохыг доор харуулав.

Дээрх тэгшитгэлийн параметрүүдийг олохын тулд тусгай алгоритмууд болон компьютерийн програмууд байдаг. Ялангуяа шулуун шугамын тэгшитгэлийн параметрүүдийг олохын тулд дараах алгоритмыг ашиглаж болно.

Хэрэв цаг хугацаа эсвэл моментуудыг St = 0 болгохын тулд дугаарласан бол дээрх алгоритмууд ихээхэн хялбарчлагдаж, хувирна.

График дээрх зэрэгцүүлсэн түвшингүүд нь энэ динамик цувралын бодит түвшнүүдээс хамгийн ойр зайд өнгөрөх нэг шулуун шугам дээр байрлана. Квадрат хазайлтын нийлбэр нь санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөллийн тусгал юм.

Түүний тусламжтайгаар бид тэгшитгэлийн дундаж (стандарт) алдааг тооцоолно:

Энд n нь ажиглалтын тоо, m нь тэгшитгэл дэх параметрүүдийн тоо (бидэнд хоёр нь байна - b 1 ба b 0).

Үндсэн чиг хандлага (тренд) нь хэд хэдэн динамикийн түвшинд системчилсэн хүчин зүйл хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулдаг бөгөөд чиг хандлагын эргэн тойронд түвшний хэлбэлзэл () нь үлдэгдэл хүчин зүйлийн нөлөөллийн хэмжүүр болдог.

Ашигласан хугацааны цувааны загварын чанарыг үнэлэхийн тулд үүнийг бас ашигладаг Фишерийн F тест. Энэ нь хоёр дисперсийн харьцаа, тухайлбал регрессийн улмаас үүссэн дисперсийн харьцаа, i.e. судлагдсан хүчин зүйл, санамсаргүй шалтгааны улмаас үүссэн тархалт, i.e. үлдэгдэл хэлбэлзэл:

Өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ шалгуурын томъёог дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энд n нь ажиглалтын тоо, өөрөөр хэлбэл. эгнээний түвшний тоо,

m нь тэгшитгэлийн параметрийн тоо, y нь цувралын бодит түвшин,

Мөрний зэрэгцүүлсэн түвшин, - эгнээний дундаж түвшин.

Бусдаас илүү амжилттай загвар нь үргэлж хангалттай сэтгэл ханамжтай байдаггүй. F шалгуур нь тодорхой эгзэгтэй хязгаарыг давсан тохиолдолд л үүнийг хүлээн зөвшөөрч болно. Энэ хил хязгаарыг F түгээлтийн хүснэгт ашиглан тогтооно.

Индексүүдийн мөн чанар, ангилал.

Статистикийн индексийг цаг хугацаа, орон зайд эсвэл аливаа стандарттай харьцуулахад үзэгдлийн хэмжээ өөрчлөгдөхийг тодорхойлдог харьцангуй үзүүлэлт гэж ойлгодог.

Индексийн харилцааны гол элемент нь индексжүүлсэн утга юм. Индексжүүлсэн утгыг өөрчлөх нь судалгааны объект болох статистикийн популяцийн тэмдгийн утгыг ойлгодог.

Индексүүд нь гурван үндсэн зорилготой.

1) нарийн төвөгтэй үзэгдлийн өөрчлөлтийн үнэлгээ;

2) нарийн төвөгтэй үзэгдлийн өөрчлөлтөд хувь хүний ​​хүчин зүйлийн нөлөөллийг тодорхойлох;

3) зарим үзэгдлийн цар хүрээг өнгөрсөн үеийн хэмжээ, өөр нутаг дэвсгэрийн хэмжээ, түүнчлэн стандарт, төлөвлөгөө, урьдчилсан мэдээтэй харьцуулах.

Индексийг 3 шалгуураар ангилдаг.

2) популяцийн элементүүдийн хамрах түвшингээр;

3) ерөнхий индексийг тооцоолох аргуудаар.

Агуулгын хувьдиндексжүүлсэн утгуудын хувьд индексүүд нь тоон (эзэлхүүний) үзүүлэлтүүдийн индексүүд болон чанарын үзүүлэлтүүдийн индексүүдэд хуваагдана. Тоон үзүүлэлтийн индексүүд - аж үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн биет хэмжээ, борлуулалтын биет хэмжээ, тоо гэх мэт Чанарын үзүүлэлтүүдийн индексүүд - үнэ, зардал, хөдөлмөрийн бүтээмж, дундаж цалин гэх мэт.

Хүн амын нэгжийн хамрах түвшингээс хамааран индексийг хувь хүн, ерөнхий гэсэн хоёр ангилалд хуваадаг. Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд бид индексийн аргыг хэрэглэх практикт батлагдсан дараах конвенцуудыг танилцуулж байна.

q- аливаа төрлийн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ (эзэлхүүн). ; Р- үйлдвэрлэлийн нэгжийн үнэ; z- үйлдвэрлэлийн нэгжийн өртөг; т- нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд зарцуулсан цаг хугацаа (хөдөлмөрийн эрч хүч) ; w- нэгж хугацааны үнэ цэнээр илэрхийлсэн үйлдвэрлэлийн гарц; v- нэгж цаг тутамд биет үзүүлэлтээр гарах гарц; Т- нийт зарцуулсан хугацаа буюу ажилчдын тоо.

Индексжүүлсэн утгууд нь аль үе эсвэл объектод хамаарахыг ялгахын тулд баруун доод буланд харгалзах тэмдгийн ард доод тэмдэгтийг тавьдаг заншилтай байдаг. Жишээлбэл, динамикийн индексүүдэд дүрмээр бол харьцуулсан (одоогийн, тайлангийн) үеүүдийн хувьд 1-р дэд тэмдгийг ашигладаг бөгөөд харьцуулсан үеүүдийн хувьд,

Бие даасан индексүүднарийн төвөгтэй үзэгдлийн бие даасан элементүүдийн өөрчлөлтийг тодорхойлоход үйлчилдэг (жишээлбэл, нэг төрлийн бүтээгдэхүүний гарцын хэмжээ өөрчлөгдөх). Эдгээр нь динамикийн харьцангуй утгууд, үүргийн биелэлт, индексжүүлсэн утгуудын харьцуулалтыг илэрхийлдэг.

Үйлдвэрлэлийн биет хэмжээний бие даасан индексийг тодорхойлно

Аналитик үүднээс авч үзвэл, өгөгдсөн бие даасан динамик индексүүд нь өсөлтийн коэффициент (хувь) -тай төстэй бөгөөд тухайн үеийн индексжүүлсэн утгын суурьтай харьцуулахад өөрчлөлтийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл хэдэн удаа өссөн (буурсан) байгааг харуулж байна. ) эсвэл хэдэн хувь нь өсөлт (бууралт) байна. Индексийн утгыг коэффициент эсвэл хувиар илэрхийлнэ.

Ерөнхий (нийлмэл) индекснарийн төвөгтэй үзэгдлийн бүх элементийн өөрчлөлтийг тусгадаг.

Нэгдсэн индексиндексийн үндсэн хэлбэр юм. Тоолуур ба хуваагч нь "нийлбэр"-ийн олонлог тул үүнийг агрегат гэж нэрлэдэг.

Дундаж индекс, тэдгээрийн тодорхойлолт.

Статистикт нэгтгэсэн индексүүдээс гадна тэдгээрийн өөр нэг хэлбэрийг ашигладаг - жигнэсэн дундаж индекс. Боломжтой мэдээлэл нь ерөнхий нэгтгэсэн индексийг тооцоолох боломжгүй үед тэдгээрийн тооцоог ашигладаг. Тиймээс, үнийн талаархи мэдээлэл байхгүй, гэхдээ тухайн үеийн бүтээгдэхүүний өртгийн талаарх мэдээлэл байгаа бөгөөд бүтээгдэхүүн тус бүрийн үнийн индекс тодорхой байгаа бол үнийн ерөнхий индексийг нэгтгэн дүгнэх боломжгүй, гэхдээ боломжтой. тус тусын дундажаар тооцох. Үүний нэгэн адил, хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ тодорхойгүй, харин бие даасан индексүүд болон суурь үеийн үйлдвэрлэлийн өртөг нь тодорхой бол үйлдвэрлэлийн биет хэмжээний нийт индексийг жигнэсэн дундаж байдлаар тодорхойлж болно.

Дундаж индекс -энэ болтус тусын индексийн дундажаар тооцсон индекс. Нэгдсэн индекс нь ерөнхий индексийн үндсэн хэлбэр тул дундаж индекс нь нэгтгэсэн индекстэй ижил байх ёстой. Дундаж индексийг тооцоолохдоо арифметик ба гармоник гэсэн хоёр хэлбэрийг ашигладаг.

Хэрэв бие даасан индексүүдийн жин нь нэгтгэсэн индексийн хуваагчийн нөхцлүүд байвал арифметик дундаж индекс нь нэгтгэсэн индекстэй ижил байна. Зөвхөн энэ тохиолдолд арифметик дундаж томъёогоор тооцсон индексийн утга нь нэгтгэсэн индекстэй тэнцүү байх болно.