Эрт дээр үеэс өнөөг хүртэлх тооны системүүд. эртний тооны системүүд

Эрт дээр үеэс хүмүүс тоон мэдээллийг тодорхойлох (кодлох) асуудалтай тулгардаг.

Бага насны хүүхдүүд хуруугаараа насаа харуулдаг. Нисгэгч онгоцыг буудаж, тэд түүнд зориулж од зурсан тул Робинзон Крузо өдрүүдийг ховил гэж үздэг байв.

Энэ тоо нь шинж чанар нь ижил байсан зарим бодит объектуудыг илэрхийлдэг. Бид ямар нэг зүйлийг тоолох эсвэл дахин тооцоолохдоо объектуудыг хувийн шинж чанаргүй болгодог, жишээлбэл. Тэдний шинж чанарууд нь адилхан гэж бид таамаглаж байна. Гэхдээ тооны хамгийн чухал шинж чанар бол объект байгаа эсэх, i.e. нэгж ба түүний байхгүй, өөрөөр хэлбэл. тэг.

Тоо гэж юу вэ?

Тоо, тоо бол өөр зүйл! 5 2 ба 2 5 гэсэн хоёр тоог авч үзье. Тоонууд нь адилхан - 5 ба 2.

Эдгээр тоо юугаараа ялгаатай вэ?

Дугаарын дараалал уу? - Тийм ээ! Гэхдээ тоон дахь цифрийн байрлалыг хэлэх нь дээр.

Тооллын систем гэж юу вэ?

Энэ нь дугаар оруулах уу? Тийм ээ! Гэхдээ бид хүссэнээрээ бичиж чадахгүй - биднийг бусад хүмүүс ойлгох ёстой. Тиймээс үүнийг бас ашиглах шаардлагатай байна тодорхой дүрэмтэдний бүртгэл.

Тооны системийн тухай ойлголт

Объектуудын тооны талаарх мэдээллийг бүртгэхийн тулд ашиглана уутоонууд байдаг. Тоонуудыг тооллын систем гэж нэрлэдэг тусгай дохионы систем ашиглан бичдэг. Тооллын системийн цагаан толгой нь тоо гэж нэрлэгддэг тэмдэгтүүдээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, аравтын тооллын системд тоонууд нь сайн мэддэг арван цифрийг ашиглан бичдэг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Бүх тооны системийг хоёр том бүлэгт хуваадаг. байр суурьтай болон албан тушаалын бус тооллын системүүд. Байршил тооллын системд цифрийн утга нь тоон доторх байрлалаас хамаардаг ба байрлалгүй тоонд хамаарахгүй.

Байршилгүй системүүд Тооцоолол нь байрлалын тооноос өмнө үүссэн тул бид эхлээд янз бүрийн зүйлийг авч үзэх болно байрлалын бус тооны систем .

Байршлын бус тооллын системүүд

Байршлын бус системд: Ромын тооны систем, цагаан толгойн тооллын систем болон бусад.

Эхлээд хүмүүс зүгээр л урд нь байгаа НЭГ объектыг ялгадаг байв. Хэрэв сэдэв нь нэг биш байсан бол тэд "ОЛОН" гэж хэлсэн.

Математикийн анхны ойлголтууд байсан"бага", "илүү их", "ижил".

Хэрэв нэг овог барьсан загасыг өөр овгийн хүмүүсийн хийсэн чулуун хутгаар сольсон бол, тоолох шаардлагагүй байсан Тэд хэдэн загас, хэдэн хутга авчирсан. Овгуудын хооронд солилцоо хийхэд загас бүрийн дэргэд хутга тавихад хангалттай байв.

Тухайн хүн олсон зүйлсийнхээ тоог овгийнхондоо мэдэгдэх шаардлагатай үед энэ данс гарч ирэв.

би, т Эрт дээр үед олон ард түмэн хоорондоо харилцдаггүй байсан тул өөр өөр ард түмэн байсан өөр өөр системүүдтоо, тоонуудын тооцоолол, дүрслэл.

Хуруунууд нь маш сайн тооцоолох машин болжээ. Тэдний тусламжтайгаар 5 хүртэл тоолох боломжтой байсан бөгөөд хэрэв та хоёр гараа авбал 10 хүртэл тоолох боломжтой байв. Эрт дээр үед хүмүүс хөл нүцгэн явдаг байсан. Тиймээс тэд тоолохдоо хуруу, хөлийн хурууг хоёуланг нь ашиглаж болно. Полинезид овог аймгууд оршсоор байна ing 20 дахь тооны системтэй. Гэсэн хэдий ч Тоолох нэгж нь хуруу биш, харин үе мөч байсан ард түмэн алдартай. Арван хоёрт тооллын систем нэлээд өргөн тархсан байв. Түүний гарал үүсэл нь хуруугаараа тоолохтой холбоотой юм. Үлдсэн дөрвөн хурууны фалангуудыг гарын эрхий хуруугаар авч үзсэн: нийт 12 хуруу байна. Арван хоёрт тооллын системийн элементүүд Англид хэмжүүрийн систем (1 фут = 12 инч) ба мөнгөний системд (1 шиллинг = 12 пенс) хадгалагдан үлджээ. Ихэнхдээ бид өдөр тутмын амьдралдаа арван хоёртын тооллын системтэй тааралддаг: 12 хүнд зориулсан цай, оройн хоолны багц, алчуурын багц - 12 ширхэг. Тоонууд Англи хэлнэгээс арван хоёр хүртэл өөрийн гэсэн нэртэй, дараах тоонууд нийлмэл байна. 13-аас 19 хүртэлх тоонуудын хувьд өсвөр үеийнхний төгсгөл гэсэн үг. Жишээлбэл, 15 бол арван тав.

Өнөөдрийг хүртэл зарим газарт хуруугаар тоолох арга хадгалагдан үлджээ.Х Тухайлбал, Чикаго дахь дэлхийн хамгийн том үр тарианы бирж дээр санал, хүсэлт, үнийг зуучлагчид ганц ч үг хэлэлгүй хуруугаараа зарладаг.

Олон тооны тоо цээжлэхэд хэцүү байсан тул гар, хөлний "тоолох машин" дээр янз бүрийн төхөөрөмж нэмж эхлэв. Тоо бичих шаардлага гарсан.

Объектуудын тоог ямар нэгэн хатуу гадаргуу дээр зураас эсвэл сериф зурах замаар дүрсэлсэн: чулуу, шавар ...

Нэг ("зөөгч") тооллын систем

Талбайнаасаа тариа цуглуулах тусам тэдний мал сүрэг олширч, тэдний тоо төдий чинээ ихсэх шаардлагатай байв.

Ийм тооны нэг тэмдэглэгээ нь төвөгтэй бөгөөд тохиромжгүй байсан тул хүмүүс их тоог тэмдэглэх илүү авсаархан аргыг хайж эхэлсэн.

Эртний Египетийн аравтын тооллын систем

(МЭӨ 2.5 мянган жил)

Жишээ 1. Дугаарыг нь бичээрэй 1 245 386 эртний египет бичгээр

Нэмэх, хасах үйлдлүүдийг тоонууд нэрлэгдэхээс өмнө авч үзсэн.

Хэд хэдэн бүлэг үндэс цуглуулагч эсвэл загасчид олзоо нэг газар байрлуулахад тэд хагалгаа хийдэг нэмэлтүүд .

Үйл ажиллагаатай үржүүлэх Талх тарьж эхлэхэд хүмүүс уулзаж, ургац тариалсан үрийн тооноос хэд дахин их байгааг олж харав.

Олж авсан малын мах, эсвэл хураасан самарыг бүх "ам"-д тэнцүү хуваахад мэс засал хийсэн.хэлтэс.

Египетчүүд хэрхэн бодож байсан бэ?

Үржүүлэх, хуваах Египетчүүд тоог дараалан хоёр дахин нэмэгдүүлснээр үйлдвэрлэсэн.

Жишээ. 19*31

Египетчүүд 31-ийн тоог тогтмол хоёр дахин нэмэгдүүлэв. Баруун баганад тэд хоёр дахин нэмэгдсэний үр дүнг, зүүн талд хоёрын харгалзах хүчийг бичжээ.

Ромын аравтын тооллын систем

(МЭӨ 2 мянган жил ба өнөөг хүртэл)

Байрлалгүй тооллын системүүдээс хамгийн түгээмэл нь Ромын систем юм.

гол асуудалРом тоотой бол үржүүлэх, хуваахад хэцүү байдаг. Ромын системийн өөр нэг сул тал нь: Их тоо бичихэд шинэ тэмдэг оруулах шаардлагатай. Мөн бутархай тоог зөвхөн хоёр тооны харьцаагаар бичиж болно. Гэсэн хэдий ч тэд Дундад зууны төгсгөл хүртэл гол хүмүүс байсан. Гэвч тэдгээр нь өнөөг хүртэл ашиглагдаж байна.

Хаана санаж байна уу?

Цифрийн утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаардаггүй.

Жишээлбэл, XXX (30) тоонд X тоо гурван удаа тохиолддог бөгөөд тохиолдол бүрт ижил утгыг илэрхийлдэг - 10 тоо, нийт 10-ын гурван тоо нь 30-ыг өгдөг.

Ром тооллын систем дэх тооны утгыг тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр буюу зөрүү гэж тодорхойлдог. Хэрэв жижиг тоо нь том тооноос зүүн талд байвал хасна, баруун талд байвал нэмнэ.

Санаж байна уу: 5, 50, 500 давтагдахгүй!

Юуг давтаж болох вэ?

Э Хэрэв хамгийн бага цифр нь хамгийн дээд цифрийн зүүн талд байвал түүнийг хасна. Хэрэв хамгийн бага цифр нь хамгийн дээд талын баруун талд байвал түүнийг нэмнэ - I, X, C, M-ийг 3 хүртэл удаа давтаж болно.

Жишээлбэл:

1)MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 \u003d (Нэг зуун - C, дөчин - XL, есөн - IX) \u003d CXLIX

Жишээлбэл, оруулга аравтын тоо 1998 он Ромын тооны системд иймэрхүү харагдах болно: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Цагаан толгойн үсгийн тооллын систем

Цагаан толгойн дараалсан байрлалын бус тооллын систем эртний армян, гүрж, грек (альфа, бета, гамма), араб, иудейчүүд болон бусад ард түмний дунд түгээмэл байсан. Ойрхи Дорнод, түүнчлэн Славуудын дунд (az, beeches, хар тугалга).

Жишээ. Славян систем дэх 444 тоог бичье.

Энэ оруулга нь аравтын аравтын тооноос хэтрэхгүй болсныг бид харж байна. Учир нь цагаан толгойн системүүд дор хаяж 27 "цифр" ашигладаг байсан.

Цагаан толгойн систем тохиромжтой юу?

Байршлын бус тооны системийн сул талууд:

1. Их тоо бичихийн тулд шинэ тэмдэгтүүдийг нэвтрүүлэх шаардлага байнга гардаг.

2. Бутархай ба сөрөг тоог илэрхийлэх боломжгүй.

3. Арифметик үйлдлүүдийг хэрэгжүүлэх алгоритм байхгүй тул тэдгээрийг гүйцэтгэхэд хүндрэлтэй байдаг. Ялангуяа бүх ард түмэн тооллын системтэй хамт хуруугаар тоолох аргатай байсан бөгөөд Грекчүүд абакус тоолох самбартай байсан - бидний данс шиг зүйл.

Дундад зууны төгсгөл хүртэл тоо бүртгэх бүх нийтийн систем байгаагүй. Гагцхүү математик, физик, технологи, худалдаа, санхүүгийн систем хөгжихийн хэрээр бүх нийтийн тооллын нэгдсэн систем бий болох хэрэгцээ гарч ирсэн ч одоо ч олон овог, үндэстэн, үндэстэн өөр тооны системийг ашиглаж байна.

Гэхдээ бид өдөр тутмын яриандаа байрлалын бус тооны системийн элементүүдийг ашигладаг хэвээр байна, тухайлбал бид арван арав биш зуу, мянга, сая, тэрбум, их наяд гэж хэлдэг.

Аливаа байрлалын тооллын систем нь суурь шинжээрээ тодорхойлогддог.

Байршил тооллын системийн үндэс- өгөгдсөн тооны систем дэх тоог илэрхийлэхэд ашигладаг өөр өөр цифрүүдийн тоо.

Аливаа натурал тоог суурь болгон авч болно - хоёр, гурав, дөрөв, ..., шинэ байрлалын системийг бүрдүүлдэг: хоёр, гурав, дөрөвдөгч, .. .

Аравтын тоо n байрлалын тооллын систем

Энэтхэгийн эрдэмтэд математикийн хамгийн чухал нээлтүүдийн нэгийг хийсэн - тэд одоо дэлхий даяар хэрэглэж байгаа байрлалын тооллын системийг зохион бүтээжээ. Аль-Хорезми номондоо Энэтхэгийн арифметикийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан байдаг.

Гурван зуун жилийн дараа (1120 онд) энэ номыг орчуулав Латин хэл, бөгөөд энэ нь Европын бүх хотуудад зориулсан анхны "Энэтхэгийн" арифметик сурах бичиг болсон.

Одоогоор ашиглагдаж байгаа баазууд:

10 ердийн аравтын тооллын системд (гарын арван хуруу). Цагаан толгой: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 Эртний Вавилонд зохион бүтээсэн: нэг цагийг 60 минут, минутыг 60 секунд, өнцгийг 360 градус болгон хуваах.

12 Англо-Саксончуудын тараасан: жилд 12 сар, өдөрт 12 цаг хоёр үе, хөл нь 12 инч байдаг.

7 долоо хоногийн өдрүүдийг тоолдог байсан

Гэрийн даалгавар: - "тооны систем"-ийн тодорхойлолт, SS-ийн ангилалд суралцах

1. Ром тоогоор ямар тоо бичдэг вэ: MS I X, L X V?

2. Төрсөн оноо бичнэ үү.

A) эртний Египетийн тооны системд;

б) Ромын тооны системд;

C) эртний славян тооллын системд.

Нийгмийн хөгжлийн эхний үе шатанд хүмүүс тоолж мэддэггүй шахам байсан. Тэд хоёр ба гурван объектын багцыг ялгасан; илүү олон тооны объект агуулсан аливаа цуглуулгыг "олон" гэсэн ойлголтод нэгтгэсэн. Тооны эхний тэмдэглэгээг модон шошго эсвэл ясны ховил, дараа нь зураас гэж үзэж болно. Гэхдээ олон тооны тоог ийм байдлаар илэрхийлэх нь тохиромжгүй байсан тул зарим зураасанд тусгай тэмдэг (тоо) ашиглаж эхлэв.

Тоолохдоо объектуудыг ихэвчлэн хуруу, хөлийн хуруутай харьцуулдаг байв. Соёл иргэншил хөгжихийн хэрээр хүн төрөлхтний тоолох хэрэгцээ зайлшгүй шаардлагатай болсон. Эхэндээ натурал тоонуудыг тодорхой тооны зураас эсвэл саваагаар дүрсэлсэн бол дараа нь тэдгээрийг илэрхийлэхийн тулд үсэг эсвэл тусгай тэмдэг ашиглаж эхэлсэн. Эртний Новгородод славян цагаан толгойн үсгийг ашигласан славян системийг ашигласан; тоонуудыг дүрслэхдээ тэдгээрийн дээр ~ (titlo) тэмдгийг байрлуулсан.

Славууд ижил үсэгтэй олон тооны тоог бичсэн боловч мянгатыг тэмдэглэхийн тулд зүүн талд байгаа үсгийн хажууд ^ доор T " тэмдэг тавина, жишээлбэл: 10OO-*A; 3000-* G. 10000 тоог тэмдэглэв. 1-тэй ижил үсгээр, гэхдээ гарчиггүй, дугуйлсан байв.Энэ тоог "харанхуй" гэж нэрлэсэн.Тиймээс "ард түмэнд харанхуй" гэсэн илэрхийлэл гарчээ.Дараах ангиллын дугаар буюу 100000-ыг "легион" гэж нэрлэсэн. Энэ тоог тэмдэглэхийн тулд тэд А үсгийг бичиж, эргэн тойронд нь тойрог зурсан; 10 легион нь шинэ нэгж, леодр байв. Леодрыг зураасны тойрог дотор байрлуулсан А үсгээр тэмдэглэв. Сэдвийн харанхуй (өөрөөр хэлбэл 1012). ) "легион", легион легион (жишээ нь 1024) - "леодр", леодр леодр (жишээ нь 1048) - "хэрээ", эцэст нь 1049 тоог "тац" гэж нэрлэдэг байсан. Хэрээг тодорхойлохын тулд үсэг нь загалмайн тойрог дотор байрласан байв.Их тооны нэр байхгүй.

Орос улсад алс холын үед тоонуудыг сүмийн славян цагаан толгойн үсгээр тэмдэглэдэг байв.

"az" "хар тугалга" "үйл үг" гэх мэт.

Үсгийг тоо болгохын тулд дээд талд нь тусгай "гарчиг" тэмдэг ([-") байрлуулсан. Жишээ нь, арван нэгэн тоог дараах байдлаар дүрсэлсэн: 5), хорин хоёр - дараах байдлаар: 1 ^ 6. Зөвхөн дотор XVIII эхэн үеОрос улсад олон зууны турш Арабчууд индианчуудаас зээлсэн "араб тоо"-г ашиглаж эхэлсэн. тэдний орчин үеийн хэв маяг: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эдгээр тэмдэглэгээг Л.Ф.Магнитскийн эмхэтгэсэн, 1703 онд хэвлүүлсэн орос хэл дээрх анхны арифметикийн хичээлд оруулсан болно.

Нэмж дурдахад, Орос улсад Ромын тоог ашигласан. Энэ дугаарлалтын дагуу:

"i" "ve" "x" "el" "ce" "de" "em"

151050100 500 1000

Энэ нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ. Жишээлбэл, энэ нь одоо цагийн нүүрэн дээрх тоог тэмдэглэх, номны бүлгүүд болон зарим хуудсыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг.

Славян дугаарлалтын системд цагаан толгойн бүх үсгийг тоо бичихэд ашигладаг байсан ч цагаан толгойн дарааллыг зарим талаар зөрчсөн. Янз бүрийн үсэг нь өөр өөр тооны нэгж, арав, зуу гэсэн утгатай байв. Жишээлбэл, 231 тоог ~ SLA (C - 200, L - 30, A - 1) гэж бичсэн.

Эртний Ромчууд "Ромын дугаарлалт" гэсэн нэрээр өнөөг хүртэл хадгалагдаж ирсэн дугаарлах аргыг ашигладаг байсан бөгөөд тоонуудыг Латин цагаан толгойн үсгээр илэрхийлдэг. Одоо энэ нь тэмдэглэлт өдрүүдийг тэмдэглэх, номын зарим хуудсыг дугаарлах (жишээлбэл, өмнөх үгийн хуудас), номын бүлгүүд, шүлгийн бадаг гэх мэтийг тэмдэглэхэд хэрэглэгддэг. Хожмын хэлбэрээр Ром тоонууд дараах байдлаар харагдана.

i = 1; V = 5; x=10; L=50; C = 100; D=500; М = 1000.

Ром тооны гарал үүслийн талаар найдвартай мэдээлэл байхгүй байна. V тоо нь анх гарны дүрс болж чаддаг байсан бөгөөд X тоо нь хоёр таваас бүрдэж болно. Ромын тоололд таван давхар системийн ул мөр нь тодорхой нөлөөлдөг. тооцоо. Бүх бүхэл тоо (5000 хүртэл) дээрх цифрүүдийг давтаж бичнэ. Үүний зэрэгцээ, хэрэв том тоо нь жижиг тоонуудын өмнө байвал тэдгээрийг нэмнэ, харин жижиг нь томын өмнө байвал (энэ тохиолдолд үүнийг давтах боломжгүй) бага нь байна. томоос нь хассан). Жишээлбэл, VI \u003d 6, жишээлбэл, 5 + 1, IV \u003d 4, өөрөөр хэлбэл 5 - 1, XL \u003d 40, өөрөөр хэлбэл 50 - 10, LX \u003d 60, өөрөөр хэлбэл 50 + 10 эгнээнд ижил байна. гурваас илүүгүй удаа тавина: LXX \u003d 70; LXXX = 80; 90 тоо нь XC гэж бичигдсэн (LXXXX биш).

Эхний 12 тоог ром тоогоор дараах байдлаар бичнэ.

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Бусад тоонуудыг жишээлбэл:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Энэ тэмдэглэгээнд олон оронтой тоон дээр арифметик үйлдлүүд хийх нь маш хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч 13-р зуун хүртэл Италид Ромын тоолол давамгайлж байв. , Баруун Европын бусад орнуудад - 16-р зуун хүртэл.

Эдгээр системүүд нь өөр өөр шинж тэмдгүүдийн олон тооны хэрэгцээ, ялангуяа олон тооны тоог илэрхийлэх хэрэгцээ, хамгийн чухал нь арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд тохиромжгүй байдаг гэсэн хоёр сул талтай.

Илүү тохиромжтой, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бөгөөд хамгийн түгээмэл аравтын тооллын систем нь Энэтхэгт зохион бүтээгдсэн бөгөөд арабууд тэндээс зээлж аваад хэсэг хугацааны дараа Европт орж ирсэн. Аравтын тооллын системд суурь нь 10 байна.

Энэтхэгийн математикчид түүхэндээ анх удаа тэгийг нэг буюу өөр оронтой тооны нэгж байхгүй байгааг илтгэх тэмдэг болгон нэвтрүүлсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй - аравтын тооллын системд бичигдсэн тоо. Тэгийн Энэтхэгийн нэр нь "sunya" бөгөөд шууд утгаараа "хоосон" гэсэн утгатай.

Энэтхэгчүүдийн нээлтийг Арабын эрдэмтэд хүлээн зөвшөөрч, 8-р зуунд Европт авчирсан. Энэтхэгчүүдээс зээлсэн "араб дугаарлалт" нь бусад бүх тооллын системээс илүү хялбар бөгөөд тохиромжтой байсан тул аажмаар Европ даяар тархаж, бусад бүх дугаарлалтын системийг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн сольсон.

Бусад суурьтай тооллын системүүд байсан. Жишээлбэл, эртний Вавилонд сексийн тооллын системийг ашигладаг байсан. Бид түүний үлдэгдлийг цаг буюу градусыг өнөөдрийг хүртэл хадгалсаар ирсэн 60 минут, минутыг 60 секунд болгон хуваахаас олдог.

Эртний египетчүүд аравтын тооллын системийг ашигладаг байсан бол эртний Вавилончууд сексийн тооллын системийг ашигладаг байжээ. Жишээлбэл, 2-60+13 гэсэн тоо

Вавилон хэл дээрх MMM A MMM нь дараах байдалтай байв: -y y \ y y y

Египетчүүд болон Вавилончууд аль аль нь тоонуудын орон нутгийн (байрлалын) утгыг хараахан эзэмшээгүй байсан. Орон нутгийн тоон утгын нууцыг Энэтхэгийн математикчид 1,500 жилийн өмнө нээсэн. Тэд дэлхийн шинжлэх ухаанд анх удаа байрлалын аравтын дугаарлалт хэрэглэж эхэлсэн.

AT Эртний Египет 5000 орчим жилийн өмнө тэд 10-ын тоог P иероглифээр (магадгүй энэ нь арав гаруй зураасаар байрлуулсан нумын тэмдэг байж магадгүй), 100-ийн тоог (энэ нь хэмжих олсны тэмдэг) тэмдэглэж эхэлсэн. гэх мэт. Ийм тоонуудаас тэд дурын тооны аравтын бутархай тэмдэглэгээг хийсэн, жишээлбэл 124-ийн тоог дараах байдлаар тэмдэглэв: "К©

МЭӨ 2-р мянганы үеэс Тигр, Евфрат мөрний Месопотамид амьдарч байсан ард түмэн (Вавилончууд, Ассиричууд, Шумерчууд). д. Манай эриний эхэн үеэс өмнө тэд тойрог, хагас тойрог ашиглан тоог тэмдэглэдэг байв өөр өөр хэмжээтэй, гэхдээ дараа нь зөвхөн хоёр дөрвөлжин тэмдгийг ашиглаж эхэлсэн - шулуун шаантаг y (1) ба хэвтэж буй шаантаг * (10). Эдгээр ард түмэн хүйсийн жижиг тооллын системийг ашигласан бөгөөд жишээлбэл, 23-ын тоог дараах байдлаар дүрсэлсэн: * h -4 U T V 60-ын тоог y тэмдгээр дахин тэмдэглэсэн, жишээлбэл, 92 тоог дараах байдлаар бичсэн: T ^-h ^ ТТ

Үүний дараа Вавилончууд алга болсон жаран орны тоог илэрхийлэх тусгай тэмдэг 4-ийг нэвтрүүлсэн.

Аравтын тооллын систем нь эртний үед өргөн тархсан байсан бөгөөд гарал үүсэл нь аравтын систем шиг хуруугаараа тоолохтой холбоотой байж магадгүй юм: нэг гарны дөрвөн хурууны фалангуудыг (тусдаа үе) тоолох нэгж болгон авдаг байсан. тоолохдоо нэг гарынхаа эрхий хуруугаар хөдөлсөн. Энэхүү тооны системийн үлдэгдэл өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ аман яриа, мөн гаальд. Жишээлбэл, хоёрдугаар ангиллын нэгжийн нэр - 12 тоо - "арван" гэдэг нь сайн мэддэг. Олон зүйлийг хэдэн арван биш, харин хэдэн арван, жишээлбэл, үйлчилгээний хутганы хэрэгсэл, тавилгын сандал зэргийг тоолох заншил хадгалагдан үлджээ. Арван арван хоёртын систем дэх гурав дахь ангиллын нэгжийн нэр - нийт нь одоо ховор боловч зууны эхэн үеийн худалдааны практикт энэ нь байсаар ирсэн. Жишээлбэл, В.В.Маяковский 1928 онд бичсэн Плюшкиний шүлэгт бүх юмыг дараалан худалдаж авдаг хүмүүсийг шоолж: "Би арван хоёр грросс кондукторын бороохой худалдаж авлаа" гэж бичсэн байдаг. Африкийн хэд хэдэн овог аймгуудын дунд болон Эртний Хятад quinary тооллын системийг ашигласан. Төв Америкт (эртний Ацтек, Майячуудын дунд) болон оршин суугчдын дунд баруун Европэртний Кельтүүд хорин аравтын системийг ашигладаг байсан. Эдгээр нь бүгд хуруугаараа тоолохтой холбоотой байдаг. Манай эриний эхэн үед Төв Америкийн Юкатаны хойгт байдаг Маяа индианчууд өөр тооллын системийг ашигладаг байсан - хорин. Тэд 1 цэг, 5-ыг тэмдэглэсэн - хэвтээ шугам, жишээлбэл, "" "" гэсэн оруулга нь 14 гэсэн утгатай. Маяагийн тооллын системд мөн тэгийн тэмдэг байсан. Хэлбэрийн хувьд энэ нь хагас хаалттай нүдтэй төстэй байв.

AT Эртний Грекэхлээд 5, 10, 100, 1000, 10000 тоонуудыг G, A, H, X, M үсгээр, 1-ийн тоог зураасаар / тэмдэглэсэн. Эдгээр тэмдгүүдээс p (50) ddd ~ (35) гэх мэт тэмдэглэгээг хийсэн бөгөөд хожим нь 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40 гэсэн тоонууд гарч ирэв. , 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 6000, 700, 5000, 700, 5000, Грек цагаан толгойн цагаан толгойн үсэг, хуучирсан гурван үсгийг нэмж оруулах шаардлагатай байв. Тоонуудыг үсгээс ялгахын тулд үсгүүдийн дээр зураас тавьсан.

Арабууд "сунья" гэдэг үгийг "figure" (аз зл!р) гэсэн нэр томъёогоор хэлэндээ орчуулсан нь сонирхолтой юм. Тиймээс өмнө нь тоо гэдэг үгийг зөвхөн тэг гэж нэрлэдэг байсан. Чухам энэ утгаараа дүрс гэдэг үгийг 13-р зууны эхэн үеийн Италийн математикч Фибоначчи 1202 онд "Абакийн ном" хэмээх арифметикийн ном хэвлүүлсэн (абакус бол тоолох самбар, манай албаны өмнөх үе). данс). Үүнтэй ижил утгаараа энэ үгийг 18-р зууны эхээр хэвлэмэл арифметикийн анхны эмхэтгэгч Л.Ф.Магнитский ашигласан. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд европчууд тэмдгүүдийг тоонууд гэж ойлгож эхэлсэн: 0, 1.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тэдгээрийн эхнийх нь тэг гэж нэрлэгддэг.

Хятад, Японд тоо бичихдээ иероглиф ашигладаг байжээ.

Орчин үеийн аравтын тэмдэглэгээ натурал тоонууд 6-р зуунд Энэтхэгт анх гарч ирсэн. UI-USH зуунд байлдан дагуулсан арабуудаар дамжуулан. Газар дундын тэнгис, Азийн өргөн уудам нутагт Энэтхэгийн дугаарлалт өргөн тархсан. Тиймээс нэр нь араб тоонууд юм.

Европын орнуудад 10-11-р зууны үед Арабчууд Энэтхэгийн шинэ дугаарыг авчирсан. гэхдээ 18-р зуун хүртэл. Албан ёсны баримт бичигт зөвхөн ром тоогоор бичдэг байсан. Зөвхөн XIX эхэн үе in. Энэтхэгийн дугаарлалт хаа сайгүй хэрэглэгдэж эхэлсэн.

Орос улсад аль хэдийн 17-р зуунд. Математикийн бүх гар бичмэлд зөвхөн байрлалын аравтын тооллын систем олддог.

Хамгийн залуу тооны системийг хоёртын систем гэж үзэх нь зөв юм. Энэхүү систем нь тооцоолох машин болон орчин үеийн компьютерт ашиглахад маш их давуу талтай болгодог хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

Гэсэн хэдий ч хамгийн түгээмэл нь Энэтхэг-Араб аравтын систем байв. Индианчууд анх удаа тоонуудын тоон дахь хэмжигдэхүүний байрлалын ач холбогдлыг илэрхийлэхийн тулд тэгийг ашигласан. Энэ систем нь арван оронтой учраас аравтын бутархай гэж нэрлэгддэг.

AT орчин үеийн ертөнцТоонуудыг илэрхийлэх олон арга бий. Тоо нь зарим цагаан толгойн тэмдэгтүүдийн бүлэгт дүрслэгдэж болно.
Тооны систем гэдэг нь тоог тодорхойлох, нэрлэх дүрмийн багц юм.
Хамгийн хамгийн энгийн системтоонууд - нэг тэмдэгт, зөвхөн 1 тэмдэгт ашигладаг (зөөгч, зангилаа, ховил, хайрга гэх мэт).
Тоонуудыг илэрхийлэх хамгийн төгс зарчим бол байрлалын (орон нутгийн) зарчим бөгөөд үүний дагуу ижил тооны тэмдэг (тоо) байдаг. янз бүрийн утгатайхаана байрлаж байгаагаас хамаарна.
Ийм систем нь байгалийн жам ёсны шинжтэй байсан ч энэ нь удаан хугацааны үр дүн байв түүхэн хөгжил. Аравтын бутархай тооллын систем бий болсон нь хуруугаараа тоолохтой холбоотой юм. Өөр өөр суурьтай тооны системүүд байсан: 5, 12 (хэдэн арван тоогоор тоолох), 20 (ийм системийн ул мөр франц хэлэнд хадгалагдан үлдсэн, жишээлбэл, quatre - vingts, өөрөөр хэлбэл дөрөв - хорин, 80 гэсэн үг), 40 , 60 гэх мэт.Компьютер дээр тооцоолохдоо 2 суурьтай тооны системийг ихэвчлэн ашигладаг.

Анхан шатны ард түмэн хөгжсөн тооны системгүй байсан. 19-р зуунд Австрали, Полинезийн олон овог аймгууд зөвхөн хоёр тоотой байсан: нэг ба хоёр; Тэдний хослолууд нь тоонуудыг үүсгэдэг: 3 - хоёр - нэг, 4 - хоёр - хоёр, 5 - хоёр - хоёр - нэг ба 6 - хоёр - хоёр - хоёр. 6-аас дээш бүх тоог тус тусад нь ялгахгүйгээр "маш их" гэж хэлсэн. Нийгмийн хөгжлийг дагаад эдийн засгийн амьдралулам бүр том олон тооны объектыг тодорхойлох боломжтой тооны системийг бий болгох шаардлагатай байв. Хамгийн эртний тооллын системүүдийн нэг бол МЭӨ 2500-3000 оны үед үүссэн Египетийн иероглифийн дугаарлалт юм. д. Энэ нь тоо бичихдээ зөвхөн нэмэх зарчмыг ашигладаг аравтын бус байрлалын тооллын систем байсан (зэргэлдээх цифрээр илэрхийлсэн тоонууд нийлдэг).
Үүнтэй төстэй тооны системүүд Грекийн Херодиан, Ром, Сири гэх мэт байв.

Ром тоонууд нь аравтын бутархайн тусгай тэмдэгтүүдийг ашиглахад үндэслэсэн тоонуудыг тэмдэглэх дохионы системийн уламжлалт нэр юм.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Илүү төгс системүүдтоонууд нь цагаан толгойн үсгийн дараалалтай: ион, славян, еврей, араб, түүнчлэн гүрж, армян.
Цагаан толгойн тооллын системд тоонуудын тэмдэглэгээ өмнөхөөсөө хамаагүй богино байдаг; Үүнээс гадна цагаан толгойн үсгийн дарааллаар бичигдсэн тоон дээр арифметик үйлдлүүд хийх нь илүү хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч цагаан толгойн тооллын системд та дур зоргоороо их тоо бичиж болохгүй.
МЭӨ 2000 онд үүссэн эртний Вавилончуудын тооллын системд. д. бүх тоог хоёр тэмдэг ашиглан бичсэн: (нэг) ба (арав). 60 хүртэлх тоог нэмэх зарчмаар эдгээр хоёр тэмдэгтийн хослолоор бичсэн. 60 тоог дахин тэмдэгээр тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь хамгийн дээд зэрэглэлийн нэгж юм. 60-аас 3600 хүртэлх тоог бичихдээ дахин нэмэх зарчмыг хэрэглэж, 36000-ын тоог нэгж гэх мэт тэмдэгтээр тэмдэглэв.Энэ системд 343=5*60+4*10+3 гэсэн тоог бичсэн. дараах байдлаар:
Гэсэн хэдий ч дутуу цифрүүдийг тэмдэглэж болох тэгийн тэмдэг байхгүй байсан тул энэ тооллын систем дэх тооны тэмдэглэгээ хоёрдмол утгагүй байсан. Вавилоны тооллын системийн нэг онцлог нь тоонуудын үнэмлэхүй утга тодорхойгүй хэвээр байв.

Юкатаны хойгийн оршин суугчид болох Майя Индианчуудын дунд байрлалын зарчимд суурилсан өөр нэг тооны систем бий болсон. Төв Америк) МЭ 1-р мянганы дундуур. д. Майячууд хоёр тооны системтэй байсан: нэг нь Египетийг санагдуулдаг байсан Өдөр тутмын амьдрал, нөгөө нь - байрлалын, суурь нь 20, тусгай тэмдэг нь тэг, хуанлийн тооцоонд ашигласан. Манай орчин үеийнх шиг энэ системд бичлэг хийх нь үнэмлэхүй байсан.

Орчин үеийн аравтын бутархай байрлалын тооллын систем нь 5-р зуунаас хойш үүссэн дугаарлалтын үндсэн дээр үүссэн. Энэтхэгт. Үүнээс өмнө Энэтхэгт зөвхөн нэмэх зарчмыг хэрэгжүүлээд зогсохгүй үржүүлэх зарчмыг (аль ч ангиллын нэгжийг зүүн талд байгаа тоогоор үржүүлдэг) ашигладаг тооллын системтэй байсан. Хуучин Хятадын тооллын систем болон бусад зарим нь ижил төстэй байдлаар бүтээгдсэн. Жишээлбэл, 3-ын тоог III тэмдгээр, 10-ыг X тэмдгээр тэмдэглэвэл 30-ын тоог IIIX (гурван арав) гэж бичнэ. Ийм тооны систем нь аравтын бутархайн байрлалын дугаарлалыг бий болгох арга болж чаддаг.

Аравтын бутархай байрлалын систем нь зарчмын хувьд дур зоргоороо их тоог бичих боломжтой болгодог. Үүнд тоонуудыг бүртгэх нь авсаархан бөгөөд арифметик үйлдлүүдийг хийхэд тохиромжтой. Иймээс аравтын бутархай байрлалын тооллын систем бий болсноос хойш удалгүй Энэтхэгээс баруун зүүн тийш тархаж эхэлдэг. 9-р зуунд гар бичмэлүүд гарч ирэв Араб 10-р зууны аравтын бутархайн байрлалын дугаарлалт Испанид хүрч байсан бол 12-р зууны эхээр Европын бусад орнуудад ч бас гарч ирсэн. Шинэ тооны системийг араб гэж нэрлэдэг байсан, учир нь Европт үүнийг араб хэлнээс латин орчуулгаар анх нэвтрүүлсэн. Зөвхөн 16-р зуунд шинэ дугаарлалт нь шинжлэх ухаан, өдөр тутмын амьдралд өргөн тархсан. Орос улсад энэ нь 17-р зуун, 18-р зууны эхэн үеэс тархаж эхэлсэн. цагаан толгойн үсгийг орлоно. Танилцуулгатай аравтын бутархайаравтын байрлалын тооллын систем болсон бүх нийтийн эмчилгээбүх бодит тоог бичих.

Анхан шатны хүн бараг тоолох шаардлагагүй байв. "Нэг", "хоёр", "олон" бүгд түүний тоо. Орчин үеийн хүмүүсалхам тутамдаа тоотой шууд утгаараа харьцах хэрэгтэй. Хэчнээн том ч хамаагүй ямар ч тоог зөв нэрлэж, бичиж чаддаг байх хэрэгтэй. Хэрэв тоо бүрийг тусгай нэрээр дуудаж, үсгээр тусгай тэмдгээр тэмдэглэсэн бол энэ бүх үг, тэмдгийг хэн ч санах боломжгүй болно. Энэ даалгаврыг хэрхэн даван туулах вэ? Бидэнд тусалдаг сайн системтэмдэглэгээ.

Дурын тоог бичиж, түүнд нэр өгөх цөөн хэдэн нэр, тэмдгийн цуглуулгыг тооллын систем буюу дугаарлалт гэнэ.

Бараг бүх зүйл дээр бөмбөрцөгтооны хэл дээрх цагаан толгой нь 0-ээс 9 хүртэлх 10 оронтой байдаг. Тэдний ес нь эхний есөн натурал тоог тэмдэглэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд арав дахь нь - тэг нь ямар ч тоог илэрхийлэхгүй, энэ нь "байрлалын залгуур" гэж нэрлэгддэг. ". Энэ хэлийг аравтын тооллын систем гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч хүмүүс аравтын тооллын системийг үргэлж ашигладаггүй, хаа сайгүй хэрэглэдэггүй. Цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл энэ нь бусад тооны системээс онцгой давуу талгүй бөгөөд энэ систем нь хаа сайгүй тархсан нь математикийн ерөнхий хуулиудад огт хамааралгүй, харин огт өөр шинж чанартай шалтгаанаас үүдэлтэй юм.

AT сүүлийн үедАравтын тооллын систем нь орчин үеийн компьютерууд ашиглахыг илүүд үздэг хоёртын системтэй, зарим талаараа гуравдагч системтэй нухацтай өрсөлдөж байна.

Бичгийг бүтээхээс өмнө хүмүүс хэрхэн тоолж, яаж тоолдог байсныг хэн ч мэдэхгүй. Үүнийг зөвхөн таамаглаж болно. Нэг зүйл бол хүн төрөлхтөн дансыг маш удаан эзэмшсэн нь эргэлзээгүй. Гэсэн хэдий ч бичиг үсэг бий болох үед хүмүүс хэрхэн сайн тоолохыг мэддэг болсон.

Дөрвөн мянган жилийн өмнө хамгийн өндөр хөгжилтэй ард түмэн (Египетчүүд, Халдейчүүд) зөвхөн бүхэл бүтэн төдийгүй хамгийн энгийн зүйлийг бичиж, ашиглаж чаддаг байв. бутархай тоо. Түүгээр ч барахгүй тэр үед тоолох урлагийг заадаг сургуулиуд аль хэдийн байсан.

Анхны бичиг үсэгт үсэг байгаагүй. Бүх зүйл, үйлдэл бүрийг зургаар дүрсэлсэн. Аажмаар зургууд илүү хялбар болсон. Объект, үйлдлүүдийн дүр төрхтэй хамт тусгай дүрсүүд гарч ирэв янз бүрийн шинж чанаруудзүйлс, түүнчлэн бидний угтвар үг, холбоо үгэнд тохирох үгсийн дүрсүүд.

Ийнхүү иероглиф гэж нэрлэгддэг бичээс үүссэн; иероглиф бичихэд дүрс бүр нь биднийх шиг дуу авиатай тохирохгүй, харин бүхэл бүтэн үгтэй нийцдэг.

Тэр үед тоо бичих тусгай тэмдэгт (тоо) байгаагүй. Гэхдээ "нэг", "хоёр", ... "арван долоон" гэх мэт үгс нь тодорхой иероглифтэй тохирч байв. Тэр үед хүмүүс олноор нь мэддэггүй байсан болохоор тийм ч олон байгаагүй.

Зарим оронд (жишээлбэл, Хятад, Япон) иероглиф бичиг өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ. Энд жишээ нь (2-р зургийг үз), хэд хэдэн иероглиф:

Цагаан будаа. 2

Славуудын дунд тоо бичихдээ тоонуудын дараалал нь аман нэртэй адил байв. Тэд жишээ нь, "арван тав" (Славян хэлээр - "таваас арав"), нэгжийн тоог урагшлуулж, дараа нь арав гэж хэлдэг. Славууд ингэж бичдэг, өөрөөр хэлбэл урд нь тав, ард нь арваад бичдэг. Эсрэгээр, "хорин гурав" гэсэн тоонд тэд эхлээд арав, дараа нь нэгийг, Славуудын дунд эхлээд гурав, дараа нь хорин гэж нэрлэдэг, үүнийг захидалд харуулсан.

Тоонуудыг үсгээс ялгахын тулд тэдгээрийн дээр тусгай дүрс байрлуулсан - гарчиг. Энэ нь зөвхөн нэг тооны дээр байрлуулсан байв. Цифрүүдийн газар, түүний тоон тэмдэглэгээ дэх байрлал нь хамаагүй.

Эдгээр тэмдгүүдийн тусламжтайгаар олон тооны тоог хялбархан бичсэн. Титло тэмдэг нь мянга мянган хүнийг илэрхийлдэг. Энэ тэмдгийг давтсанаар маш их тоо бичих боломжтой болсон

Мянга хүртэлх тоо Эртний Оросодоогийнхтой бараг адилхан дууддаг. Дуудлагад бага зэрэг ялгаатай байсан (жишээлбэл, "нэг" -ийг "нэг" гэх мэтээр нэрлэдэг). Арван мянга нь "харанхуй" гэж нэрлэгддэг байсан бөгөөд энэ тоог маш том гэж үздэг байсан тул ижил үг нь тоолж баршгүй олон хүнийг илэрхийлдэг.

Хожим нь (XVI - XVII зууны үед) "агуу славян тоо" гэж нэрлэгддэг тоонуудыг нэрлэх өвөрмөц систем гарч ирсэн бөгөөд энэ системд 999999 хүртэлх тоог одоогийнхтой бараг ижил гэж нэрлэдэг байв. Харанхуй гэдэг үг аль хэдийн сая гэсэн үг. Үүнээс гадна дараах нэрс гарч ирнэ: "сэдвийн харанхуй", эсвэл "легион" (өөрөөр хэлбэл сая сая, эсвэл их наяд нь 10-тай тэнцүү); "Легионы легион", эсвэл "модр" (септилион, 1024); эцэст нь "modr modr", эсвэл "хэрээ" (өөрөөр хэлбэл 1048).

Байршлын дугаарлалт нь эртний Вавилонд (ойролцоогоор дөрвөн мянган жилийн өмнө) гарч ирсэн бололтой. Түүнийг хэсэг хугацааны дараа хэлэлцэх болно. Энэтхэгт энэ нь тэгийг ашиглан байрлалын аравтын тоолох хэлбэрийг авсан. Хиндучуудаас энэ тооны системийг VIII - IX зууны үед арабууд зээлж авсан. дэлхийн хамгийн соёлтой үндэстнүүдийн нэг. Европчууд үүнийг арабуудаас авсан (тиймээс нэр нь "Араб тоо").

Хамгийн сонирхолтой нь Вавилоны математик юм. Вавилоны дугаарлалт нь нэг хагас мянган жилийн турш (МЭӨ 18-3-р зуун хүртэл) оршин тогтнож байсан бөгөөд үүнийг ашиглаж байжээ. өргөн тархсанОйрхи Дорнод даяар. Тэрээр Хятад, Энэтхэг, Грекийн математикт нөлөөлсөн.

Вавилончууд зөөлөн шавар хавтан дээр саваагаар бичиж, дараа нь "гар бичмэлүүдээ" шатаажээ. Хүчтэй тоосгон "баримт бичгүүдийг" олж авсан бөгөөд бидний цаг үе хүртэл хэсэгчлэн хадгалагдан үлдсэн бөгөөд тэдгээрийг Месопотамид (одоо Ирак) малтлагын үеэр ихэвчлэн олдог. Тиймээс Вавилоны түүх, ялангуяа математикийн судалгаа нэлээд сайн байсан.

XIX - XVIII зууны төгсгөлд. МЭӨ Шумерчууд ба Аккадчууд гэсэн хоёр ард түмэн нэгдэж байв. Эдгээр ард түмэн бүр нэлээд хөгжсөн худалдаа, жин, мөнгөний нэгжтэй байсан боловч эдгээр ард түмний аль нь ч хөгжсөн дугаарлалтгүй байв.

Аккадчуудын дунд үндсэн нэгж болох "мекел" нь Шумерчуудын дундах нэгж болох "уурхай"-аас (хагас килограмм орчим) 60 дахин бага байв. Нэг мина мөнгө мөнгөний нэгж болж байв.

Эдгээр ард түмэн нийлсний дараа нэгжийн хоёр систем хоёулаа "эргэлдэж" байсан: мина, мекелийг одоо килограмм, грамм (рубль, копейк) ашигладагтай ижил аргаар ашигладаг байсан бөгөөд цорын ганц ялгаа нь том нэгж нь 100 биш байсан. 60 жижиг нэгж. Цаг хугацаа өнгөрөхөд илүү том нэгж гарч ирэв - "авьяас": 1 авьяас = 60 мин, 1 мин = 60 мекель.

Вавилончууд тоог хэрхэн бичсэн бэ? Тэд саваагаар бичиж, шавар руу дарж бичсэн тул тэдгээрийн үндсэн график элементүүд нь шаантаг байв. Эхний тэмдэглэсэн нэгж, хоёр дахь нь - арав, зургийг үз. 3.

Цагаан будаа. 3

Эдгээр тэмдгүүд нь маш тодорхой, шаантагны тоо нь гайхалтай, тиймээс тэдгээрийг тоолох шаардлагагүй юм. Гэхдээ дөрвөлжин бичээс нь тоонуудын хоорондох зайны хэмжээг тооцоолоход маш тохиромжгүй бөгөөд бүх зүйлийг гараар дахин бичих шаардлага байнга гардаг. Тусгаарлах тэмдэг хэрэгтэй байсан бөгөөд энэ нь гарч ирэв. Хэсэг хугацааны дараа Вавилоны тоосгон дээр ^ дүрс гарч ирэх бөгөөд энэ нь манай тэгтэй тохирч байна.

Гэсэн хэдий ч тоонуудын дунд "байрлалын таглаа" нэвтрүүлсэн тул Вавилончууд үүнийг төгсгөлд нь тавихыг бодсонгүй. Вавилоны соёлын уналт хүртэл 1, 60, 3000 гэсэн тоонууд яг ийм байдлаар бичигдсэн байв.

Зөвхөн тэднээс байрлалын дугаарлалт зээлсэн Хиндучууд тэг тэмдгийг зөв хэрэглэж сурсан бөгөөд 60 биш харин 10-ын суурийг нэвтрүүлснээр энэ тоог орчин үеийн хэлбэрт оруулжээ.

Гурван мянган жилийн өмнө Хиндучууд орчин үеийн дугаарлалтыг аль хэдийн ашигладаг байсан ч 100,000-аас дээш тооны тухай тухайн үеийн дурсгалт газруудад дурдаагүй байдаг.Хожмын эх сурвалжуудад үүнээс илүү их тоо байдаг - зуун квадриллион хүртэл (1017). Буддагийн тухай харьцангуй залуу домогуудын нэг нь түүнийг 1054 оноос өмнө тооны нэрийг мэддэг байсан гэж ярьдаг. Гэсэн хэдий ч индианчууд байгалийн цувралын хязгааргүйг төсөөлөөгүй бололтой, зарим нь байдаг гэж итгэдэг байв. хамгийн том тоозөвхөн бурхад л мэддэг.

Тооны цуваа хязгааргүйн баталгаа бол эртний Грекийн эрдэмтдийн гавьяа юм.