Крамерын арга. Шугаман тэгшитгэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Крамер арга

Арга зүй КрамерТэгээд Гаусс- хамгийн түгээмэл шийдлийн аргуудын нэг SLAU. Үүнээс гадна зарим тохиолдолд тусгай аргыг ашиглах нь зүйтэй. Хэлэлцүүлэг ойртож байгаа бөгөөд одоо тэдгээрийг эхнээс нь давтах эсвэл эзэмших цаг болжээ. Өнөөдөр бид Крамерын аргыг ашиглан шийдлийг авч үзэх болно. Эцсийн эцэст, системийн шийдэл шугаман тэгшитгэлКрамерын арга бол маш хэрэгтэй чадвар юм.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд

Шугаман систем алгебрийн тэгшитгэл- хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем:

Утгын багц x , системийн тэгшитгэл нь таних тэмдэг болж хувирдагийг системийн шийдэл гэж нэрлэдэг. а Тэгээд б бодит коэффициентүүд юм. Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдэх энгийн системийг таны толгойд эсвэл нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх замаар шийдэж болно. Гэхдээ SLAE-д хоёроос илүү хувьсагч (xes) байж болох бөгөөд энд сургуулийн энгийн зохицуулалт хангалттай биш юм. Юу хийх вэ? Жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдээрэй!

Тиймээс, систем нь бүрдэх болтугай n -тэй тэгшитгэлүүд n үл мэдэгдэх.

Ийм системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно

Энд А - системийн үндсэн матриц, X Тэгээд Б , тус тус үл мэдэгдэх хувьсагч ба чөлөөт нөхцлийн баганын матрицууд.

Крамерын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдвэрлэх

Хэрэв үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш (матриц нь ганц биш) бол системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдэж болно.

Крамерын аргын дагуу уусмалыг дараах томъёогоор олно.

Энд дельта нь үндсэн матрицын тодорхойлогч бөгөөд дельта x n-р – үндсэн матрицын тодорхойлогчоос n-р баганыг чөлөөт гишүүн баганаар солих замаар олж авсан тодорхойлогч.

Энэ бол Крамерын аргын бүх мөн чанар юм. Дээрх томьёог ашиглан олсон утгыг орлуулах x Хүссэн системд бид өөрсдийн шийдлийн зөв (эсвэл эсрэгээр) гэдэгт итгэлтэй байна. Үүний гол санааг илүү хурдан ойлгохын тулд доорх жишээг өгье. нарийвчилсан шийдэлКрамерын аргыг ашиглан SLAE:

Хэдийгээр та анх удаагаа амжилтанд хүрч чадаагүй ч бүү шантар! Жаахан дасгал хийснээр та SLAU-г самар шиг хагарах болно. Түүгээр ч барахгүй, одоо бол дэвтэр нугалж, төвөгтэй тооцооллыг шийдэж, гол цөмийг дүүргэх шаардлагагүй болсон. Та Cramer-ийн аргыг ашиглан SLAE-ийг онлайнаар хялбархан шийдэж чадна, зөвхөн коэффицентийг бэлэн хэлбэрт орлуулж болно. Оролдоод үз онлайн тооцоолуурКрамерын аргыг ашигласан шийдлүүдийг жишээ нь энэ вэбсайтаас олж болно.

Хэрэв систем нь зөрүүд болж, бууж өгөхгүй бол та манай зохиогчид, жишээлбэл, тусламж хүсэх боломжтой. Хэрэв системд дор хаяж 100 үл мэдэгдэх зүйл байгаа бол бид үүнийг зөв, цаг тухайд нь шийдэх нь гарцаагүй!

Крамерын арга буюу Крамерын дүрэм гэж нэрлэгддэг арга нь тэгшитгэлийн системээс үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг хайх арга юм. Үүнийг зөвхөн хайж буй утгуудын тоо нь систем дэх алгебрийн тэгшитгэлийн тоотой тэнцэх тохиолдолд л ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл системээс үүссэн үндсэн матриц нь дөрвөлжин байх ёстой бөгөөд тэг эгнээ агуулаагүй байх ёстой, мөн тодорхойлогч нь заавал байх ёстой. тэг байж болохгүй.

Теорем 1

Крамерын теоремТэгшитгэлийн коэффициентууд дээр үндэслэн эмхэтгэсэн үндсэн матрицын үндсэн тодорхойлогч $D$ нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэлийн систем тууштай, өвөрмөц шийдэлтэй байна. Ийм системийн шийдлийг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Крамер томъёогоор тооцдог: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Крамерын арга гэж юу вэ?

Крамерын аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

1. Крамерын аргыг ашиглан системийн шийдлийг олохын тулд юуны өмнө $D$ матрицын гол тодорхойлогчийг тооцоолно. Үндсэн матрицын тооцоолсон тодорхойлогч нь Крамерын аргаар тооцоолоход тэгтэй тэнцэх үед системд нэг шийдэл байхгүй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байна. Энэ тохиолдолд системийн ерөнхий эсвэл зарим үндсэн хариултыг олохын тулд Гауссын аргыг ашиглахыг зөвлөж байна.
2. Дараа нь та үндсэн матрицын хамгийн гадна талын баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар сольж, тодорхойлогч $D_1$-ийг тооцоолох хэрэгтэй.
3. Бүх баганын хувьд ижил зүйлийг давтаж, $D_1$-с $D_n$ хүртэлх тодорхойлогчдыг олж авах ба $n$ нь хамгийн баруун талын баганын тоо юм.
4. Бүх тодорхойлогч $D_1$...$D_n$ олдсоны дараа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг $x_i = \frac(D_i)(D)$ томъёогоор тооцоолж болно.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох техник

2-оос 2-оос их хэмжээтэй матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд та хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.

• Гурвалжингийн дүрэм буюу Саррусын дүрэм нь ижил дүрмийг санагдуулдаг. Гурвалжингийн аргын мөн чанар нь тодорхойлогчийг тооцоолохдоо баруун талд байгаа улаан шугамаар зурагт холбосон бүх тооны үржвэрийг нэмэх тэмдгээр бичиж, зүүн талын зурган дээр ижил төстэй байдлаар холбогдсон бүх тоог бичнэ. хасах тэмдгээр бичнэ. Хоёр дүрэм хоёулаа 3 х 3 хэмжээтэй матрицад тохиромжтой. Саррусын дүрмийн хувьд эхлээд матрицыг өөрөө дахин бичиж, түүний хажууд түүний эхний болон хоёр дахь багануудыг дахин бичдэг. Диагональуудыг матрицаар зурж, үндсэн диагональ дээр эсвэл түүнтэй параллель байрлах эдгээр нэмэлт багануудыг нэмэх тэмдгээр, хоёрдогч диагональ дээр эсвэл түүнтэй зэрэгцээ байрлах элементүүдийг хасах тэмдгээр бичнэ.

Зураг 1. Крамерын аргын тодорхойлогчийг тооцоолох гурвалжингийн дүрэм

• Гауссын арга гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглан энэ аргыг заримдаа тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд матрицыг гурвалжин болгон хувиргаж, багасгаж, дараа нь үндсэн диагональ дээрх бүх тоог үржүүлнэ. Тодорхойлогчийг ингэж хайхдаа мөр, баганыг үржүүлэгч, хуваагч болгон авахгүйгээр тоогоор үржүүлж, хувааж болохгүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Тодорхойлогчийг хайж байгаа тохиолдолд өмнө нь хассан мөрийг тэгээс өөр хүчин зүйлээр үржүүлсэн тохиолдолд зөвхөн мөр, баганыг хооронд нь хасах, нэмэх боломжтой. Мөн матрицын мөр, баганыг дахин цэгцлэх бүрдээ матрицын эцсийн тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатайг санах хэрэгтэй.
• Крамерын аргыг ашиглан 4 үл мэдэгдэх SLAE-г шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчдыг хайж олох эсвэл насанд хүрээгүй хүмүүсийг хайж тодорхойлогчийг тодорхойлохдоо Гауссын аргыг ашиглах нь зүйтэй.

Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

2 тэгшитгэл ба шаардлагатай хоёр хэмжигдэхүүний системд Крамерын аргыг хэрэглэцгээе.

$\эхлэх(тохиолдол) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \төгсгөл (тохиолдлууд)$

Тохиромжтой болгох үүднээс үүнийг өргөтгөсөн хэлбэрээр харуулъя:

$A = \эхлэх(массив)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \төгсгөл(массив)$

Системийн үндсэн тодорхойлогч гэж нэрлэгддэг үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олцгооё.

$D = \begin(массив)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(массив) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол Крамерын аргаар слогыг шийдэхийн тулд үндсэн матрицын багануудыг чөлөөт нөхцлийн эгнээгээр сольсон хоёр матрицаас хэд хэдэн тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай.

$D_1 = \begin(массив)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(массив) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(массив)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(массив) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Одоо $x_1$ ба $x_2$ үл мэдэгдэхийг олцгооё:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

Жишээ 1

3-р эрэмбийн үндсэн матриц (3 x 3) болон шаардлагатай гурван матриц бүхий SLAE-ийг шийдвэрлэх Крамерын арга.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

$\эхлэх(тохиолдол) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \төгсгөл(тохиолдол)$

Матрицын үндсэн тодорхойлогчийг 1-р цэгийн доор дурдсан дүрмийг ашиглан тооцоолъё.

$D = \эхлэх(массив)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Одоо өөр гурван тодорхойлогч:

$D_1 = \begin(массив)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(массив) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(массив)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 доллар

$D_3 = \begin(массив)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Шаардлагатай хэмжээг олцгооё:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $

Эхний хэсэгт бид бага зэрэг харлаа онолын материал, орлуулах арга, түүнчлэн системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх арга. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад хандсан хүн бүрийг эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Зарим зочдод энэ материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би шийдлийн талаар маш чухал тайлбар, дүгнэлт хийсэн. математикийн асуудлуудерөнхийдөө.

Одоо бид Крамерын дүрмийг шинжлэхээс гадна шугаман тэгшитгэлийн системийг ашиглан шийдвэрлэх болно урвуу матриц(матрицын арга). Бүх материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, ойлгомжтой байдлаар танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудыг ашиглан системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах боломжтой болно.

Эхлээд бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзэх болно. Юуны төлөө? - Эцэст нь хамгийн энгийн системсургуулийн арга, улирлаар нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ийм даалгавар гардаг - Крамерын томъёог ашиглан хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх. Хоёрдугаарт, илүү энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг хэрхэн ашиглах талаар ойлгоход тусална нарийн төвөгтэй тохиолдол– гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем.

Үүнээс гадна хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийг ашиглан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцдог, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
Тэгээд

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтийг мөн латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Дараах томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндсийг олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь байна аравтын бутархайтаслалтай. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин юм. Би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудтай болж магадгүй бөгөөд шийдлийн загвар нь зүгээр л аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд бас ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

;

Хариулах: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёогоор шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албадмалДаалгаврын дизайны хэсэг нь дараахь хэсэг юм. "Энэ нь систем өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооны машин дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид ойролцоо утгыг орлуулна. зүүн талсистемийн тэгшитгэл бүр. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал та баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултыг энгийн байдлаар өг буруу бутархай. Шалгах.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр(жишээ нь дуусгах ажилмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзье.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм туслахгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Хариулах: .

Үнэн хэрэгтээ, шийдэл нь бэлэн томъёоны дагуу явагддаг тул энд дахин хэлэх онцгой зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн сэтгэгдэл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв танд компьютер байхгүй бол дараах зүйлийг хий.

1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. "Муу" фракцтай тулгармагц та тэр даруй шалгах хэрэгтэй Нөхцөлийг зөв бичсэн үү?. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол ажлын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл, дараа нь тайван, болгоомжтой хий шалгахаа мартуузаймөн шийдвэр гарсны дараа бид үүнийг цэвэр хуудсан дээр зурдаг. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч тэнэглэлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвсэггүй аргумент байх болно. Бутархайг хэрхэн зохицуулах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв танд компьютер байгаа бол хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой автоматжуулсан програм ашиглан шалгаарай. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө та алдаа гаргасан завсрын алхамыг шууд харах болно); Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
– алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг байрлуулна.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй мөр (багана) -ын дагуу тодорхойлогчдыг тэгээр нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (эцсийн дизайны дээж ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогчдын шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр энэ даалгавар нь азтай оюутны цээжин дээрх профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг тэлэх, матрицын урвуу талыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.

Жишээ 11

Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичье:
, Хаана

Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Матриц руу элементүүдийг бичих зарчмыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг байрлуулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд тодорхойлогчийг харцгаая:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд матрицын аргыг ашиглан системийг шийдэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд системийг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргаар (Гаусын арга) шийддэг.

Одоо бид 9 насанд хүрээгүй хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний мөр, гурав дахь баганад, жишээлбэл, элемент нь 3 мөр, 2 баганад байгааг илтгэнэ.

Гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг ашиглан ийм системийн шийдлийг хоёр тэгшитгэлийн системтэй ижил хэлбэрээр бичиж болно, жишээлбэл.

(2.4)

хэрэв 0. Энд

Тэнд байна Крамерын дүрэм гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.3.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олох

0 тул системийн шийдлийг олохын тулд бид Крамерын дүрмийг хэрэглэж болох боловч эхлээд гурван тодорхойлогчийг тооцоолно.

Шалгалт:

Тиймээс шийдлийг зөв олсон. 

Крамерын дүрэмд зориулж гаргасан шугаман системүүд 2 ба 3-р дарааллын дагуу ямар ч дарааллын шугаман системд ижил дүрмийг томъёолж болно. Үнэхээр болдог

Крамерын теорем. Системийн үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогч бүхий шугаман тэгшитгэлийн квадрат систем (0) нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй бөгөөд энэ шийдлийг томъёогоор тооцоолно

(2.5)

Хаана  – үндсэн матрицын тодорхойлогч,  би – матриц тодорхойлогч, үндсэн нэгээс авсан, орлуулахбичөлөөт нэр томъёоны багана.

Хэрэв =0 бол Крамерын дүрэм үйлчлэхгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Крамерын теоремыг томъёолсны дараа дээд эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох асуулт гарч ирнэ.

2.4. n-р эрэмбийн тодорхойлогч

Нэмэлт бага М ijбүрэлдэхүүн а ijустгаснаар өгөгдсөнөөс олж авсан тодорхойлогч юм бир мөр ба jр багана. Алгебрийн нэмэлт А ijбүрэлдэхүүн а ij(–1) тэмдгээр авсан энэ элементийн минорыг гэнэ би + j, өөрөөр хэлбэл А ij = (–1) би + j М ij .

Жишээлбэл, насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олъё алгебрийн нэмэлтүүдэлементүүд а 23 ба а 31 шалгуур

Бид авдаг



Алгебрийн нэмэлт ойлголтыг ашиглан бид томъёолж болно тодорхойлогч тэлэлтийн теоремn-мөр, баганаар эрэмбэлнэ.

Теорем 2.1. Матрицын тодорхойлогчАнь тодорхой эгнээний (эсвэл баганын) бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдтэй тэнцүү байна.

(2.6)

Энэ теорем нь тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн аргуудын нэгийг үндэслэдэг. захиалга бууруулах арга. Тодорхойлогчийн тэлэлтийн үр дүнд nАливаа мөр, баганын дарааллаар бид n тодорхойлогчийг авна ( n-1)-р захиалга. Ийм тодорхойлогч цөөн байхын тулд хамгийн их тэгтэй мөр эсвэл баганыг сонгох нь зүйтэй. Практикт тодорхойлогчийн өргөтгөлийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

тэдгээр. алгебрийн нэмэгдлүүд нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хувьд тодорхой бичигдсэн байдаг.

Жишээ 2.4.Тодорхойлогчдыг эхлээд зарим мөр эсвэл баганад ангилж тооцоол. Ихэвчлэн ийм тохиолдолд хамгийн их тэгтэй багана эсвэл мөрийг сонгоно. Сонгосон мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.



2.5. Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарууд

Тодорхойлогчийг ямар ч мөр, баганын дагуу өргөжүүлбэл n тодорхойлогч ( n-1)-р захиалга. Дараа нь эдгээр тодорхойлогч бүр ( n–1)-р эрэмбийг мөн тодорхойлогчдын нийлбэр болгон задалж болно ( n-2)-р захиалга. Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр 1-р эрэмбийн тодорхойлогчдод хүрч болно, өөрөөр хэлбэл. тодорхойлогчийг тооцсон матрицын элементүүдэд. Тиймээс 2-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд та хоёр гишүүний нийлбэрийг, 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдын хувьд - 6 гишүүний нийлбэрийг, 4-р эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд - 24 гишүүний нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Тодорхойлогчийн дараалал ихсэх тусам нэр томьёоны тоо эрс нэмэгдэнэ. Энэ нь маш өндөр эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох нь компьютерийн чадамжаас ч илүү их хөдөлмөр шаарддаг ажил болж хувирдаг гэсэн үг юм. Гэхдээ тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан тодорхойлогчийг өөр аргаар тооцоолж болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1 . Хэрэв доторх мөр, баганыг солих юм бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. матрицыг шилжүүлэх үед:

.

Энэ шинж чанар нь тодорхойлогчийн мөр, баганын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийн баганын талаарх аливаа мэдэгдэл нь түүний мөрүүдийн хувьд мөн үнэн бөгөөд эсрэгээрээ.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2 . Хоёр мөр (багана) солигдох үед тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг.

Үр дагавар . Хэрэв тодорхойлогч нь хоёр ижил мөр (багана) байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 3 . Аливаа эгнээний (багана) бүх элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогч тэмдэгээс гаргаж болно.

Жишээлбэл,

Үр дагавар . Тодорхойлогчийн тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна..

Үл хөдлөх хөрөнгө 4 . Нэг мөрийн (баганын) элементүүдийг өөр мөрийн (баганын) элементүүдэд нэмж дурын тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй..

Жишээлбэл,

Эд хөрөнгө 5 . Матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

Шугаман тэгшитгэлийн систем нь бие даасан хувьсагчийн тоотой тэнцэх хэмжээний тэгшитгэл агуулж байг, өөрөөр хэлбэл. шиг харагдаж байна

Ийм шугаман тэгшитгэлийн системийг квадрат гэж нэрлэдэг. Бие даасан коэффициентуудаас бүрдэх тодорхойлогч системийн хувьсагч(1.5)-ийг системийн гол тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Бид үүнийг Грекийн D үсгээр тэмдэглэнэ.

. (1.6)

Хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь дурын ( j th) багана, системийн чөлөөт нөхцлийн баганаар солих (1.5), дараа нь та авч болно nтуслах шалгуур үзүүлэлтүүд:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Крамерын дүрэмшугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг шийдвэрлэх нь дараах байдалтай байна. Хэрэв (1.5) системийн гол тодорхойлогч D нь тэгээс ялгаатай бол систем нь дараах томъёог ашиглан олж болох өвөрмөц шийдэлтэй байна.

(1.8)

Жишээ 1.5.Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд

.

Системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.

D¹0-аас хойш систем нь (1.8) томъёог ашиглан олж болох өвөрмөц шийдэлтэй болсон.

Тиймээс,

Матриц дээрх үйлдлүүд

1. Матрицыг тоогоор үржүүлэх.Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар тодорхойлно.

2. Матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд түүний бүх элементүүдийг энэ тоогоор үржүүлэх шаардлагатай. Тэр бол

. (1.9)

Жишээ 1.6. .

Матриц нэмэх.

Энэ үйлдлийг зөвхөн ижил эрэмбийн матрицуудад нэвтрүүлсэн.

Хоёр матрицыг нэмэхийн тулд өөр матрицын харгалзах элементүүдийг нэг матрицын элементүүдэд нэмэх шаардлагатай.

(1.10)
Матриц нэмэх үйлдлүүд нь ассоциатив болон шилжих шинж чанартай байдаг.

Жишээ 1.7. .

Матрицын үржүүлэх.

Хэрэв матрицын баганын тоо Аматрицын эгнээний тоотой давхцаж байна IN, дараа нь ийм матрицуудын хувьд үржүүлэх үйлдлийг нэвтрүүлнэ.

2

Тиймээс матрицыг үржүүлэх үед Ахэмжээсүүд м´ nматриц руу INхэмжээсүүд n´ кБид матрицыг авдаг ХАМТхэмжээсүүд м´ к. Энэ тохиолдолд матрицын элементүүд ХАМТдараах томъёог ашиглан тооцоолно.

Асуудал 1.8.Боломжтой бол матрицын үржвэрийг ол ABТэгээд Б.А.:

Шийдэл. 1) Ажил олохын тулд AB, танд матрицын мөр хэрэгтэй Аматрицын баганаар үржүүлнэ Б:

2) Ажиллах Б.А.байхгүй, учир нь матрицын баганын тоо Бматрицын эгнээний тоотой таарахгүй байна А.

Урвуу матриц. Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Матриц А- 1-ийг квадрат матрицын урвуу гэж нэрлэдэг А, хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол:

хаашаа дамжина Iгэж тэмдэглэсэн таних матрицматрицтай ижил дараалал А:

.

Төлөө квадрат матрицурвуу утгатай байсан бол тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

, (1.13)

Хаана A ij- элементүүдэд алгебрийн нэмэлтүүд a ijматрицууд А(матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэлтүүд байгааг анхаарна уу Ахаргалзах багана хэлбэрээр урвуу матрицад байрлана).

Жишээ 1.9.Урвуу матрицыг ол А- 1-ээс матриц руу

.

Бид урвуу матрицыг тухайн тохиолдолд (1.13) томъёог ашиглан олдог n= 3 нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Дэтийг олъё А = | А| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул урвуу матриц байдаг.

1) Алгебрийн нэмэлтүүдийг ол A ij:

Урвуу матрицыг олоход хялбар болгох үүднээс бид анхны матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэгдлүүдийг харгалзах баганад байрлуулсан.

Олж авсан алгебрийн нэмэлтүүдээс бид шинэ матриц зохиож, тодорхойлогч det-д хуваана. А. Тиймээс бид урвуу матрицыг авна.

Тэг биш үндсэн тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг урвуу матриц ашиглан шийдэж болно. Үүний тулд (1.5) системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.

Хаана

Зүүн талаас тэгш байдлын хоёр талыг (1.14) үржүүлнэ А- 1, бид системийн шийдлийг олж авдаг:

, хаана

Тиймээс квадрат системийн шийдийг олохын тулд системийн үндсэн матрицын урвуу матрицыг олж баруун талд байгаа чөлөөт нэр томъёоны баганын матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Асуудал 1.10.Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

урвуу матрицыг ашиглан.

Шийдэл.Системийг матриц хэлбэрээр бичье: ,

Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх багана ба - чөлөөт нэр томъёоны багана. Системийн гол тодорхойлогч учраас , дараа нь системийн үндсэн матриц Аурвуу матрицтай А-1. Урвуу матрицыг олохын тулд А-1 , бид матрицын бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог А:

Хүлээн авсан тоонуудаас бид матриц (мөн матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэлт) зохиох болно. Азохих баганад бичнэ) ба тодорхойлогч D-д хуваана. Тиймээс бид урвуу матрицыг оллоо.

Бид (1.15) томъёог ашиглан системийн шийдлийг олдог.

Тиймээс,

Шугаман тэгшитгэлийн системийг энгийн Жорданы арилгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн дурын (заавал квадрат биш) системийг өгье.

(1.16)

Системийн шийдлийг олох шаардлагатай, i.e. системийн бүх тэгш байдлыг хангадаг хувьсагчдын багц (1.16). IN ерөнхий тохиолдолсистем (1.16) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй төдийгүй тоо томшгүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэ нь бас ямар ч шийдэлгүй байж магадгүй юм.

Ийм асуудлыг шийдэхдээ үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах сургуулийн алдартай аргыг ашигладаг бөгөөд үүнийг жирийн Жорданы арилгах арга гэж нэрлэдэг. Мөн чанар энэ арга(1.16) системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн аль нэг нь бусад хувьсагчидаар илэрхийлэгдсэнд оршино. Дараа нь энэ хувьсагчийг системийн бусад тэгшитгэлд орлуулна. Үр дүн нь анхны системээс нэг тэгшитгэл, нэг хувьсагчаас бага агуулсан систем юм. Хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг санаж байна.

Системд сүүлчийн тэгшитгэл үлдэх хүртэл энэ процесс давтагдана. Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах үйл явцаар зарим тэгшитгэл нь жинхэнэ ижил төстэй байдал болж болно, жишээлбэл. Ийм тэгшитгэлийг системээс хассан, учир нь тэдгээр нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд хангагдсан тул системийн шийдэлд нөлөөлөхгүй. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явцад дор хаяж нэг тэгшитгэл нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд (жишээ нь) хангагдах боломжгүй тэгшитгэл болж байвал системд шийдэл байхгүй гэж бид дүгнэнэ.

Шийдлийн явцад зөрчилтэй тэгшитгэл гарахгүй бол түүний үлдсэн хувьсагчийн аль нэгийг сүүлчийн тэгшитгэлээс олно. Сүүлийн тэгшитгэлд ганц хувьсагч үлдсэн бол тоогоор илэрхийлнэ. Хэрэв бусад хувьсагчид сүүлчийн тэгшитгэлд үлдсэн бол тэдгээрийг параметр гэж үзэх бөгөөд тэдгээрээр илэрхийлэгдсэн хувьсагч нь эдгээр параметрүүдийн функц болно. Дараа нь "урвуу нүүдэл" гэж нэрлэгддэг үйл ажиллагаа явагдана. Олдсон хувьсагчийг хамгийн сүүлд санаж буй тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь хувьсагчийг олно. Дараа нь олсон хоёр хувьсагчийг эцсийн өмнөх цээжилсэн тэгшитгэлд орлуулж, гурав дахь хувьсагчийг олох гэх мэт эхний цээжилсэн тэгшитгэл хүртэл үргэлжилнэ.

Үүний үр дүнд бид системийн шийдлийг олж авдаг. Хэрэв олсон хувьсагч нь тоо байвал энэ шийдэл өвөрмөц байх болно. Хэрэв эхний хувьсагч, дараа нь бусад бүх хувьсагч олдсон бол параметрүүдээс хамаарч системд хязгааргүй тооны шийдэл байх болно (параметрийн багц бүр шинэ шийдэлтэй тохирч байна). Тодорхой параметрийн багцаас хамааран системийн шийдлийг олох боломжийг олгодог томъёог системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 1.11.

x

Эхний тэгшитгэлийг цээжилсний дараа Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрахад бид системд хүрнэ.

илэрхийлье yХоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлд орлуулна уу:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг санаж, эхнийхээс нь олъё z:

Буцаж ажиллахад бид байнга олдог yТэгээд z. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд хамгийн сүүлд санаж байгаа тэгшитгэлээ олсон газраасаа орлуулна y:

.

Дараа нь бид үүнийг эхний санасан тэгшитгэлд орлуулна бид хаанаас олох вэ x:

Асуудал 1.12.Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

. (1.17)

Шийдэл.Эхний тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлье xХоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

.

Эхний тэгшитгэлийг санацгаая

Энэ системд эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлүүд хоорондоо зөрчилддөг. Үнэхээр илэрхийлж байна y , бид 14 = 17 гэж авна. Энэ тэгш байдал нь хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд тохирохгүй. x, y, Мөн z. Үүний үр дүнд (1.17) систем нь нийцэхгүй байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэл байхгүй.

Анхны системийн гол тодорхойлогч (1.17) нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг уншигчид өөрсдөө шалгахыг урьж байна.

(1.17) системээс зөвхөн нэг чөлөөт нэр томъёогоор ялгаатай системийг авч үзье.

Асуудал 1.13.Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

. (1.18)

Шийдэл.Өмнөхтэй адил бид эхний тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлдэг xХоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

.

Эхний тэгшитгэлийг санацгаая Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүл. Бид системд ирдэг:

Илэрхийлж байна yэхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах , бид 14 = 14 таних тэмдгийг олж авдаг бөгөөд энэ нь системийн шийдэлд нөлөөлдөггүй, тиймээс үүнийг системээс хасаж болно.

Хамгийн сүүлд санаж байгаа тэгш байдлын хувьд хувьсагч zБид үүнийг параметр гэж үзэх болно. Бид итгэж байна. Дараа нь

Орлуулж үзье yТэгээд zанхны санасан тэгш байдал руу орж олоорой x:

.

Тиймээс (1.18) систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй бөгөөд (1.19) томъёог ашиглан параметрийн дурын утгыг сонгох замаар аливаа шийдлийг олох боломжтой. т:

(1.19)
Тиймээс системийн шийдлүүд нь жишээлбэл, дараах хувьсагчдын багц (1; 2; 0), (2; 26; 14) юм. Формула (1.19) нь системийн ерөнхий (ямар ч) шийдлийг илэрхийлдэг (1.18). ).

Анхны систем (1.16) хангалттай байгаа тохиолдолд олон тоонытэгшитгэл ба үл мэдэгдэх Жорданыг арилгах энгийн арга нь төвөгтэй мэт санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч тийм биш юм. Системийн коэффициентийг нэг алхамаар дахин тооцоолох алгоритмыг гаргахад хангалттай ерөнхий үзэласуудлын шийдлийг тусгай Жорданы хүснэгт хэлбэрээр томъёолно.

Системийг нь өгье шугаман хэлбэрүүд(тэгшитгэл):

, (1.20)
Хаана x j- бие даасан (хүссэн) хувьсагч; a ij- тогтмол магадлал
(би = 1, 2,…, м; j = 1, 2,…, n). Системийн баруун хэсгүүд y i (би = 1, 2,…, м) нь хувьсагч (хамааралтай) эсвэл тогтмол байж болно. Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар энэ системийн шийдлийг олох шаардлагатай.

"Жорданы жирийн нэг алхам" гэж нэрлэгддэг дараах үйлдлийг авч үзье. дур зоргоороо ( r th) тэгш байдал нь бид дурын хувьсагчийг илэрхийлдэг ( xs) болон бусад бүх тэгшитгэлд орлуулна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зөвхөн боломжтой тохиолдолд л боломжтой юм a Rs¹ 0. Коэффициент a Rsшийдвэрлэх (заримдаа чиглүүлэх эсвэл үндсэн) элемент гэж нэрлэдэг.

Бид дараах системийг авах болно.

. (1.21)

-аас с- системийн тэгш байдал (1.21), бид дараа нь хувьсагчийг олно xs(үлдсэн хувьсагчийг олсны дараа). С--р мөрийг санаж, дараа нь системээс хасна. Үлдсэн систем нь анхны системээс бага нэг тэгшитгэл, нэг бие даасан хувьсагчийг агуулна.

Үүссэн системийн (1.21) коэффициентийг анхны системийн (1.20) коэффициентүүдээр тооцоолъё. -ээс эхэлье rхувьсагчийг илэрхийлсний дараа th тэгшитгэл xsҮлдсэн хувьсагчдаас харахад дараах байдалтай харагдана.

Тиймээс шинэ коэффициентүүд r th тэгшитгэлийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

(1.23)
Одоо шинэ коэффициентүүдийг тооцоолъё b ij(би¹ r) дурын тэгшитгэлийн. Үүнийг хийхийн тулд (1.22)-д илэрхийлсэн хувьсагчийг орлуулъя. xsВ бисистемийн тэгшитгэл (1.20):

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

(1.24)
Тэгш байдал (1.24) -ээс бид системийн (1.21) үлдсэн коэффициентийг тооцоолох томъёог олж авдаг (үл хамаарахгүйгээр). rтэгшитгэл):

(1.25)
Шугаман тэгшитгэлийн системийг ердийн Жорданы арилгах аргаар өөрчлөхийг хүснэгт (матриц) хэлбэрээр үзүүлэв. Эдгээр хүснэгтүүдийг "Жорданы ширээ" гэж нэрлэдэг.

Тиймээс (1.20) асуудал нь дараах Жорданы хүснэгттэй холбоотой байна.

Хүснэгт 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	а 11	а 12		а 1j		а 1с		а 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		а нь		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a Rs		арн
………………………………………………………………….
у н=	а м 1	а м 2		a mj		a ms		a mn

Jordan хүснэгт 1.1 нь системийн баруун хэсгүүдийг (1.20) бичсэн зүүн толгойн багана ба бие даасан хувьсагчдыг бичсэн дээд толгойн мөрийг агуулна.

Хүснэгтийн үлдсэн элементүүд нь системийн коэффициентүүдийн үндсэн матрицыг бүрдүүлдэг (1.20). Хэрэв та матрицыг үржүүлбэл Адээд гарчгийн эгнээний элементүүдээс бүрдэх матриц руу та зүүн гарчиг баганын элементүүдээс бүрдсэн матрицыг авна. Өөрөөр хэлбэл, Жорданы хүснэгт нь шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр юм: . Систем (1.21) нь дараах Жорданы хүснэгттэй тохирч байна.

Хүснэгт 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	б 11	б 12		б 1 j		б 1 с		б 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	б би 1	б би 2		b ij		б байна		б-д
…………………………………………………………………..
x s =	б р 1	б р 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	б м 1	б м 2		b mj		bms		b mn

Зөвшөөрөгдсөн элемент a Rs Бид тэдгээрийг тодоор тодруулах болно. Йорданыг устгах нэг алхамыг хэрэгжүүлэхийн тулд шийдвэрлэх элемент нь тэгээс өөр байх ёстой гэдгийг санаарай. Идэвхжүүлэх элемент агуулсан хүснэгтийн мөрийг идэвхжүүлэх мөр гэж нэрлэдэг. Идэвхжүүлэх элементийг агуулсан баганыг идэвхжүүлэх багана гэж нэрлэдэг. Өгөгдсөн хүснэгтээс дараагийн хүснэгт рүү шилжихэд нэг хувьсагч ( xs) хүснэгтийн дээд гарчгийн мөрөөс зүүн гарчиг багана руу шилжиж, эсрэгээр системийн чөлөөт гишүүдийн нэг ( y r) хүснэгтийн зүүн толгойн баганаас дээд толгойн эгнээ рүү шилжинэ.

(1.23) ба (1.25) томъёоны дагуу Жорданы хүснэгтээс (1.1) хүснэгт (1.2) руу шилжих үед коэффициентийг дахин тооцоолох алгоритмыг тайлбарлая.

1. Шийдвэрлэх элементийг урвуу тоогоор солино:

2. Шийдвэрлэх мөрийн үлдсэн элементүүд нь шийдвэрлэх элементэд хуваагдаж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилнө:

3. Шийдвэрлэх баганын үлдсэн элементүүдийг нягтралын элемент болгон хуваана:

4. Зөвшөөрөгдсөн мөр ба баганад ороогүй элементүүдийг дараах томъёогоор дахин тооцоолно.

Хэрэв та фракцийг бүрдүүлдэг элементүүдийг анзаарсан бол сүүлчийн томъёог санахад хялбар байдаг , уулзвар дээр байна би-өө бас r-р мөр ба j th болон с th баганууд (шийдвэрлэх мөр, шийдвэрлэх багана, дахин тооцоолсон элемент байрлах уулзвар дээрх мөр ба багана). Илүү нарийн, томъёог цээжлэх үед Та дараах диаграммыг ашиглаж болно.

-21 -26 -13 -37

Жорданы үл хамаарах эхний алхмыг гүйцэтгэхдээ баганад байгаа Хүснэгт 1.3-ын дурын элементийг шийдвэрлэх элемент болгон сонгож болно. x 1 ,…, x 5 (бүх заасан элементүүд нь тэг биш). Сүүлийн баганад байгаа идэвхжүүлэх элементийг бүү сонго, учир нь бие даасан хувьсагчдыг олох хэрэгтэй x 1 ,…, x 5 . Жишээлбэл, бид коэффициентийг сонгодог 1 хувьсагчтай xХүснэгт 1.3-ын гурав дахь мөрөнд 3 (боломжтой элементийг тодоор харуулсан). Хүснэгт 1.4 рүү шилжих үед хувьсагч xДээд талын толгойн эгнээний 3-ыг зүүн талын толгой баганын (гурав дахь мөр) тогтмол 0-тэй сольсон. Энэ тохиолдолд хувьсагч x 3-ыг үлдсэн хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Мөр x 3 (Хүснэгт 1.4) -ийг урьдчилан санаж, 1.4-р хүснэгтээс хасаж болно. Гарчгийн дээд мөрөнд тэгтэй гуравдугаар баганыг мөн хүснэгт 1.4-ээс хассан болно. Гол нь өгөгдсөн баганын коэффициентээс үл хамааран б би 3 тэгшитгэл бүрийн харгалзах бүх гишүүн 0 б би 3 систем нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс эдгээр коэффициентийг тооцоолох шаардлагагүй. Нэг хувьсагчийг арилгах x 3 ба тэгшитгэлийн аль нэгийг санаж, бид Хүснэгт 1.4-т тохирох системд хүрнэ (шугамыг тасалсан). x 3). Шийдвэрлэх элемент болгон 1.4-р хүснэгтэд сонгосон б 14 = -5, хүснэгт 1.5 руу очно уу. Хүснэгт 1.5-д эхний мөрийг санаж, дөрөв дэх баганын хамт хүснэгтээс хасна уу (дээд талд нь тэгтэй).

Хүснэгт 1.5 Хүснэгт 1.6

Сүүлчийн хүснэгт 1.7-аас бид дараахь зүйлийг олно. x 1 = - 3 + 2x 5 .

Өмнө нь олдсон хувьсагчдыг санаж байгаа мөрүүдэд тогтмол орлуулж, бид үлдсэн хувьсагчдыг олно.

Тиймээс системд тоо томшгүй олон шийдэл байдаг. Хувьсагч x 5, дурын утгыг оноож болно. Энэ хувьсагч нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг x 5 = т. Бид системийн нийцтэй байдлыг баталж, олсон нийтлэг шийдвэр:

x 1 = - 3 + 2т

x 2 = - 1 - 3т

x 3 = - 2 + 4т . (1.27)
x 4 = 4 + 5т

x 5 = т

Параметр өгөх т өөр өөр утгатай, бид анхны системийн хязгааргүй олон шийдлийг олж авах болно. Жишээлбэл, системийн шийдэл нь дараах хувьсагчдын багц юм (- 3; - 1; - 2; 4; 0).