2 අපූරුයි. මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය. සීමාවන් විසඳීම

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා වන සූත්‍රය වන්නේ lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . ලිවීමේ තවත් ආකාරයක් මෙසේ පෙනේ: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ගැන කතා කරන විට, 1 පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ ∞ , i.e. අසීමිත මට්ටමකට ඒකකය.

Yandex.RTB R-A-339285-1

දෙවැන්න ගණනය කිරීමේ හැකියාව අපට අවශ්‍ය වන ගැටළු සලකා බලන්න පුදුම සීමාව.

උදාහරණ 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 සීමාව සොයා ගන්න.

විසඳුමක්

අපේක්ෂිත සූත්රය ආදේශ කර ගණනය කිරීම් සිදු කරන්න.

ලිම් x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

අපගේ පිළිතුරෙහි, අපට අනන්තයේ බලයට ඒකකයක් ලැබුණි. විසඳුම් ක්රමය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි අවිනිශ්චිත වගුව භාවිතා කරමු. අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව තෝරාගෙන විචල්‍යයන් වෙනස් කරන්නෙමු.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

x → ∞ නම් t → - ∞ .

ආදේශ කිරීමෙන් පසු අපට ලැබුණු දේ බලමු:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 =

පිළිතුර: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

උදාහරණ 2

ලිම් x → ∞ x - 1 x + 1 x සීමාව ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්

අනන්තය ආදේශ කර පහත දේ ලබා ගන්න.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

පිළිතුරේ දී, අපට නැවතත් පෙර ගැටලුවේ ඇති දේම ලැබුණි, එබැවින් අපට නැවත දෙවන අපූරු සීමාව භාවිතා කළ හැකිය. ඊළඟට, අපි පදනම මත තෝරා ගත යුතුය බලශක්ති කාර්යයසම්පූර්ණ කොටස:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

ඊට පසු, සීමාව පහත පෝරමය ගනී:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

අපි විචල්යයන් ප්රතිස්ථාපනය කරමු. අපි කියමු t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; x → ∞ නම්, t → ∞ .

ඊට පසු, අපි මුල් සීමාව තුළ අපට ලැබුණු දේ ලියන්නෙමු:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → → - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 = 1 - ∞ 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

මෙම පරිවර්තනය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සීමාවන් සහ බලතලවල මූලික ගුණාංග භාවිතා කළෙමු.

පිළිතුර: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

උදාහරණය 3

සීමාව ගණනය කරන්න x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

විසඳුමක්

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

ඊට පසු, දෙවන අපූරු සීමාව යෙදීම සඳහා අපි කාර්යය පරිවර්තනයක් සිදු කළ යුතුය. අපට පහත දේ ලැබුණි:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

දැන් අපට භාගයේ (හයට සමාන) සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ එකම ඝාතක ඇති බැවින්, අනන්තයේ භාගයේ සීමාව ඉහළ බලවල මෙම සංගුණකවල අනුපාතයට සමාන වේ.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = ලිම් x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 වෙනුවට, අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ලබා ගනිමු. අදහස් කරන්නේ කුමක්ද:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

පිළිතුර: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

නිගමන

අවිනිශ්චිතතාවය 1 ∞ , i.e. ඒකකය අසීමිත මට්ටමකට, බල-නීතිය අවිනිශ්චිතතාවයකි, එබැවින්, ඝාතීය බල ශ්රිතවල සීමාවන් සොයා ගැනීම සඳහා නීති රීති භාවිතයෙන් එය හෙළිදරව් කළ හැකිය.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

ඉහත ලිපියෙන්, සීමාව කුමක්ද සහ එය අනුභව කරන්නේ කුමක් දැයි ඔබට සොයාගත හැකිය - මෙය ඉතා වැදගත් වේ. මන්ද? නිර්ණායක යනු කුමක්දැයි ඔබට නොතේරෙන අතර ඒවා සාර්ථකව විසඳා ගත හැකිය, ව්‍යුත්පන්නයක් යනු කුමක්දැයි ඔබට කිසිසේත්ම නොතේරෙන අතර ඒවා "පහෙන්" සොයා ගන්න. නමුත් සීමාවක් යනු කුමක්දැයි ඔබට නොතේරෙන්නේ නම්, ප්රායෝගික කාර්යයන් විසඳීමට අපහසු වනු ඇත. එසේම, තීරණ සැලසුම් කිරීමේ සාම්පල සහ නිර්මාණය සඳහා මගේ නිර්දේශ පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීම අතිරික්ත නොවේ. සියලුම තොරතුරු සරල සහ ප්රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කර ඇත.

මෙම පාඩමේ අරමුණු සඳහා, අපට පහත ක්‍රමවේද ද්‍රව්‍ය අවශ්‍ය වේ: කැපී පෙනෙන සීමාවන්හා ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර. ඒවා පිටුවෙන් සොයාගත හැකිය. අත්පොත් මුද්‍රණය කිරීම වඩාත් සුදුසුය - එය වඩාත් පහසු වේ, ඊට අමතරව, ඒවා බොහෝ විට නොබැඳි ලෙස ප්‍රවේශ විය යුතුය.

පුදුම සීමාවන් ගැන කැපී පෙනෙන දේ කුමක්ද? මෙම සීමාවන්හි කැපී පෙනෙන භාවය පවතින්නේ ඒවා ප්‍රසිද්ධ ගණිතඥයින්ගේ ශ්‍රේෂ්ඨතම මනස විසින් ඔප්පු කර ඇති අතර, කෘතඥපූර්වකව පැවත එන්නන්ට ගොඩවල් සහිත භයානක සීමාවන්ගෙන් පීඩා විඳීමට සිදු නොවේ. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, ලඝුගණක, උපාධි. එනම්, සීමාවන් සොයා ගැනීමේදී, අපි න්යායාත්මකව ඔප්පු කර ඇති සූදානම් කළ ප්රතිඵල භාවිතා කරනු ඇත.

කැපී පෙනෙන සීමාවන් කිහිපයක් ඇත, නමුත් ප්‍රායෝගිකව, 95% ක්ම අර්ධකාලීන සිසුන්ට කැපී පෙනෙන සීමාවන් දෙකක් ඇත: පළමු පුදුම සීමාව, දෙවන පුදුම සීමාව. මේවා ඓතිහාසිකව ස්ථාපිත නම් බව සැලකිල්ලට ගත යුතු අතර, නිදසුනක් වශයෙන්, ඔවුන් "පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව" ගැන කතා කරන විට, ඔවුන් මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඉතා නිශ්චිත දෙයක් මිස සිවිලිමෙන් ලබාගත් අහඹු සීමාවක් නොවේ.

පළමු පුදුම සීමාව

සලකා බලන්න ඊළඟ සීමාව: (දේශීය අකුර "ඔහු" වෙනුවට මම ග්රීක අකුර "ඇල්ෆා" භාවිතා කරමි, එය ද්රව්ය ඉදිරිපත් කිරීම සම්බන්ධයෙන් වඩාත් පහසු වේ).

සීමාවන් සොයා ගැනීම සඳහා අපගේ රීතියට අනුව (ලිපිය බලන්න සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණ) අපි ශ්‍රිතයට ශුන්‍යය ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු: සංඛ්‍යාවේදී අපට ශුන්‍යය ලැබේ (ශුන්‍යයේ සයිනය ශුන්‍යය), හරයෙහි, පැහැදිලිවම, ශුන්‍යය. මේ අනුව, අපි පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයකට මුහුණ දී සිටින අතර, වාසනාවකට මෙන්, හෙළිදරව් කිරීමට අවශ්ය නොවේ. මම දන්නවා ගණිතමය විශ්ලේෂණය, එය ඔප්පු වී ඇත:

මෙම ගණිතමය කරුණ ලෙස හැඳින්වේ පළමු පුදුම සීමාව. මම සීමාව පිළිබඳ විශ්ලේෂණාත්මක සාක්ෂියක් ලබා නොදෙනු ඇත, නමුත් අපි පාඩමෙහි එහි ජ්යාමිතික අර්ථය සලකා බලමු. අපරිමිත කාර්යයන්.

බොහෝ විට ප්‍රායෝගික කාර්යයන් වලදී, කාර්යයන් වෙනස් ලෙස සකස් කළ හැකිය, මෙය කිසිවක් වෙනස් නොකරයි:

- එකම පළමු පුදුම සීමාව.

නමුත් ඔබට අංකනය සහ හරය ඔබම නැවත සකස් කළ නොහැක! පෝරමයේ සීමාවක් ලබා දී ඇත්නම්, එය කිසිවක් නැවත සකස් නොකර එකම ස්වරූපයෙන් විසඳිය යුතුය.

ප්රායෝගිකව, විචල්යයක් පමණක් පරාමිතියක් ලෙස ක්රියා කළ හැකිය, නමුත් මූලික කාර්යය, සංකීර්ණ කාර්යය. එය ශුන්යයට නැඹුරු වීම පමණක් වැදගත් වේ.

උදාහරණ:
, , ,

මෙතන , , , , සහ සෑම දෙයක්ම ඝෝෂාකාරී වේ - පළමු පුදුම සීමාව අදාළ වේ.

මෙන්න ඊළඟ ප්‍රවේශය - මිථ්‍යාදෘෂ්ටිය:

මන්ද? බහුපද ශුන්‍යයට නැඹුරු නොවන නිසා එය පහට නැඹුරු වේ.

මාර්ගය වන විට, ප්රශ්නය ආපසු පිරවීම සඳහා, නමුත් සීමාව කුමක්ද ? පාඩම අවසානයේ පිළිතුර සොයාගත හැකිය.

ප්‍රායෝගිකව, සෑම දෙයක්ම එතරම් සුමට නොවේ, නොමිලේ සීමාවක් විසඳීමට සහ පහසු ණයක් ලබා ගැනීමට කිසි විටෙකත් ශිෂ්‍යයෙකුට ඉදිරිපත් නොවනු ඇත. හ්ම්ම්ම්... මම මේ රේඛා ලියන්නේ, ඉතා වැදගත් සිතිවිල්ලක් සිතට නැගුණි - සියල්ලට පසු, “නිදහස්” ගණිතමය නිර්වචන සහ සූත්‍ර හදවතින්ම මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳ බව පෙනේ, මෙය පරීක්ෂණයට මිල කළ නොහැකි උපකාරයක් විය හැකිය. ගැටළුව "දෙක" සහ "තුන" අතර තීරණය වනු ඇති අතර, ගුරුවරයා ශිෂ්‍යයාගෙන් සරල ප්‍රශ්නයක් ඇසීමට හෝ සරලම උදාහරණය විසඳීමට ඉදිරිපත් කිරීමට තීරණය කරයි ("සමහර විට ඔහු (අ) තවමත් දන්නේ කුමක්ද?!").

අපි සලකා බැලීමට ඉදිරියට යමු ප්රායෝගික උදාහරණ:

උදාහරණ 1

සීමාව සොයන්න

සීමාව තුළ අපි සයිනයක් දුටුවහොත්, මෙය වහාම පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීමේ හැකියාව ගැන සිතීමට අපව යොමු කළ යුතුය.

පළමුව, අපි සීමා ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනයේ 0 ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු (අපි මෙය මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත කරමු):

එබැවින්, අපට ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත, එහි සඳහන් කිරීමට වග බලා ගන්නතීරණයක් ගැනීමේදී. සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය පළමු පුදුම සීමාව වගේ, නමුත් මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම එය නොවේ, එය සයින් යටතේ, නමුත් හරය තුළ.

එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, අපි කෘතිම උපකරණයක් භාවිතා කරමින් පළමු පුදුම සීමාව තනිවම සංවිධානය කළ යුතුය. තර්ක කිරීමේ රේඛාව පහත පරිදි විය හැකිය: "අපට ඇති සයින් යටතේ, එයින් අදහස් වන්නේ අප ද හරයට ඇතුල් විය යුතු බවයි".
තවද මෙය ඉතා සරලව සිදු කරයි:

එනම්, හරය කෘතිමව ගුණ කිරීමකි මෙම නඩුව 7 න් සහ එම හතෙන් බෙදිය හැකිය. දැන් වාර්තාව හුරුපුරුදු හැඩයක් ගෙන ඇත.
කාර්යය අතින් අඳින විට, සරල පැන්සලකින් පළමු අපූරු සීමාව සලකුණු කිරීම සුදුසුය:

සිදුවුයේ කුමක් ද? ඇත්ත වශයෙන්ම, රවුම් ප්‍රකාශනය ඒකකයක් බවට පත් වී නිෂ්පාදනයේ අතුරුදහන් වී ඇත:

දැන් එය ඉතිරිව ඇත්තේ තට්ටු තුනේ කොටස ඉවත් කිරීම පමණි:

කාටද සරල කිරීම අමතක වුණේ බහු මහල් භාගකරුණාකර අත්පොතෙහි ඇති තොරතුරු යාවත්කාලීන කරන්න උණුසුම් පාසල් ගණිත සූත්‍ර .

සූදානම්. අවසාන පිළිතුර:

ඔබට පැන්සල් ලකුණු භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය නැතිනම්, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් හැඩගස්වා ගත හැකිය:

“

අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරමු

“

උදාහරණ 2

සීමාව සොයන්න

නැවතත් අපි සීමාව තුළ කොටසක් සහ සයින් දකිමු. අපි අංකනය සහ හරය තුළ ශුන්‍යය ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු:

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති අතර, එබැවින්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සංවිධානය කිරීමට අප උත්සාහ කළ යුතුය. පාඩම මත සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණඅපට අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති විට, අපි සංඛ්‍යාව සහ හරය සාධක බවට සාධක කළ යුතුය යන රීතිය අපි සලකා බැලුවෙමු. මෙන්න - එකම දෙය, අපි නිෂ්පාදනයක් ලෙස උපාධි ඉදිරිපත් කරන්නෙමු (ගුණක):

පෙර උදාහරණයට සමානව, අපි පැන්සලකින් අපූරු සීමාවන් දක්වමු (මෙහි ඒවායින් දෙකක් තිබේ), සහ ඒවා එකකට නැඹුරු වන බව දක්වන්නෙමු:

ඇත්ත වශයෙන්ම, පිළිතුර සූදානම්:

පහත දැක්වෙන උදාහරණ වලදී, මම තීන්තවල චිත්‍ර නොකරන්නෙමි, සටහන් පොතක විසඳුමක් නිවැරදිව අඳින්නේ කෙසේදැයි මම සිතමි - ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇත.

උදාහරණය 3

සීමාව සොයන්න

අපි සීමා ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනයේ ශුන්‍යය ආදේශ කරමු:

හෙළිදරව් කළ යුතු අවිනිශ්චිතතාවයක් ලැබී තිබේ. සීමාවේ ස්පර්ශකයක් තිබේ නම්, එය සෑම විටම පාහේ සුප්‍රසිද්ධ ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍රයට අනුව සයින් සහ කෝසයින් බවට පරිවර්තනය වේ (මාර්ගය වන විට, ඔවුන් කෝටැන්ජන්ට් සමඟ ද එසේ කරයි, පහත බලන්න). ක්රමානුකූල ද්රව්ය උණුසුම් ත්රිකෝණමිතික සූත්රපිටුවේ ගණිතමය සූත්ර, වගු සහ විමර්ශන ද්රව්ය).

මේ අවස්ථාවේ දී:

ශුන්‍යයේ කෝසයින් එකකට සමාන වන අතර එය ඉවත් කිරීම පහසුය (එය එකකට නැඹුරු වන බව සලකුණු කිරීමට අමතක නොකරන්න):

මේ අනුව, සීමාව තුළ කොසයිනය බහුකාරකයක් නම්, දළ වශයෙන් කිවහොත්, එය නිෂ්පාදනයේ අතුරුදහන් වන ඒකකයක් බවට පත් කළ යුතුය.

කිසිදු ගුණ කිරීමක් සහ බෙදීමක් නොමැතිව මෙහි සෑම දෙයක්ම සරල විය. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව ද එකමුතු බවට හැරෙන අතර නිෂ්පාදනයේ අතුරුදහන් වේ:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අනන්තය ලබා ගනී, එය සිදු වේ.

උදාහරණය 4

සීමාව සොයන්න

අපි අංකනය සහ හරය තුළ ශුන්‍යය ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු:

ලබාගත් අවිනිශ්චිතතාවය (ශුන්‍යයේ කෝසයිනය, අපට මතක ඇති පරිදි, එකකට සමාන වේ)

අපි පාවිච්චි කරන්නේ ත්රිකෝණමිතික සූත්රය. සටහන් කර ගන්න! කිසියම් හේතුවක් නිසා, මෙම සූත්රය භාවිතා කරන සීමාවන් ඉතා සුලභ වේ.

අපි සීමාව නිරූපකයෙන් ඔබ්බට නියත ගුණක ඉවත් කරමු:

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සංවිධානය කරමු:

මෙන්න අපට ඇත්තේ එක් අපූරු සීමාවක් පමණි, එය එකකට හැරී නිෂ්පාදනයේ අතුරුදහන් වේ:

අපි කතා තුනෙන් මිදෙමු:

සීමාව ඇත්ත වශයෙන්ම විසඳා ඇත, ඉතිරි සයින් ශුන්‍යයට නැඹුරු වන බව අපි පෙන්වා දෙමු:

උදාහරණ 5

සීමාව සොයන්න

මෙම උදාහරණය වඩාත් සංකීර්ණයි, එය ඔබම හඳුනා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න:

විචල්‍යය වෙනස් කිරීමෙන් සමහර සීමාවන් 1 වන කැපී පෙනෙන සීමාව දක්වා අඩු කළ හැකිය, ඔබට මේ ගැන ටිකක් පසුව ලිපියෙන් කියවිය හැකිය විසඳුම් ක්‍රම සීමා කරන්න.

දෙවන පුදුම සීමාව

ගණිතමය විශ්ලේෂණ න්‍යාය තුළ එය ඔප්පු වන්නේ:

මෙම කරුණ හැඳින්වේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව.

යොමුව: අතාර්කික අංකයකි.

විචල්‍යයක් පමණක් පරාමිතියක් ලෙස ක්‍රියා කළ හැකි නමුත් සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් ද වේ. එය අනන්තය සඳහා උත්සාහ කිරීම පමණක් වැදගත් වේ.

උදාහරණය 6

සීමාව සොයන්න

සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය බලයේ ඇති විට - ඔබ දෙවන පුදුම සීමාව යෙදීමට උත්සාහ කළ යුතු පළමු ලකුණ මෙයයි.

නමුත් පළමුව, සෑම විටම මෙන්, අපි නිමක් නැතිව ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු විශාල සංඛ්යාවක්ප්‍රකාශනය තුළට, මෙය සිදු කරන්නේ කුමන මූලධර්මය මගින්ද, පාඩමේදී විශ්ලේෂණය කරන ලදී සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණ.

එය කවදාදැයි බැලීම පහසුය උපාධියේ පදනම සහ ඝාතකය - , එනම්, පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත:

මෙම අවිනිශ්චිතතාවය දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ආධාරයෙන් හෙළිදරව් වේ. එහෙත්, බොහෝ විට සිදු වන පරිදි, දෙවන පුදුම සීමාව රිදී තැටියක් මත නොපවතින අතර, එය කෘතිමව සංවිධානය කළ යුතුය. ඔබට පහත පරිදි තර්ක කළ හැකිය: මෙම උදාහරණයපරාමිතිය , එනම් අප ද සංවිධානය කළ යුතු බවයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පාදම බලයකට ඔසවන්නෙමු, ප්‍රකාශනය වෙනස් නොවන පරිදි, අපි එය බලයකට ඔසවන්නෙමු:

කාර්යය අතින් අඳින විට, අපි පැන්සලකින් සලකුණු කරමු:

සෑම දෙයක්ම පාහේ සූදානම්, භයානක උපාධිය ලස්සන අකුරක් බවට පත් වී ඇත:

ඒ සමගම, සීමාව නිරූපකයම දර්ශකය වෙත ගෙන යනු ලැබේ:

උදාහරණ 7

සීමාව සොයන්න

අවධානය! මෙම ආකාරයේ සීමාව ඉතා සුලභ වේ, කරුණාකර මෙම උදාහරණය ඉතා ප්රවේශමෙන් අධ්යයනය කරන්න.

අපි සීමා ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනයේ අසීමිත විශාල සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කිරීමට උත්සාහ කරමු:

එහි ප්‍රතිඵලය අවිනිශ්චිතතාවයකි. නමුත් දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයට අදාළ වේ. කුමක් කරන්න ද? ඔබ උපාධියේ පදනම පරිවර්තනය කළ යුතුය. අපි මෙසේ තර්ක කරමු: අප සතුව ඇති හරයෙහි , එයින් අදහස් වන්නේ අප ද සංඛ්‍යාංකය තුළ සංවිධානය විය යුතු බවයි.

මෙම මාතෘකාව තුළ, අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකි එම සූත්‍ර විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු (දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට සෘජුවම කැප වූ මාතෘකාව පිහිටා ඇත). මෙම කොටසේ අවශ්‍ය වන දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්‍රගත කිරීම් දෙකක් මම ඔබට මතක් කර දෙන්නම්: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\දකුණ)^x=e $ සහ $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

සාමාන්‍යයෙන් මම සාක්ෂි නොමැතිව සූත්‍ර ලබා දෙනවා, නමුත් මෙම පිටුව සඳහා, මම ව්‍යතිරේකයක් කරනු ඇතැයි මම සිතමි. කාරණය වන්නේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක පිළිබඳ සාක්ෂිය ගැටළු සෘජු විසඳුම සඳහා ප්රයෝජනවත් වන සමහර උපක්රම අඩංගු වේ. හොඳයි, සහ, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, මෙම හෝ එම සූත්රය ඔප්පු කරන ආකාරය දැන ගැනීම යෝග්ය වේ. මෙය ඔබට එහි අභ්‍යන්තර ව්‍යුහය මෙන්ම අදාළ වීමේ සීමාවන් හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට ඉඩ සලසයි. නමුත් සියලු පාඨකයන්ට සාධනය උනන්දුවක් නොතිබිය හැකි බැවින්, මම ඒවා එක් එක් අනුග්රහයෙන් පසුව සටහන් යට සඟවන්නෙමි.

ප්රතිවිපාක #1

\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(සමීකරණය)

නිගමනය #1 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න

$x\ සිට 0$ සඳහා අපට $\ln(1+x)\ සිට 0$ දක්වා ඇති බැවින්, සලකා බැලූ සීමාවේ $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතතාවය හෙළිදරව් කිරීම සඳහා, අපි $\frac(\ln(1+x))(x)$ යන ප්‍රකාශනය පහත පරිදි නියෝජනය කරමු: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. දැන් අපි $\frac(1)(x)$ යන සාධකය $(1+x)$ හි බලයට එකතු කර දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව යොදමු:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ දක්වා\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

අපට නැවතත් $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. අපි දැනටමත් ඔප්පු කර ඇති සූත්රය මත රඳා සිටිමු. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ නිසා, $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

ප්රතිවිපාක #2

\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(සමීකරණය)

නිගමනය #2 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න

$x\ සිට 0$ සඳහා අපට $e^x-1\ සිට 0$ දක්වා ඇති බැවින්, සලකා බලන සීමාව තුළ $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට, $t=e^x-1$ සඳහන් කරමින් විචල්‍යය වෙනස් කරමු. $x සිට 0$ දක්වා, පසුව $t\ සිට 0$ දක්වා. තවද, $t=e^x-1$ සූත්‍රයෙන් අපට ලැබෙන්නේ: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\වම | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\ to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (පෙළගැසී) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

අපට නැවතත් $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. අපි දැනටමත් ඔප්පු කර ඇති සූත්රය මත රඳා සිටිමු. $a^x=e^(x\ln a)$ සිට, එවිට:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

ප්රතිවිපාක #3

\begin(සමීකරණය) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(සමීකරණය)

නිගමනය #3 සාධනය: පෙන්වන්න\ සඟවන්න

නැවතත්, අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ නිසා, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\වම(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

උදාහරණ #1

සීමාව ගණනය කරන්න $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

අපට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. මෙම අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, අපි සූත්‍රය භාවිතා කරන්නෙමු. අපගේ සීමාවට ගැලපෙන පරිදි මෙම සූත්රය$e$ අංකයේ බලයේ සහ හරයේ ඇති ප්‍රකාශන ගැළපිය යුතු බව මතක තබා ගත යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, හරයේ ඇති සයිනයට තැනක් නැත. හරය $9x$ විය යුතුය. එසේම, මෙම උදාහරණය විසඳන විට, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරනු ඇත.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ දක්වා\ 0) \වම (\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \දකුණ)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

උදාහරණ #2

$\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ සීමාව ගණනය කරන්න.

අපට $\frac(0)(0)$ පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත ($\ln\cos 0=\ln 1=0$ බව මතක තබා ගන්න). මෙම අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, අපි සූත්‍රය භාවිතා කරන්නෙමු. පළමුව, අපි $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ බව සැලකිල්ලට ගනිමු (ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ලැයිස්තුගත කිරීම බලන්න). දැන් $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, එබැවින් හරය $-2\sin^2 \frac(x ) විය යුතුය. (2)$ (අපගේ උදාහරණයට ගැලපෙන පරිදි). වැඩිදුර විසඳුමේදී, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරනු ලැබේ.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\වම| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\දකුණ))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\ left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\දකුණ)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

පුදුම සීමාවන් කිහිපයක් ඇත, නමුත් වඩාත්ම ප්රසිද්ධ වන්නේ පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන්ය. මෙම සීමාවන්හි කැපී පෙනෙන දෙය නම් ඔවුන් සතුව තිබීමයි පුළුල් යෙදුමසහ ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් කෙනෙකුට විවිධ ගැටළු වලට මුහුණ දෙන වෙනත් සීමාවන් සොයාගත හැකිය. මෙම පාඩමේ ප්‍රායෝගික කොටසේදී අප කරන්නේ මෙයයි. පළමු හෝ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට අඩු කිරීමෙන් ගැටළු විසඳීම සඳහා, මෙම සීමාවන්ගේ අගයන් දිගු කලක් තිස්සේ මහා ගණිතඥයින් විසින් නිගමනය කර ඇති බැවින්, ඒවායේ අඩංගු අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම අවශ්ය නොවේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවරේඩියන මිනුමෙන් ප්‍රකාශිත අනන්ත කුඩා චාපයක සයින් අනුපාතය එකම චාපයට අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ:

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව මත ගැටළු විසඳීමට අපි ඉදිරියට යමු. සටහන: ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් සීමා ලකුණ යටතේ නම්, මෙම ප්‍රකාශනය පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවට අඩු කළ හැකි බවට මෙය බොහෝ දුරට ස්ථිර ලකුණකි.

උදාහරණ 1සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. ඒ වෙනුවට ආදේශ කිරීම xශුන්‍ය අවිනිශ්චිතතාවයට මග පාදයි:

.

හරය සයිනයකි, එබැවින් ප්‍රකාශනය පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව දක්වා අඩු කළ හැක. අපි පරිවර්තනය ආරම්භ කරමු:

.

හරය තුළ - තුනේ x හි සයින්, සහ සංඛ්‍යාංකයේ ඇත්තේ එක් x පමණි, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ සංඛ්‍යාංකයේ x තුනක් ලබා ගත යුතු බවයි. කුමක් සඳහා ද? ඉදිරිපත් කිරීමට 3 x = ඒසහ ප්රකාශනය ලබා ගන්න.

තවද අපි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ විචලනයකට පැමිණෙමු:

මක්නිසාද යත්, මෙම සූත්‍රයේ x වෙනුවට කුමන අකුරක් (විචල්‍යය) තිබුණත් කමක් නැත.

අපි x තුනෙන් ගුණ කර වහාම බෙදන්නෙමු:

.

සටහන් කළ පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවට අනුකූලව, අපි භාගික ප්‍රකාශනය ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

දැන් අපට අවසානයේ මෙම සීමාව විසඳා ගත හැකිය:

.

උදාහරණ 2සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. සෘජු ආදේශනය නැවතත් "ශුන්‍ය භේදය බිංදුවෙන්" අවිනිශ්චිතතාවයට යොමු කරයි:

.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව ලබා ගැනීම සඳහා, අංකනයේ සයින් ලකුණට යටින් ඇති x සහ හරයේ ඇති x එකම සංගුණකය සමඟ තිබීම අවශ්‍ය වේ. මෙම සංගුණකය 2 ට සමාන කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, x හි වත්මන් සංගුණකය පහත පරිදි සිතන්න, භාග සමඟ ක්‍රියා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

.

උදාහරණය 3සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. ආදේශ කරන විට, අපි නැවතත් "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදූ විට" අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනිමු:

.

මුල් ප්‍රකාශනයෙන් ඔබට පළමු අපූරු සීමාව පළමු අපූරු සීමාවෙන් ගුණ කළ හැකි බව ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාංකයේ x සහ හරයේ ඇති සයින් එකම සාධක බවට වියෝජනය කර, x සහ සයින් සඳහා එකම සංගුණක ලබා ගැනීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාත්මකව x 3 න් බෙදන්නෙමු. වහාම 3 න් ගුණ කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ:

.

උදාහරණය 4සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. නැවතත් අපට "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදූ විට" අවිනිශ්චිතතාවය ලැබේ:

.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවන් දෙකෙහි අනුපාතය අපට ලබාගත හැකිය. අපි ඉලක්කම් සහ හරය දෙකම x වලින් බෙදන්නෙමු. ඉන්පසුව, සයින් සහ x හි සංගුණක සමපාත වීම සඳහා, අපි ඉහළ x 2 න් ගුණ කර වහාම 2 න් බෙදන්න, පහළ x 3 න් ගුණ කර වහාම 3 න් බෙදන්න. අපට ලැබෙන්නේ:

උදාහරණ 5සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. නැවතත්, "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදීම" හි අවිනිශ්චිතතාවය:

ත්‍රිකෝණමිතියෙන් අපට මතකයි ස්පර්ශය යනු සයින් සහ කෝසයිනයේ අනුපාතය වන අතර ශුන්‍යයේ කෝසයිනය එකකට සමාන වේ. අපි පරිවර්තනයන් සිදු කර ලබා ගනිමු:

.

උදාහරණය 6සීමාව සොයන්න.

විසඳුමක්. සීමා ලකුණ යටතේ ඇති ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය නැවතත් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීමේ අදහස යෝජනා කරයි. අපි එය සයින් සහ කොසයින් අනුපාතය ලෙස නිරූපණය කරමු.

පුදුම සීමාවන් සොයන්නසීමාවන් පිළිබඳ න්‍යාය අධ්‍යයනය කරන පළමු, දෙවන වසර අධ්‍යයනයේ බොහෝ සිසුන්ට පමණක් නොව සමහර ගුරුවරුන්ට ද එය දුෂ්කර ය.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්රය

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක සූත්‍ර ලියන්න
1. 2. 3. 4. නමුත් තමන් විසින්ම සාමාන්ය සූත්රකැපී පෙනෙන සීමාවන් විභාගයකදී හෝ පරීක්ෂණයකදී කිසිවෙකුට උපකාර නොකරයි. අවසාන කරුණ නම්, ඉහත ලියා ඇති සූත්‍ර තවමත් පැමිණීමට අවශ්‍ය වන පරිදි සැබෑ කාර්යයන් ගොඩනගා ඇති බවයි. තවද පන්ති මඟහරින, නොපැමිණෙන මෙම පාඨමාලාව හැදෑරූ බොහෝ සිසුන්ට හෝ තමන් පැහැදිලි කරන දේ සැමවිටම නොතේරෙන ගුරුවරුන් සිටින බොහෝ සිසුන්ට වඩාත්ම ගණනය කළ නොහැක. මූලික උදාහරණකැපී පෙනෙන සීමාවන්ට. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ සූත්‍රවලින්, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහිත ප්‍රකාශන සඳහා ශුන්‍යය ශුන්‍යයෙන් බෙදීම වැනි අවිනිශ්චිතතා විමර්ශනය කිරීමට ඒවා භාවිත කළ හැකි බව අපට පෙනේ. අපි මුලින්ම පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව පිළිබඳ උදාහරණ මාලාවක් සලකා බලමු, ඉන්පසු අපි දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව අධ්යයනය කරමු.

උදාහරණ 1. sin(7*x)/(5*x) ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයන්න
විසඳුම: ඔබට පෙනෙන පරිදි, සීමාව යටතේ ඇති ශ්‍රිතය පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවට ආසන්න වේ, නමුත් ශ්‍රිතයේම සීමාව අනිවාර්යයෙන්ම එකකට සමාන නොවේ. සීමාවන් සඳහා එවැනි පැවරුම් වලදී, සයින් යටතේ ඇති විචල්‍යයේ අඩංගු එකම සංගුණකය සහිත විචල්‍යයක් හරයෙන් තනි කළ යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, 7 න් බෙදීම සහ ගුණ කිරීම

සමහරුන්ට, එවැනි විස්තර අතිරික්තයක් ලෙස පෙනෙනු ඇත, නමුත් සීමාවන් ලබා දීමට අපහසු බොහෝ සිසුන් සඳහා, එය නීති වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට සහ ඉගෙන ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත. න්යායික ද්රව්ය.
එසේම, තිබේ නම් ප්රතිලෝම දසුනකාර්යයන් ද පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව වේ. ඒ සියල්ලම පුදුම සීමාව එකකට සමාන නිසා

1 කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්රතිවිපාක සඳහා එම නියමයම අදාළ වේ. එබැවින්, ඔබගෙන් "පළමු පුදුම සීමාව කුමක්ද?" එය ඒකකයක් බව ඔබ පැකිලීමකින් තොරව පිළිතුරු දිය යුතුය.

උදාහරණ 2. sin(6x)/tan(11x) ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයන්න
විසඳුම: අවසාන ප්රතිඵලය තේරුම් ගැනීම සඳහා, අපි ආකෘතියේ ශ්රිතය ලියන්නෙමු

කැපී පෙනෙන සීමාවේ නීති යෙදීම සඳහා සාධක මගින් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම

මීලඟට, අපි සීමාවන්ගේ නිෂ්පාදිතය අනුව ශ්රිතවල නිෂ්පාදිතයේ සීමාව ලියන්නෙමු

තොරව සංකීර්ණ සූත්රඅපි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල කොටසක සීමාව සොයාගෙන ඇත. සරල සූත්‍ර ඉගෙන ගැනීමට, අපූරු සීමාවේ අනුපූරක 1 හි සූත්‍රය වන 2 සහ 4 හි සීමාව සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. අපි වඩාත් සංකීර්ණ කාර්යයන් සලකා බලමු.

උදාහරණ 3. සීමාව ගණනය කරන්න (1-cos(x))/x^2
විසඳුම: ආදේශනය මගින් පරීක්ෂා කිරීමේදී, අපි අවිනිශ්චිතතාවය 0/0 ලබා ගනිමු. එවැනි උදාහරණයක් අපූරු සීමාව 1 දක්වා අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි බොහෝ දෙනෙක් නොදනිති. මෙහිදී ඔබ ත්රිකෝණමිතික සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය

මෙම අවස්ථාවේදී, සීමාව පැහැදිලි ආකෘතියකට පරිවර්තනය වේ

ශ්‍රිතය කැපී පෙනෙන සීමාවක වර්ගයට අඩු කිරීමට අපි සමත් වී ඇත.

උදාහරණ 4. සීමාව සොයන්න
විසඳුම: ආදේශ කරන විට, අපට හුරුපුරුදු විශේෂාංගය 0/0 ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, විචල්‍යය ළඟා වන්නේ Pi වෙත මිස බිංදුවට නොවේ. එබැවින්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීම සඳහා, අපි x විචල්‍යයේ එවැනි වෙනසක් සිදු කරන්නෙමු, එවිට නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට යයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි නව විචල්‍ය Pi-x=y ලෙස හරය දක්වන්නෙමු

මේ අනුව, පෙර කාර්යයේ දී ඇති ත්රිකෝණමිතික සූත්රය භාවිතා කරමින්, උදාහරණය පුදුම සීමාව 1 දක්වා අඩු කර ඇත.

උදාහරණ 5 සීමාව ගණනය කරන්න
විසඳුම: මුලදී සීමාවන් සරල කරන්නේ කෙසේද යන්න පැහැදිලි නැත. නමුත් උදාහරණයක් තිබේ නම්, පිළිතුරක් තිබිය යුතුය. විචල්‍යය ඒකත්වයට යන කාරනය, ආදේශ කිරීමේදී ශුන්‍ය ස්වරූපයේ ඒකීයත්වයක් අනන්තයෙන් ගුණ කරන බැවින් ස්පර්ශකය සූත්‍රයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ යුතුය.

ඊට පසු, අපි අපේක්ෂිත අවිනිශ්චිතතාවය 0/0 ලබා ගනිමු. ඊළඟට, අපි සීමාවේ විචල්‍ය වෙනස් කිරීමක් සිදු කරන අතර, කෝටැන්ජන්ට් ආවර්තිතා භාවිතා කරන්නෙමු

අවසාන ආදේශන මගින් අපට කැපී පෙනෙන සීමාවේ උපසිරැසි 1 භාවිතා කිරීමට ඉඩ ලබා දේ.

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව ඝාතකයට සමාන වේ

මෙය සම්භාව්‍යයක් වන අතර සැබෑ ගැටළු වලදී සීමාවන් කරා ළඟා වීම සැමවිටම පහසු නොවේ.
ගණනය කිරීම් සඳහා ඔබට අවශ්ය වනු ඇත සීමාවන් යනු දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්‍රතිවිපාක වේ:
1. 2. 3. 4.
දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට සහ එහි ප්‍රතිවිපාකවලට ස්තූතිවන්ත වන්නට, කෙනෙකුට ශුන්‍යය ශුන්‍යයෙන් බෙදීම, එකක් අනන්තයේ බලයට සහ අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීම වැනි අවිනිශ්චිතතාවයන් ගවේෂණය කළ හැකිය.

අපි දැන හඳුනා ගැනීමට පටන් ගනිමු සරල උදාහරණ.

උදාහරණය 6 ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
විසඳුම: පුදුම සීමාවන් 2ක් කෙලින්ම යෙදීම ක්‍රියා නොකරනු ඇත. පළමුව ඔබ වරහන් තුළ ඇති පදයට ප්‍රතිලෝම ආකෘතිය ඇති පරිදි දර්ශකය හැරවිය යුතුය

මෙය 2 කැපී පෙනෙන සීමාවට අඩු කිරීමේ තාක්ෂණය වන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම, සීමාවේ ප්රතිවිපාකයේ 2 සූත්රයේ ව්යුත්පන්නයයි.

උදාහරණ 7 ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
විසඳුම: අපට කැපී පෙනෙන සීමාවේ අනුපූරක 2 හි 3 සූත්‍රය සඳහා කාර්යයන් ඇත. ශුන්‍ය ආදේශනය 0/0 ආකෘතියේ ඒකීයත්වයක් ලබා දෙයි. රීතිය යටතේ සීමාව ඉහළ නැංවීම සඳහා, අපි හරය හරවන්නෙමු එවිට විචල්‍යයට ලඝුගණකයේ ඇති සංගුණකයම ඇත.

එය තේරුම් ගැනීමට සහ විභාගයේදී ඉටු කිරීමට ද පහසුය. සීමාවන් ගණනය කිරීමේදී සිසුන්ගේ දුෂ්කරතා පහත සඳහන් කාර්යයන් සමඟ ආරම්භ වේ.

උදාහරණ 8 කාර්යය සීමාව ගණනය කරන්න[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
විසඳුම: අපට අනන්තයේ බලයට 1 වර්ගයේ ඒකීයත්වයක් ඇත. ඔබ මාව විශ්වාස නොකරන්නේ නම්, ඔබට සෑම තැනකම "x" වෙනුවට අනන්තය ආදේශ කර ඔබම බලන්න. රීතිය යටතේ ඉහළ නැංවීම සඳහා, අපි වරහන් වලින් සංඛ්‍යාව හරයෙන් බෙදන්නෙමු, මේ සඳහා අපි පළමුව උපාමාරු සිදු කරන්නෙමු

ප්‍රකාශනය සීමාවට ආදේශ කර එය 2 කැපී පෙනෙන සීමාවට හරවන්න

සීමාව යනු 10 හි බලයට ඝාතය වේ. වරහන් සහ උපාධිය යන දෙකෙහිම විචල්‍යයක් සහිත නියමයන් වන නියතයන් කිසිදු "කාලගුණයකට" දායක නොවේ - මෙය මතක තබා ගත යුතුය. ගුරුවරුන් ඔබෙන් ඇසුවොත් - "ඇයි ඔබ දර්ශකය හැරෙන්නේ නැත්තේ?" (x-3 හි මෙම උදාහරණය සඳහා), ඉන්පසු පවසන්න "විචල්‍යයක් අනන්තයට නැඹුරු වූ විට, එයට 100 එකතු කරන්න, නැතහොත් 1000 අඩු කරන්න, එවිට සීමාව එලෙසම පවතිනු ඇත!".
මෙම වර්ගයේ සීමාවන් ගණනය කිරීම සඳහා දෙවන ක්රමයක් තිබේ. අපි ඊළඟ කාර්යයේදී ඒ ගැන කතා කරමු.

උදාහරණ 9 සීමාව සොයන්න
විසඳුම: දැන් අපි numerator සහ denominator හි ඇති විචල්‍යය ඉවත් කර එක් අංගයක් තවත් අංගයක් බවට පත් කරමු. අවසාන අගය ලබා ගැනීම සඳහා, අපි කැපී පෙනෙන සීමාවේ සමෝච්ඡය 2 හි සූත්‍රය භාවිතා කරමු

උදාහරණ 10 ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න
විසඳුම: ලබා දී ඇති සීමාව සෑම කෙනෙකුටම සොයාගත නොහැක. සීමාව 2 දක්වා ඉහළ නැංවීමට, sin (3x) යනු විචල්‍යයක් බව සිතන්න, ඔබ ඝාතකය හැරවිය යුතුය.

ඊළඟට, අපි දර්ශකය ලියන්නේ උපාධියක උපාධියක් ලෙසයි


අතරමැදි තර්ක වරහන් තුළ විස්තර කෙරේ. පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන් භාවිතා කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ඝන ඝාතකය ලබා ගත්තා.

උදාහරණ 11. කාර්යය සීමාව ගණනය කරන්න sin(2*x)/log(3*x+1)
විසඳුම: අපට 0/0 ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. ඊට අමතරව, ශ්‍රිතය අපූරු සීමාවන් දෙකම භාවිතා කිරීමට පරිවර්තනය කළ යුතු බව අපට පෙනේ. පෙර ගණිතමය පරිවර්තනයන් සිදු කරමු

තවද, අපහසුවකින් තොරව, සීමාව අගය ගනී

කාර්යයන් ඉක්මනින් පින්තාරු කිරීමට සහ ඒවා පළමු හෝ දෙවන පුදුමාකාර සීමාවට අඩු කිරීමට ඔබ ඉගෙන ගන්නේ නම්, පරීක්ෂණ, පරීක්ෂණ, මොඩියුල පිළිබඳව ඔබට පහසුවක් දැනෙනු ඇත. සීමාවන් සොයා ගැනීමේ ඉහත ක්‍රම මතක තබා ගැනීමට ඔබට අපහසු නම්, ඔබට සැමවිටම ඇණවුම් කළ හැකිය පරීක්ෂණයඅපේ සීමාවන්ට.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පෝරමය පුරවන්න, දත්ත සඳහන් කරන්න සහ උදාහරණ සමඟ ගොනුවක් අමුණන්න. අපි බොහෝ සිසුන්ට උදව් කර ඇත - අපට ඔබටත් උදව් කළ හැකිය!